'Mathematics'에 해당되는 글 32건

  1. 2017.08.09 간단한 적분 트릭
  2. 2015.11.06 Summing Combinations
  3. 2015.10.01 Series Expansion
  4. 2015.05.01 이항전개와 수치근사 (1)
  5. 2015.03.21 Mobius Transformation and Rotation in E^3
  6. 2015.02.25 Gaussian Integral with Imaginary Coefficients (2)
  7. 2014.10.26 로그 항등식? (3)
  8. 2014.08.15 Commutators in finite dimensions and identity matrix
  9. 2014.05.25 Poincare Half Plane 푸앙카레 반평면 (2)
  10. 2014.01.11 Poincare Half Plane 푸앙카레 반평면 (1)
  11. 2013.12.06 Continuously Updated Fourier Series
  12. 2013.10.29 개드립의 마지막 정리
  13. 2012.08.23 델타 분포 만들기 (6)
  14. 2011.01.29 간단한 논리학 퀴즈 (5)
  15. 2011.01.16 Lagrange Multipliers - 라그랑주 승수법 (7)
  16. 2010.08.21 경계조건의 중요성 - Boundary condition (2)
  17. 2010.05.01 Involute 곡선 (10)
  18. 2010.04.30 기하 퀴즈 하나 (2)
  19. 2010.04.24 수학의 아름다움 (2)
  20. 2010.04.17 Power set, again

'원 위의 임의의 두 점을 골랐을때의 거리의 기하평균'을 구할 일이 있어서 다음과 같은 적분을 할 일이 생겼다.


\[ \int_0^1 \log ( \sin \pi x ) dx \]


매스매티카에 돌려보면 이 적분의 값은 $ - \log 2 $라고 한다. 어째서인지 직접 계산해서 보일 수 있을 것만 같은 값이라서 적분을 이리 고치고 저리 고치는 삽질을 좀 하다가 직접 증명이 가능하다는 것을 확인하는데 성공했다. 생각보다는 간단한 트릭이었음.


우선 적분을 다음과 같은 꼴로 바꾼다.


\[ \int_0^1 \log ( \sin \pi x ) dx = 2 \int_0^{1/2} \log ( \sin \pi x ) dx = \int_0^1 \log ( \sin \frac{\pi x}{2} ) dx \]


이 적분은 이런 꼴로도 변환할 수 있다.


\[ \int_0^1 \log ( \sin \pi x ) dx = \int_0^1 \log ( 2 \sin \frac{\pi x}{2} \cos \frac{\pi x}{2} ) dx \]


로그를 분해한 후 코사인에 대한 적분에서 변수변환 $x \to 1-x$을 적용하면 다음과 같이 정리된다.


\[ \int_0^1 \log ( \sin \pi x ) dx = \log 2 + 2 \int_0^1 \log ( \sin \frac{\pi x}{2} ) dx \]


두 표현을 잘 정리하면 원하는 답을 얻는다.


\[ \therefore \int_0^1 \log ( \sin \pi x ) dx = - \log 2 \]

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TAG 적분

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어쩌다 보니 다음과 같은 합을 하게 되었다.

\[\sum_{m=0}^n \binom{4n}{4m}+\binom{4n}{4m+1}\]


의외라면 의외인데, 이 합은 정확하게 계산할 수 있다. 이항전개를 적당히 잘 조합하면 구할 수 있기 때문.

\[(1+x)^{n}=\sum_{m=0}^n \binom{n}{m}x^m\]


위의 식에서 $n$을 $4n$으로 뻥튀기하고, $x^4=1$이란 조건을 집어넣으면 다음 식을 얻는다.


$x^4=1\Rightarrow(1+x)^{4n}=\sum_{m=0}^n \binom{4n}{4m}+\binom{4n}{4m+1}x+\binom{4n}{4m+2}x^2+\binom{4n}{4m+3}x^3$


우리 모두 $x^4=1$의 답이 $1, i, -1, -i$라는 사실을 알고 있으므로, 다음과 같은 합을 생각해 볼 수 있다.

\[\alpha(1+1)^{4n}+\beta(1+i)^{4n}+\gamma(1-1)^{4n}+\delta(1-i)^{4n}\]


첫 식에 집어넣으면, 다음과 같은 조건이 필요하다는 것을 알 수 있다.

\[\alpha+\beta+\gamma+\delta=1\\\alpha+i\beta-\gamma-i\delta=1\\\alpha-\beta+\gamma-\delta=0\\\alpha-i\beta-\gamma+i\delta=0\]


이 이후를 푸는 것은 별로 어려운 일이 아니므로 여기까지만.$\alpha,\beta, \gamma, \delta$를 구한 뒤 합만 하면 된다. 4가 아닌 경우로 확장하는 것은 별로 어려운 일이 아니니 넘어가기로 하자.

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Series Expansion

Mathematics 2015.10.01 23:35


series_expansion_public.pdf


뭐 내용 자체는 예전에 썼던 이항전개로 장난치는 그 글과 크게 다르지 않습니다. 다만 역함수의 급수전개법과 멱급수를 멱급수로 나누는 조금 다른 방법이랑 점근수열에 대한 내용을 조금 추가한 점이 바뀌었달까요. (왜 굳이 영역했냐고 물으신다면, 나중에 우려먹기 편하라고..)


2015/05/01 - 이항전개와 수치근사


수강생들이 수업에서 약간 헤매는 것 같길레 구체적인 예시로 쓸 겸 + Boas 수리물리에서 안 다루는 내용들을 간단하게 넣어볼 겸 만들었습니다. 의외로 Arfken에서는 안 다루는 급수 안에 급수를 집어넣어 급수전개하는 방법을 Boas에서는 다루고 있더군요. 어째서인지 많은 수강생분들이 교재를 안 읽고 미분계수를 구하는 삽질을 통해 테일러 전개를 하고 계시는 것 같아 안타깝습니다만...

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저번에 중간고사를 보고 의외로 사람들이 많이 모르는 것 같아서 만들어봤습니다. 사실 대학 1학년때 배우는 미적분학에서 다뤘어야 할 내용인데 자세하게 알려주는 교수님도 조교님도 없죠. 수학과에선 증명을 하지 계산을 하지는 않으니까(...). 공학수학은 이미 알고 있다고 생각하고 진행하는 경향이 있고요.


binomial_expansion_and_numerical_approximation.pdf


그런데 정작 난 읽어야 할 논문은 안 읽고 뭔 짓을 하고 있는가...ㅠㅠ

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  1. 낭낭  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    오 많은 도움 되었어요 감사합니다!

    2017.01.13 21:50 신고

조교일 하면서 삽질한걸 TeX으로 치는 더블삽질을 감행했습니다. 3차원 유클리드 공간이면 주로 $\mathbb{R}^3$라고 쓰지만 좀 있어보이는(..) $\mathbb{E}^3$란 표현을 쓰기로 결정. 사원수를 실제로 계산에 써 보는건 처음이군요.


Mobius transform public.pdf


밥값은 하고 있다고 생각해야 하나...

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보통 $\int \exp(iax^2) dx, a\in \mathbb{R}^+$를 적분할 때는 다음과 같은 극한을 이용해서 풀곤 한다.

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{iax^2}dx=\int_{-\infty}^{+\infty} \lim_{\epsilon\to0}e^{(ia-\epsilon)x^2}dx = \lim_{\epsilon\to0} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{(ia-\epsilon)x^2}dx \]

\[ \therefore \int_{-\infty}^{+\infty} e^{iax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{-ia}} = (1+i)\sqrt{\frac{\pi}{2a}} \]


문제는 극한의 적분과 적분의 극한이 같지 않을 수 있다는 것. 물론 위의 적분은 맞는 값이긴 하다. 위 적분을 제대로 구하는 한 가지 방법은 http://www.jstor.org/stable/2588989에서 다루고 있으니 참조. 이 글에서는 조금 다른 방법으로 구할 생각이다. 일종의 컨투어 회전.


아이디어는 복소평면에서  $\exp(iaz^2)$의 절대값을 그리게 되면 안장과 같은 모양을 하게 된다는 것. 원래 적분하는 구간은 다음 그림과 같다.

복소평면에서 적분하고  $\exp(iaz^2)$는 pole이 하나도 없는[각주:1] analytic function이기 때문에 이 적분은 '시작점'과 '끝점'에만 의존한다. 해당 적분을 다음과 같이 바꾸어도 된다는 것.



왼쪽의 붉은 원호 적분이 $\Gamma_a$, 가운데의 녹색 선 적분이 $\Gamma_b$, 오른쪽의 붉은 원호 적분이 $\Gamma_c$이다. 파워포인트로 그리느라 감마를 넣는 과정이 복잡해서(..) 그림에는 넣지 않았는데 대충 알아들으리라 믿으며..


$\Gamma_b$를 +45도로 잡은 이유는 $z^2$의 허수부가 양수가 되도록 만들기 위해서다. 그래야 $a$ 앞의 $i$와 상쇄되어 음수가 만들어지니까. 각 적분을 구해 보자.

\[ \int_{-R}^{+R} e^{iax^2}dx = \Gamma_a+\Gamma_b+\Gamma_c \]

\[ \Gamma_b = \frac{(1+i)}{\sqrt2}\int_{-R}^{+R} e^{-ax^2} dx \]


여기까지는 쉽다. 이제 남은 두 적분이 $R\to\infty$ 극한에서 사라진다는 것을 보일 차례.

\[ \Gamma_a = \int_{0}^{\pi/4} e^{iaR^2\exp(2i\theta)}\left[-Re^{i\theta}\right]d\theta \\= \int_{0}^{\pi/4} -Re^{iaR^2\cos(2\theta)+i\theta}e^{-aR^2\sin(2\theta)}d\theta \]


어차피 크기가 0으로 날아간다는 것을 보이는 것이 중요하므로 크기만 구하면 된다.

\[ \left|\Gamma_a\right| \leq \int_{0}^{\pi/4} \left|-Re^{iaR^2\cos(2\theta)+i\theta}e^{-aR^2\sin(2\theta)}\right|d\theta \\ = \int_{0}^{\pi/4} Re^{-aR^2\sin(2\theta)}d\theta \\ = \int_{0}^{\pi/2} \frac{R}{2}e^{-aR^2\sin(\theta)}d\theta \\ \leq \int_{0}^{\pi/2} \frac{R}{2}e^{-aR^2\frac{2}{\pi}\theta}d\theta \sim O(R^{-1})\]


마지막 줄은 Jordan's lemma를 그대로 이용한 것. $\Gamma_c$도 같은 방법으로 $1/R$ 꼴을 갖는다는 것을 보일 수 있다. 이제 결론만 남은 상태.

\[ \therefore \int_{-\infty}^{+\infty} e^{iax^2}dx = \Gamma_b = \frac{(1+i)}{\sqrt2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2}dx = (1+i)\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\]


참고로 이 방식을 이용하면 처음 극한을 이용할 때 문제가 되는 $\sqrt{i}$의 부호가 한번에 해결된다. $\left(\frac{(1+i)}{\sqrt2}\right)^2=\left(-\frac{(1+i)}{\sqrt2}\right)^2=i$에서 어떤 부호를 택할 것이냐의 문제. 문제에서 $a$가 음의 실수인 경우에는 -45도로 틀면 똑같은 결론을 얻으니 더 언급할 필요는 없을 듯 하다.

  1. 물론 무한원점은 essential pole에 해당하지만, 여기서는 고려하지 않기로 한다. [본문으로]
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  1. 박재웅  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    스티븐 와인버그 해석 글은 덕분에 잘 읽었습니다.

    2015.03.04 02:21 신고

로그 항등식?

Mathematics 2014.10.26 02:50

페이스북 타임라인에 던져졌던 문제. 다음을 미분을 쓰지 않고 증명하시오.


\ln f(x) = - \int _0 ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt




그 전에 잠시 다음 적분을 보자.


\[ \forall a>0, \int_0^\infty \frac{1}{t}e^{-at}dt = \int_0^\infty \frac{1}{t}e^{-t}dt \]


위 식은 간단한 변수치환으로 보일 수 있다. 이제 다음 식을 생각해보자.


\[\forall a>0\forall \epsilon>0, \int_0^\infty\frac{1}{t}e^{-(a+\epsilon)t}dt -\int_0^\infty\frac{1}{t}e^{-at}dt = 0\]


왜냐고요? 위에서 임의의 변수 $a$를 넣어주어도 값이 같다는걸 보였으니까. 눈치가 빠른 사람들은 내가 왜 $\epsilon$을 넣었는지 감을 잡았겠지만, 이제 미분의 정의를 이용하려고 한다. 적분은 합쳐도 상관없으니 일단 같은 적분으로 퉁치기로 하자.


\[\lim_{\epsilon\to0}\frac{1}{\epsilon}\int_0^\infty\frac{1}{t}(e^{-(a+\epsilon)t}-e^{-at})dt=\lim_{\epsilon\to0}\frac{1}{\epsilon}0 = 0\]


한편, 극한을 적분 안에 우선 넣어버리는 방법도 있다.


\[\int_0^\infty\frac{1}{t}\lim_{\epsilon\to0}\frac{1}{\epsilon}(e^{-(a+\epsilon)t}-e^{-at})dt=-\int_0^\infty e^{-at}dt=-\frac{1}{a}\]


넵. 무언가 잘못되었습니다. 이런 문제가 생기는 이유중 하나로 처음 본 식의 적분은 무조건 발산한다는 성질이 있다.(극한과 적분의 순서를 바꾸어도 되는가는 꽤 섬세한 증명이 필요한 과정이긴 하지만 그건 수학과의 일이니 일단 무시하기로 하자)[각주:1][각주:2] 애초에 시작부터 개소리라는 뜻이다. 하지만 우리는 불굴의 물리학도 계산기 공대생, 정의가 제대로 안 되었든 말든 그건 무시하고 일단 계산에 써먹는다!




본론으로 돌아와서, 양변을 미분하면 처음의 식을 어떻게든 얻지만 다른 해법을 구하라고 한 이상 다른 방법을 찾아야 한다. 우선 위 등식은 이렇게 쓸 수 있다.


\ln f(x) = - \int _0 ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt=-\int _0 ^{\infty}\int _{f(x)} ^{\infty} e^{-tf}df dt


되든 말든은 걱정하지 않고 식만 그럴듯하면 바꾸고 보는 공대생의 본능을 따라 적분 순서를 바꿔보자. 그러면


\ln f(x) = -\int _0 ^{\infty}\int _{f(x)} ^{\infty} e^{-tf}df dt = -\int _{f(x)} ^{\infty}\int _0 ^{\infty} e^{-tf}dt df \\ = \int _{f(x)} ^{\infty} \frac{1}{f} df


적분이 발산한다. 어쨌든 식의 꼴은 대충 맞췄으니, 우리는 어떻게든 비슷한 맞는 증명과정을 가고 있다고 생각할 수 있다. 어디에서 문제가 생긴 걸까? 문제는 정의되지 않는 적분을 억지로 정의했기 때문에 생긴다: 0에서 1/t는 정의되지 않는다.[각주:3] 보다 올바른 표현으로 바꾸려면 위 등식을 다음과 같이 써야 한다.


\ln f(x) = - \lim_{\epsilon\to 0+} \int _\epsilon ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt


이 식을 끌고가 보자. 적분 순서를 바꾸면 ('과연 바꿀수 있는가?'란 질문은 수학과에게 넘기기로 하자)


- \int _\epsilon ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt=-\int _\epsilon ^{\infty}\int _{f(x)} ^{\infty} e^{-tf}df dt = -\int _{f(x)} ^{\infty}\int _\epsilon ^{\infty} e^{-tf}dt df \\ = \int _{f(x)} ^{\infty} \frac{e^{-\epsilon f}}{f} df = \left (\ln{f})e^{-\epsilon f} \right|_{f(x)}^\infty+\epsilon\int_{f(x)}^{\infty}(\ln f)e^{-\epsilon f} df


문제는 두번째 항의 적분이다. 두번째 항은 입실론이 0으로 갈 때 수렴할까 발산할까? 당연히 발산하지(...). 얼마나 빠르게 발산하는지 확인하기 위해 두번째 항은 라플라스법/안장점법(saddle point method)/최대기울기법(method of steepest descent) 등으로 불리는 다음 기법을 이용해 근사해보자. 우선 다음이 되는 식 g를 계산한다.


e^{g(f)}=(\ln f)e^{-\epsilon f}


이제 좌변을 극대값에서 테일러 전개를 이용해 근사한다.


\frac{d}{df}\left[(\ln f)e^{-\epsilon f}\right]_{f^\ast}=\left[\frac1{f^\ast}-\epsilon\ln f^\ast \right]e^{-\epsilon f^\ast}=0 \\\therefore f^\ast\ln f^\ast=\frac1\epsilon \\\\g(f) = \ln\left[(\ln f)e^{-\epsilon f}\right] \simeq g(f^\ast)+\frac12 g''(f^\ast)(f-f^\ast)^2 \\\therefore g(f) \simeq \ln\left[\frac1{\epsilon f^\ast}e^{-\frac1{\ln f^\ast}} \right]-\frac12 \frac{\epsilon(1+\frac{1}{\ln f^\ast})}{f^\ast}(f-f^\ast)^2


매우 익숙한 적분이 보이는 것은 착각이 아니다.


\int_{f(x)}^{\infty}(\ln f)e^{-\epsilon f} df \simeq \int_{f(x)}^{\infty}\frac1{\epsilon f^\ast}e^{-\frac1{\ln f^\ast}}e^{-\frac12 \frac{\epsilon(1+\frac{1}{\ln f^\ast})}{f^\ast}(f-f^\ast)^2}df \\\simeq \int_{-\infty}^{\infty}\frac1{\epsilon f^\ast}e^{-\frac1{\ln f^\ast}}e^{-\frac12 \frac{\epsilon(1+\frac{1}{\ln f^\ast})}{f^\ast}(f-f^\ast)^2}df \\=\frac1{\epsilon f^\ast}\sqrt{\frac{2\pi f^\ast}{\epsilon(1+\frac{1}{\ln f^\ast})}}e^{-\frac1{\ln f^\ast}}


극한을 취하면


\therefore- \lim_{\epsilon\to 0+} \int _\epsilon ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt \\=\lim_{\epsilon\to 0+}\left[\left (\ln{f})e^{-\epsilon f} \right|_{f(x)}^\infty+\epsilon\int_{f(x)}^{\infty}(\ln f)e^{-\epsilon f} df \right ] \\=\lim_{\epsilon\to 0+}\left[\left (\ln{f})e^{-\epsilon f} \right|_{f(x)}^\infty+\frac1{f^\ast}\sqrt{\frac{2\pi f^\ast}{\epsilon(1+\frac{1}{\ln f^\ast})}}e^{-\frac1{\ln f^\ast}} \right ] \\=\ln f+O((\ln f^\ast)^{1/2})


마지막의 O는 발산하는 항이다. 위에서의 정의 때문에 $\ln f^\ast$의 1/2승으로 발산하면 $-\ln \epsilon$의 1/2승보다도 느리게 발산한다는 것을 확인할 수 있다( $f^\ast\leq\epsilon^{-1}$). 참고로 $-\ln\epsilon$은 $\epsilon$의 어떤 차수보다도 천천히 발산한다(지금은 $\epsilon$을 0으로 보내고 있다) .


\[\therefore \epsilon\to0,-\int _\epsilon ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt = \ln f+o((-\ln \epsilon)^{1/2}) \]


아, 그리고 뒤쪽의 발산하는 항은 '비물리적이다!'라고 판단해서 날려먹는 일은 자주 있는 일이다. 이로서 증명 끝!(?)

  1. 한 교수님 왈: (무한합과 적분의 순서를 바꾸면 간단해지는 식이 있을 때) "수학과는 적분과 무한합의 순서를 바꾸어도 되는지 고민하느라 시간을 날린다. 공대생은 일단 바꾸고 계산해서 틀린다" [본문으로]
  2. 함수열의 극한의 적분과 함수열의 적분의 극한이 다른 사례로 $f_n(x)=2^{n+1}, 2^{-n-1} leq x leq 2^{-n}$ 이 있다(타 구간에서는 0). 이 함수열의 극한은 항등적으로 0인 함수. [본문으로]
  3. 실제로도 적분이 문제가 생기는 영역은 0 근처이다. [본문으로]
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  1. Favicon of http://kipid.tistory.com BlogIcon kipid  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    음.. 스마트폰에서 보면 수식이 처리가 안되어서 보이는데 -ㅇ-;;;;

    2014.11.11 20:05 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2014.11.15 21:35 신고  댓글주소  수정/삭제

      아, 수식이 java를 쓸꺼라 모바일에서는 안될꺼예요...

    • Favicon of http://kipid.tistory.com BlogIcon kipid 2014.11.15 21:42 신고  댓글주소  수정/삭제

      http://kipid.tistory.com/entry/equations-in-html
      모바일 페이지를 따로 안만들고 max-width:100% 같은걸로 처리하시면 폰에서도 보이긴 하는데... 음. 그냥 폰에서 pc 버전으로 보는게 편한 방법이긴 하겠네요.


오늘도 하라는 공부는 안 하고 트위터에서 놀다가 함수해석학과 양자역학 이야기가 나와서 위 글을 다시 검토하던 중, '유한 차원에서라면-선형대수학의 영역이라면- 교환자(commutator)가 identity의 상수배가 나오지 않는다는 것을 증명할 수 있지 않을까?'란 생각이 들었다. 결론: 매우 쉽게 보일 수 있다.


아이디어는 매우 쉽다. 2×2 행렬은 Pauli matrice에 identity를 더해 기저로 잡은 복소수체 벡터공간의 원소로 생각할 수 있다. 3×3 행렬은 Gell-mann matrice에 identity를 더하면 된다. 일반적으로 n×n 행렬은 SU(n) 군의 생성자(generator)에 identity를 더해 기저로 잡은 복소수체 벡터공간의 원소로 생각할 수 있다.


\text{In general, a }n\times n\text{ matrix can be thought as} \\\text{an element of a vector space spanned by the set} \\\\\{I,g_1,g_2,\dots,g_{n^2-1} \} \\\\\text{where }I\text{ is the identity matrix and }g_i\text{'s are the} \\\text{generators of SU(}n\text{) group. Note that all bases} \\\text{except for }I\text{ are traceless.}


이제 n×n 행렬 두개를 가져다 교환자를 구성한 뒤 trace를 구하면 0이 됨을 쉽게 알 수 있다. 그런데 identity는 trace가 n이므로, identity의 상수배는 trace가 0일 수 없다. 따라서 유한차원에서 작용하는 연산자(operator)들의 교환자는 identity의 상수배가 될 수 없다.


\text{Let }A\text{ and }B\text{ be arbitrary }n\times n\text{ matrices and let} \\\\A=\alpha_0I+\alpha_ig_i, B=\beta_0I+\beta_ig_i \\\\\text{where summation over }i\text{ is implied. Then the trace} \\\text{of the commutator }[A,B]=AB-BA\text{ vanishes.} \\\\Tr([A,B])=Tr(\gamma_ig_i)=0 \\\gamma_i=\sum_{j,k}C_{ijk}\alpha_j\beta_k \\\\\text{The }C_{ijk}\text{'s are the structure constants. Since identity} \\\text{and its scalar multiple cannot be traceless, commutators} \\\text{in finite dimensional linear algebra cannot be a multiple} \\\text{of identity.}


이제 함수해석학을 배워야 하는 이유가 하나 더 추가되었다(...)




수정: 잠결에 생각해보니 너무 어렵게 풀었네요. 결론은 똑같지만 trace가 0이어야 한다는 것은 다음 trace의 기본 성질로부터 훨씬 쉽게 보일 수 있습니다.


\text{Trace has the following properties} \\\\Tr(cA+dB)=cTr(A)+dTr(B) \\Tr(AB)=Tr(BA) \\\\\text{where lowercase letters are scalars. Therefore} \\\\Tr([A,B])=Tr(AB)-Tr(BA)=0


그러면 위에서 일반적인 연산자를 identity와 SU(n) 군의 생성자를 이용한 기저로 나타내는 것이 무슨 의미를 갖는지 생각해볼 수 있겠죠. 알려진 것과 같이 양자역학에서는 모든 측정가능량이 연산자로 주어집니다. 그리고 임의의 측정량이 있을 때, 여기에 identity의 상수배를 더하는 것은 측정량의 기준점을 이동한다는 의미가 됩니다. 단순히 모든 고유값(eigenvalue)들을 일정한 값만큼 이동하는 것과 동일하니까요. 따라서 identity는 실제 물리적인 의미를 갖는 부분이 아니라고 생각할 수 있습니다. 결국 n개의 독립적인 상태를 가질 수 있는 계가 있다면 이 계에서 얻을 수 있는 모든 측정량들은 SU(n) 리 대수(Lie algebra)의 원소로 생각할 수 있다는 뜻이 되겠죠. 이젠 군론을 배웁시다 야호!


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2014/01/11 - Poincare Half Plane 푸앙카레 반평면 (1) 에서 이어집니다..




약속을 지키고자(...) 적어봅니다.


이번에는 거리함수가 다음과 같이 주어졌을 때 geodesic이 어떻게 나오는지 알아보는 시간입니다.


ds^2=\frac{1}{z^2}(-dt^2+dz^2)


오늘따라 이런저런 디테일을 따져가며 문제를 풀기 귀찮아진 관계로(...) 예전에 정리해두었던 식을 쭈욱 나열해보도록 하겠습니다. 우선 connexion coefficient는


\Gamma^z_{zz}=\Gamma^z_{tt}=\Gamma^t_{tz}=-\frac1z


가 나옵니다. Geodesic equation은


z''-\frac1z(z'^2+t'^2)=t''-\frac1z(2t'z')=0


를 얻고, ∂t가 Killing vector임을 이용하면


z^2(t'/z^2)'=0;\,t'=\alpha z^2 \\\therefore z''-\frac1z(z'^2+\alpha^2 z^4)=0


가 나옵니다. 이제 geodesic만 구하면 되는데, 공간이 positive definite가 아니라 골치가 좀 아프죠(..). 편의상 spacelike와 timelike geodesic만 구해보겠습니다 null trajectory는 너무 쉽게 나오거든요(dt=±dz, 그러니까 그냥 ±45도 선이 null trajectory입니다. conformal metric의 특징이기도 하죠)


우선 spacelike trajectory입니다.


u^\mu u_\mu=1;\,\frac1{z^2}(z'^2-t'^2)=1=\frac1{z^2}(z'^2-\alpha^2 z^4) \\\therefore z'=\pm z\sqrt{1+\alpha^2 z^2} \\\\\text{The solution is;} \\z=\frac{R}{\sinh |\lambda|},\, t=-\frac{sgn(\lambda)R}{\coth\lambda} \\-\infty<\lambda<\infty,\,\,R\equiv\frac{1}{\alpha},\,\,t^2-z^2=R^2


어디서 많이 본 곡선이 나올겁니다. 쌍곡선! 상대론에서 등가속운동을 하면 볼 수 있는 곡선이죠. 물론 이 곡선은 다른 방향으로 나왔고 실제 물체가 움직이는 곡선이 아니기 때문에 별 다른 의미는 부여하기 힘듧니다. 참고로 parameter로 쓰인 lambda는 고유거리입니다. 이번엔 timelike trajectory를 보도록 하죠.


u^\mu u_\mu=-1;\,\frac1{z^2}(z'^2-t'^2)=\frac1{z^2}(z'^2-\alpha^2 z^4)=-1 \\\therefore z'=\pm z\sqrt{\alpha^2 z^2-1} \\\\\text{The solution is;} \\z=\frac{R}{\cos \tau},\, t=R\tan\tau \\-\frac\pi2<\tau<\frac\pi2,\,\,R\equiv\frac{1}{\alpha},\,\,z^2-t^2=R^2


이번엔 constant proper acceleration 문제에서 나오는 그 곡선이 나왔네요. alpha가 proper acceleration과 같은 역할을 해준다는 것도 재미있네요(R의 역수죠). 다만 쌍곡함수였던 것이 휘어진 공간에 오니까 삼각함수로 바뀌었다는 점이 차이가 납니다.


더 특이한 점은 proper time인 tau가 고작 pi만큼의 범위에서 움직인다는 것입니다. 자유낙하로 무한대의 z에서 0 근방까지 왔다가 다시 무한대의 z까지 가는데 걸리는 proper time이 고작 pi밖에 안 걸린다는 소리죠. 물론 scale factor가 빠져서 tau를 곧이 곧대로 '초'로 읽을 수는 없지만, 무한대까지 움직이는데 유한한 시간이 걸린다는 것은 문제가 됩니다. Schwarzschild 해를 extend하는 이유도 event horizon까지 도달하는데 유한한 proper time이면 충분하기 때문인 점도 있거든요.




자, 여기서 문제. 위의 미분방정식은 어떻게 풀어야 할까요? 편의상 spacelike trajectory에 나오는 다음 수식부터 풀어보도록 합시다.


z'=z\sqrt{\alpha^2 z^2+1}


일단은 제곱근을 터뜨리는게 중요하겠죠. z를 치환해줍니다.


z=\frac1\alpha\sinh y \\\therefore \frac{dy}{d\lambda}=\sinh y \\d\lambda=\frac{dy}{\sinh y}


저런 꼴의 미분방정식은 '찍어서' 풀어야 합니다. 대채로 저런 꼴의 미분방정식은 다음과 같은 식의 도함수로 풀 수 있습니다.


\left(\ln\frac{f}{g} \right )'=\frac{f'g-g'f}{fg} \\\\\text{Set }f=\sinh (y/2),\,\,g=\cosh(y/2) \\\therefore [\ln(\coth(y/2))]'=1/[2\sinh(y/2)\cosh(y/2)] \\=1/\sinh y


이로부터 y와 lambda의 관계식, 더 나아가서는 z와 lambda의 관계식을 구할 수 있게 됩니다.


\lambda=\ln(\coth(y/2)) \\e^\lambda=\frac{e^y+1}{e^y-1} \\e^y=\frac{e^\lambda+1}{e^\lambda-1} \\\therefore z=\frac1{2\alpha}\left[ \frac{e^\lambda+1}{e^\lambda-1}-\frac{e^\lambda-1}{e^\lambda+1}\right ] \\=\frac1\alpha\left[\frac{2e^\lambda}{e^{2\lambda}-1} \right ]=\frac1{\alpha\sinh\lambda}


결국 비슷한 방법이지만 다음과 같이 푸는 방법도 있습니다. 이번엔 timelike trajectory를 해 보도록 합시다.


z'=z\sqrt{\alpha^2z^2-1}


같은 방법으로 풀어봅니다. 이번엔 cosh를 쓰는게 적합하겠죠.


z=\frac1\alpha\cosh y \\\therefore \frac{dy}{d\tau}=\cosh y \\d\tau=\frac{dy}{\cosh y}


애석해게도 위와 같은 치환을 해도 적당한 f와 g가 바로 떠오르지 않습니다. 그렇다면 좀 더 자주 보는 방정식으로 바꾸어야겠지요. y를 ix로 치환해줍니다.


y=ix \\\therefore d\tau=\frac{dy}{\cosh y}=i\frac{dx}{\cos x}


왜 이런 번거로운 짓을 하느냐? cos이 역수로 있는 적분은 생각보다 자주 봤거든요(...) 한번 다음 식을 풀어봅시다.


\left[\ln\frac{\sin x \pm1}{\cos x} \right ]'=\frac{\cos x}{\sin x \pm1}\frac{\cos^2 x-(-\sin x)(\sin x\pm1)}{\cos^2 x} \\=\frac{1\pm\sin x}{\cos x(\sin x\pm1)} \\\therefore \frac1{\cos x}=\left[\ln\frac{\sin x +1}{\cos x} \right ]'


대입, 대입, 그리고 대입을 하면


\tau=i\ln\frac{\sin x +1}{\cos x} \\e^{-i\tau}=\frac{1+\sin(-iy)}{\cos(-iy)}=\frac{1-i\sinh y}{\cosh y} \\=\frac{1-i\sqrt{\cosh^2y-1}}{\cosh y} \\\\\therefore e^{-i\tau}\cosh y-1=-i\sqrt{\cosh^2y-1} \\e^{-2i\tau}\cosh^2y-2e^{-i\tau}\cosh y+1=1-\cosh^2 y \\\cosh y\left[(e^{-2i\tau}+1)\cosh y - 2e^{-i\tau} \right ]=0 \\\\\therefore \cosh y = \frac{2e^{-i\tau}}{e^{-2i\tau}+1}=\frac{1}{\cos\tau} \\z=\frac1\alpha\cosh y=\frac1{\alpha\cos\tau}


이렇게 원하는 값을 얻습니다.

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일반상대론 교재를 보고 식은 이해했는데 실제 연습문제를 풀 때마다 막막하신 분들을 위해 적습니다.




많은 이들을 멘붕에 빠지게 하는 일반상대론이 어려운 이유는 다른게 아니라 일반상대론에서 사용하는 리만기하학 때문입니다. 유클리드 공간에서 작도만 하던 그리스 시대와는 달리 시간이 지날수록 사람들은 '두 점 사이의 거리'에도 관심을 갖게 됩니다. 두 점 사이의 거리는 피타고라스의 정리로 쓰게 되죠.


File:Pythagorean.svg

c^2=a^2+b^2


이런 '두 점 사이의 거리'를 재는 방법을 가장 간단하게 일반화한 것이 리만기하입니다. 매우 가까운 두 점 사이의 거리는 두 점과 좌표축에 평행한 선분이 만드는 삼각형(편의상 2차원이라고 합시다)의 각 변의 길이에 대한 이차식의 꼴로 나타난다는 것이죠. 원래는 가우스가 휘어진 곡면 위에서 두 점 사이의 거리는 어떻게 주어지는가를 연구하면서 등장하게 되었다고 하는군요.


ds^2=Edx^2+2Fdxdy+Gdy^2


사실 거리를 일반화하는 방법은 이것 말고도 더 많기에 -피타고라스 정리에 제곱 대신 네제곱을 쓸 수도 있는 것이니까요. 페르마 님이 좋아합니다- 제곱의 꼴로 거리가 주어지는 리만기하학의 공간을 L^2공간이라고도 부릅니다. 양자역학에서 사용하는 힐베르트 공간도 L^2 공간의 일종이죠. 여기에 대해서는 아는 것의 밑천이 바닥나지 않을 이 정도 까지만 썰을 풀기로 합시다(...).


리만기하가 얼마나 일반적인 상식(?)과 어긋나는지 보기 위해 구체적인 문제를 풀어보도록 합시다. 가장 간단한 문제는 아무래도 푸앙카레 반평면(Poincare Half Plane)이 되겠네요. 푸앙카레 반평면이란 매우 가까운 두 점 사이의 거리 ds를 다음과 같이 정의하는 공간입니다.


ds^2=\frac{1}{y^2}(dx^2+dy^2)


여기서 리만기하학을 처음부터 다룰 수는 없는 노릇이니, 근처에 미분기하학 책이 하나 정도는 있다고 가정하고 바로 geodesic equation을 푸는 것으로 들어가도록 하겠습니다. 아무 일반상대론 책 하나 펴고 geodesic equation을 구하는 증명과정을 쭉 풀어본 사람이라도 실제 geodesic이 무엇이냐를 푸는데는 어려움을 겪는 경우가 있어서요. 그러면 방정식을 풀어봅시다.




geodesic equation은 다음과 같이 씁니다.


\frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\frac{dx^\beta}{d\lambda}=0


단, 이 경우 이 식이 만족되어야 합니다. 상수는 보통 1로 많이 잡는데, 그러면 람다의 변화는 이동한 거리가 되죠.


\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx_\mu}{d\lambda}=\text{const}


위의 metric을 이용해서 connection coefficient(혹은 Christoffel symbol이라고도 부릅니다)를 구하면 다음과 같습니다. (summation은 그리스 문자만 해당하는 것으로 합시다)


\Gamma^x_{xy}=\Gamma^y_{yy}=-\Gamma^y_{xx}=-\frac1y


위로부터 다음 식을 계산해보면 이 식이 맞다는 것도 확인할 수 있죠.


\Gamma^\mu_{\mu\nu}=\partial_\nu\ln\sqrt{|g|}


람다에 대한 미분을 뉴턴식으로 간략하게 쓰기로 하면 geodesic equation은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.


y''+\frac1y(x'^2-y'^2)=x''-\frac{2x'y'}y=0


확인한다면 위 식의 하나는 다음과 같이 쓸 수 있다는 것을 보일 수 있지요.


y^2\left(\frac{x'}{y^2} \right )'=0 \;\;\cdots\;x'=\alpha y^2


여기서 첫번째 geodesic을 얻습니다. 알파를 0으로 두면 geodesic은 x=const가 되거든요. 그러면 이 경우를 무시한 채 계속 진행해봅시다. 위에서 얻은 관계식을 대입하면 되는데, 우선은 어려운 방법부터 해 보도록 합시다.[각주:1] 남은 geodesic equation에 위 관계식을 대입하면 다음 식을 얻습니다.


y''+\frac1y(\alpha^2y^4-y'^2)=y\left[(\ln y)''+\alpha^2y^2 \right ]=0


y의 로그를 z로 재정의하면 다음 식을 얻죠. 신나게 미분방정식을 풀어봅니다.


z\equiv\ln y \\z''+\alpha^2e^{2z}=0\;\;\cdots\;\;2z'z''+2\alpha^2e^{2z}z'=\left[z'^2+\alpha^2e^{2z}\right ]'=0 \\z'^2+\alpha^2e^{2z}=\frac{y'^2}{y^2}+\alpha^2y^2=\beta^2\;\;\cdots\;\;y'=\beta{y}\sqrt{1-\left(\frac{\alpha y}{\beta} \right )^2} \\\therefore\frac{dy}{y\sqrt{1-\alpha^2y^2}}=d\lambda\;\;\;\cdots\;\beta\text{ is considered }1


베타는 어차피 중요한 상수가 아니라서 그냥 1로 두었습니다. 나중에 끌고가 보시면 알겠지만 베타는 속도에 해당합니다. 그리고 마지막 적분은 매우 유명(?)한 적분입니다. 저런 꼴은 일단 삼각함수로 치환하고 생각합니다.


y\equiv\frac{\sin\chi}{\alpha} \\\frac{d\chi}{\sin\chi}=d\lambda\;\;\cdots\;\;\lambda=\ln\left(\frac{\sin\chi}{1+\cos\chi} \right ) \\\therefore e^\lambda=\frac{\alpha y}{1+\sqrt{1-\alpha^2y^2}}\;\;\cdots\;\;e^\lambda\sqrt{1-\alpha^2y^2}=\alpha y-e^\lambda \\\therefore y=\frac1\alpha\;\text{sech }\lambda


참 쉽죠?(...) 마지막 줄은 그냥 전 줄을 제곱한 뒤 슥슥 그어주면 얻습니다. y를 구했으니 이번엔 x를 구할 차례로군요.


x'=\alpha y^2=\frac1\alpha\;\text{sech}^2\;\lambda\;\;\cdots\;\;x=x_0+\frac1\alpha\;\text{tanh}\;\lambda \\\therefore (x-x_0)^2+y^2=\frac{1}{\alpha^2}


위를 종합하면 geodesic은 원으로 그려지게 됩니다. 물론 '우리 눈으로 보기에 원'이지, 실제 원은 아니지요. 원은 '한 점으로부터 등거리에 있는 점의 집합'이니까요.




이제 미분방정식을 푸는 쉬운 방법을 알려드리죠. 아까 구한 관계식을 이번에는 속도의 크기에 넣어줍니다.


\frac{1}{y^2}\left(x'^2+y'^2 \right )=\frac{1}{y^2}\left(\alpha^2y^4+y'^2 \right )=1 \\\therefore y'^2=y^2(1-\alpha^2y^2)\;\;\cdots\;\;y'=y\sqrt{1-\alpha^2y^2}


어라(...) 힘들게 z로 치환해가며 구했던 미분방정식을 얻었습니다. 실제로 이 식을 미분해서 정리하면 사용하지 않은 geodesic equation으로 정리되는 것을 알 수 있습니다.




geodesic을 구했으니 남은건 '임의의 두 점 사이의 거리'같은 것이 있겠지만 그런거나 하자고(...) 이 글을 쓰고 있는 것은 아니죠. 다음 글을 쓰게 된다면 그 때는 푸앙카레 반평면을 비틀어 보도록 하겠습니다. 일종의 반-푸앙카레 반평면(Anti-Poincare Half Plane) 혹은 민코프스키 푸앙카레 반평면(Minkowskian Poincare Half Plane)이라고 할 수 있죠.


ds^2=\frac{1}{z^2}(-dt^2+dz^2)


이런 metric을 생각한 이유는 de Sitter 공간과 Anti-de Sitter 공간을 단순화하면 이런 꼴의 metric으로 쓸 수 있기 때문이었죠. 혹시 시간이 되시는 분들은 괜찮은 일반상대론 책에서 conformal transformation을 찾아본 뒤 다음 metric의 scalar curvature를 계산해보세요. 모든 공간에서 상수가 나옵니다.


\\ds^2=\frac{1}{t^2}(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)\;\;\cdots\text{de Sitter} \\ \\ds^2=\frac{1}{z^2}(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)\;\;\cdots\text{Anti-de Sitter}


그러면 다음 시간에(그런게 있다면)...

  1. 제가 처음 푼 방법인데 지금 이 풀이를 보면 정신이 아득하네요. 내가 이렇게 머리가 쌩쌩 돌아갔던가... [본문으로]
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오늘 퓨리에 급수에 대해 생각하다가 특정 구간에 대해서만 급수전개를 하되 '그 구간이 계속 움직인다면 어떨까?'란 생각을 떠올렸다. 조금만 계산을 하면 유도할 수 있으니 누군가는 했겠지 하고 찾아봤는데 의외로 이 생각을 하는 사람이 별로 없는 모양이다. 하긴 이렇게 연속적으로 들어오는 신호를 변환할 때는 라플라스 변환을 쓰는 것이 일반적이긴 하다. 찾은 관련 내용은 특허 하나와 논문 두 개. 특허는 73년이고, 논문은 99년과 01년에 나온 상당히 최근의 내용.


http://www.google.com/patents/US3778606

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0165168498002096

http://proceedings.spiedigitallibrary.org/proceeding.aspx?articleid=913845




위의 내용은 이산퓨리에변환(Discrete Fourier Transform)에 해당하는 내용이라 연속적인 경우에 대해서는 다루지는 않고 있다. 연속적인 경우를 다루기 위해 다음과 같은 '샘플링 구간을 한정지은 함수'를 정의하자.


\text{For a function }f\text{ defined on the real line, define} \\\text{the restriction (or the sample) of }f\text{ as;} \\\\f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \\f_{\tau,T}:[0,\tau ]\to\mathbb{R} \\f_{\tau,T}(x)=f(x+T) \\\\\tau\text{ gives the length of the sample, and }T\text{ gives the} \\\text{starting point of the sample.}


그리고 다들 대학 2학년때 지옥을 맛보는 공학수학 시간에 하는 것처럼 신나게 퓨리에 급수를 구한다. 따로 유도과정은 안 적겠다. 그런건 위키백과에도 잘 나오니까.


\text{The Fourier series of }f_{\tau,T}\text{ is given as follows:} \\\\f_{\tau,T}(x)=a_0+\sum_n \left[a_n\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)+b_n\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)\right] \\\\a_0(\tau,T)=\frac1\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)dx \\a_n(\tau,T)=\frac2\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\b_n(\tau,T)=\frac2\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx


이제 할 일은 간단하다. 구간이 계속 움직이는 경우(T가 계속 변하는 경우) 각 급수 성분은 어떻게 변하게 될까? 편미분을 쓰자.


\text{To update the series for continuously changing }T\text{,} \\\text{just calculate the derivatives with respect to }T: \\\\\frac{\partial}{\partial T}a_0(\tau,T)=\frac1\tau \frac{\partial}{\partial T}\int_0^\tau f_{\tau,T}(x)dx \\=\frac1\tau \frac{\partial}{\partial T}\int_T^{T+\tau} f(x)dx=\frac1\tau\left[f(T+\tau)-f(T) \right ]



\\\frac{\partial}{\partial T}a_n(\tau,T)=\frac2\tau \frac{\partial}{\partial T}\int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=\frac2\tau \frac{\partial}{\partial T}\int_0^\tau f(x+T)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=\frac2\tau \int_0^\tau f'(x+T)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=\frac2\tau \left[ \left f(x+T)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)\right|_0^\tau -\int_0^\tau f(x+T)\left[\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)\right]' dx \right] \\=\frac2\tau \left[ f(T+\tau)-f(T)+\frac{2n\pi}{\tau}\int_0^\tau f(x+T)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \right] \\\\=\frac2\tau \left[ f(T+\tau)-f(T)\right]+\frac{2n\pi}{\tau}b_n



\\\frac{\partial}{\partial T}b_n(\tau,T)=\frac2\tau \frac{\partial}{\partial T}\int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=\frac2\tau \frac{\partial}{\partial T}\int_0^\tau f(x+T)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=\frac2\tau \int_0^\tau f'(x+T)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=\frac2\tau \left[ \left f(x+T)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)\right|_0^\tau -\int_0^\tau f(x+T)\left[\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)\right]' dx \right] \\=\frac2\tau \left[-\frac{2n\pi}{\tau}\int_0^\tau f(x+T)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \right] \\\\=-\frac{2n\pi}{\tau}a_n


만약 주기가 그대로 맞아 떨어진다면 예상하는 것과 같이 단순히 위상만 변하는 식을 얻게 된다.


\text{If }f(x+\tau)=f(x)\text{ for }\forall x\text{, the above equations} \\\text{are simplified and shows the phase dependence of Fourier series.} \\\\\frac{\partial}{\partial T}a_n(\tau,T)=\frac{2n\pi}{\tau}b_n \\\frac{\partial}{\partial T}b_n(\tau,T)=-\frac{2n\pi}{\tau}a_n \\\\\therefore a_n(\tau,T)=A\sin(\frac{2n\pi}{\tau}T +\delta) \\b_n(\tau,T)=A\cos(\frac{2n\pi}{\tau}T +\delta)


여기까지는 샘플링 구간을 움직일 때 해당하는 내용. 그렇다면 샘플링 구간을 확장시킬 때 새로운 정보를 어떻게 반영해야 할까? 이건 샘플링 구간의 길이에 대해 편미분하면 된다.


\text{To update the series for newly obtained information at} \\T+\tau\text{, just calculate the derivatives with respect to }\tau: \\\\\frac{\partial}{\partial\tau}a_0(\tau,T)=\frac{\partial}{\partial\tau}\left[\frac1\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)dx\right] \\=-\frac1{\tau^2} \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)dx+\frac1\tau \frac{\partial}{\partial\tau}\int_T^{T+\tau} f(x)dx \\=\frac1\tau\left[f(T+\tau)-a_0\right]



\\\frac{\partial}{\partial\tau}a_n(\tau,T)=\frac{\partial}{\partial\tau}\left[\frac2\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx\right] \\=-\frac2{\tau^2} \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx+\frac2\tau \frac{\partial}{\partial\tau}\left[\int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx\right] \\=-\frac{a_n}{\tau}+\frac2\tau \frac{\partial}{\partial\tau}\int_0^\tau f(x+T)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=-\frac{a_n}{\tau}+\frac2\tau \left f(x+T)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)\right|_{x=\tau}+\frac2\tau \int_0^\tau f(x+T)\frac{\partial}{\partial\tau}\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=-\frac{a_n}{\tau}+\frac{2f(T+\tau)}\tau+\frac{2n\pi}{\tau^2}\frac2\tau\int_0^\tau f(x+T)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=\frac1\tau\left[ 2f(T+\tau)-a_n+\frac{2n\pi}\tau b_n\right ]



\\\frac{\partial}{\partial\tau}b_n(\tau,T)=\frac{\partial}{\partial\tau}\left[\frac2\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx\right] \\=-\frac2{\tau^2} \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx+\frac2\tau \frac{\partial}{\partial\tau}\left[\int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx\right] \\=-\frac{b_n}{\tau}+\frac2\tau \frac{\partial}{\partial\tau}\int_0^\tau f(x+T)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=-\frac{b_n}{\tau}+\frac2\tau \left f(x+T)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)\right|_{x=\tau}+\frac2\tau \int_0^\tau f(x+T)\frac{\partial}{\partial\tau}\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=-\frac{a_n}{\tau}-\frac{2n\pi}{\tau^2}\frac2\tau\int_0^\tau f(x+T)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=-\frac1\tau\left[b_n+\frac{2n\pi}\tau a_n\right ]


정리해보면 다음과 같은 관계식을 얻는다.


\text{For a function }f\text{ defined on the real line, its sample} \\f_{\tau,T}\text{ - which has }\tau\text{ as the length and }T\text{ as the starting point - } \\\text{has the following properties.} \\\\f_{\tau,T}(x)=f(x+T) \\f_{\tau,T}(x)=a_0+\sum_n \left[a_n\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)+b_n\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)\right]



\\a_0(\tau,T)=\frac1\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)dx \\a_n(\tau,T)=\frac2\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\b_n(\tau,T)=\frac2\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx



\\\frac{\partial}{\partial T}a_0(\tau,T)=\frac1\tau\left[f(T+\tau)-f(T) \right ] \\\frac{\partial}{\partial T}a_n(\tau,T)=\frac2\tau \left[ f(T+\tau)-f(T)\right]+\frac{2n\pi}{\tau}b_n \\\frac{\partial}{\partial T}b_n(\tau,T)=-\frac{2n\pi}{\tau}a_n



\\\frac{\partial}{\partial\tau}a_0(\tau,T)=\frac1\tau\left[f(T+\tau)-a_0\right] \\\frac{\partial}{\partial\tau}a_n(\tau,T)=\frac1\tau\left[ 2f(T+\tau)-a_n+\frac{2n\pi}\tau b_n\right ] \\\frac{\partial}{\partial\tau}b_n(\tau,T)=-\frac1\tau\left[b_n+\frac{2n\pi}\tau a_n\right ]





쓸만한 곳이 있는지는 모르겠는데 일단 실시간 퓨리에 변환에 유리하고(FFT를 한 샘플 버리고 한 샘플 채취할 때마다 행하는 것보다 위의 방법으로 업데이트 하는 방식이 더 빠르다. 전자는 N logN인데 이 경우엔 N 정도-위에서 언급한 논문에도 나와 있다.), 또 한 가지 쓸모를 생각해 본다면 FFT에서 생기는 샘플 갯수에 대한 제한 문제를 비껴나갈 방법이 될 지도 모르겠다는 것. FFT를 쓰려면 데이터의 개수가 2^N의 꼴로 나와야 한다고 알고 있는데 거기에서 더 많을 경우 추가 데이터를 날려버리거나 더 적을 경우 0으로 추가 데이터를 만들어 FFT를 실행한다고 알고 있다. 위 관계식은 연속함수에 대해 구한 것이긴 하지만 이산화하면 2^N개의 데이터로 FFT를 한 다음에 데이터를 추가해주거나 빼주는 방식으로 원래 값에 맞도록 보정하는 것이 가능해진다. DFT의 시간이 N^2이라고 알고 있는데 정확한 값을 N logN에서 N^2 사이의 값으로 구하는 것도 가능하다는 것.


샘플 구간의 중심을 0으로 두고 구간의 길이를 점차 늘이는 문제로도 확장해볼 생각이 있다. 이건 양자장론에서 cut-off 문제와도 관련이 있을 것 같아서 풀어보려고 생각중인 문제.


그런데 왜 이 간단한 걸 찾아도 안 보이지... 미분만 잘 하면 되잖아...


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역시 하라는 일은 안 하고 스트레스나 풀 겸 <중간고사: 리로디드><무엇을 상상하든 그 이상을 낼 것이다!!>와 같은 이상한 카피문구를 박은 영화 패러디 포스터나 그려볼까 하고 생각하던 중에 다음과 같은 문제를 생각해내었습니다.(영화 포스터에는 시험지에 페르마의 마지막 정리를 낼 생각이었거든요. '주)여백은 충분하다'를 포함하고(...))


"역행렬이 있는 모든 성분이 자연수(0을 포함)인 nxn행렬 A, B, C에 대해


A^n+B^n=C^n


을 만족하는 경우는 없다.(n>2)"


결론부터 말하자면 틀렸습니다. 왜냐하면 다음 반례가 있거든요.


A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 3 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 0 &1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 4 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 0 &1 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 5 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 0 &1 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \end{pmatrix}


맞지 않을까 기대하고(더군다나 처음엔 commutator [A,B]=[B,C]=[C,A]=0인 경우에는 맞다는 헛소리를 했습니다) 페이스북 타임라인에 올렸다가 교수님의 지적을 받고 깨갱(...) 다만 교수님이 찾아내신 반례는 다른 반례인 듯 합니다. 교환자가 0일 조건에서도 반례가 있다는 말을 하셨는데, 2차단위행렬을 I로, 파울리 행렬을 그냥 x, y, z로 쓸 때 I+(x-iy)/2를 고려해보라고 하셨으니까요. 구체적으로는 다음 행렬입니다.


\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

이건 아직 미스테리. 4x4 행렬에 embed해서 쓰는건가 싶기도 하고...


일단 제가 생각했던 교환자가 모두 0인 경우 성립하는 이유는 한번에 대각화가 된다고 가정했기 때문인데, 대각화가 되면 대각선의 각 성분인 고유값에 대해 페르마의 마지막 정리를 증명하는 것이 되며, 자연수로만 이루어진 행렬은 고유값이 양의 유리수가 나와야 하고, 페르마의 마지막 정리는 자연수를 대상으로 한 것이지만 양의 유리수를 대상으로 확장하는 것은 일도 아니니까 "될 것이다!!"라고 결론을 내렸습니다. 그런데 정수만 있는 대각화가 가능한 행렬에서 고유값이 음수가 나올 수 있네요? 밑줄 친 부분이 틀렸습니다...=_=;;


\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

좋은 반례. 고유값은 3과 -1입니다. 역시 잠을 덜 잔 상태에서는 증명을 하면 안 됩니다.


하지만 여기서 멈출 수는 없는 법. 그러면 문제를 또 꼬아봅시다.


"역행렬이 있는 모든 성분이 자연수(0을 포함)인 대칭(symmetric) nxn행렬 A, B, C에 대해


A^n+B^n=C^n


을 만족하는 경우는 없을 조건은 무엇인가?"


대칭이라는 조건을 포함한 이유는 Schur's Theorem(혹은 Schur decomposition이라고 하는 모양입니다)을 써서 쉽게 증명할 수 있지 않을까 싶었기 때문입니다. 하지만 진짜로 알고 싶은(?) 문제는 다음 문제.


"역행렬이 있는 모든 성분이 격자 복소수(0을 포함)인 에르미트(Hermitian) mxm행렬 A, B, C에 대해


A^n+B^n=C^n


을 만족하는 경우는 없을 조건은 무엇인가?"

격자 복소수: z=a+bi라고 할 때, a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}인 복소수 z를 말한다. 


물리량은 보통 에르미트 행렬로 표현되므로 양자화가 어디까지 가능한가에 대한 힌트가 될 수도 있지 않을까, 뭐 그렇게 생각하는 중입니다. 어쩌면 이차식(quadratic form)만 쓰는 이유에 대한 힌트를 제공해줄 수 있을지도 모르고요.(거리를 보통 피타고라스 정리를 이용하거나 피타고라스 정리를 확장한 리만기하학을 이용해 정의하곤 하지만 이차식이 아닌 삼차나 그 이상의 다항식으로 거리를 정의하는 방법도 있다고 합니다.)

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얼마 전부터 보기 시작한 입자물리 기초서에 페르미 황금률 2번(Fermi's Golden rule 2)이 나오길레 한번 증명해볼까 하다가 계속 한 부분에서 막히길레 Sakurai의 Modern QM을 봤다. 증명 없이 나오는 등식(?) 하나가 있길레 증명해봤다.


\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2(xt)}{x^2} dx=\pi t


방법은 당연하게도(?) 복소변수를 이용. 양자물리 시간에 대충 배우고 공학수학 시간에 조금 더 배운 것 밖에 없는데 어떻게든 써 먹고 있다. 복소변수함수론을 한번 듣긴 들어야 할텐데...


먼저 sine 함수를 지수로 바꾼다. 그 유명한(?) 오일러 공식이 필요하다.


\sin y = \frac1{2i}\left(e^{iy}-e^{-iy}\right)


이러면 대충 다음 값이 나온다.


\frac{\sin^2(xt)}{x^2}= \frac{(1-e^{2ixt})+(1-e^{-2ixt})}{4x^2}


괄호는 편의상 친 것. 저 괄호를 이용해 분수를 둘로 나눈다. 적분 contour가 서로 달라야 하기 때문이다. 그런데 이렇게 무작정 나누어도 되는지를 모르겠네. 어쨌든 이러면 답이 나오기는 한다.


\frac{\sin^2(xt)}{x^2}= \frac{1-e^{2ixt}}{4x^2}+\frac{1-e^{-2ixt}}{4x^2}


x를 z로 바꾸고, 앞의 것은 위쪽으로 닫힌 반원으로, 뒤의 것은 아래로 닫힌 반원으로 적분한다. residue는 원점에 있으니 이 부분은 포함시킨다. 앞의 항을 로랑전개(Laurent series)해보면 residue를 쉽게 구할 수 있다.


1-e^{2izt}=-2izt+2z^2t^2+\cdots \\\therefore \frac{1-e^{2izt}}{4z^2}=-\frac{it}{2z}+\cdots


제대로 써 봅시다. C+는 위쪽 반원 반시계 방향, C-는 아래쪽 반원 시계방향.


\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2(xt)}{x^2} dx=\int_{-\infty}^\infty \frac{1-e^{2ixt}}{4x^2}+\frac{1-e^{-2ixt}}{4x^2} dx \\=\int_{\bold{C}^+}\frac{1-e^{2izt}}{4z^2}dz+\int_{\bold{C}^-}\frac{1-e^{-2izt}}{4z^2} dz\\=2\pi i\left(\frac{-it}2\right) -2\pi i\left(\frac{it}2\right)=2\pi t


마지막 줄의 괄호 안은 원점에서의 residue. 값이 두배가 나왔는데 이건 특이점이 적분하는 구간 위에 있기 때문에 그렇다. 그래서 실제 값은 위 값의 절반.[각주:1] QED!


Sakurai 책에서는 맨 처음의 식이 이렇게 나와있다.


\lim_{t \to \infty} \frac{\sin^2(xt)}{\pi t x^2}=\delta(x)




2012.08.24 수정

찾아보니 절반으로 나누는 이유는 평균내려는 것이 아니라 '반원'을 따라 적분하기 때문. 복소함수 교재 찾아봤더니 조금 다른 이유로 절반으로 만들더라. 그리고 그 책에서는 함수(sine)를 나누기보다는 부분적인 함수(exp.)를 가지고 와서 원래 함수로 만들었다.




  1. 반으로 나누는 것은 특이점을 포함하는 contour와 특이점이 없는 contour 두 적분을 합쳐 평균내기 때문에 그렇다. [본문으로]
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  1. Favicon of http://zz BlogIcon zzz  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    처....천재이신가요?? 엊그제 제대하셨다매요 ..... 카이스트 다니시나요;;;

    2012.08.23 22:23 신고
  2. Favicon of http://zz BlogIcon zzz  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    ㅇ ㅏ... 그렇군요 ;; 무슨과에 몇학년이세요??

    2012.08.24 21:17 신고
  3. Favicon of http://chew282.wordpress.com BlogIcon Donnie  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    오랜만에 놀러왔더니 더욱 알아보기 힘든 블로그가 되어있군요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

    2012.08.26 14:53 신고

Q.
한 쌍둥이 형제가 있습니다. 그 중 형은 성격이 꼬일대로 꼬인지라 어떤 말을 들으면 그 반대로 이해하고, 거기에 대해 반대로 대답합니다. 그에 반해 동생은 곧은 성격의 소유주라서 어떤 말을 들으면 거기에 대해 참으로만 대답합니다. 이 형제를 구분할 방법은 존재할까요?



각종 난감한 머리쓰는 문제를 내던 선임들을 한방에 잠재운 문제. 조금은 유명할 것 같은데...
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  1. Favicon of http://cjackal.tistory.com BlogIcon jackal_anu  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    둘 중 한 사람에게만 참이고 다른 한 사람에게는 거짓인 명제를 물어보면 되겠죠 ㅎㅎ

    2011.01.31 11:25 신고
  2. Freiheit  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    당신은 거짓말만 합니까? 라고 물어보는 건가요?ㅎㅎ
    근데 도대체 어떤곳에서 선임들이 머리쓰는 문제를 물어보는 거죠??ㅎ

    2011.01.31 12:27 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2011.01.31 20:53 신고  댓글주소  수정/삭제

      그것도 답이 되죠. 제가 봤던 답은 "당신은 항상 참만 말합니까?" 였지만...
      선임들은 공군 커뮤니티에서 그런 문제를 얻어오나봐요. 전 아직 컴퓨터 다룰 짬이 안 되어서 -_-;;;

  3. Favicon of http://cjackal.tistory.com BlogIcon jackal_anu  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아니면 '당신은 형입니까'라고 물어봐도 되겠죠 ㅎㅎ 뭐 다 같은 말이지만요. 두 형제의 차이에 대한 자세한 정보가 있다면 가능한 답이 더 늘어나겠죠.

    2011.01.31 22:06 신고

어떤 n개의 자유도를 가진 scalar 함수 G가 있고, 이 값을 극대화하고 싶다. 물론 그냥 극대화하고 싶다면 gradient가 0이 되는 지점을 찾으면 된다.

\text{To find the maximum of }G=G(x_1,\cdots,x_n)\\\text{Find }(\chi_1,\cdots,\chi_n) \text{ where } \nabla G=0

하지만 상황은 그리 녹녹치가 않다. 대부분의 경우 우리가 취할 수 있는 위치는 제한되어 있기 때문이다. 예를 들어서 어떤 함수 R=0을 항상 만족해야 한다거나 말이다.

\text{But }R=R(x_1,\cdots,x_n)\text{must satisfy the relation }R=0

계산이 좀 귀찮아졌다. 일단은 변수의 개수를 두개로 줄이자. 우선은 완전미분에 대해 생각해보자. 제한조건을 만족하는 상황대로 조금 움직인다면 R의 변화량은 항등적으로 0이어야 한다. 왜? 상수값이니 말이다.

\text{To handle the problem, let }n=2\\\text{The exact differential of }R \text{ becomes}\\dR=\frac{\partial R}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial R}{\partial x_2}dx_2\\\text{when infinitesimal movement does not violate the requirement;}\\dR=0

그리고 편미분량이 취해지는 위치에서 G가 극대/극소값을 취하고 있다면 dR=0를 만족하는 조건 하에서 dG또한 0이어야 한다. 왜냐하면 극대/극소이기 때문이다.

\text{When the function }G\text{ takes the extremum at the point}\\\text{The exact differential of }G \text{ also satisfies}\\dG=\frac{\partial G}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial G}{\partial x_2}dx_2=0\\\text{under the condition that }dR=0

그런데 dR=0이므로 두 자유도 중 하나는 다른 하나에 종속되게 되어 다음과 같이 이 방정식을 풀 수도 있다.

\frac{\partial R}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial R}{\partial x_2}dx_2=0\\\therefore dx_1=-\frac{\frac{\partial R}{\partial x_2}}{\frac{\partial R}{\partial x_1}}dx_2\\\therefore dG=\frac{\partial G}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial G}{\partial x_2}dx_2\\=\left[-\frac{\partial G}{\partial x_1}\frac{\frac{\partial R}{\partial x_2}}{\frac{\partial R}{\partial x_1}}+\frac{\partial G}{\partial x_2}\right]dx_2\\=0\\\text{However, we are free to choose } dx_2 \text{, which implies}\\-\frac{\partial G}{\partial x_1}\frac{\frac{\partial R}{\partial x_2}}{\frac{\partial R}{\partial x_1}}+\frac{\partial G}{\partial x_2}=0

하지만 다른 방법은 없을까? 상수 alpha를 도입해 보자.

dR=0, dG=0\\\therefore dR-\alpha dG\\=\left[\frac{\partial R}{\partial x_1}-\alpha\frac{\partial G}{\partial x_1}\right]dx_1\\+\left[\frac{\partial R}{\partial x_2}-\alpha\frac{\partial G}{\partial x_2}\right]dx_2\\=0

물론 첫번째 변수의 미소변화량은 아직 두번째 변수의 미소변화량에 종속되어 있다.

\text{However, as the restriction is still not removed,}\\\frac{\partial R}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial R}{\partial x_2}dx_2=0\\\therefore dx_1=-\frac{\frac{\partial R}{\partial x_2}}{\frac{\partial R}{\partial x_1}}dx_2

그러므로 우리는 아직 두번째 변수의 미소변화량을 마음대로 변화시킬 수 있다.

\text{Therefore under this restriction, we can freely choose }dx_2\\\frac{\partial R}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial R}{\partial x_2}dx_2=0

그런데 만약 상수 alpha를 잘 잡아서 다음 값이 0이 된다고 가정해보자.

\text{Assume we choose }\alpha\text{ so that}\\\frac{\partial R}{\partial x_1}-\alpha\frac{\partial G}{\partial x_1}=0\\\text{Then }dR-\alpha dG =0 \text{ reduces to}\\\left[\frac{\partial R}{\partial x_2}-\alpha\frac{\partial G}{\partial x_2}\right]dx_2=0\\\text{As we are free to choose }dx_2 \text{, we must conclude that}\\\frac{\partial R}{\partial x_2}-\alpha\frac{\partial G}{\partial x_2}\text{ must be zero as well}

라그랑주 승수법의 원리가 여기에 있다. 대략적인 논의는 여기까지. 변수 2개에서 n개로, 제한조건 1개에서 m개로의 확장은 안 해도 되겠지...
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  1. Yeoni  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저기.... 한국말로 이해못하겠어서 그런데 영어로 설명좀해주시면 안돼요?ㅠㅠ

    2013.11.12 15:00 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2013.11.12 23:57 신고  댓글주소  수정/삭제

      어느 부분이 영어가 필요하신지요? 완전미분은 exact differential, 미소변화량은 infinitesimal change입니다.

      책이 필요하시다면 이 논의는 Reif 열역학 책의 부록에 있는 논의를 그대로 가져온 것이라고 말씀드립니다.

  2. 공돌이  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    질문 좀 해도 될까요?
    마지막에서 dx_2를 자유롭게 선택할 수 있다는 점에서 어떻게 '마지막 식이 0이 된다'는 결론을 이끌 수 있는 건가요?

    2013.12.05 00:20 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2013.12.05 19:31 신고  댓글주소  수정/삭제

      '한 수 a에 임의의 수 b를 곱했을 때 항상 a*b=0 이라면 a는 0이어야 한다'라는 명제는 받아들이실 수 있으시죠?

      여기에 b를 dx_2로 보고 a를 그 앞의 항으로 보시면 됩니다.

  3. Favicon of http://kipid.tistory.com BlogIcon kipid  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제가 정리한 Lagrange Multiplier Formalism (라그랑지 승수법, 최적화). Complex variable이 들어간 경우를 다룬것이긴한데.. 접근 방법은 약간은 다른.. 참고해 보세요.

    // 링크가 바껴서 수정.

    http://kipid.tistory.com/entry/Method-of-Lagrange-multipliers

    http://kipid.tistory.com/entry/Optimization-with-the-Method-of-Lagrange-multipliers

    2014.12.27 12:05 신고
  4. 질문드립니다  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    만약 상수 alpha를 잘 잡아서 다음 값이 0이 된다고 가정해보자.
    -> 이 문제 이외에도 g(x,x',t) 와 같은 형식의 식과 제약조건이 있을 때 alpha 를 분모가 0이 되는 등의 이유로 잘 잡을 수 없다면, lagrange multiplier method 를 사용 할 수 없다 라고 생각 하는게 맞는지 궁금하여 질문 드립니다.

    2017.02.20 11:59 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2017.02.20 20:39 신고  댓글주소  수정/삭제

      제약조건을 만족하는 점들이 변곡점이거나(gradient가 사라지는 점들이 되겠죠) 매끄러운 곡면이 아니라면(제약조건이 min(G1,G2)와 같은 꼴로 주어지는 경우) 위와 같은 방식으로 계산했을 때 문제가 생길 수 있습니다. 이런 경우에는 'Lagrange multiplier를 사용할 수 없다'고 생각하기보다는 '문제를 잘 조정해서 Lagrange multiplier로 풀 수 있도록 만들어야 한다'로 보아야 합니다.

Feynman Lectures 3권의 21-6 소챕터는 The Meissner effect라는 제목을 가지고 있다. 마이즈너 효과라고 초전도체가 모든 자기장을 외부로 밀어내는(?) 현상을 말하는 것인데, 자기부상열차에 응용하려는 움직임도 있다. 하지만 이 챕터를 내가 끌어오는 것은 중간에 잘못된 설명이 있어서이다.

[...] Now the only way that \nabla^2\theta can be zero everywhere inside the lump of metal is for \theta to be a constant. [...]
-Feynman Lectures III, 21-9

어느 스칼라 함수의 라플라시안(Laplacian)이 항등적으로 0일 조건은 그 스칼라 함수가 상수일 때가 아니다. 먼저 가장 간단한 반례.

f(x,y)=e^y\cos x\\\nabla^2f=\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)f=0

물론 라플라시안이 0인 스칼라 함수는 이것 말고도 엄청나게 많다. 만약 위에서 사용된 금속 덩어리가 원통형이라면 다음과 같은 분포도 라플라시안이 0이 됨을 보일 수 있다. 보이는 계산은 다소 복잡하지만 말이다.

\theta(\rho,\phi,z)= J_1(\rho)\cos\phi\cosh z

J_1은 1종 베셀함수(Bessel function)에서 1차(order 1)인 경우이다. 수많은 공대생의 적 베셀함수가 등장하기는 했지만 용서하시길.(...) 그리고 위의 식은 원점 부근에서 발산하지 않기 때문에 충분히 사용 가능하다. 그렇다면 어째서 파인만이 저런 말을 한 것일까? 사실, 완전히 틀린 말은 아니다. 경계조건을 상수로 주면 라플라시안이 0이 되는 방법은 스칼라 함수가 상수인 경우밖에 없기 때문이다. 이 수학적인 특징은 정전기학(electrostatics)에서 정전차폐를 설명하는 근거가 된다.


정전차폐를 제대로 이용해먹는 사례

그렇다면 여기서 증명되어야 할 것은, 경계조건을 상수로 두어도 좋다는 주장이다. \theta는 상태함수의 위상이라 그 절대적인 값은 의미가 없어 임의의 지점에 임의의 값을 대응시켜 주는 것은 자유롭지만 문제는 그 자유도는 한 점에 국한된다는 것이다. 다시 한번 말하면, 금속 표면의 한 점에서 위상을 0으로 주었다고 금속 표면 전체의 위상이 0이라는 근거는 없다. 나는 파인만씨가 다음 식(21.19)만 만족하면 되기에 게이지 자유도(gauge freedom)를 이용해 \theta를 벡터포텐셜 A로 흡수시켰다고 추측할 뿐이다.

mv=\hbar\nabla\theta-q\bold A~~~~~~~~\text{(21.19)}
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  1. Favicon of http://hbar.tistory.com BlogIcon h-bar  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    파인만 읽다가 내공이 부족하여 때려 쳤는데 언제쯤 다시 봐야 될까요..

    2010.08.22 00:40 신고

Involute 곡선

Mathematics 2010.05.01 23:13
수학의 아름다움이라는 글에서 말했듯이 뉴턴 이전의 물리라는 이름을 붙일만한 학문(?)들은 정량적인 분석보다는 정성적인 분석이 주를 이루었다. 중학교 과학 교과과정에 나오는 4원소설과 같은 것들 말이다. 따라서 전통적인(?) 자연과학은 숫자를 자주 사용하는 현대보다는 기하학과 같이 보다 추상적인 학문이었다고 할 수 있다.[각주:1] 오늘은 그래서 기하학 이야기를 조금 해 보자.

전에 낸 퀴즈의 답은 involute 곡선이다. 정확히는 원의 involute 곡선이 된다. 만드는 방법은 다음과 같다. 먼저 원에 실을 팽팽하게 감아둔다. 그 다음 실의 끝에 펜을 연결하고 실을 팽팽하게 당긴 상태로 실을 푼다. 그러면 펜이 그리는 곡선이 involute 곡선이 된다.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/88/Animated_involute_of_circle.gif
위키백과에서 가져왔다. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Animated_involute_of_circle.gif

팽팽하게 잡아당겨진 실의 끝은 실과는 항상 수직하게 움직일 수 밖에 없다. 원에 감긴 실을 잡아당긴 채로 풀게 되면 풀려진 실은 원의 접선의 일부가 되고, 따라서 이렇게 그리는 곡선은 원의 어떤 접선을 잡아도 접점에서는 항상 수직하다.

왜 이 곡선이 중요한가는 이 곡선이 원의 어떤 접선을 가져와도 항상 수직하다는 특징 때문이다. 이론적으로 어떤 접촉면에서 마찰을 제외한 모든 힘은 면에 수직하게만 주어진다. 따라서 원의 접선 방향을 따라 힘을 전달하고 싶다면, 원 위에 이 곡선을 기반으로 한 곡면을 만들어 밀어주면 되는 것이다. 기어에 이 곡선이 주로 사용되는 이유이다.[각주:2]

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Involute_wheel.gif
이번에도 위키백과. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Involute_wheel.gif

잘 보면 힘이 전달되고 있는 파란선과 두 기어가 접촉하는 면이 항상 수직한 것을 볼 수 있다.

수학은 그리 멀리 떨어진 곳에 있는게 아니다. 단지 눈이 좋지 못해 못 찾아내고 있을 뿐이다.
  1. 물론 숫자 자체도 추상적인 것이긴 하지만, 추상적인 정도를 따진다면 기하학이 더 추상적이지 않을까? 대수는 논외로... [본문으로]
  2. 위키백과 항목을 보다보니 이 아이디어는 오일러(Euler)의 아이디어라고 한다. 오일러 이 사람은 안한게 뭐냐 -_- [본문으로]
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  1. Favicon of http://twitter.com/donnie___ BlogIcon Donnie  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    Euler이분 현대에 와선 슬랭에 발맞춰 Eula로 거듭나사 소프트웨어를 창시하셨죠.

    2010.05.03 11:45 신고
  2. Favicon of http://hbar.tistory.com BlogIcon h-bar  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    오일러씨는 워낙에 천재이신지라.. 어딜 보던등장하던데..

    2010.05.03 15:01 신고
  3. Favicon of http://cjackal.tistory.com BlogIcon jackal_anu  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    시험지에 어떤 사람이 발견한 정리나 사실이 있을 때, 그 사람 이름이 기억이 안난다면 적어야 할 이름 Best 3 : 오일러, 가우스, 교수님 이름

    2010.05.03 17:02 신고
  4. Favicon of http://blog.naver.com/dwhuh2002 BlogIcon Joe군  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    교수님이라니 어얽
    뭔가 이거 멋진데요
    저 기어는 효율이 얼마나 더 좋을까요

    2010.06.27 01:13 신고
    • Favicon of http://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.06.27 01:19 신고  댓글주소  수정/삭제

      사실상 표준기어는 거의 전부 저 모형을 사용하기 때문에(웜기어 등은 제외) 효율을 말하는건 좀 에러가 있는듯 싶네요 -.-

프로젝트로 밤을 새면서 이 프로젝트와 관련이 있을지도 모르는 퀴즈 하나.
  
원 위의 한 점에서 시작하는 곡선이 원과 만나는 임의의 접선과 접점에서 항상 수직할 때, 이 곡선은 어떤 곡선이 되는가?

특정한 이름이 있고 엄청나게 자주 사용되는 곡선입니다. 물론 내가 기계과라 그렇지만 -_-

해답은 내일.
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  1. Favicon of http://twitter.com/donnie___ BlogIcon Donnie  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    정답 involute curve 아닌가요? 낄낄

    2010.05.03 11:33 신고



Nature by Numbers from Cristóbal Vila on Vimeo.



몇몇은 새로 보기도 하고 몇몇은 이렇게 보니까 이해되기도 하고...

조금은 다른 이야기지만, 우리가 일반적으로 아는 것과는 달리 자연현상에 수학을 도입했던 것은 뉴턴이 처음이 아니라 고대 그리스까지 거슬러 올라간다고 한다. 그때는 4원소설이 지배하던 시기였는데, 각각의 원소마다 정다면체 하나씩을 배정하고(그때까지만 해도 정12면체는 발견이 안 되었다고 한다) 그 원소들이 움직이는 성질에 따라 자연을 설명하려고 했던 것이다.[각주:1] 실제로 아래 그림과 같이 신이 컴퍼스를 들고 있는 그림이 중세에도 있었다는 것은 이런 전통이 상당히 오래되었다는 것을 알 수 있다. 어떻게 보면 인간 추상능력의 최극단에 서 있는 수학이 자연을 기술하는데 사용되지 않는다는 것이 더 이상할지도 모른다.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4d/God_the_Geometer.jpg
http://en.wikipedia.org/wiki/File:God_the_Geometer.jpg

그러면 뉴턴이 한 일은 무엇인가? 뉴턴이 한 일은 자연현상을 설명하는데 수학적인 설명에서 그친 것이 아니라 '직접 숫자를 도입'한 것이다. 별 것 아닌 것처럼 보이지만 사실 여기에서 물리가 출발했다. 그리고 '숫자를 가지고 자연을 설명한다'는 아직도 물리라는 학문의 정의이다. 그런데 왜 수학을 이야기하다가 물리로 넘어온거지?
  1. Max Jammer, Concepts of Space. 책을 읽다 말은데다가 위치도 기억이 안 나는데 구글신은 15페이지라고 하신다. 찬양하라 구글! [본문으로]
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  1. Favicon of http://blog.naver.com/dwhuh2002 BlogIcon Joe군  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    영상좀멋진듯요

    2010.06.27 01:20 신고

Power set, again

Mathematics 2010.04.17 17:34

KP집합론이라는 녀석을 발견했다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Kripke–Platek_set_theory

이 녀석에서는 멱집합 공리를 가정하지 않는다고 한다. 유한집합에 대해서 멱집합을 멱집합 공리 없이 만들어내는 방법이 있는 것이 확실해 보인다.

글을 여기에서 끝내기에는 글이 너무 짧아 좀 그러니까 내가 시도한 방법을 공개한다.

1. Axiom of Existence, Axiom of Extensionality, Axiom of Pair, Axiom of Union, Axiom schema of Replacement를 가정. 모든 자연수에 대해 그 멱집합이 존재함을 보일 것이다. 어떤 집합의 크기가 자연수라면 당연히 자연수와 일대일 대응 관계가 존재하므로 그 관계를 이용해 멱집합의 모든 원소들을 바꾸어주면 땡.

2. 자연수는 일반적으로 통용되는 정의(0={}, 1={0}, 2={0,1}, ...)를 사용한다.

3. 다음 operation을 정의한다.

4. 수학적 귀납법만 남았다.
i. 0에 대해 멱집합이 존재한다.
ii. n에 대한 멱집합이 존재한다고 가정하자. n+1에 대한 멱집합은 다음과 같다.
(증명은 생략. 헤맬 독자들을 위해 간단히 설명하자면, 전 멱집합에 마지막으로 추가된 원소 하나씩 집어넣은 녀석들을 합집합 해주는 거다.)

5. 모든 유한집합에 대해서 멱집합은 공리 없이 존재합니다! 우왕ㅋ굳ㅋ

문제는 3번이다. 저게 존재한다는 것을 어떻게 보일 수 있으려나...
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