오늘 아카이브에 들어가봤다가 의외의 글을 발견했다.


http://arxiv.org/abs/1508.05607


de Sitter 공간에서 타키온을 올려놓은 문제인데, 사실 '어 이게 글로 나올 만한 문제였던가?'가 솔직한 감상. 고전적인 타키온 입자는 유한한 시간 동안만 생존한다는게 주요 내용인데(양자적인 경우는 조금 다르게 취급), '유한한 시간 동안 생존한다'는 해석을 빼면 전혀 새로울 것이 없었는지라. 다만 이런 느낌은 내가 타키온을 해석하는 방법 때문인지도 모르겠다.


우선 예전 글들 링크.

2015/01/09 - 일반상대론에서의 쌍둥이 역설

2014/01/11 - Poincare Half Plane 푸앙카레 반평면 (1)

2014/05/25 - Poincare Half Plane 푸앙카레 반평면 (2)


지금 보니 블로그에서 직접적으로 언급한 적이 없다는 것이 살짝 의외인데, de Sitter(이하 dS) 공간과 Anti-de Sitter(이하 AdS) 공간은 사실상 똑같은 공간이다. 푸앙카레 반평면 (1)글에서 마지막에 살짝 언급하고 넘어갔듯, 푸앙카레 반평면 (2)글에서 t와 z의 해석을 뒤바꿔주면 AdS 공간이 dS 공간으로 변한다. 이 말은 AdS 공간에 사는 질량이 있는 물질, 타디온(tardyon)들이 dS 공간의 질량 제곱이 음수인 물질, 타키온들과 똑같이 움직인다는 것을 의미한다. 그 반대로 dS 공간의 타디온들이 AdS 공간의 타키온들처럼 행동한다는 해석 또한 가능하고.


다만 우리가 일반적으로 생각하는 시공간에서는 시간 차원이 하나밖에 존재하지 않아서 완전히 동일하지는 않다. AdS/CFT에서와 같이 일반적으로 AdS 공간을 생각할 경우 한 차원 높은 민코프스키 공간에서 초쌍곡면을 그대로 가져다가 AdS 공간으로 잡지 않고 그 universal cover를 이용하곤 한다. 이 짓을 안 하면 closed timelike trajectory가 나와서 인과율에 문제가 생기기 때문이다. 이건 시간 방향이 1차원이라서 $S^1$의 위상을 갖기 때문에 가능한 일인데, 만약 시간 방향이 2차원이거나 보다 높은 차원을 가질 경우에는 $S^n$의 위상을 갖게 되고, $S^n$은 자기 자신이 universal cover이기 때문에 universal cover를 취해서 closed timelike trajectory를 없애는 것이 불가능해진다. n+1차원의 dS 공간에서 움직이는 타키온을 무작정 측지텐서의 부호를 뒤집어서 AdS 공간에서 움직이는 타디온으로 바꾸어 해석하려면 조심해야 할 필요가 있다는 소리.


여기까지는 주의사항이었으니 타키온에 물리적인 의미를 줄 수 있는 방법을 생각해보자. 일반상대론에서의 쌍둥이 역설에서 설명했듯, 양의 질량 제곱을 가진 물체가 관성운동을 하면서 재는 고유시간은 그 물체가 만든 직선(일반상대론에서 관성운동하는 물체가 그리는 경로는 직선이다)의 길이를 의미한다. 같은 해석을 타키온에 적용하면, 타키온이 관성운동을 하면서 재는 고유시간(tachyonic proper time이라고 부를 수 있을 것이다)은 타키온이 그린 경로의 길이, 혹은 타키온이 지난 경로를 온전히 포함하는 time slice 위에서의 spatial distance에 해당한다.[각주:1]


이 결론을 임의의 n+1 dS 공간에서 움직이는 타키온들에 적용해보면 재미있는 사실을 몇 가지 알 수 있다. 우선 AdS와 dS의 대칭을 이용하면 임의의 점에서 각기 방향으로[각주:2] 쏘아보낸 타키온들은 모두 한 점에서 만난다는 사실을 알 수 있다.[각주:3] FLRW flat 형태의 dS 공간 metric에만 익숙한 분들이라면 약간 놀라울 수 있는 사실. 모든 타키온들이 만나는 점은 타키온을 처음 쏘아보낸 점의 대척점(antipodal point)에 해당한다.


이번에는 좌표를 새로 잡아보도록 하자. 각 방향으로 쏘아보내는 타키온들 중 임의로 하나씩 골라 그 타키온들의 시공간상의 경로가 만들어내는 초평면을 time slice로 하는 좌표계를 만들어보는 것이다.[각주:4]이렇게 좌표계를 건설하는 것은 dS 공간은 등방적이기 때문에 처음에 쏘아보내는 타키온들의 운동량 분포만 충분히 매끄럽게 만들면 얼마든지 가능하다. 정의상 이 좌표계에서 시간에 해당하는 좌표 t가 상수인 초평면 위를 움직이는 타키온들은 한 점에서 만난다.


이렇게 건설한 좌표계에서 t=0인 초평면을 잡고 운동량의 시간 성분이 0인 타키온을 A라고 이름붙인 뒤 쏘아보내기로 하자. 이 타키온은 언젠가는 모든 타키온들이 만나는 점, 대척점에 도달할 것이다. 대척점에 도달한 뒤에도 이 타키온이 그릴 경로를 이어그려 보자. 가장 쉬운 방법은 타키온 A를 쏘아보낼 때 같이 쏘아보낸 타키온 중 대척점에서 A와 정 반대의 운동량을 갖는 타키온 B를 골라낸 뒤, 타키온 A의 경로를 연장해가면 타키온 B의 경로를 거슬러올라가게 된다고 생각하는 것이다. 어차피 t=0인 초평면 위에 모든 운동이 제한되어 있고, 모든 타키온의 경로는 직선이니, 직선의 접선에 대한 정보만 있으면 그 직선을 완전히 기술할 수 있을테니 말이다. 이 두 해석을 조합하면 관성운동하는 타키온은 처음 운동을 시작한 점으로 다시 돌아오게 된다는 결론을 내릴 수 있다. 어떻게 생각해 보면 당연한 결과이다. AdS 공간에서 universal cover를 취하지 않을 경우엔 closed timelike geodesic이 만들어지니, dS 공간에서는 closed spacelike geodesic이 만들어지는 것을 예상할 수 있었어야 한다.


결론적으로, 해당 arXiv 글의 결과는 'dS 공간은 모든 spacelike geodesic은 loop를 만든다'는 기하학적인 명제를 다르게 해석한 것이라고 할 수 있다. 타키온이 만드는 경로가 bound되어 있으니 무한한 시간동안 살아남지 못하는 것은 당연한 결과인 셈이다.

  1. 이 time slice가 시간에 해당하는 좌표가 상수인 초평면일 경우 해당 좌표계에서 타키온의 시간 성분 운동량은 0이다. [본문으로]
  2. 각기 방향으로 쏘아보낸다는 것은 임의의 운동량으로 쏘아보낸다는 의미이다. [본문으로]
  3. n이 1이 아닐 때 성립하는 것은 타키온들의 움직임을 1+1차원 평면 위에 한정시켜 이 평면 위의 모든 타키온들이 같은 타키온 고유 시간에 만난다는 것을 보인 후 이 곡면을 돌려서 나머지 차원 방향에 대해서도 성립한다는 것을 보이면 된다. [본문으로]
  4. 이건 타디온들을 이용해 synchronous frame을 만드는 과정과 거의 동일하다. [본문으로]
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페이스북 타임라인에 쌍둥이 역설과 관련이 깊은 질문들이 올라와서 이런저런 생각을 해봤다. 이 글은 대충대충 쓸거라 일반상대론에 대한 지식이 어느 정도 있어야 읽을 수 있다는 것을 미리 알려드리며.




쌍둥이 역설이야 다들 아실테니 설명을 제끼기로 하자. 그렇다면 쌍둥이 역설의 기하적인 의미는 무엇일까? (약간의 비약을 넣어) 기하적으로 접근하면 '평면에서는 두 직선을[각주:1] 두 번 교차시킬 수 없다'는 것을 의미한다.


두 직선을 두번 교차하게 만드는 방법은 공간을 휘는 것이다. 예컨데 구에서 서로 다른 직선 둘을 그리면 두 점에서 교차하게 된다. 일반상대론에서는 중력이 공간을 휘어주는 역할을 하고, 직선은 중력을 따라 자유낙하하는 물체의 궤적이다. 일반상대론에서 직선의 길이는 자유낙하하는 물체의 고유시간이다.


이제 휘어진 공간에서 두 직선의 길이를 비교해 보자. 가장 간단하게 생각해볼 수 있는 방법은 지구를 이용해 공간을 휜 뒤 A는 지구의 원궤도에, B는 머리 위로 똑바로 던져서 다시 받는 궤도에[각주:2] 놓되 조건을 잘 맞추어서 같은 시간 같은 점에서 출발한 A와 B가 조금 뒤 같은 점에서 다시 만나도록 하는 것이다. 같은 시공간상의 점에서 출발한 두 직선-A와 B가 만드는 시공간상의 궤적-이 다시 한 점에서 만났을 때, 두 직선의 길이는 과연 같을 것인가? (계산을 해보지는 않았지만) 일반적으로 다르리라고 예상할 수 있다. 쌍둥이 역설일까? 물론 아니다. A가 그린 직선과 B가 그린 직선은 분명히 다르기 때문에[각주:3] A가 그린 직선의 길이와 B가 그린 직선의 길이가 다른 것이 문제가 될 이유는 없다.


문제를 더 꼬아보자. A가 그린 직선과 B가 그린 직선을 구분할 수 없다면? 그런 종류의 공간으로 더 시터르 공간(de Sitter space: dS)와 반-더 시터르 공간(anti-de Sitter space: AdS)이 있다.[각주:4] 이 공간들 위에서 두 물체 A와 B가 직선을 그리며 운동할 때 A가 그리는 직선과 B가 그리는 직선은 근본적으로 구분이 불가능하다. 따라서 쌍둥이 역설이 생기지 않으려면 (1) A가 그리는 직선과 B가 그리는 직선은 절대로 만나지 않던가(dS공간이 여기에 해당한다) (2) A가 그리는 직선과 B가 그리는 직선이 만났을 때 두 직선의 거리는 똑같아야 한다(AdS공간이 여기에 해당한다).


재미있는 점은 (2)의 경우 A와 B의 상대속도에 무관하게 같은 고유시간 뒤에 다시 만나게 된다는 부분. 이건 다음과 같이 증명할 수 있다. 우리는 A 위에 앉아있다고 하고, B와 C를 준비한다. 이제 B와 C를 (A에 대해) 같은 속력으로 날리되 방향은 다르게 한다. 그리고 공간은 대칭적이므로 B와 C는 동시에 A에 도착하게 된다. 그런데 B와 C 모두 관성운동을 했으므로, 우리는 B나 C 위에 앉아서 이 과정을 구경해도 된다. C에서 이 과정을 볼 경우 A와 B는 일반적으로 다른 속력을 가지고 관성운동을 하므로, 임의의 상대속력을 갖고 출발한 두 관성운동은 항상 같은 고유시간 뒤에 다시 만나게 된다.[각주:5]




결론: 일반상대론에서의 쌍둥이 역설으로부터 'AdS 공간에서의 한 점에서 출발하는 모든 timelike geodesic은 다른 한 점으로 수렴하며, 그 고유길이(고유시간)은 모두 같다'는 결론을 내릴 수 있다.




P.S. 고전역학에서는 harmonic oscillator가 정확히 똑같은 현상을 보인다. 우주상수를 넣고 아인슈타인 방정식의 구면대칭적인 해를 찾을 때 나오는 답의 $g_{00}$항이 1(또는 convention에 따라 -1)에서 벗어나는 정도를 Newtonian potential로 해석할 수 있는데, 이 potential 항이 harmonic oscillator의 potential을 갖는다는 것과 연결지어 생각할 수 있다.

  1. 상대론에서 '중력(0일 수도 있다)만을 받으며 운동'하는 점입자의 궤적은 직선(geodesic - 정확히는 time-like geodesic)이다. 단지 3차원에서 사는 사람의 눈에는 직선으로 보이지 않는 것일 뿐. [본문으로]
  2. purely radial motion이라고 생각하면 된다 [본문으로]
  3. 예를 들어 A와 B는 각각 자유낙하를 하면서 공간의 리만 곡률텐서의 값을 읽어볼 수 있다. A가 읽는 곡률은 일정하겠지만 B가 읽는 곡률은 위치에 따라 달라진다. [본문으로]
  4. 관성운동(본문의 직선을 그리는 운동)을 하는 모든 입자가 자신이 정지한 좌표계에서 똑같은 공간을 보려면 시공간의 곡률을 만들어주는 stress-energy tensor가 metric tensor의 상수배여야 한다. maximal symmetry를 가정하면 Lorentz boost에 해당하는 임의의 좌표변환을 하더라도 모양이 변하지 않는게 metric밖에 없기 때문. [본문으로]
  5. 정확한 증명(a.k.a. 수학적 증명)을 하려면 (v의 속력에서 시작했을 때/c=1) 상대속도 0에서 상대속도 2v/(1+v)까지의 모든 운동이 같은 고유시간에 도착한다는 것을 보인 뒤(각도 문제다), 이걸 반복하면 임의의 u<1도 포함된다는 것을 보이면 된다. [본문으로]
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양자역학에서 가장 유명한 commutator를 뽑으라면 누구나 하이젠베르크의 불확정성 원리를 꼽을 것이다. 아무래도 제일 먼저 발견된 교환이 불가능한 물리량이니까.


[x,p]=xp-px=i\hbar


그런데 왜 i가 붙을까? 고민해본 사람? 문제는 의외로 쉽게 풀린다. 두 측정가능한 물리량 A와 B를 가정하자. 따라서 A와 B는 에르미트(Hermitian) 연산자이다. 적당한 양자책을 잘 공부했다면 이를 설명할 필요는 없을 터(간단하게 말하자면 고유값(eigenvalue)이 실수가 나와야 해서). 한번 유도해보자.


\text{For observables }A,B\\A^\dagger=A, B^\dagger=B \\\\\therefore [A,B]^\dagger=(AB-BA)^\dagger\\=B^\dagger A^\dagger-A^\dagger B^\dagger=BA-AB \\\\\therefore [A,B]^\dagger=-[A,B] \\\\\text{or, equivalently;} \\\exists C(C^\dagger=C),\,\,[A,B]=iC


측정 가능한 물리량의 commutator는 항상 반에르미트(anti-Hermitian) 연산자여야 한다는 결론을 얻는다. 반에르미트 연산자는 단위허수 i를 곱하거나 나눠서 에르미트 연산자로 만들어줄 수 있으니 이제 그 미스테리한 i가 어디에서 튀어나왔는지 알 수 있다.


이제 조금 더 재미있는 명제를 도출해보자.


\text{Assume observables }A,B\text{ and an eigenstate of }A\\\\A\left|a \right \rangle=a\left|a \right \rangle \\\\\text{Then, we get the expectation value of the commutator}\\\\ \left\langle a|[A,B]|a \right\rangle=\left\langle a|AB-BA|a \right\rangle = (a^\ast - a)\left\langle a|B|a \right\rangle=0 \\\\\text{or, equivalently;} \\\\ C \equiv \frac1i [A,B],\;A\left|a \right \rangle=a\left|a \right\rangle \Rightarrow\left\langle a|C|a \right\rangle=0 \\\\\text{for any observables }A, B


아직 이상한 점을 눈치 못챘는가? A에 x를, B에 p를 넣어보자.


[x,p]=i\hbar\\\\\therefore \left\langle x\middle|\frac1i[x,p]\middle|x \right\rangle=\hbar\left\langle x|x \right\rangle=0\\\left\langle p\middle|\frac1i[x,p]\middle|p \right\rangle=\hbar\left\langle p|p \right\rangle=0


?!?!


이 비정합성은 commutator가 identity의 배수이기 때문에 나타난다. 다르게 말한다면, 어떤 한 측정량이 다른 측정량과 만드는 commutator가 identity의 배수로 나온다면 그 측정량의 고유상태(eigenstate)는 그다지 예쁜 성질을 갖지 않으며(예컨데 위치 x의 고유상태나 운동량 p의 고유상태는 L2(Square-integrable)공간에 속하지 않는다), 따라서 주의를 기울여 다루어야 한다고 결론지을 수 있다.


참고로 가장 간단(?)한 양자화 방법은 고전역학에서의 Poisson bracket을 양자역학의 commutator로 해석하는 것이기 때문에(Dirac quantisation 혹은 canonical quantisation) 양자역학의 미래가 골치아프다는 것은 확실해졌다. 양자장론이 괜히 머리 뽀개지는게 아니라니까...

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실험 세시간을 날려먹고서야 오실로스코프를 가로 단위를 2.5us로 잡고 single로 측정한 뒤에 가로폭을 확대하여 가로 단위를 500ns로 확대(A)한 후 오실로스코프를 새로운 값을 측정할 수 있도록 준비(B)했을 때와 2.5us에서 single로 측정한 후 오실로스코프를 새로운 값을 측정할 수 있도록 준비(B)한 뒤 가로 단위를 500ns로 확대(A)했을 때 오실로스코프가 측정한 값이 달라진다는 것을 알게 되었다. 붕괴된 멘탈을 재조립하면서 증가한 엔트로피를 배출해야 할 필요가 있으니 신나게 뻘글을 배출해 보자.




얼마 전 개미 다섯 마리의 다리 수를 세는 초등학교 문제가 화제가 된 적이 있었다. 5*6이라고 적은 답안을 오답 처리했기 때문이었는데, 6*5라고 써야 한다는 해설을 들은 사람들은 대체로 멘붕에 빠지거나 어떻게든 내신 등수를 내야겠기에 점수차이를 만드려고 오답처리를 한 것이라며 교사를 욕하는 내용이 대부분이었던 것으로 기억한다. 실제로는 곱셈을 가르칠 때 "무엇의 몇 묶음"의 방식으로 가르치기 때문에 순서가 중요하다고 하지만, 두 숫자의 곱은 순서를 바꾸어도 같다는 것이 상식이라고 말하기조차 민망할 정도로 당연하다고 생각하는 일반적인 사람들에게는 이 오답만큼 황당한 것도 없었으리라.


하지만 물리학(...)의 영역으로 가면 온갖 이상한 것들이 나타나기 시작하는데, 두 숫자의 곱 또한 얼마든지 괴상해질 수 있다. 대표적인 예로 하이젠베르크의 불확정성 원리가 있다. 비전공자가 사용한 100가지 경우 중 제대로 사용한 경우는 한가지가 될까 말까 한 불확정성 원리는 정확히는 '한 계(혹은 물체)에서 뽑아낼 수 있는 정보의 한계'를 말한다.


그렇다면 '정보'란 무엇일까? 섀넌은 정보의 양을 '가능한 모든 경우에서 얼마나 좁은 경우의 수로 좁힐 수 있는가'를 이용해 정의했다고 한다. 예를 들어 사람을 찾을 때 '그 사람은 태어났다'라는 명제는 전혀 정보로서의 가치가 없지만, '그 사람은 90년에 태어났다'라는 명제는 어느 정도 정보로서의 가치를 가지며, '그 사람은 90년 4월에 태어났다'라는 명제는 더 많은 정보로서의 가치를 갖는다는 식이다. 물리학에서도 비슷한 식으로 '한 계의 정보'를 정의할 수 있다. 아리스토텔레스의 자연철학에서는 (참고로 아리스토텔레스의 physics를 '물리학'으로 번역하는 경우가 가끔 있는데 올바른 번역은 '형이하학'이다) 한 물체의 위치만 주어지면 미래에 그 물체가 어떻게 운동할지 모든 것을 알 수 있다고 가정했다. 한 계의 정보로 '위치'면 충분하다는 것이다. 물론 실제로 한 물체의 미래를 알고 싶다면 그보다는 더 많은 정보가 있어야 했다. 갈릴레이는 '운동' 또한 위치만큼 중요하다(물리학에서 중요하게 여기는 값들은 변하지 않는 것-불변량-과 일정하게 유지되는 것-보존량-으로 나눌 수 있는데, 갈릴레이는 운동이 보존량이라는 것을 사고실험으로 증명했다)는 것을 논증했고, 뉴턴은 운동을 '한 계의 정보'에 포함시켰다. 따라서 뉴턴의 유산인 고전역학에 따른다면 '한 계의 정보'는 '위치에 대한 정보'와 '운동에 대한 정보' 두 가지 모두를 의미한다.


그렇다면 오늘 이 시각에도 지구 어딘가에서 오용되고 있을 하이젠베르크의 불확정성 원리로 돌아가 보자. 파울리는 한 편지에서 불확정성 원리를 "'운동을 보는 눈'만 뜨거나 '위치를 보는 눈'만 뜰 수는 있지만 둘 다 뜰 수는 없다니!"라고 표현했는데, 이건 위치에 대한 정보와 물체의 운동에 대한 정보 모두를 얻어낼 수는 없다는 것을 의미한다. 아이러니한 점은 이렇게 한 계에서 필요한 모든 정보를 얻어낼 수는 없더라도 양자역학에 따르면 충분히 완벽하게 그 계의 미래에 대한 모든 것을 알 수 있다는 것이다. 그러므로 불확정성 원리의 '확정'은 "미래는 확정지어져 있다"의 확정이 아니라 "상자에 들은 공의 갯수를 확정지을수 없다"의 확정이다. 하이젠베르크는 "xx의 값은 XX다!"라고 자신있게 말할 수 없다는 것이지, '미래는 모르는 것이다'와 같은 약 파는 소리(..)를 한적은 없다.


그렇다면 앞선 초등학교 수학 문제와 불확정성 원리의 관계는 무엇일까? 불확정성 원리의 수학적인 표현은 순서를 바꾸어 곱한 두 숫자의 차이로 나타난다. q를 위치를 나타내는 수로, p를 운동을 나타내는 수로 쓴다면 'qp-pq=i'가 불확정성 원리의 수학적 표현이다. 보다 쉽게 말한다면, 물리학에서는 q에 p를 곱하는 것과 p에 q를 곱하는 것이 같지 않다는 것이다. 가장 생각하기 쉬운 예시는 수1에서 많은 골치를 썩였을 행렬이 있다. 2X3 행렬에 3X2 행렬을 곱하면 3X2 행렬에 2X3 행렬을 곱한 값과 다를 수 밖에 없다. 이렇게 곱하는 순서가 중요한 숫자들은 불우하게 생을 마감한 수학자 아벨의 이름을 따 비아벨(nonabelian) 수라고 부른다.


한편 물리학자들은 하이젠베르크의 불확정성 원리를 다음과 같이 해석하기도 한다. "A를 먼저 측정한 후 B를 측정하는 것과 B를 먼저 측정한 후 A를 측정하는 것은 다른 결과를 가져온다" 이것은 물리학자들이 이 값들을 일종의 함수로 이해하고, 이 값들의 곱을 고등학교 수학에서부터 다루는 함수의 합성-f(g(x))는 x를 함수 g에 넣어 얻은 값을 다시 함수 f에 넣어 얻는 값을 말한다-으로 이해하기 때문이다. 위의 예시를 그대로 따온다면 pq를 'q를 잰 뒤 p를 잰다'로, qp를 'p를 잰 뒤 q를 잰다'로 이해한다는 것이다. 따라서 물리학자들은 'qp-pq=i'란 식을 'p를 잰 뒤 q를 잰 것과 q를 잰 뒤 p를 잰 것의 차이는 i이다'라고 이해한다.


이는 어떤 일을 수행하는데 순서가 중요하다는 것을 의미한다. 슈퍼맨이 되려면 쫄쫄이 위에 팬티를 입어야지 팬티 위에 쫄쫄이를 입어서는 안 되는 것이다(최근에 본 강철남-Man of Steel-에서는 붉은 삼각팬티가 사라지긴 했지만). 이렇게 어떤 과정을 거쳐서 지금의 상태로 오게 되었는가가 미래에 영향을 미치는 것을 경로의존성이라고 부른다. 물리학에서는 강자성체의 자기이력곡선(말만 어렵지 철이 자석되는 것을 말한다)이 대표적인 예이긴 한데, 너무 물리 이야기만 했으니 조금 다른 이야기를 해보려고 한다. 보다 극명하고 피부에 와 닿는 경로의존성이라면 단연 대통령제를 꼽을 수 있지 않을까. 서구에서는 꽤나 잘 정착된 이 제도는 몇몇 국가에서는 전제군주정의 현대적 변형으로 정착되어 있는데, 제도가 동일한데 결과가 다르다면 그 국가가 거쳐 온 역사가 다르기 때문이라는 설명 외의 적절한 설명은 없어 보인다. 과거가 현재를 만들었고 현재를 너머 미래에까지 영향을 미친다는 것이다. 그러니까 사랑하고 있는 여러분, 애인의 과거가 신경쓰인다면 그 과거가 있었기에 지금 사랑하고 있는 현재의 애인도 있는 것임을 이해하려 노력하시길 바랍니다. 결론이 무언가 이상한 것 같긴 하지만.

Posted by 덱스터

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통계역학 시험결과가 나왔는데 광자의 화학포텐셜(chemical potential)이 0이라고 가정했다고 점수가 까인 것 때문에 까칠모드로 전환해 써 보는 글. 완벽히 고전적으로 할 경우 어디까지 갈 수 있나 해 봅시다.




1. 먼저 진공이 차 있는 실린더를 가정합니다. 실린더 안은 전자기파로만 채워지고 양자역학적으로 말하면 photon gas에 해당하는 radiation continuum으로 채워진다고 가정하겠습니다. '광자'라는 개념 자체가 없으므로 광자의 수 dN은 등장하지 않습니다.


2. 실린더 안의 radiation continuum을 설명할 때 쓸 변수를 T와 V로 고정하고 이것으로 충분하다고 가정합니다.


3. 여기까지의 가정에서 다음 두 정리를 얻습니다.


3.1. 에너지 U는 extensive variable입니다. 따라서 같은 extensive variable인 V에 대해 선형적으로만 영향을 받을 수 있습니다. 그러므로 U/V=u(T)라는 결론을 얻습니다. 엔트로피 S 또한 extensive variable이기 때문에 부피에 선형적으로 비례하고 S/V=s(T)라는 결론을 얻습니다.


3.2. 압력(있다고 가정할 경우) p는 intensive variable입니다. 따라서 V와는 무관한 변수여야 하며, p=p(T)를 얻습니다.


4. 상태방정식 u=3p를 얻어야 하는데, 이 부분이 제일 까다로와 보이네요. 일단


4.1. 상대론적인 물질은 E/P=c라는 방정식을 만족합니다. 여기서 P는 운동량입니다.


4.2. 임의의 방향으로 분포된 P로부터 압력을 구하면 p = Pc/3V를 얻습니다.


dP_\text{avr}=\frac{(dA \times cdt\cos\theta)\times(P/V\times\cos\theta)\times(\sin\theta d\phi d\theta)}{2\pi} \\\\\text{average momentum passing through an area element}\\=\frac{(\text{swept volume})\times(\text{momentum component per volume})\times(\text{solid angle})}{\text{solid angle of half-sphere}}


통과한 평균 운동량 = (면적 * 통과한 수직길이 = 통과한 부피) * [(단위부피당 존재하는 운동량의 크기) * 면에 수직한 성분을 위한 코사인] * (고체각 성분) / (반구-한쪽 방향만 생각하므로-의 고체각)


넘어가면서 phi에 대한 부분은 적분으로 날려버립니다.


dp=\frac{dP_\text{avr}}{dA\times dt}=\frac{Pc}{V}\cos^2\theta\,d(\cos\theta) \\\\\text{contribution to pressure}\\=\frac{\text{momentum flux contribution}}{\text{area element}\times\text{time elapsed}}\\\\0\leq\theta\leq\pi/2


압력을 구하기 위해 적분하면 p = Pc/3V를 얻네요.


4.3. 에너지를 집어넣습니다. P=E/c=U/c에서 p=U/3V=u/3을 얻습니다.


5. 위의 과정을 통해 U/V=u(T)와 p=u(T)/3을 얻습니다. 독립적인 변수는 T와 V 뿐입니다. 따라서 열역학 제 1법칙을 다음과 같이 정리합니다.


dU=TdS-pdV=T\left[ {\left. \frac{\partial S}{\partial T}\right|}_V dT +{\left. \frac{\partial S}{\partial V}\right|}_T dV \right]-pdV \\\therefore dU=T{\left.\frac{\partial S}{\partial T}\right|}_VdT+\left[T{\left. \frac{\partial S}{\partial V}\right|}_T-p \right]dV


5.1. dT=0으로 두면 s = 4u/3T을 얻습니다.


{\left. \frac{\partial U}{\partial V}\right|}_T=u(T)=T{\left. \frac{\partial S}{\partial V}\right|}_T-p=Ts(T)-p(T) \\\therefore u+p=\frac43u=Ts \\\therefore s=\frac{4u}{3T}=\frac{4p}{T}


6. 비열을 구해 봅시다. 정적비열은 다음과 같이 구합니다.


c_V=\frac1V {\left. \frac{\partial U}{\partial T}\right|}_V=\frac TV{\left. \frac{\partial S}{\partial T}\right|}_V=\frac{4T}{3V}{\left. \frac{\partial (U/T)}{\partial T}\right|}_V=\frac{4T}{3V}\left[{\left. \frac1T\frac{\partial U}{\partial T}\right|}_V-\frac{U}{T^2}\right] \\\therefore c_V=\frac43 c_V - \frac{4U}{3VT} \\\\c_V=\frac{4u}{T}=3s=\frac{du}{dT}


6.1. 정압비열은 구할 수 없습니다. 압력이 온도에 대한 함수로 나오기 때문에 압력을 고정한 채로 온도를 변화시킬 수 없기 때문이죠.


7. 마지막 결과를 조금 꼬아 봅시다. 그러면 고전적으로 스테판-볼츠만 법칙(Stefan-Boltzmann law)을 얻을 수 있습니다.


c_V=\frac{du}{dT}=3s=\frac{4u}{T} \\\\\therefore \frac{du}{u}=\frac{4dT}{T} \\\\\ln u=4\ln T +C \Leftrightarrow u=AT^4




스테판-볼츠만 상수는 구할 수 없는데, 그 이유는 스테판-볼츠만 상수에는 플랑크 상수가 들어가기 때문이며 플랑크 상수는 양자역학을 도입해야만 등장할 수 있기 때문입니다. 4번까지가 문제가 되고 5번부터는 위키백과에도 나오는 별로 특별할 것은 없는 문제.(신나게 유도해놓고 혹시 있나 해서 찾아봤더니 있었죠...=_=;;)


상대론적인 에너지와 운동량 관계식을 제외하고는 전부 고전열역학적 취급입니다. 양자 가설은 코빼기도 안 비치고, 굳이 태클을 건다면 4.2에서 kinetic theory가 필요하다고 볼 수 있겠네요.

Posted by 덱스터

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페이스북의 타임라인에 계신 많은 물리 전공자 분들께 질문을 날려보았습니다. 답변을 기다리는 중...


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음... 제가 뭔가 놓친 것 같은데 제 타임라인의 물리에 목숨 건 여러분들의 도움을 요청합니다....


주제는 '특정 파장의 레이저로 물질의 온도를 몇 도 까지 올릴 수 있는가'. 구글 스칼라로 "laser heating limit"을 검색해봤는데 관련있어 보이는 검색결과는 안 잡히네요(문헌조사가 두뇌 가동 알고리즘에 누락되어 있다는 뼈아픈 지적을 계속 받고 있어서 트레이닝중...).


왜 이런 문제를 생각하게 되었는가는 생략하고(전혀..까지는 아니지만 다른 문제에서 파생된(?) 문제라서요) 단순하게 '레이저의 세기가 물질의 복사에너지와 일치하는 시점에서 온도의 상승이 멈춘다'고 할 경우 다음과 같은 사고실험을 해 볼 수 있지 않느냐는 거죠.


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아이디어는 다음과 같습니다. 아무리 낮은 온도의 복사체라도 얼마든지 높은 에너지의 광자를 방출할 수 있습니다. 그러면 온도 T를 가진 한 복사체를 포물면거울의 초점에 두고, 반사되어 평면파로 바뀐 복사광을 회절 격자에 쬐어 스펙트럼으로 나눕니다. 그 중 특정 파장에 해당되는 빛만 취하고 나머지는 거울을 이용해 되돌려보냅니다. 유사 레이저를 만드는 거죠. 좀 더 그럴듯하게 하고 싶으면 편광판을 이용하는 방법도 있고요. 어쨌든 이것을 '온도 T의 유사 레이저 발진기'라고 부릅시다.


'온도 T의 유사 레이저 발진기'를 병렬로 연결합니다. 그러면 나오는 유사 레이저의 세기를 얼마든지 올릴 수 있겠죠(쓰다 보니 자신없어진 부분). 그러면 '온도 T의 유사 레이저 발진기'를 수십만개 연결해서 물체A를 가열하기 시작합니다. 물체A의 에너지는 계속 오르다가 어느 시점에서 평형을 이룰 텐데, 만약 이 평형을 이루는 온도가 레이저의 세기에만 의존한다면 충분히 많은 '온도 T의 유사 레이저 발진기'를 병렬로 연결하는 것으로 물체A의 온도를 T 이상으로 끌어올릴 수 있다는 말이 됩니다. 수많은 '온도 T의 유사 레이저 발진기'로 물체A를 T1(T1>T)으로 가열하는 거죠.


여기서 잠깐. 열역학 2 법칙에 따르면 더 낮은 온도에서 더 높은 온도로 열을 전달할 수는 없습니다(GRE Physics 9277인가에 나왔던 문제라 기억하고 있습니다. 틀렸거든요(...)).


...어라?


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일단 보이는 '현실적'인 불가능한 부분은 과연 '완벽한 반사체'가 존재하냐는 것인데요, 빛을 반사하는 과정에서 반사체의 온도가 상승할 가능성을 무시할 수 있느냐는 질문이 되겠네요.


두 번째로 이렇게 유사 레이저를 제작한다고 해도 그 유사 레이저를 병렬로 연결하면 과연 위상이 잘 맞아들어가서 유사 레이저의 광도가 증가할 것인가의 문제가 있습니다. 이 경우엔 레이저의 광도에 해당하는 흑체복사온도가 있다는 결론이 나올테니(유사 레이저의 세기는 흑체복사로 방출되는 복사광의 해당 파장에서의 세기 이상은 못 가질테니까요) 레이저의 광도와 온도를 직접적으로 대응시키는 방법이 생기네요. 문제 해결? 그런데 평균이 0인 정규분포를 따르는 변수를 모으면 모을수록 그 합의 분산은 증가하는데 꼭 광도가 어느 정도 이상의 값은 가지지 못할 것이라고 결론내리는 것이 너무 성급한 것은 아닌가 싶기도 합니다.


나머지 하나는 이 이상한(?) 현상을 받아들이고 다른 해석(?)을 하는 것. 물체A의 에너지를 물체A의 온도의 함수로 보고 canonical ensemble처럼 처리해서(온도 T의 reservior와 반응하는 것으로 생각하는 거죠) 평형상태 온도가 확률이 극대화가 된다는 것을 보이는 것인데(density of state를 고려해야 할 테니 잘 하면 한 계의 엔트로피 계산에도 쓸 수 있겠네요.) 신나는 계산이 기다리고 있죠...=_=;; 어떻게 계산하는가와 원하는 결과가 나올 것인가는 일단 옆으로 치워 두고...




Rev. 07Nov13


흑체복사에서 벗어나는 radiation의 분포 때문에 물질 내부의 상태는 equilibrium distribution이 아닙니다. 해당 파장의 radiation의 흡수율이 급격히 떨어지게 된다는 뜻. 이걸 고려해야 하는데, 이게 말이야 쉽지...=_=;;


더 이상 canonical distribution을 갖지 않는 상태에 대한 연구가 될 듯 합니다.

Posted by 덱스터

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달빛이 밝다. 햇볕이 없으면 살지 못하는 성격이어서 일부러 햇볕이 잘 드는 방으로 자리를 잡았더니 어두워야 할 밤에도 햇볕이 든다. 달이 비추어준 빛은 달빛으로 부르는 전통이 있기는 하나 그 빛의 뿌리를 파고들다 보면 태양이 쏘아낸 빛에 도달하니 햇볕이라 불러도 (과학적으로는) 오류가 없을 것이다.

며칠을 고민하게 만들었던 문제에 대한 해답을 찾은 듯 하다. 와인버그의 『태초의 3분』에는 시안(cyanide: CN)의 흡수 스펙트럼의 얇은 갈라짐으로부터 우주의 온도를 예측하는 부분이 등장한다. 그 작은 차이가 내 눈을 끌었다. 계산해보면 밀리전자볼트 단위의 아주 작은 에너지 차이인데, 이것을 어떻게 물리적 지식으로 계산할 수 있을까?

처음 든 생각은 C-N 결합을 수소원자 모형으로 단순화시켜 이 차이를 fine splitting이나 hyperfine splitting으로 설명하는 것이었다. 하지만 미세구조상수 계산에 전자의 질량이 사용되고, 여기서는 전자의 질량이 양성자의 질량으로 바뀌어야 된다는 것을 깨닫고는 이 설명은 너무 작은 숫자가 나온다는 것을 알게 되었다. 그래서 이 가설은 깔끔하게 포기하였다.

다음 가설은 회전운동에너지가 양자화된다는 것을 이용하는 것이었다. 고전역학적으로 각운동량은 회전관성과 각속도의 곱으로 나타나며, 회전운동에너지는 회전관성과 각속도의 제곱의 곱으로 나타난다. 그런데 양자의 영역에서는 각운동량이 양자화되므로, 각운동량의 최소단위인 플랑크 상수를 시안 분자의 회전관성으로 나누면 각속도를 얻을 수 있으며, 이로부터 최소 단위의 회전운동에너지를 계산할 수 있으리란 추론이었다.

지식을 총동원해보기로 했다. 플랑크 상수는 197MeV-fm이고 양성자의 질량은 938MeV, 분자 단위의 길이는 대략 Å정도의 차수이다. 환원질량(reduced mass)으로 취급하면 회전관성은 대략 6GeV-Å^2이고 전자볼트-제곱미터 단위로 나타내면 대략 -11승 정도, 플랑크 상수는 전자볼트-미터 단위로 나타내면 -7승 정도 된다. 따라서 플랑크 상수의 제곱을 회전관성으로 나누어주면 -3승 정도의 전자볼트 단위, 즉 밀리전자볼트 단위의 에너지가 남는다. 시안의 흡수스펙트럼의 미세한 갈라짐의 원인을 찾은 셈이다.

달빛이 밝으니 오랜만에 밝은 꿈을 꿀 수 있을 것 같다.
Posted by 덱스터

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진짜 오랜만의(...) 물리 이야기. 군대 복무하면서부터 구상했던 논문 주제가 결국 논문으로 나왔고, 발표도 했고, 학점도(...) 나왔다. 그리 잘 쓴 것 같지는 않지만 어떻게 생각이 이어지는지 log를 남겨두면 도움을 받을 법 한 사람들도 있으리라 생각되어서 최종 결과물과 거기에 다다르는데 있었던 생각의 도약들을 기록으로 남겨본다.

학점이 B+인건 아무래도 '선행연구 검토를 제대로 안해서'가 이유인듯 싶다. 사실 발표 한달 전 쯤(그러니까 논문 완성하기 3주 전 쯤) 구글스칼라를 돌면서 선행연구가 있는지 검토했었는데 전무했지만 발표하면서 기억이 안 나서 '기억상에는 없습니다'라고 불확실한 대답을 해버린지라...=_=;; 교수님이 연구 결과물보다는 연구 과정을 충실히 이행했는가를 중점으로 평가하시는 분이셔서 어쩔 수 없다.

주제는 '자기단극자의 무질량 극한에 대한 탐구'. 영문으로 쓰면서 좀 아쉬웠던 부분은 두 번 나오는 unfortunately 중 하나를 다른 표현으로 바꾸지 못한 것. 하나는 fortunately와 대구로 쓰였으니 상관없는데 다른건 바꿀 수 있지 않았을까. 초록에 나왔다시피 '에너지가 유한한 경우로는 존재할 수 없음'이 결론이다. 사실 좀 더 중요한 결론은 '유한한 에너지를 갖는 광속으로 이동하는 soliton은 존재하지 않는다'인 듯 싶지만.

thesis.pdf


아쉬운 점이라면 발표 후에 깨달은 논문상의 부호 문제(...). metric을 반대로 사용해서 정의할 때 부호를 반대로 썼어야 하는 식이 몇몇 있는데다가, 중간에 Stress-energy 텐서의 부호도 잘못 썼다. 어차피 각 항이 0이 되어야 한다는 조건인지라 결론 자체는 문제가 없지만. 왜 리뷰를 봐 주신 교수님들 중 아무도 이걸 지적하지 않은걸까(...).


Kinematic Angular Momentum의 양자화는 사실 자기장이 0인 조건에서만 성립하는데 그 부분도 생략했다. 뭐, 어차피 상관없겠지.


이상민 교수님께서 리뷰하신 후 "실력도 되는데 좀 더 큰 주제를 잡지 그랬냐"는 식으로 코멘트를 달아주셨는데 워낙 오래 전부터 생각했던 주제라 그냥 썼습니다(...).


Soliton을 다루는 건 이수종 교수님을 찾아갔더니 주제를 말씀드리자 Rubakov 책을 쿨하게 던저주셔서 시작. 그걸 한 학기 내내 거의 혼자서 팠다. 올해 봄학기동안 한 일의 70%는 저거였는듯.[각주:1] 그래서 봄학기에 가장 많은 스트레스의 원인이 되었던 과목이 생각보다 학점이 안 좋아서 한동안 푹 꺼져있기도 했다. 돌이켜보면 발표할 때 실수한 내 잘못이긴 하지만.


Soliton의 경우는 논문에서 사용한 좌표계에서 운동방정식을 만족하는 해를 찾으려 3주동안 손가락 한 마디 정도 되는 이면지를 써보았는데도(주로 내가 계산을 제대로 했는가 검산한거긴 하지만) 내가 사용하는 가정해(ansatz)가 해를 주지 못한다는 결론이 나와서 그냥 뒤집어서 '해가 아예 존재할 수 없음을 보여볼까?'를 시도한거다. 결과는 성공. 특정 형식을 갖는 Lagrangian들의 경우 finite energy&speed of light를 갖는 Soliton solution이 존재하지 않는다는 보다 일반적인 결론이다.


다음은 이수종 교수님을 만나서 신세계의 문(...)을 열기 전까지의 기록. 잘못 계산한 결과에서 도약했다는 것은 log 중간에 나온다. 흑역사도 잘 마무리하면 좋은 자양분이 될 수 있다는 한 사례가 되기를(...) 희망한다. '>>'로 표시된 것은 차후에 덧붙이는 주석.



이런 글이 있었다. 아직도 비슷한 생각을 하고 있는지라 자기 단극자라는 개념에 대한 회의가 주된 고민거리이다.

처음에는 자기 단극자의 Lagrangian이나 Action Integral을 구하려고 했다. 문제는 그 형식이 어떨지 아예 감이 안 잡힌다는 것. 그래서 일반적으로 사용하는 벡터 포텐셜 A를 이용하면 문제가 생기나 봤더니, 벡터 포텐셜을 사용하게 되면 gauge symmetry는 당연하다는 결론만 얻게 되었다.

한창 보고 있는 책이 장론인지라 벡터 포텐셜을 이용해서 자기 단극자가 가질 수 밖에 없는 운동방정식을 텐서 형식으로 구하려고 했는데, 그것 마져도 실패했다. 그러면서 발견한 것이, 자기 단극자는 속도가 광속보다 매우 작은 경우에조차 갈릴레이 변환을 만족할 수 없는 운동방정식을 요구한다는 것이었다. 그렇다면 역으로 자기 단극자의 운동방정식은 전혀 다른 형식, 그러니까 질량이 없어서 광속보다 매우 작은 속도 자체가 불가능한 경우라는 결론에 도착했다. 그래서 지금은 질량없는 전하의 운동방정식을 어떻게 구해야 할까 고민하고 있다. 아무래도 전하가 자기 단극자보다는 다루기 쉬우니까 말이다.

시작은 Aharanov-Bohm 효과를 자기 단극자에서는 절대로 발견할 수 없다였는데[각주:2], 어느 순간 자기 단극자의 질량은 없다로 흘러가고 있다. 만약 그렇다면 magneton보다는 magnetino라는 이름으로 불러야 하지 않을까.

- 2011.10.02

Magnetino가 유도하는 전자기장 방정식을 구했다. 로렌츠 변환 대칭성을 이용해 운동 방향에 수직한 평면에만 전자기장이 존재하도록 하면(델타함수를 이용해 자하량을 만족시킨다) 운동 방향과 같은 방향으로의 로렌츠 변환에도 변하지 않는 전자기장을 만들 수 있다.(델타함수를 재규격화하는 것이 델타함수 이외의 항에서 나타나는 상수를 상쇄시킨다.) 문제는 벡터 포텐셜. 델타함수의 역미분이 애매하다.

재미있는 것은 이렇게 구한 벡터 포텐셜이 전하와 상호작용할 경우 필연적으로 뜬금없이 각운동량이 생성되어야 한다는 것인데, 이 각운동량을 상쇄할 수 있는 것은 자하나 전하 자체에 내재된 각운동량, 즉 스핀 뿐이라는 것. 스핀은 양자화되어있기 때문에 각운동량 또한 양자화되어 있어야 하고, 따라서 전하와 자하의 곱이 양자화되어야 한다. 우연인지 항상 생성되는 각운동량 또한 전하와 자하 사이의 수직거리와는 전혀 상관이 없다. Dirac 양자화 조건과 조금 다른 듯 싶지만 비슷한 결론이라는 것이 재미있다. 졸업논문을 쓰게 되면 이걸로 쓰면 되겠네.

-2012.03.01

Magnetic charge에 Lorentz invariance를 구현하는 방법은 없나? 현재까지 시도 결과는 없다는 결론만 나온다. 정말 답이 없는걸까? photon이 실존하는 particle(그러니까 고전적인 의미의 입자)이라 가정했을 때 얻는 energy-momentum tensor의 00항과 같은 transform을 갖는 것으로 보이긴 하는데...

>>00항과 같은 이유는 전자기장을 계산했기 때문이었다(...)

Classical limit에서의 equation of motion은 알려진 대칭적인 방정식 말고는 존재할 수 없음을 반쯤 증명했다. 서로에 대해 움직이는 magnetic charge와 electric charge가 상호작용하면서 서로에게 가하는 힘에서 운동에 linear한 term을 구할 수 있고 small loop current와 magnetic charge가 서로에 대해 정지해 있는 경우에 가해지는 힘에서 자기장에 선형적인 항을 구할 수 있다. 자기장과 운동에 선형적인 항은 없는지 의문.

>>간단하게 말하면 자기단극자의 운동방정식을 수학적으로 유도했던 시도다.

-2012.04.21

Magnetic charge에 걸리는 Lorentz force가 사실은 Lorentz invariant이라는 것이 확실해졌다. 전혀 틀린 가정에서 재미있는(?) 결과를 도출해낸 셈. 이제 문제는 magnetic charge가 conjugate field를 생성한다고 할 때 equation of motion을 구할 수 있는가이다. 물론 Lagrangian을 이용해서.

>>여기서 conjugate field는 curl이 전기장이 되는 four-vector를 말한다.

-2012.05.04

자기단극에 가해지는 힘 중 자기장과 운동에 전부 선형적인 항은 존재할 수 없음은 자기단극 두개를 이어 붙여서 만든 자기모멘트와 작은 loop의 자기모멘트가 구분할 수 없다는 가정을 이용하면 구할 수 있다. 만약 그런 항이 존재한다면 자기장에서 자기모멘트가 움직일 때 토크가 있어야 하는데 loop의 경우에는 존재하지 않으므로.

Field theory적으로 접근해볼까 고민중. 그런데 가상광자가 각운동량도 전달할 수 있는건지 모르겠다. 각운동량 보존은 어디서 구해와야 하나...

>>간단하게 말하면 자기단극자의 운동방정식을 수학적으로 유도했던 시도다.

-2012.6.2

젠장. 이미 비슷한 방식으로 quantisation을 완료한 논문이 European Journal of Physics에 실렸었다(2003). 그래서 이번에는 오히려 upper bound를 줄 생각. Dirac theory에 따르면 J_z가 보존되는 양이니까 가능할거란 생각이 든다. 문제는 Hamiltonian이 time independent할 경우에만 해당되는 내용이냐는 거지만. vacuum fluctuation과의 order of magnitude를 비교해봐야겠다.

>>해당 논문(2003 Eur. J. Phys. 24 111)의 링크: http://iopscience.iop.org/0143-0807/24/2/351/ 해당 논문에서는 vector potential을 사용하지 않기에 다른 내용이기는 하지만 내용이 겹치기는 한다.

-2012.11.13
... 


글을 공개로 바꾸면서 log를 다시 보니 난 수학에서나 요구할 법 한 논리적 엄밀성을 추구하는 별로 좋지 않은 버릇이 있는지도 모르겠다. 과감한 일반화가 물리의 미덕인데...

  1. 필요에 의해서 9장까지만 연습문제를 전부 풀어봤는데, 슬슬 나머지 장의 연습문제도 풀기 시작해야겠다. [본문으로]
  2. A-B 효과에서 자기장을 전기장으로 바꾸어주면 전기장 부분에서만 scalar potential을 요구하고 나머지에서는 모든 potential이 0이 되는 gauge를 취할 수 있다. [본문으로]
Posted by 덱스터

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이전에 쓴 글 중 양자역학의 유래라는 글이 있었다. 현대 양자역학의 근간이 되는 파동방정식 풀이법과 행렬을 이용한 선형대수 연산 및 고유값을 사용하게 된 기원 등을 다룬 글인데,[각주:1] 오랜만에 덧붙일만한 내용이 생각나서 새로운 글을 쓰기로 했다.

 

저번 글에서 양자역학이 형성되어 온 두가지 갈래길을 알아보았다. 이번에는 그 두 갈래길이 남아 아직도 영향을 미치고 있는 묘사(picture)에 대해 살펴보자.

 

수업을 듣던 중 교수님께서 에너지나 운동량 등의 측정값이 양자화되는 이유를 질문하셨다. 누군가가 경계조건(boundary condition)으로 고유값이 결정되기 때문이라고 했고 교수님은 공부를 열심히 했다고 칭찬하시고는 넘어가셨는데 필자가 보기에는 반만 맞는 답이었다. 하지만 타과생인지라 물리학과에 반기를 들기보다는 조용히 넘어갔다. 어째서 반만 맞는 답일까?

 

양자역학은 두 경로를 통해 발전했다. 하나는 슈뢰딩거(Erwin R. Schrödinger)의 '파동성을 핵심으로 하는 파동역학'이고, 나머지 하나는 하이젠베르크(Werner Heisenberg)의 '양자성을 핵심으로 하는 행렬역학'이다. 파동역학을 양자역학의 원류로 본다면 물리량이 양자화되는 이유는 경계조건이 존재하기 때문인 것이 맞다. 하지만 행렬역학을 양자역학의 원류로 본다면 물리량의 양자화는 공리(postulate)가 된다. 실제 양자역학은 두 원류가 합쳐진 형태로 발전했기 때문에 이런 의미에서 그 답은 반만 맞는 것이다. 그렇다면 이 두가지 관점은 어떻게 남아있을까?

 

슈뢰딩거의 파동역학은 전자파(electron wave-electromagnetic wave가 아니다!)와 같이 물체에게 파동성이 존재하므로 이미 존재하는 파동광학 등의 결과를 물질로 확장하는 것으로부터 출발하였다. 때문에 시간에 따라 변하는 것은 물질의 상태(state)가 되고, 이것이 반영되어 측정하는 물리량(operator를 말한다)은 시간에 불변하는 것으로 간주되었다. 빛이 화면에 닿아 상을 만들 때 화면의 상태가 변하기 때문에 화면에 그려지는 상이 변화한다고 보기보다는 빛의 상태가 변하기 때문에 상이 변화한다고 생각하는 것이 더 자연스럽지 않은가? 우리가 존재하는 공간이 변화한다고 보는 것보다는 그 공간에 놓인 물질이 변화한다고 보는 것이 아무래도 자연스럽기 때문에 대부분의 학부 양자역학 교재에서는 슈뢰딩거 묘사(Schrödinger picture)를 쓰는 경우가 많다. 슈뢰딩거 묘사를 쓸 경우 운동방정식은 다음과 같다. 잘 보면 고전적인 파동방정식과 닮았다.

 

$$\dot{\left|\psi\right>}=\frac{\mathbf{H}}{i\hbar}\left|\psi\right>$$

 

이번엔 하이젠베르크의 행렬역학을 따라가 보자. 하이젠베르크의 행렬역학은 전 글에서 설명했다시피, 물리량을 측정할 경우 그 값이 양자성을 가진다는 것에서부터 출발하였다. 수소원자스펙트럼은 불연속적으로 분포되어있지 않은가. 그렇기 때문에 하이젠베르크에게 변화하는 것은 물질의 상태가 아닌 물질의 측정값, 즉 물리량이 변화하게 된다. 같은 물질을 다른 시간에 측정하면 다른 물리량을 내놓는 것이므로 물질은 그대로 있고 물리량이 변화해야 한다는 의미이다. 안을 알 수 없는 기계장치가 들어있는 상자가 있고 그 상자의 벽에 화면이 설치되어 있어 시시각각 변화하는 숫자를 보여준다고 상상해보자. 이 경우 상자 자체가 변화한다기 보다는 상자의 화면에 찍히는 숫자가 변화한다고 보는 것이 자연스럽다. 하이젠베르크 묘사(Heisenberg picture)를 쓸 경우 운동방정식은 다음과 같다. 해밀토니안 역학에서 이런 방정식을 본 적이 있을 것이다.

 

$$\dot{\mathbf{A}}=\frac1{i\hbar}\left[\mathbf{A},\mathbf{H}\right]+\frac\partial{\partial{t}}\mathbf{A}$$

 

마지막으로 흔히 상호작용 묘사(interaction picture) 혹은 폴 아드리엔 모리스 디락(Paul Adrien Maurice Dirac)의 이름을 딴 디락 묘사(Dirac picture)를 생각해보자. 이 묘사방법은 양자장론(Quantum Field Theory)이 등장하면서 입자가 만들어지고 사라지기니 특정한 상태를 규정짓기가 힘들어지자 도입한 것으로 볼 수 있다. 물리적인 계(system)의 진화를 규정짓는 것이 해밀토니안(Hamiltonian)인데 이 묘사에서는 해밀토니안을 두가지로 나눈다. 일반적으로 우리가 측정하는 '입자'를 만들어주는 자유장 해밀토니안(free field Hamiltonian)과[각주:2] 이 입자들 사이의 상호작용을 기술하는 상호작용 해밀토니안(interaction Hamiltonian)으로 나누고, 각각 H_0와 H_int로 이름붙인다. 우리가 측정하는 모든 물리량은 자유장 해밀토니안에 따라 변화하고, 우리가 측정할 대상이 되는 상태들은 상호작용 해밀토니안에 따라 변화한다. 하이젠베르크 묘사를 설명하면서 쓴 예제를 사용해 본다면 상자의 화면에 등장하는 숫자가 변화하는데, 상자 자체도 조금씩은 모양을 바꾼다는 것으로 생각할 수 있다. 상자의 모양에 따라 화면에 등장하는 숫자 또한 영향을 받는다면 1. 상자의 모양마다 숫자가 어떻게 나타나는지 2. 상자의 모양이 시간에 따라 어떻게 변화하는지로 나누어 설명하는 것이 편리하다. 때문에 상호작용 묘사에서는 운동방정식이 조금 복잡하다.

 

$$\mathbf{H}=\mathbf{H_0}+\mathbf{H_{int}}\\ \dot{\mathbf{A}}=\frac1{i\hbar}\left[\mathbf{A},\mathbf{H_0}\right]+\frac\partial{\partial{t}}\mathbf{A}\\ \dot{\left|\psi\right>}=\frac{\mathbf{H_I}}{i\hbar}\left|\psi\right>\\\\ \text{where }\mathbf{H_I}\text{ is the solution of}\\ \dot{\mathbf{H_I}}=\frac1{i\hbar}\left[\mathbf{H_I},\mathbf{H_0}\right]+\frac\partial{\partial{t}}\mathbf{H_I}\\ \mathbf{H_I}(t=t_0)=\mathbf{H_{int}}$$

 

물리 덕후 소리를 들을 정도로 이곳 저곳 다 파고 들어가며 닥치는대로 공부하다 보니 물리학 개념이 어떻게 발전해왔는가에 대해서도 이것 저것 알게 된 것이 많다. 아무래도 이런 이해가 있다 보니까 정리가 좀 잘 되는듯. 다음 학기 학부 졸업논문이나 잘 써야 할텐데...

  1. 엄청나게 많은 깨져있는 수식을 복구하느라 조금 힘들었다. 이런 글 엄청 많을텐데...ㅠㅠ [본문으로]
  2. 이 '입자들'로 상태공간을 확장(span)하기 때문이다. 아무래도 알기 쉬운 것들로 공간을 나타내는 것이 더 보기 좋으니까. [본문으로]
Posted by 덱스터

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Feynman Lectures 3권의 (21.1) 식은 다음과 같다.

\left< b | a \right>_{\text{in } \bold A}=\left< b |a\right>_{\bold A=0}\cdot\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]

무슨 뜻인고 하면, 자기포텐셜 A가 존재할 때 전이확률을[각주:1] 구하려면 A가 0일 때의 전이확률에 자기포텐셜을 선적분한 만큼 추가적인 위상을 곱해주어야 한다는 것이다. 이 뜬금없는 식은 어디에서 등장한 것일까? 어떤 이유에서든 양자물리는 고전역학에 뿌리를 두고 있으므로 고전역학의 어디에서 왔는지 살펴보자. 먼저 Lagrangian in Electromagnetism에서 마지막 결과물로 얻은 고전적인 장-전하 반응 Lagrangian을 끌어오자.

L=\sum_j\frac1{2}m\dot{x_j}^2-q(\varphi-\dot{x_j}A_j)=\frac1{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}-q(\varphi-\vec{v}\cdot\vec{A})

여기에 Legendre 변환만 취해주면 Hamiltonian을 얻는다. 치환하고자 하는 물리량은 속도 벡터. 일단 Lagrangian을 좌표의 시간변화율로 편미분해주자.

p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot {x_i}}=m\dot{x_i}+qA_i

conjugate momentum을 구했으니 Legendre 변환을 취한다.

H= \sum_i p_i\dot{x_i}-L=\sum_i\frac12m\dot{x_i}^2+q\varphi

얼레. 이상한 포텐셜도 끼어들었는데 제대로 된 에너지가 결과로 나왔다. 하지만 명심해야 할 사실은, Hamiltonian은 좌표의 시간변화율이 끼어들 자리가 없다는 것이다. d(x_i)/dt를 p_i로 바꾸어주어야 한다는 사실을 잊지말자.

\dot{x_i}=\frac{p_i-qA_i}m \\\therefore H=\sum_i\frac1{2m}(p_i-qA_i)^2+q\varphi

이제 Schrodinger equation으로 자기력을 다룰 때 어째서 괴상한 방식으로 자기포텐셜이 도입되었는지 그 유래가 조금은 보일 것이다. 이제 Schrodinger 방정식을 풀어보자. 일반적으로 이 방정식을 풀 때 상태함수는 위치좌표를 기저로 쓰므로 운동량을 적당히 바꾸어 넣는다.

H=\frac1{2m}(-i\hbar\vec\nabla-q\bold A)\cdot(-i\hbar\vec\nabla-q\bold A)+q\varphi

우변의 첫 항이 사실 좀 많이 거슬린다. 계산이 너무 귀찮게 생겼다. 그런데 운동량과 자기포텐셜이 뒤섞여 있는 저 항은 잘 하면 계산하기 쉽게 바꿀 수 있을 것도 같다. 먼저 위의 Hamiltonian을 다시 써보자.

H=-\frac{\hbar^2}{2m}(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)\cdot(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)+q\varphi

다음 방정식은 쉽게 보일 수 있다. 이 녀석을 응용할 수 있지 않을까? (F는 f의 역도함수)

\left(\frac{d}{dx}-f(x)\right)g(x)~e^{F(x)}=g'(x)~e^{F(x)}

일단 입자가 a에서 b까지 1차원 경로로 이동하는 경우는 다음과 같이 쓰면 쉽게 정리할 수 있다.

\Psi(x,t)=\Psi_0(x,t)\cdot\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]

적분이 아직 난감하다고 해도, 미분은 엄청 간편해졌다.

i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=H\Psi=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)\cdot(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)+q\varphi\right]\Psi \\=\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]\cdot\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+q\varphi\right]\Psi_0 \\=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left(\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]\cdot\Psi_0\right)

특히, A가 시간과 무관한 경우라면 계산이 엄청나게 간단해진다.

i\hbar\frac{\partial\Psi_0}{\partial t}=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+q\varphi\right]\Psi_0

이제 처음에 등장한 식이 어떻게 얻어졌는지 조금은 보일 것이다.
  1. 실제 확률은 절대값의 제곱을 취하지만, 여기서는 간단히 두 상태의 내적으로 취급하자. [본문으로]
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2009/04/24 - 어는점내림/끓는점오름을 다른 상수에서 구하기

위 글에서 내가 한 가정들 중에서는 엄밀하지 못한 가정이 하나 숨어있다. 원글에서도 밝혔지만 엔트로피에 대한 가정 말이다.

3. 엔트로피의 특징
엔트로피는 용매 자체가 가진 엔트로피($S_1$)와 용질 자체가 가진 엔트로피($S_0$)와 용매가 존재함으로서 생겨나는 엔트로피($S_p$)의 합으로 생각한다. 이 때, 용질의 존재가 만들어내는 추가적인 엔트로피는 다음과 같이 가정한다.
$$S_{p}=k\ln\Omega'\\\Omega'{=}\text{C}({N_1+N_s},{N_s})$$

여기서 C는 Combination 함수를 말한다.
$$\text{C}(n,k)\equiv\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

기존 엔트로피(그러니까, $S_0$ 와 $S_1$)에 대한 가정은 문제가 없다. 엔트로피를 로그함수로 정의한 이유가 이렇게 증가하는 복잡도를 단순한 덧셈으로 나타내고 싶었기 때문이다. 문제는 섞였을 때 만들어지는 엔트로피이다. 공간을 무작위로 나돌아다니는 분자들인데 어떻게 그 분자들의 복잡도가 단순한 조합(combination)함수로 나타내질 수 있느냐는 것이다.

결론은 의외로 간단하다. 어차피 통계역학은 그 기본 가정이 불연속성이므로 공간마저도 불연속적인 격자(grid)로 가정할 수 있다. 이제 한 격자의 크기를 한 분자가 겨우 들어갈 정도로 작게 잡고, 그 격자를 한줄로 쭉 늘어놓는다. 집합론에서 무한집합에 대해 $\aleph_0\times\aleph_0=\aleph_0$를 증명하는 것과 비슷한 방식을 사용하면 된다. 이렇게 격자를 한줄로 쭉 늘어놓으면 $N_1%2BN_s$개의 빈 상자에 $N_s$개의 용질 분자를 집어넣고 나머지를 용매 분자로 채우는 문제와 동일한 문제가 된다. 따라서 매우 간단해 보이는 조합함수이지만 상대적으로 정확한 엔트로피를 구할 수 있는 것이다.

물론 여기에는 용액이 액체이기 때문에 빈 격자가 없다는 가정이 포함된다. 빈 격자도 있으면 빈 격자도 계산에 넣어야 하기 때문이다. 따라서 구한 상수를 구하는 식은 초유체나 기체 용액에 적용하기에는 무리가 있다.
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항공역학(사실상 유체역학이다만)을 배우다 보니 꽤 간단하면서도 중요한 식들을 보게 되는데, 그중 단연 으뜸이라고 할 수 있는 녀석은 이 녀석이다. Kutta-Joukowski Theorem

L'=\rho_{\infty}V_{\infty}\Gamma

대문자 감마(Gamma)는 circulation이라고 불리는 녀석인데, 여기서는 이렇게 정의한다.

\Gamma=-\oint\vec V\cdot d\vec s

2차원 유동을 다룰 때 나오는 식이다. 예상하겠지만, circulation은 어떤 폐곡선을 따라 적분하느냐에 따라 값이 휙휙 뒤바뀐다. 그리고 전자기학 공부 조금이라도 깊게 한 사람은 알겠지만, Stokes정리[각주:1] 의해 대문자 감마를 다른 방식으로 구할 수 있다.

\Gamma=-\oint\vec V\cdot d\vec s~~~~~\\=-\int \vec\nabla\times\vec V dA[각주:2]

유체역학에서는 유동장 속도 벡터에 curl을 취한 벡터를 vorticity라고 부른다. 일반적으로 여기에 문자 하나를 배정해 주는데 크시(Xi)를 주로 쓰는 듯. 별로 중요하지는 않아 보이지만. 이 값은 그 위치에서 유동 성분이 어떤 각속도를 가지고 도는지를 나타낸다. 크시의 크기는 각속도의 두배.

\vec\xi=\vec\nabla\times\vec V

항공역학이다 보니 항공기에서 나타나는 유동을 주로 다루게 되는데, 일반적으로 vorticity는 0이다.(이러면 속도 벡터를 모함수의 물매(gradient)로 생각할 수 있어 potential flow라고 부른다.) 단순하게 생각해서 항공기가 앞으로 날아가면 항공기 입장에서는 공기가 앞에서 불어오는 것처럼 보인다. 그리고 앞에서 일정하게 불어오는 공기에게 각운동량 따위가 있을리가 없다. 어딘가를 중심으로 회전해야 각운동량이 생기기 때문이다.[각주:3] 뭐 일단 자세한 설명은 생략하고, 실제 물체가 있는 곳 주위를 제외한 다른 부분에서는 대부분 vorticity가 0이다. 이런 부분을 따라 contour를 그리는 것이다. 그런데 비행기가 뜨기 위해서는 lift가 존재해야 하고, 위의 정리를 따르면 circulation이 0이면 안된다. 그런데도 velocity potential 자체는 정의할 수 있다. magnetic scalar potential과 비슷한 개념이라고 생각하면 될 듯 하다.[각주:4] 당연히 이 녀석은 Riemann surface 비슷하게 한 지점에서 하나의 값만 정의되지는 않는다. complex variable analysis에서 residue와 비슷하다고 해야 하나?

잡담은 여기까지 하고(무언가 헤맨 느낌이 들지만), 직접 증명해보자. 일반적으로는 complex potential을 이용한다고 하는데, 그런 고등한 방식은 우리에게 어울리지 않는다.(이 방법으로 증명한 것을 보고 싶으면 여기로) 좀 더 바로 바로 와 닿는 증명은 없을까? 구멍이 조금 있어 엄밀하지는 못하지만(메꿀 수는 있는 구멍이다.) 이런 방식으로 증명하는 것도 가능하다.

대충 다음처럼 airfoil 하나를 준다. Kutta조건을 만족하려면 아래처럼 흐르게 된다.


이전 글에서 긁어왔던 그림. 이번에도 여기에서

circulation이 생겼다. 그러면 이제 이 airfoil이 하나의 점처럼 보일 때까지 시야를 확대한다.

대충 이런 느낌이다.

이제 중요한 부분. 이렇게 매우 먼 지점에서 유체의 y방향 운동량 성분의 변화를 분석한다. 먼저 r이 매우 커지면 가장 중요한 성분은 다음 세 가지가 된다.

\text{at large } r\gg1\text{, flow field is characterized by}\\\\ \begin{array}{cc} \text{flow from infinity}&V_\infty\hat x\\ \text{source flow}&\frac\Lambda{2\pi r}\hat r\\ \text{vortex flow}&-\frac\Gamma{2\pi r} \hat\theta \end{array}\\\\ \text{on the first order of } \frac1r

r의 -1차항까지 분석하는 이유는 우리가 적분할 때 r의 order를 갖는 weighting factor를 부여할 것이기 때문이다. 일단 확실한 것은 airfoil이 있어도 유체가 새로 생성되거나 사라지지는 않는다는 것이다.

\Lambda=0

먼저 들어오는 y 운동량을 측정하자. 일단 다음과 같이 그림을 잡으면 미소시간 dt동안 들어온 y방향 성분을 알 수 있다.


a>>1으로 두기 때문에 위에서 얻은 근사식을 적용한다. 흘러 들어오는 질량은 수직길이당 \rho_\infty V_\infty dt 이므로 적분은 대충 다음처럼 생겼다.

p_{y,i}=\int_\infty^\infty \rho_\infty V_\infty dt\frac\Gamma{2\pi r}\cos\theta dl~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ =\int_\infty^\infty \rho_\infty V_\infty dt\frac\Gamma{2\pi a\sec\theta}\cos\theta~ d(a\tan\theta)\\ =\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \rho_\infty V_\infty dt\frac\Gamma{2\pi}d\theta\\ =\frac12\rho_\infty V_\infty \Gamma dt

뒷쪽에 대해서도 같은 식을 구할 수 있다. 다만 이 때는 vortex가 유도한 y성분의 속도 방향이 아래쪽이므로,

p_{y,o}=-\frac12\rho_\infty V_\infty dt

이다. 따라서 airfoil이 전체 유동장에 주는 힘은

\text{momentum transferred into the fluid flow} = p_{y,o}-p_{y,i}\\ =-\rho_\infty V_\infty\Gamma dt\\\\ \therefore \text{force transferred into the fluid flow}={p_{y,o}-p_{y,i}\over dt}\\ =-\rho_\infty V_\infty\Gamma

이제 뉴턴 3법칙을 이용한다.

\text{lift} = -\text{force transferred into the fluid flow}\\\\ \therefore L'=\rho_\infty V_\infty\Gamma~~~~~~~~~~~~~~~~~

증명 완료. 이런 방식으로 증명하게 되면 Navier-Stokes 방정식처럼 potential flow를 가정할 수 없는 경우에도 Kutta-Joukowski 정리가 대략적으로 성립한다는 것을 보여줄 수 있을지도 모른다는 생각이 들었지만 생각해보면 점성때문에 r의 -1차 항이 0으로 배는 빠르게 수렴하는구나. 교수님께서는 이 식이 점성이 있어도 대충 맞는다고 하셨는데 그렇게 잘 맞게 하려면 어떻게 contour를 잡는지에 대한 감각이 필요할 것 같다.

쓰고 나서 보니 막쓴 항들이 보이는데 너그러운 마음으로 무시해 주시길 바란다, 정 찝찝하면 dt를 Δt로 바꾸시면 되겠다.
  1. 전자기에서 주로 만나서 몰랐는데, 이 인물이 원래는 유체역학을 하던 사람이라고 한다. 교수님 말씀하시길: "천재는 무언가 하면 이곳저곳에 흔적을 남기는 법이야"(맞나?) [본문으로]
  2. 2차원이다. 3차원이 아닌 공간에서 curl을 쓰는 것이 이상하기는 하지만, z축을 임의로 도입하고 z방향의 변화는 항상 0이 된다고 가정하면 된다. [본문으로]
  3. 물론 각운동량이 존재해도 어딘가 중심을 가지고 회전하지는 않는 것처럼 보일 때가 있다. [본문으로]
  4. 비록 전자기 시간에 '이런게 있음 ㅇㅇ'하고 대충 넘어가신 것 같기는 하지만. [본문으로]
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Thin airfoil theory는 말 그대로 날개가 얇다고 가정을 한 상태에서 날개 주변의 유동에 대해 해석적인(analytic) 해를 구하는 것이다. 상당히 극단적인 가정이 많이 들어가기는 하지만 의외로 잘 맞아서(실험 데이터와 오차범위를 비교해놓은 것을 보면 정확하다는 말만 나온다.) 이전에 공학과 흑묘백묘론이라는 글을 쓰는 모티브가 되기도 했다. 물론 모티브는 내 엉망인 글 솜씨에 의해서 망해버렸지만.

근사를 하는 과정은 다음과 같다.

1. 점성항을 제거한다.
Navier-Stokes 공식을 Euler 공식으로 바꾸는 것이다. 이렇게 공식을 바꾸어주면 그나마 풀 수 있는 문제로 바뀌게 된다.[각주:1]

2. 회전하지 않는다고 가정한다.
속도 벡터장의 회전도(curl)를 항등적으로 0으로 취급한다는 뜻이다. 1번과 함께 이 조건이 만족되면 속도를 스칼라 함수의 물매(gradient)로 쓸 수 있다고 해서 potential flow라고 부른다. 컴퓨터 없이 유체역학을 공부하게 되면 이런 종류의 흐름만 배울 것이다.

3. 날개를 camber만 남긴다.
camber는 날개의 윗 단면과 날개의 아랫 단면의 정중앙을 지나는 곡선이다. 임의의 수직선을 생각했을 때 camber가 날개를 정확히 반으로 가른다고 생각해도 좋고, 윗 단면과 아랫 단면의 평균이라고 생각해도 좋다. 중요한 것은 날개에 이 녀석만 남겨서 두께를 0으로 만들어 버린다는 것이다.

4. x축에 vortex를 적절히 배치한다.[각주:2]
말 그대로 적절히 배치한다. 이 배치를 잘 조절해서 camber만 남긴 날개와 유체의 흐름이 평행하도록 만들어주는 것이다. 비행기가 날 때 공기가 날개를 뚫고 흐르지는 않는 것을 모사한다.

정확한 것은 책을 찾아보세요. 블로그는 언제까지나 블로그이다.

문제는 결국 이 방정식으로 줄어들게 된다. gamma는 x축 위의 vortex 분포, V는 무한지점에서 불어오는 속도(그래서 아래첨자가 무한대이다), alpha는 받음각(angle of attack), x는 좌표, z는 camber의 공식. 0에서부터 c까지 적분한다는 소리는 날개의 앞쪽 끝에서 뒤쪽 끝까지 적분한다는 의미이다.

\frac1{2\pi}\int_{0}^{c}\frac{\gamma(\xi)d\xi}{x-\xi}=V_\infty\left(\alpha-\frac{dz}{dx}\right)

Anderson의 Fundamentals of Aerodynamics 4th Ed.을 쓰고 있는데, 여기서는 날개를 완전히 평평한 판으로 근사했을 때(dz/dx=0)의 해를 다음과 같이 구해놓았다.

\gamma(\theta)=2\alpha V_\infty\frac{1+\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\\x=\frac{c}2(1-\cos(\theta))

재미있는 것은 이 식이 경험법칙인 Kutta condition을 만족한다는 사실이다. Kutta 조건은 어떤 실험을 해 보아도 날개 끝 지점에서 유체의 움직임은 끝의 생김새와 평행하다는 것이다. 수식으로 바꾸면 gamma가 날개의 끝 지점에서는 0이라는 말이다.



아래 그림이 Kutta 조건을 만족할 때의 유동 모습이다. 일단 책에 나온 해의 그래프는 다음과 같이 그려진다.

c를 1로 잡았다. y축은 어차피 분포를 보여주기 위한 목적이 전부이니 무시.

자, 어떻게 다음 적분방정식(integral equation)의 해가 저렇게 깔끔한 성질을 보여줄까?

\frac1{2\pi}\int_{0}^{c}\frac{\gamma(\xi)d\xi}{x-\xi}=V_\infty\alpha

결론부터 말하자면, 당연히 깔끔할 수 밖에 없다. 일반적으로 적분방정식의 해는 여러개가 나오는데 그 중에서 우리가 원하는 조건에 맞는 녀석만 남도록 경계조건(boundary condition)을 적용했기 때문이다.[각주:3] 방정식 자체는 alpha와 V의 부호를 동시에 바꾸어도 동일하다는 점에 주목하길 바란다. 이 말은 위에서 구한 분포가 반대 방향에서 불어오고 있을 때에도 유효한 답이 된다는 말과 똑같은 소리이다.

\frac1{2\pi}\int_{0}^{c}\frac{\gamma(\xi)d\xi}{x-\xi}=(-V_\infty)(-\alpha)
의 해도\gamma(\theta)=2\alpha V_\infty\frac{1-\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\\x=\frac{c}2(1-\cos(\theta))
가 된다.


다르게 표현한다면 다음 해도 사실은 유효하다는 것이다.부호 반대.

\gamma(\theta)=2\alpha V_\infty\frac{1-\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\\x=\frac{c}2(1-\cos(\theta))

하늘색이 새로운 해의 분포

그래서 수업시간에 교수님께서 질문하신 "왜 답이 이렇게 깔끔한지 알기나 하냐?"에 대한 답은 "깔끔하도록 제한해주었으니까요"가 되겠다.



2012.11.14
좌우 대칭으로 바꾸어주면서 gamma의 부호도 바꾸어주어야 하는데 그 부분이 빠졌다.(시계방향 회전을 좌우대칭으로 바꾸면 반시계방향 회전이 된다.) 따라서 실제 위의 방정식을 만족하는 해는 다음 식이 된다.


\gamma(\theta)=2\alpha V_\infty\frac{\cos(\theta)-1}{\sin(\theta)}\\x=\frac{c}2(1-\cos(\theta))


양력은 음수가 되는 것을 알 수 있다. 전혀 쓰일 이유가 없는 해인 것이다.


  1. N-S 방정식을 완전히 풀어낸 해는 모두 합쳐도 손으로 꼽을 수 있을 정도밖에는 안된다. 그 중 하나가 원통 내부를 흘러가는 유체의 유동방정식인데, 이 녀석도 유체가 안정적으로(laminar) 흐를 때에만 유용한 녀석이라 좀 문제가 있다. 수도꼭지에서 물을 틀면 물이 매끈한 원기둥처럼 나올 때가 있고 이곳 저곳 울퉁불퉁한 흐름이 생기는 경우도 있는데 후자가 근처에서 가장 쉽게 관찰할 수 있는 불안정한(turbulent) 경우이다. 그나마 제대로 푼 식이라도 제한적으로만 의미가 있다는 뜻이다. CFD(Computational Fluid Dynamics)가 발전한 이유이기도 하고. [본문으로]
  2. 전자기학에 비유한다면, 적절한 전하밀도를 분포시키는 것이다. [본문으로]
  3. 양자역학의 산란 파트에서 Born approximation을 할 때에도 적분방정식을 푼다. 이때 나오는 독립적인 해가 두개인가 되는데, 그 중 하나는 경계조건으로 날려버린다. [본문으로]
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양자역학에서 상태는 추상적인 켓(ket)벡터

$$\left|\psi\right\rangle$$

로 나타난다. 이 벡터가 시간에 따라 진화하는 법칙이 슈뢰딩거(E. Schrödinger) 방정식으로, 1926년 처음으로 변위(x)에 대한 식을 유도해낸 이의 이름을 붙인 것이다. 당시 슈뢰딩거가 식을 유도해내었을 때에는 위 벡터를 변위공간에 투영한 것(

$$\psi(x)\equiv\left\langle{x}\middle|\psi\right\rangle$$

)의 시간에 따른 진화를 다루는 방정식이었고, 그 방정식의 생김새를 보고 파동함수라고 이름붙였다. 나중에 상태를 추상적인 벡터로 나타내기 시작한 것은 디랙(P.A.M. Dirac)의 업적이다.

[각주:1]

 
이름에서 알 수 있듯이, 슈뢰딩거는 입자가 보이는 파동적 성질에 착안해서 방정식을 만들었다. 드브로이(L. de Broglie)가 빛의 양자성에서 영감을 얻어 제시한 물질파 가정은 물질에 파동적인 성질이 존재한다는 것을 암시한다. 물질의 파동적인 성질은 이후 전자를 이용한 회절실험과 간섭실험으로 증명되었고, 슈뢰딩거 방정식에 등장하는 2계미분의 근간이 되었다.[각주:2] 1차원 입자 하나에 대해 쓰는 슈뢰딩거 방정식이 다음과 같이 생기게 된 것은 그 때문이다.[각주:3]
 

$$i\hbar\frac\partial{\partial{t}}\Psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\Psi(x)+V(x)\Psi(x)$$

1차원, 입자 하나의 슈뢰딩거 방정식

 
이렇게 슈뢰딩거가 물질이 가지는 파동적인 특성에 집중하고 있던 사이, 하이젠베르크(W. Heisenberg) 등은 물질이 가지는 양자적인 특성(측정값이 불연속적으로 나타나는 특성)에서 영감을 얻어 행렬역학(Matrix mechanics)을 창시했다. 탄생 자체가 측정만 염두에 두고 만들어져서 그런지 양자역학에서 측정에 대한 모든 가정들은 행렬역학에서 유래하였다. 고전역학과 양자역학이 대비되는 대표적인 특징인 '측정의 결과는 고유값(eigenvalue) 중 하나이다'가 행렬역학의 핏줄을 이어받은 것이다.
 
두 접근법을 잘 드러낼 수 있는 고전역학적인 예는 1차원상에서 두 질점이 후크의 법칙(Hooke's law)에 따라 상호작용을 하는 경우다. 다음 그림을 보자.
 

x가 이상하게 쓰인건 무시하자

 
평형거리를 s라고 둔다면, 위 상황에서 운동방정식은 다음과 같다.
 

$$m_1\ddot{x_1}=k(x_2-x_1-s)\\m_2\ddot{x_2}=-k(x_2-x_1-s)$$

또는,

$$m_1\ddot{y_1}=k(y_2-y_1)\\m_2\ddot{y_2}=-k(y_2-y_1)\\y_1\equiv{x_1},~ y_2\equiv{x_2-s}$$

 
슈뢰딩거의 해법은 위 두 방정식을 더하고 빼서 각각 하나의 변수에만 의존하는 방정식으로 만드는 것이다. '직접적인 해법'이라고 할 수 있을 것이다.
 

$$\ddot{(m_1y_1+m_2y_2)}=0 \\\ddot{(y_1-y_2)}=-\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}(y_1-y_2)$$

 
윗식은 운동량 보존에 해당하고, 아랫식은 환산질량으로 쓴 운동방정식이다. 한편, 행렬을 이용한 해법도 존재한다. 이 방법이 하이젠베르크가 도입한 행렬역학의 아이디어이다. 첫 식을 이렇게 변형하면
 

$$\ddot{y_1}=\frac{k}{m_1}(y_2-y_1)\\\ddot{y_2}=-\frac{k}{m_2}(y_2-y_1)$$

 
행렬을 이렇게 쓸 수 있다.
 

$$\ddot{X}=AX \\X=\left( \begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array} \right) \\A=\left( \begin{array}{cc} -\frac{k}{m_1} & \frac{k}{m_1} \\ \frac{k}{m_2} & -\frac{k}{m_2} \end{array} \right)$$

 
이 경우 해가되는 벡터 X는 A의 고유벡터(eigenvector)의 선형조합으로 쓸 수 있다. 기본적인 아이디어는 해를 정상상태를 나타내는 벡터들을 조합해 나타내자는 것이다. 우린 먼저 조화진동자의 (정상상태의) 해가 다음과 같은 꼴로 쓰일 수 있다는 것을 알고있다.[각주:4]
 

$$y=A\cos(\omega{t})+B\sin(\omega{t})$$

 
이 해를 추상화(?)하면 이렇게 쓸 수도 있다.
 

$$y=Re[Ae^{i\omega{t}}]$$

 
여기서 A는 복소수이다. 그리고 미분은 복소수를 켤레복소수로 만드는 과정과는 무관하므로(그러니까 어떤 복소함수를 미분한 다음 켤레복소수를 취하는 것이나 켤레복소수를 취한 복소함수를 미분하나 결과는 같으므로) 시간에 대한 2계미분은 다음과 같이 쓸 수 있다.
 

$$\ddot{y}=\frac{d^2}{dt^2}Re[Ae^{i\omega{t}}]=Re\left[\frac{d^2}{dt^2}\{Ae^{i\omega{t}}\}\right]=Re[-\omega^2Ae^{i\omega{t}}]$$

 
전기공학에서 쓰는 phasor 기법이라고 생각하면 된다. 어쨌든 이 과정에서 힌트를 얻자. 먼저 해 벡터 X를 시간과 관련된 부분만 따로 빼낼 수 있다고 생각하는 것이다.
 

$$X=\chi{e^{i\omega{t}}}~,\frac{d}{dt}\chi=0$$

 
여기서 $\chi$는 시간에 무관한 열벡터이다. 어찌되었든 이런 형태를 취하고 나면 위의 미분방정식은 고유값 문제(eigenvalue problem)가 된다.
 

$$\ddot{X}=-\omega^2X=AX\\(A+\omega^2I)X=0$$

 
그렇다면 고유값은? 고유값은 바로 각진동수의 제곱이다(부호는 반대). 고유값을 계산해보면 0과 $$\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}$$을[각주:5] 얻고, 각자 평행이동과 서로에 대한 진동을 나타낸다는 것을 알 수 있다. 물론 해는 전의 방법과 전적으로 일치한다.
 
한가지 의문인 것은, 왜 측정하면 그 측정값의 고유벡터중 하나로 수렴할 확률이 그 고유벡터 계수의 절대제곱(absolute square)에 비례하냐는 것이다. 지금 당장은 신호를 퓨리에(Fourier)변환을 통해 주파수에 따라 분류하면 그 주파수대가 갖는 에너지가 절대제곱에 비례하기 때문에 거기에서 유래했으리라 추측하고 있지만 확실하지는 않다. 아무래도 조금 더 공부를 해야 할 것 같다.
 
첨언하자면 파동함수의 절대제곱이 확률밀도함수로 해석되게 된 이유 또한 행렬역학의 핏줄을 따라 내려온 것이라는 점이다. 왜 그런지는 독자의 몫으로 남겨 둔다.[각주:6] 쓰기 귀찮아서...

2012.11.08
추가할 내용은 새 글로 올리기로 했다. 다음 글도 읽어보시길.

2012/11/08 - 양자역학의 유래(2)

 

  1. 이 표기법을 이용하게 되면서 상태를 더욱 다양한 방식으로 나타낼 수 있게 되었고, 상태를 더욱 직관적으로 인식할 수 있게 되었다. [본문으로]
  2. 파동을 e와 허수 i를 이용한 지수함수로 나타낼 경우 진동수(파수)는 미분으로 얻어진다. 슈뢰딩거 방정식을 쓸 경우 허수의 도입이 절대적인 이유이기도 하다. [본문으로]
  3. 원래 슈뢰딩거는 이 방정식이 시간에 대해서는 1계미분방정식이라는 것을 못마땅해했다고 한다. 그것도 그럴 것이, 위 형태의 방정식은 로렌츠 변환에 일정하지 않기 때문이다.(더불어 고전적인 파동을 나타내는 방정식은 시간에 대해 2계미분항을 가지고 있다.) 상대론적 양자역학으로 넘어가면 클라인-고든 방정식(Klein–Gordon equation)이 이 대칭을 갖기는 하지만, 이 경우는 2계미분방정식이라는 것이 문제이다. 자세한 내용은 다른 곳을 참조하시길. [본문으로]
  4. 잠깐 이 문제를 벗어나고 있다. 일반적인 하나의 물체가 용수철로 벽에 연결된 상태를 생각하시길. [본문으로]
  5. 부호는 반전시켰다. [본문으로]
  6. 힌트: 함수는 무한한 행을 가진 열벡터로 쓸 수 있다. 아마 교재를 가지고 공부한다면 거기에 잘 나와있을 것이다. 그런데 실수라는 연속체를 그렇게 쓰기는 힘들텐데 -_-;; [본문으로]
Posted by 덱스터

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글을 쓰다가 깨달은 건데, 양자역학에서 허수의 도입이 필연적인 이유는 광양자의 에너지가 고전적인 파동의 에너지와는 다르게 진동수에 선형적으로 비례하기 때문일지도 모른다는 생각이 들었다. 광양자는 그 근본이 상대론적인 입자라서 고전적인 양자이론으로는 기술하는 것이 힘들긴 하지만...

어쨌든 되도록이면 빨리 글을 끝내야지 -_-

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Posted by 덱스터

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양자물리를 Griffith 책으로 공부하다 보면 나타나는 의문이 참 많다. 그 중에서 내가 가장 큰 의문을 가졌던 것은 운동량 연산자에 대한 것이었다. 어째서 운동량 연산자는 x로 span된 힐베르트 공간에서 미분으로 나타나는 것일까?

\mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla
3차원 공간에서 운동량 연산자. Wikipedia: Momentum operator

그 이름이 암시하듯이, 운동량이란 물체의 운동 즉 시간과는 떼어놓고 생각할 수 없는 존재이다. 그런데 어째서 운동량을 나타내는 연산자는 시간에 무관한 것일까?

맨 처음 운동량 연산자를 유도해내는 과정을 보고서 내가 느낀 것은, '운동량에 대응하는 정보가 파동함수에 들어 있고, 그 정보는 어떤 연산을 통해서 외부에 나타난다. 따라서, 운동량의 고전적인 정의를 이용해서 운동량에 해당하는 연산자를 유도해내는 것은 아닐까?'였다.

1. 어떤 연산이 있어 운동량에 대응된다.
\langle{p}\rangle=\int\psi^{\star}{p}\psi{dx}

2. 고전적인 운동량에 해당하는 값은 다음과 같다.
p_{classical}=m\frac{d}{dt}\langle{x}\rangle=m\frac{d}{dt}\int\psi^\star{x}\psi{dx}

3. 이미 알려진 Schrodinger 방정식을 적절히 손보면, 다음 식을 얻는다.[각주:1]m\frac{d}{dt}\int\psi^\star{x}\psi{dx}=\int\psi^\star{\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}}\psi{dx}

4. 여기서 운동량에 해당하는 연산을 찾을 수 있다.(연산자를 강조하기 위해 ^ 사용)
\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}

하지만 문제는, 우리가 알고 있는 Schrodinger 방정식 자체가 운동량 연산자를 가정하는 것에서 출발했다는 것이다. 보통 Schrodinger 방정식은 다음과 같은 형태로 쓴다.

i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = \hat H \Psi(\mathbf{r},t)
하나의 계에 대한 Schrodinger 방정식
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},\,t) + V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},\,t)
입자 하나에 대한 Schrodinger 방정식. Wikipedia: Schrodinger equation

H는 Hamiltonian 연산자로, 고전역학에서 사용하는 Hamiltonian이라는 물리량에 해당한다. 일반적인 경우, Hamiltonian은 계 전체의 에너지와 같은 값을 갖는다. 따라서, Schrodinger 방정식은 계를 나타내는 상태함수가 에너지에 비례하여 시간적으로 변화한다는 것을 나타낸다고 볼 수 있다. 그리고 고전적으로 운동에너지는 운동량의 제곱을 질량의 두배로 나눈 값이다. Schrodinger 방정식의 첫 항(Laplacian이 들어가 있는 항)을 잘 보면 바로 앞서 구한 운동량의 제곱을 질량의 두배로 나눈 값, 즉 고전적인 운동에너지라는 것을 알 수 있다. 결국, 우리는 원점으로 돌아온 것이다.[각주:2] 그렇다면 어떻게 해야 운동량에 해당하는 연산자를 구할 수 있을까?



쓰기 귀찮아서 여기까지만...(여기까지 써놓고 끝날 가능성도 농후)
관심이 가시는 분은 여기를 참조:
http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation#Derivation
Erwin Schrodinger의 원본을 보고 싶으신 분을 위하여:
http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf
  1. Griffith 책에 있으니 생략. [본문으로]
  2. Schrodinger 방정식이라는 대전제 안에 운동량에 대한 가정이 포함되어 있고, 우리는 이 보이지 않는 가정을 일련의 과정을 통하여 벗겨낸 것일 뿐이다. [본문으로]

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드디어 그리피스 양자책을 돌파했습니다 -_-v(이제 12단원 배우는 중)

지금 복사불가능성과 양자적 얽힘에 대해서 배울 차례인데, 보다 보니 재미있는 아이디어가 하나 떠오르더군요. 복사불가능은 어쩔 수 없지만 양자적 얽힘은 피해가는 방법이 있을지도 모르겠다는 생각이 듭니다. 기본 아이디어는 이거죠.

eq=a^\star a =0 \\ b^\star b = 0 \\ a^\star b \ne 0 \\b^\star a \ne 0

인 a와 b를 찾는 겁니다. Dirac equation의 motive와 비슷하네요. 당연하지만, 이 a와 b는 행렬들이죠. 그런데 행렬이면 좀 처리하기 귀찮아지고 더군다나 그 크기를 정하는 것도 애매해지니까(Dirac이 이 항들을 어떻게 해석했는지는 아직 공부를 안 해 보아서 모르겠지만...) 차라리 벡터로 보는 것은 어떨까 생각해 보았습니다.

문제는, 벡터의 coefficient가 벡터라는 것이네요. 더군다나 하나는 bra벡터여야 하기 때문에 direct product를 제대로 정할 수 있을지가 의문이고, direct product를 하는 과정에서 bra벡터가 ket벡터와 반응해서 사라질 수 있느냐가 문제입니다.

물리학적으로 해석하자면 '하나의 측정량을 포기하는 것으로 불확정성 원리를 깰 수 있다' 정도 되겠네요. 'EPR 역설이 실제로 일어날 수도 있지 않을까' 라고 보아도 무방합니다. 대신에 이 포기하는 측정량이 다른 측정량과 먼저 얽힘 상태에 있어야 한다는 것이 문제랄까... 제 3의 입자를 도입하면 해결될지도 모르겠군요.

p.s. 문제는, 왜 난 내 전공 공부보다 다른 과 전공공부가 더 재미있는가 정도...-_-;;;

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2009. 10. 20. 20:37 Physics/Speculations

Time operator?

뉴턴의 고전역학에서 아인슈타인의 상대론으로 넘어오면서 뉴턴역학의 많은 부분이 바뀌었는데, 그중 대표적인 것은 시간의 공간화이다. 시간에 일정한 상수(광속)을 곱하여 거리로 취급하게 된 것이다. 공간과는 다른 성질을 갖기는 하지만(예를 들어 시간상에서 앞뒤로 움직이는 것은 불가능하다.)[각주:1] 일반상대론에서는 시공간거리(Spacetime interval)를 정의하여 쓸 정도로 시간은 공간처럼 인식하는 것이 보편화되어 있다.

그렇다면 양자역학에서는 어떨까? 애석하게도 시간은 공간과는 다르다는 독특한(?) 취급을 받고 있다. 좌표를 나타내는 x, y, z 연산자는 있지만, 시간을 나타내는 t 연산자는 없다. 왜 없는지 한번 생각해보자.

먼저 x, y, z는 위치를 나타낸다. 위치의 평균값은 다음과 같이 쓸 수 있다.



(파동함수는 규격화되었다고 하자.) 그리고 각 위치를 나타내는 연산자인 x, y, z는 고유벡터(eigenvector)를 가지며, 고유벡터들은 다음과 같은 성질을 갖는다.



(편의상 x에 대해서만 식을 썼다.) 아래쪽의 식은 파동함수를 x라는 ket 벡터들의 집합에 투영(project)한 것이라고 생각할 수 있다. 연산자 x의 고유벡터는 무한하기 때문에(x 좌표의 수를 생각해보라), 파동함수를 다시 완전하게 구성하고 싶다면 다음처럼 하면 된다.



그렇다면 다음과 같은 방법도 생각해 볼 수 있지 않을까? 시간에 해당하는 t라는 연산자를 가정하고, x 연산자에 대해 행한 일을 다시 해 보는 것이다.



(이 의문은 1학기에 필자가 가졌던 의문이다.) 애석하게도, 이것은 불가능하다. 왜냐하면, 다음 식이 정의되지 않기 때문이다.[각주:2]



시간의 평균은 무엇인가? 지금 파동함수를 쓰는 시점 이전에 존재했던 시간은 너무나도 거대하기에 무한하다고 할 수 있고, 앞으로 남은 시간도 상상할 수 없을 정도로 막대하기에 무한하다고 쓸 수 있다. 적분구간이 음의 무한대에서 양의 무한대로 발산하는 것이다. 위치를 나타내는 x, y, z의 평균을 구할 때에도 적분구간은 음의 무한대에서 양의 무한대이지만, 음과 양의 무한대로 갈 때 파동함수의 크기는 0으로 수렴했기 때문에 평균이 박살나는 일은 없었다. 하지만 지금은? 파동함수가 가리키고 있는 입자의 존재가 영구적이라고 한다면, t라는 변수에 대해 파동함수의 크기는 1로 일정하다. 왜냐하면 어떤 시간에서라도 입자는 관찰되어야 하기 때문이다. 그리고 모두가 알다시피, 숫자 1을 음의 무한대에서 양의 무한대까지 적분하면 무한대밖에는 얻을 것이 없다.[각주:3]

하지만 잠깐. 우리는 공간이 무한하다고 가정하고 위치의 평균을 구하고 있었다. 그런데 실제 우주는 무한한가? 우주의 크기는 상상할 수 조차 없이 크지만, 분명히 그 크기는 130억 광년이라는 유한한 값을 가지고 있다. 시간도 마찬가지이다. 우주가 생멸(生滅)하는 기간은 겁(劫)이라는 겁나도록 긴 기간이지만, 유한하다.[각주:4] 그렇다면 시간을 나타내는 연산자를 도입할 수 있지 않을까?[각주:5]
  1. 물론 실제로는 가능할 수도 있다. 단지 우리가 시간 속에서 의식을 만들어내기에 시간이 단방향으로만 흐른다고 생각하는 것일수도 있으니. 하지만 시간이 양방향으로 흐르면 열역학 제 2법칙에 문제가 생기게 된다. 열역학 제 2법칙에서는 엔트로피가 늘어난다는 말만 했지, 시간의 흐름에 대한 엔트로피는 말하고 있지 않기 때문이다. 시간이 역으로 흐른다면 역으로 흐르는 시간 상에서 엔트로피가 증가하고, 결국 우리 눈에는 엔트로피가 감소하는 것처럼 보일 수 있다는 것이다. 물론, 열역학 제 2법칙을 확률적인 법칙으로만 인정한다면 이런 충돌은 피할 수 있다. [본문으로]
  2. 최근에 떠오른 재미난 생각이 있어서 검증해보려다가 오래된 의문을 해결하게 되었다. [본문으로]
  3. 물론 영구적인 입자의 존재를 부정한다면 입자의 연대기를 통해 평균적인 삶을 생각해볼 수 있을 것이다.(사람이 태어나고 죽은 년도의 평균을 구해 그 사람의 평균적인 존재연도를 구하는 것처럼) 그런데 입자가 언젠가는 소멸한다고 가정하는 것은 조금 이상하지 않을까? 최소한 전자는 사라질 것 같아 보이지 않는다. [본문으로]
  4. 이 때 유한하다는 말은 우주가 팽창하다가 수축하는 경우, 즉 빅 크런치(Big Crunch)라는 종말을 가정할 경우이다. 다른 경우 총 시간을 유한하다고 할 수는 없을 것이다. [본문으로]
  5. 물론 시간에 대응하는 추상적인 연산자 t를 도입할 수 있을지도 모른다. 하지만 이 연산자가 실질적으로 의미를 지닐 수 있을지는 매우 회의적이다. 우리는 겁이라는 시간을 잴 수 있을만큼 오래 살지 못한다는 것이 문제이다. [본문으로]
Posted by 덱스터

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Shankar 책을 산지 좀 되었습니다.

심심해서(하라는 시험공부는 안하고) 이전에 Liboff 책에서 재미있게 보았던 대칭성과 보존에 관한 부분을 보았습니다. 보다 보니 이런 부분이 나오더군요.

[...]

We define translational invariance by the requirement



[...]
Principles of Quantum Mechanics 2nd Ed., R. Shankar, Springer, 1994, p. 285

저기서 T(epsilon) 연산자는 입실론만큼 전체를 +x 방향으로 옮기는 연산자입니다. 그건 그렇다 치고, 왜 불변성을 Hamiltonian 연산자를 이용해 정의하는 것인지 좀 생각해 보아야겠더군요.

현재는 그저 '기본법칙이 Schrödinger 방정식이기 때문'이라고 결론내렸습니다. 저 항등식을 만족시킨다면 상태함수에 T 연산자를 마음껏 들이대어도 기본법칙에 어긋나지 않거든요.



왜 왼쪽에 다른 임의의 상태를 들이대냐면, 측정은 저렇게 이루어지기 때문입니다. 양자물리에서 모든 측정량은 저렇게 bra를 붙여서 얻어야 하니 말이지요. (그런데 써놓고 보니 아직도 논리에 구멍이 있는 것 같네요. 좀 더 엄밀하게 해보는 것은 나중에...)[각주:1]

어찌되었든, T 연산자로 모든 상태를 이동시켜 놓았을 때 임의의 연산자 A는 어떻게 변해야 하는가 생각해 보았습니다. 생각해보니 쉽더군요.



이니까



하지만 T 연산자의 역함수(역연산자?)는 T 연산자의 hermitian conjugate 입니다. 왜 그런지는 A 대신에 I(Identity - 1이라고 생각하시면 됩니다)를 넣어보면 됩니다. I 연산자가 좌표와는 상관있을 리가 없겠죠. 그러면 결국



이 됩니다. 어째 어디선가 본 행렬형식의 2계텐서 변환방식이 떠오르는군요.

그나저나 시간대칭은 역시 허수의 성질을 이용하는군요. i나 -i나 구분할 수 없다는 그 성질 말입니다. 이건 예전에 적어둔 것이니 링크만 간단히...

2009/04/30 - 복소수 대칭과 시간대칭

ps. 뭐 아실 분들은 아시겠지만 사실 저 T 연산자는 P 연산자, 즉 운동량과 관련이 있습니다. 그래서 운동량 보존이 균일성(위치에 대해 변하지 않음-translational symmetry/invariance)과 동치인 것이구요. 정확히는



입니다. Taylor 전개를 해 보면 알 수 있는데 그것까지 하기는 귀찮네요. Griffith 책의 연습문제로도 나오니 제가 할 필요는 없겠지요.
  1. 이렇게 엄밀한 거 좋아하다가 서너줄이면 끝날 숙제 문제를 한두페이지가량 써제끼는 일이 한두번이 아니네요 -_-;; [본문으로]

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Posted by 덱스터

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물리학에서 대칭성은 대부분 어떤 보존으로 나타납니다. 여기서 말하는 대칭이란 '구분할 수 없음'을 뜻하지요. 운동량은 위치에 대한 대칭성에서, 에너지 보존은 시간에 대한 대칭성에서 얻어지지요.

이제 질문. 허수 i와 -i는 대칭적입니다. 서로 구분이 불가능하지요. 이 수학적 대칭은 물리의 어떤 현상으로 이어질까요? 잘 살펴보면, 이런 수학적 대칭은 시간을 뒤집는 대칭에 해당한다는 것을 알 수 있습니다.



이게 원 슈레딩거 방정식입니다. 양변의 i를 모조리 -i로 바꾸어주면



여기서 *로 표시된 것은 전부 켤레복소수(complex conjugate)에 해당합니다. 해밀토니안은 i를 포함하지 않는다고 가정하면(즉, 포텐셜이 실수로만 나타난다고 가정하면)[각주:1] 다음의 꼴을 얻습니다.



-t를 새로운 시간, 타우로 정의하면



시간을 뒤집은 파동함수(의 켤레복소수)가 원래의 파동함수와 같은 방정식을 만족하는군요. 결국, 시간에 대해 파동함수는 대칭적이라고 생각할 수 있겠지요. 이 대칭성은 time parity라고 불리는 값의 보존으로 이어집니다. 패리티에 대해서는 나중에 설명하기로 하지요 ^^;;;

재미있는 것은 시간 뒤집기가 성공하지 못할 수 있다는 것입니다. 허수포텐셜을 도입하면 그렇게 되지요. 이제 허수가 들어가는 포텐셜은 약력을 대표한다고 추론할 수 있겠지요. 약력이 대부분의 대칭성 붕괴의 원인이니 말입니다.

덧. 쓰다보니 하루가 지나가는군요 -_-


  1. 허수포텐셜을 도입하는 경우 파동함수는 보통 시간이 지나며 필연적으로 파괴되어 버리거나(0으로 수렴하거나) 무한히 발산해 버립니다. 때문에 방사능 붕괴와 같은 경우에는 허수포텐셜을 도입합니다. 하지만 그런 부분은 지금 우리가 관심을 갖는 영역이 아니기 때문에, 무시하도록 하겠습니다. [본문으로]

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