Lagrangian in Electromagnetism

2009/05/06 - Lagrangian formulation(1)

먼저 Lagrangian은 정확한 역학법칙은 아닙니다. 단지 다음 공식이 정확한 운동방정식으로 환원되기만 하면 되는 거지요.

\frac{\partial{L}}{\partial{x_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x_i}}}=0

그리고 일반적인 경우, L은 T-V, 즉 운동에너지에서 위치에너지를 제한 값이 됩니다. 하지만 전자기학에서는 어떨까요? 애석하게도 자기력의 포텐셜은 벡터이기 때문에, 단순한 위치에너지가 계산이 되질 않습니다. 먼저 전자기학에서 힘은 어떻게 나타나는지 보기로 합니다.

\vec{F}=m\dot{\vec{v}}=q(\vec{E} \vec{v}\times\vec{B})

전기장과 자기장은 보기 심히 안 좋습니다. 포텐셜을 도입해서 전기장과 자기장을 바꾸어 줍니다.

\vec{E}=-\nabla\varphi-\frac{d}{dt}\vec{A} \\\vec{B}=\nabla\times\vec{A}

(자세한 내용은 여기에...http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Potential_field_approach)

설렁 설렁 도입해 줍니다.

\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi-\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} \vec{v}\times\nabla\times\vec{A})

우변의 마지막 항이 상당히 거슬리는군요. 깔끔하게 정리해 줍시다.

\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A}\\\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi-\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} \nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A})

오, 무언가 정리될 것 같아 보이네요.

\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A})=\frac{d}{dt}\vec{A}\\\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi \nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-\frac{d}{dt}\vec{A})\\0=\nabla(-q\varphi q\vec{v}\cdot\vec{A})-\frac{d}{dt}(m\vec{v} q\vec{A})

성분별로 써 봅시다.

\frac{\partial}{\partial{x_i}}(-q\varphi q\dot{x_j}A_j)-\frac{d}{dt}(m\dot{x_i} qA_i)=0\\\frac{\partial}{\partial{x_i}}(-q\varphi q\dot{x_j}A_j)-\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{x_i}}(\frac1{2}m\dot{x_j}^2 q\dot{x_j}A_j)=0

j는 dummy index입니다. j로 정리되어 있는 모든 성분에는 합이 생략되어 있지요. i는 우리가 측정하고 있는 방향의 성분입니다. 어찌되었든, 만약 q가 운동 속도에 영향을 받지 않는다면(많은 위치에너지가 그리하듯이) L을 다음과 같이 잡아주면 됩니다.

L=\sum_j\frac1{2}m\dot{x_j}^2-q(\varphi-\dot{x_j}A_j)=\frac1{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}-q(\varphi-\vec{v}\cdot\vec{A})

이렇게 L을 정의하면 원하는 운동방정식을 얻습니다. 전자기학에서 Lagrangian 구하기 끝.

양자역학으로 넘어가서 많이 중요해지는 Hamiltonian은 나중에 구해보기로 하지요 뭐.