열역학 제 2 법칙과 엔트로피 증가의 법칙

2010/08/03 - 엔트로피 - 고전적인 정의

이제 어째서 제 2 법칙이 엔트로피가 생성된다는 법칙으로 이어지는지 살펴보자. 우선 전 글에서 우리가 확인한 두 가지 사항은 다음과 같다.

 

1. 카르노 기관을 뛰어넘는 효율을 갖는 기관은 없다.

2. 이상적인 과정만 존재하는 경우에는 
$$\oint\left(\frac{\delta Q}T\right)_{\text{ideal}}=0$$
이 성립하고, 그 값을 엔트로피의 변화량이라 정의할 수 있다.

이제 우리가 증명해야 할 것은 위의 두 가지 중간결론만 가지고 다음 결론을 이끌어내어야 한다는 것이다.

$$dS\ge\frac{\delta Q}{T}$$

이 말은 이렇게도 해석할 수 있다.

$$0=\oint dS\ge\oint\frac{\delta Q}{T} \\0\ge\oint\frac{\delta Q}{T}$$

이 결론을 확인하기 위해 임의의 실제과정 사이클을 생각하고, 그 사이클에서 흡열과정과 출열과정을 나누어보자. 편의상 흡열과정은 완전히 이상적이지만 출열과정이 실제과정이라고 하자. 그렇다면 열기관의 효율은 이상과정의 효율을 넘을 수 없으므로

$$\eta_\text{real}=1-\frac{Q_{l_\text{real}}}{Q_h}\le\eta_\text{ideal}=1-\frac{Q_{l_\text{ideal}}}{Q_h} \\\therefore Q_{l_\text{real}}\ge Q_{l_\text{ideal}}$$

라는 결론을 얻는다. 즉, 출열과정에서는 

$$\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{real/exo}\le\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{ideal/exo}$$

이 성립한다는 것이다.^[각주:1] 물론 아래에 T라는 함수가 붙기 때문에 저 적분이 항상 옳은가는 엄밀하게 증명되지 않았다. 하지만 적분경로를 나누어 각각 T가 일정하다고 볼 수 있는 미세한 구간으로 분할하면

$$\int\delta Q_\text{real/exo}\le\int\delta Q_\text{ideal/exo}\leftrightarrow \frac1T\int\delta Q_\text{real/exo}\le\frac1T\int\delta Q_\text{ideal/exo}\\\leftrightarrow \int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{real/exo}\le\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{ideal/exo}$$

이므로, 이 부등식은 어떤 적분경로를 택하더라도 성립한다고 할 수 있다. 비슷한 논의를 이용해 흡열과정에서도 같은 부등호가 성립함을 보일 수 있다.

$$eq=\eta_\text{real}=1-\frac{Q_l}{Q_{h_\text{real}}}\le\eta_\text{ideal}=1-\frac{Q_l}{Q_{h_\text{real}}} \\\therefore Q_{h_\text{real}}\le Q_{h_\text{ideal}} \\\therefore\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{real/endo}\le\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{ideal/endo}$$

그러므로 일반적으로

$$\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{ideal}\ge\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{real}$$

혹은 어떤 적분경로를 택하더라도 위의 부등식이 성립해야 하기 때문에

$$\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{ideal}\ge\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{real}$$

이 성립한다. 맨 처음에 증명하고자 했던 식의 우변은 이상적인 과정과 실제 과정을 전부 포함하므로 이렇게 증명은 완료되었다.

$$dS\ge\frac{\delta Q}{T}$$

 

 

 

 

---

훈련소에서 없는 기억을 되살려가며 해낸 증명인데^[각주:2], 배울 때에는 조금 다르게 배웠었던 것으로 기억한다. 나중에 기회가 되면 다시 찾아봐야지 뭐.

1. 적분에서는 출열과정의 열이 음수로 계산된다. 효율을 따질 때에는 방출된 열의 절대값만을 따졌으므로 부등호가 반전된다. [본문으로]
2. 첫 주인 가입교 기간 동안에는 할 일이 없다. [본문으로]