2023. 6. 16. 23:01 Physics/Problems
Klein-Gordon propagator in position space
Klein-Gordon field의 Feynman propagator를 position space에서 계산해본 적이 없는 것 같아서 뒤늦은 숙제(...) 처리. 일반적인 차원 D 대신 그냥 4차원에서만 계산하기로 했다. 다음의 Fourier transform을 구하는 문제. 1
∫d4k(2π)4−i−k2+m2−iϵe−ik⋅x=∫d4k(2π)4ie−ik0te−→k⋅→xk20−(→k2+m2−iϵ)
우선 dk0 적분을 처리한다. t의 부호에 의존하는 residue integral로 정리할 수 있는데 결과적으로는 t의 절댓값에만 의존하는 결과를 얻는다.
∫d3k(2π)3e−i|t|√k2+m2ei→k⋅→x2√k2+m2
앞으로는 τ=|t|로 적기로 하자. 다음은 구면좌표계로 변환한 뒤 dcosθ적분을 취하면 된다.
12(2π)2∫k2dkdcosθeikrcosθe−iτ√k2+m2√k2+m2=−i8π2r∫∞0kdke−i(τ√k2+m2−kr)−e−i(τ√k2+m2+kr)√k2+m2
k→−k의 대칭을 이용하여 적분구간을 전체 실수로 확장하고 12를 곱한 뒤 지수를 정리하기 위해 다음 변수들을 도입한다. 우선은 timelike separation을 고려하기로 한다.
ρ=√τ2−r2,coshα=τ/ρ,sinhα=r/ρ,k=msinhη
이 경우 적분은 다음과 같이 정리된다.
−im16π2r∫∞−∞sinhηdη(e−imρcosh(η−α)−e−imρcosh(η+α))
우선 적분구간을 정리해준다.
−im16π2r∫∞−∞(sinh(η+α)−sinh(η−α))dηe−imρcoshη
다음으로는 삼각함수 항등식을 이용해서 수식을 정리해준다.
−imsinhα8π2r∫∞−∞coshηdηe−imρcoshη=−im4π2ρ∫∞0coshηdηe−imρcoshη
이제 DLMF의 10.32.9식을 이용하면 정리 완료. 이 때 z는 |ph(z)|<π/2의 조건을 만족해야 한다.
Kν(z)=∫∞0dtcosh(νt)e−zcosht
위 적분을 대입하면 Feynman propagator의 position space representation을 얻는다.
−i−k2+m2−iϵ↔m24π2K1(imρ)imρ,ρ2=t2−→r2>0
Spacelike separation의 경우 ρ′=√r2−t2로 두고 ρ→−iρ′로 continuation을 하면 된다. Analytic continuation에서 어떤 부호를 택할지 결정하는 문제는 |ph(imρ)|<π/2의 조건으로부터 결정할 수도 있지만 τ=0으로 두고 적분을 다음과 같이 정리하는 것으로도 결정할 수 있다.
−i8π2r∫∞0kdkeikr−e−ikr√k2+m2=14π2r∫∞0kdksin(kr)√k2+m2
동일하게 변수변환 k=msinhη를 도입하면 적분이 다음과 같이 정리된다.
m4π2r∫∞0sin(mrsinhη)sinhηdη
이번에는 DLMF의 10.32.7식을 이용한다.
Kν(x)=1sin(νπ/2)∫∞0sin(xsinht)sinh(νt)dt
정리하면 얻는 식은 다음과 같으므로 ρ→−iρ′의 부호 선택이 정답임을 알 수 있다.
m24π2K1(mr)mr
결과적으로 branch cut이 자동으로 결정되는 식을 적고 싶다면 다음과 같이 적으면 되겠다.
−i−k2+m2−i0+↔m24π2K1(imρ)imρ,ρ2=t2−→r2−i0+
- 별 이유는 없고 angular integral 처리가 귀찮아서 그렇다. 좋은 교재들의 전범(...)을 따라 일반적인 차원 D에서의 position space propagator는 독자들을 위한 연습문제로 남겨두기로 하자. [본문으로]
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