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  1. 2024.02.18 Lamy Dialog cc 1
  2. 2023.07.06 Computing integrals using differential equations 3
  3. 2023.06.20 Wightman functions for a scalar field 1

너무 오래 블로그를 방치해두는 듯한 기분이 들어 뭘 올릴까 하다가 작년 크리스마스 기념 셀프 선물로 구매한 Lamy Dialog cc 개봉기(이제서야?)를 작성해보기로 했다. 트위스트 캡 방식이란 것에 흥미가 있기도 했고 '마침 독일에 있으니 독일제 만년필을 사보자!'란 기분으로 구매해봤다.

도착한 포장 상자. 얇은 종이 포장지에 싸여 있다.

역시 Lamy사의 최고급 필기구 라인이라 그런지 공산품(...)의 느낌이 나던 다른 만년필들과는 달리 허영심을 자극(...)하는 느낌의 포장 상자가 도착했다.

요즘 환율과는 완전히 동떨어진 가격 책정.

구매한 모델은 Lamy Dialog cc. 기존의 트위스트캡 방식 만년필이던 Dialog 3의 후속작이다. 가격은 블랙프라이데이 할인을 받아 320 유로. 특별판인 전흑 (all-black) 말고 기존 색상으로 주문했으면 250 유로로 구매하는 것도 가능했을텐데 연말보너스가 들어와서 마음에 드는 색상을 사겠다고 무리했다(...).

포장 상자. 쓸데없이(...) 크다.

주력으로 쓰는 L2K와는 달리 거대한 포장 상자에 담겨 온 Dialog cc. 의도치 않게 탄소배출에 기여하고 말았다.

포장 상자의 내부. 메인 상품인 펜과 펜 파우치가 들어 있다.

포장 상자를 열면 2층 구조로 내용물이 담겨 있다. 윗층은 펜과 펜 파우치, 그리고 내용물이 흔들리지 않도록 고정해주는 스펀지가 있다. 기존 색상인 진청색이나 백색은 로즈골드 색으로 LAMY 버튼과 펜 밑의 둥근 부분에 강조를 주었다면 특별판인 전흑의 경우 이름에 충실하게 모든 색상을 흑색으로 통일함으로서 어떤 강조점도 주지 않았다. 그야말로 미니멀리즘이랄까. 기존 색상은 어떤 느낌인지 알고 싶다면 Lamy 홈페이지의 제품안내 페이지를 통해 비교해보자.

포장 상자의 아랫층에는 카탈로그 등이 들어있다.

아랫층에는 카트리지와 카탈로그, 그리고 펜 세척 시 뚜껑(?)을 열린 상태로 고정시켜주는 도구가 들어있다. 역시 럭셔리 라인이라 그런지 카탈로그도 큼지막하게 뽑은걸 넣어두었다.

보관 상태의 펜의 모습.
필기 상태의 펜의 모습.

Lamy의 Dialog 만년필 시리즈의 특징은 트위스트캡이라는 것이다. 볼펜 중 간혹 몸통을 비틀어서 펜촉을 내보내는 종류가 있는데, 이 만년필도 같은 방식으로 펜촉을 뽑게 되어 있다. 펜의 몸통을 비틀 때 부드럽게 도는 느낌은 확실히 고급 제품이란 느낌이다.

'나 독일제요!'란 느낌의 Germany

사용중이 아닐 때는 둥근 마개가 펜촉이 드나드는 입구를 막고 있다가 몸통을 비틀기 시작하면 저 둥근 마개가 위로 젖혀지면서 펜촉이 나오는 방식이다. 기존 색상의 제품들은 저 마개에도 로즈골드로 포인트를 줬지만, 전흑은 이름대로 마개까지 흑색으로 처리하였다. 열리는 매커니즘 자체는 동일하니 어떻게 작동하는지 보고 싶다면 유튜브를 확인하도록 하자.

 

그래서 제 평가는요? 좋은 펜이기는 한데 실사용하기에는 부담스러워서 일단은 봉인해둔 상태(...). Lamy에서 기대하는 매끄러운 필기감도 있고 EF촉다운 가는 선도 마음에 들기는 하는데 가격이 가격이다보니 주력으로 사용하는 L2K처럼 막 들고 다니기 부담스럽다는게 문제. 비슷하게 막 들고 다녔던 몽블랑 145가 더 비싸긴 하지만 그건 지도교수님께 받은거라 내 돈을 주고 산 물건이 아니니 논외고(...). 카트리지/컨버터 형식이라 주력으로 사용하는 L2K에 비해 용량이 적다는 것도 감점 요인이다. 조금 다른 걱정거리는 트위스트 매커니즘의 밀폐성. 한번 만년필을 쓸 일이 생기면 많이 쓰기는 하지만 (특히 손으로 계산같은걸 할 일이 있으면 종이를 10장씩 소모하는게 보통이니) 안 쓸 때는 1-2주씩 펜을 안 쓰기도 하다보니 펜 안에서 잉크가 마르지 않을거란 확신이 생겨야 하는데, 이 펜은 매커니즘 특성상 기존의 뚜껑을 여는 펜에 비해 밀폐성이 부족할 수 밖에 없겠다는 기분이 들어 적극적으로 사용하기 꺼려지는 감이 있다. 더군다나 가끔 비행기를 타면 잉크가 터지는 경우가 있는데 이 펜을 들고 다니던 도중 잉크가 터진다면... 으음...

 

여튼, 선물로서는 최고의 특징(?)인 '갖고는 싶지만 내 돈 주고 사기는 부담스럽다'를 만족하는 만년필이라는 점에서는 만족하고 있다. 아직은 실사용보다는 관상용으로 쓰고 있을 뿐... =_=

Posted by 덱스터

어쩌다보니 다음 꼴의 적분을 할 일이 생겼다.

$$ F(s) = \int_0^\infty dx J_0(x) e^{-xs} \,,\, s>0 $$

여기서 $J_0 (x)$는 베셀함수. 적분 자체는 베셀함수의 라플라스 변환으로 볼 수 있다. Jackson 연습문제 풀다가 계산한 적분에 저 적분이 있어서 대충 $(1+s^2)^{-1/2}$랑 비슷한 꼴이겠거니 생각하고 있었는데, Mathematica에 돌려보니 그냥 저게 답이었다(...). 그렇다면 Mathematica 없이 저 적분을 하는 방법을 알아보기로 하자.

 

시작은 베셀함수의 미분방정식. 베셀함수는 다음과 같은 미분방정식에 의해 정의된다.

$$ x^2 \frac{d^2 J_\nu}{dx^2} + x \frac{d J_\nu}{dx} + (x^2 - \nu^2) J_\nu = 0 $$

우리는 $J_0$를 보고 있으니 $\nu = 0$으로 두고 $x$를 하나씩 떼어내면 된다.

$$ x J_0'' + J_0' + x J_0 = 0$$

이제 이 관계식을 이용해 $F(s)$가 만족하는 미분방정식을 적으면 된다. 예컨대 마지막 항은 다음과 같이 적을 수 있다.

$$ \int dx x J_0 (x) e^{-xs} = - \frac{d}{ds} \int dx J_0 (x) e^{-xs} = - F(s)' $$

가운데 항은 라플라스 변환의 특징을 이용하면 된다.

$$ \int dx J_0' e^{-xs} = \left. J_0 e^{-xs} \right|^\infty_0 - \int dx J_0 \frac{d}{dx} e^{-xs} = - J_0(0) + s F(s) $$

첫 항은 약간의 산수가 들어가기는 하지만 비슷한 방식으로 계산할 수 있다.

$$ \int dx x J_0'' e^{-xs} = - \frac{d}{ds} \left[ \int dx J_0'' e^{-xs} \right] = - \frac{d}{ds} \left[ - J_0'(0) + s ( - J_0 (0) + s F(s) ) \right] $$

따라서 베셀방정식의 라플라스 변환을 정리하면 다음과 같다.

$$ \left( J_0 (0) - \frac{d[s^2 F]}{ds} \right) + \left( - J_0 + s F \right) + \left( - F' \right) = - sF - (1 + s^2) F' = 0 $$

위 방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$ \frac{F'}{F} = \frac{d}{ds} \log(F) = - \frac{s}{1+s^2} = - \frac{1}{2} \frac{d}{ds} \log (1+s^2) $$

여기까지 쓰면 바로 답이 보이겠지만 $F(s) = A (1+s^2)^{-1/2}$로 결정된다. 이제 문제는 $A$를 결정하는 일. 경계조건은 $F(s \to \infty) = 0$과 $F(s=0) = 1$을 이용하면 된다. DLMF 10.22.41식의 베셀함수의 정규조건에서 따르는 성질.

$$ \int_0^\infty dx J_\nu(x) = 1 $$

이렇게 우리가 처음에 보이고 싶었던 적분을 계산할 수 있다.

$$ F(s) = \frac{1}{\sqrt{1+s^2}} = \int_0^\infty dx J_0(x) e^{-xs} $$

Posted by 덱스터

 

2023.06.16 - Klein-Gordon propagator in position space

Feynman propagator를 계산한 김에 그냥 관련 함수를 전부 계산해보기로 했다. 모든 two-point function은 결국 Wightman function이라 불리는 다음 두 함수의 계산으로 수렴한다.

$$ G^+(t,\vec{r}) := \langle 0 | \phi(t,\vec{r}) \phi(0) | 0 \rangle \,,\, G^- (t, \vec{r}) := \langle 0 | \phi(0) \phi(t,\vec{r}) | 0 \rangle $$

여기서 $G$에 달린 윗첨자의 부호는 positive frequency인가 negative frequency인가를 나타낸다. scalar field의 mode expansion에서 annihilation operator에 붙는 mode function이 positive frequency($\sim e^{- i E t}$)라고 불린다는 점에서 더없이 적절한 이름이라 하겠다.

$$ G^\pm = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{e^{\mp i (\omega_{\vec{k}} t - \vec{k} \cdot \vec{r})} }{2 \omega_{\vec{k}}} \,,\, \omega_{\vec{k}} := \sqrt{\vec{k}^2 + m^2} $$

Wightman function은 Klein-Gordon 방정식의 homogeneous solution을 만족한다.

$$ (\partial^\mu \partial_\mu + m^2) G^{\pm} (x) = 0 $$

주의해야 할 점이라면 Wightman function은 $x$가 원점을 지나는 lightcone의 안에 있든 밖에 있든 상관없이 정의된다는 점. 애초에 $x^2 = 0$인 lightcone 바로 위가 아니라면 발산하지 않는다. Feynman propagator는 time ordering operator[각주:1] $T$를 끼워넣은 것이므로 Wightman function으로부터 다음과 같이 구현할 수 있다. 단위허수 $i$가 어딘가에 붙긴 할텐데 중요한건 아니니까 무시하기로 하자.

$$ G_F (x) := \langle 0 | T \phi(x) \phi(0) | 0 \rangle = \Theta (t) G^+ (x) + \Theta(-t) G^{-} (x) $$

여기서 $x = x^\mu = (t, \vec{r})$은 좌표 4-vector인데, 혼동의 여지가 없으므로 그냥 위와 같이 간단하게 적기로 하자. 여기서 $\Theta(t)$는 Heaviside step function을 가리킨다. Feynman propagator가 Klein-Gordon 방정식의 Green's function이 되는 이유는 추가로 붙은 Heaviside function이 Dirac delta를 만들기 때문이다. ODE에서 Green's function을 구할 때 쓰는 테크닉과 원리상으로는 완전히 동등한 접근.

 

계산은 Feynman propagator 계산과 거의 동일하다. 약간의 부호만 신경써주면 될 뿐. 편의상 timelike separation을 먼저 고려하자.

$$ G^{\pm} =  \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{e^{\mp i t \sqrt{k^2 + m^2}} e^{\pm i \vec{k} \cdot \vec{x}}}{2 \sqrt{k^2 + m^2}} $$

위 식에서 $k$ 적분을 구면좌표계로 변환한 뒤 $d \cos \theta$적분을 취한다.

$$ G^{\pm} = \frac{1}{2 (2 \pi)^2} \int k^2 dk d \cos \theta \frac{e^{\pm i k r \cos \theta} e^{\mp i t \sqrt{k^2 + m^2}}}{\sqrt{k^2 + m^2}} \\\\ = \frac{\mp i}{8 \pi^2 r} \int_0^\infty k dk \frac{e^{\mp i (t \sqrt{k^2 + m^2} - kr)} - e^{\mp i (t \sqrt{k^2 + m^2} + kr)}}{\sqrt{k^2 + m^2}} $$

$k \to -k$의 대칭을 이용하여 적분구간을 전체 실수로 확장하고 $\frac{1}{2}$를 곱한 뒤 지수를 정리하기 위해 다음 변수들을 도입한다. 이 때 $t>0$이라고 가정한다.

$$ \rho = \sqrt{t^2 - r^2} \,,\, \cosh \alpha = t / \rho \,,\, \sinh \alpha = r / \rho \,,\, k = m \sinh \eta $$

이 경우 적분은 다음과 같이 정리된다.

$$ G^{\pm} = \frac{\mp i m}{16 \pi^2 r} \int_{-\infty}^{\infty} \sinh \eta d \eta \left( e^{\mp i m \rho \cosh (\eta - \alpha)} - e^{\mp i m \rho \cosh (\eta + \alpha)} \right) $$

우선 적분구간을 정리해준다.

$$ G^{\pm} = \frac{\mp i m}{16 \pi^2 r} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \sinh (\eta + \alpha) - \sinh (\eta - \alpha) \right) d \eta e^{\mp i m \rho \cosh \eta} $$

다음으로는 삼각함수 항등식을 이용해서 수식을 정리해준다.

$$ G^{\pm} = \frac{\mp i m \sinh \alpha}{8 \pi^2 r} \int_{-\infty}^{\infty} \cosh \eta d \eta e^{\mp i m \rho \cosh \eta} = \frac{\mp i m}{4 \pi^2 \rho} \int_{0}^{\infty} \cosh \eta d \eta e^{\mp i m \rho \cosh \eta} $$

마찬가지로 DLMF의 10.32.9식을 이용하면 정리 완료. 이 때 $z$는 $|\text{ph} (z) | < \pi/2$의 조건을 만족해야 하므로, 엄밀히 말해서는 $\pm i m \rho$를 허수축에서 $0^+$만큼 떨어진 boundary value로서 취급해야 한다.

$$ K_\nu (z) = \int_0^\infty dt \cosh (\nu t) e^{- z \cosh t} $$

위 적분을 대입하면 Feynman propagator와 비슷하게 생긴 Wightman function을 얻는다.

$$ G^{\pm} = \frac{m^2}{4 \pi^2} \frac{K_1 (\pm i m \rho)}{\pm i m \rho} \,,\, \rho^2 = t^2 - \vec{r}^2 > 0 \,,\, t>0 $$

$t<0$의 경우에는 $\cosh \alpha$ 정의의 부호를 뒤집어준다.

$$ \rho = \sqrt{t^2 - r^2} \,,\, \cosh \alpha = -t / \rho \,,\, \sinh \alpha = r / \rho \,,\, k = m \sinh \eta $$

정리되는 식은 $t>0$과 거의 비슷하지만 지수에서 차이가 나게 된다.

$$ G^{\pm} = \frac{\mp i m}{16 \pi^2 r} \int_{-\infty}^{\infty} \sinh \eta d \eta \left( e^{\pm i m \rho \cosh (\eta + \alpha)} - e^{\pm i m \rho \cosh (\eta - \alpha)} \right) $$

전체 부호를 앞으로 빼면 $G^+ \leftrightarrow G^-$의 교환에 대응되니 다음 식으로 정리된다.

$$ G^{\pm} = \frac{m^2}{4 \pi^2} \frac{K_1 (\mp i m \rho)}{\mp i m \rho} \,,\, \rho^2 = t^2 - \vec{r}^2 > 0 \,,\, t<0 $$

함수 자체는 거의 같게 나오지만 세세한 부분에서 차이가 있는 것을 볼 수 있다. 참고로 위 결과는 DLMF의 connection formula 10.27.8을 이용해 Hankel function으로도 적을 수 있다. 구체적으로 필요한 식은 다음.

$$ K_1(iz) = - \frac{\pi}{2} H_1^{(2)} (z) \,,\, K_1(-iz) = - \frac{\pi}{2} H_2^{(1)} (z) \,,\, z>0 $$

이 경우 positive frequency Wightman function은 다음과 같이 정리되며

$$ G^+ = \frac{i m}{8 \pi \rho} \left[ H_1^{(2)} (m \rho) \Theta(t) - H_1^{(1)} (m \rho) \Theta(-t) \right] \,,\, \rho^2 = t^2 - \vec{r}^2 > 0$$

negative frequency Wightman function은 위 함수의 켤레복소수로 주어진다.

$$ G^- = \frac{- i m}{8 \pi \rho} \left[ H_1^{(1)} (m \rho) \Theta(t) - H_1^{(2)} (m \rho) \Theta(-t) \right] \,,\, \rho^2 = t^2 - \vec{r}^2 > 0$$

여기서 $\Theta(x)$는 Heaviside step function. 위 두 형태가 Bogoliubov 양자장론 교재에서 제공하고 있는 형태이다.

 

Spacelike separation의 경우 $|\text{ph} (im\rho) | < \pi/2$의 조건을 생각해서 analytic continuation을 하면 되는데, 결과적으로는 $ \rho' = \sqrt{r^2 - t^2}$로 두고 Bessel function의 argument가 $m \rho'$이 되면 된다. 하지만 이왕 계산을 시작했으니 Feynman propagator 계산처럼 $t=0$인 좌표계를 잡는 대신 제대로 계산해보자. 이번에 택할 변수변환은 다음과 같다.

$$ \rho' = \sqrt{r^2 - t^2} \,,\, \cosh \alpha = r / \rho' \,,\, \sinh \alpha = t / \rho' \,,\, k = m \sinh \eta $$

이번에는 사인함수로 정리된다.

$$ G^{\pm} = \frac{\mp i m}{16 \pi^2 r} \int_{-\infty}^{\infty} \sinh \eta d \eta \left( e^{\pm i m \rho' \sinh (\eta - \alpha)} - e^{\mp i m \rho' \sinh (\eta + \alpha)} \right) $$

적분을 반으로 나눠서 정리해준다. 첫번째 항은 다음과 같이 정리된다.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \sinh \eta d \eta e^{\pm i m \rho' \sinh (\eta - \alpha)} = \int_{-\infty}^{\infty} \sinh (\eta + \alpha) d \eta e^{\pm i m \rho' \sinh \eta} \\ = \int_{-\infty}^{\infty} ( \sinh \eta \cosh \alpha + \cosh \eta \sinh \alpha) d \eta e^{\pm i m \rho' \sinh \eta} $$

두번째 항도 마찬가지로 정리할 수 있다.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \sinh \eta d \eta e^{\mp i m \rho' \sinh (\eta + \alpha)} = \int_{-\infty}^{\infty} ( \sinh \eta \cosh \alpha - \cosh \eta \sinh \alpha) d \eta e^{\mp i m \rho' \sinh \eta} $$

둘을 더하면 다음과 같이 정리된다.

$$ \cosh \alpha \int_{-\infty}^{\infty} \sinh \eta d \eta \left( e^{\pm i m \rho' \sinh \eta} - e^{\mp i m \rho' \sinh \eta} \right) \\\\ + \sinh \alpha \int_{-\infty}^{\infty} \cosh \eta d \eta \left( e^{\pm i m \rho' \sinh \eta} + e^{\mp i m \rho' \sinh \eta} \right) $$

첫번째 항은 DLMF의 10.32.7식을 이용해 정리할 수 있다.

$$ K_\nu (x) = \frac{1}{\sin (\nu \pi / 2)} \int_0^\infty \sin \left( x \sinh t \right) \sinh (\nu t) dt $$

결과는 Feynman propagator에서 보던 것과 비슷한 항.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \sinh \eta d \eta \left( e^{\pm i m \rho' \sinh \eta} - e^{\mp i m \rho' \sinh \eta} \right) = \pm 4 i \int_0^\infty \sinh \eta \sin (m \rho' \sinh \eta) d \eta \\ = \pm 4 i K_1 (m \rho') $$

두번째 항은 발산하는 항을 준다.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} \cosh \eta d \eta \left( e^{\pm i m \rho' \sinh \eta} + e^{\mp i m \rho' \sinh \eta} \right) = 4 \int_0^\infty \cosh \eta \cos (m \rho' \sinh \eta) d \eta $$

대응되는 DLMF의 10.32.7식이 발산하기 때문. 식 사용 조건에 $|\mathfrak{R} \nu|<1$이 있었으니 단순 적용하기에 무리가 있기는 했지만.

$$ K_\nu (x) = \frac{1}{\cos (\nu \pi / 2)} \int_0^\infty \cos \left( x \sinh t \right) \cosh (\nu t) dt $$

여튼, 이 적분을 임시로 $f(m \rho')$이라고 부르기로 하자. 적분을 전부 더하면 다음과 같은 식을 얻는다.

$$ G^{\pm} = \frac{m^2}{4 \pi} \frac{K_1 (m \rho')}{m \rho'} \mp \frac{i m t}{ 4 \pi r} \frac{f(m \rho')}{\rho'} $$

발산하는 적분의 앞에 붙는 계수가 Lorentz symmetry를 만족하지 않는 것을 볼 수 있다. 따라서 가장 적절한 해법은 $f(m \rho') = 0$으로 두는 것. 따라서 이 경우 Wightman function은 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$ G^{\pm} = \frac{m^2}{4 \pi} \frac{K_1(m s)}{m s} \,,\, s^2 = \vec{r}^2 - t^2 > 0 $$

 

앞서 구한 세 값을 한 식에 정리하고자 한다면 다음과 같이 적을 수 있다.

$$ G^{\pm} = \frac{m^2}{4 \pi^2} \frac{K_1(m \sqrt{s_{\pm}^2})}{m \sqrt{s_{\pm}^2}} \,,\, s_{\pm}^2 = \vec{r}^2 - (t \mp i 0^+)^2 $$

저번에 구한 Feynman propagator는 두 Wightman function을 조합하는 것으로 구할 수 있다.

$$ G_F = \Theta (t) G^+ + \Theta(-t) G^- = \frac{m^2}{4 \pi^2} \frac{K_1(m \sqrt{s_F^2})}{m \sqrt{s_F^2}} \,,\, s_F^2 = \vec{r}^2 - t^2 + i 0^+ $$

단순하게 analytic continuation condition이 맞도록 $s_{\pm}^2$에 붙은 $i0^+$의 위치를 바꿔준 것. 흥미로운 경우는 Pauli-Jordan 함수라고도 불리는 commutator의 기댓값. 이번에도 단위허수 $i$는 무시하기로 한다.

$$ G_{PJ} := \langle 0 | [\phi(x) , \phi(0)] | 0 \rangle = G^+ - G^- = \frac{m^2}{4 \pi^2} \left[\frac{K_1(m \sqrt{s_{+}^2})}{m \sqrt{s_{+}^2}} - \frac{K_1(m \sqrt{s_{-}^2})}{m \sqrt{s_{-}^2}}\right] $$

이 함수는 $s^2 = \vec{r}^2 - t^2 > 0$일때 0이 된다. 이렇게 spacelike separation의 commutator가 사라지는 조건을 microcausality라고 부르기도 한다.

  1. 레퍼런스에 따라서는 chronological ordering이라고 부르기도 한다. [본문으로]

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