2023. 7. 6. 23:40 Mathematics
Computing integrals using differential equations
어쩌다보니 다음 꼴의 적분을 할 일이 생겼다.
F(s)=∫∞0dxJ0(x)e−xs,s>0
여기서 J0(x)는 베셀함수. 적분 자체는 베셀함수의 라플라스 변환으로 볼 수 있다. Jackson 연습문제 풀다가 계산한 적분에 저 적분이 있어서 대충 (1+s2)−1/2랑 비슷한 꼴이겠거니 생각하고 있었는데, Mathematica에 돌려보니 그냥 저게 답이었다(...). 그렇다면 Mathematica 없이 저 적분을 하는 방법을 알아보기로 하자.
시작은 베셀함수의 미분방정식. 베셀함수는 다음과 같은 미분방정식에 의해 정의된다.
x2d2Jνdx2+xdJνdx+(x2−ν2)Jν=0
우리는 J0를 보고 있으니 ν=0으로 두고 x를 하나씩 떼어내면 된다.
xJ0″
이제 이 관계식을 이용해 F(s)가 만족하는 미분방정식을 적으면 된다. 예컨대 마지막 항은 다음과 같이 적을 수 있다.
\int dx x J_0 (x) e^{-xs} = - \frac{d}{ds} \int dx J_0 (x) e^{-xs} = - F(s)'
가운데 항은 라플라스 변환의 특징을 이용하면 된다.
\int dx J_0' e^{-xs} = \left. J_0 e^{-xs} \right|^\infty_0 - \int dx J_0 \frac{d}{dx} e^{-xs} = - J_0(0) + s F(s)
첫 항은 약간의 산수가 들어가기는 하지만 비슷한 방식으로 계산할 수 있다.
\int dx x J_0'' e^{-xs} = - \frac{d}{ds} \left[ \int dx J_0'' e^{-xs} \right] = - \frac{d}{ds} \left[ - J_0'(0) + s ( - J_0 (0) + s F(s) ) \right]
따라서 베셀방정식의 라플라스 변환을 정리하면 다음과 같다.
\left( J_0 (0) - \frac{d[s^2 F]}{ds} \right) + \left( - J_0 + s F \right) + \left( - F' \right) = - sF - (1 + s^2) F' = 0
위 방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다.
\frac{F'}{F} = \frac{d}{ds} \log(F) = - \frac{s}{1+s^2} = - \frac{1}{2} \frac{d}{ds} \log (1+s^2)
여기까지 쓰면 바로 답이 보이겠지만 F(s) = A (1+s^2)^{-1/2}로 결정된다. 이제 문제는 A를 결정하는 일. 경계조건은 F(s \to \infty) = 0과 F(s=0) = 1을 이용하면 된다. DLMF 10.22.41식의 베셀함수의 정규조건에서 따르는 성질.
\int_0^\infty dx J_\nu(x) = 1
이렇게 우리가 처음에 보이고 싶었던 적분을 계산할 수 있다.
F(s) = \frac{1}{\sqrt{1+s^2}} = \int_0^\infty dx J_0(x) e^{-xs}
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