'양자역학'에 해당되는 글 22건

  1. 2016.10.23 2016 노벨 물리학상을 이해하기 위해 필요한 것들(2) - 위상수학의 이해
  2. 2016.08.08 Particles in Curved Space (1)
  3. 2015.03.04 Measurements and Projection Operators
  4. 2014.12.22 불확정성 원리와 상대성이론 (2)
  5. 2014.08.15 Commutators in finite dimensions and identity matrix
  6. 2014.05.22 Constraints on Commutators (5)
  7. 2013.12.15 Dirac Equation(1) (4)
  8. 2013.01.05 양자장론 참고자료
  9. 2012.11.08 양자역학의 유래(2)
  10. 2012.05.08 디랙해를 항해하는 히치하이커를 위한 안내서 (2)
  11. 2010.09.20 Electromagnetism in Schrodinger Eqn. (1)
  12. 2010.01.19 양자역학의 유래 (4)
  13. 2009.12.24 측정의 평균 (2)
  14. 2009.12.15 Fourier 변환의 고유함수
  15. 2009.12.14 운동량 연산자에 대해서(1) (7)
  16. 2009.12.04 요즘 하는 생각
  17. 2009.10.20 Time operator? (2)
  18. 2009.10.17 왜 하필이면 Hamiltonian 연산자인가?
  19. 2009.04.30 복소수 대칭과 시간대칭 (23)
  20. 2009.04.25 Operator determination

2016년 노벨 물리학상은 위상론적인 물질과 관련된 연구를 한 사울레스, 홀데인, 그리고 코스털리츠에게 돌아갔지요. 제 전공과는 조금 거리가 있는 주제인지라 그냥 넘어가려고 했었는데, 트위터에서 어쩌다가 개인 DM으로 해설을 부탁받아버려서 제가 아는 범위 내에서만 썰을 풀어봅니다. 그 말인즉, 노벨상 수상자들이 무엇을 했는지 설명하기보다는 노벨상 수상자들이 무엇을 했는지 알기 위해 필요한 사전지식들에 대해 설명해보겠다는 소리죠.


다음 주제를 주로 다룰 생각입니다.

1) 새로 발견된 상전이는 이전의 알려졌던 상전이와 어떻게 다른가

2) 실제로 이용하는 위상수학은 무엇에 대한 위상수학인가

3) 왜 위상론적 물질에서 경계면이 중요해지는가


그러면 시작해보죠.




위상수학에 대해 가장 널리 알려진 예시라고 한다면 도넛과 머그잔이겠지요. 거기에 질세라 노벨위원회에서 올해 수상자를 발표할 때 위상수학을 설명하면서 베이글과 프레츨을 예시로 들었습니다. 이 물체들이 어떻게 위상수학적으로 같고 다른지는 찰흙을 가지고 장난을 치다가 부모님께 혼나본 경험이 있으시다면 이해할 수 있으시겠지요. 아쉽게도 위상론적 물질에서 필요한 위상수학적인 양은 천 숫자(Chern number)라는 값으로, 앞선 예시들과는 달리 쉽게 머리 속으로 그릴 수 있는 것들은 아닙니다.


위상수학에서는 우리가 머리 속으로 그릴 수 있는 평범한 도형들을 다양체(manifold)라는 개념을 이용해 정의합니다. 구체적인 정의는 논의를 괜히 쓸데없이 복잡하게 만들테니 필요없겠지요. 천 숫자는 접속(connection)이란 특별한 종류의 수학적인 물체를 다양체 위에 올려놓았을 때 그 접속에 대한 위상론적인 정보를 담고 있는 값입니다. 그러면 우선 접속이 무엇인지에 대해 알아야 위상수학이 어떤 역할을 하는지 알 수 있겠지요.


그다지 좋은 예는 아니지만[각주:1] 접속을 이해하는데 쓸 수 있는 장난감으로 굴렁쇠가 있습니다. 비록 저 자신은 굴렁쇠를 실제로 굴려본 적이 없고 교과서 사진으로나 봤을 뿐이지만 동전은 자주 굴려봤으니 자신감을 가져도 좋겠지요. 다시 굴렁쇠로 돌아와서, 어떤 위치에서 굴리기 시작한 굴렁쇠를 적당한 경로를 따라 원래 위치로 돌아오는 것을 생각해 봅시다. 만약 굴렁쇠의 각 점에 눈금이 매겨져 있었다면 굴리기 전의 굴렁쇠와 바닥이 맞닿은 점을 가리키는 눈금과 굴리고 같은 위치로 돌아왔을 때 굴렁쇠와 바닥이 맞닿은 점을 가리키는 눈금은 다르겠지요. 홀로노미(holonomy)나 모노드로미(monodromy)는 이 눈금이 얼마나 달라지는가를 잡아내기 위해 정의된 수학적인 물체입니다. 하지만 오늘 논의에서는 다루려던 내용이 아니므로 두 용어에 대해서는 이 정도에서 설명을 마치도록 하지요.


접속이란 개념을 이해하기 위해서는 굴렁쇠를 굴린 경로 위의 각 점에 굴러가고 있는 굴렁쇠를 관찰하는 관찰자를 올려놓는 것이 좋습니다. 각 점에 앉아있는 관찰자는 굴렁쇠의 눈금 중 어떤 눈금이 바닥과 닿아있는지를 기록할 수 있겠지요. 그리고 한 점에 앉아있는 관찰자가 관찰한 눈금은 바로 옆에 앉은 관찰자가 관찰한 눈금과 일정한 관계를 맺고 있습니다. 굴렁쇠는 미끄러지지 않고 굴렀을테니, 두 관찰자 사이의 거리만큼 굴렁쇠와 바닥이 닿은 눈금이 변했을테니까요. 이처럼 한 점에서 관찰한 무언가의 값을 바로 옆의 점으로 끌고가면 일반적으로는 그 값이 변합니다. 수학에서는 이런 정보를 담은 것을 접속이라고 부릅니다. 한 점에서의 정보를 바로 옆의 점으로 연결시켜 준다는 점에서 더없이 적절한 용어(접속은 영어로 connection이라 부릅니다)라고 할 수 있겠지요. 한 점에서 바로 옆의 다른 점으로 움직이는 방법은 움직일 수 있는 방향만큼이나 다양하기 때문에 접속은 '어떤 방향으로 움직이는가'에 대한 정보도 함께 담고 있어야 합니다. 방향에 대한 정보를 가지고 있다는 점에서 접속은 벡터장과 매우 비슷합니다.


약간은 의외의 사실일 수 있겠지만, 어떤 다양체에는 벡터장을 임의로 올려놓지 못한다는 것이 알려져 있습니다. 가장 간단하고 머리 속으로 그려볼 수 있는 예시로는 털난 공 정리(hairy ball theorem)이 있습니다. '털난 공을 빗을 수 없다'란 표현으로 유명한 이 정리는 공의 표면(2차원 곡면이므로 $S^2$라 부릅니다) 위에 올려놓은 벡터장은 항상 0이 되는 지점이 있어야 한다고 주장합니다. 크기가 0이 아닌 벡터장을 공에 납작하게 붙은 털에 빗댄 것이지요. 실제로 그런지 의심이 드는 분이라면 바람이 부는 지구 표면을 생각해 보시면 좋습니다. 과연 지구 표면의 모든 점에서 동시에 바람이 불 수 있을까요? 털난 공 정리에 따르면 지구의 적어도 한 점에서는 바람이 불고 있지 않아야 합니다.


위의 정리는 위상수학적인 결과입니다. 털난 공이라고는 했지만 그것이 꼭 공일 필요는 없는 것이지요. 공이 조금 찌그러져 있다거나 허리같은 길쭉한 부분이 있다거나 해서 벡터장이 0인 지점이 하나는 있어야 한다는 사실이 변하지는 않는다는 말입니다. 천 숫자는 털난 공 정리와 비슷하게 다양체 위에 올려놓은 접속이 임의로 주어질 수는 없다는 것을 말해줍니다. 천 숫자를 계산하면 정수를 얻지만 이 정수가 정확히 무엇을 세는가에 대해서는 저도 좋은 설명이 없다는 점이 아쉽군요. 다만 한 가지 확실하게 말할 수 있는 것은 두 접속에 대해 계산한 천 숫자가 서로 차이가 난다면 하나의 접속에 작은 변화를 누적시켜서 다른 접속으로 바꾸는 것이 불가능하다는 것이고, 이런 의미에서 천 숫자가 위상론적인 불변량이라는 것입니다.




천 숫자에 대해 이해하려면 우선 접속에 대해 더 자세히 알아야 합니다. 그러므로 접속에 대해 좀 더 이야기해보도록 하죠.


잘 만들어진 굴렁쇠라면 모든 점이 서로 엇비슷하게 생겼을 겁니다. 굴렁쇠에 눈금을 새겼더라도 어떤 눈금을 1로 두고 그 눈금부터 번호를 매길 것인가에 대한 자유가 남아있는 것이지요. 때문에 각 점에 앉아있는 관찰자가 각자 굴렁쇠를 하나씩 들고 '나는 이 눈금을 1로 세겠다'고 주장하는 것을 생각해 볼 수 있습니다. 이 눈금을 1로 세는 점을 기준점이라고 부르도록 하죠. 각 점에 앉아있는 관찰자가 임의로 기준점을 재조정하더라도 실제로 굴렁쇠가 굴러가는 것에는 영향을 미치지 않아야 합니다. 이렇게 기준점을 재조정하는 것을 게이지 변환(gauge transform)이라 부르고, 기준점 재조정에 영향을 받지 않는 것을 게이지 대칭(gauge symmetry)이라 부릅니다. 입자물리에 관심이 있으신 분들이라면 게이지 보존(gauge boson)이란 단어를 들어보셨을텐데, 그 단어에서 말하는 게이지와 지금 여기에서 말하는 게이지는 같은 수학적인 물체입니다. 단지 그 수학적인 물체를 무엇을 나타내기 위해 쓰고 있느냐의 차이 정도만 있을 뿐이지요.


접속은 언제까지나 '한 점에서 읽어낸 값을 바로 옆의 점으로 옮기는 방법'을 결정해주기 때문에 값을 읽어낸 점에서 관찰자가 선택한 기준점과 값이 옮겨질 점에서 관찰자가 선택한 기준점에 영향을 받습니다. 그래서인지 기준점을 재조정하는 과정인 게이지 변환을 할 경우 각 점이 얼마나 다르게 기준점을 재조정했는지의 정보까지 들어가야 해서 보다 복잡하게 변화하지요. 다르게 말하자면 '각 점에서의 기준점 선택'에 영향을 받는다는 의미에서 진짜 물리적인 의미를 갖는 대상이라고 보기는 힘들다고 할 수 있습니다. 게이지 변환에 영향을 받지 않는 것들, 즉 게이지 불변(gauge invariant)인 것만이 실제 물리적인 의미를 갖는 대상이라고 생각해야 한다는 것이지요. 그렇다면 접속으로부터 충분히 물리적인 의미를 갖는 대상을 얻어낼 수 있는지가 문제가 됩니다.


한가지 방법은 아주 작은 폐곡선을 생각하고 그 폐곡선을 따라 굴렁쇠를 원래 위치로 굴린 것과 굴리기 전의 굴렁쇠의 차이를 확인하는 것입니다. 같은 점에서 굴렁쇠를 비교하는 것이기 때문에 기준점을 옮긴다고 해도 눈금의 차이는 변하지 않지요. 마치 12와 16의 차이가 112와 116의 차이와 같은 것처럼 말입니다. 이를 곡률(curvature)이라고 부릅니다.[각주:2] 곡률은 작은 폐곡선의 경우 그 폐곡선을 경계면으로 갖는 곡면의 넓이에 비례해서 눈금의 차이가 커진다는 관찰에 기반을 두고 있습니다. 작은 곡면은 평행사변형으로 근사할 수 있고 평행사변형은 두 방향(마주한 변은 같은 방향이므로 두 방향만 갖습니다)을 갖기 때문에 곡률은 방향에 대한 정보를 둘 가지고 있어야 합니다. 또한 이 두 방향이 겹치게 되면 넓이를 갖는 평행사변형이 만들어지지 않기 때문에 주어진 두 방향에 대해 반대칭적(antisymmetric)이어야 하죠.


곡률은 물리적인 정보를 담습니다. 게이지 이론으로 이해할 수 있는 전자기학을 예로 들자면, 전자기장에 해당하는 접속의 곡률은 우리가 실제로 측정할 수 있는 전기장과 자기장으로 인식됩니다. 또한 실제 천 숫자를 계산할 때는 접속을 이용하는 것이 아니라 접속의 곡률을 이용합니다. 이것을 이용해 여러가지 위상론적인 물체들을 만들 수 있습니다. 예를 들어 3차원 공간의 한 점을 감싸는 구의 표면 위에서 전자기장의 천 숫자를 계산하면 그 표면을 통과하는 총 자기장의 양을 얻는데, 천 숫자는 정수로 주어지므로 그 구 안에 들어있는 자기장의 원천 즉 자하의 총량은 정수로 주어진다는 것을 알 수 있습니다. 전하와 마찬가지로 자하 또한 양자화되어야 한다는 것을 의미하는 것이지요. 약간 원래 논의에서 벗어나기는 했지만, 고에너지 물리학에서는 이런 방식으로 위상수학을 이용해 위상론적인 물체들을 다루곤 합니다. 위상론적인 원인이 있고 입자의 성질을 갖기 때문에 이런 물체들을 위상론적 솔리톤(topological soliton)이라고 부르지요. 다른 위상론적인 물체로는 인스탄톤(instanton)들이 있는데 시간을 허수로 만드는 다소 설명하기 껄끄러운 일들을 해야 하므로 넘어가도록 하겠습니다.


천 숫자가 위상론적인 물질에서 물리적인 의미를 갖는 사례 중 하나는 정수 양자 홀 효과(integer quantum Hall effect)입니다. 금속에 아주 강한 자기장을 수직축으로 걸었을 때 전기장을 수평축으로 걸면 자기장과 전기장에 수직한 방향으로 전류가 흐르는데, 정수 양자 홀 효과는 이때 흐르는 전류와 전기장의 비를 측정한 것(홀 전도도라고 부릅니다)이 폰 클리칭 상수(von Klitzing constant)의 정수배로 나타나는 현상을 말합니다. 정수 양자 홀 효과에서는 이 홀 전도도가 천 숫자로부터 계산할 수 있다는 것이 알려져 있습니다.


정수 양자 홀 효과에서 계산하는 천 숫자는 조금 독특한 공간에서 계산합니다. 2차원 공간을 돌아다니는 전자들을 운동량으로 분류했을 때, 이 운동량이 만드는 공간에서의 적분이죠. 이 공간 위에서도 접속을 정의할 수 있습니다. 특정 운동량을 갖는 전자의 위상을 측정할 때 기준으로 삼는 위상을 운동량마다 다르게 설정해 줄 수 있기 때문이죠. 이를 베리 접속(Berry connection)이라고 부르고, 베리 접속으로부터 얻는 곡률을 베리 곡률(Berry curvature)라고 부릅니다. 양자 홀 효과와 관련된 천 숫자는 베리 곡률로부터 얻어지며, 이를 TKNN 불변량이라고 부릅니다.


정리해보자면, 실제로 위상론적 물질에서 쓰이는 위상수학은 접속과 관계된 천 숫자라는 불변량들이고 천 숫자가 실제로 힘을 발휘하는 경우의 예로 정수 양자 홀 효과를 들 수 있었습니다. 논의를 벗어나기는 했지만 고에너지 물리학에서는 위상수학을 어떻게 이용하는지를 다루면서 솔리톤에 대한 이야기도 꺼냈지요. 위상수학에 대한 이야기만 잔뜩 하고 정작 물리 이야기는 거의 하지 않았다는 점이 조금 마음에 걸리지만, 일단은 여기까지가 현재 할 수 있는 범위 내에서는 최선인 것 같네요.




천 숫자를 중심으로 살펴보긴 했지만 실제로는 더 많은 위상수학이 쓰입니다. 예를 들어 애니온(anyon)의 경우에는 매듭 군(braid group)과 관련이 있지만 잘 알지 못하는 관계로 넘어갔습니다. 글에서 언급된 자기단극자의 경우 한 차원 낮추게 되면 소용돌이(vortex)의 양자화를 얻는데, 이건 천 숫자로 표현하기에는 껄끄러운 점이 있어서 넘어갔죠.


마지막 글은 솔직히 쓰기는 할지 모르겠습니다. 요즘 일이 많아서... ㅠㅠ

  1. 수학적으로 정합적(consistent)인 묘사가 불가능하다는 점에서 좋은 예는 아닙니다. [본문으로]
  2. 참고로 일반상대론에서 말하는 '휜 공간'의 곡률과 이 곡률은 같습니다. 단지 곡률을 정의하기 위해 사용하는 접속이 다를 뿐이죠. [본문으로]
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(필명으로 운영하는 이 블로그 말고) 나중에 제대로 된 개인 홈페이지를 만들었을 때 올려놓아도 괜찮겠다 싶어서 학생 세미나도 준비할 겸 작성한 텍. 쓰다보니 너무 길어졌다.

Notion of Particles in Curved Space public.pdf


Unruh effect를 다루기 위해 넣은 Unruh-DeWitt detector는 진짜 열적 분포를 갖는 결과가 나오도록 하고 싶었는데 계산을 간단히 하려고 1+1차원에 갇혀있었던 것이 문제가 된 듯. 노트의 각주에 달아놓기는 했지만 3+1차원에서 계산하면 열적 분포가 제대로 나온다. 조금 신경쓰이는 부분은 $1/E$에 비례하는 항 때문에 구한 response function이 E에 대해 우함수가 아니라는 것인데, 이건 전이 확률이 에너지 준위차에만 의존하지 않고 에너지가 높은 쪽으로 전이하는 확률과 낮은 쪽으로 전이하는 확률이 서로 다르다는 것을 의미해서 그렇다. 여태 본 계산 중에는 이런 계가 없었던 것으로 기억하는데 무언가 잘못한 것이 있는 것은 아닌가 싶어서.

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  1. 옹야  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    블로그 잘 보고 갑니다^-^
    저도 블로거님처럼 이쁜 만들어보고 싶네요ㅠ.
    저 혹시 괜찮으시다면 초대장 받을 수 있을까요.
    향후 블로그 운영 계획은 클라우드와 임베디디 시스템 관련 프로그래밍 가이드를 주로 다룰 계획입니다. 여러 개발자들이 제 블로그를 보고 개발에 박차를 가 할 수 있도록 함께 공유해 나갈 계획입니다.
    제 이메일은 kim6kim@nate.com입니다.
    좋은 하루 되세요ㅎ

    2016.09.09 23:06 신고

수업 들어가기 전 양자정보 전공하는 친구가 던져준 문제.


자연수 $m$으로 나열한 연산자(operator)들 $M_m$들이 다음 두 조건을 만족한다.

1. $\sum M_m^\dagger M_m = I$

2. $M_m^\dagger M_m = M_m $


이 때, 연산자 $M_m$들이 사영연산자(projection operator) $P_m$임을 증명하라. 사영연산자들은 다음 조건을 만족한다.

1. $\sum P_m = I$

2. $P_mP_n = P_m\delta_{mn}$

3. $P_m^\dagger = P_m$


연산자들이 작용하는 벡터 공간이 유한 차원이라면 쉽게 증명하겠는데, 무한 차원에서는 잘 모르겠다. 유한 차원이 쉬운 이유는 고유벡터(eigenvector)가 항상 하나라도 존재해야 하기 때문. 무한차원에서는 이게 안 되는데, 좋은 예로 harmonic oscillator의 creation operator가 있다. number state를 기저로 잡는 Fock basis에서 계산해보면 영벡터가 사실상 유일한 creation operator의 고유벡터가 된다(...)


먼저 2번 조건에 Hermitian adjoint를 취해 $M_n^\dagger=M_m$이란 조건을 얻는다. 사영연산자의 3번 조건 해결. 이 조건은 모든 $M_m$이 대각화 가능하다는 것을 의미하기도 한다.


위에서 구한 식을 이용해 2번 조건을 정리하면 $M_mM_m=M_m$이란 관계식을 얻는다. 연산자 $M_m$의 고유값(eigenvalue)이 0이거나 1이라는 소리. 따라서 임의의 벡터 $\left|v\right>$에 대해 $\left< v \middle| M_m \middle| v\right> \geq 0$가 성립.


마찬가지로 1번 조건을 정리하면 $\sum M_m=I$란 조건을 얻는다. 이 조건에 $M_m$의 고유벡터 $v_m$을 가져다가 양변에 취하면 $n\neq m,\left< v_n \middle| M_m \middle| v_n \right> = 0$이란 조건(이 조건을 a라 부르자)을 얻는다(위 조건 참조).


이제부터는 간단하다. 모든 $M_m$이 대각화되어 있고 대각선의 값이 1 아니면 0인 기저를 구하는 것. 우선 $M_1$을 가져다가 고유벡터(들)을 구한다. 고유벡터가 하나가 아닐 경우 Gram-Schmidt 과정을 거쳐서 직교하는 고유벡터(들)로 나눈다. 이 벡터(들)을 기저벡터 1(혹은 갯수에 따라 2, 3, 등등)로 잡는다.


다음엔 $M_2$를 가져온다. $M_m$의 고유벡터를 $\left| v_2 \right>$라고 할 때, $\left| v_2 \right>$를 $M_1$의 고유벡터 성분 $\alpha\left| v_1 \right>$과 $M_1$의 고유벡터에 수직한 성분 $\beta \left| w \right>$(이 성분의 $M_1$에 대한 고유값은 0이다)으로 나눈다. 크기가 1일 것이란 조건에서 $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$이란 조건을, 조건 a에서 $|\alpha|^2=0$이란 조건을 얻으므로 $\left| v_2 \right>$는 $M_1$의 고유벡터들과 수직하다는 사실을 알 수 있다. 다음은 $M_1$에서와 마찬가지로 $M_2$의 고유벡터들을 기저에 포함시키면 끝. 이 과정을 계속 반복하면 모든 $M_m$이 diagonal인 orthonormal basis를 구성할 수 있고, 이 basis에서 각 $M_m$의 대각선 성분은 1 아니면 0이며, 서로 다른 $M_m$은 대각선 성분 중 1을 공유하지 않는다는 사실을 알 수 있다.




문제의 $M_m$은 '측정'을 의미한다고 추정하고 있다.[각주:1] $\left| v \right>$란 벡터에 해당하는 상태에 있는 계에 대해 측정을 행했더니 $m$번째 가능한 결과값이 튀어나왔을 때 $\left| v \right>$ 벡터는 $ M_m \left| v \right>=\left| M_m v \right>$란 상태로 변했다는 것을 의미. 2번 조건은 $m$번째 측정값이 나올 확률 $\left< M_m v \middle| M_m v \right>/\left< v \middle| v \right>$이 $M_m$의 기댓값 $\left< v \middle| M_m \middle| v \right>/\left< v \middle| v \right>$와 같을 것을 요구하는 것이고, 1번 조건은 측정값이 나올 확률들을 다 더하면 1이 될 것 혹은 측정하게 되면 어떤 측정값이든 하나는 얻어질 것을 의미한다. 측정에 해당하는 연산자 $M_m$들은 unitary할 수 없다(projection operator는 당연히 unitary하지 않다)는 것을 보여주는 것이 목적인 모양.


2번 조건을 보이기 위해서는 벡터공간의 임의의 벡터 $\left| v \right>$에 대해 연산자 $A$의 기댓값이 $\left< v \middle| A \middle| v \right>=0$란 조건을 만족할 경우 항등적으로 $A=0$이란 것을 증명하면 된다. 이건 유한 차원에서는 매우 쉬운데, Schur decomposition을 통해 $A$를 upper triangular로 만드는 orthonormal basis를 잡을 수 있고, upper triangular로 바꾸었을 때 대각 성분이 전부 0임은 자명하며, 이로부터 (1,2)성분, (1,3)성분, (2,3)성분 등등이 0이어야 한다는 것을 계산을 통해 보일 수 있기 때문이다(그렇지 않다면 기댓값이 0이 아닌 벡터 $\left| v \right>$를 찾을 수 있다).

  1. 측정과 관련된 내용을 읽고 있다고 했고, 던져준 문제에 M이 들어가있는게 딱 measurement란 삘이 와서. 이 문제가 나온 책을 읽어본 것은 아니다. [본문으로]
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일반물리학2 기말고사에서 양자역학과 (특수)상대론을 다루는 것을 보고 멘붕했는데(전 왜 배운 기억이 없을까요 =_=;;)[각주:1] 채점을 맡은 문제에서 틀린 사람이 너무 많아서 해설지를 써보았습니다. 스캔 상태가 엉망인 것과 악필인 것은 감안하시고...



sol.pdf





4.(a) 폭이 $L$인 1차원 무한 포텐셜 우물의 내부( $0<x<L$)에서 자유로이 움직일 수 있는 양자입자가 있다. 양자입자의 바닥상태 에너지가 0이 될 수 없음을 불확정성 원리를 이용해서 간단히 설명하라.


이 문제는 하이젠베르크의 불확정성 원리에 대한 이해를 물어보는 문제였습니다. 표준적인 방법은 위치-운동량 불확정성 원리를 이용하는 것인데, 사람에 따라서는 시간-에너지 불확정성을 이용하더군요. 문제는 시간-에너지 불확정성은 위치-운동량 불확정성과는 전혀 다르게 해설한다는 것이지만요(그래서 전부 오답처리).




8. (a) 철수가 광속에 가까운 속력 $v$로 일정하게 달리는 우주선을 타고 먼 별을 향해 여행을 떠난다. 지상에 남아 있는 영희는 철수에게 일정한 간격 $T$로 빛신호를 보내 안부를 전한다. 우주선에 타고 있는 철수는 빛 신호를 얼마의 간격으로 받고 있을까?


평범한 상대성이론 문제입니다. 상대론 문제를 풀 때 가장 중요한 건 "내가 누구 관점에서 문제를 풀고 있더라?"를 끝까지 기억하는거죠. 이게 엉켜버리면 난리가 나고요. 여러가지 방법으로 답을 구하는 방법을 적어보았습니다.


사실 마지막 '기하학적 풀이'에는 4-벡터를 이용한 해도 적어볼까 했지만 처음부터 설명하는건 무리라고 판단해서 생략. 사실 4-벡터를 내적해서 값을 구하는 짓을 하게 되면 불변량들을 가지고 숫자놀음을 하게 되기 때문에 식이 절대로 엉키지 않습니다. Landau 2권에서 retarded potential을 구할 때 이 방법을 쓰는 것으로 기억하고 있는데, 가장 논리를 따라가기 힘들었던 파트중 하나였죠.

  1. 물론 제가 들은건 1학년 상대로 4-벡터를 가르치던 고급물리였습니다만(다같이 멘붕) 양자는 한 기억이 없어요... [본문으로]
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  1. 지나가던 사람  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    에너지-시간 불확정성 원리로 왜 해결할수 없다는게 이해가 안가는데 혹시 더 자세하게 설명해주실수 있으신가요?

    2017.08.16 22:05 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2017.08.23 23:32 신고  댓글주소  수정/삭제

      에너지-시간 불확정성은 '시스템이 특정한 에너지를 갖는 처음 상태에서 Δt만큼의 시간 동안 외부의 영향을 받아 나중 상태로 변화했을 때 나중 상태들이 갖는 에너지의 분포가 ΔE만큼 퍼져있을 경우 ΔtΔE~h의 관계가 성립한다'로 해석해야 합니다. 시간에 따른 시스템의 변화에 방점이 찍혀있기 때문에 시간과는 무관한 바닥상태의 에너지와는 관련이 없습니다.


오늘도 하라는 공부는 안 하고 트위터에서 놀다가 함수해석학과 양자역학 이야기가 나와서 위 글을 다시 검토하던 중, '유한 차원에서라면-선형대수학의 영역이라면- 교환자(commutator)가 identity의 상수배가 나오지 않는다는 것을 증명할 수 있지 않을까?'란 생각이 들었다. 결론: 매우 쉽게 보일 수 있다.


아이디어는 매우 쉽다. 2×2 행렬은 Pauli matrice에 identity를 더해 기저로 잡은 복소수체 벡터공간의 원소로 생각할 수 있다. 3×3 행렬은 Gell-mann matrice에 identity를 더하면 된다. 일반적으로 n×n 행렬은 SU(n) 군의 생성자(generator)에 identity를 더해 기저로 잡은 복소수체 벡터공간의 원소로 생각할 수 있다.


\text{In general, a }n\times n\text{ matrix can be thought as} \\\text{an element of a vector space spanned by the set} \\\\\{I,g_1,g_2,\dots,g_{n^2-1} \} \\\\\text{where }I\text{ is the identity matrix and }g_i\text{'s are the} \\\text{generators of SU(}n\text{) group. Note that all bases} \\\text{except for }I\text{ are traceless.}


이제 n×n 행렬 두개를 가져다 교환자를 구성한 뒤 trace를 구하면 0이 됨을 쉽게 알 수 있다. 그런데 identity는 trace가 n이므로, identity의 상수배는 trace가 0일 수 없다. 따라서 유한차원에서 작용하는 연산자(operator)들의 교환자는 identity의 상수배가 될 수 없다.


\text{Let }A\text{ and }B\text{ be arbitrary }n\times n\text{ matrices and let} \\\\A=\alpha_0I+\alpha_ig_i, B=\beta_0I+\beta_ig_i \\\\\text{where summation over }i\text{ is implied. Then the trace} \\\text{of the commutator }[A,B]=AB-BA\text{ vanishes.} \\\\Tr([A,B])=Tr(\gamma_ig_i)=0 \\\gamma_i=\sum_{j,k}C_{ijk}\alpha_j\beta_k \\\\\text{The }C_{ijk}\text{'s are the structure constants. Since identity} \\\text{and its scalar multiple cannot be traceless, commutators} \\\text{in finite dimensional linear algebra cannot be a multiple} \\\text{of identity.}


이제 함수해석학을 배워야 하는 이유가 하나 더 추가되었다(...)




수정: 잠결에 생각해보니 너무 어렵게 풀었네요. 결론은 똑같지만 trace가 0이어야 한다는 것은 다음 trace의 기본 성질로부터 훨씬 쉽게 보일 수 있습니다.


\text{Trace has the following properties} \\\\Tr(cA+dB)=cTr(A)+dTr(B) \\Tr(AB)=Tr(BA) \\\\\text{where lowercase letters are scalars. Therefore} \\\\Tr([A,B])=Tr(AB)-Tr(BA)=0


그러면 위에서 일반적인 연산자를 identity와 SU(n) 군의 생성자를 이용한 기저로 나타내는 것이 무슨 의미를 갖는지 생각해볼 수 있겠죠. 알려진 것과 같이 양자역학에서는 모든 측정가능량이 연산자로 주어집니다. 그리고 임의의 측정량이 있을 때, 여기에 identity의 상수배를 더하는 것은 측정량의 기준점을 이동한다는 의미가 됩니다. 단순히 모든 고유값(eigenvalue)들을 일정한 값만큼 이동하는 것과 동일하니까요. 따라서 identity는 실제 물리적인 의미를 갖는 부분이 아니라고 생각할 수 있습니다. 결국 n개의 독립적인 상태를 가질 수 있는 계가 있다면 이 계에서 얻을 수 있는 모든 측정량들은 SU(n) 리 대수(Lie algebra)의 원소로 생각할 수 있다는 뜻이 되겠죠. 이젠 군론을 배웁시다 야호!


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양자역학에서 가장 유명한 commutator를 뽑으라면 누구나 하이젠베르크의 불확정성 원리를 꼽을 것이다. 아무래도 제일 먼저 발견된 교환이 불가능한 물리량이니까.


[x,p]=xp-px=i\hbar


그런데 왜 i가 붙을까? 고민해본 사람? 문제는 의외로 쉽게 풀린다. 두 측정가능한 물리량 A와 B를 가정하자. 따라서 A와 B는 에르미트(Hermitian) 연산자이다. 적당한 양자책을 잘 공부했다면 이를 설명할 필요는 없을 터(간단하게 말하자면 고유값(eigenvalue)이 실수가 나와야 해서). 한번 유도해보자.


\text{For observables }A,B\\A^\dagger=A, B^\dagger=B \\\\\therefore [A,B]^\dagger=(AB-BA)^\dagger\\=B^\dagger A^\dagger-A^\dagger B^\dagger=BA-AB \\\\\therefore [A,B]^\dagger=-[A,B] \\\\\text{or, equivalently;} \\\exists C(C^\dagger=C),\,\,[A,B]=iC


측정 가능한 물리량의 commutator는 항상 반에르미트(anti-Hermitian) 연산자여야 한다는 결론을 얻는다. 반에르미트 연산자는 단위허수 i를 곱하거나 나눠서 에르미트 연산자로 만들어줄 수 있으니 이제 그 미스테리한 i가 어디에서 튀어나왔는지 알 수 있다.


이제 조금 더 재미있는 명제를 도출해보자.


\text{Assume observables }A,B\text{ and an eigenstate of }A\\\\A\left|a \right \rangle=a\left|a \right \rangle \\\\\text{Then, we get the expectation value of the commutator}\\\\ \left\langle a|[A,B]|a \right\rangle=\left\langle a|AB-BA|a \right\rangle = (a^\ast - a)\left\langle a|B|a \right\rangle=0 \\\\\text{or, equivalently;} \\\\ C \equiv \frac1i [A,B],\;A\left|a \right \rangle=a\left|a \right\rangle \Rightarrow\left\langle a|C|a \right\rangle=0 \\\\\text{for any observables }A, B


아직 이상한 점을 눈치 못챘는가? A에 x를, B에 p를 넣어보자.


[x,p]=i\hbar\\\\\therefore \left\langle x\middle|\frac1i[x,p]\middle|x \right\rangle=\hbar\left\langle x|x \right\rangle=0\\\left\langle p\middle|\frac1i[x,p]\middle|p \right\rangle=\hbar\left\langle p|p \right\rangle=0


?!?!


이 비정합성은 commutator가 identity의 배수이기 때문에 나타난다. 다르게 말한다면, 어떤 한 측정량이 다른 측정량과 만드는 commutator가 identity의 배수로 나온다면 그 측정량의 고유상태(eigenstate)는 그다지 예쁜 성질을 갖지 않으며(예컨데 위치 x의 고유상태나 운동량 p의 고유상태는 L2(Square-integrable)공간에 속하지 않는다), 따라서 주의를 기울여 다루어야 한다고 결론지을 수 있다.


참고로 가장 간단(?)한 양자화 방법은 고전역학에서의 Poisson bracket을 양자역학의 commutator로 해석하는 것이기 때문에(Dirac quantisation 혹은 canonical quantisation) 양자역학의 미래가 골치아프다는 것은 확실해졌다. 양자장론이 괜히 머리 뽀개지는게 아니라니까...

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  1. Favicon of http://kipid.tistory.com BlogIcon kipid  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    0 \times delta(0) = ? 문제랑 비슷하군요.

    2014.05.23 00:05 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2014.05.23 00:52 신고  댓글주소  수정/삭제

      함수 x\delta(x)로 읽어서 순간 당황했네요. 이 함수는 0이었죠(...)

    • Favicon of http://kipid.tistory.com BlogIcon kipid 2014.05.23 15:58 신고  댓글주소  수정/삭제

      아하 그런문제도. 더 간단하게는 0 * 무한대(infinity) 문제랑 비슷하겠네요 =ㅇ=;;ㅋ
      (a-a)*<a|B|a> 에서 이게 0이라고 넘어갈때 이런문제가... <a|B|a>가 L2 (Square-integrable) basis 를 쓰는 경우가 아니라면 무한대도 될 수 있어서.
      아무튼 생각지 못했던 부분이네요. 그런데 이게 "commutator가 identity의 배수이기 때문"이 맞나요? 그냥 state가 L2로 표기 안되어서 그런것도 같은데... 저것 때문이라고 단순히 말하면 필요/충분조건 요런거에서 헷갈리는 말인거 같아요. 양쪽 state가 L2로만 표현되면 그냥 숫자로 바꿀수 있긴 할테니까요.

    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2014.05.23 19:24 신고  댓글주소  수정/삭제

      양쪽의 state가 L2공간에 속한다고 하면 더 문제가 되겠죠. 우변이 0이니까 좌변 또한 0이어야 한다는 결론이 나오는건데, square-integrable하면 우변이 0*(유한한 숫자)가 되어서 빼도박도 못하는 0이 되어버리니까요. 관측가능량의 commutator로 identity가 나오는 순간 관련 고유상태의 규격화(normalisation)에 문제가 생긴다고 보는 편이 맞는 것 같습니다.

    • Favicon of http://kipid.tistory.com BlogIcon kipid 2014.05.24 04:31 신고  댓글주소  수정/삭제

      처음부터 A, B에 x,p를 넣고 전개해보면...
      Then, we get the expectation value of the commutator
      <x|[x,p]|x> = (x^* - x) <x|p|x> = ? (0 곱하기 무한대 형태라 결론을 못내림.)
      여기서 ?가 '0' 이란 결론을 못내릴거란 이야기였는데...

      그렇기 때문에
      C \equiv [x,p]/i 라고 해도 => <x|C|x> = ? (위의 물음표와 같은 놈.)
      란 결론까지 밖에 안되지 않나요? 뭔가 다른 이야기인가;;;;

      x가 L2였다면야 <x|p|x>가 유한할테니 ?=0이라고 결론 내릴 수 있고. (있나??? p의 eigenvalue 중에 무한대가 있으면 이렇게 결론 내릴 수 없을수도 있는건가 =ㅇ=;;)
      [x,p]가 identity의 배수라고 할지라도 (\equiv c) => <x|c|x>=0 이란 결론이?
      아 이게 문제였구나;;; 제 이해가 뭔가 꼬였었네요.

      결론적으론 L2 Hermitian operator A,B의 commutator [A,B]는 indentity의 배수가 될 수 없다가 되겠네요. 신기하넹 -ㅇ-;;; (지금 제가 이해한것도 듬성듬성 논리가 뚫려있어서 천천히 다시 생각해보긴 해야겠네요.)

디락방정식을 기억만으로 재구성해보는 작업을 하고 있는데, 그 와중에 조금 정리할 필요가 있다 생각되어 쓰는 글.


디락방정식의 도입 동기는 매우 간단하다. 그 이전까지 제시된 방정식들에 문제가 있었기 때문. 슈뢰딩거 방정식은 시간과 공간을 같게 다루지 않으며(공간에 대해서는 이계미분, 시간에 대해서는 일계미분), 클라인-고든 방정식은 시간에 대해 일계가 아니라는 문제가 있다. 시간에 대해 일계가 아니면 갖는 문제는 초기조건을 충분히 주지 못하기 때문에 문제가 된다. 시간에 대한 미분은 위상의 변화와 관련이 있는데, 위상의 차이는 측정할 수 있어도 위상이 변하는 속도는 측정할 방법이 없기 때문.


\text{Schroedinger equation: derivatives on time and} \\\text{space are not treated on a equal footing.} \\i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x) \right ]\Psi \\\\\text{Klein-Gordon equation: the equation treats time} \\\text{as a second order derivative.} \\\left[\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}+m^2 \right ]\Psi=0\text{ (natural units)}


디락이 생각한 해는 상당히 간단하다. 클라인-고든 방정식에 제곱근을 취하는 것.


\text{Dirac's solution: take the root!} \\\^H=i\frac{\partial}{\partial t}\;,\;\^p=-i\frac{\partial}{\partial x} \\\\\left[-\frac{\partial^2}{\partial x^2}+m^2 \right ]\Psi=-\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Psi\text{ (natural units)} \\(\^p^2+m^2)\Psi=\^H^2\Psi \\\\\Rightarrow(\alpha\cdot\^p+\beta m)\Psi=\^H\Psi


이러면 \alpha\beta에 대해 다음과 같은 10개의 관계식을 얻는다.


\begin{matrix} \alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i=2\delta_{ij} & \cdots\text{ 6 equations}\\ \alpha_i\beta+\beta\alpha_i=0 & \cdots\text{ 3 equations}\\ \beta^2=1 & \cdots\text{ 1 equation} \end{matrix}


일단 \alpha\beta는 우리가 일반적으로 보는 숫자가 아닌 것은 확실하다. 제곱해서 1이 되며 다른 숫자와 곱했을 때 0이 되는 복소수는 없기 때문. 따라서 이 녀석들은 행렬로 보는 것이 타당하다. 제곱을 할 수 있으므로 행렬 중 정사각행렬이 되어야 하는데, 그렇다면 정사각행렬 중 몇 짜리 정사각행렬을 써야 할까? n\times n 행렬은 모두 n^2개의 자유도를 갖는다. 그런데 위에서 최소한 10개의 조건이 필요하다는 결론을 얻었으므로, 최소한 4\times4행렬이 필요하다는 것을 알 수 있다. 이렇게 되면 6개의 자유도가 남는데, 이 자유도는 어디에 쓸 수 있을까? 다시 원래의 디락방정식으로 돌아와 보자.(틀린 설명입니다.) 미분은 좌표계를 바꾸면 변하게 되어 있으나 정지질량은 변하지 않는다. 따라서 식을 좀 더 깔끔하게 쓰려면 다음과 같이 정리하는 편이 낫다.


\text{Dirac equation} \\(-i\alpha\cdot\nabla+\beta m)\Psi=i\frac{\partial}{\partial t} \Psi \\\beta m \Psi=i\left[\frac{\partial}{\partial t}+\alpha\cdot\nabla \right ]\Psi \\=i\left[\frac{\partial}{\partial x_0}+\alpha_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\alpha_2\frac{\partial}{\partial x_2}+\alpha_3\frac{\partial}{\partial x_3} \right ]\Psi


약간의 불만사항: 질량은 변하지 않는데 쌩뚱맞은 \beta가 붙어 있다. 양 변에 \beta를 곱해서 좀 더 보기 쉽게 만들어주고, 남는 6개의 자유도를 이용해(틀린 표현입니다) 이 숫자들에게 추가적인 제한조건을 걸어주도록 하자. 이 제한조건은 '로렌츠 변환을 만족할 것'. 로렌츠 변환은 결국 4차원에서의 회전에 해당하기 때문에 4C2=6개의 제한조건을 의미한다. 남은 6개의 자유도를 완벽하게 구속할 수 있다는 의미이다.


\text{Multiply each side by }\beta \\m \Psi=i\left[\beta\frac{\partial}{\partial x_0}+\beta\alpha_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\beta\alpha_2\frac{\partial}{\partial x_2}+\beta\alpha_3\frac{\partial}{\partial x_3} \right ]\Psi \\\\\text{Redefine the numbers: Introduce the }\gamma^\mu\text{ matrices.} \\\gamma^0\equiv\beta,\;\gamma^i\equiv\beta\alpha_i \\\Rightarrow\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu} \\\\\text{Introduce more restrictions (six) to impose} \\\text{covariance under Lorentz transforms.} \\L^\mu_{\;\nu}\equiv\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu},\;L^{\;\;\mu}_{\nu}\equiv (L^\nu_{\;\mu})^{-1}=\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\nu} \\\\x^\mu\to x'^\mu=L^\mu_{\;\nu} x^\nu,\;\partial_\mu\to\partial'_\mu=L^{\;\;\nu}_{\mu}\partial_\nu \\\gamma^\mu\to\gamma'^\mu=L^\mu_{\;\nu}\gamma^\nu \\\\\Rightarrow \gamma^\mu\partial_\mu\to\gamma'^\mu\partial'_\mu=L^\mu_{\;\nu}L^{\;\;\nu}_{\mu}\gamma^\nu\partial_\nu=\gamma^\mu\partial_\mu


이렇게 로렌츠 불변 형식의 디락방정식이 완성된다.


\text{Thus, the Dirac equation in its final form} \\\text{nicely incorporates Lorentz covariance.} \\\\m\Psi=i\gamma^\mu\partial_\mu\Psi\Rightarrow(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\Psi=0 \\\\(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\Psi=(i\gamma'^\mu\partial'_\mu-m)\Psi





나중에는 디락방정식의 감마행렬에 대해 클리포드 대수란 말이 나오게 되는데(기본적으로는 anticommute하는 숫자들에 대한 대수를 의미한다. n-form이 한 사례) 아직은 그렇게 복잡하게 생각할 필요는 없다고 생각해서 정리해봤다. 조금만 더 만지작만지작 거리면 spin이 자기모멘트를 나타낸다는 것과 g-factor가 2가 된다는 것도 보일 수 있는데(처음의 \alpha\beta를 쓰는 형식에서 운동량을 canonical momentum으로 바꾼 뒤 제곱해서 정리하면 자기장과 내적한 꼴의 에너지 항을 얻는다) 그것까지 하기는 귀찮다. 언젠가 (2)를 쓰게 되면 그때나...


사실 목적은 기억만으로 수소원자를 푸는 것이었는데(디락방정식을 이용해서 수소원자 모형을 풀면 답에 자연스럽게 fine structure까지 포함된다) 어디선가 헤매고 있다. 일단은 디락 양자역학 책을 열어봐야 하나.


공부합시다!




수정(24 Dec 2013)

감마행렬이 4X4 행렬이라는 논리전개과정이 매우 불분명해서 제외. 대수학을 좀 더 공부해야 할 필요가 있습니다 엉엉 ㅠㅠ

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  1. Favicon of http://chronowalker.tistory.com BlogIcon chronowalker  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    Psi 의 해석을 가만히 둔 상태로 Schrodinger equation 을 relativistic 한 형태로 바꾸고 싶으신 건가요? 그렇게는 단순히 수학적인 논리만으로 감마행렬의 크기가 4 임을 밝힐 수는 없을 것 같습니다만...

    2013.12.29 21:11 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2013.12.29 21:15 신고  댓글주소  수정/삭제

      안되더라구요(...) 정확히는 anticommute하고 제곱이 1인 행렬 넷은 4x4이상에서나 찾을 수 있다는 것을 보여야 하는데, 여태 참고한 책들 다들 대충 '2x2는 안되고 3x3도 안되니까 4x4로 한다'라는 식으로 설명해서 다른 설명은 없나 찾아보던 중이었습니다.

  2. Favicon of http://chronowalker.tistory.com BlogIcon chronowalker  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저도 궁금해서 좀 찾아 봤는데, 제가 약간 착각을 한 듯합니다. 이론하는 사람이 아닌지라, 명백한 결론을 내릴 때까지 시간을 쏟을 수 없지만 어느정도 가능해 보이는군요. 일단 클리포드 대수의 기본조건을 만족하는 행렬들이 작용할 수 있는 공간의 차원은 2^[d/2] 라고 합니다. [ ] 는 최대정수함수를 의미하구요. 실제로 응집물리에서는 저차원에서의 디락 방정식을 이용하기도 하니까 (이를테면 그래핀의 전자는 1+2 dimension 에서의 디락 페르미온으로 기술 가능하다던가...) 1+3 dimension 의 표현공간에 작용하는 클리포드 대수의 행렬표현의 크기가 4가 되어야 한다는 증명을 해볼 수 있을 것 같습니다.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Higher-dimensional_gamma_matrices 그리고
    http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=364399 또
    http://arxiv.org/pdf/hep-th/9811101v1.pdf 의 1장을 참고하였습니다.

    2013.12.29 23:33 신고

간단하게 보고있는 것과 보았던 것들.


1. David Tong: Lectures on Quantum Field Theory

http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html


병장 시절 군대에서 보던 것. 간단하게 '양자장론이 뭐 하는 녀석이냐' 알기엔 좋다. 상대론과 양자역학 공부만 제대로 했다면 읽을 수 있는 수준이라 생각됨. 재규격화나 루프가 나오지는 않는다. 200여 페이지.


2. Gerard t'Hooft, The Conceptual Basis of Quantum Field Theory

http://www.staff.science.uu.nl/~hooft101/lectures/basisqft.pdf


현재 읽고 있는 녀석. Tong의 Lecture note보다는 얇아서 좋기는 한데 이것도 마찬가지로 간략하게만 다룬다는게 특징. 80여 페이지.


3. Paul Adrien Maurice Dirac, The Principles of Quantum Mechanics


인터넷 잘 뒤지면(...) 스캔본이 나온다.[각주:1] djvu 확장자일테니 데자뷰 리더는 필수.[각주:2] 그 유명한 디랙 맞다. QED의 초창기 발전 방향을 알 수 있음. 사실 Dirac Equation쪽이 제일 인상적이었다. 군대에서 양자역학 공부하려고 빌린 책. 연습문제는 없지만 내용은 충실. 300여 페이지.

이 때 쓰던 notation은 현재 통용되는 notation과 조금 다르다는 것에 유의.


4. Franz Mandl & Graham Shaw, Quantum Field Theory


이것도 인터넷 잘 뒤지면(...) pdf를 구할 수 있다. Peskin 책이 나오기 전에 가장 많이 쓰이던 양자장론 교재인듯 싶다. 7장까지 읽다가(연습문제는 안 풀어봤으니 말 그대로 재미로 읽은거다) 그 이후에 Tong Lecture note 보느라 덮어두었던 기억이 난다. 500여 페이지.


5. Michael E. Peskin & Daniel V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory


이것 역시 인터넷 잘 뒤지면(...) djvu 파일을 구할 수 있다. 세 버전 정도 구했는데 하나는 그림이 전부 깨졌고(pdf였다), 하나는 스캔본이었고, 하나는 괜찮았지만 페이지 하나가 아예 스캔이 안되어있었다는 단점이 있었다. 어떻게든 조합하면 쓸만하긴 하다만(...). Tong Lecture note를 보다가 이해가 안 되는 부분이 있으면 참조했던 책. 양자장론 교재로 제일 많이 쓰인다는데 난 정규교육을 받은 적이 없으니 그런걸 알 리가 있나.(대학원 2-3학년 과정이다) 가장 두껍다. 800여 페이지.


4&5번이 정식 교재이다. 1&2는 맛봬기로 독학하기에 좋은듯. 3은 사실 오래된 책이라 재미로 읽는 정도? 그래도 읽다 보면 디랙이 천재는 천재구나 하는 것을 느낄 수 있다. Griffiths 양자역학에 디랙방정식과 QED를 간략하게 넣으면(?) 이 책이 된다. 다만 Solid State Physics의 근간이 되는 Bloch's theorem은 등장하지 않는다. Sakurai의 Modern Quantum Mechanics처럼 양자역학에 대한 특이한 접근법이 인상적이다.

  1. 스캔본이란 스캔이 잘못되어서 문서 중심이 안 맞는다던가 하는 문제가 있는 파일을 말함. [본문으로]
  2. djvu파일 특성상 스캔의 오탈자가 많다. djvu 파일은 글자 세트 하나를 저장하고 이 글자들이 종이 어디에 배치되어 있는지 기록하는 방식인데 스캔을 잘못하면 원래 글자가 아닌 다른 글자로 인식해서 대응시켜 버리기 때문. [본문으로]
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이전에 쓴 글 중 양자역학의 유래라는 글이 있었다. 현대 양자역학의 근간이 되는 파동방정식 풀이법과 행렬을 이용한 선형대수 연산 및 고유값을 사용하게 된 기원 등을 다룬 글인데,[각주:1] 오랜만에 덧붙일만한 내용이 생각나서 새로운 글을 쓰기로 했다.


저번 글에서 양자역학이 형성되어 온 두가지 갈래길을 알아보았다. 이번에는 그 두 갈래길이 남아 아직도 영향을 미치고 있는 묘사(picture)에 대해 살펴보자.


수업을 듣던 중 교수님께서 에너지나 운동량 등의 측정값이 양자화되는 이유를 질문하셨다. 누군가가 경계조건(boundary condition)으로 고유값이 결정되기 때문이라고 했고 교수님은 공부를 열심히 했다고 칭찬하시고는 넘어가셨는데 필자가 보기에는 반만 맞는 답이었다. 하지만 타과생인지라 물리학과에 반기를 들기보다는 조용히 넘어갔다. 어째서 반만 맞는 답일까?


양자역학은 두 경로를 통해 발전했다. 하나는 슈뢰딩거(Erwin R. Schrödinger)의 '파동성을 핵심으로 하는 파동역학'이고, 나머지 하나는 하이젠베르크(Werner Heisenberg)의 '양자성을 핵심으로 하는 행렬역학'이다. 파동역학을 양자역학의 원류로 본다면 물리량이 양자화되는 이유는 경계조건이 존재하기 때문인 것이 맞다. 하지만 행렬역학을 양자역학의 원류로 본다면 물리량의 양자화는 공리(postulate)가 된다. 실제 양자역학은 두 원류가 합쳐진 형태로 발전했기 때문에 이런 의미에서 그 답은 반만 맞는 것이다. 그렇다면 이 두가지 관점은 어떻게 남아있을까?


슈뢰딩거의 파동역학은 전자파(electron wave-electromagnetic wave가 아니다!)와 같이 물체에게 파동성이 존재하므로 이미 존재하는 파동광학 등의 결과를 물질로 확장하는 것으로부터 출발하였다. 때문에 시간에 따라 변하는 것은 물질의 상태(state)가 되고, 이것이 반영되어 측정하는 물리량(operator를 말한다)은 시간에 불변하는 것으로 간주되었다. 빛이 화면에 닿아 상을 만들 때 화면의 상태가 변하기 때문에 화면에 그려지는 상이 변화한다고 보기보다는 빛의 상태가 변하기 때문에 상이 변화한다고 생각하는 것이 더 자연스럽지 않은가? 우리가 존재하는 공간이 변화한다고 보는 것보다는 그 공간에 놓인 물질이 변화한다고 보는 것이 아무래도 자연스럽기 때문에 대부분의 학부 양자역학 교재에서는 슈뢰딩거 묘사(Schrödinger picture)를 쓰는 경우가 많다. 슈뢰딩거 묘사를 쓸 경우 운동방정식은 다음과 같다. 잘 보면 고전적인 파동방정식과 닮았다.


\dot{\left|\psi\right>}=\frac{\bold{H}}{i\hbar}\left|\psi\right>


이번엔 하이젠베르크의 행렬역학을 따라가 보자. 하이젠베르크의 행렬역학은 전 글에서 설명했다시피, 물리량을 측정할 경우 그 값이 양자성을 가진다는 것에서부터 출발하였다. 수소원자스펙트럼은 불연속적으로 분포되어있지 않은가. 그렇기 때문에 하이젠베르크에게 변화하는 것은 물질의 상태가 아닌 물질의 측정값, 즉 물리량이 변화하게 된다. 같은 물질을 다른 시간에 측정하면 다른 물리량을 내놓는 것이므로 물질은 그대로 있고 물리량이 변화해야 한다는 의미이다. 안을 알 수 없는 기계장치가 들어있는 상자가 있고 그 상자의 벽에 화면이 설치되어 있어 시시각각 변화하는 숫자를 보여준다고 상상해보자. 이 경우 상자 자체가 변화한다기 보다는 상자의 화면에 찍히는 숫자가 변화한다고 보는 것이 자연스럽다. 하이젠베르크 묘사(Heisenberg picture)를 쓸 경우 운동방정식은 다음과 같다. 해밀토니안 역학에서 이런 방정식을 본 적이 있을 것이다.


\dot{\bold{A}}=\frac1{i\hbar}\left[\bold{A},\bold{H}\right]+\frac\partial{\partial{t}}\bold{A}


마지막으로 흔히 상호작용 묘사(interaction picture) 혹은 폴 아드리엔 모리스 디락(Paul Adrien Maurice Dirac)의 이름을 딴 디락 묘사(Dirac picture)를 생각해보자. 이 묘사방법은 양자장론(Quantum Field Theory)이 등장하면서 입자가 만들어지고 사라지기니 특정한 상태를 규정짓기가 힘들어지자 도입한 것으로 볼 수 있다. 물리적인 계(system)의 진화를 규정짓는 것이 해밀토니안(Hamiltonian)인데 이 묘사에서는 해밀토니안을 두가지로 나눈다. 일반적으로 우리가 측정하는 '입자'를 만들어주는 자유장 해밀토니안(free field Hamiltonian)과[각주:2] 이 입자들 사이의 상호작용을 기술하는 상호작용 해밀토니안(interaction Hamiltonian)으로 나누고, 각각 H_0와 H_int로 이름붙인다. 우리가 측정하는 모든 물리량은 자유장 해밀토니안에 따라 변화하고, 우리가 측정할 대상이 되는 상태들은 상호작용 해밀토니안에 따라 변화한다. 하이젠베르크 묘사를 설명하면서 쓴 예제를 사용해 본다면 상자의 화면에 등장하는 숫자가 변화하는데, 상자 자체도 조금씩은 모양을 바꾼다는 것으로 생각할 수 있다. 상자의 모양에 따라 화면에 등장하는 숫자 또한 영향을 받는다면 1. 상자의 모양마다 숫자가 어떻게 나타나는지 2. 상자의 모양이 시간에 따라 어떻게 변화하는지로 나누어 설명하는 것이 편리하다. 때문에 상호작용 묘사에서는 운동방정식이 조금 복잡하다.


\bold{H}=\bold{H_0}+\bold{H_{int}}\\ \dot{\bold{A}}=\frac1{i\hbar}\left[\bold{A},\bold{H_0}\right]+\frac\partial{\partial{t}}\bold{A}\\ \dot{\left|\psi\right>}=\frac{\bold{H_I}}{i\hbar}\left|\psi\right>\\\\ \text{where }\bold{H_I}\text{ is the solution of}\\ \dot{\bold{H_I}}=\frac1{i\hbar}\left[\bold{H_I},\bold{H_0}\right]+\frac\partial{\partial{t}}\bold{H_I}\\ \bold{H_I}(t=t_0)=\bold{H_{int}}


물리 덕후 소리를 들을 정도로 이곳 저곳 다 파고 들어가며 닥치는대로 공부하다 보니 물리학 개념이 어떻게 발전해왔는가에 대해서도 이것 저것 알게 된 것이 많다. 아무래도 이런 이해가 있다 보니까 정리가 좀 잘 되는듯. 다음 학기 학부 졸업논문이나 잘 써야 할텐데...

  1. 엄청나게 많은 깨져있는 수식을 복구하느라 조금 힘들었다. 이런 글 엄청 많을텐데...ㅠㅠ [본문으로]
  2. 이 '입자들'로 상태공간을 확장(span)하기 때문이다. 아무래도 알기 쉬운 것들로 공간을 나타내는 것이 더 보기 좋으니까. [본문으로]
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디랙해Dirac sea를 항해하는 히치하이커들. 그들은 겔만의 팔정도Eightfold way를 가슴에 품고 파인만 도표Feynman diagram를 지도삼아 슈뢰딩거의 고양이Schrodinger's cat와 함께 하이젠베르크의 불확정성Heisenberg's uncertainty principle을 극복하며 나아간다.[각주:1] 그들을 위한 항해의 안내서를 공개하니 도움이 되기를 바란다.

1. Second Creation
The Second Creation (Reprint, Paperback)
Crease, Robert P./Rutgers Univ Pr
현대 물리학이라고 하면 대부분 초끈이론을 떠올리지만 실세는 표준모형이다. 아직 초끈이론이 이론의 수준에 머물러 있는 반면 표준모형은 쏟아지는 새로운 물리현상들을 설명하기 위해 도입되었고 물리 현상을 포괄적으로 설명할 수 있는 "실험적으로 검증된" 이론이다. 하지만 표준모형에 대한 교양서는 찾아보기 힘들다.

몇 안 되는 표준모형의 역사를 다루는 책인 Second Creation은 표준모형을 만든 사람들의 이야기이다. 항상 계산을 틀리고는 했다는 맨하튼 프로젝트Manhattan Project의 오펜하이머J. R. Oppenheimer, 말이 없는 것으로 유명한 디랙P. A. M. Dirac, 봉고를 치고 다니며 직관을 중요하게 생각했던 파인만R. Feynman, 돈 벌어 먹고 살만한게 없어 물리를 했다는 말이 있을 정도로 다방면에서 뛰어난 재주를 보였던 겔만M. Gell-Mann 등 표준모형이라는 건축물의 주춧돌을 깎아냈던 개성 넘치는 사람들의 이야기는 읽는 이의 시간을 흡입하는 마력이 있다.

더군다나 고등학교 물리 시간에 배우는 톰슨J. J. Thomson의 푸딩모형과 우리가 현재 원자력을 하면 떠올리는 원자핵이 가운데에 있고 전자가 그 주위를 도는 그림의 원인을 제공한 러더퍼드E. Rutherford의 실험들의 비화 또한 즐겁게 읽을 수 있다. 방사능의 위험이 알려지지 않았던 시대에 고도로 농축된 방사성 물질으로부터 화상을 입어 가면서 새 물리학의 기둥을 새웠던 실험가들의 이야기와 양자역학을 태동시킨 보어N. Bohr, 하이젠베르크W. Heisenberg, 슈뢰딩거E. Schrodinger의 일화는 물리에 관심있는 사람들에게 도움이 될 것이다. 더군다나 깊게 공부하고자 하는 사람들이라면 덴마크 사람인 보어가 영국으로 유학가서 지냈던 불행한 시절에 대해 조금이라도 알아야 하지 않을까?

다만 아쉬운 점이라면 상대적으로 오래 된 책(80년대면 현대물리학에서는 근대이다)인지라 표준모형에 아직 3세대 입자, 그러니까 Top, Bottom 쿼크와 타우 입자Tauon가 도입되기 전까지의 역사까지만 다루고 있다는 것이다. 하지만 현재 이론에 대한 이해와 해석이 과거와는 다르다고 해서 과거의 이해와 해석이 전혀 쓸모없는 것은 아닌 것처럼, 누락된 역사는 이 책의 아쉬운 점이 될 수는 있을지언정 오점이라고 할 수는 없을 것이다.


2. 엘러건트 유니버스

엘러건트 유니버스
브라이언 그린 지음, 박병철 옮김/승산
초끈이론의 전도사라 할 수 있는 그린B. Greene의 초기작이다. 후속작이었던 『우주의 구조』는 어려워서 읽다가 중도에 포기했는데(106페이지였을 것이다) 이 책은 끝까지 읽을 수 있었다. 아무래도 중학생이 소화하기에는 무리였던 것일까?

"현대물리학이란 초끈이론이구나"라는 스테레오타입을 만들어낸 장본인(그리고 미드 빅뱅이론은 이 편견을 더욱 공고하게 만들었다)이라 할 수 있을 정도로 이해하기 쉽게 잘 쓰여진 책이다. 더 이상의 설명이 필요없을 정도로 괜찮은 책. 다만 현재 서점에 쏟아지는 책들이 죄다 초끈이론에 그 기반을 둔 책들인지라 새로운 관점을 원한다면 다른 책이 더 나을 것이다.


3. Concepts of Space
공간개념
막스 야머 지음, 이경직 옮김/나남출판
(원서가 없어 번역본으로 대체)
어렵다. 철학을 전공하는 사람들도 참고한다고 하니(칸트까지만 하더라도 시공간은 철학의 일부였다.) 그 난이도가 짐작이 가리라. 더군다나 책 중반 이후부터는 원문을 수록하는데 읽은 책이 영어였으니 수록된 원문은 불어와 독일어 등. 덕분에 인용문은 하나도 못 읽었다. 순전히 독자의 능력 부족이기는 하다만.

"공간이란 무엇인가"에 대한 옛 사람들의 생각부터 현대의 생각까지 상세하게 수록하고 있다. 옛 희랍 시절의 사람들이 기발한 논리로 공간을 무엇으로 정의하고 어떻게 생각하였는지, 유대인의 카발라Cabala가 어떻게 기독교 세계관에 영향을 주었는지, 뉴턴의 공간에 대한 가설에 대한 당대 신학자들이 어떻게 비판하였는지 등에 대해서도 담고 있어 물리학 교양서라고 보기에는 애매한 감이 있다. 더군다나 후반으로 갈 수록 현대물리학의 입김이 반영된 "시공간은 어떠한가"에 대한 답변은 관련 전공의 전공지식이 없으면 이해가 불가능할 정도로 어려워진다. 불가해한 것으로 여겨졌던 문장들이 일반상대론을 조금 공부하고 나니 깨우쳐진다면 교양서로서는 낙제다.

또 다른 아쉬운 점이라면 서양쪽의 역사에 치우쳐 동양에서 공간의 개념은 어떻게 발전하였는지 나오지 않는다. 다만 현대의 시공간에 대한 관념은 거의 서양 사상이 원류가 되니 동양의 역사가 도입되면 오히려 책의 통일성만 방해할 위험이 있다는 것은 인정해야겠지.


4. Three Roads to Quantum Gravity
Three Roads to Quantum Gravity (Reprint, Paperback)
Smolin, Lee/Perseus Books Group
(번역본도 나와 있습니다)
현대 물리학의 최전선에 서 있는 이론들에 대한 책은 대부분 초끈이론에 그 초점이 맞추어져 있다. 그도 그럴 것이 초끈이론은 미국에서 대단히 흥행하고 있는 이론이고 한국은 미국의 영향을 많이 받기 때문이다. 그렇다면 현대물리학의 거장들이 활동하고 있는 다른 지역으로 렌즈를 돌리면 어떤 그림이 나오게 될까?

2차대전 이전에는 하이젠베르크와 아인슈타인A. Einstein, 슈뢰딩거 등 독일이 당대 물리학의 최전선에 서 있었고 2차대전 이후에는 그 사람들이 나치를 피해 건너간 미국에서 파인만, 겔만, 와인버그S. Weinberg 등이 현대물리학의 초석을 닦았다. 하지만 현대물리학의 거장들이 그들만 있던가. 뉴턴경Sir I. Newton의 역사를 물려받은 영국에는 펜로즈R. Penrose와 휠체어 위의 지성 호킹S. Hawking박사가 있다.

특이하게도 셋 다 중력에 대한 연구로 이름이 널리 알려져 있다. 그래서일까? 중력의 양자화에 대한 전반적인 접근을 다루는 책이 영국에서 나왔다는 사실에 자연스레 고개가 끄덕여진다. 이 책은 제목에서처럼 중력을 양자화하는 접근법들에 대한 책이다.

중력을 양자화한다는 것은 무엇을 의미할까? 잘 알다시피, 전하는 연속적인 분포를 갖지 않는다. 전자가 가지고 있는 전하량이 일정하고 이 전하량이 기본 단위가 되어 전하를 결정하기 때문이다. 마치 158,259.82원짜리 핸드폰을 생각할 수는 있지만, 실제 현금으로 이 핸드폰을 살 때에는 158,250원이나 158,260원으로밖에 거래를 못 하는 것처럼 말이다. 이런 식으로 물리 법칙에 근본적인 비연속성을 도입해주는 것을 양자화된 이론이라고 부른다. 플랑크M. Plank는 빛의 에너지에 비연속성을 도입해서 흑체복사black body radiation를 성공적으로 설명했고, 보어는 원자 궤도에 양자성을 도입해 수소원자의 스펙트럼을 설명하는데 성공했다. 디랙과 파인만은 여기에서 더 나아가 전자기력의 상호작용까지 양자화하는데 성공하는데, 이것을 두고 양자전자기학Quantum ElectroDynamics, 혹은 양자장론Quantum Field Theory이라고 한다. 다만 아직 양자화가 완전하지 못한 힘이 있는데, 바로 아인슈타인의 일반상대성이론으로 설명되는 중력이다.

중력에 양자성을 부여하는 한 가지 방법은 우리가 잘 알고 있는 초끈이론이 있고, 다른 하나는 약간은 생소한 루프 양자중력 이론이다. 둘의 접근방법은 약간 다른데, 초끈이론이 힘을 매개하는 입자들(보존boson이라고 부른다)의 존재에 뿌리를 둔다면 루프 양자중력 이론은 반대로 시공간이 양자화되어있을 경우 만족할 방정식으로부터 출발한다. 마지막 한 가지 접근법은 아예 백지 상태로부터 출발해 물리 이론을 쌓아 나가는 것으로(예컨데 시공간이 있다는 가정에서 출발하지 않고 이론의 중간 과정으로 시공간을 정의하는 방식이다) 펜로즈의 트위스터 이론이 여기에 해당하나 다른 이론들도 있다고 한다. 이 책에서는 앞서 서술한 이 세가지 이론들을 서로 비교하며 중력을 양자화하기 전까지는 알 수 없었던 시공간의 다양한 측면들을 파헤친다. 초끈이론 말고 다른 현대물리학의 이론을 접할 기회가 없었던 사람들에게 이 책은 신선한 충격이 될 것이다.

그렇다면 저자는 무엇이 궁극적인 중력의 양자이론이 될 것이라고 생각하는 것일까? 저자는 현재 알려진 중력에 양자성을 부여하는 이론들은 결국 진짜 이론의 한 단면일 것이라고 말한다. 마치 코끼리의 코를 만졌던 장님과 귀를 만졌던 장님의 대답이 달랐던 것처럼 우리가 알고 있는 이론들은 맞지는 않지만 그렇다고 현실과 아예 동떨어진 것은 아니라는 것이다. 저자의 바람처럼 수십년 이내에 중력의 양자적 성질이 전부 밝혀질 것인지 기대해 보자.

5. Programming the Universe
Programming the Universe (Reprint, Paperback)
Lloyd, Seth/Random House
(번역본도 나와 있습니다)
이미 한 번 서평을 쓴 적이 있는 책(2008/12/24 - [자연과학] 세스 로이드, 프로그래밍 유니버스)이지만 조금 부족한 것이 있다 싶어 부연설명을 단다.

다른 교양서적과는 다르게 이 책은 새로운 이론을 소개하는 책은 아니다. 단지 "새로운 해석"을 소개하는 것일 뿐. 초끈이론이 세계를 "고차원의 끈들이 공명하는 무대"로 묘사했다면 이 책에서는 우주가 "0과 1들이 벌이는 축제"로 치환된다. 이 책에서는 세계가 숫자들의 잔치라는 그림으로 그려지더라도 그 세계를 설명하는 수식들은 이전의 물리학과 전혀 다를 것이 없다. 몬드리안P. Mondrian의 추상화에서 누구는 냉혹한 아름다움을 느끼고 누구는 이성의 차가움을 느낀다는 것이 비슷한 비유이려나.

관측하는 순간 그 물체는 그 상태로 붕괴한다는 고전적인 코펜하겐 해석, 양자역학적으로 주어진 다양한 가능성들은 각기 그 가능성대로 발현한다는 다세계해석 말고 제 삼의 길을 찾는 사람들에게 이 책은 흥미로운 읽을거리가 될 것이다.


6. 생각의 기차
생각의 기차 1
이상하 지음/궁리
생각의 기차 2
이상하 지음/궁리
벤젠고리는 꿈에서 등장한 자기 꼬리를 문 뱀의 형상을 통해 유명해졌고, 페니실린은 열악한 연구실 환경에서 곰팡이가 잘못 자란 덕분에 여러 사람을 살릴 수 있었다. 비슷한 많은 사례들 때문인지 새로운 과학적 발견은 행운(serendipity)이 필수불가결하다고 생각하는 경우가 간혹 있게 되는데, 실제 발견의 현장은 그러할까? 새로운 발견은 어떤 과정을 통해 만들어 지는 것일까?

과학적 발견이라 하면 과학이 내딛는 걸음 하나 하나를 말한다. 지금 이 시대의 과학은 다각형과 사원소설로 우주 만물의 움직임을 설명하던 요람에서 보이지 않는 미립자들을 관측하고 수많은 괴질들을 정복하는 먼 길을 걸어왔다. 그 먼 길을 걷는 동안 남겨 놓은 발자국들이 모두 앞선 예제들처럼 드라마틱한 이야기를 가지지는 않았을 터. 그렇다면 과학이 남은 발자취에는 어떤 것들이 있을까?

저자는 총 열 두가지 분류로 발자국들을 분류하고 그 분류를 따라 발자국들을 되짚는다. 그 발자취에는 과학이 발달하던 시대적 배경과 그 시대의 한계도 드러나고 새로이 발견된 현상들에 대한 과학자들의 대담한 가설과 보수적인 견해가 서로 배치되며 나타나기도 한다. 이 긴 여정 속에서 점차 분명해지는 것은, 으레 믿는 '과학은 천재들의 거대한 도약으로 쌓아올린 상아탑'이라는 신화가 과학이라는 빙산의 왜곡된 일각에 불과하다는 사실이다.

과학이라는 길을 걷고자 하나 자신의 능력에 믿음이 없는 사람들에게 이 책이 과학을 둘러싼 경외의 환상을 벋겨내고 자신감 있게 길을 내딛는 데 도움이 되리라 믿는다.


7. Feynman's Rainbow

Feynman's Rainbow (Reprint, Paperback)
Mlodinow, Leonard/Grand Central Pub
(번역본도 나와 있습니다)[각주:2]
서점의 과학 코너에 들어가면 반갑게 맞아주는 수많은 책들로 이름을 널리 알리는 파인만씨. 그 사람은 어떤 삶을 살았을까.

저자는 박사과정을 막 마친 후 박사후연구원으로 물리학계의 전설 파인만과 겔만이 있는 칼텍으로 오게 된다. 낯선 환경, 잘 해야 한다는 압박 속에서 만난 파인만. 이 책은 당시 항암 치료로 고생하며 젊음을 잃어버린 후년의 파인만과 나누었던 대화들을 재구성한 것이다. 공자와 그 제자들 사이의 대화를 적은 『논어』에서 공자의 사상을 엿볼 수 있는 것처럼 이 책에서는 천재라는 베일에 가려져 잘 드러나지 않았던 파인만의 삶과 사상이 드러난다.

아직도 기억에 남는 대화를 옮겨 본다.

"And what do you think was the salient feature of the rainbow that inspired Descartes's mathematical analysis?" he asked.
"I give up. What would you say inspired his theory?":
"I would say his inspiration was that he thought rainbows were beautiful..."
 
"그리고 데카르트가 수학적으로 분석하도록 한 무지개의 본질적인 특징은 무엇이라고 생각해?" 그가 물었다.
"모르겠는데요. 데카르트의 이론에 불을 지핀게 무어라 하시겠습니까?"
"나는 데카르트가 무지개가 아름답다고 생각해서라 하겠어..."
p.s. 신판본도 있어 링크를 걸어둔다.
Feynman's Rainbow (Paperback)
Mlodinow, Leonard/Random House Inc


8. 세상에서 가장 아름다운 실험 열 가지
세상에서 가장 아름다운 실험 열 가지
로버트 P. 크리즈 지음, 김명남 옮김/지호
우리는 왜 자연에 대해서 알기를 열망하는 것일까. 그건 자연이 아름답기 때문이다. 그리고 자연이 아름답기 때문에, 자연이 감추어 둔 보석을 드러내는 실험 또한 아름다울 수 밖에 없다.

책에 대한 평가는 이전에 쓴 서평으로 대신한다.(2011/06/05 - 로버트 P. 크리즈 저 김명남 역, [세상에서 가장 아름다운 실험 열 가지]) 부연설명은 불필요하다고 믿는다.


9. 기타
스트링 코스모스
스트링 코스모스
남순건 지음/지호
거의 유일하다시피 한 국내 과학자의 초끈이론에 대한 교양서. 얇고 무난하지만 두어 번인가 오타가 있어 신경쓰였다. 이전 서평(2009/03/24 - 남순건, [스트링 코스모스])

신은 주사위놀이를 하지 않는다
신은 주사위 놀이를 하지 않는다
츠즈키 타쿠지 지음, 김하경 옮김/더블유출판사(에이치엔비,도서출판 홍)
오역만 기억나는 교양서. 소설의 형식을 차용해서 그런지 NNT의 블랙 스완이 연상되는 부분도 있다.[각주:3] 이전 서평(2009/04/14 - 츠즈키 타쿠지, [신은 주사위 놀이를 하지 않는다])

과학 철학
과학 철학
이상하 지음/철학과현실사
어렵기도 하고(후반부는 머리에 우겨넣는다는 생각으로 읽었다) 과학철학에 관심이 없는 사람이라면 전혀 상관없는 책이다. 과학철학이 쿤의 패러다임과 포퍼의 반증가능성이 전부라고 생각하는 사람한테는 다른 견해들을 접해볼 수 있는 기회가 될 듯. 에너지와 운동량에 대한 생각이 역사적으로 어떻게 변해 왔는지에 대해서도 다루고 있다. 서평이 아직도 쓰다 만 채 보관고에서 숙성되는 모양이다.

싸우는 물리학자
싸우는 물리학자
다케우치 가오루 지음, 박재현 옮김, 전영석 감수/시공사
연예인 x파일이라는 것이 한창 화제가 된 적이 있었다. 간단히 설명하자면 물리학자 x파일이다. 물리학 교재에서 간간히 보이는 이름들의 인간적인(?) 부분을 볼 수 있다. 이전 서평(2009/03/14 - 다케루치 가오루, [싸우는 물리학자])

밤의 물리학
밤의 물리학
다케우치 가오루 지음, 꿈꾸는과학 옮김/사이언스북스
"밤의"이라는 수식어는 무림식으로 쓴다면 사파(邪派), 역사식으로 쓴다면 야사(野史). 물리학 전체 커뮤니티에서 일반적으로 통용되지 않는 가설들과 이론들을 다루는 책인데 워낙 이쪽 구석구석을 다 쑤시고 다니는지라 새로운 것은 없었다. 이전 서평(2009/01/07 - 다케우치 가오루, [밤의 물리학])



  1. 재미없는 말장난이다. [본문으로]
  2. 만 품절로 Fail [본문으로]
  3. 논리보다는 이야기가 더욱 쉽게 받아들일 수 있어 그런 구성을 취한다고 했다. [본문으로]
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  1. Favicon of http://blog.daum.net/kipid BlogIcon kipid  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    잘 읽었습니다. 재밌는 교양 과학 서적?이 많았군요.
    원래는 이런책들에 별로 관심이 없었는데,
    서평 읽으니 시간 날 때 한번 읽어보고 싶어지네요 ^^.

    2012.05.16 22:40 신고
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    간 날 때 한번 읽어보고 싶어지네요 ^^.

    2012.05.28 12:58 신고

Feynman Lectures 3권의 (21.1) 식은 다음과 같다.

\left< b | a \right>_{\text{in } \bold A}=\left< b |a\right>_{\bold A=0}\cdot\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]

무슨 뜻인고 하면, 자기포텐셜 A가 존재할 때 전이확률을[각주:1] 구하려면 A가 0일 때의 전이확률에 자기포텐셜을 선적분한 만큼 추가적인 위상을 곱해주어야 한다는 것이다. 이 뜬금없는 식은 어디에서 등장한 것일까? 어떤 이유에서든 양자물리는 고전역학에 뿌리를 두고 있으므로 고전역학의 어디에서 왔는지 살펴보자. 먼저 Lagrangian in Electromagnetism에서 마지막 결과물로 얻은 고전적인 장-전하 반응 Lagrangian을 끌어오자.

L=\sum_j\frac1{2}m\dot{x_j}^2-q(\varphi-\dot{x_j}A_j)=\frac1{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}-q(\varphi-\vec{v}\cdot\vec{A})

여기에 Legendre 변환만 취해주면 Hamiltonian을 얻는다. 치환하고자 하는 물리량은 속도 벡터. 일단 Lagrangian을 좌표의 시간변화율로 편미분해주자.

p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot {x_i}}=m\dot{x_i}+qA_i

conjugate momentum을 구했으니 Legendre 변환을 취한다.

H= \sum_i p_i\dot{x_i}-L=\sum_i\frac12m\dot{x_i}^2+q\varphi

얼레. 이상한 포텐셜도 끼어들었는데 제대로 된 에너지가 결과로 나왔다. 하지만 명심해야 할 사실은, Hamiltonian은 좌표의 시간변화율이 끼어들 자리가 없다는 것이다. d(x_i)/dt를 p_i로 바꾸어주어야 한다는 사실을 잊지말자.

\dot{x_i}=\frac{p_i-qA_i}m \\\therefore H=\sum_i\frac1{2m}(p_i-qA_i)^2+q\varphi

이제 Schrodinger equation으로 자기력을 다룰 때 어째서 괴상한 방식으로 자기포텐셜이 도입되었는지 그 유래가 조금은 보일 것이다. 이제 Schrodinger 방정식을 풀어보자. 일반적으로 이 방정식을 풀 때 상태함수는 위치좌표를 기저로 쓰므로 운동량을 적당히 바꾸어 넣는다.

H=\frac1{2m}(-i\hbar\vec\nabla-q\bold A)\cdot(-i\hbar\vec\nabla-q\bold A)+q\varphi

우변의 첫 항이 사실 좀 많이 거슬린다. 계산이 너무 귀찮게 생겼다. 그런데 운동량과 자기포텐셜이 뒤섞여 있는 저 항은 잘 하면 계산하기 쉽게 바꿀 수 있을 것도 같다. 먼저 위의 Hamiltonian을 다시 써보자.

H=-\frac{\hbar^2}{2m}(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)\cdot(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)+q\varphi

다음 방정식은 쉽게 보일 수 있다. 이 녀석을 응용할 수 있지 않을까? (F는 f의 역도함수)

\left(\frac{d}{dx}-f(x)\right)g(x)~e^{F(x)}=g'(x)~e^{F(x)}

일단 입자가 a에서 b까지 1차원 경로로 이동하는 경우는 다음과 같이 쓰면 쉽게 정리할 수 있다.

\Psi(x,t)=\Psi_0(x,t)\cdot\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]

적분이 아직 난감하다고 해도, 미분은 엄청 간편해졌다.

i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=H\Psi=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)\cdot(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)+q\varphi\right]\Psi \\=\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]\cdot\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+q\varphi\right]\Psi_0 \\=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left(\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]\cdot\Psi_0\right)

특히, A가 시간과 무관한 경우라면 계산이 엄청나게 간단해진다.

i\hbar\frac{\partial\Psi_0}{\partial t}=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+q\varphi\right]\Psi_0

이제 처음에 등장한 식이 어떻게 얻어졌는지 조금은 보일 것이다.
  1. 실제 확률은 절대값의 제곱을 취하지만, 여기서는 간단히 두 상태의 내적으로 취급하자. [본문으로]
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  1. ㅋ_ㅋ  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    berry's phase네
    물론 엄청 간단한 경우지만

    2010.12.24 03:04 신고

양자역학에서 상태는 추상적인 켓(ket)벡터 \left|\psi\right\rangle로 나타난다. 이 벡터가 시간에 따라 진화하는 법칙이 슈뢰딩거(E. Schrödinger) 방정식으로, 1926년 처음으로 변위(x)에 대한 식을 유도해낸 이의 이름을 붙인 것이다. 당시 슈뢰딩거가 식을 유도해내었을 때에는 위 벡터를 변위공간에 투영한 것(\psi(x)\equiv\left\langle{x}\middle|\psi\right\rangle)의 시간에 따른 진화를 다루는 방정식이었고, 그 방정식의 생김새를 보고 파동함수라고 이름붙였다. 나중에 상태를 추상적인 벡터로 나타내기 시작한 것은 디랙(P.A.M. Dirac)의 업적이다.[각주:1]

이름에서 알 수 있듯이, 슈뢰딩거는 입자가 보이는 파동적 성질에 착안해서 방정식을 만들었다. 드브로이(L. de Broglie)가 빛의 양자성에서 영감을 얻어 제시한 물질파 가정은 물질에 파동적인 성질이 존재한다는 것을 암시한다. 물질의 파동적인 성질은 이후 전자를 이용한 회절실험과 간섭실험으로 증명되었고, 슈뢰딩거 방정식에 등장하는 2계미분의 근간이 되었다.[각주:2] 1차원 입자 하나에 대해 쓰는 슈뢰딩거 방정식이 다음과 같이 생기게 된 것은 그 때문이다.[각주:3]

i\hbar\frac\partial{\partial{t}}\Psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\Psi(x)+V(x)\Psi(x)
1차원, 입자 하나의 슈뢰딩거 방정식

이렇게 슈뢰딩거가 물질이 가지는 파동적인 특성에 집중하고 있던 사이, 하이젠베르크(W. Heisenberg) 등은 물질이 가지는 양자적인 특성(측정값이 불연속적으로 나타나는 특성)에서 영감을 얻어 행렬역학(Matrix mechanics)을 창시했다. 탄생 자체가 측정만 염두에 두고 만들어져서 그런지 양자역학에서 측정에 대한 모든 가정들은 행렬역학에서 유래하였다. 고전역학과 양자역학이 대비되는 대표적인 특징인 '측정의 결과는 고유값(eigenvalue) 중 하나이다'가 행렬역학의 핏줄을 이어받은 것이다.

두 접근법을 잘 드러낼 수 있는 고전역학적인 예는 1차원상에서 두 질점이 후크의 법칙(Hooke's law)에 따라 상호작용을 하는 경우다. 다음 그림을 보자.

x가 이상하게 쓰인건 무시하자

평형거리를 s라고 둔다면, 위 상황에서 운동방정식은 다음과 같다.

m_1\ddot{x_1}=k(x_2-x_1-s)\\m_2\ddot{x_2}=-k(x_2-x_1-s)

또는,

m_1\ddot{y_1}=k(y_2-y_1)\\m_2\ddot{y_2}=-k(y_2-y_1)\\y_1\equiv{x_1},~ y_2\equiv{x_2-s}

슈뢰딩거의 해법은 위 두 방정식을 더하고 빼서 각각 하나의 변수에만 의존하는 방정식으로 만드는 것이다. '직접적인 해법'이라고 할 수 있을 것이다.

\ddot{(m_1y_1+m_2y_2)}=0 \\\ddot{(y_1-y_2)}=-\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}(y_1-y_2)

윗식은 운동량 보존에 해당하고, 아랫식은 환산질량으로 쓴 운동방정식이다. 한편, 행렬을 이용한 해법도 존재한다. 이 방법이 하이젠베르크가 도입한 행렬역학의 아이디어이다. 첫 식을 이렇게 변형하면

\ddot{y_1}=\frac{k}{m_1}(y_2-y_1)\\\ddot{y_2}=-\frac{k}{m_2}(y_2-y_1)

행렬을 이렇게 쓸 수 있다.

\ddot{X}=AX \\X=\left( \begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array} \right) \\A=\left( \begin{array}{cc} -\frac{k}{m_1} & \frac{k}{m_1} \\ \frac{k}{m_2} & -\frac{k}{m_2} \end{array} \right)

이 경우 해가되는 벡터 X는 A의 고유벡터(eigenvector)의 선형조합으로 쓸 수 있다. 기본적인 아이디어는 해를 정상상태를 나타내는 벡터들을 조합해 나타내자는 것이다. 우린 먼저 조화진동자의 (정상상태의) 해가 다음과 같은 꼴로 쓰일 수 있다는 것을 알고있다.[각주:4]

y=A\cos(\omega{t})+B\sin(\omega{t})

이 해를 추상화(?)하면 이렇게 쓸 수도 있다.

y=Re[Ae^{i\omega{t}}]

여기서 A는 복소수이다. 그리고 미분은 복소수를 켤레복소수로 만드는 과정과는 무관하므로(그러니까 어떤 복소함수를 미분한 다음 켤레복소수를 취하는 것이나 켤레복소수를 취한 복소함수를 미분하나 결과는 같으므로) 시간에 대한 2계미분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\ddot{y}=\frac{d^2}{dt^2}Re[Ae^{i\omega{t}}]=Re\left[\frac{d^2}{dt^2}\{Ae^{i\omega{t}}\}\right]=Re[-\omega^2Ae^{i\omega{t}}]

전기공학에서 쓰는 phasor 기법이라고 생각하면 된다. 어쨌든 이 과정에서 힌트를 얻자. 먼저 해 벡터 X를 시간과 관련된 부분만 따로 빼낼 수 있다고 생각하는 것이다.

X=\chi{e^{i\omega{t}}}~,\frac{d}{dt}\chi=0

여기서 \chi는 시간에 무관한 열벡터이다. 어찌되었든 이런 형태를 취하고 나면 위의 미분방정식은 고유값 문제(eigenvalue problem)가 된다.

\ddot{X}=-\omega^2X=AX\\(A+\omega^2I)X=0

그렇다면 고유값은? 고유값은 바로 각진동수의 제곱이다(부호는 반대). 고유값을 계산해보면 0과 \frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}[각주:5] 얻고, 각자 평행이동과 서로에 대한 진동을 나타낸다는 것을 알 수 있다. 물론 해는 전의 방법과 전적으로 일치한다.

한가지 의문인 것은, 왜 측정하면 그 측정값의 고유벡터중 하나로 수렴할 확률이 그 고유벡터 계수의 절대제곱(absolute square)에 비례하냐는 것이다. 지금 당장은 신호를 퓨리에(Fourier)변환을 통해 주파수에 따라 분류하면 그 주파수대가 갖는 에너지가 절대제곱에 비례하기 때문에 거기에서 유래했으리라 추측하고 있지만 확실하지는 않다. 아무래도 조금 더 공부를 해야 할 것 같다.

첨언하자면 파동함수의 절대제곱이 확률밀도함수로 해석되게 된 이유 또한 행렬역학의 핏줄을 따라 내려온 것이라는 점이다. 왜 그런지는 독자의 몫으로 남겨 둔다.[각주:6] 쓰기 귀찮아서...



2012.11.08
추가할 내용은 새 글로 올리기로 했다. 다음 글도 읽어보시길.
2012/11/08 - 양자역학의 유래(2)


  1. 이 표기법을 이용하게 되면서 상태를 더욱 다양한 방식으로 나타낼 수 있게 되었고, 상태를 더욱 직관적으로 인식할 수 있게 되었다. [본문으로]
  2. 파동을 e와 허수 i를 이용한 지수함수로 나타낼 경우 진동수(파수)는 미분으로 얻어진다. 슈뢰딩거 방정식을 쓸 경우 허수의 도입이 절대적인 이유이기도 하다. [본문으로]
  3. 원래 슈뢰딩거는 이 방정식이 시간에 대해서는 1계미분방정식이라는 것을 못마땅해했다고 한다. 그것도 그럴 것이, 위 형태의 방정식은 로렌츠 변환에 일정하지 않기 때문이다.(더불어 고전적인 파동을 나타내는 방정식은 시간에 대해 2계미분항을 가지고 있다.) 상대론적 양자역학으로 넘어가면 클라인-고든 방정식(Klein–Gordon equation)이 이 대칭을 갖기는 하지만, 이 경우는 2계미분방정식이라는 것이 문제이다. 자세한 내용은 다른 곳을 참조하시길. [본문으로]
  4. 잠깐 이 문제를 벗어나고 있다. 일반적인 하나의 물체가 용수철로 벽에 연결된 상태를 생각하시길. [본문으로]
  5. 부호는 반전시켰다. [본문으로]
  6. 힌트: 함수는 무한한 행을 가진 열벡터로 쓸 수 있다. 아마 교재를 가지고 공부한다면 거기에 잘 나와있을 것이다. 그런데 실수라는 연속체를 그렇게 쓰기는 힘들텐데 -_-;; [본문으로]
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  1. hmmm  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    weistern's하고 실타래를 통해 오게 되었군요...
    웬만한 블로그는 다 서로서로 연결된다는 게 신기합니다.
    현실과는 또다른 세계이지만, 역시나 좁은 세상!

    2010.01.21 19:22 신고
  2. Favicon of http://hbar.tistory.com BlogIcon h-bar  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    hmmm님도weistern's에서 봤는데,,, 세상 참 좁네요..

    2010.02.11 04:07 신고

측정의 평균

Physics 2009.12.24 04:29
자려고 누워서 틀렸을 가능성이 매우 높은 5번 문제를 생각하다가(여기서 블로그 주인장의 정신나간 덕후끼를 느낄 수 있다) 왜 뻘짓을 하고 있었는지 깨달았다.

5번 문제는 Bell's inequality를 실제로 만족하는지 보이는 문제였다. 세 각은 두 벡터(a, b)가 직각을 이루고, 그 사이에 하나의 벡터(c)가 끼어들어 45도로 배치된 상태. Griffith책의 426페이지에 나오는 배치와 동일하다. 이 벡터의 방향으로 스핀을 측정한다.

주어진 Bell의 부등식은(동일한 책 425페이지)

\left|P(\bold{a},\bold{b})-P(\bold{a},\bold{c})\right|\le1+P(\bold{b},\bold{c})

주어진 Quantum state는(e는 전자, p는 양전자)

\left|\chi_1\right\rangle=\sqrt{\frac13}\left|\uparrow\right\rangle_e\left|\downarrow\right\rangle_p-\sqrt\frac23\left|\downarrow\right\rangle_e\left|\uparrow\right\rangle_p \\\left|\chi_2\right\rangle=\sqrt{\frac13}\left|\uparrow\right\rangle_e\left|\uparrow\right\rangle_p-\sqrt\frac23\left|\downarrow\right\rangle_e\left|\uparrow\right\rangle_p

먼저 1번 상태에 대해서 풀면, 계산은 다음처럼 하면 된다. 난 이렇게 풀고 있었다.

P(\bold{a},\bold{b})=\left|\left\langle\chi_a^+\chi_b^+\middle|\chi_1\right\rangle\right|^2+\left|\left\langle\chi_a^-\chi_b^-\middle|\chi_1\right\rangle\right|^2-\left|\left\langle\chi_a^+\chi_b^-\middle|\chi_1\right\rangle\right|^2-\left|\left\langle\chi_a^-\chi_b^+\middle|\chi_1\right\rangle\right|^2

간단하다. a방향과 b방향의 spin up 상태와 down 상태를 각각 구한다음에, 각각으로 붕괴할 확률을 구하고, 값이 +가 나오는 경우를 더하고 -가 나오는 경우를 뺀다. 얼마나 간단한가? 계산이 더럽긴 하지만. 결국 그래서 못 풀고 말았다. P 하나 계산하는데 30번은 가뿐히 뛰어넘는 계산이 필요하더군. 그런데 더 쉬운 방법이 있다.

P(\bold{a},\bold{b})=\left\langle\chi_1\middle|\bold{\sigma_a}\otimes\bold{\sigma_b}\middle|\chi_1\right\rangle

얼마나 간단한가! 이건 8번 정도만 계산하면 된다.

Canon | Canon DIGITAL IXUS 750 | 1/60sec | F/2.8 | 7.7mm


....

나 여태 뭐 공부한거니 ㅠㅠ



동등함을 보이기는 '매우' 쉽다.

\bold{\sigma_a}=\left|\chi_a^+\middle\rangle\middle\langle\chi_a^+\right|-\left|\chi_a^-\middle\rangle\middle\langle\chi_a^-\right|\\ \bold{\sigma_b}=\left|\chi_b^+\middle\rangle\middle\langle\chi_b^+\right|-\left|\chi_b^-\middle\rangle\middle\langle\chi_b^-\right|

direct product를 이용해서 둘을 곱해버리면 맨 위의 식과 동등한 식을 얻는다.
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  1. Favicon of http://www.i-rince.com BlogIcon rince  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아 외계어네요

    2009.12.25 09:41 신고

수학적 변환에 대해서 글을 쓰다가 재미있는 것을 발견했다. Hermite 다항식이 Fourier 변환의 고유함수라는 것. http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform#Eigenfunctions

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\,\!
n번째 Hermite 다항식. Wikipedia: Hermite polynomials

Hermite 다항식은 조화진동자 문제에서 등장하는 파동함수라는 것을 생각해보면 재미있다.[각주:1] 하긴, Hamiltonian은 운동량을 기준으로 쓰든지 위치를 기준으로 쓰든지 생김새 자체는 동일하고, 양자물리에서 Fourier 변환이 basis를 바꾸어주는 변환이라는 것을 생각해보면 이해가 갈 것 같기도 하다. 닮은 방정식의 해는 분명히 닮았을테니 말이다.

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=H%3D%5Cfrac%7Bp%5E2%7D%7B2m%7D%2B%5Cfrac%7Bm%5Comega%5E2%7D2x%5E2
p의 제곱과 x의 제곱으로만 이루어진 Hamiltonian.
http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cleft%5Clangle%20x%20%7C%20%5Cpsi_n%20%5Cright%5Crangle%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%5C%2Cn!%7D%7D%20%20%5Cleft(%5Cfrac%7Bm%5Comega%7D%7B%5Cpi%20%5Chbar%7D%5Cright)%5E%7B1%2F4%7D%20%20e%5E%7B%0A-%20%5Cfrac%7Bm%5Comega%20x%5E2%7D%7B2%20%5Chbar%7D%7D%20H_n%5Cleft(%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bm%5Comega%7D%7B%5Chbar%7D%7D%20x%20%5Cright)%2C%20%5Cqquad%20n%20%3D%200%2C1%2C2%2C%5Cldots.
위 Hamiltonian의 x공간 해. H_n은 n번째 Hermite 다항식
  1. 정확히는 여기에 Gaussian 분포를 덧씌워야 하지만. [본문으로]
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양자물리를 Griffith 책으로 공부하다 보면 나타나는 의문이 참 많다. 그 중에서 내가 가장 큰 의문을 가졌던 것은 운동량 연산자에 대한 것이었다. 어째서 운동량 연산자는 x로 span된 힐베르트 공간에서 미분으로 나타나는 것일까?

\mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla
3차원 공간에서 운동량 연산자. Wikipedia: Momentum operator

그 이름이 암시하듯이, 운동량이란 물체의 운동 즉 시간과는 떼어놓고 생각할 수 없는 존재이다. 그런데 어째서 운동량을 나타내는 연산자는 시간에 무관한 것일까?

맨 처음 운동량 연산자를 유도해내는 과정을 보고서 내가 느낀 것은, '운동량에 대응하는 정보가 파동함수에 들어 있고, 그 정보는 어떤 연산을 통해서 외부에 나타난다. 따라서, 운동량의 고전적인 정의를 이용해서 운동량에 해당하는 연산자를 유도해내는 것은 아닐까?'였다.

1. 어떤 연산이 있어 운동량에 대응된다.
\langle{p}\rangle=\int\psi^{\star}{p}\psi{dx}

2. 고전적인 운동량에 해당하는 값은 다음과 같다.
p_{classical}=m\frac{d}{dt}\langle{x}\rangle=m\frac{d}{dt}\int\psi^\star{x}\psi{dx}

3. 이미 알려진 Schrodinger 방정식을 적절히 손보면, 다음 식을 얻는다.[각주:1]m\frac{d}{dt}\int\psi^\star{x}\psi{dx}=\int\psi^\star{\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}}\psi{dx}

4. 여기서 운동량에 해당하는 연산을 찾을 수 있다.(연산자를 강조하기 위해 ^ 사용)
\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}

하지만 문제는, 우리가 알고 있는 Schrodinger 방정식 자체가 운동량 연산자를 가정하는 것에서 출발했다는 것이다. 보통 Schrodinger 방정식은 다음과 같은 형태로 쓴다.

i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = \hat H \Psi(\mathbf{r},t)
하나의 계에 대한 Schrodinger 방정식
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},\,t) + V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},\,t)
입자 하나에 대한 Schrodinger 방정식. Wikipedia: Schrodinger equation

H는 Hamiltonian 연산자로, 고전역학에서 사용하는 Hamiltonian이라는 물리량에 해당한다. 일반적인 경우, Hamiltonian은 계 전체의 에너지와 같은 값을 갖는다. 따라서, Schrodinger 방정식은 계를 나타내는 상태함수가 에너지에 비례하여 시간적으로 변화한다는 것을 나타낸다고 볼 수 있다. 그리고 고전적으로 운동에너지는 운동량의 제곱을 질량의 두배로 나눈 값이다. Schrodinger 방정식의 첫 항(Laplacian이 들어가 있는 항)을 잘 보면 바로 앞서 구한 운동량의 제곱을 질량의 두배로 나눈 값, 즉 고전적인 운동에너지라는 것을 알 수 있다. 결국, 우리는 원점으로 돌아온 것이다.[각주:2] 그렇다면 어떻게 해야 운동량에 해당하는 연산자를 구할 수 있을까?



쓰기 귀찮아서 여기까지만...(여기까지 써놓고 끝날 가능성도 농후)
관심이 가시는 분은 여기를 참조:
http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation#Derivation
Erwin Schrodinger의 원본을 보고 싶으신 분을 위하여:
http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf
  1. Griffith 책에 있으니 생략. [본문으로]
  2. Schrodinger 방정식이라는 대전제 안에 운동량에 대한 가정이 포함되어 있고, 우리는 이 보이지 않는 가정을 일련의 과정을 통하여 벗겨낸 것일 뿐이다. [본문으로]
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  1. Favicon of http://www.yutiro.com BlogIcon 순원  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    안녕하세요.
    사실 Griffith 책에서는 빠른 이해를 위해서 위와 같이 유도를 해 놓았지만,
    실제로 p 연산자는 x 연산자와의 commutator relationship 으로만 정의되는
    것 아닌가요?

    말하자면 논리 구조가 다음과 같은것이죠.
    1. 양자역학은 헤밀토니안 역학에서, 연산자 도입, 파동함수 도입... etc
    이러쿵 저러쿵되어 정의된다.

    2. 이 중에서 x 연산자를 다음과 같이 정의하고(이를 이용해서 파동함수를 표현)
    이에 헤밀토니안 역학에서 conjugate momentum인 p 연산자를 정의한다.
    이 때 헤밀토이안 역학의 conjugate momentum은 양자역학에서 commutation
    relationship이 됩니다.

    3. 2번에 입각해서 수식을 쓰면 그것이 위에 유도한 공식이 됩니다.


    이 논리에 따르면 헤밀토니안 연산자에 운동량 개념이 내제되어 있는 것은 아니고,
    헤밀토니안 연산자는 x basis로 표현되어지며, 여기서 p 연산자가 x basis로
    끄집어 내어진것이겠죠. 참으로 재밌게도 (어쩜 당연하게도) H가 p^2/2m을 함유하고
    있는것으로 나왔고 이는, p가 x의 conjugate momentum이기 때문에 나타는 현상이죠.
    이를 Ehrenfest's theorem이라고 하나요?

    2010.04.26 10:42 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.26 14:10 신고  댓글주소  수정/삭제

      나중에는 translation을 생성하는 operator로 정의하긴 하는데, 처음 Schrodinger가 S.E을 유도했을 때에는 운동량 연산자가 그처럼 생겼을 것이라는 가정에서 출발했더라구요. 그리고 운동량 연산자가 그렇게 생겼으리라는 가정은 아마도 파동의 성질에서 나온 것 같아요. Hamiltonian 역학에서 어떤 극한을 취하면(잊어버렸는데 -.-;;) 파동방정식처럼 변하게 되는데, DeBrogile 운동량-파장 가설에서도 운동량 연산자가 이렇게 나타나게 되고, Hamlitonian 역학에서는 당연히 그렇게 정의되고, 뭐 그런거죠.
      결국 하고 싶었던 말은 Griffith 책에서처럼 운동량 연산자가 되는 것을 보이는 것은 동어반복이라는 것이었구요. 이런 유도가 갖는 의미라면 일단 모순은 없다 정도 되겠네요.

  2. 남욱  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    순원 선배님이 말씀해 주셨지만, p operator랑 x operator 자체가 어쩌면 commute relation으로 정의된다고 할 수 있겠죠. 하지만 보다 일반적으로 나가면, 사실은 creation operator, a+ 와 annelation operator a를 정의하고 이것의 commute relation을 정의하는게 먼저라고 할 수 있습니다. fermion에 대해서는 [a,a+]=1이고 boson에 대해서는 {a,a+}=1이라고 하죠. 보존에 대한 경우를 Grosmann Algebra에 해당하는 경우고 Fermion에 대한 경우는 딱히 이름이 있는지는 모르겠는데 어쨌든 Clifford Algebra 의 special case라고 할 수 있겠네요. a와 a+는 x와 p의 합으로 표현되니까 파동함수의 대수적 성질을 이 연산자를 이용해 정의했다고 할 수 있죠,
    그러니까... H= p^/2m이라는 결과는 x의 표현이라기보다는... 그자체로 맞는 식이고 p가 어떻게 x space에서 표현되는지가 알고싶은 issue라고 할 수 있을거 같네요.
    이같은 논의는 사쿠라이에 보면 간략히 나오는데, 간단히 말하자면...학부에서 waveFtn이라고 부르는 psi는 사실은 <x|psi>잖아요? 모멘텀 오퍼레이터는 algebraic object라 사실은 explicit form이 필요 없는데, int dx |x><x| =1 이 identity를 사용해서 p |psi> = int |x><x|p|psi>이고 <x|p == -i round <x| 를 사용했다고 볼 수 있죠. 사실 마지막 줄에서 사용한, |x>와 p의 위치를 바꿀때 사용한 식은 momentum 의 x에 대한 representation은 translation operator의 generator라는 정의에서 나오는 것이라고 볼수 있습니다. waveFtn을 a만큼 옮기는 operator는 아시다시피 exp(-iap/hbar) 에서 나왔고, 이것을 x 표현에서 infinitisiml한 a에 대해 생각하면 x space에 대한 p 표현이 유도됩니다. 위와 같이 에렌페스트 정리를 이용해서 고전역학과의 대응관계를 생각하는것도 틀린 추론이라고 불 순 없지만 대수적으로는 이게 옳은 approach라고 생각됩니다..

    2010.04.27 21:32 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.28 00:15 신고  댓글주소  수정/삭제

      그러니까 지금 하고싶은 말이 creation과 annhilation을 먼저 정의하고 얘네의 조합으로 momentum을 얻는다는 말인거지? 원래는 자연수만 있었는데 여기에서 실수를 얻고 더 근본적(?)인 것이라고 생각하자는 것과 비슷한건가...

  3. 남욱  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    뭐 사실은 독립적인 것이기는 한데.. p operator는 translation operator의 generator로 정의되니까... (정확히는 hbar factor가 있겠지만) 이게 바로 어떤 공간 이동에 대해서 불변인 양을 나타내는 것이기도 하고.. 그런데 사실은 뭐 p=-i del 자체가 벡터이기도 하고...말하다보니 복잡하게 돼버렸네 어쨌든 중요한 건 사실 p의 x 에 대한 representation이 딱히 중요하지는 않다는거지. 입자가 여려개 있거나 상대론적으로 가면 운동량 연산자 자체를 explecit하게 정의하는 게 힘들기도 하고. 실제로 중요한건 system의 lagrangian이니까.

    2010.04.28 00:26 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.28 00:42 신고  댓글주소  수정/삭제

      사실은 독립적인 거라면 음냐 무언가 꼬인 것 같은데 -_-

      뭐 하긴 Hamiltonian은 그냥 그 계를 잘 묘사해주기만 하면 되는 거니까 operator가 실제로는 무엇이냐 논의하는게 무의미할지도.

      원래 이 글은 '어떤 경로로 그렇게 생긴 operator를 도입하게 되었는가'를 추적하려던 것이라 댓글들은 무언가 벗어난 것 같지만

  4.  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    Google 에서 Momentum operator 를 치면 wikipidia 에서 잛고 간략하게 운동량 연산자가
    -(ih/2p)i*d/dx 로 정리되어있는지 schrodinger equation 과 debroglie relation 을 간단히 연립하여 유도한 설명이 있습니다.

    ps : 저도 궁금해서 찾아보던중에 알게 되어 말씀드립니다.

    2014.07.03 16:58 신고

드디어 그리피스 양자책을 돌파했습니다 -_-v(이제 12단원 배우는 중)

지금 복사불가능성과 양자적 얽힘에 대해서 배울 차례인데, 보다 보니 재미있는 아이디어가 하나 떠오르더군요. 복사불가능은 어쩔 수 없지만 양자적 얽힘은 피해가는 방법이 있을지도 모르겠다는 생각이 듭니다. 기본 아이디어는 이거죠.

eq=a^\star a =0 \\ b^\star b = 0 \\ a^\star b \ne 0 \\b^\star a \ne 0

인 a와 b를 찾는 겁니다. Dirac equation의 motive와 비슷하네요. 당연하지만, 이 a와 b는 행렬들이죠. 그런데 행렬이면 좀 처리하기 귀찮아지고 더군다나 그 크기를 정하는 것도 애매해지니까(Dirac이 이 항들을 어떻게 해석했는지는 아직 공부를 안 해 보아서 모르겠지만...) 차라리 벡터로 보는 것은 어떨까 생각해 보았습니다.

문제는, 벡터의 coefficient가 벡터라는 것이네요. 더군다나 하나는 bra벡터여야 하기 때문에 direct product를 제대로 정할 수 있을지가 의문이고, direct product를 하는 과정에서 bra벡터가 ket벡터와 반응해서 사라질 수 있느냐가 문제입니다.

물리학적으로 해석하자면 '하나의 측정량을 포기하는 것으로 불확정성 원리를 깰 수 있다' 정도 되겠네요. 'EPR 역설이 실제로 일어날 수도 있지 않을까' 라고 보아도 무방합니다. 대신에 이 포기하는 측정량이 다른 측정량과 먼저 얽힘 상태에 있어야 한다는 것이 문제랄까... 제 3의 입자를 도입하면 해결될지도 모르겠군요.

p.s. 문제는, 왜 난 내 전공 공부보다 다른 과 전공공부가 더 재미있는가 정도...-_-;;;
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뉴턴의 고전역학에서 아인슈타인의 상대론으로 넘어오면서 뉴턴역학의 많은 부분이 바뀌었는데, 그중 대표적인 것은 시간의 공간화이다. 시간에 일정한 상수(광속)을 곱하여 거리로 취급하게 된 것이다. 공간과는 다른 성질을 갖기는 하지만(예를 들어 시간상에서 앞뒤로 움직이는 것은 불가능하다.)[각주:1] 일반상대론에서는 시공간거리(Spacetime interval)를 정의하여 쓸 정도로 시간은 공간처럼 인식하는 것이 보편화되어 있다.

그렇다면 양자역학에서는 어떨까? 애석하게도 시간은 공간과는 다르다는 독특한(?) 취급을 받고 있다. 좌표를 나타내는 x, y, z 연산자는 있지만, 시간을 나타내는 t 연산자는 없다. 왜 없는지 한번 생각해보자.

먼저 x, y, z는 위치를 나타낸다. 위치의 평균값은 다음과 같이 쓸 수 있다.



(파동함수는 규격화되었다고 하자.) 그리고 각 위치를 나타내는 연산자인 x, y, z는 고유벡터(eigenvector)를 가지며, 고유벡터들은 다음과 같은 성질을 갖는다.



(편의상 x에 대해서만 식을 썼다.) 아래쪽의 식은 파동함수를 x라는 ket 벡터들의 집합에 투영(project)한 것이라고 생각할 수 있다. 연산자 x의 고유벡터는 무한하기 때문에(x 좌표의 수를 생각해보라), 파동함수를 다시 완전하게 구성하고 싶다면 다음처럼 하면 된다.



그렇다면 다음과 같은 방법도 생각해 볼 수 있지 않을까? 시간에 해당하는 t라는 연산자를 가정하고, x 연산자에 대해 행한 일을 다시 해 보는 것이다.



(이 의문은 1학기에 필자가 가졌던 의문이다.) 애석하게도, 이것은 불가능하다. 왜냐하면, 다음 식이 정의되지 않기 때문이다.[각주:2]



시간의 평균은 무엇인가? 지금 파동함수를 쓰는 시점 이전에 존재했던 시간은 너무나도 거대하기에 무한하다고 할 수 있고, 앞으로 남은 시간도 상상할 수 없을 정도로 막대하기에 무한하다고 쓸 수 있다. 적분구간이 음의 무한대에서 양의 무한대로 발산하는 것이다. 위치를 나타내는 x, y, z의 평균을 구할 때에도 적분구간은 음의 무한대에서 양의 무한대이지만, 음과 양의 무한대로 갈 때 파동함수의 크기는 0으로 수렴했기 때문에 평균이 박살나는 일은 없었다. 하지만 지금은? 파동함수가 가리키고 있는 입자의 존재가 영구적이라고 한다면, t라는 변수에 대해 파동함수의 크기는 1로 일정하다. 왜냐하면 어떤 시간에서라도 입자는 관찰되어야 하기 때문이다. 그리고 모두가 알다시피, 숫자 1을 음의 무한대에서 양의 무한대까지 적분하면 무한대밖에는 얻을 것이 없다.[각주:3]

하지만 잠깐. 우리는 공간이 무한하다고 가정하고 위치의 평균을 구하고 있었다. 그런데 실제 우주는 무한한가? 우주의 크기는 상상할 수 조차 없이 크지만, 분명히 그 크기는 130억 광년이라는 유한한 값을 가지고 있다. 시간도 마찬가지이다. 우주가 생멸(生滅)하는 기간은 겁(劫)이라는 겁나도록 긴 기간이지만, 유한하다.[각주:4] 그렇다면 시간을 나타내는 연산자를 도입할 수 있지 않을까?[각주:5]
  1. 물론 실제로는 가능할 수도 있다. 단지 우리가 시간 속에서 의식을 만들어내기에 시간이 단방향으로만 흐른다고 생각하는 것일수도 있으니. 하지만 시간이 양방향으로 흐르면 열역학 제 2법칙에 문제가 생기게 된다. 열역학 제 2법칙에서는 엔트로피가 늘어난다는 말만 했지, 시간의 흐름에 대한 엔트로피는 말하고 있지 않기 때문이다. 시간이 역으로 흐른다면 역으로 흐르는 시간 상에서 엔트로피가 증가하고, 결국 우리 눈에는 엔트로피가 감소하는 것처럼 보일 수 있다는 것이다. 물론, 열역학 제 2법칙을 확률적인 법칙으로만 인정한다면 이런 충돌은 피할 수 있다. [본문으로]
  2. 최근에 떠오른 재미난 생각이 있어서 검증해보려다가 오래된 의문을 해결하게 되었다. [본문으로]
  3. 물론 영구적인 입자의 존재를 부정한다면 입자의 연대기를 통해 평균적인 삶을 생각해볼 수 있을 것이다.(사람이 태어나고 죽은 년도의 평균을 구해 그 사람의 평균적인 존재연도를 구하는 것처럼) 그런데 입자가 언젠가는 소멸한다고 가정하는 것은 조금 이상하지 않을까? 최소한 전자는 사라질 것 같아 보이지 않는다. [본문으로]
  4. 이 때 유한하다는 말은 우주가 팽창하다가 수축하는 경우, 즉 빅 크런치(Big Crunch)라는 종말을 가정할 경우이다. 다른 경우 총 시간을 유한하다고 할 수는 없을 것이다. [본문으로]
  5. 물론 시간에 대응하는 추상적인 연산자 t를 도입할 수 있을지도 모른다. 하지만 이 연산자가 실질적으로 의미를 지닐 수 있을지는 매우 회의적이다. 우리는 겁이라는 시간을 잴 수 있을만큼 오래 살지 못한다는 것이 문제이다. [본문으로]
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  1. 나묵  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    string에서는 t operator가 있는디? 그리고 내생각에 슈레딩거 방정식에서도 잘하면 t operator를 정의할 수 있을거같은데...예를들면 supersymmetric schrodinger같은거

    2010.05.11 19:54 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.05.11 22:16 신고  댓글주소  수정/삭제

      일반 SE에서도 susy 도입할 수 있는거? string은 일단 무시. SE만 다루고 있잖아 -_-

      그냥 가장 큰 문제는 t의 평균값을 계산할 수 없다는 건데 -_-;;

Shankar 책을 산지 좀 되었습니다.

심심해서(하라는 시험공부는 안하고) 이전에 Liboff 책에서 재미있게 보았던 대칭성과 보존에 관한 부분을 보았습니다. 보다 보니 이런 부분이 나오더군요.

[...]

We define translational invariance by the requirement



[...]
Principles of Quantum Mechanics 2nd Ed., R. Shankar, Springer, 1994, p. 285

저기서 T(epsilon) 연산자는 입실론만큼 전체를 +x 방향으로 옮기는 연산자입니다. 그건 그렇다 치고, 왜 불변성을 Hamiltonian 연산자를 이용해 정의하는 것인지 좀 생각해 보아야겠더군요.

현재는 그저 '기본법칙이 Schrödinger 방정식이기 때문'이라고 결론내렸습니다. 저 항등식을 만족시킨다면 상태함수에 T 연산자를 마음껏 들이대어도 기본법칙에 어긋나지 않거든요.



왜 왼쪽에 다른 임의의 상태를 들이대냐면, 측정은 저렇게 이루어지기 때문입니다. 양자물리에서 모든 측정량은 저렇게 bra를 붙여서 얻어야 하니 말이지요. (그런데 써놓고 보니 아직도 논리에 구멍이 있는 것 같네요. 좀 더 엄밀하게 해보는 것은 나중에...)[각주:1]

어찌되었든, T 연산자로 모든 상태를 이동시켜 놓았을 때 임의의 연산자 A는 어떻게 변해야 하는가 생각해 보았습니다. 생각해보니 쉽더군요.



이니까



하지만 T 연산자의 역함수(역연산자?)는 T 연산자의 hermitian conjugate 입니다. 왜 그런지는 A 대신에 I(Identity - 1이라고 생각하시면 됩니다)를 넣어보면 됩니다. I 연산자가 좌표와는 상관있을 리가 없겠죠. 그러면 결국



이 됩니다. 어째 어디선가 본 행렬형식의 2계텐서 변환방식이 떠오르는군요.

그나저나 시간대칭은 역시 허수의 성질을 이용하는군요. i나 -i나 구분할 수 없다는 그 성질 말입니다. 이건 예전에 적어둔 것이니 링크만 간단히...

2009/04/30 - 복소수 대칭과 시간대칭

ps. 뭐 아실 분들은 아시겠지만 사실 저 T 연산자는 P 연산자, 즉 운동량과 관련이 있습니다. 그래서 운동량 보존이 균일성(위치에 대해 변하지 않음-translational symmetry/invariance)과 동치인 것이구요. 정확히는



입니다. Taylor 전개를 해 보면 알 수 있는데 그것까지 하기는 귀찮네요. Griffith 책의 연습문제로도 나오니 제가 할 필요는 없겠지요.
  1. 이렇게 엄밀한 거 좋아하다가 서너줄이면 끝날 숙제 문제를 한두페이지가량 써제끼는 일이 한두번이 아니네요 -_-;; [본문으로]
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물리학에서 대칭성은 대부분 어떤 보존으로 나타납니다. 여기서 말하는 대칭이란 '구분할 수 없음'을 뜻하지요. 운동량은 위치에 대한 대칭성에서, 에너지 보존은 시간에 대한 대칭성에서 얻어지지요.

이제 질문. 허수 i와 -i는 대칭적입니다. 서로 구분이 불가능하지요. 이 수학적 대칭은 물리의 어떤 현상으로 이어질까요? 잘 살펴보면, 이런 수학적 대칭은 시간을 뒤집는 대칭에 해당한다는 것을 알 수 있습니다.



이게 원 슈레딩거 방정식입니다. 양변의 i를 모조리 -i로 바꾸어주면



여기서 *로 표시된 것은 전부 켤레복소수(complex conjugate)에 해당합니다. 해밀토니안은 i를 포함하지 않는다고 가정하면(즉, 포텐셜이 실수로만 나타난다고 가정하면)[각주:1] 다음의 꼴을 얻습니다.



-t를 새로운 시간, 타우로 정의하면



시간을 뒤집은 파동함수(의 켤레복소수)가 원래의 파동함수와 같은 방정식을 만족하는군요. 결국, 시간에 대해 파동함수는 대칭적이라고 생각할 수 있겠지요. 이 대칭성은 time parity라고 불리는 값의 보존으로 이어집니다. 패리티에 대해서는 나중에 설명하기로 하지요 ^^;;;

재미있는 것은 시간 뒤집기가 성공하지 못할 수 있다는 것입니다. 허수포텐셜을 도입하면 그렇게 되지요. 이제 허수가 들어가는 포텐셜은 약력을 대표한다고 추론할 수 있겠지요. 약력이 대부분의 대칭성 붕괴의 원인이니 말입니다.

덧. 쓰다보니 하루가 지나가는군요 -_-


  1. 허수포텐셜을 도입하는 경우 파동함수는 보통 시간이 지나며 필연적으로 파괴되어 버리거나(0으로 수렴하거나) 무한히 발산해 버립니다. 때문에 방사능 붕괴와 같은 경우에는 허수포텐셜을 도입합니다. 하지만 그런 부분은 지금 우리가 관심을 갖는 영역이 아니기 때문에, 무시하도록 하겠습니다. [본문으로]
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  1. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    허수포텐셜을 도입하더라도 시간대칭이 깨지지 않을수도 있을것 같은데요. 물리적으로
    시간은 하나의 차원으로 보았을때 시간대칭은 반입자를 포함하는 반시간으로 본다면
    양자역학적으로 어떠한 원인에 근거하여 물질의 붕괴시점은 변화할수있지않을까 추측해봅니다. 전문가가 아니라서 정확하지는 않지만 ....

    2009.07.13 11:21 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.07.13 11:41 신고  댓글주소  수정/삭제

      허수포텐셜은 파동함수 전체의 크기를 변화시키는 역할을 합니다. 에너지의 값이 허수부를 가질 때 허수부의 부호에 따라 입자의 존재 확률이 증감하게 되는데 허수부의 부호가 바뀌게 되면 존재 확률이 증가하던 것이 반대가 되겠지요. 이렇게 되면 실제 현상을 나타낸다는 것에서는 똑같을 수 있지만(시간이 역으로 진행하고 있으니) 시간에 대칭되는 형태로 운동이 나타나지는 않습니다. 붕괴 자체가 시간에 대칭적이지 않은 현상이니까요.(대칭이라는 것은 구분할 수 없음을 나타냅니다.)


      입자를 반입자로 바꾸고 시간을 뒤집는 것을 CT 대칭이라고 부르는데, 이 부분은 아마 아직 해결이 안 되었을 겁니다.

  2. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    말꼬리를 잡아끄는 것 같아서 죄송하게 생각합니다. 저는 물리학을 정식으로 공부하지 않은 일반인입니다. 최근에 일반인들을위해 쓰여진 엘리건트유니버스 같은 책을 조금 봤습니다.
    나름대로 소립자에관해서 공부하고 있는데 역시나 수학적인부분은 방대하여 막혀있는 상황이구요 그래서 나름 방법을 고안한것이 물질의 구성이 무었이냐부터 시작해서 원자->중성자양자->쿼크 (표준모형) + 중간자 + CP붕괴, B붕괴.. + 초대칭 + 초끈이론 + 양자역학성질 이런순으로 이론적으로 공부해보고 여러자료 엮어서 보니 조금이나마 이해가 가드라구요..
    초끈이론보면서 허수가 왜 나왔는지 알게되었답니다. 그와중에 생각난게 있는데 바로
    시간대칭이요 어짜피 물리학은 현실을 분석하는것이니 현실과 같아야 하잖습니까
    그런데 재생각에는 조금 이상한부분이 차원에대한인식이 약간 잘못되어있지 않나 하는거 였습니다. 어짜피 비전문가적생각이니 무시하셔도 괜찮으세요.

    제생각에는 초끈이론에서 예견하는 추가적인 6차원의 복소기하학차원이 필요없을것 같다는거죠 왜냐하면 시간을 하나의 차원으로 인식하고 우리가 살고 있는 물질공간을 4차원시공간으로 본다면 반입자가 존재하거나 붕괴된 6차원(물질+반물질) 같이있는거죠 왜냐하면 서로 반대의 시간으로 변화하기 때문에

    제생각에는 이성질이 곧 양자론적 성질또한 증명할수 있지않냐는거죠 어떠한 원인에 근거하여 결과가 동시에 존재하는 것 그러나 그것은 또다른 원인에의하여 가변이 되는거죠. 만약
    엄격하게 동일한 실험조건을 갖춘상황에서 비교적 짧은 붕괴주기를 가진 입자를 이용해서 실험을 해본다면 어떨까 하는생각인데 ....아직 그이후의 생각은 안해봤습니다..

    (시간이 역으로 진행하고 있으니) 시간에 대칭되는 형태로도 운동이 나타날수 있다고 봅니다.
    어짜피 공간자체가 대칭이 되어있는 상황이라면 그곧에 생물들은 나이를 거꾸로 먹는것이죠 단 양자적으로 복제된현실이고 쉽게 상대적인 원인에 의하여 존재하였다가도 존재하지 않을수 있는...그런 결론. 죄송합니다.

    2009.07.13 18:05 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.07.14 00:18 신고  댓글주소  수정/삭제

      저도 전공자는 아니니까 죄송하실 필요는 없고요 ^^;;

      대칭성이라는 개념을 명확히 해야 할 것 같네요. 대칭성은 '구분하지 못한다'라는 의미입니다. 공간대칭이란 공간의 어느 위치에 존재하는지 구분하지 못한다는, 즉 위치가 아무리 변해도 나타나는 현상이 똑같기 때문에 원칙적으로 구분할 수 없다는 것을 의미합니다. 비슷한 의미에서 시간대칭이란 현상 자체만 놓고 보면 시간이 역으로 진행하고 있는지 순방향으로 진행하고 있는지 구분하지 못한다는 뜻이지요. 이건 공기에 의한 마찰이 존재하지 않을 때 날아가는 공이 그리는 궤적을 찍은 비디오가 있을 때, 비디오만 보고 비디오가 제대로 재생되는지 역으로 재생되는지 알지 못한다는 것과 같습니다.

      처음 허수가 도입된 것은 파동역학과 관련이 있습니다. 슈레딩거방정식은 이전에 존재하던 파동방정식을 꼬아 만든 것인데, 파동을 기술할 때 허수지수를 갖는 경우 sine과 cosine처럼 주기성을 갖는다는 것에 착안하여 허수로 나타내던 것을 이용한 것이지요.

      사실 초끈이론은 요즘 거의 '수학'으로 여겨지고 있는 편입니다. 새로운 이론으로 거듭나려면 이전의 이론들이 예측할 수 없었던 현상을 예측할 수 있어야 하는데 그런 부분이 아직은 존재하지 않는다는 거지요. 12차원도 이런 맥락에서 하나의 가설로 생각하셔야 할 겁니다.

  3. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    양자세계에서 시간차원을 가정한다면 시간이 역이든 순방향이든 모든 가능한 방향에서 흐르는게 원칙이죠 그렇게되야 양자적인특성이 설명되죠 수학적으로 지적하신 특이한 경우에서만 존재하지 않을뿐 존재한다면 실험을 해봐야 하는건 아닌지요?

    기존사실로 보게되면 입자냐 파동이냐도 같은경우로 보입니다. 논리적으로 따지는것이지요
    확인하는 조건이냐 하지않은 조건이냐에 따라 두가지로 분류되듯이 만약 물질의 붕괴또한
    사라졌다가도 다시나타날수도 있는것이 아닐까 터널효과 처럼요. 이런것을 수학적으로 표현할수만 있다면 좋겠는데 방법이 있으면 실험도 해보고요.

    2009.07.17 09:32 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.07.17 17:39 신고  댓글주소  수정/삭제

      예 물론 하나의 '차원' 이라면 앞뒤로 자유롭게 움직일 수 있어야 하겠지요. 그런데 시간의 경우에는 그런 현상이 나타나지 않는다는 것이 미스테리인 것이구요.(이것은 고전역학에서도 마찬가지입니다. 물론 상대성이론 이전에는 시간을 공간에 대해 완전히 독립적인 것으로 가정했었지만 말이지요)

      그리고 제가 말씀하시는 말을 제대로 이해하고 있는지 모르겠네요. 반물질과 물질로 구성된 6차원에서 반물질은 역의 시간을 갖고 물질은 순방향의 시간을 가지는 상태가 실제 현상이다 이런 말씀이신건가요?

      그런데 이 가정 자체에 애매한 점이 있는 것이 반물질은 물질을 만나면 감마선으로 붕괴합니다. 물질과 반물질이 동시에 존재한다면 우주에는 상당한 양의 감마선이 존재해야만 하겠지요. 그런데 실제 우주에서 대량의 감마선이 검출되느냐가 문제네요.(제가 알기로 우주선의 대부분은 하전입자입니다 광자가 아니라.)

      아, 쓰고 나니까 생각난 것이 있는데, 지금처럼 두 방향의 시간의 흐름이 존재한다는 가설은 현재 우주론의 정설이나 마찬가지인 빅뱅이론과 배치되는 부분이 있어 보이네요. 순방향으로 흐르는 시간의 시작점(빅뱅이 시작된 시점)이 존재한다면 분명히 역방향으로 흐르는 시간의 시작점(우주의 종말이 되겠지요) 또한 존재해야만 합니다. 그런데 현재 관찰되는 우주의 모습은 수축으로 인한 멸망보다는 과도한 팽창으로 인한 멸망으로 보이는데, 이 경우 우주의 종말 시점은 존재하지 않게 됩니다. 종말은 어느 순간 이루어지는 것이 아니라 0.999...가 1에 다가가는 것처럼 점근적으로 멸망해 가는 것이기 때문이지요. 정상우주론을 택한다면 가능성이 있어 보이지만 확실한 것은 정상우주론을 택하기에는 너무나도 많은 반증사례가 존재한다는 것이고요.

  4. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    정말 감사드려요 비전문가적인 저의 식견에 하나하나 답해주셔서요 덕분에 많이 배우게 되는것 같아서 즐겁고 감사드려요.^~^
    현상이라고 하시니까 저도 생각나는것들이 있어서요. 왜 사람들이 데자뷰라고 하는것있죠 어떤한시점에 현실의 상황이 어떤 희미한 기억과 맞아떨어지거나 뚜렷한 기억이 나는때 벌어졌던기억?

    저는 이런 경험이 남들보다 조금 많다보니까 결국에 그러한 추론을 하게된것 같습니다.

    그리고 수축과 팽창에 대한 저의 생각은 이렇습니다. 결국에 팽창일경우 공간집중적인것이
    아니라 물질의 표현으로서 그렇게 나타나느것이 아닌지요 사실 공간이란 단순히 인식대상이지 실제로 존재하는 것이 아니라고 생각합니다. 실제사례로 양자론적인 효과는 원자이하의 범위에서만 일어난다는점 말입니다.

    초끈이론서적 엘리건트유니버스 중반부에보면 이러한 내용이 있습니다. 우리가 손을 휘저을때 그 휘저은 손은 단순히 우리가 알고있는 3차원공간상을 이동한것이 아니라 어떠한 좀더
    많은차원을 이동한것이라고 하는 내용이 있습니다.

    저는 이말에 공감하는 이유가 있습니다. 만약 공간이 팽창하였다면 우리 자신들또한 무한히
    팽창하여야 하는데 물질은 일반적으로 안정적이지 않습니까 만약 공간 즉 우주가 팽창한다면 3차원구조인 물질 즉 원소또한 팽창을 하지 않으면 안된다고 생각합니다. 즉 공간이란 각차원을 대변하는 보편상수라고 보았을때 사실 우리가 알고 있는 팽창이란 의미는

    실제와는 거리가 있다는 생각이 듭니다. 그러나 실제로 은하나 항성간의 거리가 멀어지는 현상은 마치 에너지를 가진 상대간의 에너지 교환에 의하여 마치 멀어지는것처럼 보이는것은 아닌지요 결과적으로 우주의 수축과 팽창은 이미 고정되었다는 결론이 나오는데요

    실제로 물질자체가 안정적인것을 반례라고 들고 싶습니다.

    그리고 감마선이 존재하지 않는이유는 있습니다. 결과적으로 제가 초끈이론에서 제시하는
    수학적인 추가적 6차원이 필요헚다고 말씀드린것 즉 그들이 말하는 고차원 다양체에 관한것입니다.

    만약 시간적으로 다르게 움직이고 있는 두가지의 공간이 같은 점에 위치하여도 두가지는 전혀 간섭을 일으키지 않는다는점 말입니다. 파장이 다를 경우에 간섭현상이 일어나지 않는것처럼 말입니다.

    결과적으로 물질과 반물질의 직접적인 반응은 인위적인것외에는 존재할수 없다는 결론입니다.

    다시말해서 실제로 같은 쌍둥이 이지만 그 시간대는 다르다는거죠.

    2009.07.18 12:10 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.07.18 14:49 신고  댓글주소  수정/삭제

      음... 거리가 멀어지는 현상은 적색편이(도플러 효과는 들어보셨죠?? 경찰차 같은게 다가오거나 멀어질때 사이렌 소리가 다르게 들리는 것을 말합니다. 적색편이는 멀어지는 광원에서 나오는 빛의 파장이 도플러 효과로 길어지는 것을 의미합니다. 파동의 파장이 길어지는 경우는 보통 그 파원과 인식원의 거리가 멀어지는 것을 뜻하고요.)와 관련있어서 에너지로 보기에는 조금 무리가 있지 않나 싶습니다.

      그리고 시간적으로 다르게 움직이는 물질이라면 현재 기술로 검출할 방법이 없는 것인가요?(인위적인 반응이라는 것도 결국은 자연적인 반응의 일부일텐데 자연적인 반응이 없다면 인위적인 반응도 불가능하리라 생각합니다.) 물질-반물질 반응이 일어나지 않는다면 사실상 검출할 방법이 없다는 소리가 되는 것 같아서 말이지요. 과학에서 말할 수 없는 것은(그러니까 간접적으로도 증명할 수 없는 것은) 비과학으로 취급하는 경우가 많습니다.

      공간에 대한 부분은 좀 생각해 보아야겠네요 ^^;; 그 부분은 공간을 해석하는 것에 관련된 철학적인 부분이라(공간이 물질을 담는 그릇이냐 아니면 공간은 물질의 부재이냐 이 두가지가 충돌하던 시절이 있었지요) 말이지요 ^^;;

      그리고 양자론적 효과는 (상대론을 무시하면) 커다란 범위에서도 일어납니다. 단지 양자론에만 특화된 현상(터널링같은 경우 말입니다)의 확률이 확 줄어들어 버려 나타나지 않을 뿐이고요.

  5. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    내 죄송 희미한 기억을 끄집어내다보니까...도플러효과 관측시 전기장은 속도?이던가 에 비례하여 파형으로 검출가능하다고 했던가 비스무리...죄송. 암튼 원리적인 부분만 이해하고 있구요 생각과는 분리하여 말씀드려야하는데 아무튼 거리가 틀려진다는 건 맞죠??

    제가 에너지라고 했던것은 정확하지 않지만 물질의 에너지 준위의 범위가 변화할수 있다고 하는 내용을 읽었는데 자료가 너무 많아서 찾지는 못하겠습니다. 그리고 제 생각으로는 중력이란 하나가 아닌 다수의 핵의 결합체로 보고 (결합이 가능하다고 가정) 결과적으로 우리는 그 껍질에 살고 있는 모양이 되는것. 실제로 바다물의 층계 와 대기권의 층계가 나타나는 현상을 예로 들겠습니다. 에너지의 교환이라고 말씀드린것은 그런차원에서 말씀드렸던 것이구요.

    물질-반물질의 반응은 저도 아직 결론을 못내리고 있는부분인데요 다음번에 생각을 정리해서 말씀드릴께요.

    다음은 제가 생각하기로는 공간자체가 축소되었다면 양자론적 모형으로 축소되어 현재 물질계와 정확하게 일치되어져 있는것 즉 상대론을 무시하지 않고도 양자효과는 현실속에 존재한다는 다시말해서 우리공간을 양자론적인 막이 꽉꽉 채운고 있다는것이죠. 아참 제가 상대론에 대해서 아직 완벽하게 읽지 않아서 같이 놓고 생각은 안해봤거든요 왠지 읽기가 싫어지더라구요

    제가 아는건 단지 E=MC^2 : 물질이 소멸하면 그소멸한 질량에 광속도의 제곱을 곱한 수량만큼 에너지로 변한다 << 특수상대성이론 이던가...머리아프게 일반상대성이론은 좀더 심오한 뜻이 있는것처럼 설명되있는던데 읽다가 머리아파서 그만뒀어요.

    왠지모르게 상대성이론은 공부하기가 싫어지는게 .... 좀짜증스럽다고 해야하나..

    2009.07.18 22:44 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.07.18 23:01 신고  댓글주소  수정/삭제

      상대성이론은 시공간에 대한 모든 기존의 상식을 제거해야 하기 때문에 어렵지요 ^^;; 그런데 그것만 제외하면 순수수학이나 마찬가지라 그리 어렵지는 않을 겁니다.(수학이 쉽다면)

      (고전적인)양자론은 상대성이론에 따른 효과를 고려하지 않은 것은 사실이지만, 이후 등장하는 양자장론과 같은 경우에는 상대성이론에 어느 정도 부합하도록 짜여져 있습니다(중력이 고려되지 않는 특수상대론에). 따라서 상대론과 양자론을 완전히 구분하는 것은 무의미할 수 있어요. 요즘 물리학자들이 하는 일이 중력을 양자의 범위로 끌어들이려는 것이거든요.

      에너지에 대한 부분은 사실 이해가 잘 안 되네요 ^^;;;

      은하나 항성간 거리가 멀어지고 있다는 것은 맞습니다.

  6. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    우주의 팽창에 대해서 생각해보고 있는데요. 팽창 또한 확장되는 에너지로 본다면 이 에너지는 강력>전자기력>약력>중력>팽창력(=수축력)>은하나 항성간의 인력

    이렇게 따져보니까 제가 저번에 말씀드렸던 내용중에 물질이 안정되있는 이유가 팽창이 멈추지 않았냐는 이야기 틀렸다는것을 이제 알겠네요.

    그런데 문제는 이렇게 따지게 되면 물질적인 면에서 오류가 발생해요.
    축소된 공간은 이미 물질보다 작아졌다는 이야기가 되는데.

    결과적으로 반입자또한 우리 우주내에 존재한다고 가정하는 현실로 돌아가야 겠네요.
    그렇다면 도대체 축소된것은 무었인가요 단순히 무한히 축소되는 막일까요?

    그리고,

    만약 우주를 하나의 막이라면 이 막은 어떠한 입자로 되어 있을까요? 혹시 들어보셨는지요?

    2009.07.31 11:13 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.08.11 00:28 신고  댓글주소  수정/삭제

      음... 축소가 있어야 한다는 것은 역행하는 시간도 시작점이 있어야 하기 때문에 우주가 끝나는 어떤 지점이 존재해야 한다는 가정을 했기 때문에 나온 결론이라서 축소가 일어나는가는 알 수 없네요. 축소가 일어날 것인지 일어나지 않을 것인지 알 수 없다면 축소거 어떤 것인지 답하는 것은 더 어렵고요.

      그리고 우주 자체가 하나의 막이라면 우주는 우리가 알고 있는 입자의 형태는 아니겠지요. 우주라는 막은 '입자가 존재할 수 있게 해 주는 매질'이 될 테니까요.

  7. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제가 맞았네요. 현실세계에서도 반입자는 시간을 거슬러 과거로 여행하는 입자로 보네요.

    리처드파인만이 이야기 한 사실입니다.

    입자의 충돌이 가상적인 성격을 띈 반입자를 때때로 생성한다고 하네요.

    2009.08.04 19:02 신고
  8. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    전공자도 아닌사람이 두서없이 하는 소리를 받아주시니 참 고맙습니다. 대부분 이런식으로 질문하거나 이야기 하면 100% 무시받을꺼라 생각하고 절대 입박에 내놓지 않는건데....ㅎㅎ

    암튼...아참 '가상적인 성격'은요 로버트 길모어에 양자나라의 앨리스라는 책을 지금 읽고 있는중이거든요 거기에 아주 많이 나와있어요. 이책에서는 그러니까 가상은 곧 현실에 위배되는 현상을 뜻하는것으로 보여요. 즉 입자가 과거 에서 미래로 이동하는것을 현실입자라고 치면 미래에서 과거로 이동하는 입자를 가상적인 입자라고 하는식이요.

    실제로 반물질 생성에 관련한 전자포탈 모아진에 게제된 내용에는요 우주왕복선의 외부탱크
    의 연료량 75만kg 이 반양성자 45mg 이 내는 에너지와 같다고 하네요.

    현재 CERN에서 1년에 10picogram을 생산할수 있다고 합니다. 예 너무 적죠. 결국 년간 45mg를 생산하기 위해서 생산수율을 45억배나 높여야하는데 아마도 불가능할듯 싶네요...

    2009.08.11 13:28 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.08.12 00:22 신고  댓글주소  수정/삭제

      제 의미는 '시간을 역행한다'->'가상입자'라는 방향성은 성립하더라도 '가상입자;->'시간을 역행한다'에는 논리적인 정당성이 없다는 의미였습니다. 후자가 성립하려면 좀 더 완전한 조건이 필요하지요.

  9. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    완전한 조건을 갖추려면 무엇이 필요한지 알고 싶습니다.

    2009.08.24 11:30 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.08.24 15:34 신고  댓글주소  수정/삭제

      이런 겁니다.

      '비행기'는 '하늘을 날아다닐 수 있는 것'이지만 '하늘을 날아다닐 수 있는 것'이라고 해서 '비행기'라고 할 수는 없지요. 새도 분명히 날아다니고, 풍선도 헬륨으로 채우면 날기는 날으니까요.

      시간을 역행한다는 특징 때문에 다른 가상입자와 구분되는 성질을 갖는다면 시간을 역행하는 입자라고 할 수 있겠지요.

  10. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    가상적인 특성이 입자의 대칭인 반입자의 시간역행 특성을 대변하기위해서는 무언가 정확한 조건이 제시되어야 한다는 뜻인지요?

    2009.08.24 16:12 신고
  11. 덱스터님 틀린거같은데여  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    에르미션 컨쥬게이트가 어떻게 time reversial operator가 될수 있나요? 그러면 position parity에 대응되는 것도 4원수로 정의할 수 있어야 할것같은데 그렇게 보이지는 않는군요. 더군다나 dirac equation이나 Klain-Gorden Eq에서는 i 자체가 없지 않나요? 그리고 약력은 complex field에서 정의된 potential 에서 일어날 수 있다고 했는데 이때는 total wave function이 decay 되기때문에 틀린 이론 아닌가요? QFT에서도 어떤 field가 decay할 때 다른 field로 꼭 전환되어 total field는 보존되어야 할것같은데요. 스텐다드 모델을 보면 weak interaction에서는 W field가 fermion kinetic part랑 서로 field strength를 교환하는 형태잖아요. 이를테면 spin number consorvation같은 것이 허수에서는 성립이 안되고, 이때는 arbitrary waveFtn을 더해줘도 확률을 보존할 수 없을거 같은데 어떻게 생각하시는지요?ㅋ 아참 저는 물리학과 학부생이라 잘몰르긴해여.

    2010.04.26 21:59 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.27 00:09 신고  댓글주소  수정/삭제

      Hermitian conjugation은 Ket 공간에서 Bra공간으로 기준점을 바꾸겠다는 의미이고 여기서는 허수 i의 대칭을 이용한 것입니다. 여기서 다루고 있는 S.E는 시간과 공간을 동등하게 다루고 있지 않기 때문에(시간이라는 축에 벡터를 붙여놓은 것이 아니라 시간이라는 parameter로 벡터를 묘사하고 있으니까요) position parity와는 당연히 다르죠.

      약력은 S.E에서 허수항을 갖는 potential로 묘사한다는 의미였는데 전달이 조금 잘못 된 것 같네요. 그리고 아직 Standard model은 보질 않아서 그 이후는 모르겠네요 -.-;;

      Dirac eq.에서도 i는 등장합니다. alpha로 쓰는 행렬 부분에 숨어있어서 안 보일 뿐이고요. 그런데 alpha는 잡기 나름이니까 꼭 그렇다고 확신은 못하지만. 더불어 S.E 이후에는 대부분 시간과 공간이 동등하게 다루어지기 때문이 지금 논의가 의미를 잃을거예요.

      사실 공대생보다는 물리학부생이 더 잘 알지 않을까요? 저야 아직은 반쯤 취미(..)삼아 공부하는거니...

    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.27 02:14 신고  댓글주소  수정/삭제

      실수로 빼먹은 것이 있는데, 행렬도 허수 i처럼 쓰는 방법이 있기 때문에(대각성분이 0이고 나머지가 1과 -1인 2x2 행렬(iσ_2)이라던가) Dirac eq.에 i가 없다고 할 수는 없다고 생각합니다. Dirac eq.에 들어가는 alpha는 숫자를 대신해서 쓰이는 거니까요.

Operator determination

Physics 2009.04.25 09:52
x-space에서 위치와 운동량의 측정값을 나타내는 Operator는 다음과 같다.

\hat{x}\equiv{x}\\\hat{p}\equiv{-i\hbar\frac\partial{\partial{x}}}

이를 더 간단한 k에 대해 나타내어 보자. 잘 알려진 바와 같이, 운동량 p는 k의 간단한 상수배이다.

p={\hbar{k}}\\\therefore\hat{k}={-i\frac\partial{\partial{x}}}

이제 각 알려진 연산자들에 대해 eigenstate를 구해보자. 먼저 x 연산자에 대해 x'이라는 eigenvalue를 얻어내는 eigenstate를 x에 대해 나타내면 다음과 같다.

\hat{x}|\varphi_{x'}\rangle=x'|\varphi_{x'}\rangle\\\therefore\,\langle{x}|\varphi_{x'}\rangle=\delta(x-x')

이는 k에도 마찬가지로 적용될 수 있다.

\hat{k}|\varphi_{k'}\rangle=k'|\varphi_{k'}\rangle\\\therefore\,\langle{k}|\varphi_{k'}\rangle=\delta(k-k')

각자의 eigenstate를 간단하게 쓰자.

|x\rangle\equiv|\varphi_x\rangle\\|k\rangle\equiv|\varphi_k\rangle

한편

\langle{x}|\hat{k}|k\rangle=-i\frac{d}{dx}\langle{x}|k\rangle=k\langle{x}|k\rangle\\\therefore\,\langle{x}|k\rangle=Ae^{ikx}

(주의 : 편미분 대신 일반적인 미분 d를 사용한 것은 eigenstate k를 x에 대한 함수로 취급하기 위함이다.)
여기서 A는 아직 정해지지 않은 상수이다. 한편

\int\langle{k'}|x\rangle{dx}\langle{x}|k\rangle=\langle{k'}|k\rangle=\delta(k'-k)

이므로

\langle{k'}|x\rangle=\frac1{2\pi{A}}e^{-ik'x}

을 얻는다. 앞의 상수가 일치하도록 조절하면(둘은 complex conjugate 관계라는 것을 고려한다)

\frac1{2\pi{A}}=A\\\therefore\,A=\frac1{sqrt{2\pi}}

을 얻는다. k 연산자는 k-space에서 단순한 상수로 나타나는데 그러면 x 연산자는 어떤 꼴로 나타날까? 구해보자.

\langle{k}|\hat{x}|x\rangle=x\langle{k}|x\rangle\\\hat{x}Ae^{-ikx}=xAe^{-ikx}\\\therefore\,\hat{x}=i\frac\partial{\partial{k}}

(주의 : 변수는 k이기 때문에 이런 꼴로 나타나는 것이다.)
좀 더 명확하게 말하자면

\langle{k}|\hat{x}=i\frac\partial{\partial{k}}\langle{k}|

이라고 할 수 있을 것이다. 이를 다시 p에 대해서 나타내면

\langle{p}|\hat{x}=i\hbar\frac\partial{\partial{p}}\langle{p}|

라고 할 수 있다. 다음 두 식을 보면, 재미있는 대칭성이 존재한다는 것을 볼 수 있을 것이다.

\langle{x}|\hat{p}=-i\hbar\frac\partial{\partial{x}}\langle{x}|\\\langle{p}|\hat{x}=i\hbar\frac\partial{\partial{p}}\langle{p}|


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