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전하와 자하를 동시에 두면 이로부터 만들어지는 전자기장이 각운동량을 갖는다는 사실은 잘 알려져 있다. 처음으로 이 계산을 한 것이 톰슨이었다던가. 이 계산은 각운동량의 양자화로부터 전하와 자하의 양자화를 유도해내는 과정인 Dirac quantisation 혹은 Dirac-Schwinger-Zwanziger quantisation을 정당화하는데 이용되기도 한다.


여튼, 정석적인 계산방법은 전하를 원점에, 자하를 적당한 z축상의 한 점에 둔 뒤 원통좌표계를 써서 각운동량을 계산하는 것인데 이 방법 말고 벡터미적분학을 적절히 이용해서 쉽게(?) 계산하는 방법이 있다. 이 방법이 있다는 것은 알고 있었는데 정확한 과정을 떠올리는데 만 하루가 걸리고 나니 조금 슬프지만.


먼저 전하를 원점에, 자하를 r에 두자. 그리고 다음과 같이 벡터 ρ:=rr를 정의한다. 전하와 자하가 만들어내는 전자기장은 다음과 같이 계산할 수 있다.

J=r×P=r×(E×B)


전기장과 자기장을 쓰기 위한 단위계는 cgs를 택하기로 한다.

E=err3 B=gρρ3


실제 계산에 문제가 되는 항은 다음 항이다.

r×(r×ρ)r3ρ3


벡터 삼중곱을 쓰면 이 항은 다음과 같이 쉽게 정리할 수 있다.

r×(r×ρ)r3ρ3=rrρr3ρ3ρrρ3


이제부터 벡터미적분학의 묘미가 시작된다. 다음 등식은 어렵지 않게 증명 가능하다.

(ϕ)(φ)=(ϕφ)ϕ2φ


이 식을 a/a3꼴의 식에 적용한다.

rρr3ρ3=1r1ρ=(1r1ρ)1r21ρ


다음 항등식은 전자기학을 공부했으면 심심찮게 만날 수 있다.

21r=4πδ3(r)


정리하면

r×(r×ρ)r3ρ3=4πrrδ3(ρ)+r(1r1ρ)+1r1ρ


또는, Einstein summation convention을 도입할 경우,

r×(r×ρ)r3ρ3=4πrrδ3(ρ)+j(rirj1ρ)


가 되어 total divergence만 남는 것을 확인할 수 있다. 따라서,

J=eg4πrrδ3(ρ)+j(rirj1ρ)=4πeg^r+boundary terms


으로 정리할 수 있으며, 약간의 order of magnitude analysis를 통해 boundary term은 0이 된다는 것을 증명하면 정리는 끝난다. 해당 증명은 어렵지 않으니 생략.

J=4πeg^r


단위계가 엉망인데 계산과정이 중요한 것일 뿐이니 적당히 알아서 집어넣으시길...

Posted by 덱스터

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