Dexter's story

알라딘 메인 페이지에 올라왔을 때 눈여겨보았다가 얼마 전 사서 하루만에 읽어치운 책. 재미있게 읽었으나 뒤로 갈수록 뒤끝이 흐려지는 느낌이 들어 아쉬웠다. 상대적으로 이야기를 끌어 낼 만한 단어가 그리 많지 않아서 책으로 만들 분량을 채우기 위해 억지로 단어를 우겨넣으면서 생긴 현상인지 아니면 갈수록 내 집중력이 흐려졌는지는 불명이지만, 적어도 한 단어에 할애된 페이지 수는 갈수록 점차 줄어드는 것은 분명하다. 어떤 단어에서는 그 단어에 대한 이야기를 풀어놓은 것과 자신의 이야기를 하는 부분의 길이가 거의 비슷하기도 하다.

아는 친구 하나가 방황을 좀 하는 것 같길레 갑자기 떠올라 추천해 준 책이다.

Q.

어떤 n개의 자유도를 가진 scalar 함수 G가 있고, 이 값을 극대화하고 싶다. 물론 그냥 극대화하고 싶다면 gradient가 0이 되는 지점을 찾으면 된다.

1. 제설하고 살지요
펄~ 펄~ 눈이 옵니다, 하~늘에서 눈이옵니다.
올해 특히 많은 눈이 온다고 하네요. 와우! 할렐루야! 이건 축복이야! 엉엉
요즘은 그나마 눈이 덜 와서 다행이지만 영하 13도의 대한파(....)


2. 요령껏 하기
통계역학 공부하면서 익힌(?) 요령에 대해서 글을 적어보려 합니다.
테일러 근사를 그냥 하지 않고 로그를 써서 완만한 함수로 만든 뒤에 근사하기. 정규분포의 정당성과 중심극한정리, Stirling 근사식과 관계가 있죠.
그래도 물이 고여있지만은 않은 것 같아 기분이 나쁘지는 않네요.


3. 책
『한비자』와 『윤리학』을 읽고 있습니다. 한비자는 한비가 써서 한비자고 윤리학은 아리스토틀이 쓴 니코마코스 윤리학인데 둘을 비교하며 읽는것도 재미있더군요. 한비가 노장사상에 기반을 둔 탈인간적인 인간상을 이상적인 인간으로 제시하는 반면에 아리스토틀은 균형잡인 인간성의 인간적인(?) 인간을 이상형으로 제시하고 있으니 말이죠. 더불어 목요일에 신우회라고 기독교 모임에서 들은 설교를 듣다 떠올린 건데, 기독교와 노장사상에서 지향하는 인간상은 비슷한 것 같습니다. 다만 그 근거가 인격이 없는가(도) 있는가(신)에서 차이가 난다고나 할까.


4. 돈
어제는 영화 <시라노; 연애조작단>을 보았습니다. 조금 특이한 부대에 있어서 이런 문화활동을 할 기회가 많아서요. '인생에 한번 정도는 나를 위한 무대에 서고 싶다'는 심리를 이용해 '실제로 그런 일이 가능하다면'이라는 상상을 잘 버무려 냈죠. 물론 들었던 생각은 '역시 의뢰비를 받는군 - 돈 없으면 사랑도 못하는건가'라는 암울한 감정뿐이었지만. 이건 내가 모태솔로여서가 아니야.



5. 일병
일병 단지 2주일 정도 되었습니다. 벌써 상병 달고 싶어지네요 엉엉.

1.

2010/08/03 - 엔트로피 - 고전적인 정의

특정 작업을 수행하도록 설계된 쓸데없이 복잡한 기계를 말한다.


만화가이자 발명가였던 루브 골드버그(Rube Goldberg)의 이름을 딴 것이라고 한다. 비슷한 아이디어는 엄청 많은지 나라마다 부르는 명칭이 조금씩 다른 모양이다. 뭔지는 알지만 이름만 모르는 간단한 상식을 알고 넘어가자는 의미의 글.

일단 이 내용은 09년 봄학기 항공역학 기말고사 시험문제였죠. 기초적인 읽을거리 들어갑니다.

11월 1일까지 두 편의 글이 예약되어 있다. 물론 글 하나에서 둘 정도는 더 쓸 생각이고, 그러면 11월 중순이나 말까지는 계속 블로그에 글이 올라오게 되겠지.

스타를 하다 보면 병력을 나누어서 싸우지 말고 뭉쳐서 싸우라고 한다. 이른바 '뭉치면 살고 흩어지면 죽는다'인데, 이것을 직접 수학적으로 풀어낸 것이 란체스터 법칙이다.

전설의 명작인 스타크래프트를 가지고 생각해보자. 이쪽에 마린이 10기 있고 저쪽에 마린이 8기 있다. 병력의 수는 2기밖에 차이가 안 나지만, 실제로 싸워보면 10기가 있는 쪽이 대부분 서너기 쯤 남기고 이기는 경우가 많다.^[각주:1] 란체스터 법칙에 따르면, 실제 전력은 그 숫자의 제곱에 비례한다고 한다. 따라서 전력의 비는 100:64이고, 때문에 2기보다 많은 수의 마린이 살아남는 것이다.

이건 이렇게 설명할 수 있다. 각 마린의 공격력을 1이라고 볼 때, 8기 쪽에서 공격을 하면 총 공격력의 합은 8이 된다. 그런데 그 공격을 10기가 나누어 받으므로, 실제 공격은 0.8이 된다. 역으로 10기 쪽에서 공격을 하면 총 공격력의 합이 10이고, 8기가 나누어 받기 때문에 실제 공격은 1.25가 된다. 이 둘 사이의 비는 64:100이다. 란체스터 법칙은 이렇게 적용되는 것이다.

일점사의 효과도 비슷하게 생각해볼 수 있다. 10기를 4기, 3기, 3기로 나누어 각개격파하는 경우를 생각해보자. 첫 전투에서 전력비는 16:64=1:4이다. 그러므로 8기중 두기를 잃었다고 생각하면 6기가 된다. 다음 전투에서 전력비는 9:36=1:4이다. 다시 1/4를 잃는다면 4.5기인데, 같은 방식으로 다음 전투의 전력비를 계산하면 9:20, 그러니까 약 두기 정도 남고 이기게 된다. 여기서 훨씬 적은 수의 병력으로도 컴퓨터의 병력을 농락하는 것이 어떻게 가능한지를 알 수 있다. 컴퓨터는 각개격파를 하지 않기 때문이다.

Feynman Lectures 3권의 (21.1) 식은 다음과 같다.

\left< b | a \right>_{\text{in } \bold A}=\left< b |a\right>_{\bold A=0}\cdot\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]

무슨 뜻인고 하면, 자기포텐셜 A가 존재할 때 전이확률을^[각주:1] 구하려면 A가 0일 때의 전이확률에 자기포텐셜을 선적분한 만큼 추가적인 위상을 곱해주어야 한다는 것이다. 이 뜬금없는 식은 어디에서 등장한 것일까? 어떤 이유에서든 양자물리는 고전역학에 뿌리를 두고 있으므로 고전역학의 어디에서 왔는지 살펴보자. 먼저 Lagrangian in Electromagnetism에서 마지막 결과물로 얻은 고전적인 장-전하 반응 Lagrangian을 끌어오자.

L=\sum_j\frac1{2}m\dot{x_j}^2-q(\varphi-\dot{x_j}A_j)=\frac1{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}-q(\varphi-\vec{v}\cdot\vec{A})

여기에 Legendre 변환만 취해주면 Hamiltonian을 얻는다. 치환하고자 하는 물리량은 속도 벡터. 일단 Lagrangian을 좌표의 시간변화율로 편미분해주자.

p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot {x_i}}=m\dot{x_i}+qA_i

conjugate momentum을 구했으니 Legendre 변환을 취한다.

H= \sum_i p_i\dot{x_i}-L=\sum_i\frac12m\dot{x_i}^2+q\varphi

얼레. 이상한 포텐셜도 끼어들었는데 제대로 된 에너지가 결과로 나왔다. 하지만 명심해야 할 사실은, Hamiltonian은 좌표의 시간변화율이 끼어들 자리가 없다는 것이다. d(x_i)/dt를 p_i로 바꾸어주어야 한다는 사실을 잊지말자.

Conway's Game of Life라는 글에 올린 코드를 실행시켜보면 파일 경로를 입력하라는 창이 뜬다. 물론 파일 경로에 빈칸(space)이 들어가도 되도록 만들었다.^[각주:1] scanf로는(%s를 이용한 경우) 빈칸이 포함된 string을 읽지 못하기 때문에 다른 함수를 이용해야 한다. 링크된 글의 코드에서 빈칸이 포함된 string을 읽는 함수만 가져왔다.


main함수에서 이 함수에 집어넣을 array의 크기를 char location[maxpath+1]으로 선언했기 때문에 에러가 나지는 않는다. 다음은 main함수의 첫 부분.


조금 생소한(?) gets라는 함수가 하나 보이는데 이 녀석은 return(new line)이 나타날 때까지 글자를 전부 읽고 string에 저장하는 역할을 한다. 문제는 gets가 쓰이기 전에 scanf가 쓰였을 경우이다. scanf는 new line이 있으면 그 전까지만 읽기 때문이다. 아직 new line이 메모리에 남아있기 때문에 gets 함수는 newline을 읽는다. 의도치 않게 자동으로(?) 입력되어 버리는 것이다. 그걸 막기 위해서 loop를 이용했다.

이렇게 input이 꼬인다는 것도 문제이기는 하지만, 사실 가장 큰 문제는 구해 놓은 메모리보다 더 큰 정보를 저장할 때 생긴다. gets 함수를 쓰면 프로그램이 지정해놓은 공간 '밖에도' 저장이 되기 때문에 엉뚱한 정보가 날아갈 위험이 있는 것이다. 때문에 보통은 fgets 함수를 쓰는 것이 더 안전하다고 한다. 알아서 응용해 보시길 ㅇ-ㅇ

2009/04/24 - 어는점내림/끓는점오름을 다른 상수에서 구하기

위 글에서 내가 한 가정들 중에서는 엄밀하지 못한 가정이 하나 숨어있다. 원글에서도 밝혔지만 엔트로피에 대한 가정 말이다.
기존 엔트로피(그러니까, $S_0$ 와 $S_1$)에 대한 가정은 문제가 없다. 엔트로피를 로그함수로 정의한 이유가 이렇게 증가하는 복잡도를 단순한 덧셈으로 나타내고 싶었기 때문이다. 문제는 섞였을 때 만들어지는 엔트로피이다. 공간을 무작위로 나돌아다니는 분자들인데 어떻게 그 분자들의 복잡도가 단순한 조합(combination)함수로 나타내질 수 있느냐는 것이다.

결론은 의외로 간단하다. 어차피 통계역학은 그 기본 가정이 불연속성이므로 공간마저도 불연속적인 격자(grid)로 가정할 수 있다. 이제 한 격자의 크기를 한 분자가 겨우 들어갈 정도로 작게 잡고, 그 격자를 한줄로 쭉 늘어놓는다. 집합론에서 무한집합에 대해 $\aleph_0\times\aleph_0=\aleph_0$를 증명하는 것과 비슷한 방식을 사용하면 된다. 이렇게 격자를 한줄로 쭉 늘어놓으면 $N_1%2BN_s$개의 빈 상자에 $N_s$개의 용질 분자를 집어넣고 나머지를 용매 분자로 채우는 문제와 동일한 문제가 된다. 따라서 매우 간단해 보이는 조합함수이지만 상대적으로 정확한 엔트로피를 구할 수 있는 것이다.

물론 여기에는 용액이 액체이기 때문에 빈 격자가 없다는 가정이 포함된다. 빈 격자도 있으면 빈 격자도 계산에 넣어야 하기 때문이다. 따라서 구한 상수를 구하는 식은 초유체나 기체 용액에 적용하기에는 무리가 있다.

Feynman Lectures 3권의 21-6 소챕터는 The Meissner effect라는 제목을 가지고 있다. 마이즈너 효과라고 초전도체가 모든 자기장을 외부로 밀어내는(?) 현상을 말하는 것인데, 자기부상열차에 응용하려는 움직임도 있다. 하지만 이 챕터를 내가 끌어오는 것은 중간에 잘못된 설명이 있어서이다.


어느 스칼라 함수의 라플라시안(Laplacian)이 항등적으로 0일 조건은 그 스칼라 함수가 상수일 때가 아니다. 먼저 가장 간단한 반례.

f(x,y)=e^y\cos x\\\nabla^2f=\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)f=0

물론 라플라시안이 0인 스칼라 함수는 이것 말고도 엄청나게 많다. 만약 위에서 사용된 금속 덩어리가 원통형이라면 다음과 같은 분포도 라플라시안이 0이 됨을 보일 수 있다. 보이는 계산은 다소 복잡하지만 말이다.

\theta(\rho,\phi,z)= J_1(\rho)\cos\phi\cosh z

J_1은 1종 베셀함수(Bessel function)에서 1차(order 1)인 경우이다. 수많은 공대생의 적 베셀함수가 등장하기는 했지만 용서하시길.(...) 그리고 위의 식은 원점 부근에서 발산하지 않기 때문에 충분히 사용 가능하다. 그렇다면 어째서 파인만이 저런 말을 한 것일까? 사실, 완전히 틀린 말은 아니다. 경계조건을 상수로 주면 라플라시안이 0이 되는 방법은 스칼라 함수가 상수인 경우밖에 없기 때문이다. 이 수학적인 특징은 정전기학(electrostatics)에서 정전차폐를 설명하는 근거가 된다.


그렇다면 여기서 증명되어야 할 것은, 경계조건을 상수로 두어도 좋다는 주장이다. \theta는 상태함수의 위상이라 그 절대적인 값은 의미가 없어 임의의 지점에 임의의 값을 대응시켜 주는 것은 자유롭지만 문제는 그 자유도는 한 점에 국한된다는 것이다. 다시 한번 말하면, 금속 표면의 한 점에서 위상을 0으로 주었다고 금속 표면 전체의 위상이 0이라는 근거는 없다. 나는 파인만씨가 다음 식(21.19)만 만족하면 되기에 게이지 자유도(gauge freedom)를 이용해 \theta를 벡터포텐셜 A로 흡수시켰다고 추측할 뿐이다.

찰리의 초콜릿 공장이라는 동화가 있다. 겸손함을 칭송하고 예의없는 태도에는 가차없이 철퇴를 내려찍는 보수주의의 정수를 모아놓은 동화인데, 이름있는 배우 조니 뎁이 출연한 영화로도 만들어졌다. 이 영화의 도입부에는 찰리의 아버지가 치약 공장에서 치약에 뚜껑을 끼우는 일을 하다가 그 일을 대신할 기계가 들어오는 바람에 짤리는 장면이 나온다. 비록 영화는 마지막에 아버지가 그 기계의 정비를 맡는 정비사가 되는 해피엔딩으로 끝나지만, 현실에서도 해피엔딩을 찾을 수 있을까?

기술은 발전한다. 기술의 발전은 생산성의 증가를 낳기도 하지만, 애꿎은 곳에서 말썽을 일으키기도 한다. 프레온 가스와 피부병의 관계도 하나의 예이지만, 사람들이 좀 더 직접적으로 느꼈던 말썽은 꽤 극단적인 상황으로 발전하기도 했다. 중학교 세계사 시간에 졸지 않았다면 18세기 영국에서 산업혁명이란게 일어난 이후 19세기 초에 러다이트(Luddite) 운동을 알 것이다. 기계 파괴 운동 말이다. 현실은 영화에서처럼 해피엔딩이 아니라, 뚜껑을 끼우던 사람들이 일자리를 잃자 기계를 부수러 공장에 무기를 들고 입성하는 형태로 진행되었다.

주변을 잘 살펴보면 사람이 하던 일을 많은 부분을 기계가 대체하고 있다는 것이 눈에 금방 보인다. 지금 이 글을 쓰면서 내 옆에서 시끄럽게 돌아가는 세탁기는 원래 내가 강가에 앉아 손으로 빨랫감을 내려쳐야 하는 수고를 약간의 수도세와 전기세로 전담해주고 있다. 랩탑에서 흘러나오는 노래는 원래 누군가가 옆에서 악기를 들고 딩가딩가 하고 있었어야 했던, 엄연한 노동이다. 이것 뿐이던가? 식기세척기는 어머니가 식사 후 투덜대며 하시던 일을 대신하고 있고, 공장에서 차 철판 사이사이에 용접하는 일도 원래는 기술자가 하던 일이다. 기계가 도입되기 전에 만들어진 치약들의 그 많은 뚜껑들은 누가 다 끼웠을까?

물론 사람만 할 수 있는 일도 존재하기는 한다. 하지만 그런 일을 하는 사람은 그리 많이 필요하지 않다. 소설가만 사는 나라는 없지 않던가? 인간만이 할 수 있는 일이라는 다소 우울한 질문은 옆으로 치워두고, 지금처럼 기술의 발전이 급격하게 진행될 때의 문제를 생각해보자. 이전에도 한 번 간단하게 글을 썼던 기억이 있는 것 같은데, 첨단 기술이 세계의 지평을 넓힐수록 '그 기술의 혜택을 받을 수 없는 사람들' 혹은 '그 기술로 쫓겨나게 된 사람들'은 더욱 시달리게 된다. 더 큰 문제는 이런 시달림이 대를 이어 유전된다는 것이다. 영화 아이로봇을 생각해보자. 길거리를 쓰는 청소부들 중 사람은 없었고, 집에 로봇 한 대 없는 사람 또한 없었다. 그렇다면 처음 로봇이 공급되기 시작했을 때 길거리를 청소하던 사람들은 어디로 가야 했을까? 또, 저 시대에 로봇을 살 돈이 없어 집안 일을 전부 자기가 도맡아 해야 하는 사람들은 어디서 무얼 하고 있을까? 그리고 그 사람들의 아들딸들은 그런 생활에서 벗어날 수 있었을까?

비슷한 문제의식에서 시작된 프로젝트가 이미 존재한다. OLPC(One Laptop Per Child)라고 해서 극빈국의 아이들을 대상으로 컴퓨터 한 대씩 지급하자는 운동인데, 지금도 하고 있는지는 모르겠다. 하지만 그 프로젝트는 언제까지나 가난의 사슬을 끊자는 것이 목표이지 가난한 사람을 다시 일으켜 세워주는 것은 아니다. 아이는 미래의 씨앗이지만, 어른은 현재이다. 미래의 씨앗은 언제나 현재라는 토대에 심을 수 밖에 없다. 그렇기에 미래를 생각하는 만큼 현재에도 관심을 보여야 한다.

2008/12/21 - 제레미 리프킨, 엔트로피

 

무질서도로 번역되는 엔트로피(Entropy)란 개념은 열역학 제 2법칙과 밀접한 관계를 갖습니다. 제 2법칙이 엔트로피 증가의 법칙으로 통용되는 것만 보아도 그것을 쉽게 알 수 있겠지요.

엔트로피에 대한 접근은 크게 두가지로 볼 수 있습니다.(정보 이론에서도 다룬다고 하는데 이건 무시.. 세스 로이드의 『프로그래밍 유니버스』란 책에서 간략하게 다루고 있는데 그걸 참고하셔도 좋을 듯 합니다.) 하나는 완전한 고전역학적인 접근이고 다른 하나는 완전한 통계역학적인 접근입니다. 고전역학적인 접근은 우리가 어느 물체에 대해 평균적인 값으로 측정하는 물리량(압력이나 부피, 밀도 등)을 기반으로 엔트로피를 정립해 나가는 것이고 통계역학적인 접근은 분자들의 상태의 수를 이용해서 엔트로피를 정립해 나가는 방식입니다. 보통은 통계역학적인 접근, 혹은 미시적인 접근을 주로 사용하지만 좀 독특한(일반적인 접근인 미시적인 접근과는 반대되는 접근이라는 점에서) 접근방식인 고전역학적인 접근을 써 보려고 합니다.^[각주:1]

 

먼저 카르노 기관(순환Cycle)을 짚고 넘어가야 합니다. 카르노 기관은 엔트로피라는 개념이 정립되기 전부터 등장해서 엔트로피를 고전적으로 정의하는데 커다란 버팀목이 되었던 가상적인 엔진입니다. 이 엔진의 특징은 '모든 과정이 역으로 진행 가능하다'입니다.

카르노 기관(Carnot engine/cycle)

모든 과정이 역행 가능한 기관. 네 단계로 구성된다.

1. 등온팽창. 엔진과 같은 온도를 가진 열 공급원에서 에너지를 흡수한다. 같은 온도를 갖기 때문에 이 과정은 역으로 동일하게 진행될 수 있다.
2. 단열팽창. 엔진은 외부와 열 교환을 할 수 없다. 이때 팽창은 준정적Quasi-static으로 일어난다. 준정적이란 말은 평형상태와 유사하게라는 뜻으로, 이 경우에는 기체(또는 유체working fluid)의 팽창이 내부의 압력과 외부의 압력이 동일한 상태에서 일어나는 것이다. 이렇게 준정적인 과정으로 기체가 팽창할 경우 과정은 역으로 진행될 수 있다.
3. 등온압축. 엔진과 같은 온도를 가진 열 흡수원에 에너지를 방출한다. 등온팽창과 마찬가지의 이유로 역으로 동일하게 진행될 수 있다.
4. 단열압축. 단열팽창과 마찬가지로 열 교환을 할 수 없으며, 마찬가지의 조건과 이유로 과정은 역으로 진행할 수 있다.

그리고 열역학 제 2법칙의 공리가 등장합니다. 두 가지 공리가 있습니다.^[각주:2]

Clausius Statement
열은 자연적으로 저온부에서 고온부로 전달될 수 없다.^[각주:3]

Kelvin-Plank Statement
단일열원에서 열을 얻어 모두 일로 바꾸는 것은 불가능하다.

살펴보겠지만, 두 공리는 서로 동등한 관계를 지닙니다. 둘 중 하나만 부정되어도 다른 하나마저 부정되어야 하지요. 먼저 첫 서술을 부정해 보겠습니다. 열이 자동적으로 저온에서 고온으로 이동하는 겁니다. 그러면 어떤 순환이 두 열원 사이에서 작동하면서 저온부에 버리는 열이 고온으로 이동하면 외부에서 보기에는 고온에서 얻은 열을 전부 일로 바꾼 것으로 보이게 됩니다. 둘 째 서술이 부정되는 것이지요.

둘 째 서술을 부정해 볼까요? 단일열원에서 열을 얻어 모두 일로 바꾸는 기관을 냉동기에 연결합니다. 그러면 저온부에서 고온부로 스스로 이동하는 현상이 일어나게 됩니다. 첫 서술이 부정되는 겁니다. 결국 서로 동치라고 볼 수 있겠지요.

뭐 어찌되었든, 이를 이용하면 카르노 기관이 최고의 효율을 가진 기관이라는 것을 보일 수 있습니다. 카르노 기관은 기본적으로 외부에 영향을 미치지 않는 기관입니다. 모든 과정을 그대로 역으로 진행할 수 있기 때문이지요. 하지만 이 기관보다 효율이 좋은 기관을 도입한다면? 이런 이상적인 기관에서 일을 얻어서 카르노 기관을 역으로 진행시키는 데 사용한다면 열이 역류하는 현상이 일어납니다. 이는 Clausius의 서술에 위배되기 때문에 결국 그런 기관은 존재할 수 없다는 것이지요.

그리고 동일한 열원 사이에서 작동하는 카르노 기관들은 전부 같은 효율을 지닙니다. 하나가 다른 하나보다 더 효율이 좋으면, 하나를 냉동기로 사용하고 하나를 냉동기를 작동시키는 엔진으로 사용하면 열이 역류하는 현상을 볼 수 있겠지요. 이 역시 Clausius의 서술과 반대되기 때문에 존재할 수 없습니다.

그러면 같은 열원이란 무엇일까요? 동일한 온도를 가진 열원을 같은 열원이라고 말합니다. 그리고 카르노 기관의 효율은 그 기관이 작동하는 두 열원의 온도의 함수로 주어집니다. 이는 고온부와 저온부 그리고 그 사이에 중간단계의 열원이 존재함을 가정하고 고온부와 저온부 사이에서 작동하는 기관 하나, 고온부와 중간단계 사이에서 작용하는 기관 하나, 중간단계와 저온부 사이에서 작동하는 기관 하나를 놓은 다음 고온부에서 바로 저온부로 연결된 기관과 중간단계를 걸처 작동하는 기관 둘의 합이 같은 효율을 가져야 한다는 것을 이용해서 보일 수 있습니다.^[각주:4]  고온부의 온도를 $t_h$, 저온부의 온도를 $t_l$, 중간 단계의 온도를 $t_m$이라고 한다면 저온부와 고온부 사이 그러니까 $t_h$와 $t_l$ 사이에서 작동하는 카르노 기관의 효율은 이런 꼴로 나타날 것입니다.

$$\eta_{hl}=F(t_h,t_l)=1-\frac{Q_l}{Q_h}$$

$Q$는 카르노 기관에서 들어오거나 나가는 열의 양을 말하고, 첨자는 그 온도를 말합니다. 앞으로는 편의상 열을 주고받는 비율에 초점을 맞추겠습니다. 이 열을 주고받는 비율은 다음과 같이 식의 형태로 쓸 수 있지요.

$$\frac{Q_l}{Q_h}=f(t_h,t_l)$$

중간 단계에 걸쳐있는 나머지 두 카르노 기관에 대해서도 같은 식을 써 볼 수 있습니다.

$$\frac{Q_h}{Q_m}=f(t_h,t_m) \\\frac{Q_m}{Q_h}=f(t_m,t_l)$$

그리고 효율이 같다는 것에서 다음 식을 유도할 수 있습니다.

$$\eta_{hl}=1-\frac{Q_l}{Q_h}=\eta_{h|m|l}=1-\frac{Q_h}{Q_m}\frac{Q_m}{Q_l} \\\frac{Q_l}{Q_h}=\frac{Q_h}{Q_m}\frac{Q_m}{Q_l} \\\therefore f(t_h,t_l)=f(t_h,t_m)f(t_m,t_l)$$

마지막 식을 다음과 같이 정리할 수 있는데

$$\frac{f(t_h,t_l)}{f(t_m,t_l)}=f(t_h,t_m)$$

이렇게 되면 좌변에서만 $t_l$이 등장하므로, $f$는 변수분리가 가능한 함수가 됨을 알 수 있습니다. $t_l$만 변화했을 때 값이 변해서는 안 되기 때문에 분모인 함수가 $t_l$에 의해 받는 영향만큼 분자의 함수가 영향받아야 되기 때문이죠. 그러면 일단 함수를 나눈 다음 생각해 봅시다. 함수 $f$를 대충 분리해서

$$f(t_1,t_2)=\phi(t_1)\theta(t_2)$$

라고 둔다면

$$f(t_h,t_m)=\frac{\phi(t_h)}{\phi(t_m)}$$

을 얻게 되지요. 그런데 우리는 온도의 측정에 제한을 둔 적이 없기 때문에 함수 $\phi$를 온도를 정의하는데 사용할 수도 있습니다. 이를 열역학적 온도라고 부릅니다.

$$T=\phi(t)$$

이제 열역학적 온도를 이용해 카르노 기관의 열효율을 정의할 수 있게 됩니다.

$$\eta_{hl}=1-\frac{T_l}{T_h}=1-\frac{Q_l}{Q_h}$$

물론 이를 이용해 기준온도를 두고^[각주:5]   다른 열역학적 온도를 측정하는 것도 가능하지요. 위의 식에서 흡수/방출하는 열이 온도와 정확히 비례하기 때문입니다.

$$T_2=\frac{Q_2}{Q_1}~T_1$$

이제 엔트로피를 도입할 수 있게 됩니다. 먼저 다음 값을 한번의 카르노 순환(cycle)에 대해서 계산해 봅시다.

$$\oint \frac{\delta Q}T$$

이때 $Q$는 계 안으로 흘러들어오는 열로 정의합니다. 단열과정에서는 열이 전혀 흐르지 않기 때문에 등온과정만 생각하면 되는데, 등온과정에서 $T$는 일정하므로 적분은 다음과 같습니다.

$$\oint \frac{\delta Q}T=\frac{Q_h}{T_h}+\frac{-Q_l}{T_l}$$

(두번째 항에 음의 부호가 붙어있는 이유는 저온부로 열이 방출되기 때문입니다.) 그런데 위에서 카르노 기관의 등온과정에서 흡수하거나 방출하는 열은 온도에 비례한다고 정의내렸었죠.^[각주:6] 따라서 저 값은 영이 됩니다.

$$Q\propto T \\\therefore\oint \frac{\delta Q}T=\frac{Q_h}{T_h}-\frac{Q_l}{T_l}=0$$

더군다나 어떤 열역학적인 기구라고 하더라도 이상적으로만 작동하고 원래대로 돌아오는 주기운동을 하는 경우라면 수많은 작은 카르노 기관을 모아 만들 수 있습니다. 그러므로 이상적인 경우만 존재한다면 다음 결론을 얻습니다.

$$\oint\left(\frac{\delta Q}T\right)_{\text{ideal}}=0$$

다른 뜻으로는, 위 미분값이 완전미분이라는 것이지요. 완전미분량이기 때문에 위 미분을 어떤 스칼라 함수의 미분으로 볼 수 있다는 것입니다. 스칼라 함수라면 상태에 의존하는 값이라는 의미고, 그러므로 상태에만 의존하는 이 스칼라 함수를 하나의 물리량으로 볼 수 있다는 뜻입니다. 이 물리량이 바로 엔트로피입니다. 대신 엔트로피의 차이만 정의되지 엔트로피의 절대값은 정의되지 않습니다. 위치에너지와 비슷하지요.^[각주:7]

$$\left(\frac{\delta Q}T\right)_{\text{ideal}}= dS \\\therefore\oint dS=0$$

통계역학 이전의 열물리에서 엔트로피라는 물리량이 어떻게 얻어졌는지를 보이는 것은 끝났고, 열역학 제 2법칙의 또 다른 버젼인 '엔트로피는 계속 생성된다'는 다음에 다루어 보도록 하죠. 스포일러: 이건 어떤 순환이라고 하더라도 이상적인 경우보다 효율이 떨어진다는 사실을 이용해 증명합니다.

많이 오래 전에 쓰다 만 글이라 문체가 조금 다릅니다. 별로 상관없지만...-.-;;

간이 플라스틱 의자가 불편해질 즈음이었다.

"내가 어디까지 말했었더라?"

그는 태양을 등진 채 잔 두개가 놓여있는 네모난 플라스틱 쟁반을 들고 있었다. 나는 시린 햇살에 손그늘로 눈을 쉬게하며 대꾸했다.

"'사람이 반영구적으로 살게 된다면'까지 말하고 음료를 받으러 갔지"

두 잔이 탁자 위에 놓였다. 그를 위한 얼린 잔에 담은 시원한 흑맥주, 그리고 나를 위한 따뜻한 화이트 카페모카. 그는 살얼음이 떠 있는 흑맥주를 들이키고는 향을 음미했다. 이 녀석은 소재가 떨어졌다니까 준다고 해놓고서는 묻어갈 심산인가 의심이 들기 시작했을 때, 말을 하기 시작했다. 덕분에 첫 부분을 놓쳐버렸지만.

"... 통합이 이루어지겠지. 지금 미디어 환경이 돌아가는 것을 생각해보자고. 갈수록 발언권이 모두에게 주어지고 있고, 길이는 짧아지는데다가, 대화같은 모습을 띄기 시작한단 말이야."

"어, 잠깐만. 첫 부분 못 들었는데 다시좀.."

그는 말을 멈추더니 잠깐 한숨을 쉬었다.

"넌 어째 바뀐게 하나도 없냐. 정신 놓고 있다가 못 듣는것도 그렇고. 먼 미래에는 인류의 모든 정신이 통일된 하나의 유기체가 될 거라고."

"근거는?"

"그러니까 설명하고 있잖아. 미디어는 계속 '만인의 대화'로 수렴하고 있어. 모든 미디어의 원형인 기록으로 돌아가고 있는 것이지. 원전은 대화로 쓰인 게 많다는 건 너도 알고 있잖아?"

그는 여기까지 말하고는 탁자 위에 놓인 맥주잔으로 손을 뻗었다. 포도송이까지 있는 포도넝쿨 모양으로 깎아낸 나무를 기둥으로 세운 고급으로 보이는 유리탁자이다. 문득 이 카페 주인은 어떤 인물인지 궁금해진다. 플라스틱 의자에 이런 탁자를 조합하는 취향을 가진 사람은 어떻게 생겼을까. 물론 맥주와 커피를 같이 판다는 것부터 이상하기는 하지만.

"그리고 언젠가 인간이 기계와 바로 접속하는 시대가 올꺼야. 「매트릭스」에서처럼 정신이 기계로 바로 들어가는거지. 물론 영화에서처럼 선을 사용하는 구식은 아닐테지만 말이야."

"그리고 그렇게 오래된 영화를 끌어오는 너는 구식이지."

"이상한 소리 하지 말고 듣기나 해. 어쨌든 이렇게 모든 사람들이 서로에게 생각하는 것만으로도 대화를 나눌 수 있게 된다면 그 사람들의 생각을 연결하는 연결망은 어떤 모습이겠냐는거지."

"하이브마인드(Hivemind)라는 거냐?"

"그거야. 하이브마인드. 물론 개개인은 처음에는 나는 연결망에 접속된 다른 상대와 대화를 한다는 기분으로 살아가겠지. 하지만 그 후손들은 다를꺼야. 태어날 때 부터 그 거대한 연결망에 접속된 상태로 살아갈 거기 때문에 가면 갈수록 이것이 나의 생각인지 연결망에서 내려온 생각인지 구분할 수 없게 되겠지. 점차 연결망과 융합하는거야."

커피를 들었다. 이 허무맹랑한 소리를 중화해줄 포도당이 필요하다. 달달한 커피를 한 모금 마시고 나니 머리가 좀 덜 아파졌다. 그 와중에도 그는 계속 말을 이어갔다.

"죽은 사람들은 잊혀진 기억들이 될 것이고, 태어난 사람들은 엉뚱한 발상들이 되겠지. 마치 바다의 물고기 떼와도 같아. 하나 하나 살펴본다면 이쪽 무리에 있다가 저쪽 무리에 있다가 이리저리 움직이지만, 각 무리를 살펴본다면 무리 자체의 모습은 변하지 않지. 미래에 우리의 뇌가 연결되어 있을 연결망도 비슷한 모습일꺼야."

"그런데 사람이 반영구적으로 사는 건 무슨 상관이야?"

그는 잠시 목을 축이고는 말을 이었다.

"아, 그건 이제 중요해질꺼야."

그러면 처음에 다른 이야기로 시작할 것이지. 그가 주문한 것을 받으러 간 동안 떠올렸던 소설 첫머리가 쓸모없게 되어 버렸다.

"일단 미래에 통합된 정신이 등장한다는 것은 합의를 보았으니까, 사람이 거의 무한히 살아가게 될 때를 생각해보자고. 일단 내 결론은 사람이 태어나지 않는 시대가 올 것이라는거야."

"왜냐하면 자원은 한정되어 있으니까."

"...? 내가 하려던 말은 어떻게 안거야?"

"내가 해줬던 이야기잖아. 대체로 낳는 자손의 수는 수명과 반비례하는데, 그건 동족간의 경쟁을 최소한으로 줄이려는 현상이라고. 그렇다면 무한히 살아가는 생명체에게 생식은 먼 과거의 일이 되겠지."

한 삼사년 전에 말해준 공상인데 기억하고 있다니 살짝 놀랐다. 하긴, 그는 어릴 적부터 비상한 기억력으로 벼락치기 하나는 기똥차게 잘 했었지.

"어쨌든, 사람이 태어나지 않으면 미래의 인류 통합 사념체에게 재미있는 생각거리는 사라지게 되겠지. 특이한 발상의 진원이 더 이상 나타나지 않으니까 말이야."

"그래서?"

"통합된 사념은 분할할꺼야."

그는 이 한 마디만 하고 다시 맥주잔에 손을 대었다. 아니 이게 뭔소리야? 마음이 표정에 그대로 드러났는지 좀 더 설명할 필요가 있다는 듯 그는 말을 이어나갔다.

"혼자서 벽에다 대고 하는 이야기는 재미없잖아."

"이야기가 거기에서 왜 나와?"

"먼 과거부터 밤의 지루함을 달래주던 것이 이야기니까. 결국 새로운 자극이 없으니까 새로운 조합인 이야기를 지루함을 달래줄 약으로 선택하겠지. 하지만 혼자서 자기 자신에게 이야기를 들려주는 건 재미없어. 그러니까 그 통합사념은 나뉘어져서 서로 이야기를 주고받기 시작할 거야."

"아니 그래도.."

말 끝을 흐린건 여우비다. 파라솔이 없는 탁자여서 대화를 마치고 카페 안으로 들어갔다. 그 이후에도 다른 말을 했었던 것 같기는 한데, 밖에서 나누던 대화로 심란해 귀에 들어오지 않았다. 그래도 헤어져 각자의 집으로 돌아오면서 들은 대답은 기억난다.

"아, 그런데 과연 태어나면서부터 그 연결망에 접속될 가능성이 있을까? 아직 덜 자란 아이에게 나타나는 폭력성이 얼마나 잔인한지는 알잖아?"

"초등학생이 적분을 배우는 시대인데 그런 부모의 극성이 사라질 것 같아? 그것보다도 난 성선설을 믿어서. 더군다나 그렇게 큰 집단에 자정능력은 당연히 존재하겠지."

여튼, 나는 지금 내 방의 책상 앞에 앉아있다. 모레까지 보내기로 한 단편 원고를 오늘까지 쓰고 내일은 퇴고해야 한다. 딱히 다른 소재를 찾을 시간도 없어서 그가 주었던 소재를 그대로 쓰기로 결정했다. 인류의 미래가 다중인격장애라니, 참 인류의 운명도 기구하다.