Dexter's story

균일함에 대하여

우주는 균일하다고 여겨진다. 균일하다는 것은 쉽게 구분할 수 없다는 것으로, 크게 두 가지가 있는데, 하나는 방향에 대한 개념이 있고, 다른 하나는 위치에 대한 개념이 있다.

먼저, 방향적으로 균일하다는 것을 isotropic이라고 부른다. 한글로는 어떻게 번역되는지 잘 모르겠으나, 이 글에서는 편의상 "등방향성" 이라고 부르기로 하자. 우주에 등방향성이 존재한다는 것은 다음의 말과 같다. 우주 안의 한 지점에서 우주를 바라보고 있을 때, 그 점에서 어떤 방향으로 바라보고 있는지 알 수 없다는 뜻이다. 등방향성이란 바라보는 방향마다 차이가 적어 방향을 구분할 수 없을 때를 말한다. 쉽게 말해 밤하늘을 크게 확대해 놓으면 자기가 동쪽을 바라보고 있는지 남쪽을 바라보고 있는지 모르는 것이다.

다음으로, 위치적으로 균일하다는 것을 homogenous라고 부른다. 역시 한글로는 어떻게 번역되는지 잘 모르겠으나, 이 글에서는 "균일하다"라는 말을 이 개념에 배당하겠다. 이 균일성이라는 개념은, 우주 안에서 어떤 위치에 있는지는 기준점 없이는 알 수 없다는 것이다. 이처럼 균일하다는 것은 바라보는 위치가 바뀌어도 차이가 적어 위치의 차이를 구분하지 못할 때를 말한다. 쉽게 말해 서울의 밤하늘과 대전의 밤하늘은 밤하늘만 가지고서는 자기가 어디에서 하늘을 보고 있는지 구분하지 못하는 것이다.

균일함과 중심력

이제 완전히 빈 공간을 생각해 보자. 쉽게 생각하면 티끌하나 존재하지 않는 우주와 비견될 수 있을 것이다. 물론 실제의 우주에서는 양자 요동이라는 현상에 의해 불가능하지만, 아직까지는 고전적인 범위에서만 다루므로 티끌하나 존재하지 않는 완전히 비어있는 우주를 생각할 수 있다.

이제 이곳에 입자 하나를 놓자. 무엇이 되어도 상관이 없다. 그것이 사람이든, 책이든, 휴대폰이든, 시계든 상관이 없다. 하지만 이런 모든 것들은 자체적으로 방향성을 가지고 있는데다가(사람을 위에서 보는것과 아래에서 보는 것으로 구분할 수 있듯이), 분해되어 점들의 집합으로 서술될 수 있기 때문에 이상적인 상황을 논하고 있는 현재에는 그다지 합당하지 않다고 느껴진다. 따라서 이런 문제가 생기지 않도록 점 하나를 공간에 가져다 놓았다고 생각해 보자. 이제 이 점입자를 A라고 부르자.

바로 이 순간, 빈 공간에서의 균일성은 붕괴하게 된다. A라는 물질이 존재하게 되면서 A까지의 거리라는 변수에 의해 위치의 차이를 구분할 수 있게 되기 때문이다. 하지만, 아직 A의 방향성이 정해지지 않았으므로 A까지의 거리가 다른 경우에만 서로 구분할 수 있고 A까지의 거리가 같은 점들(구를 만들어낸다)끼리는 구분이 불가능하므로 균일성은 붕괴하기는 하지만 완전하지는 않다고 할 수 있다.

하지만 등방향성은 어떤가? 우리가 아는 것은 A까지의 거리일 뿐, A에 대한 방향은 알 수 없다. 이건 A의 입장에서 보면 더욱 두드러진다. A가 보기에는 12시 방향이나, 4시 방향이나 다 똑같은 끝없는 암흑뿐이다.(12시 방향도 정의하기 힘들다.) 결국 점을 하나 가져다 놓는다고 해서 등방향성이 깨지지는 않는다. 이처럼 우주가 등방향성을 보존한다는 것과 관련있는 힘이 중심력이다. 이제 중심력의 정확한 정의를 알아보자.

중심력은 무엇인가.

중심력이란 "입자와 입자 사이의 거리에만 관여하며, 그 방향이 입자와 입자를 잇는 선상에 놓이는 힘"을 말한다. 만약 중심력의 벡터가 입자와 입자를 잇는 선상에 놓이지 않는다면, 등방향성을 위배하게 된다. A로부터 받는 힘을 이용해 자신의 방향을 예측할 수 있고, 이는 등방향성이 깨져버리게 되기 때문이다. 실제 이런 방법으로 등방향성이 깨지는 경우는 관측된 바는 없다. 물론 일반상대론의 영역으로 가면 공간 자체가 휘어버리면서 공간 자체가 방향성을 가지게 되기도 하지만, 그것은 기본적으로 가속운동상태인 회전운동중이나 입자 자체가 움직이고 있어 방향성을 갖는 경우에나 볼 수 있는 것이다. 고전역학은 가속운동되는 계가 아닌 관성운동을 하는 계, inert한 계만 다루기 때문에 이런 경우까지 따로 다루지는 않겠다.

실제로도 자연계의 기본적인 힘으로 여겨지는 4대 힘(중력, 전자기력, 약력, 강력) 모두 중심력에 속한다. 이쯤 되면 독자들도 왜 기본적인 힘이 중심력에 속하는지 눈치를 챘으리라 믿으며(혹시 눈치채지 못한 독자를 위해 내 개인적인 생각을 말하자면, 나는 우주는 최대한 대칭성(등방향성이나 균일성)을 보존하려고 하는 성질을 갖고 있다고 믿는다. 이런 성질에 최대한 부합하기 위해 4대 힘이 모두 중심력으로 나타난다고 생각한다.), 중심력 중 가장 기초가 되는 중력으로 넘어가겠다.

가장 기초적인 중심력, 중력.

중력은 "중력질량을 갖는 두 물체 사이의 힘" 으로 정의된다. 물론 이 힘을 매개하는 입자(가상적인 입자, 중력자(graviton))나 마당(장, 역장(force field)을 말한다) 으로도 정의할 수도 있으나, 중력을 제일 처음 다루었던 뉴턴(Sir Isaac Newton)의 관점을 따르기로 하자. 뉴턴이 발견한 중력의 특징은 다음과 같다.

"두 질량을 가진 입자는 서로를 끌어당기며, 그 힘은 두 질량의 곱에 비례하고 두 입자사이의 거리의 제곱에 반비례한다"

참 신기하게도, 전자기력 또한 두 입자 사이의 거리의 제곱에 반비례하는 성질을 가지고 있다. 이러한 성질은 우리가 보는 세계의 차원(공간적인 차원. 시간까지 합치면 완전치 못한 4차원이 된다. 이 부분은 특수론에서 다루기로 하자.)과 관련이 있다고 여겨진다. 3차원의 공간에서 정의된 구의 겉넓이는 반지름의 제곱에 비례한다.(자명하므로 증명은 생략한다.) 힘이 공간에 의해 매개된다고 할 때(역장의 개념으로 볼 수 있다), 힘은 등방향성의 성질에 따라 힘을 생성하는 입자에서 같은 거리에 떨어진 지점마다 모두 같은 힘을 제공해야만 한다.(이렇지 않다면 특정한 방향성이 존재한다는 것을 알게 되고, 등방향성이 깨져버린다.) 이때, 이 같은 거리에 떨어진 지점들의 수는 거리의 제곱에 비례한다(구의 겉넓이에 비례하게 될 것이기 때문이다). 따라서, 지점당 배당되는 힘은 거리의 제곱에 반비례할 수 밖에 없다. 나눠줄 점들이 거리의 제곱에 비례해서 계속 늘어나기 때문이다.

중력으로 돌아와서, 이제 이 중력이라는 것을 수학적으로 나타내 보기로 하자. 계속 강조하듯이, 물리라는 학문 자체가 수학적인 모델링에 그 기본 뼈대를 두고 있기 때문에 이런 귀찮은(?) 작업은 필수적이다.

vec[F(r)] = -GMm/(r^2) vec[e_i]

벡터 F(r)은 바라보는 질점이 바라보아지는(..) 질점에게 가해주는 힘이며,G는 비례상수를 나타낸다. 유래는 아무래도 영어단어 gravitation에서 온 듯 하다. M과 m은 두 질점의 질량을 말하며, r은 두 질점 사이의 거리를,벡터 e_i는 바라보는 질점에서 바라보아지는(..) 질점을 잇는 벡터의 단위벡터를 말한다. 말이 좀 꼬여있기는 한데, 다음 예를 보면 쉽게 이해할 수 있으리라 생각한다.

질점 M이 질점 m을 징그럽게 끌어당기는 힘은 위의 식과 같이 나타난다고 할 때, 벡터 e_i는 질점 M을 시점으로 하고 질점 m을 종점으로 하는벡터와 같은 방향의 단위벡터이다. 이쯤 되면 왜 - 부호가 붙었는지 이해할 수 있을 것이다. 근본적으로 벡터 e_i는 밀어내는 방향의 벡터이다. 중력은 끌어당기는 힘이므로, 필연적으로 - 부호가 붙게 되는 것이다.

2체문제와 환산질량

이제 두 물체가 중심력으로 서로 영향을 주고받는 상황을 다루어 보자. 이런 경우는 참 복잡하다. 이런 문제는 하나를 고정시키고(누구맘대로인지는 모르겠다) 다른 하나만 자유로이 움직인다고 가정하고 풀면 매우 쉽게 풀린다. 두개의 물체를 전부 고려해 주어야 했는데, 이제는 그 수고를 덜 수 있기 때문이다. 이제 그 수학적 기교를 보도록 하자.

먼저, 두 물체의 질량은 변하지 않는다고 가정하자. 이렇게 질량이 불변하다는 가정을 하면 여러가지로 참 편리하다. 대표적인 예로 운동량의 시간에 따른 변화로 정의되는 힘이 매우 간단해진다는 것이다. 이제 두 질점을 가정해 보자. 두 질점은 각각 M, m의 질량을 가지고 있으며, 두 질점의 위치벡터는 r_1, r_2이며, 두 질점 사이에 작용하는 중심력은 질점 M에서 기술된다고 하자. 그렇다면 방정식은 다음과 같이 나타내어 질 것이다.

m (d^2 vec[r_1])/(d t^2) = F(|vec[r_1]-vec[r_2]|) vec[e_i]

뉴턴의 제 3번째 법칙을 기억하시는지? 기억하신다면 다음과 같이 나타내는 것을 쉽게 이해할 수 있을 것이다. F의 힘을 M이 m에게 먹이고 있으니, 자기는 -F를 먹어야지.

M (d^2 vec[r_2])/(d t^2) = -F(|vec[r_1]-vec[r_2]|) vec[e_i]

이 두 식에서 각각 질량으로 나누어주고 위에서 아래를 빼 보자.

(d^2 vec[r_1])/(d t^2) -(d^2 vec[r_2])/(d t^2) = (M^-1 + m^-1) F(|vec[r_1]-vec[r_2]|) vec[e_i]

이제 vec[r]을 vec[r_1]-vec[r_2]로 정의해주고 잘 정리해 보자.

(mu) (d^2 vec[r])/(d t^2) = F(|vec[r]|) vec[e_i]

한결 식이 간단해졌다. 이 방정식은 이제질점 M이 바라보는 질점 m의 운동의 방정식이 된다. 이때의 mu는 mM/(m+M)으로 정의되며, 이것을 환산질량이라고 부른다. 더 공부할 사람들은 앞으로 이 환산질량을 많이 쓰게 될 것이다. 이 포스팅의 주요 목적은 물리적인 현상을 쉽게 설명하는 데 있고, 이후 중심력에 대한 부분은 대부분 수학적인 풀이법에 그치므로, 이쯤에서 포스팅을 마친다.

먼저 열역학의 기본적인식 두가지를 기본 전제로 하고 시작한다. 또한, 어는점내림은 약간의 얼음이 있을 때 평형상태인용액의 온도를 재는 것을 기준으로 한다.

S≡k log (omega)

T^-1≡(∂S)/(∂Q)

여기서 omega는 가능한 미시상태의 수를 나타낸다.

먼저, 총 엔트로피 S는 원래 용매의 엔트로피 S_0에 용질에 의한 엔트로피 S_s의 합이라고 가정하자.

또한, 용질은 용매와 함께 얼어버리지 않는다고 가정하자.

먼저, 다음과 같이 수를 정의하도록 하자. 단, 다른 용질입자라도 다 동일한 것으로 취급하기로 한다.

(이 말인즉 용질 입자의 수만 고려하겠다는 뜻이다.)

N_0≡Avogadro constant

H_f≡Heat of fusion of solvent per mole

N_1≡Number of solvent particles

N_s≡Number of solute particles

a≡mole number per unit mass of solvent

x≡molality concentration of solute

T_0≡Freezing point of pure solvent(Kelvin)

이제 식을 전개하도록 하자.

T^-1 = (∂S)/(∂Q) = (∂S_0)/(∂Q) + (∂S_s)/(∂Q)

= T_0^-1 + (∂S_s)/(∂Q)

먼저 S_s는 어떻게 되는지 보도록 하자.

정의를 사용하면

S_s≡k log (omega)

omega≡N_1 Combination (N_1 + N_s)

Sterling's formular(log(N!)≒N log N - N)를 이용해서 전개하면

S_s = k(N_1 log (N_1) + N_s log (N_s) - (N_1 + N_s) log (N_1 + N_s))

가 된다. 이제 (∂S_s)/(∂Q) 를 변수분리를 통해 전개하면

(∂S_s)/(∂Q) = (∂S_s)/(∂N_1) *(∂N_1)/(∂Q)

가 된다. (∂N_1)/(∂Q)은 -N_0/H_f(부호는 Q<0일때 N_1이 증가하기 때문이다. Energy가 액체계에서 떨어져 나가야지만 용매 분자가 하나 더 생겨난다. 따라서 Q<0일때 N_1이 증가한다.)이다. 또한

(∂S_s)/(∂N_1) = k log (N_1/(N_1 + N_s)) = -k log (1 + N_s/N_1) = -k log (1 + x/a)

(∵N_s = x N_0M , N_1 = a N_0M , M≡Mass of solvent)

이 됨을 알 수 있다. 따라서

T^-1 =T_0^-1 + (∂S_s)/(∂Q)

= T_0^-1 + N_0 H_f^-1 klog (1 + x/a)

= T_0^-1 (1 + N_0 H_f^-1 k T_0log (1 + x/a))

임을 알 수 있다. 이제 양변을 ^-1해주면

T = T_0 (1 + N_0 H_f^-1 k T_0log (1 + x/a))^-1

이 되는데, Taylor series expansion을 이용하면

T = T_0 (1 - (N_0 k T_0)/(a H_f) x)

∴T = T_0 - (N_0 k T_0^2)/(a H_f) x = T_0 - K_f x

임을 알 수 있다. 여기서 식

K_f = (N_0 k T_0^2)/(a H_f)

을 얻는다.

같은 원리로 끓는점오름상수 K_b를 구할 수 있다.

K_b = (N_0 k T_0^2)/(a H_e)

H_e≡Heat ofevaporation of solvent per mole

T_0≡Boiling point of pure solvent(Kelvin)

a≡mole number per unit mass of solvent

첨부.

H_f나 H_v가 J Kg^-1(단위질량당 에너지)로 주어지는 경우에는 a를 생략한다. a를 곱한 이유는 몰당 에너지를 단위질량당 에너지로 바꾸어 주기 위함이었기 때문이다.

Done by Dexter

http://blog.naver.com/jwkonline

K_f=(N_0 k T_0^2)/(a H_f)

N_0≡Avogadro constant

k≡Boltzmann constant

T_0≡Freezing point of pure solvent(Kelvin)

a≡mole number per unit mass of solvent

H_f≡Heat of fusion of solvent per mole

For water

N_0 = 6.022 142 * 10^23 mole^-1

k = 1.380 650 * 10^-23 J K^-1

T_0 = 273.15 K

a = 5.550 84 * 10^1 mole Kg^-1

H_f = 6.009 0 * 10^3 J mole^-1

K_f = 1.859 8 K Kg mole^-1

증명은 생략. 다른 물체에 대해서도 시도해보려고 생각중.

이번엔 그냥 심심해서 풀어본(?) 문제랄까?

줄로 손가락 묶으면 아프잖아. 분명히 장력은 피부 표면에서 피부에 평행하게 나타날텐데

줄로 묶으면 왜 아픈걸까??

일단 이 문제를 해결하기 전에

일반적으로 사용하는 줄을 질점과 연결선의 집합으로 나타내려구.

물론 연결선은 선분이야. 절대 구부러지지 않지. 이건 가정이니까 태클걸지마.

간단하게 나타내면 아래처럼 되겠지.

여기서 R은 묶는 물체의 반지름이야. T는 아직 말 안했지만 줄에 걸린 장력이고.

인제 여기서 θ를 0에 근사시켜주면 압력이 나오겠지.

일단, 작용하고 있는 힘을 보자구.

질점이 물체에 주는 힘은 2Tsinθ야. 내가 그렇다면 그러려니 해.(눈치가 좋으면 눈치를 깠을거야)

어랏? 그런데 θ가 0으로 가면 힘이 0이 되잖아??

그러니까 볍신아 압력을 따져야지.

먼저 닿는 길이는 2Rcosθtanθ로 근사할 수 있어. 싫으면 4Rsin(θ/2)로 하시던가.

그리고 줄이 닿는 너비는 줄의 두께정도 된다고 가정하자구. 간단하게 d라고 놓자.

그러면 줄이 닿고있는 면적은 2Rdcosθtanθ 또는 4Rdsin(θ/2)가 되겠지.

인제 압력은 F/A라는 간단한 진리를 이용해 볼꺼야.

자 그러면 P=2Tsinθ/2Rdcosθtanθ또는P=2Tsinθ/4Rdsin(θ/2)가 되겠지.

θ를 0으로 보내버리면 P=T/Rd라고 정리가 되네?(이건 극한을 배우고 와)

자 이제 정리를 해보자.

금사를 무기로 쓰는 미친놈들 있잖아. 그게 구라라는게 증명된 셈이라고나 할까??

손가락에 금사를 걸고 적의 목을 뎅강 베어버리는데

그전에 손가락에 더 큰 압력이 걸리니까 손가락이 잘려나간다는 거야.

왜냐하면 손가락의 반지름이 남 목의 반지름보다 작잖아. 트롤이 쥐새끼를 상대로 금사를 쓰는 상황이 아닌 이상.

여기서 끝을 내야 깔끔한 끝을 보겠어. 그럼 이만.

이번에는전에 삘이 꽃혀서 만든 문제야

풀이는 내맘대로 생략하도록 하지.

태양은 질량 1.99×10^20kg의 거대한 항성으로, 반지름 6.96×10^8m, 표면온도는 5,800K이라고 알려져 있다.

태양을 탐사하기 위해 발사된 탐사위성 솔라리스는 태양에서 2×10^10m의 거리에서 원궤도를 따라 돌고 있다.

1. 원궤도를 따라 도는 솔라리스의 속도는 태양의 기준으로 보았을 때 얼마인가?

2. 알수 없는 이유로 솔라리스의 속도가 92.5%로 감소하였다. 이때 솔라리스는 타원궤도를 돈다. 이 타원궤도에서 근일점의 거리는 얼마인가?

3. 솔라리스는 단위면적당 10^5w 이상의 열이 가해지면 탐사기구가 고장난다. 탐사기구가 고장나지 않게 하기 위한 태양으로부터의 안전거리는 얼마인가?

4. 솔라리스의 질량은 1.5×10^3kg이다. 빛의 운동량만을 이용할 수 있는 낙하산(반사율 40%)을 펼 때, 탐사기구가 고장나지 않기 위한 낙하산의 최소 크기는 얼마인가?

문제를 푸는데 필요한 상수들

만유인력 상수 G = 6.67 ×10^-11 m^3/s^2 kg

볼츠만 상수σ= 5.67 ×10^-8 w/m^2 K^4

광속 c = 3.00 ×10^8 m/s

답

1> 8.15 ×10^4 m/s

2> 1.50 ×10^10 m

3> 1.76 ×10^10 m

4> 2.51 ×10^4 m^2

숫자 맞추는데 좀 힘들었어.

반나절은 고민한것 같은 문제.

Q)질량 m의 구가 높이 b의 문턱에 다가오고 있다. 구의 반지름은 r이고, 중력가속도는 g이다.

1) 구가 미끄러지며 다가올 때와 굴러올 때 문턱을 넘을 최소 속도를 비교하시오.

2) 실제로 구를 굴려보면 구가 튀어오를는 경우가 더 많다. 이처럼 구가 튀어 오를 최소 속도를 미끄러지며 다가올 때와 구르며 다가올 때 두 경우를 비교하여 구하시오. 단, 문턱의 탄성계수는 0이라고 가정한다.

힌트는 각운동량 보존법칙.

해답 쓰기 귀찮은데...ㅋ

먼저, 문턱 모서리에서 구에 대해 측정한 각운동량을 측정한 다음(이것이 포인트), 각운동량 일정 법칙을 이용해서 문턱에 닿았을 때 회전 속도를 구합니다.

이렇게 회전 속도를 구했으면, 문턱의 모서리를 중심으로 회전운동을 한다고 생각해서 일-에너지법칙을 이용합니다.

꼭대기까지 올라가기에 충분한 회전에너지를 갖고 있었으면 올라서는 거죠.

날아갈 조건을 구하는 것은 먼저 문턱에 닿았을 때 질량중심의 속도를 구합니다.

이 질량중심의 속도를 회전속도라고 보고, 이 회전속도를 잡아 줄 중력이 구심력의 역할을 하지 못한다면 날아가는 거죠.

답입니다.

1)√(14r^2bg/5(r-b)^2), √(14r^2bg/5((7/5)r-b)^2)

2)√(49r^2g/25(r-b)), √(49r^2g(r-b)/25((7/5)r-b)^2)

답을 보면 아시겠지만, 공이 떴어도 미끄덩 하고 다시 내려오는 경우도 생김을 알 수 있습니다.

각운동량을 재는 방법.

각운동량을 재는 기준점이 질량중심이 아닌 강체에 대해서 측정한 각운동량은

L=mr_cm×v_cm+Iw 입니다.

r_cm은 질량중심까지의 위치벡터, v_cm은 질량중심의 속도벡터, I는 질량중심에 대한 강체의 회전관성, w는 질량중심에 대한 강체의 회전각속도를 나타냅니다.

증명은 다음 글에 남기도록 하죠.

물리는 자연에 대한 수학적 모델링이라고 말했던가?

뭐, 일단 그렇다는 가정 하에서 물리 문제를 푸는 데 있어서 가장 중요한 스킬을 하나 올리려고 한다.

다름아닌 기준점잡기.

수학적 모델링에 있어서 가장 중요한 작업은 모든것을 서술할 기준, 즉 기준점을 잡는 것이다.

기준점에는 좌표축의 방향도 포함된다.

또 다른 중요한 작업은 물체의 기준점이다.

어디를 기준으로 물체를 서술하느냐가 문제가 된다.

예를 들어 회전은 물체의 질량중심을 기준으로 한다.

물론, 물체의 병진운동 또한 일반적으로 질량중심을 기준으로 서술한다.

또 다른 중요한 모델링 과정은 방향의 통일이다.

식이 방향이 각기 다르다면 그건 말 그대로 혼돈만 가져올 뿐이다.

본인의 예를 들자면, 본인은 구면에서 구르는 구슬의 마찰력이 작용하는 방향을 반대로 잡은 적이 있다.

마찰력이 일반적으로 작용하는 것으로 알려진 방향과 다르게 나오자 당황했던 기억이 있다.