선형미분방정식과 선형대수학 (I) : Green's function

Physicists know they can approximate everything by harmonic oscillators, though.

- R. Chapling(https://rc476.user.srcf.net/asymptoticmethods/am_notes.pdf)

최근 논문을 쓰며 망각의 늪(?)에 방치해두었던 미분방정식에 대한 지식을 다시 되살려야 할 필요가 있어서 간단하게 작성해보는 시리즈. Green's function과 Sturm-Liouville 문제에 기회가 되면 특수함수와 Lie군을 다뤄보고 싶은데 마지막 항목은 초기하함수와 SL(2,R)군 사이의 관계에 대해서는 공부해야 할 필요가 있어서 할 수 있을지 모르겠다. 언제나(?) 그렇듯 미분방정식은 2계미분방정식만 고려할 생각.

 

어차피 편미분방정식이라고 해서 개념적으로 바뀌는 것은 없으니 상미분방정식만 생각하기로 하자. 우선은 homogeneous equation을 생각하기로 한다.

\[ \left[p(x) \frac{d^2}{dx^2} + q(x) \frac{d}{dx} + r(x) \right] f(x) = 0 \]

일반적으로 이 방정식의 해는 둘로 주어지며, 두 해를 각각 $f_1(x)$과 $f_2(x)$라고 부르기로 하자. 둘 중 하나만 알고 있을 때 다른 하나를 구하는 방법은 Kreyzig 공학수학에 나와 있을테니^[각주:1] 두 해를 전부 알고 있다고 가정해도 무리는 없을 것이다.

 

homogeneous equation의 특징은 두 해 $f_1(x)$와 $f_2(x)$에 대해 두 해의 임의의 선형조합 $\alpha f_1 + \beta f_2$ 또한 homogeneous equation을 만족한다는 것이다. 선형미분방정식이 선형대수학을 만나는 지점이다. 그래서 위의 방정식을 다음과 같이 선형연산자 $\mathcal{L}$을 도입하여 선형연산자 방정식의 모양으로 바꿔 쓰기도 한다.

\[ \mathcal{L} = \left[ p(x) \frac{d^2}{dx^2} + q(x) \frac{d}{dx} + r(x) \right] \Rightarrow \mathcal{L} f(x) = 0 \]

많은 경우 homogeneous solution의 계수 $\alpha$와 $\beta$는 초기조건으로 결정하며^[각주:2], 초기조건은 함수 $f(x)$의 $x=x_0$에서 함수값 $f(x_0)$와 1계미분값 $\frac{df}{dx}(x_0)$으로 주어진다. 이 문제는 다음과 같은 행렬방정식으로 나타낼 수 있다.

\[ \begin{pmatrix} f(x_0) \\ \frac{df}{dx}(x_0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_1(x_0) & f_2(x_0) \\ \frac{df_1}{dx}(x_0) & \frac{df_2}{dx}(x_0) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \]

위 식의 우변에 등장하는 행렬을 Wronskian matrix라고 부르며, 이 행렬의 행렬식(determinant)을 Wronskian이라고 한다. 일반적으로 Wronskian을 계산해 0이 되지 않는 것을 확인하는 것을 '구한 homogeneous solution들이 선형독립인가'를 묻는 질문이라고 말하는데, 위 행렬방정식 꼴을 보면 다음의 동등한 질문으로 바꿔 쓸 수 있음을 알 수 있다. "우변의 행렬의 역행렬을 구해 일반적인 초기조건 $f(x_0)$와 $\frac{df}{dx}(x_0)$를 만족하는 homogeneous solution을 찾을 수 있는가?"

 

그렇다면 선형대수학의 관점을 inhomogeneous equation에 어떻게 적용할 수 있을까? 일단 inhomogeneous equation을 적어보자.

\[ \left[p(x) \frac{d^2}{dx^2} + q(x) \frac{d}{dx} + r(x) \right] f_p(x) = s(x) \Rightarrow \mathcal{L} f_p = s \]

위에서 $f_p(x)$는 particular solution이라고 하며, 일반적으로 위 방정식을 만족하는 해는 homogeneous solution을 포함한 꼴인 $f_p(x) + \alpha f_1(x) + \beta f_2(x)$으로 주어진다. 여기서 자유롭게 결정할 수 있는 계수인 $\alpha$와 $\beta$를 결정하는 기준은 경계조건이 된다. 경우에 따라 위 식의 $s(x)$를 source term이라고 부르는데, 보편적으로 쓰는 용어인지는 모르겠다.

 

Green's function method는 위 식의 우변을 다음과 같이 바꿔쓸 수 있다는 점을 이용한다^[각주:3].

\[ s(x) = \sum_{y} \delta(x,y) s(y) \]

일부러 Dirac delta $\delta(x,y) = \delta(x-y)$를 잘 쓰지 않는 꼴로 적어두었는데, 행렬을 적는 일반적인 방법과 유사성이 잘 드러나도록 하기 위한 조치이다^[각주:4]. 만약 미분연산자 $\mathcal{L}$의 역연산자 $\mathcal{L}^{-1}$가 존재한다고 한다면, inhomogeneous equation은 양변의 좌측에 $\mathcal{L}^{-1}$를 붙여 다음과 같이 적을 수 있다.

\[ f_p(x) = \sum_{y} \left[ \mathcal{L}^{-1} \delta(x,y) \right] s(y) = \sum_{y} G(x,y) s(y) \]

미분방정식의 풀이가 행렬곱(?)으로 바뀌는 셈^[각주:5]. 문제는 $G(x,y) = \mathcal{L}^{-1} \delta(x,y)$를 어떻게 구할 것이냐가 된다.

 

Green's function은 결국 다음 방정식을 푸는 문제이다.

\[ \mathcal{L} G(x,y) = \delta(x,y) \]

편의상 미분방정식을 푸는 구간을 $(a,b)$라고 하고, $a$에서의 경계조건을 만족하는 homogeneous solution을 $f_1$, $b$에서의 경계조건을 만족하는 해를 $f_2$라고 하자. $\delta(x,y)$는 $x \neq y$에서 0이기 때문에, $G(x,y)$는 대충 다음과 같은 모양을 취할 것으로 예상할 수 있다.

\[ G(x,y) \propto \left\{ \begin{aligned} f_1(x) && a \le x < y \\ f_2(x) && y < x \le b \end{aligned} \right. \]

혹은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

\[ G(x,y) = \left\{ \begin{aligned} f_1(x) g_1(y) && a \le x < y \\ f_2(x) g_2(y) && y < x \le b \end{aligned} \right. \]

이런 때 쓰기 위해 Heaviside step function이 있지만 위 꼴이 보다 다루기 쉬우니 일단은 이 꼴을 쓰기로 하자. Green's function $G(x,y)$는 $x$에 대한 2계미분에서 Dirac delta가 나와야 하기 때문에 $x$에 대해 연속적이어야 하므로^[각주:6], homogeneous solution들을 쌓아올리기 위해 도입하는 계수 $g_{1,2}(y)$는 다음 조건을 만족해야 한다.

\[ f_1(y) g_1(y) = f_2(y) g_2(y) \]

이제 이 Green's function에 대한 ansatz를 Green's function이 만족해야 하는 방정식에 집어넣어보자.

\[ \left[ \frac{d^2}{dx^2} + \frac{q(x)}{p(x)} \frac{d}{dx} + \frac{r(x)}{p(x)} \right] G(x,y) = \frac{\delta(x,y)}{p(x)} \]

Dirac delta가 들어간 방정식을 푸는 일반적인 방법은 양변에 Dirac delta의 support가 있는 neighbourhood를 적분하는 것이다.

\[ \int_{y-0^+}^{y+0^+} dx \left[ \frac{d^2}{dx^2} + \frac{q(x)}{p(x)} \frac{d}{dx} + \frac{r(x)}{p(x)} \right] G(x,y) = \int_{y-0^+}^{y+0^+} dx \frac{\delta(x,y)}{p(x)} \]

위 식을 계산하게 되면 다음과 같은 조건을 얻게 된다.

\[ \frac{d G(x = y + 0^+,y)}{dx} - \frac{d G(x = y - 0^+,y)}{dx} = f_2'(y) g_2(y) - f_1'(y) g_1(y) = \frac{1}{p(y)} \]

1계미분에 대한 적분은 Green's function이 연속적이라는 조건 때문에 사라진다. 위의 연속성 조건이랑 병렬로 놓고 보면 어디서 많이 본 것 같은 꼴이지 않은가? 두 조건을 행렬방정식으로 적어보자.

\[ \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{p(y)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_1(y) & f_2(y) \\ \frac{df_1}{dx}(y) & \frac{df_2}{dx}(y) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - g_1(y) \\ g_2(y) \end{pmatrix} \]

역행렬을 계산해서 $g_1$과 $g_2$를 풀면 다음과 같은 답을 얻는다.

\[ \begin{pmatrix} - g_1(y) \\ g_2(y) \end{pmatrix} = \frac{1}{Wr[f_1,f_2](y)} \begin{pmatrix} \frac{df_2}{dx}(y) & - f_2(y) \\ - \frac{df_1}{dx}(y) & f_1(y) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{p(y)} \end{pmatrix} = \frac{1}{p(y) Wr[f_1,f_2](y)} \begin{pmatrix} - f_2(y) \\ f_1(y) \end{pmatrix} \]

여기서 $Wr[f_1,f_2] = f_1 f_2' - f_2 f_1'$는 Wronskian이다. 결론적으로, Green's function은 다음과 같이 적을 수 있다.

\[ G(x,y) = \left\{ \begin{aligned} \frac{f_1(x) f_2(y)}{p(y) Wr[f_1,f_2](y)} && a \le x < y \\ \frac{f_2(x) f_1(y)}{p(y) Wr[f_1,f_2](y)} && y < x \le b \end{aligned} \right. \]

1. 아마 $f_2 (x) = u(x) f_1 (x)$꼴의 ansatz를 써서 $u(x)$에 대해 푸는 방법이었던 것 같다 [본문으로]
2. 경계조건으로 결정하기도 하지만 그쪽은 Sturm-Liouville 문제의 맥락에 어울린다. [본문으로]
3. 일반적으로 적분을 적는 곳에 합을 적어둔 것이 불편할 수 있는데, 적분과 합은 본질적으로 동일하다. [본문으로]
4. 또한 이렇게 쓰면 항등행렬(identity matrix)과 Dirac delta가 본질적으로는 같다는 사실이 매우 명확해진다. [본문으로]
5. 다만 이 방법이 작동하려면 $s(y)$가 "너무 크지 않다"는 조건이 필요하다. 보통 $L^1$ 조건(함수의 절대값을 전체 구간에서 적분한 값이 유한할 것)을 만족하면 문제는 없다고 생각하면 된다. [본문으로]
6. 전문적인 용어로 $x$에 대해 $C^0$. 만약 연속성이 없다면 1계미분에서 Dirac delta가 나오고 2계미분은 Dirac delta의 미분이 되어 우변을 만족할 수 없게 된다. [본문으로]