2023. 6. 20. 22:38 Physics/Problems
Wightman functions for a scalar field
2023.06.16 - Klein-Gordon propagator in position space
Feynman propagator를 계산한 김에 그냥 관련 함수를 전부 계산해보기로 했다. 모든 two-point function은 결국 Wightman function이라 불리는 다음 두 함수의 계산으로 수렴한다.
G+(t,→r):=⟨0|ϕ(t,→r)ϕ(0)|0⟩,G−(t,→r):=⟨0|ϕ(0)ϕ(t,→r)|0⟩
여기서 G에 달린 윗첨자의 부호는 positive frequency인가 negative frequency인가를 나타낸다. scalar field의 mode expansion에서 annihilation operator에 붙는 mode function이 positive frequency(∼e−iEt)라고 불린다는 점에서 더없이 적절한 이름이라 하겠다.
G±=∫d3k(2π)3e∓i(ω→kt−→k⋅→r)2ω→k,ω→k:=√→k2+m2
Wightman function은 Klein-Gordon 방정식의 homogeneous solution을 만족한다.
(∂μ∂μ+m2)G±(x)=0
주의해야 할 점이라면 Wightman function은 x가 원점을 지나는 lightcone의 안에 있든 밖에 있든 상관없이 정의된다는 점. 애초에 x2=0인 lightcone 바로 위가 아니라면 발산하지 않는다. Feynman propagator는 time ordering operator 1T를 끼워넣은 것이므로 Wightman function으로부터 다음과 같이 구현할 수 있다. 단위허수 i가 어딘가에 붙긴 할텐데 중요한건 아니니까 무시하기로 하자.
GF(x):=⟨0|Tϕ(x)ϕ(0)|0⟩=Θ(t)G+(x)+Θ(−t)G−(x)
여기서 x=xμ=(t,→r)은 좌표 4-vector인데, 혼동의 여지가 없으므로 그냥 위와 같이 간단하게 적기로 하자. 여기서 Θ(t)는 Heaviside step function을 가리킨다. Feynman propagator가 Klein-Gordon 방정식의 Green's function이 되는 이유는 추가로 붙은 Heaviside function이 Dirac delta를 만들기 때문이다. ODE에서 Green's function을 구할 때 쓰는 테크닉과 원리상으로는 완전히 동등한 접근.
계산은 Feynman propagator 계산과 거의 동일하다. 약간의 부호만 신경써주면 될 뿐. 편의상 timelike separation을 먼저 고려하자.
G±=∫d3k(2π)3e∓it√k2+m2e±i→k⋅→x2√k2+m2
위 식에서 k 적분을 구면좌표계로 변환한 뒤 dcosθ적분을 취한다.
G±=12(2π)2∫k2dkdcosθe±ikrcosθe∓it√k2+m2√k2+m2=∓i8π2r∫∞0kdke∓i(t√k2+m2−kr)−e∓i(t√k2+m2+kr)√k2+m2
k→−k의 대칭을 이용하여 적분구간을 전체 실수로 확장하고 12를 곱한 뒤 지수를 정리하기 위해 다음 변수들을 도입한다. 이 때 t>0이라고 가정한다.
ρ=√t2−r2,coshα=t/ρ,sinhα=r/ρ,k=msinhη
이 경우 적분은 다음과 같이 정리된다.
G±=∓im16π2r∫∞−∞sinhηdη(e∓imρcosh(η−α)−e∓imρcosh(η+α))
우선 적분구간을 정리해준다.
G±=∓im16π2r∫∞−∞(sinh(η+α)−sinh(η−α))dηe∓imρcoshη
다음으로는 삼각함수 항등식을 이용해서 수식을 정리해준다.
G±=∓imsinhα8π2r∫∞−∞coshηdηe∓imρcoshη=∓im4π2ρ∫∞0coshηdηe∓imρcoshη
마찬가지로 DLMF의 10.32.9식을 이용하면 정리 완료. 이 때 z는 |ph(z)|<π/2의 조건을 만족해야 하므로, 엄밀히 말해서는 ±imρ를 허수축에서 0+만큼 떨어진 boundary value로서 취급해야 한다.
Kν(z)=∫∞0dtcosh(νt)e−zcosht
위 적분을 대입하면 Feynman propagator와 비슷하게 생긴 Wightman function을 얻는다.
G±=m24π2K1(±imρ)±imρ,ρ2=t2−→r2>0,t>0
t<0의 경우에는 coshα 정의의 부호를 뒤집어준다.
ρ=√t2−r2,coshα=−t/ρ,sinhα=r/ρ,k=msinhη
정리되는 식은 t>0과 거의 비슷하지만 지수에서 차이가 나게 된다.
G±=∓im16π2r∫∞−∞sinhηdη(e±imρcosh(η+α)−e±imρcosh(η−α))
전체 부호를 앞으로 빼면 G+↔G−의 교환에 대응되니 다음 식으로 정리된다.
G±=m24π2K1(∓imρ)∓imρ,ρ2=t2−→r2>0,t<0
함수 자체는 거의 같게 나오지만 세세한 부분에서 차이가 있는 것을 볼 수 있다. 참고로 위 결과는 DLMF의 connection formula 10.27.8을 이용해 Hankel function으로도 적을 수 있다. 구체적으로 필요한 식은 다음.
K1(iz)=−π2H(2)1(z),K1(−iz)=−π2H(1)2(z),z>0
이 경우 positive frequency Wightman function은 다음과 같이 정리되며
G+=im8πρ[H(2)1(mρ)Θ(t)−H(1)1(mρ)Θ(−t)],ρ2=t2−→r2>0
negative frequency Wightman function은 위 함수의 켤레복소수로 주어진다.
G−=−im8πρ[H(1)1(mρ)Θ(t)−H(2)1(mρ)Θ(−t)],ρ2=t2−→r2>0
여기서 Θ(x)는 Heaviside step function. 위 두 형태가 Bogoliubov 양자장론 교재에서 제공하고 있는 형태이다.
Spacelike separation의 경우 |ph(imρ)|<π/2의 조건을 생각해서 analytic continuation을 하면 되는데, 결과적으로는 ρ′=√r2−t2로 두고 Bessel function의 argument가 mρ′이 되면 된다. 하지만 이왕 계산을 시작했으니 Feynman propagator 계산처럼 t=0인 좌표계를 잡는 대신 제대로 계산해보자. 이번에 택할 변수변환은 다음과 같다.
ρ′=√r2−t2,coshα=r/ρ′,sinhα=t/ρ′,k=msinhη
이번에는 사인함수로 정리된다.
G±=∓im16π2r∫∞−∞sinhηdη(e±imρ′sinh(η−α)−e∓imρ′sinh(η+α))
적분을 반으로 나눠서 정리해준다. 첫번째 항은 다음과 같이 정리된다.
∫∞−∞sinhηdηe±imρ′sinh(η−α)=∫∞−∞sinh(η+α)dηe±imρ′sinhη=∫∞−∞(sinhηcoshα+coshηsinhα)dηe±imρ′sinhη
두번째 항도 마찬가지로 정리할 수 있다.
∫∞−∞sinhηdηe∓imρ′sinh(η+α)=∫∞−∞(sinhηcoshα−coshηsinhα)dηe∓imρ′sinhη
둘을 더하면 다음과 같이 정리된다.
coshα∫∞−∞sinhηdη(e±imρ′sinhη−e∓imρ′sinhη)+sinhα∫∞−∞coshηdη(e±imρ′sinhη+e∓imρ′sinhη)
첫번째 항은 DLMF의 10.32.7식을 이용해 정리할 수 있다.
Kν(x)=1sin(νπ/2)∫∞0sin(xsinht)sinh(νt)dt
결과는 Feynman propagator에서 보던 것과 비슷한 항.
∫∞−∞sinhηdη(e±imρ′sinhη−e∓imρ′sinhη)=±4i∫∞0sinhηsin(mρ′sinhη)dη=±4iK1(mρ′)
두번째 항은 발산하는 항을 준다.
∫∞−∞coshηdη(e±imρ′sinhη+e∓imρ′sinhη)=4∫∞0coshηcos(mρ′sinhη)dη
대응되는 DLMF의 10.32.7식이 발산하기 때문. 식 사용 조건에 |Rν|<1이 있었으니 단순 적용하기에 무리가 있기는 했지만.
Kν(x)=1cos(νπ/2)∫∞0cos(xsinht)cosh(νt)dt
여튼, 이 적분을 임시로 f(mρ′)이라고 부르기로 하자. 적분을 전부 더하면 다음과 같은 식을 얻는다.
G±=m24πK1(mρ′)mρ′∓imt4πrf(mρ′)ρ′
발산하는 적분의 앞에 붙는 계수가 Lorentz symmetry를 만족하지 않는 것을 볼 수 있다. 따라서 가장 적절한 해법은 f(mρ′)=0으로 두는 것. 따라서 이 경우 Wightman function은 다음과 같이 정리할 수 있다.
G±=m24πK1(ms)ms,s2=→r2−t2>0
앞서 구한 세 값을 한 식에 정리하고자 한다면 다음과 같이 적을 수 있다.
G±=m24π2K1(m√s2±)m√s2±,s2±=→r2−(t∓i0+)2
저번에 구한 Feynman propagator는 두 Wightman function을 조합하는 것으로 구할 수 있다.
GF=Θ(t)G++Θ(−t)G−=m24π2K1(m√s2F)m√s2F,s2F=→r2−t2+i0+
단순하게 analytic continuation condition이 맞도록 s2±에 붙은 i0+의 위치를 바꿔준 것. 흥미로운 경우는 Pauli-Jordan 함수라고도 불리는 commutator의 기댓값. 이번에도 단위허수 i는 무시하기로 한다.
GPJ:=⟨0|[ϕ(x),ϕ(0)]|0⟩=G+−G−=m24π2[K1(m√s2+)m√s2+−K1(m√s2−)m√s2−]
이 함수는 s2=→r2−t2>0일때 0이 된다. 이렇게 spacelike separation의 commutator가 사라지는 조건을 microcausality라고 부르기도 한다.
- 레퍼런스에 따라서는 chronological ordering이라고 부르기도 한다. [본문으로]
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