2020. 3. 26. 01:00 Mathematics
Integral for Dirac delta
Dirac delta distribution은 다음과 같은 함수열(sequence of functions)의 극한으로도 볼 수 있다. Fermi's golden rule을 증명할 때 필요한 Dirac delta의 representation이기도 하다.
δ(x)=1πlima→∞sin2(ax)ax2
위 함수열의 극한을 이용하기 위해서는 다음 적분을 증명해야 한다.
∫+∞−∞sin2(ax)ax2dx=∫+∞−∞sin2xx2dx=π
위 적분은 어떻게 증명하면 좋을까.
다음 푸리에 변환을 생각하자.
F(s)=∫+∞−∞sin2xx2eisxdx
우리는 F(s=0)=π를 증명하길 원하며, Riemann-Lebesgue 보조정리에 의해 F(s→±∞)=0이란 경계조건을 알고있다. 이제 F″(s)를 직접 계산하자.
F″(s)=−∫sin2xeisxdx=π2(δ(s+2)−2δ(s)+δ(s−2))
위 식을 s에 대해 두번 적분하면서 경계조건 F(n)(s→±∞)=0을 넣어주면 다음과 같은 결과를 얻는다.
F(s)={0|s|≥2π2(2−|s|)|s|≤2
따라서 F(s=0)=π로 증명완료.
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