Dexter's story

최근 수학자들과 작업할 일이 생기면서 양자장론의 형식적인 부분을 들여다볼 일이 생겼는데, 그러다보니 양자장론 한창 공부할 때 조금 보고는 때려친 axiomatic QFT 관련 지식들이 조금 도움이 되고 있다. Wightman function이라던가 point splitting이라던가 normal ordering이라던가 등등...^[각주:1]

이 와중에 나를 한동안 고민하게 만든 문제가 있었으니 Feynman diagram 계산에서 tadpole diagram들의 존재.^[각주:2] Feynman diagram은 S-matrix의 Dyson series 전개를 도표로서 재해석한 것이고, Dyson series는 interaction Hamiltonian에 대한 무한급수로 주어진다. 여기서 문제가 되는 부분은 우리가 양자장론을 처음 배울 때 일반적으로 interaction Hamiltonian을 양자장의 normal-ordered product로 생각한다는 것과, Feynman diagram을 그릴 때 tadpole이 있는 diagram을 제거하지 않는다는 것이다.

Feynman diagram에서 vertex는 interaction Hamiltonian에 들어있는 항들 중 하나에 대응된다. 따라서, 이미 interaction Hamiltonian이 normal-ordered product로 주어졌다면 같은 vertex에서 시작해서 끝나는 tadpole은 존재해서는 안된다. 해당 tadpole에 대응되는 contribution이 이미 normal ordering에 의해 제거되었기 때문. Tadpole은 그 spacetime point에서 생성된 입자가 다시 그 spacetime point에서 제거되는 과정에 대응되는데, normal-ordered product로 주어진 operator로서는 이런 과정이 있을 수 없다. 모든 annihilation operator가 우측으로 옮겨졌기 때문.^[각주:3]

가장 단순한 해결방법은 Dyson series에 들어가는 interaction Hamiltonian이 normal-ordered product가 아니라고 선언하는 것이다. 그렇다면 당연히 따라와야 하는 질문은 '그렇게 고생해서 normal ordering을 정의했는데, 왜 실제 계산에서는 사용하지 않는가?'이다. 여기에 대해서는 Wilsonian EFT가 답을 줄 수 있다.

현대적인 관점에서 모든 양자장론은 (암묵적으로 UV cutoff를 가정하는) 유효장론이다. UV cutoff가 존재하지 않는 등각장론(CFT)이 있지 않냐고 반문할 수 있으나 등각장론은 UV cutoff를 임의로 높게 설정해도 수학적인 문제가 생기지 않는 유효장론으로 여기는 것이 타당하다. Scale-free한 임계현상이 등각장론으로 기술된다고 해서 그 임계현상을 보이는 물리계를 무한히 확대해도 등각장론으로 기술할 수 있는 것은 아니지 않은가? 헬륨-4의 람다점을 기술하는 등각장론을 원자핵 스케일인 1fm대에도 적용할 수 있다고 말하고 다니려면 꽤 많은 용기가 필요할 것이다.

위 관점을 도입할 경우 우리가 실제로 S-matrix를 계산하기 위해 그리는 Feynman diagram에 사용되는 vertex rule들은 (bare action에서 UV 자유도를 적분하여 제거(integrate-out)해서 얻은) Wilsonian action에서 유래한 것으로 봐야 한다. 다르게 이야기한다면, 우리가 Feynman diagram에 집어넣은 vertex는 renormalised interaction Hamiltonian에 대응되며, 이 vertex를 확대해보면 내부에서 UV 자유도가 bare interaction Hamiltonian에 대응되는 vertex를 갖는 loop을 이루며 돌고 있는 것으로 보아야 한다는 것이다. 도표를 이용해 계산할 경우 bare interaction Hamiltonian으로부터 renormalised interaction Hamiltonian이 구해질 때 normal ordering에 대응되는 과정이 없으므로, Dyson series를 normal ordered된 bare interaction Hamiltonian으로부터 시작했다고 하더라도 실제 계산에 대응되는 renormalised interaction Hamiltonian은 더 이상 normal-ordered product가 아니게 된다. Wilsonian EFT를 가정할 경우 interaction Hamiltonian을 normal-ordered product로 가정하는 것이 오히려 불편하며, normal ordering을 가정하지 않으므로 자연스럽게 tadpole diagram을 계산에 추가하게 되는 것이다.

트위터에서 여러가지로 '아니 저렇게 반응할 일인가?' 싶을 때가 많기는 하지만 흥미로운 말을 남길 때가 많아서 계속 타임라인에 두고 있는 <블랙 스완>의 저자 Nasim Nicholas Taleb(@nntaleb)의 말 중 간간이 생각하게 되는 말이 있다.

"나는 자유롭기 때문에 내 의견에 목소리를 낼 수 있는 것이 아니다; 나는 어떤 댓가를 치르더라도 내 의견을 감추지 않기 때문에 자유로운 것이다."

윤석열 대통령 퇴진을 위한 해외 교수 및 연구진의 시국선언문 서명

(첫?) D-day의 새벽이 밝아온다.

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기억은 풍화되고, 풍화된 기억은 기만한다. 어떤 기억이든 망각의 심연으로 침잠시키는 시간의 거대한 힘에 대해 미력하나마 저항했던 흔적을 기록이라고도 부를 수 있을 것이다.

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화요일(3일)은 오후 4시쯤 이륙하는 베를린-암스터담(환승)-타이페이행 비행기를 타기로 예정되어 있는 날이었다. 거의 끝나긴 했지만 계산이 다소 미흡하다(유효숫자 자릿수 부족)고 생각되어 조금 더 계산을 추가해보자고 합의하고 전 날 돌려놓고 퇴근했던 계산 코드의 결과를 확인할 겸 점심을 먹기 위해 연구소에 출근했고, 계산이 워낙 무거워서인지 밤새 새로운 계산 결과는 없었다. 1시 기차를 타고 공항으로 갈 계획이었기 때문에 평소보다 조금 일찍 점심을 먹었고, 점심을 먹은 뒤에는 아직 점심을 먹고 있는 연구소 동료들에게 "happy new year"란 인사를 하며 (1월 초에 복귀 예정이었다) 점심 트레이를 반납하고는, 기차역으로 떠나기 직전 아침에 이사 관련 서류를 처리하느라 연구소에 없었던 공동연구자가 점심을 먹고 있는 것을 보고는 논문을 언제 arXiv에 업로드할지 짧게 논의하고 여행용 캐리어 가방을 가지러 기숙사로 출발했다. 역시나 신뢰와 정시의 Deutsche Bahn답게 기차역의 표 인증기(validator)는 고장나 있었고, 평소와는 달리 검표원은 인증을 못 한 표를 보고는 그냥 넘어갔다 (보통은 인증이 안 된 표에 볼펜으로 시간을 적어 수기로 인증한다).

공항에는 1시 반 조금 넘어 도착했다. 표를 발권하고 짐을 부치고 보안검색대를 지나 트위터/블루스카이 타임라인을 연 것은 2시 49분. 비상 계엄이 선포되어 있었다.

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타임라인을 계속 내려 새 소식을 업데이트(doomscrolling)하다가 비행기에 탑승했다. 비행기의 맨 뒷 좌석에 앉았는데, 흥미롭게도 왼쪽 대각선 앞에는 스마트폰으로 계엄령 관련 뉴스를 보고 있던 두 명의 한국인들이 있었다. 한국어로 말을 걸 생각은 안 했지만.

암스터담에 도착했을땐 한국의 계엄령 관련 안부를 묻는 대만 공동연구자의 Skype 메시지가 와 있었다. 암스터담에 방금 내렸으며 상황을 주시하고 있다는 회신을 보낸 후에는 다시 doomscrolling.

다행히 출국 심사를 지나 비행기를 기다리고 있으니 국회에서 계엄령 해제를 만장일치로 가결했다는 소식이 있었다. 물론 계엄령 해제는 행정부의 업무이므로 한동안 긴장상태가 계속되었고, 비행기를 탑승하고 대기하던 도중 10분 후 대통령 담화가 있을 것이란 소식을 듣게 되었다. 곧 이륙이기에 폰을 비행기 모드로 전환해야 했다.

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암흑을 비행하는 속에서 비행기 wifi를 쓸 수 없나 찾아보다가 KLM에서는 메신저용 wifi는 무료로 제공한다는 것을 알게 되었다. 카카오톡을 열었고, 계엄령이 해제되었다는 소식을 들을 수 있었다. 다행히 1차 파동이 끝난 후였다.

0.

아이디어 구상까지 반영하면 1년이 걸린 (실제 계산에 착수한 때를 시작으로 잡으면 10개월쯤 걸린) 프로젝트가 대충 완료되어 arXiv에 올라갔다. 중요한 결과는 2월에 이미 얻었는데 논문 완성도를 끌어올린다고 계산을 추가하다가 3개월이 더 걸리는 바람에 주요 결론 중 하나에서 '문헌에서 가장 먼저 명시적으로 적음'은 실패했지만^[각주:1] 엎질러진 물은 어쩔 수 없는 법이다.

생각했던 것보다 간단하고 생각했던 것보다 어려웠던 프로젝트였는데, 어려웠던 부분은 '이 모형이 실제로 말이 되는 모형임'을 보이는 부분이었고, 간단했던 부분은 적분과^[각주:2] 특정 조건에서는 적분이 재합(resum)되면서 깔끔한 식으로 떨어진다는 부분이었다. 처음에는 초기하함수가 7개씩 등장하는 이중 무한합이 식 하나로 떨어지는 것을 보고 '분명히 계산을 잘못했겠지?'라고 생각했을 정도. 웃기게도 적분 식 하나 처리를 잘못하는 바람에 (실수로 $\pi^{3/2}$만큼의 계수가 잘못 곱해졌다) 진짜로 계산 실수가 있었던 것은 맞는데, 이중 무한합이 한 줄로 재합된다는 사실 자체는 맞았다. 검산 두어번 하고 다른 논문의 계산과 교차검증하고 다른 방법으로 계산해서 확인했으니 아마 맞겠지...?

여튼, 여태 연구하면서 한번도 본 적이 없는 타원적분(complete elliptic integral)이 튀어나오는 것을 보고 살짝 기겁했다. 겨우 one-loop 계산인데 이런 함수들이 튀어나오면 two-loop 계산에서는 뭐가 튀어나오는거냐... 사실 푸리에 변환을 추가적인 momentum 적분으로 생각하면 two-loop과 three-loop 계산이므로 예상했어야 하는 어려움일지도.

0.1.

PhD comics를 좋아하는 편인데, 그 중 기억에 남는 에피소드 하나.

"내가 하고 싶은 연구를 할 거야"에서 '내'가 어떻게 바뀌어가는지를 코믹하게 그린 만화인데, 웃기는 했지만 만화의 내용에 대해 삐딱하게 반응했던 부분이 있어서 기억에 남는다. 당시의 반응을 "모든 연구자들이 다른 사람으로부터 기대받는 연구를 하는 것은 맞지만, 좋은 연구자라면 내가 하고 싶은 연구를 다른 사람도 원하게 설득할 수 있어야 한다"라고 정리할 수 있을까.^[각주:3]

자연과학이란 자연에 대해 탐구하는 지적 활동이기도 하지만 학계라는 이름의 사회를 통해 '어떤 질문이 중요하며 어떻게 답하는 것이 올바른가'에 대한 합의에 이르는 사회적인 활동이기도 하다.^[각주:4] 해밍이 '좋은 연구자가 되는 법'에 대해 이야기하면서 "문을 열어두고 일하는 사람"을 언급한 것도 같은 맥락의 이야기라고 할 수 있을 것이다.

이번 프로젝트의 서문에서는 앞서 인용한 만화에 보였던 삐딱한 반응에 충실하기 위해 상당히 많은 노력을 기울였는데 (다르게 말한다면 '남들이 이런 이런 일을 했으니 우리도 저런 저런 일을 해봤다'를 벗어나 '왜 (여태 아무도 진지하게 생각해보지 않았던) 이 방향의 연구가 중요한가?'란 프로파간다를 시도해봤다고 할 수 있겠다), 이 시도가 성공적일지는 지금으로서는 시간만이 알 뿐이겠지.

0.2.

구체적인 출처는 잘 잡히지 않는데 란다우는 다음과 같은 말을 했다고 한다.

A method is more important than a discovery, since the right method will lead to new and even more important discoveries. (방법은 발견보다 중요하다. 올바른 방법은 새롭거나 훨씬 중요한 발견으로 이끌기 때문이다.) - Lev Landau

처음 이 문구를 접한 곳은 Lance Dixon의 발표 슬라이드였고 Wikiquote에서도 Lance를 출처로 표기하고 있는데, Lance는 Amplitudes 학회에서 '실은 이 문구의 출처를 모른다'고 실토한 적이 있다.^[각주:5] CERN에서 열렸을 때의 일인 것 같으니 아마도 작년의 이야기.

어쩌다보니 이번에 끝낸 프로젝트에서 파생된 프로젝트 하나가 계산 방법론을 다루게 될 듯 하다. 공동연구자랑 프로젝트를 시작하면서 공동연구자가 자신이 익숙한 계산 방법론에 계산을 끼워맞추는 것을 보면서 '이미 필요한 계산은 다 있는데 굳이 그 방법을 써야 하나?'란 생각을 하고 있었는데, 공동연구자가 작성한 노트를 읽을만하게 손보다가 해당 접근의 중요성을 깨달았다. 이쪽은 딱히 경쟁이 없는 듯 하니 성급할 필요는 없겠지...?

1.

일반상대론 교재에서 흔히 볼 수 있는 설명 중 "점근 관찰자asymptotic observer는 블랙홀로 자유 낙하하는 물체가 블랙홀의 지평선horizon에 점근적으로 접근하는 것은 관측할 수 있으나 블랙홀에 흡수되는 것은^[각주:6] 관측할 수 없다"가 있다. 보통 슈바르츠실트 블랙홀과 그 시공간에서의 측지선geodesic을 다루는 장에서 나오는 이야기.

예전에는 이 설명이 시험 입자test particle의 운동을 시험 입자의 운동으로 취급해서는 안되는 영역까지 확장해서 내린 결론이기 때문에 틀린 설명이라고 생각했다. 당장 LIGO-Virgo-KAGRA 중력파 관측소에서 관측하는 중력파부터가 블랙홀에 블랙홀이 흡수되면서 방출되는 것이기도 하고. 그리고 얼마 전 PSE에 올라온 질문과 그 질문에 주렁주렁 달린 댓글들을 보며 내가 잘못 생각하고 있었다는 것을 깨달았다. 지평선의 정의상 자유낙하하는 물체가 지평선을 지날 때 방출하는 빛이 점근 관찰자의 눈에 도착할 수가 없다.

시간이 나면 '점근 관찰자의 눈에 자유낙하하는 물체가 블랙홀에 흡수되는 순간(지평선을 지나는 순간)은 무한히 먼 미래에 일어나는데 우리는 어떻게 블랙홀이 물질을 빨아들여 성장하는 것을 관측하고 있는가?'란 질문에 대해 포스트를 작성해볼 예정이다. 보다 정확히는 TeX으로 구체적인 계산과 논의를 담은 영문(...) pdf를 작성하고^[각주:7] 한국어로 개요만 설명한 포스트에 첨부파일로 pdf를 달게 될 듯. 물론 "시간이 나면".

1.1.

시간이 나면 작성할 다른 포스트로는 예전에 쓴 양자중력 관련 논문에 대한 한국어 개요부터 시작해서 쓰다 만 포스트가 손으로는 안 꼽힐 정도로 많다는 코멘트를 덧붙여 두기로 한다. 쓰다 만 트위터 타래를 블로그로 가져오는 것도 해야 할 일이고.

1.1.1.

그렇다. 이건 포스트가 결국 안 올라올 때를 대비한 변명이다(...)

1.1.2.

당장 '다음에 무슨 계산을 해야 할 지도 알고 있지만 우선순위에 밀려서 방치되고 있는 프로젝트'가 꽤나 있다. 포스트 작성(취미)보다는 월급값을 하는게 우선이다...

1.1.3.

이 포스트는 어떻게 썼냐고? 어떻게 사람이 일만 하고 사니...(...)

2.

구직 시즌이 돌아왔다. 하아...

2.1.

작년까지는 설렁설렁 주니어 포지션에^[각주:8] 지원해봤는데 역시나 절박(...)하지 않아서인지 작년 지원서 중 좋은 소식을 들고 온 지원서는 없었다. 작년에 지도교수님으로부터 '이제부터는 주니어 포지션을 잡지 못하면 차후 커리어가 피곤해질 수 있다' 비슷한 이야기를 들어서 압박을 받고 있기는 한데, 별 다른 뾰족한 수가 있는 것은 아니니 그냥 할 수 있는 것을 할 수 밖에.

2.2.

그나마 다행인 건 이번에 마무리한 프로젝트의 경험으로부터 주니어 포지션용 지원서에 쓸 내용을 확보했다(주로 0.1.번과 관련된 방면으로)는 것. 작년에 설렁설렁 지원하면서 받은 피드백 중 하나가 포닥용 지원서와 주니어용 지원서는 다소 다르다는 것이었다. 연구계획서research statement가 포닥용으로는 괜찮은데 주니어용으로는 '그룹을 어떻게 이끌 것인가'에 대한 비전이 부족하다는 코멘트를 자주 받기도 했고.

2.3.

... 쓰다가 갑갑해서 던져둔 지원서를 다시 열어야겠다...

3.

뜬금없이 내가 언젠가부터 정착한 문단 별 내용마다 번호를 매기는 방법(당장 이 포스트도 이 방법을 따라 내용마다 번호가 매겨져 있다)에 대해 이야기한 적이 없는 것 같다는 생각이 떠올랐다.

별건 아니고 비트겐슈타인의 『논고Tractatus』의 방식을 따랐다. 물론 제대로 읽지는 않았다. 몇몇 명제들에 '삘이 꽃혀서'(...) 읽기 시작했고 일부는 아직도 깊은 인상을 남기고 있지만 책을 제대로 이해하기는 포기. 뭐 미래에는 다시 읽기를 시도할지 모르겠으나 미래란 언제나 불확실한 것이고, 우리는 "말할 수 없는 것에 대해서는 침묵해야" 하겠지.