선형대수와 행렬

선형사상(linear map)은 두 벡터공간을 연결하는 특정한 함수의 하나이다. 이 함수를 규정하는 조건은 다음과 같다.

(생각해보니 두번째 줄은 넣지 않아도 되었을 듯)

선형사상은 항상 적절한 행렬로 나타낼 수 있다는 것이 알려져 있다.^[각주:1] U와 V는 벡터공간이므로, 각 공간의 기저(basis)를 임의로 정할 수 있다. 각 공간의 차원을 m, n이라고 부르고 벡터를 어떤 고정된 기저의^[각주:2] 선형조합으로 나타낼 때 각 성분을 열벡터로 쓰자. 예시;

출력되는 벡터도 마찬가지로 써 준다.(이번에는 n개의 행을 가진 열벡터가 된다.) 다음, 선형사상의 정의를 고려해서 출력값을 다음과 같이 써 준다.

이제 각 기저벡터의 상(image)을 열벡터로 나타내준다. 각 기저벡터의 상을 b_i라고 쓰자.

이제 x의 상은 다음과 같아진다.

이 연산은 행렬로도 쓸 수 있다.

b_i는 n×1 열벡터이기 때문에 선형사상 f는 n×m 행렬이 된다.

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재미있는 사실은 이 선형사상을 텐서의 일종으로^[각주:3] 볼 수 있다는 것이다.(물론 차원이 조금 이상하기는 하지만)

먼저 사상을 F라는 행렬로 쓰자. 그리고 F라는 행렬을 만드는데 쓰였던 상의 기저를 Y라는 집합으로, 전상(preimage)의 기저를 X라는 집합으로 쓰자. 상을 열벡터 y로, 전상을 열벡터 x로 쓴다면 위의 방정식은 다음과 같다.

이제 전상의 기저(X→X')를 바꾸어보자. 벡터 자체는 그대로 있지만 기저를 바꾸어서 그 벡터를 나타내는 숫자를 변경하는 것이다. 어차피 벡터의 표현 형식보다는 벡터 자체의 성질이 중요하기 때문에 원상의 기저를 바꾼다고 해서 상이 바뀔 이유는 없다. 그리고 상 자체는 그대로 있기 때문에, 상을 나타내는 기저가 바뀌지 않는 한 벡터 y는 바뀔 이유가 없다. 먼저 기저를 바꾸어서 x로 측정되던 벡터가 이제는 x'으로 측정된다고 하자.^[각주:4] 이렇게 기저를 바꾸어주는 행렬을 T_x라고 쓰자.

그러면 사상 F가 변해야만 상이 y로 제대로 나올 수 있다. 단순히 F에 x'을 곱한다고 y가 나오지는 않으니 말이다. 기저 X를 새로운 기저 X'으로 쓸 때 사상을 나타내는 행렬을 F'이라고 하자.^[각주:5] 물론 사상 자체가 바뀌지는 않았지만 숫자는 바뀌었다. 의외로 F'를 구성하는 숫자들은 간단하게 얻을 수 있다.

이번에는 상의 기저(Y→Y')마저 변했다고 치자. 벡터 y를 나타내는 숫자는 다음과 같이 변한다.

이렇게 되면 사상을 나타내는 행렬마져도 변하게 되는데, 이 행렬은 F''으로 쓰자. 처음처럼 간단한 형식을 유지하고 싶으면 다음과 같이 숫자를 변경하면 된다.

선형대수학을 공부한 많은 사람은 무언가 비슷한 식을 기억하고 있을 것이다. 위 식은 유사변환(similarity transform)의 전 형태이다. 상과 전상의 차원이 같고 둘 다 같은 기저만을 쓰도록 한다면 T_y와 T_x가 똑같기 때문에 유사변환이 된다.

이 글을 읽고나면 텐서의 정의를 읽기 조금은 쉬워질지도 모르겠다. 위에서 쓴 것을 좀 더 일반적으로 쓴 것이 텐서의 변환이기 때문이다. 역행렬이 곱해지는 것은 covariant의(아래쪽에 인덱스가 붙는 형태) 성질이고 그냥 행렬이 곱해지는 것은 contravariant의(위쪽에 인덱스가 붙는 형태) 성질이다.^[각주:6] 나중에 tensor(2)를 쓰게 되면 정리하겠다.(과연 언제이려나)

1. 선형대수학이 행렬학인 이유 [본문으로]
2. 계속 같은 기저를 이용해 벡터를 측정한다는 말이다 [본문으로]
3. 양쪽을 동일한 성질(covariant 또는 contravariant)의 벡터라고 할 때 (1,1) 텐서이다. [본문으로]
4. 벡터가 변한 것이 아니라 벡터를 나타내는 숫자가 변한 것이다. 예를 들어 xy평면에서 (1,0)에 있는 점은 축을 시계방향으로 90도 돌리면 (0,1)에 있게 되지만, 축이 돌아간 것일 뿐 점 자체가 이동한 것은 아니다. 여기서는 (1,0)이 x에 해당하고, (0,1)이 x'에 해당한다. [본문으로]
5. y=F'x'으로 쓰고 싶은 상태 [본문으로]
6. 링크된 글에서는 엄격히 말하자면 contravariant 성분이 둘인 (2,0)텐서로 써야 했지만 귀찮아서 covariant로 써버렸다. [본문으로]