Dirac Equation(1)

디락방정식을 기억만으로 재구성해보는 작업을 하고 있는데, 그 와중에 조금 정리할 필요가 있다 생각되어 쓰는 글.

디락방정식의 도입 동기는 매우 간단하다. 그 이전까지 제시된 방정식들에 문제가 있었기 때문. 슈뢰딩거 방정식은 시간과 공간을 같게 다루지 않으며(공간에 대해서는 이계미분, 시간에 대해서는 일계미분), 클라인-고든 방정식은 시간에 대해 일계가 아니라는 문제가 있다. 시간에 대해 일계가 아니면 갖는 문제는 초기조건을 충분히 주지 못하기 때문에 문제가 된다. 시간에 대한 미분은 위상의 변화와 관련이 있는데, 위상의 차이는 측정할 수 있어도 위상이 변하는 속도는 측정할 방법이 없기 때문.

\text{Schroedinger equation: derivatives on time and} \\\text{space are not treated on a equal footing.} \\i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x) \right ]\Psi \\\\\text{Klein-Gordon equation: the equation treats time} \\\text{as a second order derivative.} \\\left[\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}+m^2 \right ]\Psi=0\text{ (natural units)}

디락이 생각한 해는 상당히 간단하다. 클라인-고든 방정식에 제곱근을 취하는 것.

\text{Dirac's solution: take the root!} \\\^H=i\frac{\partial}{\partial t}\;,\;\^p=-i\frac{\partial}{\partial x} \\\\\left[-\frac{\partial^2}{\partial x^2}+m^2 \right ]\Psi=-\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Psi\text{ (natural units)} \\(\^p^2+m^2)\Psi=\^H^2\Psi \\\\\Rightarrow(\alpha\cdot\^p+\beta m)\Psi=\^H\Psi

이러면 \alpha와 \beta에 대해 다음과 같은 10개의 관계식을 얻는다.

\begin{matrix} \alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i=2\delta_{ij} & \cdots\text{ 6 equations}\\ \alpha_i\beta+\beta\alpha_i=0 & \cdots\text{ 3 equations}\\ \beta^2=1 & \cdots\text{ 1 equation} \end{matrix}

일단 \alpha와 \beta는 우리가 일반적으로 보는 숫자가 아닌 것은 확실하다. 제곱해서 1이 되며 다른 숫자와 곱했을 때 0이 되는 복소수는 없기 때문. 따라서 이 녀석들은 행렬로 보는 것이 타당하다. 제곱을 할 수 있으므로 행렬 중 정사각행렬이 되어야 하는데, 그렇다면 정사각행렬 중 몇 짜리 정사각행렬을 써야 할까? n\times n 행렬은 모두 n^2개의 자유도를 갖는다. 그런데 위에서 최소한 10개의 조건이 필요하다는 결론을 얻었으므로, 최소한 4\times4행렬이 필요하다는 것을 알 수 있다. 이렇게 되면 6개의 자유도가 남는데, 이 자유도는 어디에 쓸 수 있을까? 다시 원래의 디락방정식으로 돌아와 보자.(틀린 설명입니다.) 미분은 좌표계를 바꾸면 변하게 되어 있으나 정지질량은 변하지 않는다. 따라서 식을 좀 더 깔끔하게 쓰려면 다음과 같이 정리하는 편이 낫다.

\text{Dirac equation} \\(-i\alpha\cdot\nabla+\beta m)\Psi=i\frac{\partial}{\partial t} \Psi \\\beta m \Psi=i\left[\frac{\partial}{\partial t}+\alpha\cdot\nabla \right ]\Psi \\=i\left[\frac{\partial}{\partial x_0}+\alpha_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\alpha_2\frac{\partial}{\partial x_2}+\alpha_3\frac{\partial}{\partial x_3} \right ]\Psi

약간의 불만사항: 질량은 변하지 않는데 쌩뚱맞은 \beta가 붙어 있다. 양 변에 \beta를 곱해서 좀 더 보기 쉽게 만들어주고, 남는 6개의 자유도를 이용해(틀린 표현입니다) 이 숫자들에게 추가적인 제한조건을 걸어주도록 하자. 이 제한조건은 '로렌츠 변환을 만족할 것'. 로렌츠 변환은 결국 4차원에서의 회전에 해당하기 때문에 4C2=6개의 제한조건을 의미한다. 남은 6개의 자유도를 완벽하게 구속할 수 있다는 의미이다.

\text{Multiply each side by }\beta \\m \Psi=i\left[\beta\frac{\partial}{\partial x_0}+\beta\alpha_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\beta\alpha_2\frac{\partial}{\partial x_2}+\beta\alpha_3\frac{\partial}{\partial x_3} \right ]\Psi \\\\\text{Redefine the numbers: Introduce the }\gamma^\mu\text{ matrices.} \\\gamma^0\equiv\beta,\;\gamma^i\equiv\beta\alpha_i \\\Rightarrow\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu} \\\\\text{Introduce more restrictions (six) to impose} \\\text{covariance under Lorentz transforms.} \\L^\mu_{\;\nu}\equiv\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu},\;L^{\;\;\mu}_{\nu}\equiv (L^\nu_{\;\mu})^{-1}=\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\nu} \\\\x^\mu\to x'^\mu=L^\mu_{\;\nu} x^\nu,\;\partial_\mu\to\partial'_\mu=L^{\;\;\nu}_{\mu}\partial_\nu \\\gamma^\mu\to\gamma'^\mu=L^\mu_{\;\nu}\gamma^\nu \\\\\Rightarrow \gamma^\mu\partial_\mu\to\gamma'^\mu\partial'_\mu=L^\mu_{\;\nu}L^{\;\;\nu}_{\mu}\gamma^\nu\partial_\nu=\gamma^\mu\partial_\mu

이렇게 로렌츠 불변 형식의 디락방정식이 완성된다.

\text{Thus, the Dirac equation in its final form} \\\text{nicely incorporates Lorentz covariance.} \\\\m\Psi=i\gamma^\mu\partial_\mu\Psi\Rightarrow(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\Psi=0 \\\\(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\Psi=(i\gamma'^\mu\partial'_\mu-m)\Psi

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나중에는 디락방정식의 감마행렬에 대해 클리포드 대수란 말이 나오게 되는데(기본적으로는 anticommute하는 숫자들에 대한 대수를 의미한다. n-form이 한 사례) 아직은 그렇게 복잡하게 생각할 필요는 없다고 생각해서 정리해봤다. 조금만 더 만지작만지작 거리면 spin이 자기모멘트를 나타낸다는 것과 g-factor가 2가 된다는 것도 보일 수 있는데(처음의 \alpha와 \beta를 쓰는 형식에서 운동량을 canonical momentum으로 바꾼 뒤 제곱해서 정리하면 자기장과 내적한 꼴의 에너지 항을 얻는다) 그것까지 하기는 귀찮다. 언젠가 (2)를 쓰게 되면 그때나...

사실 목적은 기억만으로 수소원자를 푸는 것이었는데(디락방정식을 이용해서 수소원자 모형을 풀면 답에 자연스럽게 fine structure까지 포함된다) 어디선가 헤매고 있다. 일단은 디락 양자역학 책을 열어봐야 하나.

공부합시다!

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수정(24 Dec 2013)

감마행렬이 4X4 행렬이라는 논리전개과정이 매우 불분명해서 제외. 대수학을 좀 더 공부해야 할 필요가 있습니다 엉엉 ㅠㅠ