Dexter's story

2010.08.03 - 엔트로피 - 고전적인 정의

2010.11.22 - 열역학 제 2 법칙과 엔트로피 증가의 법칙

 

(현재) 밥 벌어먹는 주제와는 다소 거리가 있지만 열역학 및 통계역학은 개인적으로 애착이 있는 주제인데, 공학 전공 대신 이학 전공을 택하기로 마음먹은 계기가 된 학문이기 때문이다. 특히 엔트로피의 정의 및 열역학 제 2법칙의 정량적 형식화는 물리학을 전공으로 택하기로 마음먹은 직접적인 계기가 된 주제이기 때문에 더욱 애착이 있는 편이다. 여튼, 트위터에서 엔트로피의 정의에 등장하는 로그에 대한 이야기가 나와서 엔트로피에 대해 떠들다 보니 예전에 완전히 해소하지 못했던 의문에 대해 다시 생각해보게 되었다.

고전열역학과 통계역학은 서로 다른 "공리계"에 바탕을 둔 이론 체계인데, 어떻게 한 쪽의 엔트로피의 정의가 다른 쪽의 엔트로피의 정의에 대응된다고 할 수 있는가?

학부 졸업하고 한참이 지난 이제서야 이 질문에 대해 답할 수 있게 되어서 정리해보는 것이 이번 포스트의 목적이다.

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고전열역학의 알파와 오메가는 열기관(heat engine)이다. '증기기관의 효율 개선'이란 공학적인 목표와 밀접한 관계를 갖고 발전한 학문인데다가 열역학의 가장 기본적인 물리량이라 할 수 있는 온도부터 열기관을 이용해 정의되며, 따라서 어떤 계에 열역학이 있을 경우 대응되는 열기관을 고려하는 것이 매우 자연스럽다.^[각주:1] 실제 열역학의 응용은 열기관이 요구하는 닫힌 사이클에 한정되지 않지만, 가장 중요한 개념은 열기관이란 점을 분명히 해 두자.

한편 통계역학은 원자론과 경험적 실재를 조화시키는 것을 목표로 한다. 통계역학의 전신이라 할 수 있는 기체분자운동론(kinetic theory of gases)은 수많은 "원자"로^[각주:2] 구성된 기체를 어떻게 부피, 온도, 압력 등 매우 적은 갯수의 물리량으로 정확하게 기술할 수 있는가를 설명하기 위한 이론이다. 기체분자운동론보다 다양한 물리계를 다루는 통계역학은 마찬가지로 엄청나게 많은 자유도를 가진 계의 행동을 기술하는데는 그 계의 정확한 상태(혹은 미시상태microstate)를 알 필요 없이 중요한 몇 개의 물리량만 알아도 충분하다는 경험적 실재에 바탕을 두고 있다. Jaynes로부터 시작한 통계역학과 정보이론 사이의 접점도 이런 관점에서 이해할 수 있다. (대)정준 앙상블((grand)canonical ensemble)은 거시계의 중요한 물리량으로 결정되는 거시상태(macrostate)를 알고 있을 때 실제 계가 어떤 미시상태에 있을 확률을 추정하는 문제의 답인데, 이 문제는 전형적인 주어진 정보(거시상태)로부터 원하는 정보(어떤 미시상태일 확률)를 추정하는 베이지언 추정의 사례다.

본문으로 넘어가기 전 이 포스트에서는 모두 평형상태, 준평형상태(quasi-equilibrium) 혹은 평형에 가까운 상태(near equilibrium)만 다룬다는 점을 분명히 하기로 하자. 애초에 이 범주에서 벗어나는 경우는 아직까지도 연구주제이기도 하고.

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역사적으로는 고전열역학이 기체분자운동론과 같이 발전했지만, 고전열역학의 현대적인 재구성에서는 전혀 통계역학적인 관점을 필요로 하지 않는다. 흥미로운 점은 고전열역학의 세 "공리" 중 물리량을 정량적으로 지정하는 것은 하나(열역학 제 1법칙)뿐이라는 사실이다. 뉴턴역학의 세 "공리" 중 제 2 법칙에 대응된다고 해야 할까.

0. 열평형은 존재하며 온도를 정의할 수 있다. (A와 B가 열평형을 이루고 B와 C가 열평형을 이루면 A와 C 또한 열평형을 이룬다. 이 때 A, B, C 모두 같은 온도를 갖는다.)
1. 열은 에너지의 이동이며, 에너지는 보존된다.
2.1. 열은 낮은 온도에서 높은 온도로 흐를 수 없다. (Clausius)
2.2. 열을 순수하게 일로 변환할 수 없다. (Kelvin-Planck)

위의 열역학 법칙 중 정량적으로 정의되는 것은 (에너지의 이동으로 정의되는) 열밖에 없다. 에너지는 고전역학에서 정량적으로 정의되기 때문. 그리고 위의 열역학 법칙으로부터 정의되는 온도는 모스 굳기계처럼 상대적인 순서만 정의된다는 것을 기억하도록 하자; 온도가 높은 열원에서 온도가 낮은 열원으로 열이 흐른다는 것은 결정할 수 있지만, 온도가 높은 열원이 온도가 낮은 열원보다 얼마나 뜨거운가는 답할 수 없다. '얼마나 뜨거운가?'란 정량적인 질문에 답하기 위해서는 열역학 법칙으로부터 정의되는 온도에 구조를 좀 더 더해 열역학적 온도로 바꾸어야 한다.

켈빈으로 정의되는 절대온도는 정확히는 열역학적 온도로, 이상적인 가역기관의 열효율을 이용하여 온도에 절대값을 줄 수 있다는 것을 이용한 것이다.^[각주:3] 참고로 실제 측정에 쓰이는 온도의 SI 정의는 ITS-90 및 그 저온 확장인 PLTS-2000으로, 열역학적 온도의 근사이며 완전히 일치하지는 않는다. 고전열역학에서 온도가 정의되는 과정은 위에 링크해둔 예전 글을 참조하도록 하자. 여튼, 열역학적 온도 $T$를 정의하고 나면 열역학적 온도를 이용해 엔트로피(의 변화)를 정의할 수 있다.

$$ dS_C := \left. \frac{\delta Q}{T} \right|_{\text{rev.}} $$

여기서 rev.는 가역과정(reversible process)를 나타낸다. 이 미분이 왜 상태함수인 엔트로피 $S_C$를 정의하는지는 예전 글에서 다뤘으므로 넘어가기로 한다. 대학물리에서 배우는 엔트로피의 정의는 위의 꼴을 갖는데, 편의상 우변에 적힌 미분량을 제일 먼저 적은 클라우지우스의 이름을 따서^[각주:4] 클라우지우스 엔트로피라고 부르기로 하자. $S_C$의 아래첨자 C는 Clausius를 나타낸다.

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통계역학은 완전히 다른 "공리계"에서 출발한다. 보통 동일 선험확률의 원리(principle of equal a priori probability)라 부른다.

0. 주어진 거시적 성질에 대응되는 모든 미시상태는 동등한 확률을 갖고 실현된다.

그리고 이 성질을 '증명'하기 위해 오늘도 많은 이론가들이 머리를 싸매고 있지만 우리의 관심사는 두통을 얻는 것이 아니므로 일단 그렇다고 받아들이기로 하자. 위 "공리"에서 다음 보조가설이 유도된다.

0.1. 거시적 물리량은 대응되는 미시상태의 수가 줄어들지 않는 방향으로 움직이는 경향을 갖는다.

그렇다면 거시적 물리량에 대응되는 미시상태의 수 $\Omega$는 어떻게 측정할까? 편의상 내부 자유도가 없는 (이상)기체를 가정할 경우, 미시상태의 수는 거시적 물리량과 일치하는 위상공간(phase space)의 부피로 정의한다. 기체의 위상공간 중 위치 $x$가 가질 수 있는 범위는 기체가 가둬진 상자의 부피 $V$로 주어질테고 운동량 $p$가 가질 수 있는 범위는 기체가 갖는 총 에너지 $E$에 의해 결정될테니, 미시상태의 수 $\Omega$는 거시적 물리량인 기체의 총 에너지 $E$와 기체가 가둬진 상자의 부피 $V$에 의해 결정된다.

$$ \Omega = \Omega(E, V) $$

문제는 미시상태의 수 $\Omega$가 별로 좋은 물리량이 아니라는 것이다. '경우의 수'로도 해석될 수 있는 $\Omega$는 동일한 부피와 동일한 에너지를 가진 같은 기체가 또 있을 경우 두배가 되는 것이 아니라 제곱이 된다. 좀 더 구체적으로 이야기하자면, 전체 계를 두 부분계(subsystem)로 나눴을 때 전체 계가 갖는 미시상태의 수 $\Omega_{\text{tot}}$는 부분계 1의 미시상태의 수 $\Omega_1$과 부분계 2의 미시상태의 수 $\Omega_2$의 곱으로 적히게 된다.

$$ \Omega_{\text{tot}} = \Omega_1 \times \Omega_2 $$

우리에게 익숙한 물리량의 행동은 크게 세기 성질(intensive property)과 크기 성질(extensive property)로 나눠지는데, 미시상태의 수 $\Omega$는 두 행동 중 어느 것과도 일치하지 않는다. 하지만 로가리듬을 이용하면 미시상태의 수 $\Omega$를 크기 성질로 바꿀 수 있다.

$$ \log \Omega_{\text{tot}} = \log \Omega_1 + \log \Omega_2 $$

보통은 이쯤에서 $\log \Omega$를 이용해 볼츠만 엔트로피 $S_B$를 정의하는데, 아직까지는 위에서 정의한 클라우지우스 엔트로피 $S_C$와의 관계가 불분명하므로 $W$라고 적기로 하자.

$$ W := \log \Omega (E,V) $$

이제 몇가지 보조가설을 도입하여 $W$의 성질 및 $W$로부터 온도를 정의하는 방법에 대해 알아보자.

1. 열평형은 존재하며, 전체 미시상태의 수가 극대화되는 거시상태에 대응된다.
2. 열은 온도가 높은 부분계에서 온도가 낮은 부분계로 이동한다.

대부분의 통계역학 교육과정에서처럼 부피에 대한 의존도는 무시하고 에너지에 대한 의존도만 살리기로 하자. 부분계 1과 부분계 2로 나눈 전체 계의 에너지를 $E$라고 할 때, 전체 계의 미시상태 수 $W_{\text{tot}}$는^[각주:5] 다음과 같이 적을 수 있다.

$$ W_{\text{tot}} (E;E_1) = W_1 (E_1) + W_2 (E - E_1) $$

여기서 $E_1$은 부분계 1이 나눠가진 에너지다. 평형상태에 대응되는 에너지 $E_1^\ast$는 $W_{\text{tot}}$의 극대화 조건으로부터 구할 수 있다. 첫번째 극대화 조건은 '미분이 0일 것'이다.

$$ \left. \frac{\partial W_{\text{tot}}}{\partial E_1} \right|_{E_1 = E_1^\ast} = \left. \frac{\partial W_1 (E_1)}{\partial E_1} \right|_{E_1 = E_1^\ast} - \left. \frac{\partial W_2 (E_2)}{\partial E_2} \right|_{E_2 = E - E_1^\ast} = 0 $$

두번째 극대화 조건은 '2계미분이 음수일 것'이다.

$$ \left. \frac{\partial^2 W_{\text{tot}}}{\partial E_1^2} \right|_{E_1 = E_1^\ast} = \left. \frac{\partial^2 W_1 (E_1)}{\partial E_1^2} \right|_{E_1 = E_1^\ast} + \left. \frac{\partial^2 W_2 (E_2)}{\partial E_2^2} \right|_{E_2 = E - E_1^\ast}  < 0 $$

잠시 두번째 조건에 대한 사족을 덧붙이고 온도의 정의로 넘어가기로 하자. 만약 두번째 극대화 조건보다 강한 다음 조건을 계의 미시상태 수 $W$에 대해 요구하면 그 계는 (같은 조건을 만족하는) 다른 계와 항상 열평형을 이룰 수 있다.

$$ \frac{\partial^2 W}{\partial E^2} < 0 $$

대부분의 경우 암묵적으로 고려하는 물리계가 1계미분에 대한 조건 $\frac{\partial W}{\partial E} > 0$과 함께 위의 성질을 만족할 것을 요구하며, 통계-열역학적으로 보통인 계(normal system in the statistical-thermodynamic sense)라고 부르기도 한다.^[각주:6] 물론 모든 계가 이 조건을 만족하는 것은 아니다. 힐베르트 공간의 차원이 유한한 양자계가 대표적인 사례. 다른 사례로는 끈이론이 있는데, 고에너지이론에서는 끈의 에너지가 충분히 높을 경우 끈의 미시상태 수가 에너지에 따라 지수적 이상으로 증가($\Omega \gtrsim e^{\alpha E}$)해 이 조건을 만족하지 못하는 경우가 존재한다. 이와 관련된 온도를 하게도른 온도(Hagedorn temperature)라고 하는데, 보통은 상전이점에 가까워져 통계역학적인 물리를 기술하기 위해 썼던 모형이 더 이상 유효하지 않아 발생하는 것으로 해석한다.

첫번째 보조가설에 대한 이야기(열평형의 존재)는 이정도로 하고, 이제 두번째 보조가설인 '열의 흐름 방향'으로 넘어가자. 열이 흘러야 하는 방향으로부터 온도의 대소관계를 정의할 수 있다. 만약 부분계 1이 가진 에너지가 평형상태에 대응되는 에너지보다 낮은 상태($E_1 < E_1^\ast$)라면 $E_1$이 증가하는 방향과 $W_{\text{tot}}$이 증가하는 방향이 동일할 것이다.

$$ E_1 < E_1^\ast \Rightarrow \frac{\partial W_{\text{tot}}}{\partial E_1} = \frac{\partial W_1 (E_1)}{\partial E_1} - \left. \frac{\partial W_2 (E_2)}{\partial E_2} \right|_{E_2 = E - E_1} > 0 \Rightarrow \frac{\partial W_1}{\partial E_1} > \frac{\partial W_2}{\partial E_2} $$

이 경우 $E_1$이 증가하려 하기 때문에 부분계 1의 온도 $t_1$은 부분계 2의 온도 $t_2$보다 낮을 것이다.

$$ E_1 < E_1^\ast \Rightarrow t_1 < t_2 $$

반대의 경우($E_1 > E_1^\ast$) 또한 생각해 볼 수 있다. 중간 계산을 건너뛰고 결론만 이야기한다면, 다음과 같은 식을 얻는다.

$$ E_1 > E_1^\ast \Rightarrow \frac{\partial W_1}{\partial E_1} < \frac{\partial W_2}{\partial E_2} \,,\, t_1 > t_2 $$

여기서 한가지 패턴을 눈치챌 수 있는데, 온도의 대소관계는 미시상태 수에 대한 에너지 미분 $\frac{\partial W}{\partial E}$의 대소관계와 반대라는 것이다. 따라서 $\frac{\partial W}{\partial E} > 0$를 만족하는 보통계의 경우 온도에 대한 단조증가함수 $\phi(t) > 0$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$ \phi(t) := \left( \frac{\partial W}{\partial E} \right)^{-1} \,,\, t_1 < t_2 \Rightarrow \phi(t_1) < \phi(t_2) $$

이제 남는 문제는 $\phi(t)$를 고전열역학에서 정의되는 열역학적 온도 $T$로 취급할 수 있다는 것을 보이는 것이다. 이 문제만 해결되면 볼츠만 엔트로피 $S_B = W$가 클라우지우스 엔트로피 $S_C$에 대응됨은 자동으로 따라오는데, 볼츠만 엔트로피의 변화량을 클라우지우스 엔트로피 정의의 우변처럼 적을 수 있기 때문이다.

$$ \phi(t) = T \Rightarrow \frac{\partial S_B}{\partial E} = \frac{1}{T} \Rightarrow dS_B = \frac{dE}{T} \Leftrightarrow \left. \frac{\delta Q}{T} \right|_{\text{rev.}} = dS_C $$

그렇다면 $\phi(t) = T$를 어떻게 보일 수 있을까? 고전열역학에서 열역학적 온도 $T$가 어떻게 정의되었는지 기억하는가? 똑같은 방법을 쓰면 된다. 가역열기관(reversible heat engine)을 도입해서 열 교환비가 정확히 $\phi(t)$의 비로 주어짐을 보이면 된다.

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가역열기관 중 가장 잘 알려진 카르노 기관(Carnot engine)을 이용하기로 하자. 영문/한국어를 불문하고 위키백과 설명에는 카르노 기관이 이상기체를 작동 유체으로 이용한다고 되어 있으나, 일반적인 가역기관으로 추상화할 경우에는 카르노 기관의 작동 유체가 이상기체일 필요가 없다. 열역학 및 통계역학 교육에서 명시적으로 언급하는 경우가 드문 것이 아쉬운 부분.

구체적으로는 다음과 같이 카르노 기관을 구성한다.

• 등온과정은 온도 $t$ 혹은 $\phi(t)$가 일정한 과정으로 구성한다.
• 단열과정은 미시상태의 수 $\Omega$ 혹은 그 로그값인 $W = \log \Omega$가 일정한 과정으로 구성한다.

등온과정은 같은 온도를 갖는 열기관과 열원 사이의 열 교환이므로 가역과정이고, 위의 방식대로 정의된 단열과정은 미시상태의 수가 늘어나지 않았기 때문에^[각주:7] 되돌릴 수 있어 가역과정이다. 등온-단열-등온-단열 네 단계를 통해 원 상태로 돌아오는 카르노 순환(Carnot cycle)은 다음과 같은 도표로 나타낼 수 있다. 비록 양 축을 온도(의 함수)인 $\phi(t)$와 미시상태의 수인 $W$로 구성했지만, 실제 열기관의 상태를 결정하는 독립변수는 열기관의 에너지 $E$와 부피 $V$이다.

이제 구성한 카르노 기관의 열 교환비를 계산해보자. 등열팽창 과정인 A-B에서 열기관이 얻는 열 $Q_h$는 A와 B에서의 에너지 차이인 $E_B - E_A$로 주어진다. 이때 열기관의 상태가 움직이는 곡선은 온도 $\phi(t)$가 상수인 곡선 $\frac{\partial W}{\partial E} = \phi(t_h)^{-1}$이므로, 고온부에서 얻은 열은 다음과 같이 적을 수 있다.

$$ Q_h = E_B - E_A = \left( \left. \frac{\partial W}{\partial E} \right|_{t=t_h} \right)^{-1} (W_B - W_A) = \phi(t_h) (W_B - W_A) $$

마찬가지로 저온부에서 버리는 열은 다음과 같이 적을 수 있다.

$$ Q_l = E_C - E_D = \left( \left. \frac{\partial W}{\partial E} \right|_{t=t_l} \right)^{-1} (W_C - W_D) = \phi(t_l) (W_C - W_D) $$

그리고 단열과정의 정의 때문에 $W_B = W_C$와 $W_A = W_D$라는 추가조건을 얻으며, 열 교환비로 다음 표현을 얻는다.

$$ \frac{Q_l}{Q_h} = \frac{\phi(t_l) (W_C - W_D)}{\phi(t_h) (W_B - W_A)} = \frac{\phi(t_l)}{\phi(t_h)} = \frac{T_l}{T_h} $$

이제 가역열기관의 열 교환비를 열역학적 온도로 정의하는 고전열역학에서와 같이 온도에 대한 양의 단조증가함수 $\phi(t)$를 열역학적 온도 $T$로 정의하면 된다. 다만 $\phi(t) = (\partial W / \partial E)^{-1}$는 에너지의 차원을 가지므로, 단위를 변환해줄 상수인 볼츠만 상수 $k_B$를 도입해서 온도와 차원을 맞춰준다.

$$ \phi(t) := k_B T = \left( \frac{\partial W}{\partial E} \right)^{-1} $$

이제 볼츠만 상수를 넘겨주면 많은 통계역학 책에서 그냥 적고 시작하는 다음 식을 얻을 수 있다.

$$ \frac{1}{T} = k_B \frac{\partial \log \Omega (E,V)}{\partial E} = \frac{\partial}{\partial E} \left( k_B  \log \Omega \right) = \frac{\partial S_B}{\partial E} $$

이 식이 주어질 경우 어떻게 볼츠만 엔트로피의 변화량 $d S_B$를 클라우지우스 엔트로피의 변화량 $d S_C$에 대응시킬 수 있는지는 위에서 이미 이야기했으므로 생략하기로 한다.

This series is divergent; therefore, we may be able to do something with it. -- Oliver Heaviside

$\frac{1}{r}$꼴을 갖는 Coulomb potential은 IR 발산이 있는 것으로 유명하다. 좀 더 구체적으로 말하자면, 학부 역학 수준에서 계산할 수 있는 궤도방정식을 풀어 얻는 Rutherford scattering의 미분단면적(differential cross-section)을 계산할 경우 다음과 같은 $\sin^{-4} (\theta/2)$의 꼴을 갖는다는 것이 알려져 있다.

$$ \frac{d\sigma}{d\Omega} \propto \frac{1}{\sin^4 (\theta/2)} $$

이 식을 적분하여 얻는 총산란단면적(total cross-section)은 발산한다.

$$ \sigma_{\text{tot}} = \int \frac{d \sigma}{d \Omega} d \Omega \propto \int \frac{d(\cos \theta)}{\sin^4 (\theta/2)} \to \infty$$

양자역학에서 Coulomb potential이 주어졌을 때의 산란문제를 풀 때도 이 성질과 관련된 현상이 나타난다. Griffiths 양자역학에서는 Coulomb potential을 Yukawa potential의 질량이 없는 극한으로 생각하기 때문에 등장하지 않지만 Landau 3권이나 교수님 세대의 메인 레퍼런스(...)란 느낌이 있는 Shiff책을 뒤적이다 보면 asymptotic region에서 파동함수가 평면파인 $e^{ikz}$로 수렴하는 것이 아니라 로그가 붙은 추가적인 위상항(phase factor)이 등장하는 것을 볼 수 있다.

$$ \psi \sim e^{ikz + (i/k) \log [k(r-z)]} $$

교재에서는 이런 Coulomb potential의 IR 발산에 대해 'Coulomb potential이 장거리 상호작용(long-range interaction)이기 때문에 발생한다'는 설명을 써놓지만, 구체적으로 무한원점에서 0으로 수렴하는 다른 potential들과 어떻게 다른지에 대해 설명하는 경우는 드물다^[각주:1]. 왜 이런 현상이 일어나는지 고전역학적으로 이해하는 것이 이 포스트의 목표.

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Coulomb potential이 주어졌을 때 그 potential을 따라 움직이는 시험 입자(test particle)의 궤도방정식을 푸는 문제는 몇 안 되는 정확하게 풀 수 있는 고전역학 문제이다. 심지어 궤도방정식 위키백과 페이지가 있을 정도. 시간에 대한 거리의 미분방정식을 각도에 대한 거리의 미분방정식으로 바꾼 뒤 $u = 1/r$이란 변수변환으로 조화진동자 방정식으로 바꾸는 과정이나 이렇게 얻은 궤도방정식으로부터 충돌 파라메터(impact parameter)에 대한 산란각(scattering angle)의 방정식을 얻는 과정은 많은 교재에서 충분히 다루고 있으니 여기서는 생략하기로 하자^[각주:2].

여기서는 eikonal 근사의 변종으로 Coulomb potential에서의 산란을 풀어보자. Eikonal은 기하광학에서 빛의 경로를 계산하기 위해 쓰는데, WKB 근사라고 생각해도 좋다. 여담으로 eikonal은 해밀턴이 기하광학을 풀기 위한 수학적 기법을 다듬으면서 같은 기법이 고전역학에도 적용될 수 있음을 알아차리면서 현재의 해밀턴역학과 심플렉틱기하를 만들어내는 계기가 되었고, 슈뢰딩거의 파동방정식은 기하광학의 eikonal 방정식에서 영감을 얻었다고 한다.

고전역학이든 양자역학이든 산란 문제에서 eikonal 근사란 '직선 근사'라고 생각하면 된다^[각주:3]. 구체적으로 이야기한다면, 입자의 경로를 1) 아무런 산란이 없는 직선 경로에 2) 산란을 일으키는 포텐셜의 효과를 집어넣어 얼마나 직선 경로에서 벗어나는지 섭동계산으로 구하는 방법이 되겠다.

이제 Coulomb potential에서의 고전적인 산란 문제에 eikonal 근사를 적용해보자. Landau 1권에서는 뉴턴역학을 기반으로 eikonal 근사를 사용하지만 여기서는 해밀턴역학을 기반으로 eikonal 근사를 써보기로 한다^[각주:4]. 먼저 해밀토니안을 다음과 같이 적는다.

$$ H = \frac{p^2}{2} - \frac{k}{r} $$

해밀턴 운동방정식은 금방 적을 수 있다.

$$ \dot{\vec{r}} = \{ H , \vec{r} \} = \vec{p} \,,\, \dot{\vec{p}} = \{ H , \vec{p} \} = - \frac{k \vec{r}}{r^3} $$

이 역학계의 산란문제를 eikonal 근사로 푸는 것은 다음과 같은 ansatz를 이용해 섭동전개 파라메터 $k$에 대해 푸는 것으로 생각할 수 있다.

$$ \vec{p} = \vec{p}_0 + k \vec{p}_1 (t) + k^2 \vec{p}_2 (t) + \cdots \,,\, \vec{r} = \left( \vec{b} + \vec{p}_0 t \right) + k \vec{r}_1 (t) + k^2 \vec{r}_2 (t) + \cdots $$

여기서 $\vec{p}_0$는 asymptotic region에서의 운동량이고, $\vec{b}$는 충돌 파라메터의 역할을 한다. 이렇게 해석하려면 $\vec{b} \cdot \vec{p}_0 = 0$이란 조건을 추가로 얹어주는 것이 좋다. 섭동이 없는 원래 경로에서 시간 $t$의 원점을 재정의하는 것으로 이 조건을 맞출 수도 있고.

이제 위의 방정식을 풀어보자. 방정식을 풀려면 경계조건을 줘야 하는데, 가장 먼저 생각할 수 있는 경계조건은 다음 경계조건이다.

$$\vec{r}_{i>0} (-\infty) = \vec{p}_{i>0} (-\infty) = 0$$

언듯 보기에는 문제가 없는 경계조건으로 보인다. $t = -\infty$는 산란이 일어나기 한참 전의 과거이므로 섭동이 없는 원래 경로와 일치해야 한다는 직관과도 맞고. 하지만 이 경계조건은 절대로 맞춰줄 수 없다. Coulomb potential의 꼬리가 너무 길기 때문. 우선 이 문제를 무시하고 그냥 방정식을 풀어보자.

$\vec{p}_1$에 대한 운동방정식은 다음과 같이 주어진다.

$$ k \dot{\vec{p}}_1 (t) = - \frac{k (\vec{b} + \vec{p}_0 t)}{(b^2 + p_0^2 t^2)^{3/2}} $$

이 식에 처음 얹은 경계조건을 넣고 풀면 다음과 같은 답을 얻는다.

$$ \vec{p}_1 (t) = - \int_{-\infty}^t \frac{\vec{b} + \vec{p}_0 \tau}{(b^2 + p_0^2 \tau^2)^{3/2}} d\tau = -\frac{1}{ab^2} \left[ \left( 1 + \frac{at}{\sqrt{1 + a^2 t^2}} \right) \hat{b} - \frac{\hat{a}}{\sqrt{1 + a^2 t^2}} \right] $$

쌍곡함수로 변수변환을 하면 적분을 쉽게 할 수 있다. 문제를 풀 때 새로 정의한 변수들은 다음과 같다.

$$ \hat{b} := \frac{\vec{b}}{b} \,,\, \vec{a} := \frac{\vec{p}_0}{b} \,,\, \hat{a} := \frac{\vec{a}}{a} = \frac{\vec{p}_0}{p_0} $$

$k^1$ 차수에서 운동량 변화는 단순히 $\vec{p}_1 (+\infty)$를 읽어내면 된다.

$$\Delta \vec{p}_1 := \vec{p}_1 (+\infty) = - \frac{2 \hat{b}}{ab^2} = - \frac{2 \vec{b}}{p_0 b^2}$$

마찬가지로 $k^2$ 차수에서 운동량 변화는 $\vec{p}_2 (+\infty)$를 읽어내면 되는데, $\vec{p}_2$는 $\vec{r}_1$에 대한 해가 있어야 풀 수 있다^[각주:5].

$$k^2 \dot{\vec{p}}_2 = - k^2 \left[ \frac{\vec{r}_1}{r_0^3} - \frac{3 \vec{r}_0 (\vec{r}_0 \cdot \vec{r}_1)}{r_0^5} \right]$$

따라서 $\vec{r}_1(t)$를 풀어야 한다. 우선 식을 적어보자.

$$\vec{r}_1 (t) = \int_{-\infty}^{t} \vec{p}_1 (\tau) d\tau = - \frac{1}{ab^2} \int_{-\infty}^{t} \left[ \left( 1 + \frac{a\tau}{\sqrt{1 + a^2 \tau^2}} \right) \hat{b} - \frac{\hat{a}}{\sqrt{1 + a^2 \tau^2}} \right] d\tau$$

눈치가 빠른 분들은 알아차리셨겠지만, 이 정적분은 잘 정의되질 않는다. 두번째 항이 $\sim \tau^{-1}$의 꼴을 하고 있기 때문에 무한대에서 로그 발산이 있기 때문이다. 첫번째 항은 정적분으로 처리하고 두번째 항은 정적분을 포기하고 부정적분으로 처리할 경우 다음 식을 얻는다.

$$\vec{r}_1 (t) = - \frac{ e^{\sinh^{-1} (at)}}{a^2 b^2} \hat{b} + \left. \frac{\sinh^{-1}(at)}{a^2 b^2} \hat{a} \right|_{-\infty}^{t}$$

$x \in \mathbb{R}$일 때 $\sinh^{-1} x = \log (x + \sqrt{1+x^2})$이므로, 두번째 항의 발산은 예상대로 로그 발산임을 확인할 수 있다. 이 로그 발산은 다음과 같이 이해할 수 있다. Coulomb potential에서의 에너지 보존을 생각하면 무한대에서의 입자의 속력을 $v$라고 할 때 asymptotic region에서의 입자의 속력 $v$는 다음과 같다.

$$ \frac{v^2}{2} = \frac{v_0^2}{2} + \frac{k}{r} \Rightarrow v \sim v_0 + \frac{c}{r}$$

따라서 아무런 힘을 못 느끼고 $v_0$의 속력으로 이동하는 섭동이 없는 경로와 Coulomb potential의 영향을 받아 섭동이 있는 경로 사이의 변위(displacement)를 계산하면 다음과 같아진다.

$$ \Delta r \sim \int (v - v_0) dt \sim \int \frac{c}{r} dt \sim \int \frac{1}{dr/dt} \frac{c}{r} dr \sim \frac{c}{v_0} \log r $$

$r^{-1}$보다 빠르게 떨어지는 다른 potential의 경우 입자가 멀어져 가면서 potential로부터 받는 영향이 충분히 빠르게 줄어들어 섭동이 없는 경로와 potential의 영향을 받은 경로 사이의 변위가 일정하게 유지된다. 하지만 Coulomb potential의 경우 potential의 영향이 0으로 줄어드는 속도가 느려 아무리 멀어지더라도 변위의 차이가 계속 누적되는 것이다. 발산하는 총산란단면적이나 양자역학 산란 문제를 풀 때 평면파에 로그만큼의 위상항이 추가로 붙는 현상은 이 흔적이라고 이해할 수 있다.

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여튼, $k^2$ 차수의 운동량 변화를 계산하는 문제로 돌아오자. 발산이 있으면 잡으면 되는 법이다.

가장 단순한 해법은 $t = - \infty$를 기준점으로 잡지 않고 $t = 0$를 기준점으로 잡는 것이다. 실제로 worldline quantum field theory(WQFT)를 도입해서 post-Minkowskian 계산을 하는 팀에서 이런 접근을 취하고 있는데, 이 접근법은 일관성이 있다는 장점이 있지만 asymptotic variable을 새로 계산해야 하는 번거로움이 있다.

다른 해법은 로그 발산을 미리 섭동계산의 경계조건에 반영하는 것이다. 구체적으로는 다음과 같이 로그 발산을 $\vec{r}_1^{(0)}$로 뽑아내고 $\vec{r}_1^{(1)}$에 대한 방정식을 푸는 것.

$$ \vec{r}_1 (t) = \vec{r}_1^{(0)} (t) + \vec{r}_1^{(1)} (t) \,,\, \vec{r}_1^{(0)} (t) = \frac{\sinh^{-1} (at)}{a^2 b^2} \hat{a} $$

로그 발산을 갖는 경계조건을 $\vec{r}_1^{(0)}$로 뽑아내었기 때문에 남는 경계조건은 $\vec{r}_1^{(1)} (-\infty) = 0$이 되며, $\vec{r}_1 (t)$는 다음과 같이 풀린다.

$$ \vec{r}_1 (t) = \vec{r}_1^{(0)} (t) + \vec{r}_1^{(1)} (t) = - \frac{ at + \sqrt{1 + a^2 t^2}}{a^2 b^2} \hat{b} + \frac{\log \left( at + \sqrt{1 + a^2 t^2} \right)}{a^2 b^2} \hat{a} $$

위 해를 $\vec{p}_2$에 대한 운동방정식에 집어넣으면 $k^2$ 차수의 운동량 변화를 구할 수 있다. 적분구간이 $(-\infty, +\infty)$로 대칭적이라는 것을 이용하면 식을 좀 다 단순화할 수 있다.

$$ \Delta \vec{p}_2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \frac{1}{a^2 b^5 (1 + a^2 \tau^2)} - 3 \frac{\sqrt{1 + a^2 \tau^2} - a\tau \log (a\tau + \sqrt{1 + a^2\tau^2})}{a^2 b^5 (1 + a^2 \tau^2)^{5/2}} \right] \hat{b} d\tau \\ - \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \frac{3a^2\tau^2}{a^2 b^5 (1 + a^2 \tau^2)^{5/2}} \right] \hat{a} d\tau $$

얼핏 봐서는 적분이 꽤 복잡하게 보이는데, 의외로 적분하고 나면 값 자체는 단순하다.

$$ \Delta \vec{p}_2 = - \frac{2 \vec{a}}{a^4 b^5} = - \frac{2 \vec{p}_0}{p_0^4 b^2}$$

$k$를 전부 살린 산란 후 운동량은 다음과 같은데

$$\vec{p} (+ \infty) = \left( 1 - \frac{2 k^2}{p_0^4 b^2} \right) \vec{p}_0 - \frac{2k}{p_0 b^2} \vec{b} + \mathcal{O}(k^3)$$

제곱해보면 $k^2$ 차수에서 에너지 보존이 성립한다는 것도 확인할 수 있다.

$$ \left| {\vec{p} (+ \infty)} \right|^2 = p_0^2 + \mathcal{O}(k^3) $$

최근에 썼던 논문은 중력 버전의 다이온에 대한 1-룹 계산이었다. 학사논문도 자기단극자와 관련된 주제였을만큼 자기단극자에 대한 관심이 많은 편이었으니 자기단극자의 중력 버전에 대해서도 관심이 있을 수 밖에 없었는데, 원래 논문의 목표는 현 논문의 결론과는 꽤 많이 달랐다. 계산이 죄다 어긋나서 목표가 달성 불가능할 것으로 보이자 목표를 뒤집어서 뒤집은 결론을 논문으로 만들어버린 것인데, 학사논문도 비슷한 과정을 통해서 논문이 되었으니 기묘한 평행선이라고 할 수 있을지도 모르겠다. '왜 아무도 명시적으로 이야기하지 않는 거지?'라고 여기는 것 중 하나가 논문의 부록A가 된 '전자와 자기단극자 둘을 동시에 기본입자로 취급하면서 UV cut-off가 둘의 질량보다 위에 존재하는 EFT는 있을 수 없다'는 논증인데, 트위터에서 간략하게 언급한 적이 있다.

그나저나 초록에 대해 약간 이야기하자면 자기단극자를 기본입자로 발견하지 못했다는 이야기가 나오는데, 기본입자를 '질량/스핀/전하로 상태가 결정되는 점입자'라고 정의하면 자기단극자는 절대로 기본입자로서 발견될 수가 없다. 의외로 이 이야기를 명시적으로 하는 곳이 없음.

— Dexter Kim (@AstralDexter) July 7, 2020

이유는 단순한데, 어떤 입자가 기본입자로서 기술되려면 고전적인 반지름이 Compton wavelength보다 작아야 한다. 전자의 경우 이 비가 대충 미세구조상수쯤 되는데, 자기단극자는 이 비가 미세구조상수의 역수가 되어서 기본입자로 기술되는게 불가능함.

— Dexter Kim (@AstralDexter) July 7, 2020

물론 아무도 이런 이야기를 하지 않은 것은 아니고 부록에 인용으로 언급했던 weak gravity conjecture(WGC)의 자하 버전에서 비슷한 논증을 하는데^[각주:1], 여기서는 입자로서 다루는 것에 대한 명시적은 이야기는 하지 않는다. 여튼 이런 특성을 고려한다고 도입한 추가 계산이 10일만에 쓴 짧은 논문의 바탕이 되었다는 점에서 꽤나 운이 좋았던 편. 저 짧은 논문을 쓸 때는 아드레날린 과다방출(..)로 불면증에 심하게 시달려서^[각주:2] 약간 제정신이 아닌 상태에서 썼는데, 결과적으로 꽤나 도발적인 결론이 나와버렸다. 실제로 쓸만한 결과일지는 시간이 지나봐야 알겠지만.

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여튼 자기단극자 이야기나 계속해보자. 전하와 자하는 그 물체가 광자와 상호작용함을 나타내는데, 둘을 구분하는 것은 무엇일까? 논문 서론에서 언급했듯 와인버그는 전하와 자하는 광자의 두 편광과 어떻게 상호작용하는가---나선도(helicity)의 부호와 상관없이 상호작용하는가 아니면 부호에 따라 반대 방향으로 상호작용하는가---로 구분됨을 보였다. 이 차이로 인해 전하와의 상호작용은 일반적인 벡터포텐셜 $A_{\mu}$로 적히고, 자하와의 상호작용은 dual potential이라고 자주 부르는 $B_{\mu}$로 적히게 된다. $A_{\mu}$가 $dA = F$란 미분형식 방정식으로 적히는 것과는 반대로 dual potential $B_{\mu}$는 $dB = \ast F$란 미분형식 방정식을 만족한다. 전자기학을 배우면서 전자기장은 벡터포텐셜 $A_{\mu}$로 그 동역학을 기술할 수 있다고 배우는 학부생 입장에서는 '잘 와닿지는 않지만 그런가보다~' 싶은 설명이지만, 이렇게 자하의 동역학을 기술하기 위해서는 일반적인 벡터포텐셜 $A_{\mu}$로는 불가능하다는 결론은 사실 학부 수준에서 배우는 양자역학만으로도 논증할 수 있다. 대부분의 양자역학 학부 과정에 아로노프-봄 효과를 포함하기 때문.

논증은 간단하다. 다음 조건들이 모순됨을 보이면 된다.

1) 전기-자기 이중성 (electric-magnetic duality) : 전하와 자하 사이에 이중성이 양자역학 수준에서도 존재한다.

2) 국소성 (locality) : 입자가 전자기장과의 상호작용으로 얻는 효과는 그 입자가 위치한 점에서의 장의 값으로 결정된다.

3) $A_{\mu}$의 완전성 : 전자기장의 모든 효과는 $A_{\mu}$장으로 완벽하게 기술할 수 있다.

4) $A_{\mu}$의 게이지 대칭성 : $A \to A + d \lambda$에 해당하는 게이지 대칭에 대해 물리가 변하지 않는다.

구체적으로는 dual Aharonov-Bohm effect를 상상하면 된다. 솔레노이드로 생성되는 원통형 영역에 제한된 자기장 대신 똑같이 원통형 영역에 제한된 전기장을 걸어두고^[각주:3] 그 주변을 도는 자하를 상상하는 것. 이제 그 주변을 도는 자하가 Aharnonov-Bohm effect의 전하처럼 $A_{\mu}$장으로부터 위상의 변화를 얻을 수 있는지 계산해보면 된다. 답은 아니오. 왜냐하면 이런 모양의 전기장은 전기장이 0이 아닌 원통형 영역 안에서 값을 갖는 스칼라 포텐셜 $\phi$에 값을 잘 주는 것으로 완벽하게 구현할 수 있기 때문. 원통형 영역 밖에서는 $A_{\mu}$장의 값이 항등적으로 0이 되도록 해를 구할 수 있으므로, 자하는 $A_{\mu}$와 상호작용해야만 한다면 dual Aharonov-Bohm effect는 존재할 수 없다. 구체적인 해는 여러분의 지적 유희를 위한 연습문제(...)로 남겨두기로 하자^[각주:4].

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논문의 원래 목표는 (중력 버전의 자하에 해당하는) NUT charge를 가진 물체가 있을 때, 이 물체의 동역학을 어떻게 기술할 것이냐였다. 물체가 실제로 존재한다면 힘을 걸어서 가속시키거나 감속시킬 수 있어야 하지 않겠냐는게 기본 문제의식. 이 문제의식의 흔적이 부록C인 effective one-body formalism이다. 결과적으로는 계산이 도저히 아귀가 맞지 않아서 반년 이상 헤매다가 방향을 뒤집어서 '일반상대론의 NUT charge를 자하의 중력 버전으로 해석하는 것은 다양한 가능성을 고려해봐도 1-룹 계산에서 붕괴한다'로 결론을 내버리긴 했지만 말이다. 결국 이 결론을 내면서 전기-자기 이중성에 대한 관심 때문에 마찬가지로 관심을 갖게 되었던 Taub-NUT space에 대한 관심이 많이 죽어버리고 말았다.

그나저나 자하는 실존할 것인가? 많은 사람들이 '자하는 근시일에 발견된다'가 안전한 베팅이라고 믿고 있고 나도 이 대열에 합류한 상태이긴 한데, 디락이 말년에 자기단극자의 존재 가능성에 대한 입장을 선회했다는 것을 알게 되고는 마음이 약간은 흔들리는 중. 약간의 검색을 돌려보니 도서관에서 본 것은 이 proceeding인 모양이다.

1981년 ICTP에서 디락의 논문 50주년을 기념해서 자기단극자에 대한 컨퍼런스가 열렸던 모양인데 참석이 어려웠던 디락의 편지가 제일 앞 장에 실려있다. 실험에서 도저히 나오질 않는 것을 보다 보니 이제는 존재한다고 믿지 않는다고.

— Dexter Kim (@AstralDexter) May 8, 2020

제목은 아는 사람들은 다 아는(?) 책인 PCT, Spin and Statistics, and All That을 참고했다. 물론 나는 읽다 만(...) 책이지만. 이 포스트의 출발점은 다음 트윗 타래. 한번 정도는 정리해두는 것이 좋겠다는 생각이 들었다.

수학에서는 단위허수를 보통 i로 적습니다만 전기공학에서는 j로 적는 경우가 많죠. 전류를 i로 쓰기 때문일지도 모르겠군요. 여튼, 두 단위허수 사이에는 부호 차이가 있다고 생각하여 i=-j라고 두는 경우도 많습니다. i^2=(-i)^2=-1이므로, 둘 다 단위허수로 간주할 수 있죠. https://t.co/rQxIMfHk4O

— Dexter Kim (@AstralDexter) August 21, 2020

이렇게 부호 차이를 두고 해석하는 것은 진동하는 해를 복소수를 이용해 단순화할 때 오일러의 공식을 어떻게 이용하느냐와 관련이 있습니다. https://t.co/OusfC01PWn

— Dexter Kim (@AstralDexter) August 21, 2020

이 차이를 단순한 convention만의 문제라고는 할 수 없는데, 특정 부호가 다른 부호보다 선호되는 이유는 이 부호가 (retarded) Green’s function의 인과율과 해석적 성질을 결정하기 때문입니다. https://t.co/SZ3FRAvjmz

— Dexter Kim (@AstralDexter) August 21, 2020

'세상에서 가장 아름다운 공식'이란 별명이 있는 오일러 공식의 장점(?)은, 네이피어수 (혹은 자연상수) $e$ 위에 올라가는 수학적 물체(mathematical object의 번역으로 이게 맞는지 모르겠다) $a$가 무엇이든 $a^2 = -1$이란 조건을 만족하기만 하면 된다는 것이다.

\[ a^2 = -1 \Rightarrow e^{a \theta} = \cos(\theta) + a \sin(\theta)\]

여기서 $a$는 일반적인 숫자(복소수체에서는 확실히 성립하는데 일반적인 체에서도 되는지는 모르겠다)나 행렬(사원수quaternion는 $2 \times 2$ 행렬과 대응관계를 맺기 때문에 사원수에서도 위의 식이 적용된다), 혹은 클리포드 대수Clifford algebra의 원소(기하대수geometric algebra 계산에서 이 성질을 이용한다) 등 무엇이든 될 수 있다. 그냥 1이 잘 정의되어 있고 제곱해서 -1이 되는 물체가 있다고 하면 언제든 쓸 수 있다는 의미. 다른 특기할 점은 위 공식이 다루기 까다로운 경우가 많은 삼각함수trigonometric function를 지수함수exponential function로 바꾸는 역할을 한다는 것이다. 따라서 주기성을 갖는 물리량이 있는 물리계에서는 위 공식을 반대로 적용해 삼각함수로 써지는 물리량을 지수함수의 '실수부'로 놓는 작업을 자주 한다.

\[ \cos(\theta) = \text{Re}[e^{i \theta}] \]

여기까지는 학부 2학년 수준에서 얼마든지 다루는 내용.

전기공학에서는 교류회로를 다룰 때 단위허수 $j$를 $j^2 = -1$으로 도입해 전류와 같은 물리량을 다음과 같이 쓰곤 한다.

\[ I(t) = \text{Re}[I_0 e^{j (\omega t + \delta)}] \]

일반적으로 쓰는 단위허수 $i$가 있는데 왜 하필 $j$일까? 트윗 타래에서 언급했듯 $j = -i$라고 여기는 경우가 있기 때문이다. $(-1)^2 = +1$이므로, 애초부터 단위허수에는 부호를 선택하는 자유도가 남아있었던 셈. $j=-i$라고 여기는 이유는 푸리에 전개가 다음과 같은 꼴을 취하기 때문이다.

\[ F(t) = \sum_{\omega} \tilde{F} (\omega) e^{-i \omega t} \]

처음 식과 비교해보면 지수함수에 올라간 항은 $-i \omega t$로, $j \omega t$와 부호 차이를 갖고있다. $j = -i$란 인식은 이 차이에서 비롯된 것. 그렇다면 왜 푸리에 전개는 위와 같은 꼴을 택하는 것일까? 예컨대 다음과 같은 표현도 수학의 관점에서 볼 때 푸리에 전개로서는 딱히 결격사유가 없다.

\[ F(t) = \sum_{\omega} \tilde{F} (\omega) e^{+i \omega t} \]

문제는 인과율causality로부터 얻는 주파수 공간frequency space의 함수 $\tilde{F}(\omega)$가 갖길 원하는 해석적 성질analytic property에 있다. 일반적으로 푸리에 전개를 통해 해석하는 (실)함수 $F(t)$는 입력에 따라 어떤 출력을 예상할 수 있는지를 나타내는 반응함수response function이고, 인과율과 계의 시간불변성time invariance을 가정할 경우 시간차 $t$가 양수일 경우에만 0이 아닌 값을 갖는다.

\[ t<0 \Rightarrow F(t) = 0 \]

그리고 이렇게 '한쪽 방향으로만 값을 갖는 함수'는 라플라스 변환Laplace transform을 쓸 수 있다. 이 방향은 나중에 브롬위치 적분Bromwich integral을 이야기할 기회가 생기거든 돌아오기로 하자. 여튼, 주파수 공간의 함수 $\tilde{F}(\omega)$는 다음과 같이 주어진다.

\[ F(t) = \sum_{\omega} \tilde{F}(\omega) e^{\mp i \omega t} \Rightarrow \tilde{F}(\omega) = \int F(t) e^{\pm i \omega t} dt \]

일반적으로 $\tilde{F} (\omega)$는 실수값만 갖지는 않고, 실수부와 허수부를 모두 갖는다. 따라서 다음과 같은 질문을 해볼 수 있다; 어차피 복소수 값을 갖는 복소함수라면, $\tilde{F} (\omega)$를 복소해석학complex analysis을 통해 다뤄 볼 수는 없을까? 안타깝게도 $\tilde{F}$는 전체 $\omega$ 복소평면에서 해석적인 성질을 가질 수는 없다. 단순하게 복소수 $\omega = \omega_1 + i \omega_2$를 실수부와 허수부로 나누어서 분석해보자.

\[ \tilde{F}(\omega_1 + i\omega_2) = \int F(t) e^{\mp \omega_2 t \pm i \omega_1 t} dt \]

위 표현은 $\mp \omega_2 < 0$일때 $F(t)$가 어지간히 이상한 함수가 아닌 이상 수렴한다. 반대로, $\mp \omega_2 >0$일때 많은 경우 발산해버리고 말 것이다. 따라서, 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.

• \[ \tilde{F}(\omega) = \int F(t) e^{+ i \omega t} dt \]로 정의할 경우, $F(t)$가 인과율을 따른다는 성질은 $\tilde{F}$는 위쪽 반평면upper half plane에서 해석적인 성질을 갖는다는 성질로 이어진다.
• \[ \tilde{F}(\omega) = \int F(t) e^{- i \omega t} dt \]로 정의할 경우, $F(t)$가 인과율을 따른다는 성질은 $\tilde{F}$는 아래쪽 반평면lower half plane에서 해석적인 성질을 갖는다는 성질로 이어진다.

일반적으로 $\tilde{F}(\omega)$는 위쪽 반평면에서 해석적인 성질을 갖는 것이 바람직하다고 여겨지기 때문에 푸리에 변환의 부호가 $F(t) = \sum_{\omega} \tilde{F} e^{-i\omega t}$로 결정되는 것이다. 힐베르트 변환Hilbert transform을 이용해 반응함수의 실수부와 허수부를 관계짓는 Kramer-Kronig 관계식 또한 이 부호의 선택에 의존한다. 'Kramer-Kronig 관계식을 증명하기 위해 그리는 적분 컨투어contour를 왜 위쪽 반평면에서 닫아야만 하는가?'란 질문에 대해 답을 주기 때문. 이유는 적분에 들어가는 integrand가 위쪽 반평면에서 완전히 해석적인 성질을 가지므로, 위쪽 반평면으로 컨투어를 닫아야 0이 되기 때문이다. 아래쪽 반평면에서는 무슨 일이 일어날지 모른다는 것은 또 다른 이야기.

\[ \tilde{F}(\omega) = \int F(t) e^{+ i \omega t} dt \,,\, \text{Im} [\omega_0] \le 0 \Rightarrow \frac{\tilde{F} (\omega)}{\omega - \omega_0} \, \text{analytic on upper half plane} \]

이렇게 사소해 보이는 부호 하나에도 그 부호를 선택해야만 하는 이유가 있기 마련이다.

For a physicist, on the other hand, every system is open, and (more to the point) approximate. One never really expects that the mathematical problem one formulates and then solves will provide an exact or complete description of a physical system.

한편 물리학자에게 모든 계는 열려있고 (더욱 중요하게는) 근사적이다. 그 누구도 어떤 물리계에 대해 형식화하고 풀어낸 수학적 문제가 그 계에 대해 완벽하거나 완전한 묘사를 줄 것으로 절대 기대하지 않는다.

- Ingmar Saberi(https://arxiv.org/abs/1801.07270)

한번은 기계 설계였나 강의를 들을 당시 조별 프로젝트 발표를 할 일이 있었습니다. 뭔가 간단한 로봇을 설계하는 일이었는데, 제가 속한 조보다 앞서 발표하던 조에서 로봇에 예상하고 있는 부하가 걸리면 변형이 얼마나 일어나는지 계산한 결과를 발표하고 있었습니다. 뭐 숫자와 식을 알고 있으니 단순한 산수일테고, 산수 끝에 얻은 변형에 대한 예측값은 10^-20 m였던가 그렇습니다. 참고로 원자핵의 크기를 대략 10^-15 m 정도로 보죠.

그 슬라이드를 보고는 발표를 듣던 교수님이 '숫자놀음은 집어치워라'라면서 대노하셨고 (그 정도로 작은 값이면 그냥 변형이 없는 것이란 말을 덧붙이면서요) 옆에서 비슷한 숫자를 슬라이드에 집어넣고 있었던 같은 조원은 깜짝 놀래서 재빠르게 숫자를 0으로 바꿨습니다. 세 팀이 조별 프로젝트 발표를 하면 그 중 가르침이 되는 팀이 꼭 있는 법이죠.

그래서 준비해 본, '어디까지 방정식을 믿을 것인가?'란 주제 하에 묶을 여러 문제들입니다. 물리는 결국 목표로 삼은 현상에 대한 모형을 세우고 그 모형을 이해하는 것으로 목표로 삼은 현상을 이해하는 것인 셈이니, 세워놓은 모형이 어디까지 현상을 제대로 기술하고 있는가에 대해 감을 갖고 있어야겠죠. 깊게 생각 안하고 공부만 하다 보면 '언제 모형을 믿으면 안된다'는 감이 없는 경우가 자주 있단 말이죠. 짤막하게 작성해 두고 아마 생각나는대로 업데이트하지 않을까 싶네요.

참, 이 포스트는 Paul J. Nahin의 Mrs. Perkins's Electric Quilt: And Other Intriguing Stories of Mathematical Physics란 책의 내용에서 영감을 받았습니다. 비록 도서관에서 빌려놓고 시간이 없어 서론만 읽은 뒤 방치해뒀다가 연체되어서 연체비만 물고 뒷쪽은 하나도 못 읽었지만 말이죠.

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의외로 물리학을 하나도 안 배운 사람이 물리학을 어느정도 배운 사람보다 이상하다는 것을 빠르게 알아차리는 물리학에 대한 문장이 있습니다.

"전하가 자기장 안에서 받는 힘은 전하의 이동 방향과 수직이므로 자기장은 일을 하지 못한다."

이 문장은 왜 틀린 문장일까요?

문장의 전제는 맞습니다. 전하가 자기장 안에서 받는 힘은 로렌츠힘으로 기술되고, 이 힘은 전하가 이동하는 방향과 항상 수직이기 때문에 로렌츠힘에 의해 전하가 에너지를 얻는 경우는 없죠. 하지만 자기장은 일을 하지 못한다는 사실이 아닙니다. 사이클로트론과 같은 입자가속기에서는 자기장의 세기를 변화시키는 것으로 입자를 가속시키기는 하지만 이건 자기장이 변하면서 패러데이 법칙에 의해 전기장이 생성되는 원리이기 때문에 반례가 되는 것은 아닙니다. 그러니까, 가만히 있는, 혹은 정적인 자기장이 일을 하는 경우입니다. 그리고 누구나 어릴 적 자석을 가지고 놀아봤다면 모를래야 모를 수가 없는 반례이기도 하죠.

가만히 있는 자석과 조금 떨어진 곳에 가만히 있는, 자화되지 않은 철조각을 가만히 두면 철조각은 자석을 향해 날아들죠. 중력을 거스르고 날아오르는 경우도 많고요. 정적인 자기장이라도 일을 할 수 있다는 살아있는 반례죠. 물론 철조각이 자화되면서 남는 에너지를 운동에너지로 바꾸는 과정이므로 로렌츠힘에 의한 일은 아니지만, 자기장(혹은 자력)이 일을 하지 못하는 것은 아니지 않습니까.

그리고 여기에는 약간의 뒷이야기가 있습니다. 고전역학과 통계역학만 가정할 경우, 자력은 일을 할 수 없는 것이 맞습니다. 이를 보어-판레이우언 정리라고 부르죠. 그러니까 처음에 제시된 문장은 고전역학과 통계역학만 가정한 범위 안에서는 틀린 문장은 아닌 셈이죠. 단지 우리 우주가 그 범위 안에 온전히 속하지 않는 것일 뿐. 포스트의 처음에 인용한 문장이 더없이 적절하지 않습니까?

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다음 업데이트에서는 블랙홀에 대해 이야기해보려고 합니다. 아마 트위터에서 자주 떠들어댄 문제이니 이미 아실 분들도 있을 지 모르겠군요.

최근 주로 계산하고 있는 것은 산란진폭(scattering amplitude)을 이용해서 천체를 점입자로 근사했을 때 두 천체 사이의 상호작용을 얻는 일. 정확히는 천체를 점입자로 근사하고 두 점입자가 만드는 계(system)의 유효 해밀토니안(effective Hamiltonian) 계산이다. 중력포텐셜 계산이라고 이야기하기도 한다. 대충 이 논문에서 한 일에 스핀을 던져넣는 작업인데, 주로 저번에 했던 일에서 제대로 정리하지 못했던 부분을 청소(...)하고 있다.

중력의 성가신 점은 좌표변환이 중력의 게이지 대칭이라는 것이다. 덕분에 중력포텐셜은 게이지를 어떻게 잡느냐에 의존하는 물리량이 되어버리고 만다. 산란진폭을 이용해서 구하는 중력포텐셜은 $\vec{p} \cdot \vec{r}$이 등장하지 않는 isotropic gauge의 포텐셜. 물론 그렇다고 중력포텐셜을 마음대로 쓸 수 있다는 것은 아니다. 서로 생긴 꼴이 다른 중력포텐셜이 실제로는 같은 동역학을 준다면, 두 중력포텐셜의 표현식 사이를 이어주는 canonical transformation이 존재해야 한다. 그러니까 $H_1 (p,q)$가 $H_2 (P,Q)$와 동등하다면 적당한 변수변환 $P(p,q), Q(p,q)$가 존재해서 $H_2 (P,Q) = H_1(p(P,Q),q(P,Q))$이면서 canonical conjugate relation인 $\{ P, Q \}_{\text{P.B}} = \{ p, q\}_{\text{P.B}} $이 (이제부터 Poisson bracket의 subscript인 P.B는 생략하도록 하자) 유지되어야 한다는 것. 흥미로운 점은 서로 다른 해밀토니안을 비교하는데 다음과 같은 식을 만족하는 generator $g$가 존재하는지의 여부로 두 해밀토니안이 물리적으로 동등한지 확인하기도 한다.

$$ H_2(p,q) - H_1(p,q) = \{ H_1 , g \} + \mathcal{O} (G^n, p^{2n})$$

예를 들면 이 논문의 4.1장에서 하는 논의라던가. 뒷 항은 $n-1$-PN order에서 보이지 않는 항들이다. 이 식을 어떻게 이해할 수 있을까?

의외로 답은 간단하다. $p, q$에서 $P,Q$까지 이어지는 continuous canonical transform을 상상해보자. 대충 $\tilde{p}(p,q;\alpha), \tilde{q}(p,q;\alpha)$란 연속함수가 존재하고 $\forall \alpha, \{ \tilde{p}, \tilde{q} \} = \{ p,q \}$면서 $\tilde{p}(p,q;0) = p, \tilde{p}(p,q;1) = P(p,q)$를 만족한다고 형식화할 수 있다. 이 경우 해밀토니안은 $H=H_1(p,q)=H_2(P,Q)$로 고정되어 있는 상태이다. 해밀토니안이 만드는 flow는 그대로 있고 그 flow를 기술하는 canonical variable들의 coordinate frame이 이동하는 것으로 볼 수 있다.

이제 관점을 바꿔보자. canonical variable들의 coordinate frame을 고정하고 해밀토니안이 만드는 flow를 흐르게 시키는 관점이다. 정확히는 $\tilde{p},\tilde{q}$를 좌표축으로 고정한 뒤 $H(\tilde{p},\tilde{q};\alpha)=H_1(p(\tilde{p},\tilde{q}),q(\tilde{p},\tilde{q}))$가 변수 $\alpha$에 대해 어떻게 흐르는지 보는 것이다. 이 경우 $\frac{d}{d\alpha}$는 symplectic vector field이므로 여기에 대응되는 (local) generator $G$가 존재한다. 식으로 쓰자면

$$ \exists G, \frac{\partial}{\partial \alpha} H(\tilde{p},\tilde{q};\alpha) = \{ H(\tilde{p},\tilde{q};\alpha) , G \} $$

이 되는 셈. 다르게 표현하면 다음의 벡터장(vector field) 방정식을 만족하는 벡터장 $\{ G, \bullet \}$가 존재한다고 할 수 있다.

$$ \exists G, \frac{\partial}{\partial \alpha} \{ H , \bullet \} = \mathcal{L}_{\{ G, \bullet \}} \{ H, \bullet \} $$

위 식에서 $\mathcal{L}$은 리 미분(Lie derivative)을 의미한다.

위에 적은 미분꼴의 방정식을 차분(difference)꼴로 바꾸면 우리가 이해하고 싶었던 식이 된다.

$$ H_2(p,q) - H_1(p,q) = \{ H_1 , g \} + \mathcal{O} (G^n, p^{2n})$$

미분방정식을 차분방정식으로 바꾸는 과정의 논리적 구멍을 메꾸고 싶다면 다음과 같은 미분형식(differential form) 꼴로 바꾼 방정식을 고려할 수 있다.

$$ \delta H(\alpha) = \{ H(\alpha), g \} \,,\, g = G \delta \alpha $$

문제에 perturbation parameter $\epsilon$이 존재한다고 가정할 경우, 위의 방정식은 다음과 같은 차분방정식으로 변경시킬 수 있다.

$$ \Delta H = \{ H, g \} \,,\, \frac{\Delta H}{H} \sim \frac{g}{H} \sim \epsilon $$

Post-Newtonian expansion의 경우 이 perturbation parameter는 $\epsilon = \frac{G\mu}{r c^2} \simeq \frac{p^2}{\mu^2 c^2}$이 된다. 이름대로 $\frac{1}{c}$을 perturbation parameter로서 이해할 수 있다는 의미.

23Feb2020 수정사항: 미분형식 꼴로 바꾼 방정식을 이용한 논증 추가.

대학원 고전역학에서 다룰만한 내용으로 교수님과 이야기하다가 Dirac bracket 이야기가 나와서 간단(?)하게 트위터에서 주절거렸던 내용을 정리. 해당 타래는 이것.

이왕 Dirac bracket 이야기가 나왔으니 간단하게 아이디어 설명.

뉴턴역학/라그랑주역학은 2계미분방정식을 이용하기 때문에 초기조건으로 함수의 값과 도함수값을 요구한다. 해밀턴역학은 2계미분방정식을 1계미분방정식으로 바꿔서 초기조건에 함수의 값만 필요하도록 바꾼 것으로 이해할 수 있다.

— Dexter Kim (@AstralDexter) January 29, 2019

모든 미분방정식은 충분한 숫자의 변수를 도입하는 것으로 1계미분방정식으로 만들 수 있다. 예컨대 $y''+y=0$이란 미분방정식이 있다면 $x=y'$이란 독립변수 $x$를 도입하여 $x'+y=0$으로 만들 수 있다. 해밀턴역학도 어떤 의미에서는 그런 접근의 연장선상에 놓여있다. 르장드르 변환과도 엮여있기 때문에 좀 복잡한 방식으로 이 과정을 이용하기는 하지만.

트윗 타래에서 설명했듯, 해밀턴역학에서 해밀토니안 함수는 위상공간 위에서의 흐름(flow)을 만들어내는 물체로 생각할 수 있다. 해밀토니안 함수와 그에 대응되는 흐름 혹은 벡터장을 연결해주는 역할을 하는 것이 포아송 괄호(Poisson bracket)이다. 연결 방법은 $H \to \{H,\bullet \}$. 물론 위상공간 위에서의 흐름을 만들어내는 해밀토니안이 실제 계의 동역학과 관계가 있어야 할 이유는 없다. 보다 추상적인 임의의 함수도 포아송 괄호를 통해 위상공간 위에서 흐름을 만들어낼 수 있으며, 일반적으로는 계의 보존량 $Q$를 이용해 이런 흐름을 만들어낼 때 $Q$를 대칭 생성자(symmetry generator)라고 부른다. 이쪽은 운동량 사상(moment map)과 연결되는 방향이지만 이 글의 주제에서는 벗어나니 다음 기회에^[각주:1].

임의의 함수는 포아송 괄호를 통해 위상공간 위에서의 벡터장과 대응될 수 있다.

위의 관점은 계의 모든 변수가 독립변수인 경우에는 문제 없이 적용이 가능하지만 계의 모든 변수가 독립변수가 아닌 경우, 즉 제약조건(constraint)이 존재하는 계의 경우에는 위의 관점을 적용하는데 무리가 있다. 이 경우 좌표를 새로 잘 정의해서 새 좌표에서는 모든 변수가 독립변수가 되도록 하는 것으로 위의 관점을 살려내는 방법이 있다. 물론 새 좌표를 찾는다는 것은 원칙상 가능하다는 뜻이고, 이 좌표를 찾는 일이 항상 쉬우리란 보장은 없다. 다른 방법은 디락의 디락 괄호(Dirac bracket)를 도입하는 것.

잠시 원래 이야기에서 벗어나 역사적인 맥락을 살펴보면, 디락이 디락 괄호의 도입을 생각하게 된 이유는 양자전기역학이었다고 한다. 디락은 포아송 괄호를 교환자(commutator)로 교체하는 것으로 고전계를 양자화할 수 있다는 것을 발견했는데, 같은 방법을 전자기학에 적용하려니 뭔가 잘 안 맞는다는 것을 알게 된 것이다. 디락은 가우스 법칙에 의해 전자기장이 가질 수 있는 값에 제약이 생기는 것이 원인이라는 것을 알게 되었고, 제약조건이 있는 계의 포아송 괄호에 해당하는 물체를 어떻게 찾아낼 것인가를 고민한 결과 디락 괄호를 찾아내게 된다.

다시 원래 이야기로 돌아와서, 제약조건이 있다는 뜻은 전체 위상공간 중 그 부분집합에 해당하는 $f_i(\vec{p},\vec{q})=0$을 만족하는 $(\vec{p},\vec{q})$만 실제 계의 상태를 나타낸다는 관점으로도 이해할 수 있다. 일반적으로 해밀토니안에 의해 만들어지는 흐름은 이 제약조건을 만족하는 위상공간 속 부분다양체(submanifold) 위에서 출발하더라도 그 밖을 벗어나게 되리라고 예상할 수 있다.

해밀토니안에 의해 만들어지는 흐름(연두)은 제약조건을 만족하는 부분다양체(연파랑) 위에서 출발하더라도 그 부분다양체 위에서 움직이는 방향(녹색)과 그 부분다양체에서 벗어나는 방향(적색)을 모두 포함한다.

이제 문제는 포아송 괄호를 통해 얻은 해밀토니안 함수에 대응되는 흐름에서 제약조건을 만족하지 못하게 하는 방향의 흐름을 제거하는 것이다. 위의 그림에서 적색 화살표에 해당하는 성분을 제거하는 것이 목표인 셈. 이 목표는 제약조건을 만족하는 경우 0이란 값을 갖는 제약조건에 해당하는 함수 $f_i$들을 적당히 더하는 것으로 이루어진다. $f_i$에 의해 만들어지는 흐름 $\{f_i,\bullet\}$은 일반적으로 0이 아니기 때문. 수식으로 나타내면 다음과 같다.

\[ H \to \{ H, \bullet \}_{\text{Dirac}} = \{ H + c_i f_i , \bullet \} \]

이제 문제는 1. 충분한 숫자의 $f_i$를 찾아서 어떤 방향으로 벗어나더라도 벗어나는 방향을 제거할 수 있을 것 2. 계수들 $c_i$를 결정할 것 두가지로 나뉘게 된다. 첫번째 문제에 대한 답은 제약조건을 primary/secondary constraint와 1st class/2nd class constraint로 분류하는 과정과 관련이 있는데^[각주:2] 여기서는 일단 충분한 숫자의 $f_i$들을 구했다고 가정하기로 하자.

디락 괄호는 포아송 괄호에 보정을 가해서 제약조건을 만족시키도록 한 것으로 볼 수 있다.

계수들 $c_i$는 어떤 해밀토니안 함수를 통해 생성된 흐름이더라도 제약조건 $f_i$의 값을 0으로 유지시켜야 한다는 것으로부터 구할 수 있다. 따라서 다음 방정식의 해를 구해야 한다는 뜻이다.

\[ \forall i \,, \{ H, f_i \}_{\text{Dirac}} = 0 \]

이 문제는 다음 가설풀이(ansatz)를 적용해서 풀 수 있다. 이런 가설풀이를 도입하는 이유는 포아송 괄호의 성질들 중 필요한 성질들을 보존하기 위함인데, 그 이야기까지 하기에는 글이 너무 길어지므로 대충 넘어가기로 하자.

\[ c_i(H) = - \{ H, f_j \}M^{ji} \]

위의 가설풀이를 적용하면 이제 풀어야 할 방정식은 아래와 같이 바뀐다.

\[ \{ H, f_i \}_{\text{Dirac}} = \{ H, f_i \} - \{ H, f_k \} M^{kj} \{ f_j, f_i \} = 0\]

고맙게도 위 방정식은 단순한 역행렬 계산으로 풀 수 있다.

\[ M^{ij} \text{ is the solution to } M^{ij} \{ f_j, f_k \} = \delta^i_k \]

이 정도가 디락 괄호의 핵심적인 아이디어에 속한다.

수업시간에 마주한 Frobenius' theorem이 특수상대론의 유명한 문제인 '회전하는 원반의 둘레는 얼마인가?'와 연결된다는 것을 깨닫고 작성을 시작한 노트. 별 내용도 없는데 생각보다 작성하는데 시간이 오래 걸렸다. 특수상대론을 다루는 부분은 작업 시작한 날 3시간만에 전부 정리했는데 나머지 부분에서 제대로 된 설명을 만드느라 헤매서....

처음 쓰기 시작했을 때는 '오 이거 재미있다!'란 생각으로 타자를 쳤는데 다 치고 나니까 '뭐야 이거 당연한 소리였잖아...'란 느낌만 든다. 안 그런 일이 드물기는 하지만...

Frobenius Theorem in General Relativity.pdf

(필명으로 운영하는 이 블로그 말고) 나중에 제대로 된 개인 홈페이지를 만들었을 때 올려놓아도 괜찮겠다 싶어서 학생 세미나도 준비할 겸 작성한 텍. 쓰다보니 너무 길어졌다.

Notion of Particles in Curved Space public.pdf

Unruh effect를 다루기 위해 넣은 Unruh-DeWitt detector는 진짜 열적 분포를 갖는 결과가 나오도록 하고 싶었는데 계산을 간단히 하려고 1+1차원에 갇혀있었던 것이 문제가 된 듯. 노트의 각주에 달아놓기는 했지만 3+1차원에서 계산하면 열적 분포가 제대로 나온다. 조금 신경쓰이는 부분은 $1/E$에 비례하는 항 때문에 구한 response function이 E에 대해 우함수가 아니라는 것인데, 이건 전이 확률이 에너지 준위차에만 의존하지 않고 에너지가 높은 쪽으로 전이하는 확률과 낮은 쪽으로 전이하는 확률이 서로 다르다는 것을 의미해서 그렇다. 여태 본 계산 중에는 이런 계가 없었던 것으로 기억하는데 무언가 잘못한 것이 있는 것은 아닌가 싶어서.

Lense-Thirring effect가 과제로 나와서 이책 저책을 찾아보다가 Fermi-Walker transport란걸 알게 되었다. 검색을 조금 돌려보니까 이런 논문도 나오는데, 이 논문까지 읽을 필요는 없을듯. Fermi-Walker transport의 식은 다음과 같이 주어진다.

\[\frac{D_F A^{\mu}}{Ds}=(w^{\mu} u_{\nu}-u^{\mu}w_{\nu})A^{\nu}\] \[\mathbf{u}=\frac{d}{ds}, \mathbf{w}=\nabla_{\mathbf{u}}\mathbf{u}\] \[s \text{ is (natural) parametrisation of the curve; }\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=1\]

notation이 이것저것 섞여있긴 한데 알아들을 분들은 다 알아들으리라 믿고(...)

그래서 이게 뭐냐? 위키백과 항목에는 '평행이동(parallel transport)의 일반화'라고 서술되어 있지만 그 말은 별로 옳지 않아 보인다. 그림으로 보는게 가장 이해하기 편할 듯.

평행이동을 곡면좌표계(curvilinear coordinates)에서 유도하는 과정을 보면 위의 그림이 된다.

그리고 이게 Fermi-Walker transport. 이동시킬 곡선에 평행한 성분은 계속 평행하고 수직한 성분은 계속 수직하게 이동시키는 과정. 따라서 이동시키는 곡선이 '직선'(혹은 측지선-geodesic)인 경우 Fermi-Walker transport는 평행이동과 같아진다. Fermi-Walker transport의 식 유도는 벡터 $\mathbf{A}$를 가져다가 곡선의 접선(tangent)인 $\mathbf{u}$에 평행한 성분과 수직한 성분으로 나눈 뒤 수직한 성분의 변화율을 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{A_\perp}=0$을 미분해서 얻으면 된다. 감이 안 잡히면 LPPT Problem book in Relativity and Gravitation의 문제 11.7에서 풀어주고 있으니 그 책을 확인해보는 것도 좋을듯. 이 책은 어둠의 경로가 아니더라도 http://www.nrbook.com/relativity/에서 볼 수 있다.

과제로 제출했던 논문 리뷰(?)입니다. TeX으로 치느라 살짝 고생하긴 했는데 이쁘게 찍히는 것 보면 고생한 보람은 있네요. (졸업논문 손봐야 하는데 놀고 있냐)

주된 내용은 Landauer의 1961년 논문인 "Irreversibility and Heat Generation in the Computing Process"로 촉발된 계산의 에너지 소모와 이후 Bennett의 논문으로 밝혀진 '계산 자체는 에너지를 소모하지 않는다 - 정보의 삭제가 에너지 소모의 원인이다'를 다룹니다. 원래 과제는 첫 논문만 보면 되는 거였는데 수랏길에 들어서 버렸...=_=;;

처음부터 영문으로 작성했던거라 개인정보만 조금 고쳐서 올립니다.

Computation and Heat - Public.pdf

p.s. '계산의 최소 에너지 소모'를 생각해봤으면 '계산능력의 한계'에 대해서도 생각해볼 수 있겠죠. 위키백과의 '계산 한계' 항목을 참고하세요. '브레머만 한계'는 양자역학적으로 얻은 '단위질량의 계산기가 행할 수 있는 최고 계산 속도'인데, 재미있게도 비슷한 크기의 제한조건을 '베켄슈타인 한계'와 '정보의 최대 전파 속도'인 광속 c로부터 구할 수 있습니다.(문제를 만들라는 과제도 있었는데 거기에 낸 문제입니다.) 정보를 최대한으로 꾹꾹 눌러 담으면 블랙홀이 됩니다. 그리고 그 정보를 한번에 처리하는데 들어가는 시간(즉 단일 clock 시간이죠)은 빛이 블랙홀의 지름을 통과하는데 걸리는 시간보다 짧을 수 없죠. 상수에 대한 dependence를 구해보면 대충 $\frac{c^2}{\hbar}$이 되어야 한다는 것을 알 수 있습니다. 순수하게 고전적인(블랙홀 엔트로피가 고전적인지는 모르겠군요 쿨럭;;) 논의입니다.

p.s.2. 베켄슈타인 한계를 베켄슈타인 본인이 정리한 항목이 있어서 링크 걸어둡니다.

디락방정식을 기억만으로 재구성해보는 작업을 하고 있는데, 그 와중에 조금 정리할 필요가 있다 생각되어 쓰는 글.

디락방정식의 도입 동기는 매우 간단하다. 그 이전까지 제시된 방정식들에 문제가 있었기 때문. 슈뢰딩거 방정식은 시간과 공간을 같게 다루지 않으며(공간에 대해서는 이계미분, 시간에 대해서는 일계미분), 클라인-고든 방정식은 시간에 대해 일계가 아니라는 문제가 있다. 시간에 대해 일계가 아니면 갖는 문제는 초기조건을 충분히 주지 못하기 때문에 문제가 된다. 시간에 대한 미분은 위상의 변화와 관련이 있는데, 위상의 차이는 측정할 수 있어도 위상이 변하는 속도는 측정할 방법이 없기 때문.

디락이 생각한 해는 상당히 간단하다. 클라인-고든 방정식에 제곱근을 취하는 것.

이러면 \alpha와 \beta에 대해 다음과 같은 10개의 관계식을 얻는다.

일단 \alpha와 \beta는 우리가 일반적으로 보는 숫자가 아닌 것은 확실하다. 제곱해서 1이 되며 다른 숫자와 곱했을 때 0이 되는 복소수는 없기 때문. 따라서 이 녀석들은 행렬로 보는 것이 타당하다. 제곱을 할 수 있으므로 행렬 중 정사각행렬이 되어야 하는데, 그렇다면 정사각행렬 중 몇 짜리 정사각행렬을 써야 할까? n\times n 행렬은 모두 n^2개의 자유도를 갖는다. 그런데 위에서 최소한 10개의 조건이 필요하다는 결론을 얻었으므로, 최소한 4\times4행렬이 필요하다는 것을 알 수 있다. 이렇게 되면 6개의 자유도가 남는데, 이 자유도는 어디에 쓸 수 있을까? 다시 원래의 디락방정식으로 돌아와 보자.(틀린 설명입니다.) 미분은 좌표계를 바꾸면 변하게 되어 있으나 정지질량은 변하지 않는다. 따라서 식을 좀 더 깔끔하게 쓰려면 다음과 같이 정리하는 편이 낫다.

약간의 불만사항: 질량은 변하지 않는데 쌩뚱맞은 \beta가 붙어 있다. 양 변에 \beta를 곱해서 좀 더 보기 쉽게 만들어주고, 남는 6개의 자유도를 이용해(틀린 표현입니다) 이 숫자들에게 추가적인 제한조건을 걸어주도록 하자. 이 제한조건은 '로렌츠 변환을 만족할 것'. 로렌츠 변환은 결국 4차원에서의 회전에 해당하기 때문에 4C2=6개의 제한조건을 의미한다. 남은 6개의 자유도를 완벽하게 구속할 수 있다는 의미이다.

이렇게 로렌츠 불변 형식의 디락방정식이 완성된다.

나중에는 디락방정식의 감마행렬에 대해 클리포드 대수란 말이 나오게 되는데(기본적으로는 anticommute하는 숫자들에 대한 대수를 의미한다. n-form이 한 사례) 아직은 그렇게 복잡하게 생각할 필요는 없다고 생각해서 정리해봤다. 조금만 더 만지작만지작 거리면 spin이 자기모멘트를 나타낸다는 것과 g-factor가 2가 된다는 것도 보일 수 있는데(처음의 \alpha와 \beta를 쓰는 형식에서 운동량을 canonical momentum으로 바꾼 뒤 제곱해서 정리하면 자기장과 내적한 꼴의 에너지 항을 얻는다) 그것까지 하기는 귀찮다. 언젠가 (2)를 쓰게 되면 그때나...

사실 목적은 기억만으로 수소원자를 푸는 것이었는데(디락방정식을 이용해서 수소원자 모형을 풀면 답에 자연스럽게 fine structure까지 포함된다) 어디선가 헤매고 있다. 일단은 디락 양자역학 책을 열어봐야 하나.

공부합시다!

수정(24 Dec 2013)

감마행렬이 4X4 행렬이라는 논리전개과정이 매우 불분명해서 제외. 대수학을 좀 더 공부해야 할 필요가 있습니다 엉엉 ㅠㅠ

수업시간에 교수님이 하신 설명이 마음에 안 들어서(...) 처음부터 재구성. canonical ensemble을 이용한다. 다른 말로 계와 주변부(environment) 사이에 에너지 교환만 일어난다는 의미.

계와 주변부의 에너지가 특정 비율로 분배될 확률은 그 분배법이 얼마나 많은 가능한 상태의 수를 갖는가에 직접적으로 비례한다. 사실, 그 확률은 이 상태의 수에만 비례한다는 것이 통계역학의 기본 공리중 하나이다(postulate of equal a priori probability). 총 에너지를 E, 계의 에너지를 \varepsilon이라 하면 그 상태에 있을 확률은 다음과 같이 쓸 수 있다.

P(\varepsilon)\propto \Omega_{e}(E-\varepsilon)\Omega_{s}(\varepsilon)

여기서 \Omega_s는 에너지에 따른 계의 경우의 수, \Omega_e는 주변부의 경우의 수. 그런데 이 식은 쓰기 매우 불편하다. 실제로 다루는 물리량이 \Omega가 아니기 때문. 열역학에서 다루는 물리량은 보통 두가지로 나뉘는데,^[각주:1]

1. 강성적 성질(intensive property): 계의 크기와는 독립적인 물리량. 압력, 온도, 밀도 따위. 계의 질량과는 독립적인 성질이라고도 설명한다.^[각주:2]

2. 종량적 성질(extensive property): 계의 크기에 직접적으로 비례하는 물리량. 부피, 엔트로피 따위. 계의 질량에 직접적으로 비례하는 성질이라고도 설명한다.

\Omega는 이 둘 중 어느 하나에도 속하지 않는다. 계의 크기가 두배가 되면 \Omega는 제곱이 되기 때문. 따라서 좀 더 사용하기 용이한 물리량은 \Omega의 로그값이 된다.^[각주:3] 물리적으로는 다음 식이 더 유용하다는 것.

\ln P(\varepsilon) = \ln\Omega_{e}(E-\varepsilon)+\ln\Omega_{s}(\varepsilon)+c

그런데 이러면 사용하기 너무 복잡하다는 문제가 있다. 이 때 이용하는 것이 주변부의 크기는 매우 크기 때문에 선형으로 근사해도 별 문제가 없다는 사실이다. 로그를 테일러 전개를 사용해 1차식으로 만들어주는 것이다. 그리고 이 과정에서 등장하는 미분량은 우리가 잘 알고 있다. 바로 \beta

\\\ln P(\varepsilon) = \ln\Omega_{e}(E-\varepsilon)+\ln\Omega_{s}(\varepsilon)+c\\=\ln\Omega_{e}(E)-\frac{\partial\ln\Omega_e(E)}{\partial E}\varepsilon+\ln\Omega_{s}(\varepsilon)+c\\=\ln\Omega_{e}(E)-\beta\varepsilon+\ln\Omega_{s}(\varepsilon)+c

따라서 원래대로 확률을 구하기 위해 지수를 취해주면

\therefore P(\varepsilon)=\exp(\ln\Omega_{e}(E)-\beta\varepsilon+\ln\Omega_{s}(\varepsilon)+c)

또는

P(\varepsilon)\propto\Omega_s(\varepsilon)\exp(-\beta\varepsilon)

를 얻는다. 바로 심심하면 보이는 볼츠만 분포.