'Physics/Problems'에 해당되는 글 7건

  1. 2015.03.04 Measurements and Projection Operators
  2. 2014.09.18 Independent Susceptibilities (1)
  3. 2009.03.30 압력밥솥 기압재기 및 밥 짓는 온도 재기 (10)
  4. 2008.07.14 상대론 문제 (2)
  5. 2008.02.05 줄로 물체를 묶었을 때 그 물체에 가해지는 압력 구하기 (9)
  6. 2007.10.20 나름대로 물리문제2
  7. 2007.09.24 나름대로 물리문제1 (2)

수업 들어가기 전 양자정보 전공하는 친구가 던져준 문제.


자연수 $m$으로 나열한 연산자(operator)들 $M_m$들이 다음 두 조건을 만족한다.

1. $\sum M_m^\dagger M_m = I$

2. $M_m^\dagger M_m = M_m $


이 때, 연산자 $M_m$들이 사영연산자(projection operator) $P_m$임을 증명하라. 사영연산자들은 다음 조건을 만족한다.

1. $\sum P_m = I$

2. $P_mP_n = P_m\delta_{mn}$

3. $P_m^\dagger = P_m$


연산자들이 작용하는 벡터 공간이 유한 차원이라면 쉽게 증명하겠는데, 무한 차원에서는 잘 모르겠다. 유한 차원이 쉬운 이유는 고유벡터(eigenvector)가 항상 하나라도 존재해야 하기 때문. 무한차원에서는 이게 안 되는데, 좋은 예로 harmonic oscillator의 creation operator가 있다. number state를 기저로 잡는 Fock basis에서 계산해보면 영벡터가 사실상 유일한 creation operator의 고유벡터가 된다(...)


먼저 2번 조건에 Hermitian adjoint를 취해 $M_n^\dagger=M_m$이란 조건을 얻는다. 사영연산자의 3번 조건 해결. 이 조건은 모든 $M_m$이 대각화 가능하다는 것을 의미하기도 한다.


위에서 구한 식을 이용해 2번 조건을 정리하면 $M_mM_m=M_m$이란 관계식을 얻는다. 연산자 $M_m$의 고유값(eigenvalue)이 0이거나 1이라는 소리. 따라서 임의의 벡터 $\left|v\right>$에 대해 $\left< v \middle| M_m \middle| v\right> \geq 0$가 성립.


마찬가지로 1번 조건을 정리하면 $\sum M_m=I$란 조건을 얻는다. 이 조건에 $M_m$의 고유벡터 $v_m$을 가져다가 양변에 취하면 $n\neq m,\left< v_n \middle| M_m \middle| v_n \right> = 0$이란 조건(이 조건을 a라 부르자)을 얻는다(위 조건 참조).


이제부터는 간단하다. 모든 $M_m$이 대각화되어 있고 대각선의 값이 1 아니면 0인 기저를 구하는 것. 우선 $M_1$을 가져다가 고유벡터(들)을 구한다. 고유벡터가 하나가 아닐 경우 Gram-Schmidt 과정을 거쳐서 직교하는 고유벡터(들)로 나눈다. 이 벡터(들)을 기저벡터 1(혹은 갯수에 따라 2, 3, 등등)로 잡는다.


다음엔 $M_2$를 가져온다. $M_m$의 고유벡터를 $\left| v_2 \right>$라고 할 때, $\left| v_2 \right>$를 $M_1$의 고유벡터 성분 $\alpha\left| v_1 \right>$과 $M_1$의 고유벡터에 수직한 성분 $\beta \left| w \right>$(이 성분의 $M_1$에 대한 고유값은 0이다)으로 나눈다. 크기가 1일 것이란 조건에서 $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$이란 조건을, 조건 a에서 $|\alpha|^2=0$이란 조건을 얻으므로 $\left| v_2 \right>$는 $M_1$의 고유벡터들과 수직하다는 사실을 알 수 있다. 다음은 $M_1$에서와 마찬가지로 $M_2$의 고유벡터들을 기저에 포함시키면 끝. 이 과정을 계속 반복하면 모든 $M_m$이 diagonal인 orthonormal basis를 구성할 수 있고, 이 basis에서 각 $M_m$의 대각선 성분은 1 아니면 0이며, 서로 다른 $M_m$은 대각선 성분 중 1을 공유하지 않는다는 사실을 알 수 있다.




문제의 $M_m$은 '측정'을 의미한다고 추정하고 있다.[각주:1] $\left| v \right>$란 벡터에 해당하는 상태에 있는 계에 대해 측정을 행했더니 $m$번째 가능한 결과값이 튀어나왔을 때 $\left| v \right>$ 벡터는 $ M_m \left| v \right>=\left| M_m v \right>$란 상태로 변했다는 것을 의미. 2번 조건은 $m$번째 측정값이 나올 확률 $\left< M_m v \middle| M_m v \right>/\left< v \middle| v \right>$이 $M_m$의 기댓값 $\left< v \middle| M_m \middle| v \right>/\left< v \middle| v \right>$와 같을 것을 요구하는 것이고, 1번 조건은 측정값이 나올 확률들을 다 더하면 1이 될 것 혹은 측정하게 되면 어떤 측정값이든 하나는 얻어질 것을 의미한다. 측정에 해당하는 연산자 $M_m$들은 unitary할 수 없다(projection operator는 당연히 unitary하지 않다)는 것을 보여주는 것이 목적인 모양.


2번 조건을 보이기 위해서는 벡터공간의 임의의 벡터 $\left| v \right>$에 대해 연산자 $A$의 기댓값이 $\left< v \middle| A \middle| v \right>=0$란 조건을 만족할 경우 항등적으로 $A=0$이란 것을 증명하면 된다. 이건 유한 차원에서는 매우 쉬운데, Schur decomposition을 통해 $A$를 upper triangular로 만드는 orthonormal basis를 잡을 수 있고, upper triangular로 바꾸었을 때 대각 성분이 전부 0임은 자명하며, 이로부터 (1,2)성분, (1,3)성분, (2,3)성분 등등이 0이어야 한다는 것을 계산을 통해 보일 수 있기 때문이다(그렇지 않다면 기댓값이 0이 아닌 벡터 $\left| v \right>$를 찾을 수 있다).

  1. 측정과 관련된 내용을 읽고 있다고 했고, 던져준 문제에 M이 들어가있는게 딱 measurement란 삘이 와서. 이 문제가 나온 책을 읽어본 것은 아니다. [본문으로]
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다음 연작 트윗에 대한 보충설명.



일단 susceptibility라는 뭉뚱그려진 표현(?)은 '하나의 제한조건(에너지가 일정할 것 등)이 걸려있을 때 두 상태함수의 변화비'로부터 유도되는 값들을 말한다. 정압비열은 '압력이 일정할 때 온도의 변화에 대한 엔트로피의 변화비'에 온도를 곱한 값이 되고, 쓰로틀링(throttling)에 등장하는 줄-톰슨 계수(Joule-Thomson coefficient)는 '엔탈피가 일정할 때 압력의 변화에 대한 온도의 변화비'가 된다.


C_p\equiv T\left.\frac{\partial S}{\partial T}\right|_p=\left.\frac{\delta Q}{\delta T}\right|_{\delta p=0} \\\\C_{JT}\equiv\left.\frac{\partial T}{\partial p}\right|_H


열역학에서 다루는 기체(물론 액체나 고체, 플라즈마에도 적용되지만 고체를 다룰 경우에는 자화를 다루며 자기장까지 끌려나오는 경우가 있어서 좀 애매하다. 보통 '무언가를 태우는' 열역학에서 써먹을법한 상태를 가정한다)는 '단 두개의 변수로 상태를 완전히 정의할 수 있다'는 가정이 붙는다. 이건 canonical ensemble의 partition function을 구할 때 온도 T와 부피 V만 주어지면 된다는 사실로부터도 알 수 있고, 더 쉽게는 제1법칙에서 에너지가 단 두개의 열역학적 변수로 적분이 가능하다는 사실로부터 알 수도 있다. 이렇게 '상태를 정해주기 위해 선택한 두 열역학적 값'을 열역학적 변수로 부르기로 하자.


열역학에서는 굉장히 다양한 함수를 다룬다. 에너지에 엔트로피와 온도의 곱을 뺀 헬름홀츠 에너지라던가, 에너지에 부피와 압력의 곱을 더한 엔탈피라던가. 이렇게 하나의 상태가 주어졌을 때 그 상태가 갖는 여러 물리적 성질들을 열역학적 (상태)함수라고 부르자. 우리가 열역학에서 관심갖는 대부분의 함수들은 다섯가지 변수(에너지 E, 온도 T, 엔트로피 S, 압력 p, 부피 V)로부터 정의된다. 따라서 임의의 열역학적 함수 f에 대해 이 함수의 변화량은 다음과 같이 전개할 수 있다. f의 정의로부터 미분이 가능하기 때문이다.


f=f(E,T,S,p,V) \\\delta f=\frac{\partial f}{\partial E}\delta E+\frac{\partial f}{\partial T}\delta T+\frac{\partial f}{\partial S}\delta S+\frac{\partial f}{\partial p}\delta p+\frac{\partial f}{\partial V}\delta V


여기에 어떤 장난을 치느냐? 열역학 1법칙을 이용해 변화량을 열역학적 변수 두개로 줄여버린다.


\delta E=T\delta S-p\delta V \\\delta T=\left.\frac{\partial T}{\partial S}\right|_V\delta S+\left. \frac{\partial T}{\partial V}\right|_S\delta V \\\delta p=\left.\frac{\partial p}{\partial S}\right|_V\delta S+\left. \frac{\partial p}{\partial V}\right|_S\delta V \\\therefore\delta f=\frac{\partial f}{\partial E}\delta E+\frac{\partial f}{\partial T}\delta T+\frac{\partial f}{\partial S}\delta S+\frac{\partial f}{\partial p}\delta p+\frac{\partial f}{\partial V}\delta V \\\text{ }=\left.(T\frac{\partial f}{\partial E}+\frac{\partial f}{\partial T}\left.\frac{\partial T}{\partial S}\right|_V+\frac{\partial f}{\partial S}+\frac{\partial f}{\partial p}\left.\frac{\partial p}{\partial S}\right|_V\right)\delta S \\\text{ }\text{ }+\left.(-p\frac{\partial f}{\partial E}+\frac{\partial f}{\partial T}\left. \frac{\partial T}{\partial V}\right|_S+\frac{\partial f}{\partial V}+\frac{\partial f}{\partial p}\left. \frac{\partial p}{\partial V}\right|_S\right)\delta V


참고로 Maxwell relation에 의해 맨 마지막 줄에 등장하는 편미분 넷 중 둘이 같다. 여기서 '세 susceptibility(소괄호로 강조되어 있다)로 임의의 열역학적 상태함수에 대한 편미분을 구할 수 있다'는 중간정리를 얻는다.


\left. \frac{\partial p}{\partial S}\right|_V=-\left. \frac{\partial T}{\partial V}\right|_S \\\therefore\left. \frac{\partial f}{\partial S}\right|_V=\left[T\frac{\partial f}{\partial E}+\frac{\partial f}{\partial T}\left(\left. \frac{\partial T}{\partial S}\right|_V\right)+\frac{\partial f}{\partial S}-\frac{\partial f}{\partial p}\left(\left. \frac{\partial T}{\partial V}\right|_S\right)\right] \\\left. \frac{\partial f}{\partial V}\right|_S=\left[-p\frac{\partial f}{\partial E}+\frac{\partial f}{\partial T}\left(\left. \frac{\partial T}{\partial V}\right|_S\right)+\frac{\partial f}{\partial V}+\frac{\partial f}{\partial p}\left(\left. \frac{\partial p}{\partial V}\right|_S\right)\right]\delta V


이제는 편미분을 임의의 함수에 대해서 쓸 차례이다. 원 증명에서는 알파베타감마를 썼는데 귀찮은 관계로 A, B, C라고 하자. 이 값들의 변화는 다음과 같이 쓸 수 있다.


\\\delta A=\left. \frac{\partial A}{\partial S}\right|_V\delta S+\left. \frac{\partial A}{\partial V}\right|_S\delta V \\\delta B=\left. \frac{\partial B}{\partial S}\right|_V\delta S+\left. \frac{\partial B}{\partial V}\right|_S\delta V \\\delta C=\left. \frac{\partial C}{\partial S}\right|_V\delta S+\left. \frac{\partial C}{\partial V}\right|_S\delta V


이것을 이용해 편미분을 계산할 수 있다. 자세한 계산과정은 간단한 산수니 생략하겠다.


\left. \frac{\partial A}{\partial B}\right|_C=\left. \frac{\delta A}{\delta B}\right|_{\delta C=0} \\\\\\=\frac{\left. \frac{\partial A}{\partial S}\right|_V\left. \frac{\partial C}{\partial V}\right|_S-\left. \frac{\partial A}{\partial V}\right|_S\left. \frac{\partial C}{\partial S}\right|_V}{\left. \frac{\partial B}{\partial S}\right|_V\left. \frac{\partial C}{\partial V}\right|_S-\left. \frac{\partial B}{\partial V}\right|_S\left. \frac{\partial C}{\partial S}\right|_V}


자, 저 계산식 안에 있는 모든 항목들은 단 세 susceptibility로 모두 계산할 수 있다. 따라서, 세 susceptibility의 값만 있으면 모든 susceptibility를 알 수 있다는 말이 된다. 증명 완료.




트위터에서도 말했다시피 이건 통계역학 문제보다는 열역학 문제에 가깝다. 편미분을 얼마나 자유롭게 사용할 수 있는지를 살펴보겠다는 문제.

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  1. sentinel_2  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    LaTex 코드 입력하느라 고생하셨습니다 ㅋㅋ 통계역학 수업 들어보고 싶었는데 이리저리 치이느라 못듣게 되었네요. 종종 글 올려주세요ㅋ 잘 읽고 갑니다.

    2014.09.25 22:51 신고

무려 열역학 숙제입니다...-_-;;

주어진 힌트는 압력밥솥이 압력을 조절하는 매커니즘 뿐입니다.


위 꼭지의 무게가 작은 구멍에서 나오는 압력을 막는 형태입니다. 저 압력과 꼭지의 무게와 맞먹는 정도로 밥솥 내부의 압력이 유지되는 것이지요.

힌트는 여기까지. 자, 이제 구해오세요.

하하하하하하ㅏ하하하 -_-

자, 무작정 시작해 봅시다. -_-;

무작정 측정하기


참 저도 신기하게 구하는데 성공했습니다. 사람은 역시 극한상황에서는 못하는 것이 없다는데 진리이군요.


덧. 숙제는 내일(쓰는 시각 29일)까지인데 예~~전에(19일) 풀었던 문제입니다. 그 주 주말에 숙제 네개를 하느라 떡실신했는데 이런 것도 할 여유가 있었나 보네요 -_-;;; 일단은 예약발행 해 둡니다.
  1. 엄격한 물리적인 논의에서 무게는 질량과는 달리 힘의 단위를 갖습니다. [본문으로]
  2. 이러면 이중지렛대가 되는 것이지요. [본문으로]
  3. 이때의 가정은 책의 무게중심은 책의 정중앙이다라는 것입니다. 이 경우 책이 워낙 위아래로 커서 살짝만 기울어져도 무게중심이 많이 움직이더군요. 이를 계산하니 약 5%정도의 차이를 가져올 것으로 계산했구요. 물론 이 5%는 계산에 넣지 않았습니다. [본문으로]
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  1. Favicon of http://chew282.wordpress.com BlogIcon Donnie  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    하하, 승리의 공대생이군요.

    2009.03.30 22:55 신고
  2. Favicon of http://www.i-rince.com BlogIcon rince  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아 머리 아퍼... ㅠㅠ

    2009.03.31 00:01 신고
  3. Favicon of http://babmucza.com BlogIcon 밥먹자  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    그렇지 않아도 압력밥솥 실험하셨다고 해서 어떻게 압력 재셨는지 궁금했었는데, 식으로 계산하는 것이었군요. 저는 압력밥솥에 뭔가를 넣는 건 줄 알고... ^^;;; (무식한 생각입니다만, 제가 좀 그렇죠.ㅎ;;) 재미있게 읽었습니다.ㅎㅎ

    아, 그리고 저는 전자저울이 있답니다아. 훗. ^^;;

    2009.03.31 20:35 신고

구가 있다. 이 구가 βc라는 속도로 움직이고 있다면, 그 구에 반사된 빛을 사진으로 찍었을때에는 어떤 모양이겠는가?

여기서 사진으로 찍는다는 말은 반사된 빛을 평면에 기록함을 의미한다. 예로 β=0일때 구를 사진으로 찍으면 원이 얻어진다.


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  1. someone  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    로렌츠 피츠제럴드 변환에 관한 문제이군요. 사실 길이만 존재하는 막대에의해서는 인자 값의 역수배로 길이에 곱해지지만 광자가 도달하는 시간때문에 정지해 있을 때에는 안보이는 면까지 보이는 현상이지요...

    2009.10.02 13:31 신고

이번엔 그냥 심심해서 풀어본(?) 문제랄까?

줄로 손가락 묶으면 아프잖아. 분명히 장력은 피부 표면에서 피부에 평행하게 나타날텐데

줄로 묶으면 왜 아픈걸까??

일단 이 문제를 해결하기 전에

일반적으로 사용하는 줄을 질점과 연결선의 집합으로 나타내려구.

물론 연결선은 선분이야. 절대 구부러지지 않지. 이건 가정이니까 태클걸지마.

간단하게 나타내면 아래처럼 되겠지.

여기서 R은 묶는 물체의 반지름이야. T는 아직 말 안했지만 줄에 걸린 장력이고.

인제 여기서 θ를 0에 근사시켜주면 압력이 나오겠지.

일단, 작용하고 있는 힘을 보자구.

질점이 물체에 주는 힘은 2Tsinθ야. 내가 그렇다면 그러려니 해.(눈치가 좋으면 눈치를 깠을거야)

어랏? 그런데 θ가 0으로 가면 힘이 0이 되잖아??

그러니까 볍신아 압력을 따져야지.

먼저 닿는 길이는 2Rcosθtanθ로 근사할 수 있어. 싫으면 4Rsin(θ/2)로 하시던가.

그리고 줄이 닿는 너비는 줄의 두께정도 된다고 가정하자구. 간단하게 d라고 놓자.

그러면 줄이 닿고있는 면적은 2Rdcosθtanθ 또는 4Rdsin(θ/2)가 되겠지.

인제 압력은 F/A라는 간단한 진리를 이용해 볼꺼야.

자 그러면 P=2Tsinθ/2Rdcosθtanθ또는P=2Tsinθ/4Rdsin(θ/2)가 되겠지.

θ를 0으로 보내버리면 P=T/Rd라고 정리가 되네?(이건 극한을 배우고 와)

자 이제 정리를 해보자.

금사를 무기로 쓰는 미친놈들 있잖아. 그게 구라라는게 증명된 셈이라고나 할까??

손가락에 금사를 걸고 적의 목을 뎅강 베어버리는데

그전에 손가락에 더 큰 압력이 걸리니까 손가락이 잘려나간다는 거야.

왜냐하면 손가락의 반지름이 남 목의 반지름보다 작잖아. 트롤이 쥐새끼를 상대로 금사를 쓰는 상황이 아닌 이상.

여기서 끝을 내야 깔끔한 끝을 보겠어. 그럼 이만.

TAG 물리
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  1. Favicon of http://blog.naver.com/luxury_stars BlogIcon 빛나는별  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    볍신아 부터 안읽었다
    읽게 좀 만들어 이런건 --

    2008.02.05 12:18 신고
  2. Favicon of http://blog.naver.com/jwkonline BlogIcon 덱스터  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    읽지 마세요~~~

    2008.02.05 12:25 신고
  3. Favicon of http://blog.naver.com/luxury_stars BlogIcon 빛나는별  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    야 근데 금사가 구라라는건 손가락에 걸고 오직 손가락의 힘만으로 죽일때만 그렇지?

    2008.02.05 13:12 신고
  4. Favicon of http://blog.naver.com/jwkonline BlogIcon 덱스터  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    그렇지 근데 보통 금사를 쓸땐 손가락에 몇가닥씩 걸고 쓰더라구

    2008.02.05 13:21 신고
  5. Favicon of http://blog.naver.com/mumbling BlogIcon 잰쏭  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    금사가 뭐야? 금실??-_-??

    2008.02.05 18:07 신고
  6. Favicon of http://blog.naver.com/jwkonline BlogIcon 덱스터  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    금사=금속실이구 기타줄중에 철로 만들어진거 비슷하다고 생각하면 된답니다 일부 만화에서는 무기로 등장하지요

    2008.02.05 18:47 신고
  7. Favicon of http://blog.naver.com/soar_phoenix BlogIcon soar_phoenix  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    나 이런애 싫어

    2008.02.05 21:56 신고
  8. Favicon of http://blog.naver.com/wartron BlogIcon 레키엘  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    또라이녀석.. 손가락에 금사감고 하냐? 장비를 쓰지.. ㅉㅉ 장비의 발력이 목을 자를 때 필요한 장력에 따르는 압력보다 크면 될거아니냐

    이런거나 계산하고 ㄱ- 현실과 동떨어진녀석

    2008.02.05 23:41 신고
  9. Favicon of http://blog.naver.com/jwkonline BlogIcon 덱스터  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    몇몇 만화에서는 그냥 손가락에 걸고 쓰거든여

    2008.02.06 13:18 신고

나름대로 물리문제2

Physics/Problems 2007.10.20 15:46

이번에는전에 삘이 꽃혀서 만든 문제야

풀이는 내맘대로 생략하도록 하지.

태양은 질량 1.99×10^20kg의 거대한 항성으로, 반지름 6.96×10^8m, 표면온도는 5,800K이라고 알려져 있다.

태양을 탐사하기 위해 발사된 탐사위성 솔라리스는 태양에서 2×10^10m의 거리에서 원궤도를 따라 돌고 있다.

1. 원궤도를 따라 도는 솔라리스의 속도는 태양의 기준으로 보았을 때 얼마인가?

2. 알수 없는 이유로 솔라리스의 속도가 92.5%로 감소하였다. 이때 솔라리스는 타원궤도를 돈다. 이 타원궤도에서 근일점의 거리는 얼마인가?

3. 솔라리스는 단위면적당 10^5w 이상의 열이 가해지면 탐사기구가 고장난다. 탐사기구가 고장나지 않게 하기 위한 태양으로부터의 안전거리는 얼마인가?

4. 솔라리스의 질량은 1.5×10^3kg이다. 빛의 운동량만을 이용할 수 있는 낙하산(반사율 40%)을 펼 때, 탐사기구가 고장나지 않기 위한 낙하산의 최소 크기는 얼마인가?

문제를 푸는데 필요한 상수들

만유인력 상수 G = 6.67 ×10^-11 m^3/s^2 kg

볼츠만 상수σ= 5.67 ×10^-8 w/m^2 K^4

광속 c = 3.00 ×10^8 m/s

1> 8.15 ×10^4 m/s

2> 1.50 ×10^10 m

3> 1.76 ×10^10 m

4> 2.51 ×10^4 m^2

숫자 맞추는데 좀 힘들었어.

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나름대로 물리문제1

Physics/Problems 2007.09.24 21:22

반나절은 고민한것 같은 문제.

Q)질량 m의 구가 높이 b의 문턱에 다가오고 있다. 구의 반지름은 r이고, 중력가속도는 g이다.

1) 구가 미끄러지며 다가올 때와 굴러올 때 문턱을 넘을 최소 속도를 비교하시오.

2) 실제로 구를 굴려보면 구가 튀어오를는 경우가 더 많다. 이처럼 구가 튀어 오를 최소 속도를 미끄러지며 다가올 때와 구르며 다가올 때 두 경우를 비교하여 구하시오. 단, 문턱의 탄성계수는 0이라고 가정한다.

힌트는 각운동량 보존법칙.

해답 쓰기 귀찮은데...ㅋ

먼저, 문턱 모서리에서 구에 대해 측정한 각운동량을 측정한 다음(이것이 포인트), 각운동량 일정 법칙을 이용해서 문턱에 닿았을 때 회전 속도를 구합니다.

이렇게 회전 속도를 구했으면, 문턱의 모서리를 중심으로 회전운동을 한다고 생각해서 일-에너지법칙을 이용합니다.

꼭대기까지 올라가기에 충분한 회전에너지를 갖고 있었으면 올라서는 거죠.

날아갈 조건을 구하는 것은 먼저 문턱에 닿았을 때 질량중심의 속도를 구합니다.

이 질량중심의 속도를 회전속도라고 보고, 이 회전속도를 잡아 줄 중력이 구심력의 역할을 하지 못한다면 날아가는 거죠.

답입니다.

1)√(14r^2bg/5(r-b)^2), √(14r^2bg/5((7/5)r-b)^2)

2)√(49r^2g/25(r-b)), √(49r^2g(r-b)/25((7/5)r-b)^2)

답을 보면 아시겠지만, 공이 떴어도 미끄덩 하고 다시 내려오는 경우도 생김을 알 수 있습니다.

각운동량을 재는 방법.

각운동량을 재는 기준점이 질량중심이 아닌 강체에 대해서 측정한 각운동량은

L=mr_cm×v_cm+Iw 입니다.

r_cm은 질량중심까지의 위치벡터, v_cm은 질량중심의 속도벡터, I는 질량중심에 대한 강체의 회전관성, w는 질량중심에 대한 강체의 회전각속도를 나타냅니다.

증명은 다음 글에 남기도록 하죠.

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  1. Favicon of http://blog.naver.com/tngud0313 BlogIcon 쿠아  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    1번은 탑프린트에서 토크로 풀다가 어디를 기준점으로 해야할지 몰라서 임준기한테 물어봤던 문제다 ㅋㅋㅋ

    2007.09.24 21:29 신고
  2. Favicon of http://blog.naver.com/jwkonline BlogIcon 덱스터  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    물론 문제의 차이점은 거기서는 힘이 나오지만 여기서는 운동량으로 쩔어야된다는거

    2007.09.24 21:52 신고

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