Wilsonian renormalisation과 Wilson-Fisher 고정점

최근 Fellowship 지원서를 작성하다 보니 서구권에서는 생각했던 것보다 outreach를 중요하게 여긴다는 것을 알게 되었다. 쓸 말이 없나 고민하다 보니 물리학 관련 블로그를 운영중(한동안 바빠서 개점휴업하긴 했지만)이라는 이야기를 하게 되었고, 최근 들어서는 이것 저것 작성해둔 것이 있긴 한데 아무래도 좀 더 뭔가 추가해 두는 것이 좋을 것 같아서 (먹고 사는게 급하면 이렇게 된다 =_=;;) 얼마 전 Schwinger-Keldysh formalism 관련 연습문제로 해보았던 Wilsonian renormalisation group 계산에서 배운 것들이 좀 있어서 정리해볼 겸 작성하는 포스트.

 

여튼, 재규격화와 관련해서 최근 깨달은 것이 있어 정리하고 있던 글이 다른 일에 치여 사느라 작성이 계속 늦어지고 있는 바람에^[각주:1] 이 포스트가 먼저 나오게 되었는데, 나중에 나올 재규격화 관련 리뷰(?)의 맛보기라고 생각하면 되겠다.

 

---

 

우선 양자장론의 정의를 생각해보자. 양자장론을 정의할 때 직접적으로 정의되는 것과 간접적으로 정의되는 것들이 있는데, 가장 직접적인 것부터 나열해보기로 하자.^[각주:2]

 

• 양자장론의 정의(Lagrangian을 이용할 경우)에서 가장 직접적인 것은 operator content와 bare parameter이다. 정확히는 Lagrangian에 무엇을 적을 것인가에 대한 내용
• 다소 간접적으로 정의되는 것은 cutoff scale $\Lambda$. 보통은 UV cutoff만 정의한다고 생각할 수 있지만 경우에 따라 IR cutoff도 정의한다(우주론이나 QCD를 하는 경우가 이에 대응)고 보는 것이 좋다.
• 다음으로는 재규격화를 위한 regularisation scheme과 그에 딸려오는 computation scale $\mu$. 여기서 기억해야 할 부분은 $\Lambda$와 $\mu$는 원칙적으로는 독립적인 변수라는 점이다.

 

가장 표준적인 regularisation scheme인 dimensional regularisation (dimreg)의 경우 UV cutoff와 IR cutoff를 조정하는 변수는 $D = 4 - 2\varepsilon$의 $\varepsilon$이며, computation scale인 $\mu$를 통해 간접적으로 UV/IR cutoff가 결정된다고 봐야 한다. dimreg의 작동방식을 '적분이 발산하는 asymptotic region을 적분 구간에서 도려낸 뒤 해당 구간의 적분을 $\mu^{2\varepsilon}$의 적당한 상수배로 치환한다'로 볼 수 있기 때문.

 

세번째 포인트인 'cutoff scale인 $\Lambda$와 computation scale인 $\mu$는 서로 독립이다'는 생각보다 깨닫기 쉽지 않은데, 양자장론 수업에서는 서로 다른 재규격화 군 (renormalisation group; RG) 사이에 존재하는 정의의 차이를 뭉개는 경우가 많기 때문이다. 재규격화 군을 단순하게 'computation scale $\mu$를 변화시킬 때 그에 연동되는 parameter를 어떻게 바꿀 것인가?'로만 배우기 때문에 생기는 문제로, '왜 computation scale을 바꾸는가?'란 질문을 비껴가서 생기는 문제이다. Computation scale을 바꾸는 동기에 따라 도입하는 재규격화 군의 정의와 해석이 조금씩 달라진다.

 

예컨대 Wilson 재규격화 군에서는 UV cutoff $\Lambda_{\text{UV}}$와 computation scale $\mu$가 연동되어 있는데 (사실상 같은 것으로 취급한다), Kadanoff block spin의 아이디어를 따라 'UV 자유도를 뭉개는' 것이 목적이기 때문. Wilson 재규격화 군의 동기는 'IR 물리와 UV 물리 사이에 scale separation이 있다면 UV 물리를 정확히 몰라도 IR 물리에 대해서는 어느 정도 예측을 할 수 있어야 한다'이고, Wilson 재규격화 군은 'UV 자유도를 뭉갤 때, 어떻게 bare parameter를 조정해야 동일한 IR 물리계를 기술할 수 있는가?'에 대한 답을 준다. 흔히 Wilson 재규격화 군의 마지막 단계에 추가하는 momentum rescaling은 등각장론에 대응되는 fixed point를 찾기 위한 도구로 봐야 한다.

 

재규격화 군의 다른 예시인 Gell-Mann & Low의 재규격화 군은 UV cutoff $\Lambda$와 computation scale $\mu$가 완전히 독립적인 변수이고, 여기서의 목표는 '계산에 필요한 도표의 숫자를 줄이자'로 봐야 한다. 흔히 '큰 로그의 재합(resumming large logarithms)'이라고 부르기도 한다.^[각주:3] ≪괴델, 에셔, 바흐≫Gödel, Escher, Bach에서 언급되는 '입자의 재귀성(self-reference)'을 구현한다는 점에서 위에서 언급한 Kadanoff block spin의 아이디어와 관련이 있기는 하지만 원칙적으로는 다른 아이디어. 좀 더 자세한 내용은 언젠가(...) 쓸 재규격화 군에 대한 포스트에서 다루기로 하자.

 

---

 

Wilson-Fisher 고정점을 찾기 위한 시작점은 $\phi^4$ 이론의 Lagrangian을 적는 것이다. 편의상 Euclidean 공간에서 계산하기로 하고, UV cutoff $\Lambda$를 도입한다. 점차 UV cutoff를 바꿀 예정이므로, 아랫첨자를 써서 어떤 UV cutoff에 의존하는 양인지 적어두기로 하자.

 

$$ - \mathcal{L}_\Lambda [\phi_\Lambda] = - \frac{1}{2} (\partial \phi_\Lambda)^2 - \frac{1}{2} m^2_{\Lambda} \phi_\Lambda^2 - \frac{1}{4!} g_{\Lambda} \phi_\Lambda^4 $$

 

이 꼴의 Lagrangian은 차원이 있는 bare parameter가 있어서 Wilson-Fisher 고정점을 기술하기에는 좋지 않지만 RG running을 보기에는 이 변수가 더 났다. Wilson-Fisher 고정점은 RG 방정식을 구한 다음 구하기로 하자.

 

다음은 UV cutoff를 $\Lambda' = \Lambda + d \Lambda$로 내릴 차례 ($d \Lambda < 0$를 택하기로 하자). 뭉갤 UV 자유도는 $\Phi_\Lambda$로 표기하기로 한다. 이렇게 자유도를 분해하면 다음과 같은 식을 적을 수 있다.

 

$$ \phi_\Lambda = \Phi_\Lambda + \phi_{\Lambda'} $$

 

이렇게 나눈 자유도를 Lagrangian에 대입하면 다음 결과를 얻는다.

 

$$ - \mathcal{L}_{\Lambda} [\phi_{\Lambda'},\Phi_{\Lambda}] = - \frac{1}{2} (\partial \phi_{\Lambda'})^2 - \frac{1}{2} m^2_{\Lambda} \phi_{\Lambda'}^2 - \frac{1}{4!} g_{\Lambda} \phi_{\Lambda'}^4 \\ - \frac{1}{4} g_{\Lambda} \phi_{\Lambda'}^2 \Phi_{\Lambda}^2 + [\cdots] - \frac{1}{2} (\partial \Phi_{\Lambda})^2 - \frac{1}{2} m_{\Lambda}^2 \Phi_{\Lambda}^2 $$

 

첫 줄은 우리가 처음에 시작했던 Lagrangian과 ($\Lambda$를 $\Lambda'$으로 바꾸긴 했지만) 정확히 같은 식이고, 두번째 줄은 우리가 뭉갤 $\Phi_\Lambda$에 의존하는 항들이다. 여기서 $\phi \Phi^3$과 같은 항들은 momentum conservation에 의해 우리가 하는 계산에 영향을 주지 않으므로 $[\cdots]$에 대충 던져넣었다. 

 

다음으로는 Wilsonian effective action을 구할 차례. 새 effective action은 $\Phi_\Lambda$ 자유도를 적분하는 것으로 계산한다. 구체적인 식으로 적으면 다음과 같다.^[각주:4]

 

$$ e^{- \int \mathcal{L}_{\Lambda'}[\phi_{\Lambda'}]} = \exp \left(- \int \left[ \frac{1}{2} (\partial \phi_{\Lambda'})^2 + \frac{1}{2} m^2_{\Lambda} \phi_{\Lambda'}^2 + \frac{1}{4!} g_{\Lambda} \phi_{\Lambda'}^4 \right] \right) \\ \times \int [\mathcal{D}\Phi_\Lambda] \, \exp \left( - \int \frac{1}{4} g_\Lambda \phi_{\Lambda'}^2 \Phi_{\Lambda}^2 \right) e^{- \int \frac{1}{2} ( \Lambda^2 + m_{\Lambda}^2) \Phi_{\Lambda}^2} $$

 

두번째 줄을 one-loop order에서 계산하면 다음 식을 얻는다.

 

$$ \log \left[ \int [\mathcal{D}\Phi_\Lambda] \, \exp \left( - \int \frac{1}{4} g_\Lambda \phi_{\Lambda'}^2 \Phi_{\Lambda}^2 \right) e^{- \int \frac{1}{2} ( \Lambda^2 + m_{\Lambda}^2) \Phi_{\Lambda}^2}\right]
    \\ = \int - \frac{1}{4} g_\Lambda \phi_{\Lambda'}^2 \langle \Phi_\Lambda \Phi_\Lambda \rangle V_{D,\Lambda} + \frac{1}{2!} \left( - \frac{g_\Lambda^2}{4} \right)^2 \phi_{\Lambda'}^4 \times (2!) \langle \Phi_\Lambda \Phi_\Lambda \rangle^2 V_{D,\Lambda} $$

 

여기서 $\langle \Phi_\Lambda \Phi_\Lambda \rangle$은 UV mode의 two-point function이고 $V_{D,\Lambda}$는 $\Phi_\Lambda$ 자유도가 가진 위상공간의 부피(phase space volume)이다. $d\Lambda < 0$을 기억한다면, 둘 모두 다음과 같이 근사할 수 있다.

 

$$ \langle \Phi_\Lambda \Phi_\Lambda \rangle = \frac{1}{\Lambda^2 + m_\Lambda^2} \,,\quad V_{D,\Lambda} = \frac{1}{(2\pi)^D} \times\frac{2 \pi^{D/2}}{\Gamma(D/2)} \times \Lambda^{D-1} | d\Lambda| = - \frac{2 \Lambda^D d \log \Lambda}{(4 \pi)^{D/2} \Gamma (D/2)} $$

 

이 계산을 정리하면 effective action을 다음과 같이 적을 수 있다.

 

$$ - \mathcal{L}_{\Lambda'}[\phi_{\Lambda'}] = - \frac{1}{2} (\partial \phi_{\Lambda'})^2 - \frac{1}{2} \left[ m^2_{\Lambda} - \frac{1}{\Gamma(D/2)} \frac{g_\Lambda}{(4 \pi)^{D/2}} \frac{\Lambda^D}{\Lambda^2 + m_\Lambda^2} d \log \Lambda \right] \phi_{\Lambda'}^2
    \\ \phantom{=asdfasdfas} - \frac{1}{4!} \left[ g_{\Lambda} + \frac{3}{\Gamma(D/2)} \frac{g_\Lambda^2}{(4 \pi)^{D/2}} \frac{\Lambda^D}{(\Lambda^2 + m_\Lambda^2)^2} d \log \Lambda \right] \phi_{\Lambda'}^4 $$

 

이 식에서 큰 괄호가 각각 $m^2_{\Lambda'}$과 $g_{\Lambda'}$에 대응된다. 여기서 $D=4$로 고정하면 다음과 같은 running equation을 얻는다.

 

$$ \frac{d \log m^2}{d \log \Lambda} = - \frac{g}{(4 \pi)^2} \frac{\Lambda^4}{(\Lambda^2 + m^2) m^2} \,,
    \\ \frac{d \log g}{d \log \Lambda} = + \frac{3 g}{(4 \pi)^2} \frac{\Lambda^4}{(\Lambda^2 + m^2)^2} $$

 

UV cutoff가 $\phi$의 질량보다 매우 클 경우 ($\Lambda \gg m$) running이 일어나지만 반대의 경우 ($\Lambda \ll m$) running이 멈추는 것을 볼 수 있다. Cutoff보다 질량이 작은 자유도만 running에 기여한다는 decoupling theorem의 예시라고 하겠다.^[각주:5]

 

---

 

이제 Wilson-Fisher 고정점을 구해보자. 이 경우 변수들을 무차원수로 기술해야 할 필요가 있으므로, 변수들을 다음과 같이 다시 적어준다.

 

$$ \bar{m}_\Lambda = \frac{m_\Lambda}{\Lambda} \,,\quad \bar{g}_\Lambda = g_\Lambda \Lambda^{D-4} \,,\quad \Lambda'=\Lambda (1 + d\log \Lambda) $$

 

이 경우 재규격화된 질량 변수와 coupling 변수는 다음 관계식을 따른다. 

 

$$ \bar{m}_{\Lambda'}^2 = \bar{m}_{\Lambda}^2 - \left[ 2 \bar{m}_{\Lambda}^2 + \frac{1}{\Gamma(D/2)} \frac{\bar{g}_\Lambda}{(4 \pi)^{D/2}} \frac{1}{1 + \bar{m}_\Lambda^2} \right] d \log \Lambda \,, \\ \bar{g}_{\Lambda'} = \bar{g}_{\Lambda} + \left[ (D-4) \bar{g}_{\Lambda} + \frac{3}{\Gamma(D/2)} \frac{\bar{g}_\Lambda^2}{(4 \pi)^{D/2}} \frac{1}{(1 + \bar{m}_\Lambda^2)^2} \right] d \log \Lambda $$

 

$\bar{g}_\Lambda$ 대신 $\bar{\lambda}_{\Lambda} := \frac{\bar{g}_\Lambda}{\Gamma(\frac{D}{2})(4 \pi)^{D/2}}$를 도입하면 다음과 같이 RG 방정식을 적을 수 있다.

 

$$ \frac{d \bar{m}_\Lambda}{d \log \Lambda} = - 2 \bar{m}_{\Lambda}^2 - \frac{\bar{\lambda}_{\Lambda}}{1 + \bar{m}_\Lambda^2} \,, \\ \frac{d \bar{\lambda_{\Lambda}}}{d \log \Lambda} = (D-4) \bar{\lambda}_\Lambda + \frac{3 \bar{\lambda}^2_\Lambda}{(1 + \bar{m}_\Lambda^2)^2} $$

 

Dimreg 변수 $\epsilon = 4-D$을 도입할 경우^[각주:6] RG 방정식의 근으로 $\bar{\lambda}_\ast = \frac{\epsilon}{3} + \mathcal{O} (\epsilon^2)$과 $\bar{m}^2_\ast = - \frac{\epsilon}{6} + \mathcal{O} (\epsilon^2)$를 얻는다. 이 근이 바로 Wilson-Fisher 고정점이 된다.

1. 보아하니 1년 넘게 늦어지고 있는 듯 하다. 그런데 작성하다가 중간 즈음 그만둔 포스트가 워낙 많아서... =_=;; [본문으로]
2. 등각장론은 조금 다른 정의를 취할 수 있지만 다음 기회에... [본문으로]
3. Weinberg QFT 2권이 이 제목을 썼던 것으로 기억하고 있다. [본문으로]
4. 이 계산의 좀 더 다듬어진 버전을 FRG(functional renormalisation group)이라고도 한다. [본문으로]
5. 그리고 한 교수님은 추천서 작성해달라는 요청이 있을 때마다 양자장론의 이해도를 묻는다고 이 질문의 변형(QED의 beta function)을 던저주셨다는 소문을 들은 적이 있다. [본문으로]
6. $D = 4 - 2 \varepsilon$으로 정의되는 $\varepsilon$과는 다르다! [본문으로]