루빅스로 배우는 군론

요즘 444 루빅스 리벤지를 돌리다가 재미있는 현상을 발견했다. 같은 색 조합을 가진(예를 들면 빨강과 녹색을 면으로 가진) 모서리 조각이 서로 붙어있는 경우 반대 방향으로 붙을 수 없다는 것이다. 한 20여번 맞추어 보면서 그렇게 붙어있던 적을 한번도 본 적이 없었으니 아마도 맞을 것이다.

고등학교 졸업논문(...)으로 222 루빅스 큐브의 조합의 수가 왜 전체 가능한 배치에서 3을 나누어야 하는지를 썼던 기억이 있어서(지금 그 논문은 노트북 어딘가에 잠들어 있을 듯) 비슷한 방법을 쓰면 되겠지라고 생각하고 있었다.^[각주:1] 그런데 이게 직접 숫자를 정의하고 모든 경우의 수마다 계산해주어야 하는 귀찮은 작업이라 인터넷에 비슷한 것을 발견한 사람이 없나 찾아보고 있었다.

그래서 군론을 살짝 공부해보고 있는 겸 rubix cube group이라는 검색어로 구글을 뒤적거려 보았더니 이 pdf가 튀어나왔다.

http://www.geometer.org/rubik/group.pdf

읽다 보니 '군론으로 전혀 알지 못하는 것도 다룰 수 있게 되었다'는 어느 물리학자의 말이 와 닿는다.

p.s. 군론에 대한 강의를 듣고 싶으면 '현대대수학'이라는 강의를 들으면 되는데, 대수라는 것은 '숫자를 대신한다'라는 뜻을 갖고 있다. 그러니까 직접 숫자를 쓰지 않고 계산한다는 의미로, 다르게 말하면 연산을 추상화해서 연산들의 공통점을 찾아낸다는 내용이 군론의 주된 내용이다. 현미경으로도 보이지 않는 입자들을 가지고 각종 계산을 해야 하는 물리학자들에겐 더없이 필요한 수학인 셈이다.

1. 3을 나눈다는 것은 무작정 분해한 다음에 임의로 재조립했을 때 맞출 수 있는 배치가 될 확률이 1/3이라는 뜻이다. 불변값(내가 찾아낸 것은 3을 modulus로 갖는 숫자였다.)을 찾아내면 쉽게 증명할 수 있다. [본문으로]