로그 항등식?

페이스북 타임라인에 던져졌던 문제. 다음을 미분을 쓰지 않고 증명하시오.

\[ \ln f(x) = - \int _0 ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt \]

 

 

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그 전에 잠시 다음 적분을 보자.

 

\[ \forall a>0, \int_0^\infty \frac{1}{t}e^{-at}dt = \int_0^\infty \frac{1}{t}e^{-t}dt \]

 

위 식은 간단한 변수치환으로 보일 수 있다. 이제 다음 식을 생각해보자.

 

\[\forall a>0\forall \epsilon>0, \int_0^\infty\frac{1}{t}e^{-(a+\epsilon)t}dt -\int_0^\infty\frac{1}{t}e^{-at}dt = 0\]

 

왜냐고요? 위에서 임의의 변수 $a$를 넣어주어도 값이 같다는걸 보였으니까. 눈치가 빠른 사람들은 내가 왜 $\epsilon$을 넣었는지 감을 잡았겠지만, 이제 미분의 정의를 이용하려고 한다. 적분은 합쳐도 상관없으니 일단 같은 적분으로 퉁치기로 하자.

 

\[\lim_{\epsilon\to0}\frac1{\epsilon}\int_0^\infty\frac1t(e^{-(a+\epsilon)t}-e^{-at})dt=\lim_{\epsilon\to0}\frac1{\epsilon}0 = 0\]

 

한편, 극한을 적분 안에 우선 넣어버리는 방법도 있다.

 

\[\int_0^\infty\frac{1}{t}\lim_{\epsilon\to0}\frac{1}{\epsilon}(e^{-(a+\epsilon)t}-e^{-at})dt=-\int_0^\infty e^{-at}dt=-\frac1a \]

 

넵. 무언가 잘못되었습니다. 이런 문제가 생기는 이유중 하나로 처음 본 식의 적분은 무조건 발산한다는 성질이 있다.(극한과 적분의 순서를 바꾸어도 되는가는 꽤 섬세한 증명이 필요한 과정이긴 하지만 그건 수학과의 일이니 일단 무시하기로 하자)^{[각주:1][각주:2]} 애초에 시작부터 개소리라는 뜻이다. 하지만 우리는 불굴의 물리학도 계산기 공대생, 정의가 제대로 안 되었든 말든 그건 무시하고 일단 계산에 써먹는다!

 

 

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본론으로 돌아와서, 양변을 미분하면 처음의 식을 어떻게든 얻지만 다른 해법을 구하라고 한 이상 다른 방법을 찾아야 한다. 우선 위 등식은 이렇게 쓸 수 있다.

 

\[ \ln f(x) = - \int _0 ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt=-\int _0 ^{\infty}\int _{f(x)} ^{\infty} e^{-tf}df dt \]

 

되든 말든은 걱정하지 않고 식만 그럴듯하면 바꾸고 보는 공대생의 본능을 따라 적분 순서를 바꿔보자. 그러면

 

\[ \ln f(x) = -\int _0 ^{\infty}\int _{f(x)} ^{\infty} e^{-tf}df dt = -\int _{f(x)} ^{\infty}\int _0 ^{\infty} e^{-tf}dt df \\ = \int _{f(x)} ^{\infty} \frac1f df \]

 

적분이 발산한다. 어쨌든 식의 꼴은 대충 맞췄으니, 우리는 어떻게든 비슷한 맞는 증명과정을 가고 있다고 생각할 수 있다. 어디에서 문제가 생긴 걸까? 문제는 정의되지 않는 적분을 억지로 정의했기 때문에 생긴다: 0에서 1/t는 정의되지 않는다.^[각주:3] 보다 올바른 표현으로 바꾸려면 위 등식을 다음과 같이 써야 한다.

 

\[ \ln f(x) = - \lim_{\epsilon\to 0+} \int _\epsilon ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt \]

 

이 식을 끌고가 보자. 적분 순서를 바꾸면 ('과연 바꿀수 있는가?'란 질문은 수학과에게 넘기기로 하자)

 

\[ - \int _\epsilon ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt=-\int _\epsilon ^{\infty}\int _{f(x)} ^{\infty} e^{-tf}df dt = -\int _{f(x)} ^{\infty}\int _\epsilon ^{\infty} e^{-tf}dt df \\ = \int _{f(x)} ^{\infty} \frac{e^{-\epsilon f}}{f} df = \left (\ln{f})e^{-\epsilon f} \right|_{f(x)}^\infty+\epsilon\int_{f(x)}^{\infty}(\ln f)e^{-\epsilon f} df \]

 

문제는 두번째 항의 적분이다. 두번째 항은 입실론이 0으로 갈 때 수렴할까 발산할까? 당연히 발산하지(...). 얼마나 빠르게 발산하는지 확인하기 위해 두번째 항은 라플라스법/안장점법(saddle point method)/최대기울기법(method of steepest descent) 등으로 불리는 다음 기법을 이용해 근사해보자. 우선 다음이 되는 식 g를 계산한다.

 

\[ e^{g(f)}=(\ln f)e^{-\epsilon f} \]

 

이제 좌변을 극대값에서 테일러 전개를 이용해 근사한다.

 

\[ \frac{d}{df}\left[(\ln f)e^{-\epsilon f}\right]_{f^\ast}=\left[\frac1{f^\ast}-\epsilon\ln f^\ast \right]e^{-\epsilon f^\ast}=0 \\\therefore f^\ast\ln f^\ast=\frac1\epsilon \\\\g(f) = \ln\left[(\ln f)e^{-\epsilon f}\right] \simeq g(f^\ast)+\frac12 g''(f^\ast)(f-f^\ast)^2 \\\therefore g(f) \simeq \ln\left[\frac1{\epsilon f^\ast}e^{-\frac1{\ln f^\ast}} \right]-\frac12 \frac{\epsilon(1+\frac{1}{\ln f^\ast})}{f^\ast}(f-f^\ast)^2 \]

 

매우 익숙한 적분이 보이는 것은 착각이 아니다.

 

\[ \int_{f(x)}^{\infty}(\ln f)e^{-\epsilon f} df \simeq \int_{f(x)}^{\infty}\frac1{\epsilon f^\ast}e^{-\frac1{\ln f^\ast}}e^{-\frac12 \frac{\epsilon(1+\frac{1}{\ln f^\ast})}{f^\ast}(f-f^\ast)^2}df \\\simeq \int_{-\infty}^{\infty}\frac1{\epsilon f^\ast}e^{-\frac1{\ln f^\ast}}e^{-\frac12 \frac{\epsilon(1+\frac{1}{\ln f^\ast})}{f^\ast}(f-f^\ast)^2}df \\=\frac1{\epsilon f^\ast}\sqrt{\frac{2\pi f^\ast}{\epsilon(1+\frac{1}{\ln f^\ast})}}e^{-\frac1{\ln f^\ast}} \]

 

극한을 취하면

 

\[ \therefore- \lim_{\epsilon\to 0+} \int _\epsilon ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt \\=\lim_{\epsilon\to 0+}\left[\left (\ln{f})e^{-\epsilon f} \right|_{f(x)}^\infty+\epsilon\int_{f(x)}^{\infty}(\ln f)e^{-\epsilon f} df \right ] \\=\lim_{\epsilon\to 0+}\left[\left (\ln{f})e^{-\epsilon f} \right|_{f(x)}^\infty+\frac1{f^\ast}\sqrt{\frac{2\pi f^\ast}{\epsilon(1+\frac{1}{\ln f^\ast})}}e^{-\frac1{\ln f^\ast}} \right ] \\=\ln f+O((\ln f^\ast)^{1/2}) \]

 

마지막의 O는 발산하는 항이다. 위에서의 정의 때문에 $\ln f^\ast$의 1/2승으로 발산하면 $-\ln \epsilon$의 1/2승보다도 느리게 발산한다는 것을 확인할 수 있다( $f^\ast\leq\epsilon^{-1}$). 참고로 $-\ln\epsilon$은 $\epsilon$의 어떤 차수보다도 천천히 발산한다(지금은 $\epsilon$을 0으로 보내고 있다) .

 

\[\therefore \epsilon\to0,-\int _\epsilon ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt = \ln f + O((-\ln \epsilon)^{1/2}) \]

 

아, 그리고 뒤쪽의 발산하는 항은 '비물리적이다!'라고 판단해서 날려먹는 일은 자주 있는 일이다. 이로서 증명 끝!(?)

1. 한 교수님 왈: (무한합과 적분의 순서를 바꾸면 간단해지는 식이 있을 때) "수학과는 적분과 무한합의 순서를 바꾸어도 되는지 고민하느라 시간을 날린다. 공대생은 일단 바꾸고 계산해서 틀린다" [본문으로]
2. 함수열의 극한의 적분과 함수열의 적분의 극한이 다른 사례로 $f_n(x)=2^{n+1}, 2^{-n-1} \leq x \leq 2^{-n}$ 이 있다(타 구간에서는 0). 이 함수열의 극한은 항등적으로 0인 함수. [본문으로]
3. 실제로도 적분이 문제가 생기는 영역은 0 근처이다. [본문으로]