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2015. 11. 6. 00:30 Mathematics

Summing Combinations

어쩌다 보니 다음과 같은 합을 하게 되었다.

nm=0(4n4m)+(4n4m+1)


의외라면 의외인데, 이 합은 정확하게 계산할 수 있다. 이항전개를 적당히 잘 조합하면 구할 수 있기 때문.

(1+x)n=nm=0(nm)xm


위의 식에서 n4n으로 뻥튀기하고, x4=1이란 조건을 집어넣으면 다음 식을 얻는다.


x4=1(1+x)4n=nm=0(4n4m)+(4n4m+1)x+(4n4m+2)x2+(4n4m+3)x3


우리 모두 x4=1의 답이 1,i,1,i라는 사실을 알고 있으므로, 다음과 같은 합을 생각해 볼 수 있다.

α(1+1)4n+β(1+i)4n+γ(11)4n+δ(1i)4n


첫 식에 집어넣으면, 다음과 같은 조건이 필요하다는 것을 알 수 있다.

α+β+γ+δ=1α+iβγiδ=1αβ+γδ=0αiβγ+iδ=0


이 이후를 푸는 것은 별로 어려운 일이 아니므로 여기까지만.α,β,γ,δ를 구한 뒤 합만 하면 된다. 4가 아닌 경우로 확장하는 것은 별로 어려운 일이 아니니 넘어가기로 하자.

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