Commutators in finite dimensions and identity matrix

2014/05/22 - Constraints on Commutators

오늘도 하라는 공부는 안 하고 트위터에서 놀다가 함수해석학과 양자역학 이야기가 나와서 위 글을 다시 검토하던 중, '유한 차원에서라면-선형대수학의 영역이라면- 교환자(commutator)가 identity의 상수배가 나오지 않는다는 것을 증명할 수 있지 않을까?'란 생각이 들었다. 결론: 매우 쉽게 보일 수 있다.

아이디어는 매우 쉽다. 2×2 행렬은 Pauli matrice에 identity를 더해 기저로 잡은 복소수체 벡터공간의 원소로 생각할 수 있다. 3×3 행렬은 Gell-mann matrice에 identity를 더하면 된다. 일반적으로 n×n 행렬은 SU(n) 군의 생성자(generator)에 identity를 더해 기저로 잡은 복소수체 벡터공간의 원소로 생각할 수 있다.

\text{In general, a }n\times n\text{ matrix can be thought as} \\\text{an element of a vector space spanned by the set} \\\\\{I,g_1,g_2,\dots,g_{n^2-1} \} \\\\\text{where }I\text{ is the identity matrix and }g_i\text{'s are the} \\\text{generators of SU(}n\text{) group. Note that all bases} \\\text{except for }I\text{ are traceless.}

이제 n×n 행렬 두개를 가져다 교환자를 구성한 뒤 trace를 구하면 0이 됨을 쉽게 알 수 있다. 그런데 identity는 trace가 n이므로, identity의 상수배는 trace가 0일 수 없다. 따라서 유한차원에서 작용하는 연산자(operator)들의 교환자는 identity의 상수배가 될 수 없다.

\text{Let }A\text{ and }B\text{ be arbitrary }n\times n\text{ matrices and let} \\\\A=\alpha_0I+\alpha_ig_i, B=\beta_0I+\beta_ig_i \\\\\text{where summation over }i\text{ is implied. Then the trace} \\\text{of the commutator }[A,B]=AB-BA\text{ vanishes.} \\\\Tr([A,B])=Tr(\gamma_ig_i)=0 \\\gamma_i=\sum_{j,k}C_{ijk}\alpha_j\beta_k \\\\\text{The }C_{ijk}\text{'s are the structure constants. Since identity} \\\text{and its scalar multiple cannot be traceless, commutators} \\\text{in finite dimensional linear algebra cannot be a multiple} \\\text{of identity.}

이제 함수해석학을 배워야 하는 이유가 하나 더 추가되었다(...)

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수정: 잠결에 생각해보니 너무 어렵게 풀었네요. 결론은 똑같지만 trace가 0이어야 한다는 것은 다음 trace의 기본 성질로부터 훨씬 쉽게 보일 수 있습니다.

\text{Trace has the following properties} \\\\Tr(cA+dB)=cTr(A)+dTr(B) \\Tr(AB)=Tr(BA) \\\\\text{where lowercase letters are scalars. Therefore} \\\\Tr([A,B])=Tr(AB)-Tr(BA)=0

그러면 위에서 일반적인 연산자를 identity와 SU(n) 군의 생성자를 이용한 기저로 나타내는 것이 무슨 의미를 갖는지 생각해볼 수 있겠죠. 알려진 것과 같이 양자역학에서는 모든 측정가능량이 연산자로 주어집니다. 그리고 임의의 측정량이 있을 때, 여기에 identity의 상수배를 더하는 것은 측정량의 기준점을 이동한다는 의미가 됩니다. 단순히 모든 고유값(eigenvalue)들을 일정한 값만큼 이동하는 것과 동일하니까요. 따라서 identity는 실제 물리적인 의미를 갖는 부분이 아니라고 생각할 수 있습니다. 결국 n개의 독립적인 상태를 가질 수 있는 계가 있다면 이 계에서 얻을 수 있는 모든 측정량들은 SU(n) 리 대수(Lie algebra)의 원소로 생각할 수 있다는 뜻이 되겠죠. 이젠 군론을 배웁시다 야호!