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Dirac delta distribution은 다음과 같은 함수열(sequence of functions)의 극한으로도 볼 수 있다. Fermi's golden rule을 증명할 때 필요한 Dirac delta의 representation이기도 하다.

δ(x)=1πlim

위 함수열의 극한을 이용하기 위해서는 다음 적분을 증명해야 한다.

\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2(ax)}{ax^2} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2x}{x^2} dx = \pi

위 적분은 어떻게 증명하면 좋을까.

 

다음 푸리에 변환을 생각하자.

F(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2x}{x^2} e^{isx} dx

우리는 F(s=0) = \pi를 증명하길 원하며, Riemann-Lebesgue 보조정리에 의해 F(s \to \pm \infty) = 0이란 경계조건을 알고있다. 이제 F''(s)를 직접 계산하자.

F''(s) = - \int \sin^2x e^{isx} dx = \frac{\pi}{2} (\delta(s+2) - 2 \delta(s) + \delta(s-2))

위 식을 s에 대해 두번 적분하면서 경계조건 F^{(n)} (s \to \pm \infty) = 0을 넣어주면 다음과 같은 결과를 얻는다.

F(s) = \left\{ \begin{aligned} & 0 && |s| \ge 2 \\ & \frac{\pi}{2}(2 - |s|) && |s| \le 2 \end{aligned} \right.

따라서 F(s=0) = \pi로 증명완료.

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