2020. 7. 30. 01:23 Mathematics
행렬식의 섭동계산
섭동계산을 하다 보면 다음과 같이 작은 섭동항이 붙은 행렬의 행렬식을 계산할 일을 자주 마주하게 된다.
Det(Gab+ϵAab)
이 계산은 어떻게 하면 될까? 먼저 Gab의 역행렬 Gab를 정의해서 다음과 같이 쓰도록 하자.
Det(Gab+ϵAab)=[Det(I ba+ϵA ba)]×[DetGab]
여기서 A ba:=AacGcb로 정의한다. A ba의 고유값들을 λi라 부르기로 한다면, 위 식은 다음과 같이 적을 수 있다.
Det(I ba+ϵA ba)=∏i(1+ϵλi)=1+ϵ∑iλi+ϵ2∑i<jλiλj+⋯
이제부터는 매우 쉽다. 행렬 A ba에 대해 다음 두 조건을 알고 있으므로, 이 두 조건으로부터 얻는 식을 잘 조합하기만 하면 된다.
TrA=∑iλi,TrAn=∑iλni
예컨대 2∑i<jλiλj=(∑iλi)2−∑iλ2i이므로,
Det(I+ϵA)=1+ϵTrA+ϵ2(TrA)2−TrA22+ϵ3(TrA)3−3TrA2TrA+2TrA36+⋯
와 같은 전개를 얻는다. 찾아보면 위와 같은 조합에 대해 뭔가 이름이 있을 법도 한데 귀찮은 관계로 생략.
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