2015. 11. 6. 00:30 Mathematics
Summing Combinations
어쩌다 보니 다음과 같은 합을 하게 되었다.
n∑m=0(4n4m)+(4n4m+1)
의외라면 의외인데, 이 합은 정확하게 계산할 수 있다. 이항전개를 적당히 잘 조합하면 구할 수 있기 때문.
(1+x)n=n∑m=0(nm)xm
위의 식에서 n을 4n으로 뻥튀기하고, x4=1이란 조건을 집어넣으면 다음 식을 얻는다.
x4=1⇒(1+x)4n=∑nm=0(4n4m)+(4n4m+1)x+(4n4m+2)x2+(4n4m+3)x3
우리 모두 x4=1의 답이 1,i,−1,−i라는 사실을 알고 있으므로, 다음과 같은 합을 생각해 볼 수 있다.
α(1+1)4n+β(1+i)4n+γ(1−1)4n+δ(1−i)4n
첫 식에 집어넣으면, 다음과 같은 조건이 필요하다는 것을 알 수 있다.
α+β+γ+δ=1α+iβ−γ−iδ=1α−β+γ−δ=0α−iβ−γ+iδ=0
이 이후를 푸는 것은 별로 어려운 일이 아니므로 여기까지만.α,β,γ,δ를 구한 뒤 합만 하면 된다. 4가 아닌 경우로 확장하는 것은 별로 어려운 일이 아니니 넘어가기로 하자.
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