2017. 8. 9. 20:40 Mathematics
간단한 적분 트릭
'원 위의 임의의 두 점을 골랐을때의 거리의 기하평균'을 구할 일이 있어서 다음과 같은 적분을 할 일이 생겼다.
∫10log(sinπx)dx
매스매티카에 돌려보면 이 적분의 값은 −log2라고 한다. 어째서인지 직접 계산해서 보일 수 있을 것만 같은 값이라서 적분을 이리 고치고 저리 고치는 삽질을 좀 하다가 직접 증명이 가능하다는 것을 확인하는데 성공했다. 생각보다는 간단한 트릭이었음.
우선 적분을 다음과 같은 꼴로 바꾼다.
∫10log(sinπx)dx=2∫1/20log(sinπx)dx=∫10log(sinπx2)dx
이 적분은 이런 꼴로도 변환할 수 있다.
∫10log(sinπx)dx=∫10log(2sinπx2cosπx2)dx
로그를 분해한 후 코사인에 대한 적분에서 변수변환 x→1−x을 적용하면 다음과 같이 정리된다.
∫10log(sinπx)dx=log2+2∫10log(sinπx2)dx
두 표현을 잘 정리하면 원하는 답을 얻는다.
∴
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