복소수 대칭과 시간대칭

물리학에서 대칭성은 대부분 어떤 보존으로 나타납니다. 여기서 말하는 대칭이란 '구분할 수 없음'을 뜻하지요. 운동량은 위치에 대한 대칭성에서, 에너지 보존은 시간에 대한 대칭성에서 얻어지지요.

이제 질문. 허수 i와 -i는 대칭적입니다. 서로 구분이 불가능하지요. 이 수학적 대칭은 물리의 어떤 현상으로 이어질까요? 잘 살펴보면, 이런 수학적 대칭은 시간을 뒤집는 대칭에 해당한다는 것을 알 수 있습니다.



이게 원 슈레딩거 방정식입니다. 양변의 i를 모조리 -i로 바꾸어주면



여기서 *로 표시된 것은 전부 켤레복소수(complex conjugate)에 해당합니다. 해밀토니안은 i를 포함하지 않는다고 가정하면(즉, 포텐셜이 실수로만 나타난다고 가정하면)^[각주:1] 다음의 꼴을 얻습니다.



-t를 새로운 시간, 타우로 정의하면



시간을 뒤집은 파동함수(의 켤레복소수)가 원래의 파동함수와 같은 방정식을 만족하는군요. 결국, 시간에 대해 파동함수는 대칭적이라고 생각할 수 있겠지요. 이 대칭성은 time parity라고 불리는 값의 보존으로 이어집니다. 패리티에 대해서는 나중에 설명하기로 하지요 ^^;;;

재미있는 것은 시간 뒤집기가 성공하지 못할 수 있다는 것입니다. 허수포텐셜을 도입하면 그렇게 되지요. 이제 허수가 들어가는 포텐셜은 약력을 대표한다고 추론할 수 있겠지요. 약력이 대부분의 대칭성 붕괴의 원인이니 말입니다.

덧. 쓰다보니 하루가 지나가는군요 -_-

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1. 허수포텐셜을 도입하는 경우 파동함수는 보통 시간이 지나며 필연적으로 파괴되어 버리거나(0으로 수렴하거나) 무한히 발산해 버립니다. 때문에 방사능 붕괴와 같은 경우에는 허수포텐셜을 도입합니다. 하지만 그런 부분은 지금 우리가 관심을 갖는 영역이 아니기 때문에, 무시하도록 하겠습니다. [본문으로]