자기 단극자의 vector potential

덧글에 찔려서 시작하는 백만년만의 물리 포스팅. 물리 포스팅은 수식 쓰는 시간이 길어서 조금 힘들다. 이번에는 Sakurai의 Modern Quantum Mechanics 140페이지에 등장하는 벡터 포텐셜을 구해보자.

$$\mathbf{A}=\frac{1-\cos\theta}{r\sin\theta}\hat\phi$$

시작은 curvilinear orthogonal coordinate system에서(특히 구면좌표계)의 curl에 대한 표현이다.

$$\nabla\times\mathbf{A}=\frac1{uvw}\begin{vmatrix} u\hat{x_1}&v\hat{x_2} &w\hat{x_3} \\ \partial_1&\partial_2 & \partial_3\\ uA_1&vA_2 &wA_3 \end{vmatrix}\\d\mathbf{s}=udx_1\hat{x_1}+vdx_2\hat{x_2}+wdx_3\hat{x_3}$$

구면좌표계에서는 $u=1, v=r, w=r\sin\theta$인데, 우리가 원하는 curl의 형태는 $\frac1{r^2}\hat{r}$이기 때문에 해를 구하기 위해 다음과 같이 어느 정도 단순화된 해를 가정할 수 있다.^[각주:1]

$$\mathbf{A}=A_\phi \hat\phi\\r\sin\theta{A_\phi}=f(\theta)\\\partial_\theta[{r\sin\theta{A_\phi}}]=\sin\theta$$

물론 이 방정식을 풀면(적분상수 C는 남겨둔다)

$$ f(\theta)=C-\cos\theta\\\therefore{A_\phi}=\frac{C-\cos\theta}{r\sin\theta}$$

을 얻는다. C=1로 두면 위에서처럼 음의 z축에서만 폭발하는 vector potential을 만들 수 있고, 내가 구했던 경우는 C=0이었는데 이건 z축에서는 사용이 불가능했다.

$$ \mathbf{A}=-\frac1{r}\cot\theta\hat\phi $$

자기 단극자는 흥미로운 현상이다. 원래 없다는 공리에서 세워진 이론 체계에서 있다는 결론을 도출할 수 있다니 어찌 재미없다고 할 수 있겠는가. 요즘 부대에서 하는 물리 생각의 80% 이상은 이 녀석 생각이다. 잠정적인 결론은 "자기 단극자가 있다면 질량이 없을 것이다"이지만.(그래서 광속으로 이동하는 전하의 전기장에 대해 생각하고 있다.)

1. 역으로 theta방향 성분만 있는 벡터 포텐셜을 생각할수도 있다. 하지만 이 경우 생기는 문제는 특이점의 집합이 평면이 되어버린다는 것이다. [본문으로]