Dexter's story

0.

아이디어 구상까지 반영하면 1년이 걸린 (실제 계산에 착수한 때를 시작으로 잡으면 10개월쯤 걸린) 프로젝트가 대충 완료되어 arXiv에 올라갔다. 중요한 결과는 2월에 이미 얻었는데 논문 완성도를 끌어올린다고 계산을 추가하다가 3개월이 더 걸리는 바람에 주요 결론 중 하나에서 '문헌에서 가장 먼저 명시적으로 적음'은 실패했지만^[각주:1] 엎질러진 물은 어쩔 수 없는 법이다.

생각했던 것보다 간단하고 생각했던 것보다 어려웠던 프로젝트였는데, 어려웠던 부분은 '이 모형이 실제로 말이 되는 모형임'을 보이는 부분이었고, 간단했던 부분은 적분과^[각주:2] 특정 조건에서는 적분이 재합(resum)되면서 깔끔한 식으로 떨어진다는 부분이었다. 처음에는 초기하함수가 7개씩 등장하는 이중 무한합이 식 하나로 떨어지는 것을 보고 '분명히 계산을 잘못했겠지?'라고 생각했을 정도. 웃기게도 적분 식 하나 처리를 잘못하는 바람에 (실수로 $\pi^{3/2}$만큼의 계수가 잘못 곱해졌다) 진짜로 계산 실수가 있었던 것은 맞는데, 이중 무한합이 한 줄로 재합된다는 사실 자체는 맞았다. 검산 두어번 하고 다른 논문의 계산과 교차검증하고 다른 방법으로 계산해서 확인했으니 아마 맞겠지...?

여튼, 여태 연구하면서 한번도 본 적이 없는 타원적분(complete elliptic integral)이 튀어나오는 것을 보고 살짝 기겁했다. 겨우 one-loop 계산인데 이런 함수들이 튀어나오면 two-loop 계산에서는 뭐가 튀어나오는거냐... 사실 푸리에 변환을 추가적인 momentum 적분으로 생각하면 two-loop과 three-loop 계산이므로 예상했어야 하는 어려움일지도.

0.1.

PhD comics를 좋아하는 편인데, 그 중 기억에 남는 에피소드 하나.

"내가 하고 싶은 연구를 할 거야"에서 '내'가 어떻게 바뀌어가는지를 코믹하게 그린 만화인데, 웃기는 했지만 만화의 내용에 대해 삐딱하게 반응했던 부분이 있어서 기억에 남는다. 당시의 반응을 "모든 연구자들이 다른 사람으로부터 기대받는 연구를 하는 것은 맞지만, 좋은 연구자라면 내가 하고 싶은 연구를 다른 사람도 원하게 설득할 수 있어야 한다"라고 정리할 수 있을까.^[각주:3]

자연과학이란 자연에 대해 탐구하는 지적 활동이기도 하지만 학계라는 이름의 사회를 통해 '어떤 질문이 중요하며 어떻게 답하는 것이 올바른가'에 대한 합의에 이르는 사회적인 활동이기도 하다.^[각주:4] 해밍이 '좋은 연구자가 되는 법'에 대해 이야기하면서 "문을 열어두고 일하는 사람"을 언급한 것도 같은 맥락의 이야기라고 할 수 있을 것이다.

이번 프로젝트의 서문에서는 앞서 인용한 만화에 보였던 삐딱한 반응에 충실하기 위해 상당히 많은 노력을 기울였는데 (다르게 말한다면 '남들이 이런 이런 일을 했으니 우리도 저런 저런 일을 해봤다'를 벗어나 '왜 (여태 아무도 진지하게 생각해보지 않았던) 이 방향의 연구가 중요한가?'란 프로파간다를 시도해봤다고 할 수 있겠다), 이 시도가 성공적일지는 지금으로서는 시간만이 알 뿐이겠지.

0.2.

구체적인 출처는 잘 잡히지 않는데 란다우는 다음과 같은 말을 했다고 한다.

A method is more important than a discovery, since the right method will lead to new and even more important discoveries. (방법은 발견보다 중요하다. 올바른 방법은 새롭거나 훨씬 중요한 발견으로 이끌기 때문이다.) - Lev Landau

처음 이 문구를 접한 곳은 Lance Dixon의 발표 슬라이드였고 Wikiquote에서도 Lance를 출처로 표기하고 있는데, Lance는 Amplitudes 학회에서 '실은 이 문구의 출처를 모른다'고 실토한 적이 있다.^[각주:5] CERN에서 열렸을 때의 일인 것 같으니 아마도 작년의 이야기.

어쩌다보니 이번에 끝낸 프로젝트에서 파생된 프로젝트 하나가 계산 방법론을 다루게 될 듯 하다. 공동연구자랑 프로젝트를 시작하면서 공동연구자가 자신이 익숙한 계산 방법론에 계산을 끼워맞추는 것을 보면서 '이미 필요한 계산은 다 있는데 굳이 그 방법을 써야 하나?'란 생각을 하고 있었는데, 공동연구자가 작성한 노트를 읽을만하게 손보다가 해당 접근의 중요성을 깨달았다. 이쪽은 딱히 경쟁이 없는 듯 하니 성급할 필요는 없겠지...?

1.

일반상대론 교재에서 흔히 볼 수 있는 설명 중 "점근 관찰자asymptotic observer는 블랙홀로 자유 낙하하는 물체가 블랙홀의 지평선horizon에 점근적으로 접근하는 것은 관측할 수 있으나 블랙홀에 흡수되는 것은^[각주:6] 관측할 수 없다"가 있다. 보통 슈바르츠실트 블랙홀과 그 시공간에서의 측지선geodesic을 다루는 장에서 나오는 이야기.

예전에는 이 설명이 시험 입자test particle의 운동을 시험 입자의 운동으로 취급해서는 안되는 영역까지 확장해서 내린 결론이기 때문에 틀린 설명이라고 생각했다. 당장 LIGO-Virgo-KAGRA 중력파 관측소에서 관측하는 중력파부터가 블랙홀에 블랙홀이 흡수되면서 방출되는 것이기도 하고. 그리고 얼마 전 PSE에 올라온 질문과 그 질문에 주렁주렁 달린 댓글들을 보며 내가 잘못 생각하고 있었다는 것을 깨달았다. 지평선의 정의상 자유낙하하는 물체가 지평선을 지날 때 방출하는 빛이 점근 관찰자의 눈에 도착할 수가 없다.

시간이 나면 '점근 관찰자의 눈에 자유낙하하는 물체가 블랙홀에 흡수되는 순간(지평선을 지나는 순간)은 무한히 먼 미래에 일어나는데 우리는 어떻게 블랙홀이 물질을 빨아들여 성장하는 것을 관측하고 있는가?'란 질문에 대해 포스트를 작성해볼 예정이다. 보다 정확히는 TeX으로 구체적인 계산과 논의를 담은 영문(...) pdf를 작성하고^[각주:7] 한국어로 개요만 설명한 포스트에 첨부파일로 pdf를 달게 될 듯. 물론 "시간이 나면".

1.1.

시간이 나면 작성할 다른 포스트로는 예전에 쓴 양자중력 관련 논문에 대한 한국어 개요부터 시작해서 쓰다 만 포스트가 손으로는 안 꼽힐 정도로 많다는 코멘트를 덧붙여 두기로 한다. 쓰다 만 트위터 타래를 블로그로 가져오는 것도 해야 할 일이고.

1.1.1.

그렇다. 이건 포스트가 결국 안 올라올 때를 대비한 변명이다(...)

1.1.2.

당장 '다음에 무슨 계산을 해야 할 지도 알고 있지만 우선순위에 밀려서 방치되고 있는 프로젝트'가 꽤나 있다. 포스트 작성(취미)보다는 월급값을 하는게 우선이다...

1.1.3.

이 포스트는 어떻게 썼냐고? 어떻게 사람이 일만 하고 사니...(...)

2.

구직 시즌이 돌아왔다. 하아...

2.1.

작년까지는 설렁설렁 주니어 포지션에^[각주:8] 지원해봤는데 역시나 절박(...)하지 않아서인지 작년 지원서 중 좋은 소식을 들고 온 지원서는 없었다. 작년에 지도교수님으로부터 '이제부터는 주니어 포지션을 잡지 못하면 차후 커리어가 피곤해질 수 있다' 비슷한 이야기를 들어서 압박을 받고 있기는 한데, 별 다른 뾰족한 수가 있는 것은 아니니 그냥 할 수 있는 것을 할 수 밖에.

2.2.

그나마 다행인 건 이번에 마무리한 프로젝트의 경험으로부터 주니어 포지션용 지원서에 쓸 내용을 확보했다(주로 0.1.번과 관련된 방면으로)는 것. 작년에 설렁설렁 지원하면서 받은 피드백 중 하나가 포닥용 지원서와 주니어용 지원서는 다소 다르다는 것이었다. 연구계획서research statement가 포닥용으로는 괜찮은데 주니어용으로는 '그룹을 어떻게 이끌 것인가'에 대한 비전이 부족하다는 코멘트를 자주 받기도 했고.

2.3.

... 쓰다가 갑갑해서 던져둔 지원서를 다시 열어야겠다...

3.

뜬금없이 내가 언젠가부터 정착한 문단 별 내용마다 번호를 매기는 방법(당장 이 포스트도 이 방법을 따라 내용마다 번호가 매겨져 있다)에 대해 이야기한 적이 없는 것 같다는 생각이 떠올랐다.

별건 아니고 비트겐슈타인의 『논고Tractatus』의 방식을 따랐다. 물론 제대로 읽지는 않았다. 몇몇 명제들에 '삘이 꽃혀서'(...) 읽기 시작했고 일부는 아직도 깊은 인상을 남기고 있지만 책을 제대로 이해하기는 포기. 뭐 미래에는 다시 읽기를 시도할지 모르겠으나 미래란 언제나 불확실한 것이고, 우리는 "말할 수 없는 것에 대해서는 침묵해야" 하겠지.

너무 오래 블로그를 방치해두는 듯한 기분이 들어 뭘 올릴까 하다가 작년 크리스마스 기념 셀프 선물로 구매한 Lamy Dialog cc 개봉기(이제서야?)를 작성해보기로 했다. 트위스트 캡 방식이란 것에 흥미가 있기도 했고 '마침 독일에 있으니 독일제 만년필을 사보자!'란 기분으로 구매해봤다.

역시 Lamy사의 최고급 필기구 라인이라 그런지 공산품(...)의 느낌이 나던 다른 만년필들과는 달리 허영심을 자극(...)하는 느낌의 포장 상자가 도착했다.

구매한 모델은 Lamy Dialog cc. 기존의 트위스트캡 방식 만년필이던 Dialog 3의 후속작이다. 가격은 블랙프라이데이 할인을 받아 320 유로. 특별판인 전흑 (all-black) 말고 기존 색상으로 주문했으면 250 유로로 구매하는 것도 가능했을텐데 연말보너스가 들어와서 마음에 드는 색상을 사겠다고 무리했다(...).

주력으로 쓰는 L2K와는 달리 거대한 포장 상자에 담겨 온 Dialog cc. 의도치 않게 탄소배출에 기여하고 말았다.

포장 상자를 열면 2층 구조로 내용물이 담겨 있다. 윗층은 펜과 펜 파우치, 그리고 내용물이 흔들리지 않도록 고정해주는 스펀지가 있다. 기존 색상인 진청색이나 백색은 로즈골드 색으로 LAMY 버튼과 펜 밑의 둥근 부분에 강조를 주었다면 특별판인 전흑의 경우 이름에 충실하게 모든 색상을 흑색으로 통일함으로서 어떤 강조점도 주지 않았다. 그야말로 미니멀리즘이랄까. 기존 색상은 어떤 느낌인지 알고 싶다면 Lamy 홈페이지의 제품안내 페이지를 통해 비교해보자.

아랫층에는 카트리지와 카탈로그, 그리고 펜 세척 시 뚜껑(?)을 열린 상태로 고정시켜주는 도구가 들어있다. 역시 럭셔리 라인이라 그런지 카탈로그도 큼지막하게 뽑은걸 넣어두었다.

Lamy의 Dialog 만년필 시리즈의 특징은 트위스트캡이라는 것이다. 볼펜 중 간혹 몸통을 비틀어서 펜촉을 내보내는 종류가 있는데, 이 만년필도 같은 방식으로 펜촉을 뽑게 되어 있다. 펜의 몸통을 비틀 때 부드럽게 도는 느낌은 확실히 고급 제품이란 느낌이다.

사용중이 아닐 때는 둥근 마개가 펜촉이 드나드는 입구를 막고 있다가 몸통을 비틀기 시작하면 저 둥근 마개가 위로 젖혀지면서 펜촉이 나오는 방식이다. 기존 색상의 제품들은 저 마개에도 로즈골드로 포인트를 줬지만, 전흑은 이름대로 마개까지 흑색으로 처리하였다. 열리는 매커니즘 자체는 동일하니 어떻게 작동하는지 보고 싶다면 유튜브를 확인하도록 하자.

그래서 제 평가는요? 좋은 펜이기는 한데 실사용하기에는 부담스러워서 일단은 봉인해둔 상태(...). Lamy에서 기대하는 매끄러운 필기감도 있고 EF촉다운 가는 선도 마음에 들기는 하는데 가격이 가격이다보니 주력으로 사용하는 L2K처럼 막 들고 다니기 부담스럽다는게 문제. 비슷하게 막 들고 다녔던 몽블랑 145가 더 비싸긴 하지만 그건 지도교수님께 받은거라 내 돈을 주고 산 물건이 아니니 논외고(...). 카트리지/컨버터 형식이라 주력으로 사용하는 L2K에 비해 용량이 적다는 것도 감점 요인이다. 조금 다른 걱정거리는 트위스트 매커니즘의 밀폐성. 한번 만년필을 쓸 일이 생기면 많이 쓰기는 하지만 (특히 손으로 계산같은걸 할 일이 있으면 종이를 10장씩 소모하는게 보통이니) 안 쓸 때는 1-2주씩 펜을 안 쓰기도 하다보니 펜 안에서 잉크가 마르지 않을거란 확신이 생겨야 하는데, 이 펜은 매커니즘 특성상 기존의 뚜껑을 여는 펜에 비해 밀폐성이 부족할 수 밖에 없겠다는 기분이 들어 적극적으로 사용하기 꺼려지는 감이 있다. 더군다나 가끔 비행기를 타면 잉크가 터지는 경우가 있는데 이 펜을 들고 다니던 도중 잉크가 터진다면... 으음...

여튼, 선물로서는 최고의 특징(?)인 '갖고는 싶지만 내 돈 주고 사기는 부담스럽다'를 만족하는 만년필이라는 점에서는 만족하고 있다. 아직은 실사용보다는 관상용으로 쓰고 있을 뿐... =_=

어쩌다보니 다음 꼴의 적분을 할 일이 생겼다.

$$ F(s) = \int_0^\infty dx J_0(x) e^{-xs} \,,\, s>0 $$

여기서 $J_0 (x)$는 베셀함수. 적분 자체는 베셀함수의 라플라스 변환으로 볼 수 있다. Jackson 연습문제 풀다가 계산한 적분에 저 적분이 있어서 대충 $(1+s^2)^{-1/2}$랑 비슷한 꼴이겠거니 생각하고 있었는데, Mathematica에 돌려보니 그냥 저게 답이었다(...). 그렇다면 Mathematica 없이 저 적분을 하는 방법을 알아보기로 하자.

시작은 베셀함수의 미분방정식. 베셀함수는 다음과 같은 미분방정식에 의해 정의된다.

$$ x^2 \frac{d^2 J_\nu}{dx^2} + x \frac{d J_\nu}{dx} + (x^2 - \nu^2) J_\nu = 0 $$

우리는 $J_0$를 보고 있으니 $\nu = 0$으로 두고 $x$를 하나씩 떼어내면 된다.

$$ x J_0'' + J_0' + x J_0 = 0$$

이제 이 관계식을 이용해 $F(s)$가 만족하는 미분방정식을 적으면 된다. 예컨대 마지막 항은 다음과 같이 적을 수 있다.

$$ \int dx x J_0 (x) e^{-xs} = - \frac{d}{ds} \int dx J_0 (x) e^{-xs} = - F(s)' $$

가운데 항은 라플라스 변환의 특징을 이용하면 된다.

$$ \int dx J_0' e^{-xs} = \left. J_0 e^{-xs} \right|^\infty_0 - \int dx J_0 \frac{d}{dx} e^{-xs} = - J_0(0) + s F(s) $$

첫 항은 약간의 산수가 들어가기는 하지만 비슷한 방식으로 계산할 수 있다.

$$ \int dx x J_0'' e^{-xs} = - \frac{d}{ds} \left[ \int dx J_0'' e^{-xs} \right] = - \frac{d}{ds} \left[ - J_0'(0) + s ( - J_0 (0) + s F(s) ) \right] $$

따라서 베셀방정식의 라플라스 변환을 정리하면 다음과 같다.

$$ \left( J_0 (0) - \frac{d[s^2 F]}{ds} \right) + \left( - J_0 + s F \right) + \left( - F' \right) = - sF - (1 + s^2) F' = 0 $$

위 방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$ \frac{F'}{F} = \frac{d}{ds} \log(F) = - \frac{s}{1+s^2} = - \frac{1}{2} \frac{d}{ds} \log (1+s^2) $$

여기까지 쓰면 바로 답이 보이겠지만 $F(s) = A (1+s^2)^{-1/2}$로 결정된다. 이제 문제는 $A$를 결정하는 일. 경계조건은 $F(s \to \infty) = 0$과 $F(s=0) = 1$을 이용하면 된다. DLMF 10.22.41식의 베셀함수의 정규조건에서 따르는 성질.

$$ \int_0^\infty dx J_\nu(x) = 1 $$

이렇게 우리가 처음에 보이고 싶었던 적분을 계산할 수 있다.

$$ F(s) = \frac{1}{\sqrt{1+s^2}} = \int_0^\infty dx J_0(x) e^{-xs} $$