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전하와 자하를 동시에 두면 이로부터 만들어지는 전자기장이 각운동량을 갖는다는 사실은 잘 알려져 있다. 처음으로 이 계산을 한 것이 톰슨이었다던가. 이 계산은 각운동량의 양자화로부터 전하와 자하의 양자화를 유도해내는 과정인 Dirac quantisation 혹은 Dirac-Schwinger-Zwanziger quantisation을 정당화하는데 이용되기도 한다.


여튼, 정석적인 계산방법은 전하를 원점에, 자하를 적당한 z축상의 한 점에 둔 뒤 원통좌표계를 써서 각운동량을 계산하는 것인데 이 방법 말고 벡터미적분학을 적절히 이용해서 쉽게(?) 계산하는 방법이 있다. 이 방법이 있다는 것은 알고 있었는데 정확한 과정을 떠올리는데 만 하루가 걸리고 나니 조금 슬프지만.


먼저 전하를 원점에, 자하를 r에 두자. 그리고 다음과 같이 벡터 ρ:=rr를 정의한다. 전하와 자하가 만들어내는 전자기장은 다음과 같이 계산할 수 있다.

J=r×P=r×(E×B)


전기장과 자기장을 쓰기 위한 단위계는 cgs를 택하기로 한다.

E=err3 B=gρρ3


실제 계산에 문제가 되는 항은 다음 항이다.

r×(r×ρ)r3ρ3


벡터 삼중곱을 쓰면 이 항은 다음과 같이 쉽게 정리할 수 있다.

r×(r×ρ)r3ρ3=rrρr3ρ3ρrρ3


이제부터 벡터미적분학의 묘미가 시작된다. 다음 등식은 어렵지 않게 증명 가능하다.

(ϕ)(φ)=(ϕφ)ϕ2φ


이 식을 a/a3꼴의 식에 적용한다.

rρr3ρ3=1r1ρ=(1r1ρ)1r21ρ


다음 항등식은 전자기학을 공부했으면 심심찮게 만날 수 있다.

21r=4πδ3(r)


정리하면

r×(r×ρ)r3ρ3=4πrrδ3(ρ)+r(1r1ρ)+1r1ρ


또는, Einstein summation convention을 도입할 경우,

r×(r×ρ)r3ρ3=4πrrδ3(ρ)+j(rirj1ρ)


가 되어 total divergence만 남는 것을 확인할 수 있다. 따라서,

J=eg4πrrδ3(ρ)+j(rirj1ρ)=4πeg^r+boundary terms


으로 정리할 수 있으며, 약간의 order of magnitude analysis를 통해 boundary term은 0이 된다는 것을 증명하면 정리는 끝난다. 해당 증명은 어렵지 않으니 생략.


단위계가 엉망인데 계산과정이 중요한 것일 뿐이니 적당히 알아서 집어넣으시길...

Posted by 덱스터

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