Gaussian Integral with Imaginary Coefficients

보통 $\int \exp(iax^2) dx, a\in \mathbb{R}^+$를 적분할 때는 다음과 같은 극한을 이용해서 풀곤 한다.

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{iax^2}dx=\int_{-\infty}^{+\infty} \lim_{\epsilon\to0}e^{(ia-\epsilon)x^2}dx = \lim_{\epsilon\to0} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{(ia-\epsilon)x^2}dx \]

\[ \therefore \int_{-\infty}^{+\infty} e^{iax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{-ia}} = (1+i)\sqrt{\frac{\pi}{2a}} \]

문제는 극한의 적분과 적분의 극한이 같지 않을 수 있다는 것. 물론 위의 적분은 맞는 값이긴 하다. 위 적분을 제대로 구하는 한 가지 방법은 http://www.jstor.org/stable/2588989에서 다루고 있으니 참조. 이 글에서는 조금 다른 방법으로 구할 생각이다. 일종의 컨투어 회전.

아이디어는 복소평면에서  $\exp(iaz^2)$의 절대값을 그리게 되면 안장과 같은 모양을 하게 된다는 것. 원래 적분하는 구간은 다음 그림과 같다.

복소평면에서 적분하고  $\exp(iaz^2)$는 pole이 하나도 없는^[각주:1] analytic function이기 때문에 이 적분은 '시작점'과 '끝점'에만 의존한다. 해당 적분을 다음과 같이 바꾸어도 된다는 것.

왼쪽의 붉은 원호 적분이 $\Gamma_a$, 가운데의 녹색 선 적분이 $\Gamma_b$, 오른쪽의 붉은 원호 적분이 $\Gamma_c$이다. 파워포인트로 그리느라 감마를 넣는 과정이 복잡해서(..) 그림에는 넣지 않았는데 대충 알아들으리라 믿으며..

$\Gamma_b$를 +45도로 잡은 이유는 $z^2$의 허수부가 양수가 되도록 만들기 위해서다. 그래야 $a$ 앞의 $i$와 상쇄되어 음수가 만들어지니까. 각 적분을 구해 보자.

\[ \int_{-R}^{+R} e^{iax^2}dx = \Gamma_a+\Gamma_b+\Gamma_c \]

\[ \Gamma_b = \frac{(1+i)}{\sqrt2}\int_{-R}^{+R} e^{-ax^2} dx \]

여기까지는 쉽다. 이제 남은 두 적분이 $R\to\infty$ 극한에서 사라진다는 것을 보일 차례.

\[ \Gamma_a = \int_{0}^{\pi/4} e^{iaR^2\exp(2i\theta)}\left[-Re^{i\theta}\right]d\theta \\= \int_{0}^{\pi/4} -Re^{iaR^2\cos(2\theta)+i\theta}e^{-aR^2\sin(2\theta)}d\theta \]

어차피 크기가 0으로 날아간다는 것을 보이는 것이 중요하므로 크기만 구하면 된다.

\[ \left|\Gamma_a\right| \leq \int_{0}^{\pi/4} \left|-Re^{iaR^2\cos(2\theta)+i\theta}e^{-aR^2\sin(2\theta)}\right|d\theta \\ = \int_{0}^{\pi/4} Re^{-aR^2\sin(2\theta)}d\theta \\ = \int_{0}^{\pi/2} \frac{R}{2}e^{-aR^2\sin(\theta)}d\theta \\ \leq \int_{0}^{\pi/2} \frac{R}{2}e^{-aR^2\frac{2}{\pi}\theta}d\theta \sim O(R^{-1})\]

마지막 줄은 Jordan's lemma를 그대로 이용한 것. $\Gamma_c$도 같은 방법으로 $1/R$ 꼴을 갖는다는 것을 보일 수 있다. 이제 결론만 남은 상태.

\[ \therefore \int_{-\infty}^{+\infty} e^{iax^2}dx = \Gamma_b = \frac{(1+i)}{\sqrt2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2}dx = (1+i)\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\]

참고로 이 방식을 이용하면 처음 극한을 이용할 때 문제가 되는 $\sqrt{i}$의 부호가 한번에 해결된다. $\left(\frac{(1+i)}{\sqrt2}\right)^2=\left(-\frac{(1+i)}{\sqrt2}\right)^2=i$에서 어떤 부호를 택할 것이냐의 문제. 문제에서 $a$가 음의 실수인 경우에는 -45도로 틀면 똑같은 결론을 얻으니 더 언급할 필요는 없을 듯 하다.

1. 물론 무한원점은 essential pole에 해당하지만, 여기서는 고려하지 않기로 한다. [본문으로]