2020. 11. 30. 06:54 Mathematics
A soft cut-off regulator
This series is divergent, therefore we may be able to do something with it.
- Oliver Heaviside (quoted by Kline)
양자장론 계산을 하다 보면 발산하는 급수를 다루기 마련이다. 예컨대 다음과 같은 경우.
∞∑n=0n=0+1+2+⋯=?
많은 끈이론 책에서는 Zeta function regularisation을 이용해서 이 값을 −112로 고정한다. 예외(?)라면 그냥 이 합을 a란 변수로 두고 target space Lorentz algebra를 이용해서 a=−112로 고정하는 GSW 정도랄까. 물론 Terence Tao의 블로그 글에서 볼 수 있듯 발산하는 급수를 말이 되게 하는 방법에는 cut-off function c(n;Λ)을 도입해서 cut-off independent한 부분을 읽어내는 방법 또한 존재하며, 그 방법으로 구하는 급수의 값은 위의 경우 −112가 되기는 한다.
∞∑n=0nc(n;Λ)=−112+O(Λ2)
cut-off function은 Λ보다 작은 n은 1로 더하고, Λ보다 큰 n은 적당히 누르는 함수로 적당히 택하면 된다.
c(n;Λ)={1n≪Λ0n≫Λ
이 방법으로 string worldsheet의 zero point energy를 계산하는 책이 Polchinski였던 것으로 기억하고 있다.
그렇다면 여기서 문제. "어떤 cut-off function이 유용할까?". 흔히 선택하는 regulator에는 Gaussian이나 exponential이 있는데, 내가 개인적으로 선호하는 cut-off function은 다음과 같이 생겼다.
cΛ,m(n)=1−e−(Λ/n)2m
이 regulator는 발산하는 급수의 argument가 적당히 작은 크기로 발산해야만 cut-off의 역할을 수행할 수 있다는 단점이 있기는 하지만, 그 단점을 무시하는 어마어마한(?) 장점이 추가로 있다. n을 연속변수 x로 바꾸었을 때 x=0이나 x=∞에서의 미분값이 항상 0이라는 것.
∀k≥1,c(k)Λ,m(0)=c(k)Λ,m(∞)=0
위 성질을 보면 알겠지만 실변수해석학에서 해석적이지 않은 함수의 실례로 이용되는 함수를 응용한 것이다. 위의 cut-off function을 도입하면 Euler-Maclaurin 공식을 이용해 계산하는 발산급수를 다음과 같이 정리할 수 있다.
∞∑n=0f(n)cΛ,p(n)=∫∞0f(x)cΛ,p(x)dx+f(0)2−∞∑k=1B2kf(2k−1)(0)(2k)!
구체적인 사례로 ∑nm을 계산하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
∞∑n=0nmcΛ,p(n)=Rm+Λm+1m+1Γ(1−m+12p)Rm=−∞∑k=1B2kf(2k−1)(0)(2k)!={−Bm+1m+1m odd0m even
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