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Klein-Gordon field의 Feynman propagator를 position space에서 계산해본 적이 없는 것 같아서 뒤늦은 숙제(...) 처리. 일반적인 차원 D 대신 그냥 4차원에서만 계산하기로 했다.[각주:1] 다음의 Fourier transform을 구하는 문제.

d4k(2π)4ik2+m2iϵeikx=d4k(2π)4ieik0tekxk20(k2+m2iϵ)

우선 dk0 적분을 처리한다. t의 부호에 의존하는 residue integral로 정리할 수 있는데 결과적으로는 t의 절댓값에만 의존하는 결과를 얻는다.

d3k(2π)3ei|t|k2+m2eikx2k2+m2

앞으로는 τ=|t|로 적기로 하자. 다음은 구면좌표계로 변환한 뒤 dcosθ적분을 취하면 된다.

12(2π)2k2dkdcosθeikrcosθeiτk2+m2k2+m2=i8π2r0kdkei(τk2+m2kr)ei(τk2+m2+kr)k2+m2

kk의 대칭을 이용하여 적분구간을 전체 실수로 확장하고 12를 곱한 뒤 지수를 정리하기 위해 다음 변수들을 도입한다. 우선은 timelike separation을 고려하기로 한다.

ρ=τ2r2,coshα=τ/ρ,sinhα=r/ρ,k=msinhη

이 경우 적분은 다음과 같이 정리된다.

im16π2rsinhηdη(eimρcosh(ηα)eimρcosh(η+α))

우선 적분구간을 정리해준다.

im16π2r(sinh(η+α)sinh(ηα))dηeimρcoshη

다음으로는 삼각함수 항등식을 이용해서 수식을 정리해준다.

imsinhα8π2rcoshηdηeimρcoshη=im4π2ρ0coshηdηeimρcoshη

이제 DLMF의 10.32.9식을 이용하면 정리 완료. 이 때 z|ph(z)|<π/2의 조건을 만족해야 한다.

Kν(z)=0dtcosh(νt)ezcosht

위 적분을 대입하면 Feynman propagator의 position space representation을 얻는다.

ik2+m2iϵm24π2K1(imρ)imρ,ρ2=t2r2>0

Spacelike separation의 경우 ρ=r2t2로 두고 ρiρ로 continuation을 하면 된다. Analytic continuation에서 어떤 부호를 택할지 결정하는 문제는 |ph(imρ)|<π/2의 조건으로부터 결정할 수도 있지만 τ=0으로 두고 적분을 다음과 같이 정리하는 것으로도 결정할 수 있다.

i8π2r0kdkeikreikrk2+m2=14π2r0kdksin(kr)k2+m2

동일하게 변수변환 k=msinhη를 도입하면 적분이 다음과 같이 정리된다.

m4π2r0sin(mrsinhη)sinhηdη

이번에는 DLMF의 10.32.7식을 이용한다.

Kν(x)=1sin(νπ/2)0sin(xsinht)sinh(νt)dt

정리하면 얻는 식은 다음과 같으므로 ρiρ의 부호 선택이 정답임을 알 수 있다.

m24π2K1(mr)mr

결과적으로 branch cut이 자동으로 결정되는 식을 적고 싶다면 다음과 같이 적으면 되겠다.

ik2+m2i0+m24π2K1(imρ)imρ,ρ2=t2r2i0+

  1. 별 이유는 없고 angular integral 처리가 귀찮아서 그렇다. 좋은 교재들의 전범(...)을 따라 일반적인 차원 D에서의 position space propagator는 독자들을 위한 연습문제로 남겨두기로 하자. [본문으로]

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