행렬식의 섭동계산

섭동계산을 하다 보면 다음과 같이 작은 섭동항이 붙은 행렬의 행렬식을 계산할 일을 자주 마주하게 된다.

\[ \text{Det}(G_{ab} + \epsilon A_{ab}) \]

이 계산은 어떻게 하면 될까? 먼저 $G_{ab}$의 역행렬 $G^{ab}$를 정의해서 다음과 같이 쓰도록 하자.

\[ \text{Det}(G_{ab} + \epsilon A_{ab}) = [ \text{Det} (I_{a}^{~b} + \epsilon A_{a}^{~b}) ] \times [ \text{Det} G_{ab} ] \]

여기서 $A_{a}^{~b} := A_{ac} G^{cb}$로 정의한다. $A_{a}^{~b}$의 고유값들을 $\lambda_i$라 부르기로 한다면, 위 식은 다음과 같이 적을 수 있다.

\[ \text{Det} (I_{a}^{~b} + \epsilon A_{a}^{~b}) = \prod_i (1 + \epsilon \lambda_i) = 1 + \epsilon \sum_i \lambda_i + \epsilon^2 \sum_{i<j} \lambda_i \lambda_j + \cdots \]

이제부터는 매우 쉽다. 행렬 $A_{a}^{~b}$에 대해 다음 두 조건을 알고 있으므로, 이 두 조건으로부터 얻는 식을 잘 조합하기만 하면 된다.

\[ \text{Tr} A = \sum_i \lambda_i \,,\, \text{Tr} A^n = \sum_i \lambda_i^n \]

예컨대 $2 \sum_{i<j} \lambda_i \lambda_j = (\sum_i \lambda_i)^2 - \sum_i \lambda_i^2$이므로,

\[ \text{Det} (I + \epsilon A) = 1 + \epsilon \text{Tr} A + \epsilon^2 \frac{(\text{Tr} A)^2 - \text{Tr} A^2}{2} + \epsilon^3 \frac{(\text{Tr}A)^3 - 3 \text{Tr} A^2 \text{Tr} A +2 \text{Tr} A^3 }{6} + \cdots \]

와 같은 전개를 얻는다. 찾아보면 위와 같은 조합에 대해 뭔가 이름이 있을 법도 한데 귀찮은 관계로 생략.