Dexter's story :: 적분놀이

2009. 12. 5. 01:04 Mathematics

적분놀이

Griffith 양자책은 수학적인 설명은 살짝 불친절한것 같다. 하긴, 양자역학 책인데(...)

오늘 살펴볼 적분.

$eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \pi$

Time dependent perturbation에 등장하는 적분이다.
먼저, 부분적분.

$eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\cos x \sin x}x dx - \left[\frac{\sin^2 x}x \right]_{-\infty}^\infty$

뒷항은 안드로메다로 날려버리고 나면(0이니까)

$eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\cos x \sin x}x dx$

그런데 잘 보면

$eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\cos x \sin x}x dx =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin 2x}x dx = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin y}y dy$

(y=2x) 이다. 이제 문제는 Dirichlet integral이다.

$eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin y}y dy = 2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}x dx = \pi$

Diriclet integral의 증명은 생략. 부분적분을 잘 꼬으면 Residue를 쓸 수 있을 것 같기도 한데....

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Posted by 덱스터

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