Dexter's story

균일함에 대하여

우주는 균일하다고 여겨진다. 균일하다는 것은 쉽게 구분할 수 없다는 것으로, 크게 두 가지가 있는데, 하나는 방향에 대한 개념이 있고, 다른 하나는 위치에 대한 개념이 있다.

먼저, 방향적으로 균일하다는 것을 isotropic이라고 부른다. 한글로는 어떻게 번역되는지 잘 모르겠으나, 이 글에서는 편의상 "등방향성" 이라고 부르기로 하자. 우주에 등방향성이 존재한다는 것은 다음의 말과 같다. 우주 안의 한 지점에서 우주를 바라보고 있을 때, 그 점에서 어떤 방향으로 바라보고 있는지 알 수 없다는 뜻이다. 등방향성이란 바라보는 방향마다 차이가 적어 방향을 구분할 수 없을 때를 말한다. 쉽게 말해 밤하늘을 크게 확대해 놓으면 자기가 동쪽을 바라보고 있는지 남쪽을 바라보고 있는지 모르는 것이다.

다음으로, 위치적으로 균일하다는 것을 homogenous라고 부른다. 역시 한글로는 어떻게 번역되는지 잘 모르겠으나, 이 글에서는 "균일하다"라는 말을 이 개념에 배당하겠다. 이 균일성이라는 개념은, 우주 안에서 어떤 위치에 있는지는 기준점 없이는 알 수 없다는 것이다. 이처럼 균일하다는 것은 바라보는 위치가 바뀌어도 차이가 적어 위치의 차이를 구분하지 못할 때를 말한다. 쉽게 말해 서울의 밤하늘과 대전의 밤하늘은 밤하늘만 가지고서는 자기가 어디에서 하늘을 보고 있는지 구분하지 못하는 것이다.

균일함과 중심력

이제 완전히 빈 공간을 생각해 보자. 쉽게 생각하면 티끌하나 존재하지 않는 우주와 비견될 수 있을 것이다. 물론 실제의 우주에서는 양자 요동이라는 현상에 의해 불가능하지만, 아직까지는 고전적인 범위에서만 다루므로 티끌하나 존재하지 않는 완전히 비어있는 우주를 생각할 수 있다.

이제 이곳에 입자 하나를 놓자. 무엇이 되어도 상관이 없다. 그것이 사람이든, 책이든, 휴대폰이든, 시계든 상관이 없다. 하지만 이런 모든 것들은 자체적으로 방향성을 가지고 있는데다가(사람을 위에서 보는것과 아래에서 보는 것으로 구분할 수 있듯이), 분해되어 점들의 집합으로 서술될 수 있기 때문에 이상적인 상황을 논하고 있는 현재에는 그다지 합당하지 않다고 느껴진다. 따라서 이런 문제가 생기지 않도록 점 하나를 공간에 가져다 놓았다고 생각해 보자. 이제 이 점입자를 A라고 부르자.

바로 이 순간, 빈 공간에서의 균일성은 붕괴하게 된다. A라는 물질이 존재하게 되면서 A까지의 거리라는 변수에 의해 위치의 차이를 구분할 수 있게 되기 때문이다. 하지만, 아직 A의 방향성이 정해지지 않았으므로 A까지의 거리가 다른 경우에만 서로 구분할 수 있고 A까지의 거리가 같은 점들(구를 만들어낸다)끼리는 구분이 불가능하므로 균일성은 붕괴하기는 하지만 완전하지는 않다고 할 수 있다.

하지만 등방향성은 어떤가? 우리가 아는 것은 A까지의 거리일 뿐, A에 대한 방향은 알 수 없다. 이건 A의 입장에서 보면 더욱 두드러진다. A가 보기에는 12시 방향이나, 4시 방향이나 다 똑같은 끝없는 암흑뿐이다.(12시 방향도 정의하기 힘들다.) 결국 점을 하나 가져다 놓는다고 해서 등방향성이 깨지지는 않는다. 이처럼 우주가 등방향성을 보존한다는 것과 관련있는 힘이 중심력이다. 이제 중심력의 정확한 정의를 알아보자.

중심력은 무엇인가.

중심력이란 "입자와 입자 사이의 거리에만 관여하며, 그 방향이 입자와 입자를 잇는 선상에 놓이는 힘"을 말한다. 만약 중심력의 벡터가 입자와 입자를 잇는 선상에 놓이지 않는다면, 등방향성을 위배하게 된다. A로부터 받는 힘을 이용해 자신의 방향을 예측할 수 있고, 이는 등방향성이 깨져버리게 되기 때문이다. 실제 이런 방법으로 등방향성이 깨지는 경우는 관측된 바는 없다. 물론 일반상대론의 영역으로 가면 공간 자체가 휘어버리면서 공간 자체가 방향성을 가지게 되기도 하지만, 그것은 기본적으로 가속운동상태인 회전운동중이나 입자 자체가 움직이고 있어 방향성을 갖는 경우에나 볼 수 있는 것이다. 고전역학은 가속운동되는 계가 아닌 관성운동을 하는 계, inert한 계만 다루기 때문에 이런 경우까지 따로 다루지는 않겠다.

실제로도 자연계의 기본적인 힘으로 여겨지는 4대 힘(중력, 전자기력, 약력, 강력) 모두 중심력에 속한다. 이쯤 되면 독자들도 왜 기본적인 힘이 중심력에 속하는지 눈치를 챘으리라 믿으며(혹시 눈치채지 못한 독자를 위해 내 개인적인 생각을 말하자면, 나는 우주는 최대한 대칭성(등방향성이나 균일성)을 보존하려고 하는 성질을 갖고 있다고 믿는다. 이런 성질에 최대한 부합하기 위해 4대 힘이 모두 중심력으로 나타난다고 생각한다.), 중심력 중 가장 기초가 되는 중력으로 넘어가겠다.

가장 기초적인 중심력, 중력.

중력은 "중력질량을 갖는 두 물체 사이의 힘" 으로 정의된다. 물론 이 힘을 매개하는 입자(가상적인 입자, 중력자(graviton))나 마당(장, 역장(force field)을 말한다) 으로도 정의할 수도 있으나, 중력을 제일 처음 다루었던 뉴턴(Sir Isaac Newton)의 관점을 따르기로 하자. 뉴턴이 발견한 중력의 특징은 다음과 같다.

"두 질량을 가진 입자는 서로를 끌어당기며, 그 힘은 두 질량의 곱에 비례하고 두 입자사이의 거리의 제곱에 반비례한다"

참 신기하게도, 전자기력 또한 두 입자 사이의 거리의 제곱에 반비례하는 성질을 가지고 있다. 이러한 성질은 우리가 보는 세계의 차원(공간적인 차원. 시간까지 합치면 완전치 못한 4차원이 된다. 이 부분은 특수론에서 다루기로 하자.)과 관련이 있다고 여겨진다. 3차원의 공간에서 정의된 구의 겉넓이는 반지름의 제곱에 비례한다.(자명하므로 증명은 생략한다.) 힘이 공간에 의해 매개된다고 할 때(역장의 개념으로 볼 수 있다), 힘은 등방향성의 성질에 따라 힘을 생성하는 입자에서 같은 거리에 떨어진 지점마다 모두 같은 힘을 제공해야만 한다.(이렇지 않다면 특정한 방향성이 존재한다는 것을 알게 되고, 등방향성이 깨져버린다.) 이때, 이 같은 거리에 떨어진 지점들의 수는 거리의 제곱에 비례한다(구의 겉넓이에 비례하게 될 것이기 때문이다). 따라서, 지점당 배당되는 힘은 거리의 제곱에 반비례할 수 밖에 없다. 나눠줄 점들이 거리의 제곱에 비례해서 계속 늘어나기 때문이다.

중력으로 돌아와서, 이제 이 중력이라는 것을 수학적으로 나타내 보기로 하자. 계속 강조하듯이, 물리라는 학문 자체가 수학적인 모델링에 그 기본 뼈대를 두고 있기 때문에 이런 귀찮은(?) 작업은 필수적이다.

vec[F(r)] = -GMm/(r^2) vec[e_i]

벡터 F(r)은 바라보는 질점이 바라보아지는(..) 질점에게 가해주는 힘이며,G는 비례상수를 나타낸다. 유래는 아무래도 영어단어 gravitation에서 온 듯 하다. M과 m은 두 질점의 질량을 말하며, r은 두 질점 사이의 거리를,벡터 e_i는 바라보는 질점에서 바라보아지는(..) 질점을 잇는 벡터의 단위벡터를 말한다. 말이 좀 꼬여있기는 한데, 다음 예를 보면 쉽게 이해할 수 있으리라 생각한다.

질점 M이 질점 m을 징그럽게 끌어당기는 힘은 위의 식과 같이 나타난다고 할 때, 벡터 e_i는 질점 M을 시점으로 하고 질점 m을 종점으로 하는벡터와 같은 방향의 단위벡터이다. 이쯤 되면 왜 - 부호가 붙었는지 이해할 수 있을 것이다. 근본적으로 벡터 e_i는 밀어내는 방향의 벡터이다. 중력은 끌어당기는 힘이므로, 필연적으로 - 부호가 붙게 되는 것이다.

2체문제와 환산질량

이제 두 물체가 중심력으로 서로 영향을 주고받는 상황을 다루어 보자. 이런 경우는 참 복잡하다. 이런 문제는 하나를 고정시키고(누구맘대로인지는 모르겠다) 다른 하나만 자유로이 움직인다고 가정하고 풀면 매우 쉽게 풀린다. 두개의 물체를 전부 고려해 주어야 했는데, 이제는 그 수고를 덜 수 있기 때문이다. 이제 그 수학적 기교를 보도록 하자.

먼저, 두 물체의 질량은 변하지 않는다고 가정하자. 이렇게 질량이 불변하다는 가정을 하면 여러가지로 참 편리하다. 대표적인 예로 운동량의 시간에 따른 변화로 정의되는 힘이 매우 간단해진다는 것이다. 이제 두 질점을 가정해 보자. 두 질점은 각각 M, m의 질량을 가지고 있으며, 두 질점의 위치벡터는 r_1, r_2이며, 두 질점 사이에 작용하는 중심력은 질점 M에서 기술된다고 하자. 그렇다면 방정식은 다음과 같이 나타내어 질 것이다.

m (d^2 vec[r_1])/(d t^2) = F(|vec[r_1]-vec[r_2]|) vec[e_i]

뉴턴의 제 3번째 법칙을 기억하시는지? 기억하신다면 다음과 같이 나타내는 것을 쉽게 이해할 수 있을 것이다. F의 힘을 M이 m에게 먹이고 있으니, 자기는 -F를 먹어야지.

M (d^2 vec[r_2])/(d t^2) = -F(|vec[r_1]-vec[r_2]|) vec[e_i]

이 두 식에서 각각 질량으로 나누어주고 위에서 아래를 빼 보자.

(d^2 vec[r_1])/(d t^2) -(d^2 vec[r_2])/(d t^2) = (M^-1 + m^-1) F(|vec[r_1]-vec[r_2]|) vec[e_i]

이제 vec[r]을 vec[r_1]-vec[r_2]로 정의해주고 잘 정리해 보자.

(mu) (d^2 vec[r])/(d t^2) = F(|vec[r]|) vec[e_i]

한결 식이 간단해졌다. 이 방정식은 이제질점 M이 바라보는 질점 m의 운동의 방정식이 된다. 이때의 mu는 mM/(m+M)으로 정의되며, 이것을 환산질량이라고 부른다. 더 공부할 사람들은 앞으로 이 환산질량을 많이 쓰게 될 것이다. 이 포스팅의 주요 목적은 물리적인 현상을 쉽게 설명하는 데 있고, 이후 중심력에 대한 부분은 대부분 수학적인 풀이법에 그치므로, 이쯤에서 포스팅을 마친다.

먼저 열역학의 기본적인식 두가지를 기본 전제로 하고 시작한다. 또한, 어는점내림은 약간의 얼음이 있을 때 평형상태인용액의 온도를 재는 것을 기준으로 한다.

S≡k log (omega)

T^-1≡(∂S)/(∂Q)

여기서 omega는 가능한 미시상태의 수를 나타낸다.

먼저, 총 엔트로피 S는 원래 용매의 엔트로피 S_0에 용질에 의한 엔트로피 S_s의 합이라고 가정하자.

또한, 용질은 용매와 함께 얼어버리지 않는다고 가정하자.

먼저, 다음과 같이 수를 정의하도록 하자. 단, 다른 용질입자라도 다 동일한 것으로 취급하기로 한다.

(이 말인즉 용질 입자의 수만 고려하겠다는 뜻이다.)

N_0≡Avogadro constant

H_f≡Heat of fusion of solvent per mole

N_1≡Number of solvent particles

N_s≡Number of solute particles

a≡mole number per unit mass of solvent

x≡molality concentration of solute

T_0≡Freezing point of pure solvent(Kelvin)

이제 식을 전개하도록 하자.

T^-1 = (∂S)/(∂Q) = (∂S_0)/(∂Q) + (∂S_s)/(∂Q)

= T_0^-1 + (∂S_s)/(∂Q)

먼저 S_s는 어떻게 되는지 보도록 하자.

정의를 사용하면

S_s≡k log (omega)

omega≡N_1 Combination (N_1 + N_s)

Sterling's formular(log(N!)≒N log N - N)를 이용해서 전개하면

S_s = k(N_1 log (N_1) + N_s log (N_s) - (N_1 + N_s) log (N_1 + N_s))

가 된다. 이제 (∂S_s)/(∂Q) 를 변수분리를 통해 전개하면

(∂S_s)/(∂Q) = (∂S_s)/(∂N_1) *(∂N_1)/(∂Q)

가 된다. (∂N_1)/(∂Q)은 -N_0/H_f(부호는 Q<0일때 N_1이 증가하기 때문이다. Energy가 액체계에서 떨어져 나가야지만 용매 분자가 하나 더 생겨난다. 따라서 Q<0일때 N_1이 증가한다.)이다. 또한

(∂S_s)/(∂N_1) = k log (N_1/(N_1 + N_s)) = -k log (1 + N_s/N_1) = -k log (1 + x/a)

(∵N_s = x N_0M , N_1 = a N_0M , M≡Mass of solvent)

이 됨을 알 수 있다. 따라서

T^-1 =T_0^-1 + (∂S_s)/(∂Q)

= T_0^-1 + N_0 H_f^-1 klog (1 + x/a)

= T_0^-1 (1 + N_0 H_f^-1 k T_0log (1 + x/a))

임을 알 수 있다. 이제 양변을 ^-1해주면

T = T_0 (1 + N_0 H_f^-1 k T_0log (1 + x/a))^-1

이 되는데, Taylor series expansion을 이용하면

T = T_0 (1 - (N_0 k T_0)/(a H_f) x)

∴T = T_0 - (N_0 k T_0^2)/(a H_f) x = T_0 - K_f x

임을 알 수 있다. 여기서 식

K_f = (N_0 k T_0^2)/(a H_f)

을 얻는다.

같은 원리로 끓는점오름상수 K_b를 구할 수 있다.

K_b = (N_0 k T_0^2)/(a H_e)

H_e≡Heat ofevaporation of solvent per mole

T_0≡Boiling point of pure solvent(Kelvin)

a≡mole number per unit mass of solvent

첨부.

H_f나 H_v가 J Kg^-1(단위질량당 에너지)로 주어지는 경우에는 a를 생략한다. a를 곱한 이유는 몰당 에너지를 단위질량당 에너지로 바꾸어 주기 위함이었기 때문이다.

Done by Dexter

http://blog.naver.com/jwkonline

K_f=(N_0 k T_0^2)/(a H_f)

N_0≡Avogadro constant

k≡Boltzmann constant

T_0≡Freezing point of pure solvent(Kelvin)

a≡mole number per unit mass of solvent

H_f≡Heat of fusion of solvent per mole

For water

N_0 = 6.022 142 * 10^23 mole^-1

k = 1.380 650 * 10^-23 J K^-1

T_0 = 273.15 K

a = 5.550 84 * 10^1 mole Kg^-1

H_f = 6.009 0 * 10^3 J mole^-1

K_f = 1.859 8 K Kg mole^-1

증명은 생략. 다른 물체에 대해서도 시도해보려고 생각중.

물리는 자연에 대한 수학적 모델링이라고 말했던가?

뭐, 일단 그렇다는 가정 하에서 물리 문제를 푸는 데 있어서 가장 중요한 스킬을 하나 올리려고 한다.

다름아닌 기준점잡기.

수학적 모델링에 있어서 가장 중요한 작업은 모든것을 서술할 기준, 즉 기준점을 잡는 것이다.

기준점에는 좌표축의 방향도 포함된다.

또 다른 중요한 작업은 물체의 기준점이다.

어디를 기준으로 물체를 서술하느냐가 문제가 된다.

예를 들어 회전은 물체의 질량중심을 기준으로 한다.

물론, 물체의 병진운동 또한 일반적으로 질량중심을 기준으로 서술한다.

또 다른 중요한 모델링 과정은 방향의 통일이다.

식이 방향이 각기 다르다면 그건 말 그대로 혼돈만 가져올 뿐이다.

본인의 예를 들자면, 본인은 구면에서 구르는 구슬의 마찰력이 작용하는 방향을 반대로 잡은 적이 있다.

마찰력이 일반적으로 작용하는 것으로 알려진 방향과 다르게 나오자 당황했던 기억이 있다.