Dexter's story

2023.06.16 - Klein-Gordon propagator in position space

Feynman propagator를 계산한 김에 그냥 관련 함수를 전부 계산해보기로 했다. 모든 two-point function은 결국 Wightman function이라 불리는 다음 두 함수의 계산으로 수렴한다.

$$ G^+(t,\vec{r}) := \langle 0 | \phi(t,\vec{r}) \phi(0) | 0 \rangle \,,\, G^- (t, \vec{r}) := \langle 0 | \phi(0) \phi(t,\vec{r}) | 0 \rangle $$

여기서 $G$에 달린 윗첨자의 부호는 positive frequency인가 negative frequency인가를 나타낸다. scalar field의 mode expansion에서 annihilation operator에 붙는 mode function이 positive frequency($\sim e^{- i E t}$)라고 불린다는 점에서 더없이 적절한 이름이라 하겠다.

$$ G^\pm = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{e^{\mp i (\omega_{\vec{k}} t - \vec{k} \cdot \vec{r})} }{2 \omega_{\vec{k}}} \,,\, \omega_{\vec{k}} := \sqrt{\vec{k}^2 + m^2} $$

Wightman function은 Klein-Gordon 방정식의 homogeneous solution을 만족한다.

$$ (\partial^\mu \partial_\mu + m^2) G^{\pm} (x) = 0 $$

주의해야 할 점이라면 Wightman function은 $x$가 원점을 지나는 lightcone의 안에 있든 밖에 있든 상관없이 정의된다는 점. 애초에 $x^2 = 0$인 lightcone 바로 위가 아니라면 발산하지 않는다. Feynman propagator는 time ordering operator^[각주:1] $T$를 끼워넣은 것이므로 Wightman function으로부터 다음과 같이 구현할 수 있다. 단위허수 $i$가 어딘가에 붙긴 할텐데 중요한건 아니니까 무시하기로 하자.

$$ G_F (x) := \langle 0 | T \phi(x) \phi(0) | 0 \rangle = \Theta (t) G^+ (x) + \Theta(-t) G^{-} (x) $$

여기서 $x = x^\mu = (t, \vec{r})$은 좌표 4-vector인데, 혼동의 여지가 없으므로 그냥 위와 같이 간단하게 적기로 하자. 여기서 $\Theta(t)$는 Heaviside step function을 가리킨다. Feynman propagator가 Klein-Gordon 방정식의 Green's function이 되는 이유는 추가로 붙은 Heaviside function이 Dirac delta를 만들기 때문이다. ODE에서 Green's function을 구할 때 쓰는 테크닉과 원리상으로는 완전히 동등한 접근.

계산은 Feynman propagator 계산과 거의 동일하다. 약간의 부호만 신경써주면 될 뿐. 편의상 timelike separation을 먼저 고려하자.

$$ G^{\pm} =  \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{e^{\mp i t \sqrt{k^2 + m^2}} e^{\pm i \vec{k} \cdot \vec{x}}}{2 \sqrt{k^2 + m^2}} $$

위 식에서 $k$ 적분을 구면좌표계로 변환한 뒤 $d \cos \theta$적분을 취한다.

$$ G^{\pm} = \frac{1}{2 (2 \pi)^2} \int k^2 dk d \cos \theta \frac{e^{\pm i k r \cos \theta} e^{\mp i t \sqrt{k^2 + m^2}}}{\sqrt{k^2 + m^2}} \\\\ = \frac{\mp i}{8 \pi^2 r} \int_0^\infty k dk \frac{e^{\mp i (t \sqrt{k^2 + m^2} - kr)} - e^{\mp i (t \sqrt{k^2 + m^2} + kr)}}{\sqrt{k^2 + m^2}} $$

$k \to -k$의 대칭을 이용하여 적분구간을 전체 실수로 확장하고 $\frac{1}{2}$를 곱한 뒤 지수를 정리하기 위해 다음 변수들을 도입한다. 이 때 $t>0$이라고 가정한다.

$$ \rho = \sqrt{t^2 - r^2} \,,\, \cosh \alpha = t / \rho \,,\, \sinh \alpha = r / \rho \,,\, k = m \sinh \eta $$

이 경우 적분은 다음과 같이 정리된다.

$$ G^{\pm} = \frac{\mp i m}{16 \pi^2 r} \int_{-\infty}^{\infty} \sinh \eta d \eta \left( e^{\mp i m \rho \cosh (\eta - \alpha)} - e^{\mp i m \rho \cosh (\eta + \alpha)} \right) $$

우선 적분구간을 정리해준다.

$$ G^{\pm} = \frac{\mp i m}{16 \pi^2 r} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \sinh (\eta + \alpha) - \sinh (\eta - \alpha) \right) d \eta e^{\mp i m \rho \cosh \eta} $$

다음으로는 삼각함수 항등식을 이용해서 수식을 정리해준다.

$$ G^{\pm} = \frac{\mp i m \sinh \alpha}{8 \pi^2 r} \int_{-\infty}^{\infty} \cosh \eta d \eta e^{\mp i m \rho \cosh \eta} = \frac{\mp i m}{4 \pi^2 \rho} \int_{0}^{\infty} \cosh \eta d \eta e^{\mp i m \rho \cosh \eta} $$

마찬가지로 DLMF의 10.32.9식을 이용하면 정리 완료. 이 때 $z$는 $|\text{ph} (z) | < \pi/2$의 조건을 만족해야 하므로, 엄밀히 말해서는 $\pm i m \rho$를 허수축에서 $0^+$만큼 떨어진 boundary value로서 취급해야 한다.

$$ K_\nu (z) = \int_0^\infty dt \cosh (\nu t) e^{- z \cosh t} $$

위 적분을 대입하면 Feynman propagator와 비슷하게 생긴 Wightman function을 얻는다.

$$ G^{\pm} = \frac{m^2}{4 \pi^2} \frac{K_1 (\pm i m \rho)}{\pm i m \rho} \,,\, \rho^2 = t^2 - \vec{r}^2 > 0 \,,\, t>0 $$

$t<0$의 경우에는 $\cosh \alpha$ 정의의 부호를 뒤집어준다.

$$ \rho = \sqrt{t^2 - r^2} \,,\, \cosh \alpha = -t / \rho \,,\, \sinh \alpha = r / \rho \,,\, k = m \sinh \eta $$

정리되는 식은 $t>0$과 거의 비슷하지만 지수에서 차이가 나게 된다.

$$ G^{\pm} = \frac{\mp i m}{16 \pi^2 r} \int_{-\infty}^{\infty} \sinh \eta d \eta \left( e^{\pm i m \rho \cosh (\eta + \alpha)} - e^{\pm i m \rho \cosh (\eta - \alpha)} \right) $$

전체 부호를 앞으로 빼면 $G^+ \leftrightarrow G^-$의 교환에 대응되니 다음 식으로 정리된다.

$$ G^{\pm} = \frac{m^2}{4 \pi^2} \frac{K_1 (\mp i m \rho)}{\mp i m \rho} \,,\, \rho^2 = t^2 - \vec{r}^2 > 0 \,,\, t<0 $$

함수 자체는 거의 같게 나오지만 세세한 부분에서 차이가 있는 것을 볼 수 있다. 참고로 위 결과는 DLMF의 connection formula 10.27.8을 이용해 Hankel function으로도 적을 수 있다. 구체적으로 필요한 식은 다음.

$$ K_1(iz) = - \frac{\pi}{2} H_1^{(2)} (z) \,,\, K_1(-iz) = - \frac{\pi}{2} H_2^{(1)} (z) \,,\, z>0 $$

이 경우 positive frequency Wightman function은 다음과 같이 정리되며

$$ G^+ = \frac{i m}{8 \pi \rho} \left[ H_1^{(2)} (m \rho) \Theta(t) - H_1^{(1)} (m \rho) \Theta(-t) \right] \,,\, \rho^2 = t^2 - \vec{r}^2 > 0$$

negative frequency Wightman function은 위 함수의 켤레복소수로 주어진다.

$$ G^- = \frac{- i m}{8 \pi \rho} \left[ H_1^{(1)} (m \rho) \Theta(t) - H_1^{(2)} (m \rho) \Theta(-t) \right] \,,\, \rho^2 = t^2 - \vec{r}^2 > 0$$

여기서 $\Theta(x)$는 Heaviside step function. 위 두 형태가 Bogoliubov 양자장론 교재에서 제공하고 있는 형태이다.

Spacelike separation의 경우 $|\text{ph} (im\rho) | < \pi/2$의 조건을 생각해서 analytic continuation을 하면 되는데, 결과적으로는 $ \rho' = \sqrt{r^2 - t^2}$로 두고 Bessel function의 argument가 $m \rho'$이 되면 된다. 하지만 이왕 계산을 시작했으니 Feynman propagator 계산처럼 $t=0$인 좌표계를 잡는 대신 제대로 계산해보자. 이번에 택할 변수변환은 다음과 같다.

$$ \rho' = \sqrt{r^2 - t^2} \,,\, \cosh \alpha = r / \rho' \,,\, \sinh \alpha = t / \rho' \,,\, k = m \sinh \eta $$

이번에는 사인함수로 정리된다.

$$ G^{\pm} = \frac{\mp i m}{16 \pi^2 r} \int_{-\infty}^{\infty} \sinh \eta d \eta \left( e^{\pm i m \rho' \sinh (\eta - \alpha)} - e^{\mp i m \rho' \sinh (\eta + \alpha)} \right) $$

적분을 반으로 나눠서 정리해준다. 첫번째 항은 다음과 같이 정리된다.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \sinh \eta d \eta e^{\pm i m \rho' \sinh (\eta - \alpha)} = \int_{-\infty}^{\infty} \sinh (\eta + \alpha) d \eta e^{\pm i m \rho' \sinh \eta} \\ = \int_{-\infty}^{\infty} ( \sinh \eta \cosh \alpha + \cosh \eta \sinh \alpha) d \eta e^{\pm i m \rho' \sinh \eta} $$

두번째 항도 마찬가지로 정리할 수 있다.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \sinh \eta d \eta e^{\mp i m \rho' \sinh (\eta + \alpha)} = \int_{-\infty}^{\infty} ( \sinh \eta \cosh \alpha - \cosh \eta \sinh \alpha) d \eta e^{\mp i m \rho' \sinh \eta} $$

둘을 더하면 다음과 같이 정리된다.

$$ \cosh \alpha \int_{-\infty}^{\infty} \sinh \eta d \eta \left( e^{\pm i m \rho' \sinh \eta} - e^{\mp i m \rho' \sinh \eta} \right) \\\\ + \sinh \alpha \int_{-\infty}^{\infty} \cosh \eta d \eta \left( e^{\pm i m \rho' \sinh \eta} + e^{\mp i m \rho' \sinh \eta} \right) $$

첫번째 항은 DLMF의 10.32.7식을 이용해 정리할 수 있다.

$$ K_\nu (x) = \frac{1}{\sin (\nu \pi / 2)} \int_0^\infty \sin \left( x \sinh t \right) \sinh (\nu t) dt $$

결과는 Feynman propagator에서 보던 것과 비슷한 항.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \sinh \eta d \eta \left( e^{\pm i m \rho' \sinh \eta} - e^{\mp i m \rho' \sinh \eta} \right) = \pm 4 i \int_0^\infty \sinh \eta \sin (m \rho' \sinh \eta) d \eta \\ = \pm 4 i K_1 (m \rho') $$

두번째 항은 발산하는 항을 준다.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \cosh \eta d \eta \left( e^{\pm i m \rho' \sinh \eta} + e^{\mp i m \rho' \sinh \eta} \right) = 4 \int_0^\infty \cosh \eta \cos (m \rho' \sinh \eta) d \eta $$

대응되는 DLMF의 10.32.7식이 발산하기 때문. 식 사용 조건에 $|\mathfrak{R} \nu|<1$이 있었으니 단순 적용하기에 무리가 있기는 했지만.

$$ K_\nu (x) = \frac{1}{\cos (\nu \pi / 2)} \int_0^\infty \cos \left( x \sinh t \right) \cosh (\nu t) dt $$

여튼, 이 적분을 임시로 $f(m \rho')$이라고 부르기로 하자. 적분을 전부 더하면 다음과 같은 식을 얻는다.

$$ G^{\pm} = \frac{m^2}{4 \pi} \frac{K_1 (m \rho')}{m \rho'} \mp \frac{i m t}{ 4 \pi r} \frac{f(m \rho')}{\rho'} $$

발산하는 적분의 앞에 붙는 계수가 Lorentz symmetry를 만족하지 않는 것을 볼 수 있다. 따라서 가장 적절한 해법은 $f(m \rho') = 0$으로 두는 것. 따라서 이 경우 Wightman function은 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$ G^{\pm} = \frac{m^2}{4 \pi} \frac{K_1(m s)}{m s} \,,\, s^2 = \vec{r}^2 - t^2 > 0 $$

앞서 구한 세 값을 한 식에 정리하고자 한다면 다음과 같이 적을 수 있다.

$$ G^{\pm} = \frac{m^2}{4 \pi^2} \frac{K_1(m \sqrt{s_{\pm}^2})}{m \sqrt{s_{\pm}^2}} \,,\, s_{\pm}^2 = \vec{r}^2 - (t \mp i 0^+)^2 $$

저번에 구한 Feynman propagator는 두 Wightman function을 조합하는 것으로 구할 수 있다.

$$ G_F = \Theta (t) G^+ + \Theta(-t) G^- = \frac{m^2}{4 \pi^2} \frac{K_1(m \sqrt{s_F^2})}{m \sqrt{s_F^2}} \,,\, s_F^2 = \vec{r}^2 - t^2 + i 0^+ $$

단순하게 analytic continuation condition이 맞도록 $s_{\pm}^2$에 붙은 $i0^+$의 위치를 바꿔준 것. 흥미로운 경우는 Pauli-Jordan 함수라고도 불리는 commutator의 기댓값. 이번에도 단위허수 $i$는 무시하기로 한다.

$$ G_{PJ} := \langle 0 | [\phi(x) , \phi(0)] | 0 \rangle = G^+ - G^- = \frac{m^2}{4 \pi^2} \left[\frac{K_1(m \sqrt{s_{+}^2})}{m \sqrt{s_{+}^2}} - \frac{K_1(m \sqrt{s_{-}^2})}{m \sqrt{s_{-}^2}}\right] $$

이 함수는 $s^2 = \vec{r}^2 - t^2 > 0$일때 0이 된다. 이렇게 spacelike separation의 commutator가 사라지는 조건을 microcausality라고 부르기도 한다.

Klein-Gordon field의 Feynman propagator를 position space에서 계산해본 적이 없는 것 같아서 뒤늦은 숙제(...) 처리. 일반적인 차원 $D$ 대신 그냥 4차원에서만 계산하기로 했다.^[각주:1] 다음의 Fourier transform을 구하는 문제.

$$ \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{-i}{-k^2 + m^2 - i \epsilon} e^{- i k \cdot x} = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{i e^{- i k_0 t} e^{- \vec{k} \cdot \vec{x}} }{k_0^2 - ( \vec{k}^2 + m^2 - i \epsilon)} $$

우선 $dk^0$ 적분을 처리한다. $t$의 부호에 의존하는 residue integral로 정리할 수 있는데 결과적으로는 $t$의 절댓값에만 의존하는 결과를 얻는다.

$$ \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{e^{- i |t| \sqrt{k^2 + m^2}} e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}}}{2 \sqrt{k^2 + m^2}} $$

앞으로는 $\tau = |t|$로 적기로 하자. 다음은 구면좌표계로 변환한 뒤 $d \cos \theta$적분을 취하면 된다.

$$ \frac{1}{2 (2 \pi)^2} \int k^2 dk d \cos \theta \frac{e^{i k r \cos \theta} e^{- i \tau \sqrt{k^2 + m^2}}}{\sqrt{k^2 + m^2}} \\\\ = \frac{-i}{8 \pi^2 r} \int_0^\infty k dk \frac{e^{- i (\tau \sqrt{k^2 + m^2} - kr)} - e^{- i (\tau \sqrt{k^2 + m^2} + kr)}}{\sqrt{k^2 + m^2}} $$

$k \to -k$의 대칭을 이용하여 적분구간을 전체 실수로 확장하고 $\frac{1}{2}$를 곱한 뒤 지수를 정리하기 위해 다음 변수들을 도입한다. 우선은 timelike separation을 고려하기로 한다.

$$ \rho = \sqrt{\tau^2 - r^2} \,,\, \cosh \alpha = \tau / \rho \,,\, \sinh \alpha = r / \rho \,,\, k = m \sinh \eta $$

이 경우 적분은 다음과 같이 정리된다.

$$ \frac{-i m}{16 \pi^2 r} \int_{-\infty}^{\infty} \sinh \eta d \eta \left( e^{- i m \rho \cosh (\eta - \alpha)} - e^{- i m \rho \cosh (\eta + \alpha)} \right) $$

우선 적분구간을 정리해준다.

$$ \frac{-i m}{16 \pi^2 r} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \sinh (\eta + \alpha) - \sinh (\eta - \alpha) \right) d \eta e^{- i m \rho \cosh \eta} $$

다음으로는 삼각함수 항등식을 이용해서 수식을 정리해준다.

$$ \frac{-i m \sinh \alpha}{8 \pi^2 r} \int_{-\infty}^{\infty} \cosh \eta d \eta e^{- i m \rho \cosh \eta} = \frac{-i m}{4 \pi^2 \rho} \int_{0}^{\infty} \cosh \eta d \eta e^{- i m \rho \cosh \eta} $$

이제 DLMF의 10.32.9식을 이용하면 정리 완료. 이 때 $z$는 $|\text{ph} (z) | < \pi/2$의 조건을 만족해야 한다.

$$ K_\nu (z) = \int_0^\infty dt \cosh (\nu t) e^{- z \cosh t} $$

위 적분을 대입하면 Feynman propagator의 position space representation을 얻는다.

$$ \frac{-i}{-k^2 + m^2 - i \epsilon} \leftrightarrow \frac{m^2}{4 \pi^2} \frac{K_1 (i m \rho)}{i m \rho} \,,\, \rho^2 = t^2 - \vec{r}^2 > 0 $$

Spacelike separation의 경우 $ \rho' = \sqrt{r^2 - t^2}$로 두고 $\rho \to - i \rho'$로 continuation을 하면 된다. Analytic continuation에서 어떤 부호를 택할지 결정하는 문제는 $|\text{ph} (im\rho) | < \pi/2$의 조건으로부터 결정할 수도 있지만 $\tau=0$으로 두고 적분을 다음과 같이 정리하는 것으로도 결정할 수 있다.

$$ \frac{-i}{8 \pi^2 r} \int_0^\infty k dk \frac{e^{i kr} - e^{- i kr}}{\sqrt{k^2 + m^2}} = \frac{1}{4 \pi^2 r} \int_0^\infty k dk \frac{\sin (kr)}{\sqrt{k^2 + m^2}} $$

동일하게 변수변환 $k = m \sinh \eta$를 도입하면 적분이 다음과 같이 정리된다.

$$ \frac{m}{4 \pi^2 r} \int_0^\infty \sin \left( m r \sinh \eta \right) \sinh \eta d\eta $$

이번에는 DLMF의 10.32.7식을 이용한다.

$$ K_\nu (x) = \frac{1}{\sin (\nu \pi / 2)} \int_0^\infty \sin \left( x \sinh t \right) \sinh (\nu t) dt $$

정리하면 얻는 식은 다음과 같으므로 $\rho \to - i \rho'$의 부호 선택이 정답임을 알 수 있다.

$$ \frac{m^2}{4 \pi^2} \frac{K_1 (mr)}{mr} $$

결과적으로 branch cut이 자동으로 결정되는 식을 적고 싶다면 다음과 같이 적으면 되겠다.

$$ \frac{-i}{-k^2 + m^2 - i 0^+} \leftrightarrow \frac{m^2}{4 \pi^2} \frac{K_1 (i m \rho)}{i m \rho} \,,\, \rho^2 = t^2 - \vec{r}^2 - i 0^+ $$

(필명으로 운영하는 이 블로그 말고) 나중에 제대로 된 개인 홈페이지를 만들었을 때 올려놓아도 괜찮겠다 싶어서 학생 세미나도 준비할 겸 작성한 텍. 쓰다보니 너무 길어졌다.

Notion of Particles in Curved Space public.pdf

Unruh effect를 다루기 위해 넣은 Unruh-DeWitt detector는 진짜 열적 분포를 갖는 결과가 나오도록 하고 싶었는데 계산을 간단히 하려고 1+1차원에 갇혀있었던 것이 문제가 된 듯. 노트의 각주에 달아놓기는 했지만 3+1차원에서 계산하면 열적 분포가 제대로 나온다. 조금 신경쓰이는 부분은 $1/E$에 비례하는 항 때문에 구한 response function이 E에 대해 우함수가 아니라는 것인데, 이건 전이 확률이 에너지 준위차에만 의존하지 않고 에너지가 높은 쪽으로 전이하는 확률과 낮은 쪽으로 전이하는 확률이 서로 다르다는 것을 의미해서 그렇다. 여태 본 계산 중에는 이런 계가 없었던 것으로 기억하는데 무언가 잘못한 것이 있는 것은 아닌가 싶어서.

[27Nov2020] 약간의 업데이트 (6번 이후).

간단하게 보고있는 것과 보았던 것들.

1. David Tong: Lectures on Quantum Field Theory

http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html

병장 시절 군대에서 보던 것. 간단하게 '양자장론이 뭐 하는 녀석이냐' 알기엔 좋다. 상대론과 양자역학 공부만 제대로 했다면 읽을 수 있는 수준이라 생각됨. 재규격화나 루프가 나오지는 않는다. 200여 페이지.

2. Gerard t'Hooft, The Conceptual Basis of Quantum Field Theory

http://www.staff.science.uu.nl/~hooft101/lectures/basisqft.pdf

현재 읽고 있는 녀석. Tong의 Lecture note보다는 얇아서 좋기는 한데 이것도 마찬가지로 간략하게만 다룬다는게 특징. 80여 페이지.

3. Paul Adrien Maurice Dirac, The Principles of Quantum Mechanics

인터넷 잘 뒤지면(...) 스캔본이 나온다.^[각주:1] djvu 확장자일테니 데자뷰 리더는 필수.^[각주:2] 그 유명한 디랙 맞다. QED의 초창기 발전 방향을 알 수 있음. 사실 Dirac Equation쪽이 제일 인상적이었다. 군대에서 양자역학 공부하려고 빌린 책. 연습문제는 없지만 내용은 충실. 300여 페이지.

이 때 쓰던 notation은 현재 통용되는 notation과 조금 다르다는 것에 유의.

4. Franz Mandl & Graham Shaw, Quantum Field Theory

이것도 인터넷 잘 뒤지면(...) pdf를 구할 수 있다. Peskin 책이 나오기 전에 가장 많이 쓰이던 양자장론 교재인듯 싶다. 7장까지 읽다가(연습문제는 안 풀어봤으니 말 그대로 재미로 읽은거다) 그 이후에 Tong Lecture note 보느라 덮어두었던 기억이 난다. 500여 페이지.

[27Nov2020 추가] 전자기장의 양자화에 요즘은 거의 다루지 않는 Gupta-Bleuler 양자화를 쓴다. 최근에 나온 장론 책에서는 $A_0$의 동역학을 날려버리는 Coulomb gauge에서의 양자화나 아예 이런 이야기를 할 필요가 없는 경로적분 양자화만 다룬다는 것을 생각하면 한 번 정도는 봐두는 것이 좋을지도?

5. Michael E. Peskin & Daniel V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory

이것 역시 인터넷 잘 뒤지면(...) djvu 파일을 구할 수 있다. 세 버전 정도 구했는데 하나는 그림이 전부 깨졌고(pdf였다), 하나는 스캔본이었고, 하나는 괜찮았지만 페이지 하나가 아예 스캔이 안되어있었다는 단점이 있었다. 어떻게든 조합하면 쓸만하긴 하다만(...). Tong Lecture note를 보다가 이해가 안 되는 부분이 있으면 참조했던 책. 양자장론 교재로 제일 많이 쓰인다는데 난 정규교육을 받은 적이 없으니 그런걸 알 리가 있나.(대학원 2-3학년 과정이다) 가장 두껍다. 800여 페이지.

[27Nov2020 추가] 전자기장의 양자화를 어물쩍 넘어간다.

4&5번이 정식 교재이다. 1&2는 맛봬기로 독학하기에 좋은듯. 3은 사실 오래된 책이라 재미로 읽는 정도? 그래도 읽다 보면 디랙이 천재는 천재구나 하는 것을 느낄 수 있다. Griffiths 양자역학에 디랙방정식과 QED를 간략하게 넣으면(?) 이 책이 된다. 다만 Solid State Physics의 근간이 되는 Bloch's theorem은 등장하지 않는다. Sakurai의 Modern Quantum Mechanics처럼 양자역학에 대한 특이한 접근법이 인상적이다.

[27Nov2020 업데이트]

6. M. Srednicki, Quantum Field Theory

인터넷에서 출판 전 초고를 구할 수 있다. 집에 있는 것은 4판인가 그럴텐데 오타 수정이 좀 있는 편. 구성 자체가 위키백과를 보는 것처럼 자잘하게 주제별로 나뉘어져 있어 아무 곳이나 펼쳐서 공부하기 시작해도 무리가 없다는 특징이 있다. Spinor-helicity와 같이 옛날 책에서는 자주 누락되는 주제도 등장한다는 장점이 있고. 다만 의외로 이상한 구석에서 '아니 이게 왜 없어?'라 반응하게 되는 경우가 생기는데, 그 예시로 전자의 이상자기모먼트 계산과 양-밀스 이론의 파인만 규칙(다만 tree amplitude를 적기에는 더 편리한 Gervais-Neveu gauge에서 파인만 규칙은 포함되어 있다)이 누락되어 있다.

7. S. Weinberg, The quantum theory of fields

레퍼런스 북. 양자장론이 대충 무엇인지 감을 잡은 상태에서 개념을 확립하는 용도로 읽는 책이지 양자장론을 처음 배우는 용도로 쓰기에는 너무 어렵다. 이 책으로 양자장론을 배우겠다는 것은 (과장을 보태면) 화이트헤드와 러셀의 <수학 원리>로 사칙연산을 배우는 것과 비교할 수 있지 않을까? 하지만 양자장론에 대한 보다 심도 있는 이해를 위해서는 무조건 볼 수 밖에 없는 책이기도 하다. 단점은 역시 가격(...)과 연구 현장에서 쓰는 표기법과는 다소 다른 표기법을 쓴다는 것.

8. M. Veltman, Diagrammatica

와인버그의 책을 읽어야만 하는 이유 중 하나로 '양자장론은 S-matrix theory를 체계적으로 하는 bookkeeping device다'란 관점을 제시한다는 것이 있다. '입자는 장의 양자이다'란 대부분의 양자장론 교재에서 취하는 관점과는 다른 관점이라는 점에서 알아둘 필요가 있는 셈. 하지만 와인버그의 책을 읽지 않아도 그 관점을 공부할 수 있는데, 바로 펠트만의 이 책이 그런 경우. 장론 책이라고 하기에는 S-matrix의 계산에 치우쳐 있지만 얇아서 부교재로 삼으면 좋다. 물론 이 책도 와인버그의 책도 읽기 싫지만 그 관점을 알고 싶다면 여기에서 구할 수 있는 와인버그의 강연록을 보면 된다.

9. M. D. Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard Model

Peskin&Schroeder처럼 pheno 계산에 치우친 책. 오타가 좀 많긴 한데 이 부분은 차차 개선되고 있는 듯 하다. Unitarity 관련 부분만 제대로 봐서 평가를 남기기에는 좀 이른 감이 있다.

10. R. F. Streater & A. S. Wightman, PCT, spin and statistics and all that

Algebraic QFT의 고전. 물리를 하는데 크게 도움이 되지는 않지만 양자장론의 형식화와 형식화에 이용되는 수학에 대한 이해를 위해서는 한 번 정도 봐 두는 것이 좋다. 다시 한번 말하지만 물리 문제를 푸는 데는 그다지 큰 도움이 되지 않는다. 양자장론 계산을 생각 없이 하다가 마주할 수 있는 수학적인 문제에 대한 해답을 찾는 용도에 더 가까운 느낌이랄까.

11. T. Lancaster & S. J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur

양자장론을 처음 배우는 사람에게 강력하게 추천하는 책. 다만 게이지 장론은 포함되어 있지 않아서 양자장론의 꽃(?)인 양자색역학을 배우려면 다른 책을 구해야만 한다.

12. L. Parker & D. J. Toms, Quantum Field Theory in Curved Spacetime : Quantized Fields and Gravity

휜 공간에서의 양자장론으로는 Birrell&Davies가 더 유명하지만 (그리고 더 오래되었다) 이 책을 언급하는 이유는 양자장론 교재 중 '양자장론에서의 파동함수(wavefunctional)'를 이야기하는 책이 거의 없기 때문이다. 여태 읽어본 책 중에서는 이 책이 거의 유일. 양자역학에서 파동함수를 쓰듯 주어진 시간면 (time slice) 위의 장의 값을 변수로 갖는 파동함수를 써서 양자장론을 할 수 있음을 구체적으로 보여준다는 점에서 한 번 정도는 봐 둘 필요가 있다.

13. J. Collins, Renormalization

Dimensional regularisation을 공부하면서 '이거 사기 아니야?'란 느낌이 들 때 보면 좋다. 다만 이 책에서 쓰는 regularisation scheme은 conventional dimensional regularisation(CDR)이라고 불리고 실제 QCD 계산에서 주로 쓰는 BMHV scheme과는 $\gamma_5$를 다루는 방법이 다르다. Regularisation scheme별 차이를 보려면 이 논문을 보는 것이 더 빠르긴 하지만서도.

14. H. Elvang & Y.-t. Huang, Scattering Amplitudes in Gauge Theory and Gravity

내 전공에 너무 가까워지는 느낌이긴 한데, 산란진폭 (scattering amplitude) 계산에 특화된 책. 양자장론에 대한 기본적인 이해를 필요로 하기 때문에 양자장론을 처음 배우는 용도로 쓰기에는 적합하지 않지만, 양자장론에 대한 배경지식은 펠트만의 책을 읽은 정도면 충분할듯?

이전에 쓴 글 중 양자역학의 유래라는 글이 있었다. 현대 양자역학의 근간이 되는 파동방정식 풀이법과 행렬을 이용한 선형대수 연산 및 고유값을 사용하게 된 기원 등을 다룬 글인데,^[각주:1] 오랜만에 덧붙일만한 내용이 생각나서 새로운 글을 쓰기로 했다.

저번 글에서 양자역학이 형성되어 온 두가지 갈래길을 알아보았다. 이번에는 그 두 갈래길이 남아 아직도 영향을 미치고 있는 묘사(picture)에 대해 살펴보자.

수업을 듣던 중 교수님께서 에너지나 운동량 등의 측정값이 양자화되는 이유를 질문하셨다. 누군가가 경계조건(boundary condition)으로 고유값이 결정되기 때문이라고 했고 교수님은 공부를 열심히 했다고 칭찬하시고는 넘어가셨는데 필자가 보기에는 반만 맞는 답이었다. 하지만 타과생인지라 물리학과에 반기를 들기보다는 조용히 넘어갔다. 어째서 반만 맞는 답일까?

양자역학은 두 경로를 통해 발전했다. 하나는 슈뢰딩거(Erwin R. Schrödinger)의 '파동성을 핵심으로 하는 파동역학'이고, 나머지 하나는 하이젠베르크(Werner Heisenberg)의 '양자성을 핵심으로 하는 행렬역학'이다. 파동역학을 양자역학의 원류로 본다면 물리량이 양자화되는 이유는 경계조건이 존재하기 때문인 것이 맞다. 하지만 행렬역학을 양자역학의 원류로 본다면 물리량의 양자화는 공리(postulate)가 된다. 실제 양자역학은 두 원류가 합쳐진 형태로 발전했기 때문에 이런 의미에서 그 답은 반만 맞는 것이다. 그렇다면 이 두가지 관점은 어떻게 남아있을까?

슈뢰딩거의 파동역학은 전자파(electron wave-electromagnetic wave가 아니다!)와 같이 물체에게 파동성이 존재하므로 이미 존재하는 파동광학 등의 결과를 물질로 확장하는 것으로부터 출발하였다. 때문에 시간에 따라 변하는 것은 물질의 상태(state)가 되고, 이것이 반영되어 측정하는 물리량(operator를 말한다)은 시간에 불변하는 것으로 간주되었다. 빛이 화면에 닿아 상을 만들 때 화면의 상태가 변하기 때문에 화면에 그려지는 상이 변화한다고 보기보다는 빛의 상태가 변하기 때문에 상이 변화한다고 생각하는 것이 더 자연스럽지 않은가? 우리가 존재하는 공간이 변화한다고 보는 것보다는 그 공간에 놓인 물질이 변화한다고 보는 것이 아무래도 자연스럽기 때문에 대부분의 학부 양자역학 교재에서는 슈뢰딩거 묘사(Schrödinger picture)를 쓰는 경우가 많다. 슈뢰딩거 묘사를 쓸 경우 운동방정식은 다음과 같다. 잘 보면 고전적인 파동방정식과 닮았다.

$$\dot{\left|\psi\right>}=\frac{\mathbf{H}}{i\hbar}\left|\psi\right>$$

이번엔 하이젠베르크의 행렬역학을 따라가 보자. 하이젠베르크의 행렬역학은 전 글에서 설명했다시피, 물리량을 측정할 경우 그 값이 양자성을 가진다는 것에서부터 출발하였다. 수소원자스펙트럼은 불연속적으로 분포되어있지 않은가. 그렇기 때문에 하이젠베르크에게 변화하는 것은 물질의 상태가 아닌 물질의 측정값, 즉 물리량이 변화하게 된다. 같은 물질을 다른 시간에 측정하면 다른 물리량을 내놓는 것이므로 물질은 그대로 있고 물리량이 변화해야 한다는 의미이다. 안을 알 수 없는 기계장치가 들어있는 상자가 있고 그 상자의 벽에 화면이 설치되어 있어 시시각각 변화하는 숫자를 보여준다고 상상해보자. 이 경우 상자 자체가 변화한다기 보다는 상자의 화면에 찍히는 숫자가 변화한다고 보는 것이 자연스럽다. 하이젠베르크 묘사(Heisenberg picture)를 쓸 경우 운동방정식은 다음과 같다. 해밀토니안 역학에서 이런 방정식을 본 적이 있을 것이다.

$$\dot{\mathbf{A}}=\frac1{i\hbar}\left[\mathbf{A},\mathbf{H}\right]+\frac\partial{\partial{t}}\mathbf{A}$$

마지막으로 흔히 상호작용 묘사(interaction picture) 혹은 폴 아드리엔 모리스 디락(Paul Adrien Maurice Dirac)의 이름을 딴 디락 묘사(Dirac picture)를 생각해보자. 이 묘사방법은 양자장론(Quantum Field Theory)이 등장하면서 입자가 만들어지고 사라지기니 특정한 상태를 규정짓기가 힘들어지자 도입한 것으로 볼 수 있다. 물리적인 계(system)의 진화를 규정짓는 것이 해밀토니안(Hamiltonian)인데 이 묘사에서는 해밀토니안을 두가지로 나눈다. 일반적으로 우리가 측정하는 '입자'를 만들어주는 자유장 해밀토니안(free field Hamiltonian)과^[각주:2] 이 입자들 사이의 상호작용을 기술하는 상호작용 해밀토니안(interaction Hamiltonian)으로 나누고, 각각 H_0와 H_int로 이름붙인다. 우리가 측정하는 모든 물리량은 자유장 해밀토니안에 따라 변화하고, 우리가 측정할 대상이 되는 상태들은 상호작용 해밀토니안에 따라 변화한다. 하이젠베르크 묘사를 설명하면서 쓴 예제를 사용해 본다면 상자의 화면에 등장하는 숫자가 변화하는데, 상자 자체도 조금씩은 모양을 바꾼다는 것으로 생각할 수 있다. 상자의 모양에 따라 화면에 등장하는 숫자 또한 영향을 받는다면 1. 상자의 모양마다 숫자가 어떻게 나타나는지 2. 상자의 모양이 시간에 따라 어떻게 변화하는지로 나누어 설명하는 것이 편리하다. 때문에 상호작용 묘사에서는 운동방정식이 조금 복잡하다.

$$\mathbf{H}=\mathbf{H_0}+\mathbf{H_{int}}\\ \dot{\mathbf{A}}=\frac1{i\hbar}\left[\mathbf{A},\mathbf{H_0}\right]+\frac\partial{\partial{t}}\mathbf{A}\\ \dot{\left|\psi\right>}=\frac{\mathbf{H_I}}{i\hbar}\left|\psi\right>\\\\ \text{where }\mathbf{H_I}\text{ is the solution of}\\ \dot{\mathbf{H_I}}=\frac1{i\hbar}\left[\mathbf{H_I},\mathbf{H_0}\right]+\frac\partial{\partial{t}}\mathbf{H_I}\\ \mathbf{H_I}(t=t_0)=\mathbf{H_{int}}$$

물리 덕후 소리를 들을 정도로 이곳 저곳 다 파고 들어가며 닥치는대로 공부하다 보니 물리학 개념이 어떻게 발전해왔는가에 대해서도 이것 저것 알게 된 것이 많다. 아무래도 이런 이해가 있다 보니까 정리가 좀 잘 되는듯. 다음 학기 학부 졸업논문이나 잘 써야 할텐데...