간단한 적분 트릭

'원 위의 임의의 두 점을 골랐을때의 거리의 기하평균'을 구할 일이 있어서 다음과 같은 적분을 할 일이 생겼다.

\[ \int_0^1 \log ( \sin \pi x ) dx \]

매스매티카에 돌려보면 이 적분의 값은 $ - \log 2 $라고 한다. 어째서인지 직접 계산해서 보일 수 있을 것만 같은 값이라서 적분을 이리 고치고 저리 고치는 삽질을 좀 하다가 직접 증명이 가능하다는 것을 확인하는데 성공했다. 생각보다는 간단한 트릭이었음.

우선 적분을 다음과 같은 꼴로 바꾼다.

\[ \int_0^1 \log ( \sin \pi x ) dx = 2 \int_0^{1/2} \log ( \sin \pi x ) dx = \int_0^1 \log ( \sin \frac{\pi x}{2} ) dx \]

이 적분은 이런 꼴로도 변환할 수 있다.

\[ \int_0^1 \log ( \sin \pi x ) dx = \int_0^1 \log ( 2 \sin \frac{\pi x}{2} \cos \frac{\pi x}{2} ) dx \]

로그를 분해한 후 코사인에 대한 적분에서 변수변환 $x \to 1-x$을 적용하면 다음과 같이 정리된다.

\[ \int_0^1 \log ( \sin \pi x ) dx = \log 2 + 2 \int_0^1 \log ( \sin \frac{\pi x}{2} ) dx \]

두 표현을 잘 정리하면 원하는 답을 얻는다.

\[ \therefore \int_0^1 \log ( \sin \pi x ) dx = - \log 2 \]