Power set, again

2010/04/13 - 무한대와 무한대가 만났을 때 
2010/04/01 - 일상
2010/03/15 - Power Set에 대한 잡담

KP집합론이라는 녀석을 발견했다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Kripke–Platek_set_theory

이 녀석에서는 멱집합 공리를 가정하지 않는다고 한다. 유한집합에 대해서 멱집합을 멱집합 공리 없이 만들어내는 방법이 있는 것이 확실해 보인다.

글을 여기에서 끝내기에는 글이 너무 짧아 좀 그러니까 내가 시도한 방법을 공개한다.

1. Axiom of Existence, Axiom of Extensionality, Axiom of Pair, Axiom of Union, Axiom schema of Replacement를 가정. 모든 자연수에 대해 그 멱집합이 존재함을 보일 것이다. 어떤 집합의 크기가 자연수라면 당연히 자연수와 일대일 대응 관계가 존재하므로 그 관계를 이용해 멱집합의 모든 원소들을 바꾸어주면 땡.

2. 자연수는 일반적으로 통용되는 정의(0={}, 1={0}, 2={0,1}, ...)를 사용한다.

3. 다음 operation을 정의한다.

4. 수학적 귀납법만 남았다.
i. 0에 대해 멱집합이 존재한다.

ii. n에 대한 멱집합이 존재한다고 가정하자. n+1에 대한 멱집합은 다음과 같다.

(증명은 생략. 헤맬 독자들을 위해 간단히 설명하자면, 전 멱집합에 마지막으로 추가된 원소 하나씩 집어넣은 녀석들을 합집합 해주는 거다.)

5. 모든 유한집합에 대해서 멱집합은 공리 없이 존재합니다! 우왕ㅋ굳ㅋ

문제는 3번이다. 저게 존재한다는 것을 어떻게 보일 수 있으려나...