양자역학의 유래

양자역학에서 상태는 추상적인 켓(ket)벡터

$$\left|\psi\right\rangle$$

로 나타난다. 이 벡터가 시간에 따라 진화하는 법칙이 슈뢰딩거(E. Schrödinger) 방정식으로, 1926년 처음으로 변위(x)에 대한 식을 유도해낸 이의 이름을 붙인 것이다. 당시 슈뢰딩거가 식을 유도해내었을 때에는 위 벡터를 변위공간에 투영한 것(

$$\psi(x)\equiv\left\langle{x}\middle|\psi\right\rangle$$

)의 시간에 따른 진화를 다루는 방정식이었고, 그 방정식의 생김새를 보고 파동함수라고 이름붙였다. 나중에 상태를 추상적인 벡터로 나타내기 시작한 것은 디랙(P.A.M. Dirac)의 업적이다.

^[각주:1]

 

이름에서 알 수 있듯이, 슈뢰딩거는 입자가 보이는 파동적 성질에 착안해서 방정식을 만들었다. 드브로이(L. de Broglie)가 빛의 양자성에서 영감을 얻어 제시한 물질파 가정은 물질에 파동적인 성질이 존재한다는 것을 암시한다. 물질의 파동적인 성질은 이후 전자를 이용한 회절실험과 간섭실험으로 증명되었고, 슈뢰딩거 방정식에 등장하는 2계미분의 근간이 되었다.^[각주:2] 1차원 입자 하나에 대해 쓰는 슈뢰딩거 방정식이 다음과 같이 생기게 된 것은 그 때문이다.^[각주:3]

 

$$i\hbar\frac\partial{\partial{t}}\Psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\Psi(x)+V(x)\Psi(x)$$

1차원, 입자 하나의 슈뢰딩거 방정식

 

이렇게 슈뢰딩거가 물질이 가지는 파동적인 특성에 집중하고 있던 사이, 하이젠베르크(W. Heisenberg) 등은 물질이 가지는 양자적인 특성(측정값이 불연속적으로 나타나는 특성)에서 영감을 얻어 행렬역학(Matrix mechanics)을 창시했다. 탄생 자체가 측정만 염두에 두고 만들어져서 그런지 양자역학에서 측정에 대한 모든 가정들은 행렬역학에서 유래하였다. 고전역학과 양자역학이 대비되는 대표적인 특징인 '측정의 결과는 고유값(eigenvalue) 중 하나이다'가 행렬역학의 핏줄을 이어받은 것이다.

 

두 접근법을 잘 드러낼 수 있는 고전역학적인 예는 1차원상에서 두 질점이 후크의 법칙(Hooke's law)에 따라 상호작용을 하는 경우다. 다음 그림을 보자.

 

x가 이상하게 쓰인건 무시하자

 

평형거리를 s라고 둔다면, 위 상황에서 운동방정식은 다음과 같다.

 

$$m_1\ddot{x_1}=k(x_2-x_1-s)\\m_2\ddot{x_2}=-k(x_2-x_1-s)$$

또는,

$$m_1\ddot{y_1}=k(y_2-y_1)\\m_2\ddot{y_2}=-k(y_2-y_1)\\y_1\equiv{x_1},~ y_2\equiv{x_2-s}$$

 

슈뢰딩거의 해법은 위 두 방정식을 더하고 빼서 각각 하나의 변수에만 의존하는 방정식으로 만드는 것이다. '직접적인 해법'이라고 할 수 있을 것이다.

 

$$\ddot{(m_1y_1+m_2y_2)}=0 \\\ddot{(y_1-y_2)}=-\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}(y_1-y_2)$$

 

윗식은 운동량 보존에 해당하고, 아랫식은 환산질량으로 쓴 운동방정식이다. 한편, 행렬을 이용한 해법도 존재한다. 이 방법이 하이젠베르크가 도입한 행렬역학의 아이디어이다. 첫 식을 이렇게 변형하면

 

$$\ddot{y_1}=\frac{k}{m_1}(y_2-y_1)\\\ddot{y_2}=-\frac{k}{m_2}(y_2-y_1)$$

 

행렬을 이렇게 쓸 수 있다.

 

$$\ddot{X}=AX \\X=\left( \begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array} \right) \\A=\left( \begin{array}{cc} -\frac{k}{m_1} & \frac{k}{m_1} \\ \frac{k}{m_2} & -\frac{k}{m_2} \end{array} \right)$$

 

이 경우 해가되는 벡터 X는 A의 고유벡터(eigenvector)의 선형조합으로 쓸 수 있다. 기본적인 아이디어는 해를 정상상태를 나타내는 벡터들을 조합해 나타내자는 것이다. 우린 먼저 조화진동자의 (정상상태의) 해가 다음과 같은 꼴로 쓰일 수 있다는 것을 알고있다.^[각주:4]

 

$$y=A\cos(\omega{t})+B\sin(\omega{t})$$

 

이 해를 추상화(?)하면 이렇게 쓸 수도 있다.

 

$$y=Re[Ae^{i\omega{t}}]$$

 

여기서 A는 복소수이다. 그리고 미분은 복소수를 켤레복소수로 만드는 과정과는 무관하므로(그러니까 어떤 복소함수를 미분한 다음 켤레복소수를 취하는 것이나 켤레복소수를 취한 복소함수를 미분하나 결과는 같으므로) 시간에 대한 2계미분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\ddot{y}=\frac{d^2}{dt^2}Re[Ae^{i\omega{t}}]=Re\left[\frac{d^2}{dt^2}\{Ae^{i\omega{t}}\}\right]=Re[-\omega^2Ae^{i\omega{t}}]$$

 

전기공학에서 쓰는 phasor 기법이라고 생각하면 된다. 어쨌든 이 과정에서 힌트를 얻자. 먼저 해 벡터 X를 시간과 관련된 부분만 따로 빼낼 수 있다고 생각하는 것이다.

 

$$X=\chi{e^{i\omega{t}}}~,\frac{d}{dt}\chi=0$$

 

여기서 $\chi$는 시간에 무관한 열벡터이다. 어찌되었든 이런 형태를 취하고 나면 위의 미분방정식은 고유값 문제(eigenvalue problem)가 된다.

 

$$\ddot{X}=-\omega^2X=AX\\(A+\omega^2I)X=0$$

 

그렇다면 고유값은? 고유값은 바로 각진동수의 제곱이다(부호는 반대). 고유값을 계산해보면 0과  $$\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}$$ 을^[각주:5] 얻고, 각자 평행이동과 서로에 대한 진동을 나타낸다는 것을 알 수 있다. 물론 해는 전의 방법과 전적으로 일치한다.

 

한가지 의문인 것은, 왜 측정하면 그 측정값의 고유벡터중 하나로 수렴할 확률이 그 고유벡터 계수의 절대제곱(absolute square)에 비례하냐는 것이다. 지금 당장은 신호를 퓨리에(Fourier)변환을 통해 주파수에 따라 분류하면 그 주파수대가 갖는 에너지가 절대제곱에 비례하기 때문에 거기에서 유래했으리라 추측하고 있지만 확실하지는 않다. 아무래도 조금 더 공부를 해야 할 것 같다.

 

첨언하자면 파동함수의 절대제곱이 확률밀도함수로 해석되게 된 이유 또한 행렬역학의 핏줄을 따라 내려온 것이라는 점이다. 왜 그런지는 독자의 몫으로 남겨 둔다.^[각주:6] 쓰기 귀찮아서...

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2012.11.08
추가할 내용은 새 글로 올리기로 했다. 다음 글도 읽어보시길.

2012/11/08 - 양자역학의 유래(2)

 

1. 이 표기법을 이용하게 되면서 상태를 더욱 다양한 방식으로 나타낼 수 있게 되었고, 상태를 더욱 직관적으로 인식할 수 있게 되었다. [본문으로]
2. 파동을 e와 허수 i를 이용한 지수함수로 나타낼 경우 진동수(파수)는 미분으로 얻어진다. 슈뢰딩거 방정식을 쓸 경우 허수의 도입이 절대적인 이유이기도 하다. [본문으로]
3. 원래 슈뢰딩거는 이 방정식이 시간에 대해서는 1계미분방정식이라는 것을 못마땅해했다고 한다. 그것도 그럴 것이, 위 형태의 방정식은 로렌츠 변환에 일정하지 않기 때문이다.(더불어 고전적인 파동을 나타내는 방정식은 시간에 대해 2계미분항을 가지고 있다.) 상대론적 양자역학으로 넘어가면 클라인-고든 방정식(Klein–Gordon equation)이 이 대칭을 갖기는 하지만, 이 경우는 2계미분방정식이라는 것이 문제이다. 자세한 내용은 다른 곳을 참조하시길. [본문으로]
4. 잠깐 이 문제를 벗어나고 있다. 일반적인 하나의 물체가 용수철로 벽에 연결된 상태를 생각하시길. [본문으로]
5. 부호는 반전시켰다. [본문으로]
6. 힌트: 함수는 무한한 행을 가진 열벡터로 쓸 수 있다. 아마 교재를 가지고 공부한다면 거기에 잘 나와있을 것이다. 그런데 실수라는 연속체를 그렇게 쓰기는 힘들텐데 -_-;; [본문으로]