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2023.06.16 - Klein-Gordon propagator in position space

Feynman propagator를 계산한 김에 그냥 관련 함수를 전부 계산해보기로 했다. 모든 two-point function은 결국 Wightman function이라 불리는 다음 두 함수의 계산으로 수렴한다.

G+(t,r):=0|ϕ(t,r)ϕ(0)|0,G(t,r):=0|ϕ(0)ϕ(t,r)|0

여기서 G에 달린 윗첨자의 부호는 positive frequency인가 negative frequency인가를 나타낸다. scalar field의 mode expansion에서 annihilation operator에 붙는 mode function이 positive frequency(eiEt)라고 불린다는 점에서 더없이 적절한 이름이라 하겠다.

G±=d3k(2π)3ei(ωktkr)2ωk,ωk:=k2+m2

Wightman function은 Klein-Gordon 방정식의 homogeneous solution을 만족한다.

(μμ+m2)G±(x)=0

주의해야 할 점이라면 Wightman function은 x가 원점을 지나는 lightcone의 안에 있든 밖에 있든 상관없이 정의된다는 점. 애초에 x2=0인 lightcone 바로 위가 아니라면 발산하지 않는다. Feynman propagator는 time ordering operator[각주:1] T를 끼워넣은 것이므로 Wightman function으로부터 다음과 같이 구현할 수 있다. 단위허수 i가 어딘가에 붙긴 할텐데 중요한건 아니니까 무시하기로 하자.

GF(x):=0|Tϕ(x)ϕ(0)|0=Θ(t)G+(x)+Θ(t)G(x)

여기서 x=xμ=(t,r)은 좌표 4-vector인데, 혼동의 여지가 없으므로 그냥 위와 같이 간단하게 적기로 하자. 여기서 Θ(t)는 Heaviside step function을 가리킨다. Feynman propagator가 Klein-Gordon 방정식의 Green's function이 되는 이유는 추가로 붙은 Heaviside function이 Dirac delta를 만들기 때문이다. ODE에서 Green's function을 구할 때 쓰는 테크닉과 원리상으로는 완전히 동등한 접근.

 

계산은 Feynman propagator 계산과 거의 동일하다. 약간의 부호만 신경써주면 될 뿐. 편의상 timelike separation을 먼저 고려하자.

G±=d3k(2π)3eitk2+m2e±ikx2k2+m2

위 식에서 k 적분을 구면좌표계로 변환한 뒤 dcosθ적분을 취한다.

G±=12(2π)2k2dkdcosθe±ikrcosθeitk2+m2k2+m2=i8π2r0kdkei(tk2+m2kr)ei(tk2+m2+kr)k2+m2

kk의 대칭을 이용하여 적분구간을 전체 실수로 확장하고 12를 곱한 뒤 지수를 정리하기 위해 다음 변수들을 도입한다. 이 때 t>0이라고 가정한다.

ρ=t2r2,coshα=t/ρ,sinhα=r/ρ,k=msinhη

이 경우 적분은 다음과 같이 정리된다.

G±=im16π2rsinhηdη(eimρcosh(ηα)eimρcosh(η+α))

우선 적분구간을 정리해준다.

G±=im16π2r(sinh(η+α)sinh(ηα))dηeimρcoshη

다음으로는 삼각함수 항등식을 이용해서 수식을 정리해준다.

G±=imsinhα8π2rcoshηdηeimρcoshη=im4π2ρ0coshηdηeimρcoshη

마찬가지로 DLMF의 10.32.9식을 이용하면 정리 완료. 이 때 z|ph(z)|<π/2의 조건을 만족해야 하므로, 엄밀히 말해서는 ±imρ를 허수축에서 0+만큼 떨어진 boundary value로서 취급해야 한다.

Kν(z)=0dtcosh(νt)ezcosht

위 적분을 대입하면 Feynman propagator와 비슷하게 생긴 Wightman function을 얻는다.

G±=m24π2K1(±imρ)±imρ,ρ2=t2r2>0,t>0

t<0의 경우에는 coshα 정의의 부호를 뒤집어준다.

ρ=t2r2,coshα=t/ρ,sinhα=r/ρ,k=msinhη

정리되는 식은 t>0과 거의 비슷하지만 지수에서 차이가 나게 된다.

G±=im16π2rsinhηdη(e±imρcosh(η+α)e±imρcosh(ηα))

전체 부호를 앞으로 빼면 G+G의 교환에 대응되니 다음 식으로 정리된다.

G±=m24π2K1(imρ)imρ,ρ2=t2r2>0,t<0

함수 자체는 거의 같게 나오지만 세세한 부분에서 차이가 있는 것을 볼 수 있다. 참고로 위 결과는 DLMF의 connection formula 10.27.8을 이용해 Hankel function으로도 적을 수 있다. 구체적으로 필요한 식은 다음.

K1(iz)=π2H(2)1(z),K1(iz)=π2H(1)2(z),z>0

이 경우 positive frequency Wightman function은 다음과 같이 정리되며

G+=im8πρ[H(2)1(mρ)Θ(t)H(1)1(mρ)Θ(t)],ρ2=t2r2>0

negative frequency Wightman function은 위 함수의 켤레복소수로 주어진다.

G=im8πρ[H(1)1(mρ)Θ(t)H(2)1(mρ)Θ(t)],ρ2=t2r2>0

여기서 Θ(x)는 Heaviside step function. 위 두 형태가 Bogoliubov 양자장론 교재에서 제공하고 있는 형태이다.

 

Spacelike separation의 경우 |ph(imρ)|<π/2의 조건을 생각해서 analytic continuation을 하면 되는데, 결과적으로는 ρ=r2t2로 두고 Bessel function의 argument가 mρ이 되면 된다. 하지만 이왕 계산을 시작했으니 Feynman propagator 계산처럼 t=0인 좌표계를 잡는 대신 제대로 계산해보자. 이번에 택할 변수변환은 다음과 같다.

ρ=r2t2,coshα=r/ρ,sinhα=t/ρ,k=msinhη

이번에는 사인함수로 정리된다.

G±=im16π2rsinhηdη(e±imρsinh(ηα)eimρsinh(η+α))

적분을 반으로 나눠서 정리해준다. 첫번째 항은 다음과 같이 정리된다.

sinhηdηe±imρsinh(ηα)=sinh(η+α)dηe±imρsinhη=(sinhηcoshα+coshηsinhα)dηe±imρsinhη

두번째 항도 마찬가지로 정리할 수 있다.

sinhηdηeimρsinh(η+α)=(sinhηcoshαcoshηsinhα)dηeimρsinhη

둘을 더하면 다음과 같이 정리된다.

coshαsinhηdη(e±imρsinhηeimρsinhη)+sinhαcoshηdη(e±imρsinhη+eimρsinhη)

첫번째 항은 DLMF의 10.32.7식을 이용해 정리할 수 있다.

Kν(x)=1sin(νπ/2)0sin(xsinht)sinh(νt)dt

결과는 Feynman propagator에서 보던 것과 비슷한 항.

sinhηdη(e±imρsinhηeimρsinhη)=±4i0sinhηsin(mρsinhη)dη=±4iK1(mρ)

두번째 항은 발산하는 항을 준다.

coshηdη(e±imρsinhη+eimρsinhη)=40coshηcos(mρsinhη)dη

대응되는 DLMF의 10.32.7식이 발산하기 때문. 식 사용 조건에 |Rν|<1이 있었으니 단순 적용하기에 무리가 있기는 했지만.

Kν(x)=1cos(νπ/2)0cos(xsinht)cosh(νt)dt

여튼, 이 적분을 임시로 f(mρ)이라고 부르기로 하자. 적분을 전부 더하면 다음과 같은 식을 얻는다.

G±=m24πK1(mρ)mρimt4πrf(mρ)ρ

발산하는 적분의 앞에 붙는 계수가 Lorentz symmetry를 만족하지 않는 것을 볼 수 있다. 따라서 가장 적절한 해법은 f(mρ)=0으로 두는 것. 따라서 이 경우 Wightman function은 다음과 같이 정리할 수 있다.

G±=m24πK1(ms)ms,s2=r2t2>0

 

앞서 구한 세 값을 한 식에 정리하고자 한다면 다음과 같이 적을 수 있다.

G±=m24π2K1(ms2±)ms2±,s2±=r2(ti0+)2

저번에 구한 Feynman propagator는 두 Wightman function을 조합하는 것으로 구할 수 있다.

GF=Θ(t)G++Θ(t)G=m24π2K1(ms2F)ms2F,s2F=r2t2+i0+

단순하게 analytic continuation condition이 맞도록 s2±에 붙은 i0+의 위치를 바꿔준 것. 흥미로운 경우는 Pauli-Jordan 함수라고도 불리는 commutator의 기댓값. 이번에도 단위허수 i는 무시하기로 한다.

GPJ:=0|[ϕ(x),ϕ(0)]|0=G+G=m24π2[K1(ms2+)ms2+K1(ms2)ms2]

이 함수는 s2=r2t2>0일때 0이 된다. 이렇게 spacelike separation의 commutator가 사라지는 조건을 microcausality라고 부르기도 한다.

  1. 레퍼런스에 따라서는 chronological ordering이라고 부르기도 한다. [본문으로]

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