Processing math: 100%

섭동계산을 하다 보면 다음과 같이 작은 섭동항이 붙은 행렬의 행렬식을 계산할 일을 자주 마주하게 된다.

Det(Gab+ϵAab)

이 계산은 어떻게 하면 될까? 먼저 Gab의 역행렬 Gab를 정의해서 다음과 같이 쓰도록 하자.

Det(Gab+ϵAab)=[Det(I ba+ϵA ba)]×[DetGab]

여기서 A ba:=AacGcb로 정의한다. A ba의 고유값들을 λi라 부르기로 한다면, 위 식은 다음과 같이 적을 수 있다.

Det(I ba+ϵA ba)=i(1+ϵλi)=1+ϵiλi+ϵ2i<jλiλj+

이제부터는 매우 쉽다. 행렬 A ba에 대해 다음 두 조건을 알고 있으므로, 이 두 조건으로부터 얻는 식을 잘 조합하기만 하면 된다.

TrA=iλi,TrAn=iλni

예컨대 2i<jλiλj=(iλi)2iλ2i이므로,

Det(I+ϵA)=1+ϵTrA+ϵ2(TrA)2TrA22+ϵ3(TrA)33TrA2TrA+2TrA36+

와 같은 전개를 얻는다. 찾아보면 위와 같은 조합에 대해 뭔가 이름이 있을 법도 한데 귀찮은 관계로 생략.

'Mathematics' 카테고리의 다른 글

A soft cut-off regulator  (0) 2020.11.30
적분구간에 대한 섭동계산 취급법  (0) 2020.08.12
Integral for Dirac delta  (0) 2020.03.26
간단한 적분 트릭  (0) 2017.08.09
Summing Combinations  (0) 2015.11.06
Posted by 덱스터

블로그 이미지
A theorist takes on the world
덱스터
Yesterday
Today
Total

달력

 « |  » 2025.4
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30

최근에 올라온 글

최근에 달린 댓글

글 보관함