(매스매티카의 도움을 받아 계산하기는 했지만) 계산을 나 자신도 '와 저게 정리가 되는구나...' 싶은 부분이 있어서 저 무한급수를 더하는데 들어간 테크닉을 좀 정리해보기로 했다. 저 무한급수는 일단은 다음 식[각주:1].

\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^2 x^n}{(2n+1)!} = \frac{4 \csc^{-1} (2 / \sqrt{x})}{\sqrt{x(4-x)}} \]

논문을 위한 계산을 하다가 행렬의 로그를 취하는 과정에서 튀어나온 함수인데, 일반항은 찍은 것이다. 왼쪽의 급수를 어떻게 구했는가는 사실 중요한 문제는 아니니 제끼기로 하자.

 

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무한급수를 이름이 있는 함수(베셀함수라던가)로 다시 쓰기 위해 가장 중요한 것은 각종 특수함수의 급수전개를 미리 알고있는 것이다. 모든 물리학/공학 학부생의 적인 수리물리/공학수학 강의에서 특수함수 파트를 배우는 고통의 시간동안 졸지 않는 것이 중요한 이유이기도 하다[각주:2]. 하지만 위의 예제는 베셀함수가 아니니 일단 넘어가기로 하자.

 

무한급수를 다시 정리하는데 쓸 수 있는 가장 간단한 테크닉은 초기하함수(hypergeometric function)의 미분방정식을 구하는 방법을 응용하는 것이다. 혹은 미분방정식의 급수해 풀이법인 Frobenius method의 반대 과정으로 생각해도 좋다. 우선 다음과 같이 일반항이 주어지는 무한급수를 생각해보자.

\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a(n) x^n}{b(n)} \]

여기서 $a(n)$과 $b(n)$은 어떤 수열이라고 하자. 처음 제시한 무한급수의 경우 $a(n) = (n!)^2$과 $b(n) = (2n+1)!$이다.

 

무한급수를 다시 합하는데 가장 중요한 공식은 다음 공식이다.

\[ x \frac{d}{dx} x^n = n x^n \]

이 미분연산자를 적당히 조합하는 것으로 $a(n)$을 $a(n+1)$로 바꿔주는 연산자 $D_1$을 찾는다.

\[ D_1 f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a(n)}{b(n)} D_1 x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{a(n+1)}{b(n)} x^{n+1} \]

일반적으로는 이런 연산자 $D_1$을 찾기 매우 어렵지만, 수열 $a(n)$이 팩토리얼과 같은 종류의 함수들의 곱으로 구성되어 있어 $a(n+1) / a(n)$이 $n$에 대한 다항식 $P(n)$으로 주어질 경우에는 연산자 $D_1$을 매우 쉽게 찾을 수 있다.

\[ \frac{a(n+1)}{a(n)} = P(n) \Rightarrow D_1 = x P(x \frac{d}{dx}) \]

예시에서는 이를 만족하는 연산자가 $D_1 = x (\frac{d}{dx} x)^2$으로 주어진다.

\[ D_1 f(x) = x \left( x (xf)' \right)' = \sum_{n=0}^\infty \frac{[(n+1)!]^2 x^{n+1}}{(2n+1)!} \]

 

다음으로 할 일은 $b(n)$을 $b(n-1)$로 바꿔주는 연산자 $D_2$를 찾는 것이다.

\[ D_2 f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a(n)}{b(n)} D_2 x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{a(n)}{b(n-1)} x^{n} \]

$D_1$의 경우와 마찬가지로, 일반적으로 이런 연산자 $D_2$는 존재하지 않지만 팩토리얼과 같은 종류의 함수들의 곱으로 구성된 $b(n)$의 경우에는 $D_2$를 찾을 수 있다. 비율 $b(n)/b(n-1)$이 $n$에 대한 다항식 $Q(n)$으로 주어지기 때문.

\[ \frac{b(n)}{b(n-1)} = Q(n) \Rightarrow D_2 = Q (x \frac{d}{dx}) \]

예시에서는 이를 만족하는 연산자가 $D_2 = 2 x \frac{d}{dx} (2 x \frac{d}{dx} + 1)$으로 주어진다.

\[ D_2 f(x) = 2 x \left( f + 2xf' \right)' = \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2 x^n}{(2n-1)!} \]

(음의 정수의 팩토리얼 $(-n)! = \infty$을 도입하여 $n=0$을 포함하도록 할 수 있다.) 여기까지 왔으면 다음은 뻔하다. 두 급수전개가 사실은 같은 함수이니 $D_1 f = D_2 f$라고 둘 수 있고, 이 관계식을 바탕으로 $f(x)$가 만족하는 미분방정식을 적을 수 있다.

\[ (D_1 - D_2) f(x) = 0 \Rightarrow x(x-4) f'' + 3 (x-2) f' + f = 0 \]

이제 미분방정식의 해를 찾아서 급수전개가 일치하도록 계수를 결정해주면 된다. 여기서부터는 계산할 때 Mathematica를 이용해 답을 얻었는데, 직접 손으로 미분방정식을 푸는 방법은 없을까 생각해보기로 한다. 여담으로 미분방정식의 답은 다음과 같이 주어진다.

\[ f(x) = \frac{A}{\sqrt{x(4-x)}} + \frac{B \sin^{-1}\sqrt{1-(x/4)}}{\sqrt{x(4-x)}} \]

여기서 $A = 2 \pi$, $B = -4$를 넣어주면 처음 제시한 답을 얻는다.

 

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현재 문제는 다음과 같이 생긴 미분방정식을 푸는 것이다.

\[ x(x-4) f'' + 3 (x-2) f' + f = 0 \]

위 미분방정식은 $u = x(x-4)$란 함수를 도입하여 다음과 같이 적을 수 있다.

\[ u f'' + \frac{3}{2} u' f' + \frac{1}{2} u'' f = 0 \]

이렇게 쓰고보니 공학수학이나 수리물리 첫 시간에 잠깐 배우고 잊어버리는 테크닉인 적분인자(integrating factor)를 이용한 풀이법이 존재할 것 같은 느낌이 들지 않는가? 우선 식을 다음과 같이 나눠보자.

\[ u f'' + \frac{3}{2} u' f' + \frac{1}{2} u'' f = u f'' + u' f' + \frac{1}{2} \left( u' f' + u'' f \right) = 0 \]

위 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

\[ ( u f' )' + \frac{1}{2} (u' f)' = ( uf' + \frac{u' f}{2} )' = 0 \]

전체 미분의 안에 들어있는 식은 적분인자로 하나의 미분으로 정리할 수 있다.

\[ ( uf' + \frac{u' f}{2} )' = ( u^{1/2} (u^{1/2} f)' )' = 0 \]

위 미분방정식의 가장 간단한 해는 $u^{1/2} f = C_1$이다. 가장 안쪽의 미분이 사라질테니까. $C_1$에 단위허수를 붙여서 정리해준다고 가정하면 첫번째 homogeneous solution으로 다음 식을 얻는다.

\[ f_1(x) = C_1 (-u)^{-1/2} = \frac{C_1}{\sqrt{x(4-x)}} \]

두번째 해는 $u^{1/2} (u^{1/2} f)' = C_2$를 요구하는 것이다. 이 경우 (적당히 적분상수에 단위허수를 붙여 부호를 정리하고 나면) 우리는 다음 식을 얻는다.

\[ f_2(x) = C_2 (-u)^{-1/2} \int (-u)^{-1/2} dx = \frac{C_2}{\sqrt{x(4-x)}} \int \frac{dx}{\sqrt{4 - (x-2)^2}} \]

가장 우변의 적분은 $\sin^{-1}$으로 정리된다.

\[ \int \frac{dx}{\sqrt{4 - (x-2)^2}} = \int \frac{d(x/2)}{\sqrt{1 - (x/2-1)^2}} = \sin^{-1} (\frac{x}{2} - 1) \]

따라서 가장 일반적인 해로

\[ f(x) = \frac{C_1}{\sqrt{x(4-x)}} + \frac{C_2 \sin^{-1} (\frac{x}{2} - 1)}{\sqrt{x(4-x)}} \]

를 얻게 된다. 두번째 항이 조금 이상해 보일 수 있지만 $C_1$과 $C_2$를 적당히 조절하면 $\sin^{-1}$의 argument를 다시 정리할 수 있다. 처음 제시한 꼴로 어떻게 정리되는지 보이는 것은 연습문제(...)로 남겨두기로 하자.

 

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다음은 급수전개를 통해 계수를 맞추는 작업이다. $x=0$ 근처에서 작업해야 하니 가장 먼저 할 작업은 $\sin^{-1}$의 argument를 잘 정리해서 보다 급수전개하기 쉬운 꼴로 바꾸는 것이다. 이 작업을 위해 다음과 같이 $\theta$란 변수를 도입하자.

\[ \theta = \sin^{-1} (\frac{x}{2} - 1) \]

이제 $\theta$를 $\theta \to \phi - \pi / 2$를 통해 $\phi$로 재정의하는 경우를 생각할 수 있다. 정확히 $-\pi/2$만큼 원점을 이동하는 이유는 우변의 argument가 $x=0$에서 -1이 되기 때문인데 $- \pi / 2$만큼 $\theta$를 옮기는 것을 변수 $C_1$의 재정의로 흡수할 수 있다. 이제 $\phi$를 구하기 위해서는 다음과 같은 관계식을 풀게 된다.

\[ \sin (\phi - \pi/2) = - \cos \phi  = \frac{x}{2} - 1 \]

위 식은 배각공식을 이용해 조금 더 정리해줄 수 있다.

\[ 1 - \cos \phi = 2 \sin^2 \frac{\phi}{2} = \frac{x}{2} \Rightarrow \phi = 2 \sin^{-1} \frac{\sqrt{x}}{2} \]

위 방법으로 $\sin^{-1} (\frac{x}{2} - 1) = 2 \sin^{-1} (\sqrt{x}/2) - \pi / 2$로 다시 쓸 수 있고, 결과적으로 $f(x)$는 다음과 같이 정리된다.

\[ f(x) = \frac{\tilde{C}_1}{\sqrt{x(4-x)}} + \frac{\tilde{C}_2 \sin^{-1} (\sqrt{x}/2) }{\sqrt{x(4-x)}} \]

이제 처음 구한 급수전개와 맞추는 작업이 남았다. 먼저 사인함수의 역함수의 급수전개는 다음과 같이 주어진다.

\[ \sin^{-1} (x) = x + \mathcal{O} (x^3)\]

계수를 결정하는데는 1차항만 필요하므로 나머지 항은 무시하기로 하자. 이제 위에서 구한 $f(x)$를 $x=0$ 근처에서 전개해보자. 이를 위해서는 다음과 같이 식을 다시 적어주는 것이 좋다.

\[ f(x) = \frac{\tilde{C}_1}{2\sqrt{x} \sqrt{1-x/4}} + \frac{\tilde{C}_2 \sin^{-1} (\sqrt{x}/2) }{2 \sqrt{x} \sqrt{1-x/4} } \]

위의 꼴을 $x=0$에서 전개하면 다음 결과를 얻는다.

\[ f(x) = \frac{\tilde{C}_1}{2 \sqrt{x}} + \frac{\tilde{C}_2}{4} + \mathcal{O}(\sqrt{x}) \]

원래 $f(x)$의 급수전개는

\[ f(x) = 1 + \frac{x}{6} + \frac{x^2}{30} + \cdots \]

이므로, 계수가 바로 결정되어 $f(x)$를 결정할 수 있게 된다.

\[ f(x) = \frac{4 \sin^{-1} (\sqrt{x}/2) }{\sqrt{x(4-x)}}\]

 

매우 제한적인 경우에만 응용할 수 있는 테크닉이긴 하지만, 무한급수를 합하는 그다지 어렵지는 않은 방법이다.

  1. 여담으로 Mathematica에 좌변을 강제로 계산시키면 우변의 arccosecant가 arcsin으로 바뀌면서 argument의 역수를 취한 결과를 내놓는다. 포스트의 가장 마지막에 등장하는 꼴이 이 표현. sine과 cosecant가 역수관계인 것을 생각하면 자연스러운 재정의다. [본문으로]
  2. 이건 내가 논문 쓰다가 '어? 이 일반항 어딘가 베셀함수를 닮은 것 같은데?'란 관찰에서 출발해서 식을 엄청 깔끔하게 정리한 경험이 있기 때문에 하는 이야기. [본문으로]
Posted by 덱스터

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Physicists know they can approximate everything by harmonic oscillators, though.

- R. Chapling(https://rc476.user.srcf.net/asymptoticmethods/am_notes.pdf)

최근 논문을 쓰며 망각의 늪(?)에 방치해두었던 미분방정식에 대한 지식을 다시 되살려야 할 필요가 있어서 간단하게 작성해보는 시리즈. Green's function과 Sturm-Liouville 문제에 기회가 되면 특수함수와 Lie군을 다뤄보고 싶은데 마지막 항목은 초기하함수와 SL(2,R)군 사이의 관계에 대해서는 공부해야 할 필요가 있어서 할 수 있을지 모르겠다. 언제나(?) 그렇듯 미분방정식은 2계미분방정식만 고려할 생각.

 

어차피 편미분방정식이라고 해서 개념적으로 바뀌는 것은 없으니 상미분방정식만 생각하기로 하자. 우선은 homogeneous equation을 생각하기로 한다.

\[ \left[p(x) \frac{d^2}{dx^2} + q(x) \frac{d}{dx} + r(x) \right] f(x) = 0 \]

일반적으로 이 방정식의 해는 둘로 주어지며, 두 해를 각각 $f_1(x)$과 $f_2(x)$라고 부르기로 하자. 둘 중 하나만 알고 있을 때 다른 하나를 구하는 방법은 Kreyzig 공학수학에 나와 있을테니[각주:1] 두 해를 전부 알고 있다고 가정해도 무리는 없을 것이다.

 

homogeneous equation의 특징은 두 해 $f_1(x)$와 $f_2(x)$에 대해 두 해의 임의의 선형조합 $\alpha f_1 + \beta f_2$ 또한 homogeneous equation을 만족한다는 것이다. 선형미분방정식이 선형대수학을 만나는 지점이다. 그래서 위의 방정식을 다음과 같이 선형연산자 $\mathcal{L}$을 도입하여 선형연산자 방정식의 모양으로 바꿔 쓰기도 한다.

\[ \mathcal{L} = \left[ p(x) \frac{d^2}{dx^2} + q(x) \frac{d}{dx} + r(x) \right] \Rightarrow \mathcal{L} f(x) = 0 \]

많은 경우 homogeneous solution의 계수 $\alpha$와 $\beta$는 초기조건으로 결정하며[각주:2], 초기조건은 함수 $f(x)$의 $x=x_0$에서 함수값 $f(x_0)$와 1계미분값 $\frac{df}{dx}(x_0)$으로 주어진다. 이 문제는 다음과 같은 행렬방정식으로 나타낼 수 있다.

\[ \begin{pmatrix} f(x_0) \\ \frac{df}{dx}(x_0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_1(x_0) & f_2(x_0) \\ \frac{df_1}{dx}(x_0) & \frac{df_2}{dx}(x_0) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \]

위 식의 우변에 등장하는 행렬을 Wronskian matrix라고 부르며, 이 행렬의 행렬식(determinant)을 Wronskian이라고 한다. 일반적으로 Wronskian을 계산해 0이 되지 않는 것을 확인하는 것을 '구한 homogeneous solution들이 선형독립인가'를 묻는 질문이라고 말하는데, 위 행렬방정식 꼴을 보면 다음의 동등한 질문으로 바꿔 쓸 수 있음을 알 수 있다. "우변의 행렬의 역행렬을 구해 일반적인 초기조건 $f(x_0)$와 $\frac{df}{dx}(x_0)$를 만족하는 homogeneous solution을 찾을 수 있는가?"

 

그렇다면 선형대수학의 관점을 inhomogeneous equation에 어떻게 적용할 수 있을까? 일단 inhomogeneous equation을 적어보자.

\[ \left[p(x) \frac{d^2}{dx^2} + q(x) \frac{d}{dx} + r(x) \right] f_p(x) = s(x) \Rightarrow \mathcal{L} f_p = s \]

위에서 $f_p(x)$는 particular solution이라고 하며, 일반적으로 위 방정식을 만족하는 해는 homogeneous solution을 포함한 꼴인 $f_p(x) + \alpha f_1(x) + \beta f_2(x)$으로 주어진다. 여기서 자유롭게 결정할 수 있는 계수인 $\alpha$와 $\beta$를 결정하는 기준은 경계조건이 된다. 경우에 따라 위 식의 $s(x)$를 source term이라고 부르는데, 보편적으로 쓰는 용어인지는 모르겠다.

 

Green's function method는 위 식의 우변을 다음과 같이 바꿔쓸 수 있다는 점을 이용한다[각주:3].

\[ s(x) = \sum_{y} \delta(x,y) s(y) \]

일부러 Dirac delta $\delta(x,y) = \delta(x-y)$를 잘 쓰지 않는 꼴로 적어두었는데, 행렬을 적는 일반적인 방법과 유사성이 잘 드러나도록 하기 위한 조치이다[각주:4]. 만약 미분연산자 $\mathcal{L}$의 역연산자 $\mathcal{L}^{-1}$가 존재한다고 한다면, inhomogeneous equation은 양변의 좌측에 $\mathcal{L}^{-1}$를 붙여 다음과 같이 적을 수 있다.

\[ f_p(x) = \sum_{y} \left[ \mathcal{L}^{-1} \delta(x,y) \right] s(y) = \sum_{y} G(x,y) s(y) \]

미분방정식의 풀이가 행렬곱(?)으로 바뀌는 셈[각주:5]. 문제는 $G(x,y) = \mathcal{L}^{-1} \delta(x,y)$를 어떻게 구할 것이냐가 된다.

 

Green's function은 결국 다음 방정식을 푸는 문제이다.

\[ \mathcal{L} G(x,y) = \delta(x,y) \]

편의상 미분방정식을 푸는 구간을 $(a,b)$라고 하고, $a$에서의 경계조건을 만족하는 homogeneous solution을 $f_1$, $b$에서의 경계조건을 만족하는 해를 $f_2$라고 하자. $\delta(x,y)$는 $x \neq y$에서 0이기 때문에, $G(x,y)$는 대충 다음과 같은 모양을 취할 것으로 예상할 수 있다.

\[ G(x,y) \propto \left\{ \begin{aligned} f_1(x) && a \le x < y \\ f_2(x) && y < x \le b \end{aligned} \right. \]

혹은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

\[ G(x,y) = \left\{ \begin{aligned} f_1(x) g_1(y) && a \le x < y \\ f_2(x) g_2(y) && y < x \le b \end{aligned} \right. \]

이런 때 쓰기 위해 Heaviside step function이 있지만 위 꼴이 보다 다루기 쉬우니 일단은 이 꼴을 쓰기로 하자. Green's function $G(x,y)$는 $x$에 대한 2계미분에서 Dirac delta가 나와야 하기 때문에 $x$에 대해 연속적이어야 하므로[각주:6], homogeneous solution들을 쌓아올리기 위해 도입하는 계수 $g_{1,2}(y)$는 다음 조건을 만족해야 한다.

\[ f_1(y) g_1(y) = f_2(y) g_2(y) \]

이제 이 Green's function에 대한 ansatz를 Green's function이 만족해야 하는 방정식에 집어넣어보자.

\[ \left[ \frac{d^2}{dx^2} + \frac{q(x)}{p(x)} \frac{d}{dx} + \frac{r(x)}{p(x)} \right] G(x,y) = \frac{\delta(x,y)}{p(x)} \]

Dirac delta가 들어간 방정식을 푸는 일반적인 방법은 양변에 Dirac delta의 support가 있는 neighbourhood를 적분하는 것이다.

\[ \int_{y-0^+}^{y+0^+} dx \left[ \frac{d^2}{dx^2} + \frac{q(x)}{p(x)} \frac{d}{dx} + \frac{r(x)}{p(x)} \right] G(x,y) = \int_{y-0^+}^{y+0^+} dx \frac{\delta(x,y)}{p(x)} \]

위 식을 계산하게 되면 다음과 같은 조건을 얻게 된다.

\[ \frac{d G(x = y + 0^+,y)}{dx} - \frac{d G(x = y - 0^+,y)}{dx} = f_2'(y) g_2(y) - f_1'(y) g_1(y) = \frac{1}{p(y)} \]

1계미분에 대한 적분은 Green's function이 연속적이라는 조건 때문에 사라진다. 위의 연속성 조건이랑 병렬로 놓고 보면 어디서 많이 본 것 같은 꼴이지 않은가? 두 조건을 행렬방정식으로 적어보자.

\[ \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{p(y)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_1(y) & f_2(y) \\ \frac{df_1}{dx}(y) & \frac{df_2}{dx}(y) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - g_1(y) \\ g_2(y) \end{pmatrix} \]

역행렬을 계산해서 $g_1$과 $g_2$를 풀면 다음과 같은 답을 얻는다.

\[ \begin{pmatrix} - g_1(y) \\ g_2(y) \end{pmatrix} = \frac{1}{Wr[f_1,f_2](y)} \begin{pmatrix} \frac{df_2}{dx}(y) & - f_2(y) \\ - \frac{df_1}{dx}(y) & f_1(y) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{p(y)} \end{pmatrix} = \frac{1}{p(y) Wr[f_1,f_2](y)} \begin{pmatrix} - f_2(y) \\ f_1(y) \end{pmatrix} \]

여기서 $Wr[f_1,f_2] = f_1 f_2' - f_2 f_1'$는 Wronskian이다. 결론적으로, Green's function은 다음과 같이 적을 수 있다.

\[ G(x,y) = \left\{ \begin{aligned} \frac{f_1(x) f_2(y)}{p(y) Wr[f_1,f_2](y)} && a \le x < y \\ \frac{f_2(x) f_1(y)}{p(y) Wr[f_1,f_2](y)} && y < x \le b \end{aligned} \right. \]

  1. 아마 $f_2 (x) = u(x) f_1 (x)$꼴의 ansatz를 써서 $u(x)$에 대해 푸는 방법이었던 것 같다 [본문으로]
  2. 경계조건으로 결정하기도 하지만 그쪽은 Sturm-Liouville 문제의 맥락에 어울린다. [본문으로]
  3. 일반적으로 적분을 적는 곳에 합을 적어둔 것이 불편할 수 있는데, 적분과 합은 본질적으로 동일하다. [본문으로]
  4. 또한 이렇게 쓰면 항등행렬(identity matrix)과 Dirac delta가 본질적으로는 같다는 사실이 매우 명확해진다. [본문으로]
  5. 다만 이 방법이 작동하려면 $s(y)$가 "너무 크지 않다"는 조건이 필요하다. 보통 $L^1$ 조건(함수의 절대값을 전체 구간에서 적분한 값이 유한할 것)을 만족하면 문제는 없다고 생각하면 된다. [본문으로]
  6. 전문적인 용어로 $x$에 대해 $C^0$. 만약 연속성이 없다면 1계미분에서 Dirac delta가 나오고 2계미분은 Dirac delta의 미분이 되어 우변을 만족할 수 없게 된다. [본문으로]
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얼마 전 계산을 하나 추가하고 내용을 완전히 갈아엎다시피 한 논문을 재투고했는데 에디터가 전혀 반응을 보이지 않고 있다. 에디터 반응을 기다리는 동안 생각도 정리할 겸 간략하게 적어보는 정리 포스트. 포스트 작성 도중 레프리에게로 넘어간 것을 확인했다. 좋은 리포트가 돌아오기만을 기다려야...

 

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"블랙홀은 머리카락이 없다(no-hair)"는 말이 있다. 단순하게 설명하면 '블랙홀은 질량, 스핀, 전하에 의해 완전히 결정된다'는 의미이고, 좀 더 수학적인 세부사항을 덧붙이면 '사건의 지평선이 특이점(singularity)이 아닌 일반상대론의 진공해는 알려진 (Schwarzschild/Kerr/Reissner-Nordström/Kerr-Newman) 블랙홀 해만 존재한다'가 된다. 블랙홀을 시공간상의 "구멍"처럼 말하곤 하는데, '텅 빈 허공이 무슨 특징을 가질 수 있겠느냐'는 관점에서 보면 블랙홀에게 머리카락이 없다는 말은 꽤나 그럴듯하게 들린다. 물론 그래서 양자중력을 고민하는 사람들이 머리를 쥐어뜯고 있지만.

 

물론 흔히 말하는 "블랙홀은 머리카락이 없다"의 블랙홀은 온 우주에 딱 그 블랙홀 하나만 존재하는 이상화된 조건에서의 블랙홀에 대한 정리이기 때문에 실제로 우리가 보는[각주:1] 블랙홀에게도 적용된다고 이야기하려면 약간의 논리적 도약이 필요하다. 주변에 아무것도 없는 홀로 남겨진 블랙홀과 주변에 온갖 물체들이 날아다니는 실제 우주에 존재하는 블랙홀이 비슷한 성질을 갖고 있으리라 믿는 것은 합리적이지만, 그 둘이 비슷한 수준이 아니라 완전히 동일하다고 주장하는 것은 아무래도 다른 이야기가 되지 않겠는가?

 

그렇다면 좀 더 현실적인 상황에 놓인 블랙홀에 대해 '머리카락이 없다'는 것은 무슨 의미일까? 이상화(idealised)된 해로서의 블랙홀과 현실적인 블랙홀의 차이는 후자의 경우 블랙홀이 주변에 날아다니는 물체의 중력에 의해 영향을 받는다는 것이다. 따라서 '머리카락이 없다'는 성질의 현실적인 상황으로의 일반화로서 '주변 물체로부터 받는 영향이 없다'는 성질로 해석하는 가능성이 있다. 그리고 실제로 일반상대론의 블랙홀들은[각주:2] 이 성질을 만족한다.

 

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바닷가에 충분히 오래 있었던 사람이라면 누구나 몸으로 경험하게 된다. 거대한 달의 중력을.

 

달과 함께 바닷가에 바닷물이 들이닥치고 빠져나가는 현상을 조석(潮汐) 혹은 밀물과 썰물이라고 한다. 조석은 달이 지구에 미치는 중력이 일정하지 않기 때문에 생기는 현상이다. 만유인력은 뉴턴의 역제곱법칙을 따르므로, 달에 가까울수록 달의 중력을 강하게 느끼고 달에서 멀수록 달의 중력을 약하게 느끼게 된다. 이렇게 위치에 따라 조금씩 변하는 달의 중력에서 평균값을 빼면 달을 향하는 방향으로는 상대적으로 당기는 힘이 작용하고 달과 수직한 방향으로는 상대적으로 압축하는 힘이 작용하는 것처럼 보이게 되는데, 이를 조석력(潮汐力, tidal force)이라고 한다. 여담으로 일반상대론을 이해하는데 조석력은 매우 중요한데, 유한한 크기를 갖는 자유낙하하는 물체는 등가원리에 의해 중력 그 자체는 경험할 수 없어도 '중력의 차이' 즉 조석력은 경험하기 때문이다. 일반상대론 강의에서 geodesic deviation을 적어도 한 번 정도는 언급하고 지나가는 이유이기도 하며, 가끔씩 보이는 '자유낙하하는 물체가 측지선(geodesic)을 따라 움직이지 않으니 등가원리가 위배된다'는 주장에 대해 내가 '아니 그건 아니지...'라 반응하는 이유이기도 하다. 등가원리는 크기가 없는 이상화된 자유낙하하는 물체에 대해서만 적용되지 시공간의 곡률을 느끼는 유한한 크기의 점입자로 근사된 물체에 적용되는 것이 아니니까.

 

여튼 조석력으로 다시 돌아와서, 조석력을 받는 물체가 그 조석력에 대해 어떻게 반응하는지를 나타내는 물리량을 러브 수(Love number)라고 한다. 아우구스투스 에드워드 휴 러브(Augustus Edward Hough Love)의 지구에 대한 조석력의 영향에 대한 연구로부터 붙은 이름으로, 하필 이름이 이름이라 수많은 논문들의 말장난(...)의 원천이 되기도 한다.

 

손으로 만져가며(?) 실험하기 좋은 전자기학에 빗대보자면 러브 수는 전기 감수율(electric susceptibility)에 대응된다. 물체에 전기장을 걸 경우 전기장에 의해 물체 내부의 전하들 중 양전하는 전기장이 향하는 방향으로, 음전하는 전기장이 향하는 반대 방향으로 힘을 받게 된다. 따라서 전기장에 의해 물체 내부의 전하들이 움직이게 되며, 그 결과로서 물체 전체적으로 전하의 불균형이 발생하는 것을 유전 분극(dielectric polarisation)이라고 한다. 그리고 전기장이 충분히 작을 경우 이 현상에 의해 발생한 극성이 전기장의 세기와 정비례할 것으로 기대할 수 있는데, 이 비례상수를 전기 감수율이라고 한다.

 

그렇다면 러브 수는 조석력에 대한 어떤 반응을 가리키는 것일까? 우리가 가장 쉽게 관찰할 수 있는 조석력에 대한 반응은 아무래도 밀물과 썰물, 혹은 해수면 높낮이의 반응이다. 이를 다르게 말한다면 '물체의 표면이 조석력에 의해 변형된다'고 할 수 있는데, 이렇게 물체의 표면이 조석력에 어떻게 반응하는지를 나타내는 물리량을 1종 러브 수(Love number of first kind) 혹은 러브 수 $h$라고 표기한다. 블랙홀의 경우에는 1종 러브 수가 조석력에 의해 사건의 지평선의 위치가 움직이는 것을 나타낸다고 할 수 있으며, 이렇게 정의되는 1종 러브 수는 고전적으로 유한한 값을 갖는다는 것이 알려져 있다.

 

조석력에 의해 물체가 변형되는 예

 

다만 우리에게 좀 더 쓸모있는 러브 수는 2종 러브 수(Love number of second kind) 혹은 러브 수 $k$로, 2종 러브 수는 조석력을 받는 물체가 중력의 원천(source)으로서 어떻게 변형되는가를 나타낸다. 앞서 잠시 언급했던 전자기학으로 돌아가보자. 전기 감수율은 (전기적으로 중성인) 물체가 전기장 안에 놓였을 때 전기장에 의해 획득하게 되는 전기쌍극자(electric dipole)를 나타내는데, 이것을 '외부 전기장에 의해 물체가 얻는 유도된 쌍극자 모먼트(induced dipole moment)'로 볼 수 있다. 다시 중력으로 돌아오면, 2종 러브 수는 외부 중력원에 의해 받는 조석력으로 물체가 얻는 유도된 질량 극자 모먼트(induced multipole moment)를 나타낸다고 할 수 있다. 편의상 사중극자(quadrupole)에 대응되는 $k_2$를 예로 들자면, 한 방향으로는 확장하고 그 수직한 방향으로는 압축하는 조석력을 받는 물체가 중력원으로서 어떻게 찌그러지는지를 나타낸다고 할 수 있다.

 

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최근 러브 수에 대한 사람들의 관심이 다시 증가한 이유 중 하나로 중력파 관측이 있다. 이론적으로 민감도가 충분히 높은 지상 간섭계 중력파 관측소에서 얻은 중력파 데이터로부터 중성자별의 2종 러브 수를 결정할 수 있기 때문이다. 실제로 LIGO/VIRGO 증력파 관측소에서 중성자별의 쌍성 병합(neutron star binary coalescence)에 대해 관측한 중력파 데이터를 보면 조석 변형률 파라메터(tidal deformability parameter)에 대한 분석이 있는 것을 확인할 수 있다. 조석 변형률은 결국 중성자별의 내부 구조에 의해 결정되기 때문에 중성자별을 이루는 핵물질(nuclear matter)의 상태방정식(equation of state)에 대한 정보가 일부 반영되고[각주:3], 따라서 양자색역학에 대한 보다 심도 있는 이해에 관심을 갖는다면 핵물질의 상태방정식을 결정하는 관측량 중 하나가 될 2종 러브 수에 대해서도 어느 정도 관심을 가질 수 밖에 없는 셈이다.

 

그렇다면 블랙홀의 경우에는 어떨까? 블랙홀의 경우에는 모든 2종 러브 수가 사라진다는 것이 알려져 있다. 블랙홀이 회전하고 있을 경우에 대해서는 약간의 논란이 있었지만 현재로서는 없는 것이 맞다는 쪽으로 결론이 내려지는 분위기이고. 그리고 포스트의 앞에서 잠시 언급한 '머리카락이 없다'는 성질의 현실적인 블랙홀에 대응되는 버전으로서 이 성질을 이해할 수도 있다. 다른 가능한 관점으로 사라지는 2종 러브 수를 일종의 미세 조정(fine-tuning)으로 이해할 수도 있는데, 이건 최근 러브 수가 사라지는 것과 관련있는 숨겨진 대칭성이 있다는 주장이 나온 상태라 받아들이기는 미묘하다. 어쨌든 러브 수가 사라진다는 것은 블랙홀이 실제로 "구멍"과도 같아서 외부에서 어떤 자극을 주어도 그 자극에 대한 정보가 구멍 속으로 사라진다는 것으로 보아도 좋지 않을까?

 

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여기까지는 고전적인 블랙홀의 이야기였다. 그리고 양자장론이 우리에게 가르켜 준 것이 하나 있다고 한다면, 고전적인 성질은 많은 경우 양자역학을 고려하기 시작하면 더 이상 성립하지 않는다는 것이다. 그렇다면 블랙홀의 사라지는 러브 수도 양자역학을 고려하면 실제로는 0이 아닌 것은 아닐까?

 

그리고 최근에 재투고를 위해 수정한 논문이 정확히 이 문제를 건드리고 있다. 양자효과를 고려하면 블랙홀의 러브 수는 실제로는 0이 아니라 유한한 값을 얻는다는 것이 주된 결론. 앞서 블랙홀의 러브 수가 사라지는 것을 머리카락이 없는 성질로 보거나 숨겨진 대칭성에 의한 성질로 이해할 수 있다는 이야기를 했는데, 이 관점의 연장선상에서 블랙홀이 실제로는 양자역학적인 머리카락을 갖는다고 해석하거나 숨겨진 대칭성에 anomaly가 있다고 해석할 수 있을 것이다. 구체적인 계산방법에 대해서는 다음 기회에 언급하기로.

 

가끔 반농반진으로 "우리는 양성자보다 블랙홀을 더 잘 이해하고 있다"는 농담을 하곤 하는데, 어쩌면 그 이유가 블랙홀에 대해서는 양자역학에 의한 효과를 깊게 생각하지 않았기 때문일지도 모르겠다는 생각이 든다.

  1. 얼마 전까지만 해도 블랙홀을 "본다"고 하면 무슨 소리냐고 한 소리 들었겠지만, EHT 이후 우리는 실제로 블랙홀을 "보게" 되었다. 과학의 힘은 대단해! [본문으로]
  2. 4차원으로 한정지을 경우. 다른 차원의 블랙홀은 약간 다른 성질을 갖는 경우가 있다. [본문으로]
  3. 다만 아주 많은 정보를 담고 있지는 않다. 2종 러브 수가 핵물질의 상태방정식과는 관련 없는 관계식(I-Love-Q 관계식이라고 한다)을 만족하는 것으로 보이기 때문. inspirehep.net/literature/1220233 [본문으로]
Posted by 덱스터

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  1. ㅇㅇ 2021.04.24 22:45  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    진짜 멋있어요,,, 학생인데 물리학에 관심이 생겼어요, 그라서 물리학과를 가고싶은데 물리학과 가신거 만족하시나요? 현실적인 문제나 그런거땜에 주변에서 말리는데 가장 큰 동기가 됬던건 타인만 관련 다큐에서 물리학이야기를 하시면서 너무 방긋방긋 웃으시는걸보고 물리학이 무엇이길래 저사람을 저렇게 매료시켰을까에 대해서 궁금해서 물리학공부를 시작했어요.
    일반상대성이론 중 등가원리 같은 기본적인걸 배우는데 아 어떻게 이럴수가있지 라면서 학문의 대한 매료는 많이되가는데 물리학자가 되고싶은생각은 없거든요,,, 돈도 안될거 같고 그런 저를 위해서 조언좀 부탁드려요 고3입니다

    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2021.04.26 05:16 신고  댓글주소  수정/삭제

      우선 물리학을 배우는 데 투자한 시간을 회수하기 위해서 물리학자가 되어야 할 필요는 없습니다. 공학 전공을 하시면 많은 경우 좋든 싫든 물리학을 어느 정도 배우게 되실거예요(산업공학이나 생명공학쪽은 아무래도 접점이 적을 가능성이 높겠지만요). 공학에 응용되기 힘들다고 생각할 수 있는 일반상대론의 경우에조차 최근 광학쪽에서 메타물질 등을 다룰 때 응용한다고 들은 기억이 있군요. 종합대학으로 진학한 뒤 재미삼아 물리학과 전공을 들으며 이 길이 나와 맞는지 확인하는 방법도 있습니다. 저도 원래 학부 전공은 물리학이 아니기도 하고요.

      '물리학자가 되는 것'에 대해 조금 이야기해보자면, 굳이 물리학자로 한정짓지 않아도 학자란 직업 자체가 '위험(정확히는 시간낭비지만요)을 감수하는 것에 익숙해져야 하는 직업'입니다. 여기에 대해서는 막스 베버의 <직업으로서의 학문>이 저보다 좀 더 나은 답을 드릴지도 모르겠군요.

    • ㅇㅇ 2021.05.05 18:31  댓글주소  수정/삭제

      잘 들었습니다. 여기 쓴 모든 글을 이해할 그날까지 열심히 공부하겠습니다 감사합니다 ㅋㅋㅋ

표준적인 물리 커리큘럼을 따라 배우면 상호작용에 대한 관점이 대체로 다음 진화(?)과정을 거치게 된다.


힘 → 장과 포텐셜 → 가상입자의 교환


힘을 장과 포텐셜로 다시 이해하게 되는 과정은 대부분의 경우 문제 없이 넘어가는 반면, 장과 포텐셜에 의한 상호작용을 가상입자의 교환으로 다시 이해(?)하게 되는 과정은 많은 경우 '그렇다고 하니 그런가보지 뭐...'라고 넘기게 된다. 이렇게 근본적인 부분에 대해서는 의문을 갖고 제대로 된 설명을 요구하는 것이 마땅함에도 불구하고 말이다[각주:1].


상호작용을 가상입자의 교환으로 이해하는 이유는 무엇일까. 우선은 굴러다닐 수 있는 의자에 앉은 두 사람끼리 캐치볼을 하면 주고 받는 공의 운동량에 의해 서로 멀어지는 과정으로 설명하는 사기(...)는 잠시 잊어버리기로 하자. 이 관점을 제대로 이해하기 위해서는 다음과 같은 배경지식이 필요하다.


1. 양자역학의 섭동이론(perturbation theory)

2. 질량이 없는 입자의 에너지를 이해할 정도의 특수상대론

3. 상호작용을 매개하는 장의 양자화와 Fock space


학부 수준에서는 3번이 좀 무서울 수 있는데 어차피 필요한 배경지식은 다 제공할 예정이니 학부 수준의 양자역학만 제대로 알고 있으면 된다. 대표적인 먼거리힘(long-range force)인 중력이나 전자기학은 스핀 때문에 쓸데없이 복잡하니 질량이 없는 유가와(Yukawa) 상호작용을 생각하기로 하자. 목표는 다음을 보이는 것이다.


유가와 입자에 해당하는 장의 원천(source)이 되는, 거리 $r$만큼 떨어진 두 질점 사이에 유가와 입자의 '교환'에 해당하는 효과에 의해 $\Delta E = -g^2/4 \pi r$만큼의 에너지가 추가로 발생한다.


다르게 말하자면 $1/r$꼴의 포텐셜이 '단일 양자의 교환'으로 볼 수 있는 과정을 통해 만들어지는 것을 확인하자는 것이다. 질점은 정지해 있다고 가정할 예정이니 상대론까지 갈 필요 없이 비상대론적인 계산으로 충분하다 (다만 편의상 $c=1$로 둘 예정).



편의상 두 질점을 $A$와 $B$라고 하고, $A$는 원점 $\vec{0}$에, $B$는 원점이 아닌 $\vec{r} \neq \vec{0}$에 두기로 하자. 그리고 유가와 입자에 해당하는 장(유가와 장[각주:2])을 $\phi(t, \vec{x})$라고 하자 (시간 $t$에 대한 의존성은 중요하지 않으니 앞으로 표시하지 않겠다). 이런 계의 동역학(dynamics)을 기술하기 위해 제일 먼저 할 수 있는 일은 라그랑지안(Lagrangian)을 적는 것이다.

$$ L = L_{A+B} + \int d^3 \vec{x} \frac{[\dot{\phi}(\vec{x})]^2 - [\vec{\nabla} \phi(\vec{x})]^2}{2} - g \int d^3 \vec{x} ~ \phi(\vec{x}) J(\vec{x}) $$

$L_{A+B}$는 질점 $A$와 $B$의 라그랑지안이고 어차피 움직이지 않는다고 가정할 예정이니 구체적인 생김새는 알 필요가 없다. 실제 계산에서는 그냥 에너지 $E$를 줄 예정. 중간의 적분은 유가와 장의 자유 라그랑지안(free Lagrangian)이다. 섭동이론에서는 나머지 부분을 무시한 채 이 부분을 양자화하는 것으로 유가와 입자를 얻는다. 구체적으로는 $\phi (\vec{x})$를 다음과 같이 전개하게 된다(이 유도과정을 알고 싶다면 Tong의 양자장론 노트를 읽으면 좋다.).

$$ \phi (\vec{x}) = \int \frac{d^3 \vec{k}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E(\vec{k})}} \left[ a_{\vec{k}} e^{- i E(\vec{k}) t + i \vec{k} \cdot \vec{x} } + a^{\dagger}_{\vec{k}} e^{ i E(\vec{k}) t - i \vec{k} \cdot \vec{x} } \right] $$

현재 고려하고 있는 유가와 입자는 질량이 없는 입자이기 때문에 $E(\vec{k}) = |\vec{k}|$란 조건을 만족한다. 일반적으로는 $E(\vec{k}) = \sqrt{\vec{k}^2 + m^2}$. 여기서 $a_{\vec{k}}$와 $a^\dagger_{\vec{k}}$는 흔히 mode operator라고 부르는데, 단순조화진동자(simple harmonic oscillator)의 대수를 만족한다.

$$ [a_{\vec{k}_1} , a^{\dagger}_{\vec{k}_2}] = (2 \pi)^3 \delta^3 (\vec{k}_1 - \vec{k}_2) $$

단순조화진동자의 스펙트럼은 자연수로 나타낼 수 있는데, 장론에서는 이 자연수가 '그 운동량을 갖는 입자가 몇 개 있는가'를 나타내는 숫자가 된다[각주:3]. 예컨대 생성 연산자 $a^\dagger_{\vec{k}}$를 상태 $| \psi \rangle$에 작용하게 되면 얻는 상태 $ a^\dagger_{\vec{k}} | \psi \rangle$은 $| \psi \rangle$에 비해 운동량 $\vec{k}$를 갖는 유가와 입자가 하나 더 있는 상태가 된다.


마지막 적분인 $-g \int \phi J$는 질점 $A$와 $B$가 유가와 장의 원천임을 나타낸다. 상호작용의 세기 $g$는 섭동전개를 하기 위해 도입한 형식적인 파라메터. 어차피 질점 $A$와 $B$는 움직일 일이 없으니 $J(\vec{x}) = \delta^3(\vec{x}) + \delta^3 (\vec{x}-\vec{r})$로 취급하면 되는데, 나중에 논의를 편하게 하기 위해 $J_A (\vec{x}) = \delta^3 (\vec{x})$와 $J_B (\vec{x}) = \delta^3 (\vec{x} - \vec{r})$로 나누기로 하자. 각각 $J_{A/B}$는 질점 $A/B$가 유가와 장의 원천이 됨을 나타낸다. 이제 유가와 장에 대한 전개식을 집어넣어 interaction Hamiltonian을 계산할 경우 다음 식을 얻는다.

$$ H_{int} = g \int \phi J = g \int \frac{d^3 \vec{k}}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E(\vec{k})}} \left[ a_{\vec{k}} e^{- i E(\vec{k}) t } \left( 1 + e^{ i \vec{k} \cdot \vec{r} } \right) + a^{\dagger}_{\vec{k}} e^{ i E(\vec{k}) t } \left( 1 + e^{ - i \vec{k} \cdot \vec{r} } \right) \right]$$ 

위의 식을 찬찬히 뜯어보면 $H_{int}$는 주어진 상태 $| \psi \rangle$에 작용할 경우 유가와 입자를 하나 더하거나 ($a^\dagger | \psi \rangle$) 하나 빼는 ($a | \psi \rangle$) 연산자라는 사실을 알 수 있다. 따라서 $| \psi \rangle$가 명확한 유가와 입자의 갯수를 갖는 상태일 경우 $\langle \psi | H_{int} | \psi \rangle = 0$임을 알 수 있다.


여기까지 왔으면 모든 준비가 끝났다. 양자역학 섭동계산을 통해 유가와 입자가 없이 질점 $A$와 $B$만 존재하는 상태 $| \psi^{(0)} \rangle$의 $g^2$ order 에너지 보정을 찾으면 된다. 섭동전개의 유도과정을 설명하는건 귀찮(...)으니 여기에서 위키백과의 유도과정을 보자. $H_{int} = gV$로 적고 결과만 옮겨적을 경우 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ E (g) = E^{(0)} + g^2 \int \frac{d^3 \vec{k}}{(2 \pi)^3} \frac{1}{E^{(0)} - (E^{(0)} + E(\vec{k}))} \left| \frac{1 + e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}}{\sqrt{2 E(\vec{k})}} \right|^2 + O(g^3) $$

여기서 $\langle \psi^{(0)} | V | \psi^{(0)} \rangle = 0$는 위에서 설명한 $H_{int}$의 성질로부터 나온다. 유가와 입자의 에너지가 $E(\vec{k}) = |\vec{k}|$라는 것을 이용하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$ E (g) - E^{(0)} = - g^2 \int \frac{d^3 \vec{k}}{(2 \pi)^3} \frac{2 + e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} + e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}}{2 k^2} + O(g^3) $$

이제 위의 식에 해석을 줘 보자. 적분 분자의 2는 잘 살펴보면 $H_{int}^A = g \int \phi J_A$로 질점 $A$에 의해 유가와 입자가 생성되었다가 다시 $H_{int}^A$에 의해 질점 $A$가 유가와 입자를 흡수하여 처음 상태로 돌아가는 과정과 질점 $B$에 대해 같은 현상이 일어나는 과정으로부터 나왔음을 알 수 있다. 자기 자신과 상호작용하는 과정이기 때문에 이를 자체에너지(self-energy) 보정이라고 한다.

$$ E_{s} (g) = - g^2 \int \frac{d^3 \vec{k}}{(2 \pi)^3} \frac{2}{2 k^2} = \sum_{k \neq \psi^{(0)}} \frac{| \langle k | H_{int}^A | \psi^{(0)} \rangle |^2}{E^{(0)} - (E^{(0)} + E(\vec{k}))} + \frac{| \langle k | H_{int}^B | \psi^{(0)} \rangle |^2}{E^{(0)} - (E^{(0)} + E(\vec{k}))} $$

실제 계산을 수행하려고 하면 $\int d^3 k / k^2$꼴의 적분이기 때문에 이 값은 발산함을 알 수 있다. 양자장론의 모든 곳에서 튀어나오는 무한대중 하나가 바로 이런 자체에너지 보정이다. 우리가 실제로 관심을 갖는 것은 질점 $A$와 $B$ 사이에 유가와 장이 상호작용을 매개함으로서 생기는 에너지이므로, 자체에너지 보정은 좌변으로 넘겨서 잊어버릴 수 있다. 따라서 실제 에너지 변화는

$$ E (g) - E_s (g) - E^{(0)} = - g^2 \int \frac{d^3 \vec{k}}{(2 \pi)^3} \frac{e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} + e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}}{2 k^2} + O(g^3) =  - \frac{g^2}{4 \pi r} + O(g^3) $$

으로, 다음과 같이 다시 적을 수 있다.

$$ - g^2 \int \frac{d^3 \vec{k}}{(2 \pi)^3} \frac{e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} + e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}}{2 k^2} = \sum_{k \neq \psi^{(0)}} \frac{ \langle \psi^{(0)} | H_{int}^B | k \rangle \langle k | H_{int}^A | \psi^{(0)} \rangle + \langle \psi^{(0)} | H_{int}^A | k \rangle \langle k | H_{int}^B | \psi^{(0)} \rangle}{E^{(0)} - (E^{(0)} + E(\vec{k}))} $$

우변의 분자에 등장하는 $\sum_{k} |k \rangle \langle k|$이 identity operator를 분해한 것으로 볼 수 있음을 고려하면 분자에 등장하는 표현들, 예컨대

$$\langle \psi^{(0)} | H_{int}^B | k \rangle \langle k | H_{int}^A | \psi^{(0)} \rangle$$

를 $| \psi^{(0)} \rangle$ 상태에서 $A$ 질점이 (가상의) 유가와 입자를 하나 만들어낸 다음 $B$ 질점이 그 입자를 흡수하는 과정으로 볼 수 있다. 이런 해석을 바탕으로 장에 의한 상호작용을 그 장에 해당하는 가상입자의 교환으로 이해하게 된다.

  1. '나는 질문 할 생각을 못했는데!'라고 좌절할 필요는 없다. 당장 이 글을 쓰고있는 사람도 그렇듯 이런 근본적인 부분을 몇개 놓치더라도 물리로 어떻게든 밥은 벌어먹고 살 수 있으니까(...). [본문으로]
  2. 스칼라장(scalar field)이란 표현이 더 자주 쓰이지만 장의 이름은 그다지 중요한 것이 아니니 대충 넘어가기로 하자. [본문으로]
  3. 여담으로 미분방정식인 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 파동함수를 구해놓고 왜 굳이 생성-소멸 연산자(creation-annihilation operator)를 이용해서 조화진동자를 대수적으로 다시 푸는지 의문을 가졌던 적이 있었는데, 양자장론을 배우면서 그 의문이 해소되게 되었다. [본문으로]
Posted by 덱스터

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  1. sentinel_2 2021.01.17 14:45  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    깔끔한 설명 잘 보고 갑니다~!

This series is divergent, therefore we may be able to do something with it. 

- Oliver Heaviside (quoted by Kline)

양자장론 계산을 하다 보면 발산하는 급수를 다루기 마련이다. 예컨대 다음과 같은 경우.

$$ \sum_{n=0}^{\infty} n = 0 + 1 + 2 + \cdots = ?$$

많은 끈이론 책에서는 Zeta function regularisation을 이용해서 이 값을 $-\frac{1}{12}$로 고정한다. 예외(?)라면 그냥 이 합을 $a$란 변수로 두고 target space Lorentz algebra를 이용해서 $a = - \frac{1}{12}$로 고정하는 GSW 정도랄까. 물론 Terence Tao의 블로그 글에서 볼 수 있듯 발산하는 급수를 말이 되게 하는 방법에는 cut-off function $c(n;\Lambda)$을 도입해서 cut-off independent한 부분을 읽어내는 방법 또한 존재하며, 그 방법으로 구하는 급수의 값은 위의 경우 $-\frac{1}{12}$가 되기는 한다.

$$\sum_{n=0}^{\infty} n c(n;\Lambda) = - \frac{1}{12} + O(\Lambda^2) $$

cut-off function은 $\Lambda$보다 작은 $n$은 1로 더하고, $\Lambda$보다 큰 $n$은 적당히 누르는 함수로 적당히 택하면 된다.

$$ c(n;\Lambda) = \left\{ \begin{aligned} &1 && n \ll \Lambda \\ &0 && n \gg \Lambda \end{aligned} \right.$$

이 방법으로 string worldsheet의 zero point energy를 계산하는 책이 Polchinski였던 것으로 기억하고 있다.


그렇다면 여기서 문제. "어떤 cut-off function이 유용할까?". 흔히 선택하는 regulator에는 Gaussian이나 exponential이 있는데, 내가 개인적으로 선호하는 cut-off function은 다음과 같이 생겼다.

$$c_{\Lambda,m}(n) = 1 - e^{-(\Lambda/n)^{2m}}$$

이 regulator는 발산하는 급수의 argument가 적당히 작은 크기로 발산해야만 cut-off의 역할을 수행할 수 있다는 단점이 있기는 하지만, 그 단점을 무시하는 어마어마한(?) 장점이 추가로 있다. $n$을 연속변수 $x$로 바꾸었을 때 $x=0$이나 $x=\infty$에서의 미분값이 항상 0이라는 것.

$$\forall k \ge 1 \,, c_{\Lambda,m}^{(k)}(0) = c_{\Lambda,m}^{(k)}(\infty) = 0 $$

위 성질을 보면 알겠지만 실변수해석학에서 해석적이지 않은 함수의 실례로 이용되는 함수를 응용한 것이다. 위의 cut-off function을 도입하면 Euler-Maclaurin 공식을 이용해 계산하는 발산급수를 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\sum_{n=0}^{\infty} f(n) c_{\Lambda,p} (n) = \int_0^\infty f(x) c_{\Lambda,p} (x) dx + \frac{f(0)}{2} - \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k} f^{(2k-1)}(0)}{(2k)!}$$

구체적인 사례로 $\sum n^m$을 계산하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$\sum_{n=0}^{\infty} n^m c_{\Lambda,p}(n) = R_m + \frac{\Lambda^{m+1}}{m+1} \Gamma \left( 1 - \frac{m+1}{2p} \right) \\ R_m = - \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k} f^{(2k-1)}(0)}{(2k)!} = \left\{ \begin{aligned} &- \frac{B_{m+1}}{m+1} && m \text{ odd} \\ &0 && m \text{ even} \end{aligned} \right.$$

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최근에 썼던 논문은 중력 버전의 다이온에 대한 1-룹 계산이었다. 학사논문도 자기단극자와 관련된 주제였을만큼 자기단극자에 대한 관심이 많은 편이었으니 자기단극자의 중력 버전에 대해서도 관심이 있을 수 밖에 없었는데, 원래 논문의 목표는 현 논문의 결론과는 꽤 많이 달랐다. 계산이 죄다 어긋나서 목표가 달성 불가능할 것으로 보이자 목표를 뒤집어서 뒤집은 결론을 논문으로 만들어버린 것인데, 학사논문도 비슷한 과정을 통해서 논문이 되었으니 기묘한 평행선이라고 할 수 있을지도 모르겠다. '왜 아무도 명시적으로 이야기하지 않는 거지?'라고 여기는 것 중 하나가 논문의 부록A가 된 '전자와 자기단극자 둘을 동시에 기본입자로 취급하면서 UV cut-off가 둘의 질량보다 위에 존재하는 EFT는 있을 수 없다'는 논증인데, 트위터에서 간략하게 언급한 적이 있다.

물론 아무도 이런 이야기를 하지 않은 것은 아니고 부록에 인용으로 언급했던 weak gravity conjecture(WGC)의 자하 버전에서 비슷한 논증을 하는데[각주:1], 여기서는 입자로서 다루는 것에 대한 명시적은 이야기는 하지 않는다. 여튼 이런 특성을 고려한다고 도입한 추가 계산이 10일만에 쓴 짧은 논문의 바탕이 되었다는 점에서 꽤나 운이 좋았던 편. 저 짧은 논문을 쓸 때는 아드레날린 과다방출(..)로 불면증에 심하게 시달려서[각주:2] 약간 제정신이 아닌 상태에서 썼는데, 결과적으로 꽤나 도발적인 결론이 나와버렸다. 실제로 쓸만한 결과일지는 시간이 지나봐야 알겠지만.

 

---

 

여튼 자기단극자 이야기나 계속해보자. 전하와 자하는 그 물체가 광자와 상호작용함을 나타내는데, 둘을 구분하는 것은 무엇일까? 논문 서론에서 언급했듯 와인버그는 전하와 자하는 광자의 두 편광과 어떻게 상호작용하는가---나선도(helicity)의 부호와 상관없이 상호작용하는가 아니면 부호에 따라 반대 방향으로 상호작용하는가---로 구분됨을 보였다. 이 차이로 인해 전하와의 상호작용은 일반적인 벡터포텐셜 $A_{\mu}$로 적히고, 자하와의 상호작용은 dual potential이라고 자주 부르는 $B_{\mu}$로 적히게 된다. $A_{\mu}$가 $dA = F$란 미분형식 방정식으로 적히는 것과는 반대로 dual potential $B_{\mu}$는 $dB = \ast F$란 미분형식 방정식을 만족한다. 전자기학을 배우면서 전자기장은 벡터포텐셜 $A_{\mu}$로 그 동역학을 기술할 수 있다고 배우는 학부생 입장에서는 '잘 와닿지는 않지만 그런가보다~' 싶은 설명이지만, 이렇게 자하의 동역학을 기술하기 위해서는 일반적인 벡터포텐셜 $A_{\mu}$로는 불가능하다는 결론은 사실 학부 수준에서 배우는 양자역학만으로도 논증할 수 있다. 대부분의 양자역학 학부 과정에 아로노프-봄 효과를 포함하기 때문.

 

논증은 간단하다. 다음 조건들이 모순됨을 보이면 된다.

1) 전기-자기 이중성 (electric-magnetic duality) : 전하와 자하 사이에 이중성이 양자역학 수준에서도 존재한다.

2) 국소성 (locality) : 입자가 전자기장과의 상호작용으로 얻는 효과는 그 입자가 위치한 점에서의 장의 값으로 결정된다.

3) $A_{\mu}$의 완전성 : 전자기장의 모든 효과는 $A_{\mu}$장으로 완벽하게 기술할 수 있다.

4) $A_{\mu}$의 게이지 대칭성 : $A \to A + d \lambda$에 해당하는 게이지 대칭에 대해 물리가 변하지 않는다.

 

구체적으로는 dual Aharonov-Bohm effect를 상상하면 된다. 솔레노이드로 생성되는 원통형 영역에 제한된 자기장 대신 똑같이 원통형 영역에 제한된 전기장을 걸어두고[각주:3] 그 주변을 도는 자하를 상상하는 것. 이제 그 주변을 도는 자하가 Aharnonov-Bohm effect의 전하처럼 $A_{\mu}$장으로부터 위상의 변화를 얻을 수 있는지 계산해보면 된다. 답은 아니오. 왜냐하면 이런 모양의 전기장은 전기장이 0이 아닌 원통형 영역 안에서 값을 갖는 스칼라 포텐셜 $\phi$에 값을 잘 주는 것으로 완벽하게 구현할 수 있기 때문. 원통형 영역 밖에서는 $A_{\mu}$장의 값이 항등적으로 0이 되도록 해를 구할 수 있으므로, 자하는 $A_{\mu}$와 상호작용해야만 한다면 dual Aharonov-Bohm effect는 존재할 수 없다. 구체적인 해는 여러분의 지적 유희를 위한 연습문제(...)로 남겨두기로 하자[각주:4].

 

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논문의 원래 목표는 (중력 버전의 자하에 해당하는) NUT charge를 가진 물체가 있을 때, 이 물체의 동역학을 어떻게 기술할 것이냐였다. 물체가 실제로 존재한다면 힘을 걸어서 가속시키거나 감속시킬 수 있어야 하지 않겠냐는게 기본 문제의식. 이 문제의식의 흔적이 부록C인 effective one-body formalism이다. 결과적으로는 계산이 도저히 아귀가 맞지 않아서 반년 이상 헤매다가 방향을 뒤집어서 '일반상대론의 NUT charge를 자하의 중력 버전으로 해석하는 것은 다양한 가능성을 고려해봐도 1-룹 계산에서 붕괴한다'로 결론을 내버리긴 했지만 말이다. 결국 이 결론을 내면서 전기-자기 이중성에 대한 관심 때문에 마찬가지로 관심을 갖게 되었던 Taub-NUT space에 대한 관심이 많이 죽어버리고 말았다.

 

그나저나 자하는 실존할 것인가? 많은 사람들이 '자하는 근시일에 발견된다'가 안전한 베팅이라고 믿고 있고 나도 이 대열에 합류한 상태이긴 한데, 디락이 말년에 자기단극자의 존재 가능성에 대한 입장을 선회했다는 것을 알게 되고는 마음이 약간은 흔들리는 중. 약간의 검색을 돌려보니 도서관에서 본 것은 이 proceeding인 모양이다.

  1. 혹시나 해서 Arkani-Hamed가 썼던 논문을 열어봤는데 역시나 있었다. 역시 기대를 져버리지 않는 Arkani-Hamed. [본문으로]
  2. 평균적으로 하루 서너시간 정도밖에 못 잔 듯 하다. 논문 작성 막바지에는 거의 항상 있는 일인듯. [본문으로]
  3. 실험적으로는 극성을 가진 유전체를 길게 잘 늘어놓는 것으로 구현할 수 있을 것이다. [본문으로]
  4. 여담으로 이 사실을 발견하고는 '전기-자기 이중성은 양자역학 수준에서는 깨져야만 하는구나!'하고 신나서 MS word로 논문 비슷한 무언가를 타닥타닥 작성했던 흑역사(?)가 있다. 버려야 하는 가정은 1)번이 아니라 3)번이란 것을 깨달은 것은 대학원 들어온 뒤 끈이론 공부하면서. 원고가 원고로만 남은 것이 다행이군... [본문으로]
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  1. aur 2020.12.10 23:37  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    오오오오오... 흥미롭군요..

0. 런던으로 이사온지 한달 반 정도 지났습니다. 일생 처음 락다운이란 것도 겪어보고(라고 해도 대학은 이번 락다운 폐쇄에서 제외되어서 출근은 계속 하고 있습니다) 말이죠. 조금씩 생활 사이클이 런던 생활에 적응해가는 것 같군요.

 

0.1. 물론 완전히 적응했다고 하기는 애매한 것이, 먹거리 메뉴를 충분히 늘리지 못하고 있습니다. 사실상 숏 파스타-인도카레 두 메뉴의 사이클만 돌리고 있는데 메뉴를 두어개 정도 더 추가해 주어야 질리지 않고 잘 살아남을 것 같단 말이죠. 하기 쉬우면서 오래 먹을 수 있는 메뉴가 무엇일지는 조금 더 고민해 봐야겠습니다. 처음 대학생활을 시작하던 시절처럼 몸을 막 굴려도 어떻게든 굴러가던 시절(...)은 지났으니까요.

 

0.2. 결국 바이든이 미 대선에서 승리했군요. 많은 사람들이 발 뻗고 잘 수 있겠습니다(...). 저야 잠 못 잔 이유가 논문 벼락치기였습니다만 미 대선 때문에 잠을 설쳤던 것이 없다고는 못하겠군요. 여튼, 토요일이었던 어제는 진짜 하루 종일 잠만 잔 듯한 느낌이군요.

 

1. 4쪽짜리 짧은 논문이기는 하지만 10일만에 완성한 논문이 곧 arXiv에 올라갈 예정입니다(제출은 금요일). 이렇게 짧은 시간 안에 논문을 쥐어짜느라 제대로 잠을 못 자서 어제는 그 반동으로 동면에 들어간 곰처럼(...) 잠만 잤습니다. 처음엔 '어 이렇게 단순한 것을 왜 사람들이 발견 못했지?' 싶었던, 흥미롭기는 하지만 뭐 그냥 거기서 끝날 것 같았던 관계식이었는데, 조금 더 들여다보고 있으니 이 관계식을 이용해서 사람들이 블랙홀에 대해 갖고 있던 일반적인 생각을 검증해볼 가능성이 보이더군요. 물론 제가 그걸 확인할 능력은 안 되는 것 같아서 (+분량을 쓸데없이 늘리고 싶지는 않아서) '이런이런 관점에서 검토해보면 흥미로울 것이다'란 코멘트 정도만 남겨두었지만, 세상은 넓고 계산에 숙달된 귀신들은 많으니 누군가 논문을 인용해주겠죠. 워낙 이 분야에 걸쳐있는 사람들이 많으니 인용을 최소 다섯 개 정도는 받지 않을까 기대하고 있습니다.

 

1.1. 논문을 쓴 것은 쓴 것이고, 이제 다음 논문 주제를 고민해야 할 타이밍이군요. 뭘 해야 하지...

 

2. 포켓몬고를 꾸준히 하고 있는데, 이번에 이벤트 이로치를 잡겠다고 처음으로(?) 현질(...)을 했습니다. 올해 열렸던 글로벌 고페스트 티켓까지 포함하면 두번째이려나요. 여튼, 누더기 조금 걸친 팬텀 티도 거의 안 나는 이로치를 잡겠다고 대략 30파운드어치 레이드패스를 (추가로) 사는 삽질을 하고 나서야 겨우 얻었군요.

이 친구의 이름은 '고통'이 되었습니다. 내가 다시는 이런 삽질 하나 봐라...

덕분에 열심히(졸업시즌 이후 좀 뜸해지기는 했었습니다만) 하던 포켓몬고에 현자타임(...)이 와서 당분간은 설렁설렁 플레이하게 될 것 같습니다. 같이 이로치를 잡아보자고 레이드를 미친듯이 달리셨던 분들 중 못 잡으신 분들도 있는 것을 보면 승리한 패배자(...)가 된 느낌이군요.

 

3. 소드실드 2차 DLC인 왕관의 설원을 재미있게 플레이하고는 있는데, 귀찮다고 도감을 다 안 채웠더니 이로치 출현확률이 엄청나게 높아진 다이맥스 어드벤처를 100% 즐기지 못하고 있어서 고민입니다. 지금이라도 도감을 다 채워야 하나. 그냥 맥스 레이드배틀의 경우 이로치 레이드방이 꽤 많아서 적당히 찾아 들어가면 금방 이로치를 잡았더니 굳이 빛나는 부적을 얻을 필요를 못 느꼈단 말이죠. 뭐, 게임을 샀으면 끝까지 즐겨보는 것도 나쁘지 않겠지만요.

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  1. 학부생 2020.11.15 17:30  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    건강 조심하세요!

제목은 아는 사람들은 다 아는(?) 책인 PCT, Spin and Statistics, and All That을 참고했다. 물론 나는 읽다 만(...) 책이지만. 이 포스트의 출발점은 다음 트윗 타래. 한번 정도는 정리해두는 것이 좋겠다는 생각이 들었다.

'세상에서 가장 아름다운 공식'이란 별명이 있는 오일러 공식의 장점(?)은, 네이피어수 (혹은 자연상수) $e$ 위에 올라가는 수학적 물체(mathematical object의 번역으로 이게 맞는지 모르겠다) $a$가 무엇이든 $a^2 = -1$이란 조건을 만족하기만 하면 된다는 것이다.

\[ a^2 = -1 \Rightarrow e^{a \theta} = \cos(\theta) + a \sin(\theta)\]

여기서 $a$는 일반적인 숫자(복소수체에서는 확실히 성립하는데 일반적인 체에서도 되는지는 모르겠다)나 행렬(사원수quaternion는 $2 \times 2$ 행렬과 대응관계를 맺기 때문에 사원수에서도 위의 식이 적용된다), 혹은 클리포드 대수Clifford algebra의 원소(기하대수geometric algebra 계산에서 이 성질을 이용한다) 등 무엇이든 될 수 있다. 그냥 1이 잘 정의되어 있고 제곱해서 -1이 되는 물체가 있다고 하면 언제든 쓸 수 있다는 의미. 다른 특기할 점은 위 공식이 다루기 까다로운 경우가 많은 삼각함수trigonometric function를 지수함수exponential function로 바꾸는 역할을 한다는 것이다. 따라서 주기성을 갖는 물리량이 있는 물리계에서는 위 공식을 반대로 적용해 삼각함수로 써지는 물리량을 지수함수의 '실수부'로 놓는 작업을 자주 한다.

\[ \cos(\theta) = \text{Re}[e^{i \theta}] \]

여기까지는 학부 2학년 수준에서 얼마든지 다루는 내용.

 

전기공학에서는 교류회로를 다룰 때 단위허수 $j$를 $j^2 = -1$으로 도입해 전류와 같은 물리량을 다음과 같이 쓰곤 한다.

\[ I(t) = \text{Re}[I_0 e^{j (\omega t + \delta)}] \]

일반적으로 쓰는 단위허수 $i$가 있는데 왜 하필 $j$일까? 트윗 타래에서 언급했듯 $j = -i$라고 여기는 경우가 있기 때문이다. $(-1)^2 = +1$이므로, 애초부터 단위허수에는 부호를 선택하는 자유도가 남아있었던 셈. $j=-i$라고 여기는 이유는 푸리에 전개가 다음과 같은 꼴을 취하기 때문이다.

\[ F(t) = \sum_{\omega} \tilde{F} (\omega) e^{-i \omega t} \]

처음 식과 비교해보면 지수함수에 올라간 항은 $-i \omega t$로, $j \omega t$와 부호 차이를 갖고있다. $j = -i$란 인식은 이 차이에서 비롯된 것. 그렇다면 왜 푸리에 전개는 위와 같은 꼴을 택하는 것일까? 예컨대 다음과 같은 표현도 수학의 관점에서 볼 때 푸리에 전개로서는 딱히 결격사유가 없다.

\[ F(t) = \sum_{\omega} \tilde{F} (\omega) e^{+i \omega t} \]

문제는 인과율causality로부터 얻는 주파수 공간frequency space의 함수 $\tilde{F}(\omega)$가 갖길 원하는 해석적 성질analytic property에 있다. 일반적으로 푸리에 전개를 통해 해석하는 (실)함수 $F(t)$는 입력에 따라 어떤 출력을 예상할 수 있는지를 나타내는 반응함수response function이고, 인과율과 계의 시간불변성time invariance을 가정할 경우 시간차 $t$가 양수일 경우에만 0이 아닌 값을 갖는다.

\[ t<0 \Rightarrow F(t) = 0 \]

그리고 이렇게 '한쪽 방향으로만 값을 갖는 함수'는 라플라스 변환Laplace transform을 쓸 수 있다. 이 방향은 나중에 브롬위치 적분Bromwich integral을 이야기할 기회가 생기거든 돌아오기로 하자. 여튼, 주파수 공간의 함수 $\tilde{F}(\omega)$는 다음과 같이 주어진다.

\[ F(t) = \sum_{\omega} \tilde{F}(\omega) e^{\mp i \omega t} \Rightarrow \tilde{F}(\omega) = \int F(t) e^{\pm i \omega t} dt \]

일반적으로 $\tilde{F} (\omega)$는 실수값만 갖지는 않고, 실수부와 허수부를 모두 갖는다. 따라서 다음과 같은 질문을 해볼 수 있다; 어차피 복소수 값을 갖는 복소함수라면, $\tilde{F} (\omega)$를 복소해석학complex analysis을 통해 다뤄 볼 수는 없을까? 안타깝게도 $\tilde{F}$는 전체 $\omega$ 복소평면에서 해석적인 성질을 가질 수는 없다. 단순하게 복소수 $\omega = \omega_1 + i \omega_2$를 실수부와 허수부로 나누어서 분석해보자.

\[ \tilde{F}(\omega_1 + i\omega_2) = \int F(t) e^{\mp \omega_2 t \pm i \omega_1 t} dt \]

위 표현은 $\mp \omega_2 < 0$일때 $F(t)$가 어지간히 이상한 함수가 아닌 이상 수렴한다. 반대로, $\mp \omega_2 >0$일때 많은 경우 발산해버리고 말 것이다. 따라서, 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.

  • \[ \tilde{F}(\omega) = \int F(t) e^{+ i \omega t} dt \]로 정의할 경우, $F(t)$가 인과율을 따른다는 성질은 $\tilde{F}$는 위쪽 반평면upper half plane에서 해석적인 성질을 갖는다는 성질로 이어진다.
  • \[ \tilde{F}(\omega) = \int F(t) e^{- i \omega t} dt \]로 정의할 경우, $F(t)$가 인과율을 따른다는 성질은 $\tilde{F}$는 아래쪽 반평면lower half plane에서 해석적인 성질을 갖는다는 성질로 이어진다.

일반적으로 $\tilde{F}(\omega)$는 위쪽 반평면에서 해석적인 성질을 갖는 것이 바람직하다고 여겨지기 때문에 푸리에 변환의 부호가 $F(t) = \sum_{\omega} \tilde{F} e^{-i\omega t}$로 결정되는 것이다. 힐베르트 변환Hilbert transform을 이용해 반응함수의 실수부와 허수부를 관계짓는 Kramer-Kronig 관계식 또한 이 부호의 선택에 의존한다. 'Kramer-Kronig 관계식을 증명하기 위해 그리는 적분 컨투어contour를 왜 위쪽 반평면에서 닫아야만 하는가?'란 질문에 대해 답을 주기 때문. 이유는 적분에 들어가는 integrand가 위쪽 반평면에서 완전히 해석적인 성질을 가지므로, 위쪽 반평면으로 컨투어를 닫아야 0이 되기 때문이다. 아래쪽 반평면에서는 무슨 일이 일어날지 모른다는 것은 또 다른 이야기.

\[ \tilde{F}(\omega) = \int F(t) e^{+ i \omega t} dt \,,\, \text{Im} [\omega_0] \le 0 \Rightarrow \frac{\tilde{F} (\omega)}{\omega - \omega_0} \, \text{analytic on upper half plane} \]

이렇게 사소해 보이는 부호 하나에도 그 부호를 선택해야만 하는 이유가 있기 마련이다.

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  1. Favicon of http://twitter.com/whewhewhew BlogIcon Whew 2020.09.20 02:48  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    위키백과에서 mathematical object는 수학적 대상으로 번역되었네요.
    https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%88%98%ED%95%99%EC%A0%81_%EB%8C%80%EC%83%81

  2. aur 2020.10.17 01:53  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    오.. 그렇군요!! 별 생각 없었었는데, 역시 exp(-iωt)가 아름답(?)군요.
    항상 글 잘 보고 있습니다..!

최근 쓰는 논문에서 대충 다음과 같은 적분을 할 일이 있었다.

\[ \int_a^b \sqrt{f(x)} dx \]

구간은 $f(a) = f(b) = 0$의 해. 문제는 이 계산이 정확하게 되지 않아서 섭동계산으로 풀어야 한다는 것.

\[ \int_{a(\epsilon)}^{b(\epsilon)} \sqrt{f(x;\epsilon)} dx \]

편의상 $\epsilon$의 선형 차수까지 이 적분을 계산한다고 가정해보자. 이 경우 적분은 다음과 같이 전개할 수 있다.

\[ \int_{a(0)}^{b(0)} \sqrt{f(x;0)} dx + \epsilon \int_{a(0)}^{b(0)} \frac{\partial \sqrt{f(x;0)}}{\partial\epsilon} dx + \left[ \int_{a(0)+\epsilon a'(0)}^{a(0)} + \int_{b(0)}^{b(0)+\epsilon b'(0)} \right] \sqrt{f(x;0)} dx \]

첫 두 항은 별 문제가 없다. 문제가 되는 것은 마지막의 적분구간이 $\epsilon$에 대해 움직이는 부분. $\sqrt{f(x;0)}$의 부정적분을 계산할 수 있다고 생각없이 움직인 적분구간을 집어넣으면 틀린 답을 얻게 된다. 예컨대 구간 $(a(0)+\epsilon a'(0), a]$에서 $f(x;0)$의 값이 음수가 된다면 나올 리가 없는 허수부가 만들어진다.

 

그렇다면 정확한(?) 풀이방법은 무엇일까? 우선은 처음 쓴 적분을 $G(\epsilon)$으로 정의하자. 우리가 원하는 것은 $G'(0) = \left. \frac{\partial G}{\partial \epsilon} \right|_{\epsilon=0}$이다.

\[ G(\epsilon) := \int_{a(\epsilon)}^{b(\epsilon)} \sqrt{f(x;\epsilon)} dx = G(0) + \epsilon G'(0) + \cdots \]

$G'(0)$는 정의만 사용하면 다소 싱겁게 구할 수 있다.

\[ G'(0) = \int_{a(0)}^{b(0)} \frac{\partial \sqrt{f(x;0)}}{\partial\epsilon} dx + \frac{\partial b}{\partial \epsilon} \sqrt{f(b;0)} - \frac{\partial a}{\partial \epsilon} \sqrt{f(a;0)} \]

뒤 두 항은 $f(a) = f(b) = 0$란 조건으로부터 0이므로, 실제 계산은 맨 앞 항만 해주면 된다. 물론 이렇게 단순한 문제였으면 포스트를 쓰지도 않았을테지만.

 

문제는 $\epsilon^2$ 차수의 계산이다. $G''(0)$는 어떻게 구할 수 있을까? 쉽게 계산되는 부분은 일단 전부 던져두고, 문제가 되는 부분만 찾아보자.

\[ G''(0) = \cdots + \frac{\partial b}{\partial \epsilon} \frac{\partial \sqrt{f(b;0)}}{\partial \epsilon} + \cdots - \frac{\partial a}{\partial \epsilon} \frac{\partial \sqrt{f(a;0)}}{\partial \epsilon} + \cdots \]

위에서 $\cdots$로 표시한 부분은 딱히 발산하지 않는 부분이기 때문에 문제없이 계산할 수 있지만, 위에 적은 항들은 그렇지 않다.

\[ \frac{\partial b}{\partial \epsilon} \frac{\partial \sqrt{f(b;0)}}{\partial \epsilon} = \frac{\partial b}{\partial \epsilon} \left( \frac{1}{2 \sqrt{f(b;0)}} \frac{\partial f(b;0)}{\partial \epsilon} \right) \stackrel{?}{=} \frac{N}{0} \]

별 생각없이 계산하다가는 $\frac10$꼴의 항들이 두개나 튀어나오게 된다. 만약 보다 고차항을 보고 싶다면 $\frac10 \times \frac10$과 같은 더 계산이 불가능한 항들이 만들어질 것이다. 그렇다면 해결방법은 무엇일까?

 

문제의 원인은 적분구간이 이동한다는 사실에 있다. 그러므로 적분변수를 바꿔서 적분구간이 이동하지 않도록 조정해주면 문제가 해결된다. 다음과 같은 성질을 갖는 $\epsilon$에 의존하는 변수변환을 생각하자.

\[ x \to \tilde{x}(x; \epsilon) \,,\, \tilde{x}(a(\epsilon);\epsilon) = a(0) \,,\, \tilde{x}(b(\epsilon);\epsilon) = b(0) \,,\, \lim_{\epsilon \to 0} \tilde{x}(x;\epsilon) = x \]

이 변수변환이 적당한 one-to-one mapping이라면 문제는 매우 싱겁게 해결된다. $G(\epsilon)$에 대한 $\frac{\partial}{\partial \epsilon}$ 미분이 전부 integrand에만 걸리기 때문.

\[ G(\epsilon) = \int_{a(\epsilon)}^{b(\epsilon)} \sqrt{f(x;\epsilon)} dx = \int_{a(0)}^{b(0)} \sqrt{f(x(\tilde{x};\epsilon);\epsilon)} \left( \frac{\partial x}{\partial \tilde{x}} \right) d\tilde{x} \]

물론 이 invertible mapping을 찾기란 쉽지만은 않다. 처음에는 quadratic 관계식으로 해보려고 했는데 결국은 실패했고, 결과적으로는 다음과 같은 projective 관계식을 푸는 것으로 해결했다. (정확히는 $b = \infty$에 놓여있어서 단순한 선형 이동으로 해결했지만)

\[ \frac{x - a(\epsilon)}{x - b(\epsilon)} = \frac{\tilde{x} - a(0)}{\tilde{x} - b(0)} \]

학부 4년 과정 내내(?) 섭동계산을 배우지만 그것만으로는 충분하지 않을 만큼 섭동계산의 세계는 넓고도 험하다.

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섭동계산을 하다 보면 다음과 같이 작은 섭동항이 붙은 행렬의 행렬식을 계산할 일을 자주 마주하게 된다.

\[ \text{Det}(G_{ab} + \epsilon A_{ab}) \]

이 계산은 어떻게 하면 될까? 먼저 $G_{ab}$의 역행렬 $G^{ab}$를 정의해서 다음과 같이 쓰도록 하자.

\[ \text{Det}(G_{ab} + \epsilon A_{ab}) = [ \text{Det} (I_{a}^{~b} + \epsilon A_{a}^{~b}) ] \times [ \text{Det} G_{ab} ] \]

여기서 $A_{a}^{~b} := A_{ac} G^{cb}$로 정의한다. $A_{a}^{~b}$의 고유값들을 $\lambda_i$라 부르기로 한다면, 위 식은 다음과 같이 적을 수 있다.

\[ \text{Det} (I_{a}^{~b} + \epsilon A_{a}^{~b}) = \prod_i (1 + \epsilon \lambda_i) = 1 + \epsilon \sum_i \lambda_i + \epsilon^2 \sum_{i<j} \lambda_i \lambda_j + \cdots \]

이제부터는 매우 쉽다. 행렬 $A_{a}^{~b}$에 대해 다음 두 조건을 알고 있으므로, 이 두 조건으로부터 얻는 식을 잘 조합하기만 하면 된다.

\[ \text{Tr} A = \sum_i \lambda_i \,,\, \text{Tr} A^n = \sum_i \lambda_i^n \]

예컨대 $2 \sum_{i<j} \lambda_i \lambda_j = (\sum_i \lambda_i)^2 - \sum_i \lambda_i^2$이므로,

\[ \text{Det} (I + \epsilon A) = 1 + \epsilon \text{Tr} A + \epsilon^2 \frac{(\text{Tr} A)^2 - \text{Tr} A^2}{2} + \epsilon^3 \frac{(\text{Tr}A)^3 - 3 \text{Tr} A^2 \text{Tr} A +2 \text{Tr} A^3 }{6} + \cdots \]

와 같은 전개를 얻는다. 찾아보면 위와 같은 조합에 대해 뭔가 이름이 있을 법도 한데 귀찮은 관계로 생략.

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For a physicist, on the other hand, every system is open, and (more to the point) approximate. One never really expects that the mathematical problem one formulates and then solves will provide an exact or complete description of a physical system.

한편 물리학자에게 모든 계는 열려있고 (더욱 중요하게는) 근사적이다. 그 누구도 어떤 물리계에 대해 형식화하고 풀어낸 수학적 문제가 그 계에 대해 완벽하거나 완전한 묘사를 줄 것으로 절대 기대하지 않는다.

- Ingmar Saberi(https://arxiv.org/abs/1801.07270)

한번은 기계 설계였나 강의를 들을 당시 조별 프로젝트 발표를 할 일이 있었습니다. 뭔가 간단한 로봇을 설계하는 일이었는데, 제가 속한 조보다 앞서 발표하던 조에서 로봇에 예상하고 있는 부하가 걸리면 변형이 얼마나 일어나는지 계산한 결과를 발표하고 있었습니다. 뭐 숫자와 식을 알고 있으니 단순한 산수일테고, 산수 끝에 얻은 변형에 대한 예측값은 10^-20 m였던가 그렇습니다. 참고로 원자핵의 크기를 대략 10^-15 m 정도로 보죠.

 

그 슬라이드를 보고는 발표를 듣던 교수님이 '숫자놀음은 집어치워라'라면서 대노하셨고 (그 정도로 작은 값이면 그냥 변형이 없는 것이란 말을 덧붙이면서요) 옆에서 비슷한 숫자를 슬라이드에 집어넣고 있었던 같은 조원은 깜짝 놀래서 재빠르게 숫자를 0으로 바꿨습니다. 세 팀이 조별 프로젝트 발표를 하면 그 중 가르침이 되는 팀이 꼭 있는 법이죠.

 

그래서 준비해 본, '어디까지 방정식을 믿을 것인가?'란 주제 하에 묶을 여러 문제들입니다. 물리는 결국 목표로 삼은 현상에 대한 모형을 세우고 그 모형을 이해하는 것으로 목표로 삼은 현상을 이해하는 것인 셈이니, 세워놓은 모형이 어디까지 현상을 제대로 기술하고 있는가에 대해 감을 갖고 있어야겠죠. 깊게 생각 안하고 공부만 하다 보면 '언제 모형을 믿으면 안된다'는 감이 없는 경우가 자주 있단 말이죠. 짤막하게 작성해 두고 아마 생각나는대로 업데이트하지 않을까 싶네요.

 

참, 이 포스트는 Paul J. Nahin의 Mrs. Perkins's Electric Quilt: And Other Intriguing Stories of Mathematical Physics란 책의 내용에서 영감을 받았습니다. 비록 도서관에서 빌려놓고 시간이 없어 서론만 읽은 뒤 방치해뒀다가 연체되어서 연체비만 물고 뒷쪽은 하나도 못 읽었지만 말이죠.

 

---

 

의외로 물리학을 하나도 안 배운 사람이 물리학을 어느정도 배운 사람보다 이상하다는 것을 빠르게 알아차리는 물리학에 대한 문장이 있습니다.

"전하가 자기장 안에서 받는 힘은 전하의 이동 방향과 수직이므로 자기장은 일을 하지 못한다."

이 문장은 왜 틀린 문장일까요?

 

문장의 전제는 맞습니다. 전하가 자기장 안에서 받는 힘은 로렌츠힘으로 기술되고, 이 힘은 전하가 이동하는 방향과 항상 수직이기 때문에 로렌츠힘에 의해 전하가 에너지를 얻는 경우는 없죠. 하지만 자기장은 일을 하지 못한다는 사실이 아닙니다. 사이클로트론과 같은 입자가속기에서는 자기장의 세기를 변화시키는 것으로 입자를 가속시키기는 하지만 이건 자기장이 변하면서 패러데이 법칙에 의해 전기장이 생성되는 원리이기 때문에 반례가 되는 것은 아닙니다. 그러니까, 가만히 있는, 혹은 정적인 자기장이 일을 하는 경우입니다. 그리고 누구나 어릴 적 자석을 가지고 놀아봤다면 모를래야 모를 수가 없는 반례이기도 하죠.

 

가만히 있는 자석과 조금 떨어진 곳에 가만히 있는, 자화되지 않은 철조각을 가만히 두면 철조각은 자석을 향해 날아들죠. 중력을 거스르고 날아오르는 경우도 많고요. 정적인 자기장이라도 일을 할 수 있다는 살아있는 반례죠. 물론 철조각이 자화되면서 남는 에너지를 운동에너지로 바꾸는 과정이므로 로렌츠힘에 의한 일은 아니지만, 자기장(혹은 자력)이 일을 하지 못하는 것은 아니지 않습니까.

 

그리고 여기에는 약간의 뒷이야기가 있습니다. 고전역학과 통계역학만 가정할 경우, 자력은 일을 할 수 없는 것이 맞습니다. 이를 보어-판레이우언 정리라고 부르죠. 그러니까 처음에 제시된 문장은 고전역학과 통계역학만 가정한 범위 안에서는 틀린 문장은 아닌 셈이죠. 단지 우리 우주가 그 범위 안에 온전히 속하지 않는 것일 뿐. 포스트의 처음에 인용한 문장이 더없이 적절하지 않습니까?

 

---

 

다음 업데이트에서는 블랙홀에 대해 이야기해보려고 합니다. 아마 트위터에서 자주 떠들어댄 문제이니 이미 아실 분들도 있을 지 모르겠군요.

Posted by 덱스터

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Dirac delta distribution은 다음과 같은 함수열(sequence of functions)의 극한으로도 볼 수 있다. Fermi's golden rule을 증명할 때 필요한 Dirac delta의 representation이기도 하다.

$$ \delta(x) = \frac{1}{\pi} \lim_{a \to \infty} \frac{\sin^2(ax)}{ax^2}$$

위 함수열의 극한을 이용하기 위해서는 다음 적분을 증명해야 한다.

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2(ax)}{ax^2} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2x}{x^2} dx = \pi$$

위 적분은 어떻게 증명하면 좋을까.

 

다음 푸리에 변환을 생각하자.

$$ F(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2x}{x^2} e^{isx} dx $$

우리는 $F(s=0) = \pi$를 증명하길 원하며, Riemann-Lebesgue 보조정리에 의해 $F(s \to \pm \infty) = 0$이란 경계조건을 알고있다. 이제 $F''(s)$를 직접 계산하자.

$$ F''(s) = - \int \sin^2x e^{isx} dx = \frac{\pi}{2} (\delta(s+2) - 2 \delta(s) + \delta(s-2)) $$

위 식을 $s$에 대해 두번 적분하면서 경계조건 $F^{(n)} (s \to \pm \infty) = 0$을 넣어주면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$ F(s) = \left\{ \begin{aligned} & 0 && |s| \ge 2 \\ & \frac{\pi}{2}(2 - |s|) && |s| \le 2 \end{aligned} \right. $$

따라서 $F(s=0) = \pi$로 증명완료.

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최근 주로 계산하고 있는 것은 산란진폭(scattering amplitude)을 이용해서 천체를 점입자로 근사했을 때 두 천체 사이의 상호작용을 얻는 일. 정확히는 천체를 점입자로 근사하고 두 점입자가 만드는 계(system)의 유효 해밀토니안(effective Hamiltonian) 계산이다. 중력포텐셜 계산이라고 이야기하기도 한다. 대충 이 논문에서 한 일에 스핀을 던져넣는 작업인데, 주로 저번에 했던 일에서 제대로 정리하지 못했던 부분을 청소(...)하고 있다.

 

중력의 성가신 점은 좌표변환이 중력의 게이지 대칭이라는 것이다. 덕분에 중력포텐셜은 게이지를 어떻게 잡느냐에 의존하는 물리량이 되어버리고 만다. 산란진폭을 이용해서 구하는 중력포텐셜은 $\vec{p} \cdot \vec{r}$이 등장하지 않는 isotropic gauge의 포텐셜. 물론 그렇다고 중력포텐셜을 마음대로 쓸 수 있다는 것은 아니다. 서로 생긴 꼴이 다른 중력포텐셜이 실제로는 같은 동역학을 준다면, 두 중력포텐셜의 표현식 사이를 이어주는 canonical transformation이 존재해야 한다. 그러니까 $H_1 (p,q)$가 $H_2 (P,Q)$와 동등하다면 적당한 변수변환 $P(p,q), Q(p,q)$가 존재해서 $H_2 (P,Q) = H_1(p(P,Q),q(P,Q))$이면서 canonical conjugate relation인 $\{ P, Q \}_{\text{P.B}} = \{ p, q\}_{\text{P.B}} $이 (이제부터 Poisson bracket의 subscript인 P.B는 생략하도록 하자) 유지되어야 한다는 것. 흥미로운 점은 서로 다른 해밀토니안을 비교하는데 다음과 같은 식을 만족하는 generator $g$가 존재하는지의 여부로 두 해밀토니안이 물리적으로 동등한지 확인하기도 한다.

$$ H_2(p,q) - H_1(p,q) = \{ H_1 , g \} + \mathcal{O} (G^n, p^{2n})$$

예를 들면 이 논문의 4.1장에서 하는 논의라던가. 뒷 항은 $n-1$-PN order에서 보이지 않는 항들이다. 이 식을 어떻게 이해할 수 있을까?

 

의외로 답은 간단하다. $p, q$에서 $P,Q$까지 이어지는 continuous canonical transform을 상상해보자. 대충 $\tilde{p}(p,q;\alpha), \tilde{q}(p,q;\alpha)$란 연속함수가 존재하고 $\forall \alpha, \{ \tilde{p}, \tilde{q} \} = \{ p,q \}$면서 $\tilde{p}(p,q;0) = p, \tilde{p}(p,q;1) = P(p,q)$를 만족한다고 형식화할 수 있다. 이 경우 해밀토니안은 $H=H_1(p,q)=H_2(P,Q)$로 고정되어 있는 상태이다. 해밀토니안이 만드는 flow는 그대로 있고 그 flow를 기술하는 canonical variable들의 coordinate frame이 이동하는 것으로 볼 수 있다.

 

이제 관점을 바꿔보자. canonical variable들의 coordinate frame을 고정하고 해밀토니안이 만드는 flow를 흐르게 시키는 관점이다. 정확히는 $\tilde{p},\tilde{q}$를 좌표축으로 고정한 뒤 $H(\tilde{p},\tilde{q};\alpha)=H_1(p(\tilde{p},\tilde{q}),q(\tilde{p},\tilde{q}))$가 변수 $\alpha$에 대해 어떻게 흐르는지 보는 것이다. 이 경우 $\frac{d}{d\alpha}$는 symplectic vector field이므로 여기에 대응되는 (local) generator $G$가 존재한다. 식으로 쓰자면

$$ \exists G, \frac{\partial}{\partial \alpha} H(\tilde{p},\tilde{q};\alpha) = \{ H(\tilde{p},\tilde{q};\alpha) , G \} $$

이 되는 셈. 다르게 표현하면 다음의 벡터장(vector field) 방정식을 만족하는 벡터장 $\{ G, \bullet \}$가 존재한다고 할 수 있다.

$$ \exists G, \frac{\partial}{\partial \alpha} \{ H , \bullet \} = \mathcal{L}_{\{ G, \bullet \}} \{ H, \bullet \} $$

위 식에서 $\mathcal{L}$은 리 미분(Lie derivative)을 의미한다.

 

위에 적은 미분꼴의 방정식을 차분(difference)꼴로 바꾸면 우리가 이해하고 싶었던 식이 된다.

$$ H_2(p,q) - H_1(p,q) = \{ H_1 , g \} + \mathcal{O} (G^n, p^{2n})$$

미분방정식을 차분방정식으로 바꾸는 과정의 논리적 구멍을 메꾸고 싶다면 다음과 같은 미분형식(differential form) 꼴로 바꾼 방정식을 고려할 수 있다.

$$ \delta H(\alpha) = \{ H(\alpha), g \} \,,\, g = G \delta \alpha $$

문제에 perturbation parameter $\epsilon$이 존재한다고 가정할 경우, 위의 방정식은 다음과 같은 차분방정식으로 변경시킬 수 있다.

$$ \Delta H = \{ H, g \} \,,\, \frac{\Delta H}{H} \sim \frac{g}{H} \sim \epsilon $$

Post-Newtonian expansion의 경우 이 perturbation parameter는 $\epsilon = \frac{G\mu}{r c^2} \simeq \frac{p^2}{\mu^2 c^2}$이 된다. 이름대로 $\frac{1}{c}$을 perturbation parameter로서 이해할 수 있다는 의미.

 


23Feb2020 수정사항: 미분형식 꼴로 바꾼 방정식을 이용한 논증 추가.

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2019. 10. 20. 11:10 Daily lives

그냥저냥 근황

0.

블로그는 정말 오랜만이군요. 더군다나 일(?)이나 외부의 뉴스에 대한 글이 아니라 일기를 쓰는 것은 정말 오랜만인듯 하네요.

 

1.

졸업당하는(...) 것이 확정된 이상, 포닥 지원서를 열심히 쓰고 있습니다. 박사학위에 어울리는 지식이 있느냐고 묻는다면 아슬아슬하게 커트라인에 닿을지도 모르겠다는 생각은 하지만[각주:1], 그것과는 별개로 박사학위에 어울리는 연구능력이 있냐면 글쎄요. 박사학위를 '독립적으로 연구주제를 발굴해 연구를 수행할 능력'에 대한 자격증으로 생각하는 편이라 제가 연구주제를 발굴해낼 능력이 있는지에 대해서는 아직 의구심이 있습니다.

 

그래도 뭐 결정된 것은 결정된 것이니 어쩌겠습니까. 할 수 있는 것을 해야지.

 

2.

시험기간에는 오랜만에 책상을 정리하고 싶어지는 것과 동일한 원리(...)로, 오랜만에 전자책으로 구한 <역시 내 청춘 러브코메디는 잘못됐다>를 정주행했습니다[각주:2]. 찾아보니 마지막으로 읽은게 거의 4년 전이군요. 그동안 쌓인 경험도 있고 관점도 있다보니 전에 읽었을 때는 별 생각없이 읽었던 표현들도 거슬리는 부분이 생겼습니다만, 전체적으로는 꽤 괜찮고 추천할만한 소설이란 평가는 딱히 변하지 않았습니다. 등장인물들에 대한 평가도 거의 변하지 않았고요. 다만 두 권 더 읽은 지금은 앞으로의 진행에 대해 조금 다른 예측을 하게 되는군요.

 

13권에서는 유키노의 문제가 해결되었다고 선언되었지만, 그걸 해결이라고 부를 수는 없겠죠. 다음 권에서는 이 문제로 돌아오지 않을 수 없을거예요. 유이와 함께 서로의 소원에 대해 이야기한 장면에서 이미 충분한 복선이 준비되어 있기도 하고요. 더군다나 '뜻을 나눈 동지로서의 소울메이트'와 '연인 혹은 배우자로서의 소울메이트'가 꼭 일치해야 하는 것은 아니니까요. 작가는 욕을 엄청 먹겠지만서도. 애초에 이런 관점도 소설 속 캐릭터를 사람보다는 관념의 인격화로 여기는 경향이 있는 저 같은 사람들에게나 납득 가능한 결말일테고요.

 

2.1.

"씁쓸한 인생, 커피 정도는 달아도 괜찮겠지"란 말이 유독 기억에 남네요. 아침부터 공복에 블랙커피를 설탕 없이 우겨넣는 것이 일상이 되다보니 웬만한 커피로는 씁쓸함을 못 느끼게 되었거든요. 어른이 된다는 것은 더 이상 커피로부터 씁쓸함을 못 느끼게 된다는 것은 아닐까란 쓰잘데기 없는 잡념만 남아 맴도는군요.

 

2.2.

"예언할게. 너는 취할 수 없어"란 말도 기억에 남습니다. 뭐, 저부터도 취하지 못하는 편에 속하는 인간이니까요. 사실 취하기 전에 전원이 나가는 것이니 뭔가 하려고만 하면 블루스크린을 띄우고 파업하던 예전에 쓰던 컴퓨터에 더 가까운 것일지도 모르겠습니다만.

 

여튼, 술자리에서 솔직한 이야기를 한다는 것은 어쩌면 '취한 사람은 속을 감추지 않는다'란 사회의 고정관념에 기대어 역할극을 한다는 것은 아닐까란, 예전부터 문득 들곤 하던 생각을 다시 해보았습니다. 사람이 작정하고 숨기겠다고 마음먹은 속마음이 그렇게 쉽게 밖으로 나올리는 없겠죠. 누구에게나 누구에게도 드러낼 생각이 없는 마음 정도는 하나씩 가지고 있을거고, 그런 의미에서 사람은 누구나 해소할 수 없는 외로움에 시달리는 외톨이겠죠.

 

2.3.

만년필에 "별은 보는 사람이 있어서 빛나는 것이 아니다"란 글귀를 적으려던 시절이 있었습니다. 어차피 허세인거 라틴어로 하자는 생각이었죠. 그래서 선택한 글귀는 Lucet stellar non videndi causa였으나 만년필에 새겨진 글귀는 Lucet stellar non videndi cause였고, 수령하면서 크리스마스 선물로 오락기를 웠했던 어린이가 선물을 열었을 때 오락기가 나왔는데 원했던 오락기는 아닐 때의 그 감정 비슷한 것을 맛보았습니다. 아무래도 자동 오탈자 수정으로 a가 e로 바뀐거겠죠. 그래서 제가 한 일은 커터칼을 가져다가 e에 얇은 흠집을 내어서 a처럼 보이게 만드는 작업이었습니다. 결국 취향이 좀 더 굵은 만년필로 옮겨가면서 자연스럽게(?) 안 쓰는 만년필 통에 보관되게 되었지만요.

 

계속 생각이 난단 말이죠. 하치만의 관계에 대한 독백을 보고 있자면.

 

2.4.

얼핏 <너의 췌장을 먹고 싶어>를 읽다가 잠시 멈짓하고 책을 덮었던 기억이 났습니다. 학창시절 자신의 물건이 있을 리 없는 곳에서 발견되는 일을 몇 번 겪어본 사람의 사람에 대한 관점은, 그런 일이 없었던 사람의 그것과는 좀 다를 수 밖에 없겠죠.

 

3.

오랜만에 졸립지만 잠은 오지 않는 새벽을 보냈습니다. 모든 불면증이 기분 나쁜 것은 아니고, 개운한 불면증도 존재한다는 것을 알게 된 것은 오랜만의 소득일까요.

  1. 다만 '야 이렇게 얄팍하게 아는데 박사라고 해도 되는거냐?'란 부분에서는 양심이 찔리는군요... [본문으로]
  2. 이번에는 13권까지. [본문으로]

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2019. 6. 17. 03:43 Daily lives

여러가지 잡담들

0.
홍콩의 길거리에서 〈임을 위한 행진곡〉이 불린다는 소식을 들었다. 길거리에 나섰던 홍콩 시민들이 40년 뒤에도 이 날의 기억을 승리의 추억으로 회상하기를 기원한다.

1.
사상적 성향이 사해동포주의에 가까운 것과는 별개로, '그 나라 하면 떠오르는 것은?'이란 질문은 항상 나를 생각에 잠기게 만들었던 질문 중 하나이다. 뭐, 자신의 머리가 생각하는 바와 자신의 가슴이 생각하는 바가 일치하지 않는 경우는 많으니까.

 

가장 자주 볼 수 있는 답은 음식이다. 김치, 스시, 피자, 피쉬 앤 칩스, 맥주 등. 에펠탑과 같이 건축물인 경우도 있고, 캥거루와 같이 동물인 경우도 있다. 상대적으로 드문 답은 추상적인 가치이다. 미국에게는 자유가 있고 프랑스에게는 혁명의 세 정신이 있으며 영국은 전통을 중시하고 독일은 합리성을 추구한다는 이미지가 있다. 식민지배를 경험한 입장에서는 쓴웃음을 지을 수 밖에 없지만 옆나라에서는 와(和)를 추구한다고 하고. 어릴 때는 이렇게 추상적이지만 일상적인 결정을 내릴 때 나아가야 할 방향을 제시해줄 수 있는 가치를 조국의 상징으로 쓸 수 있는 사람들이 있다는 것이 한편으로는 부러웠고 한편으로는 시샘이 났었다. 지금은 좀 덜하지만 그렇다고 해서 일어나는 감정을 밝다고만 표현할 수는 없는 노릇이고.

 

1.1.

흥미로운 점은 이렇게 추상적인 가치를 전면에 내세우는 국가는 제국주의 시절 식민지를 운영해본 경험이 있는 국가가 대부분이라는 것이다. 혈연에 기반한 민족주의를 내세울 수 없었기 때문에 제국을 하나로 묶을 소속감을 제공할 수단을 찾다가 누구나 소속감을 제공해줄 수 있는 정신적인 가치를 고안해낸 것일까? 나로서는 알 수 없다.

 

1.2.

"한없이 높은 문화의 힘"이란 이런 정신적 가치를 이야기하는 것이었을까? 여기에 대해서도 나로서는 알 수 없다.

 

2.

홍콩의 길거리에서 〈임을 위한 행진곡〉이 불린다는 소식을 들었을 때는 복잡한 심정이 들었던 이유이기도 하다. 한편으로는 우리가 걸어온 길이 남에게 용기가 되어줄 수 있다는 것. 다른 한편으로는 그래서 실질적으로 도움을 줄 방법을 떠올리라 하면 도저히 생각나지 않는다는 것.

 

부디 길거리에 나선 사람들이 집에 돌아와 웃으며 가족과 식사할 수 있기를.

 

2.1.

지금은 종교성이 매우 옅은 삶을 살고 있지만 어릴 적 교회를 다니며 들었던 설교 중 아직도 기억에 남는 설교는 죽어서 심판대 앞에 섰을 때 "당신은 어떤 삶을 살아왔나?"란 질문에 대해 무엇이라 대답할 것인지 생각해야 한다는 것이었다. 아주 어린 시절이니 나야 별 생각이 없었지만 당시 모범 답안(?)으로 제시되었던 답변은 아직도 생각난다. "'예수님이었다면 어떻게 했을까?'를 자문해보고 그에 따른다."

 

우리의 삶은 그런 기준점이 될 수 있을까?

 

3.

1만년 뒤에도 인류가 남아있을지는 아직 알 수 없다. 인류가 있다 하더라도, 한국이 남아있을지는 알 수 없다. 만약 1만년 뒤에도 인류가 남아있는다면, 나는 그들에게 우리가 정신적인 가치로 기억되기를 기원한다. 아니, 일상 생활에서 결정을 내릴 때 쓸 수 있는 기준으로 계속 기념되기를 기원한다.

 

-1.

글을 쓰는 데는 시간이 걸린다. 생각을 정리하며 글을 쓰는 동안 홍콩에서는 송환법 입법이 일단 연기되는 것으로 1차적인 승리를 이끌어내는데는 성공했다는 소식을 들었다. 계속되는 투쟁에서도 좋은 소식이 있기를.

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대학원 고전역학에서 다룰만한 내용으로 교수님과 이야기하다가 Dirac bracket 이야기가 나와서 간단(?)하게 트위터에서 주절거렸던 내용을 정리. 해당 타래는 이것.



모든 미분방정식은 충분한 숫자의 변수를 도입하는 것으로 1계미분방정식으로 만들 수 있다. 예컨대 $y''+y=0$이란 미분방정식이 있다면 $x=y'$이란 독립변수 $x$를 도입하여 $x'+y=0$으로 만들 수 있다. 해밀턴역학도 어떤 의미에서는 그런 접근의 연장선상에 놓여있다. 르장드르 변환과도 엮여있기 때문에 좀 복잡한 방식으로 이 과정을 이용하기는 하지만.


트윗 타래에서 설명했듯, 해밀턴역학에서 해밀토니안 함수는 위상공간 위에서의 흐름(flow)을 만들어내는 물체로 생각할 수 있다. 해밀토니안 함수와 그에 대응되는 흐름 혹은 벡터장을 연결해주는 역할을 하는 것이 포아송 괄호(Poisson bracket)이다. 연결 방법은 $H \to \{H,\bullet \}$. 물론 위상공간 위에서의 흐름을 만들어내는 해밀토니안이 실제 계의 동역학과 관계가 있어야 할 이유는 없다. 보다 추상적인 임의의 함수도 포아송 괄호를 통해 위상공간 위에서 흐름을 만들어낼 수 있으며, 일반적으로는 계의 보존량 $Q$를 이용해 이런 흐름을 만들어낼 때 $Q$를 대칭 생성자(symmetry generator)라고 부른다. 이쪽은 운동량 사상(moment map)과 연결되는 방향이지만 이 글의 주제에서는 벗어나니 다음 기회에[각주:1].


임의의 함수는 포아송 괄호를 통해 위상공간 위에서의 벡터장과 대응될 수 있다.


위의 관점은 계의 모든 변수가 독립변수인 경우에는 문제 없이 적용이 가능하지만 계의 모든 변수가 독립변수가 아닌 경우, 즉 제약조건(constraint)이 존재하는 계의 경우에는 위의 관점을 적용하는데 무리가 있다. 이 경우 좌표를 새로 잘 정의해서 새 좌표에서는 모든 변수가 독립변수가 되도록 하는 것으로 위의 관점을 살려내는 방법이 있다. 물론 새 좌표를 찾는다는 것은 원칙상 가능하다는 뜻이고, 이 좌표를 찾는 일이 항상 쉬우리란 보장은 없다. 다른 방법은 디락의 디락 괄호(Dirac bracket)를 도입하는 것.


잠시 원래 이야기에서 벗어나 역사적인 맥락을 살펴보면, 디락이 디락 괄호의 도입을 생각하게 된 이유는 양자전기역학이었다고 한다. 디락은 포아송 괄호를 교환자(commutator)로 교체하는 것으로 고전계를 양자화할 수 있다는 것을 발견했는데, 같은 방법을 전자기학에 적용하려니 뭔가 잘 안 맞는다는 것을 알게 된 것이다. 디락은 가우스 법칙에 의해 전자기장이 가질 수 있는 값에 제약이 생기는 것이 원인이라는 것을 알게 되었고, 제약조건이 있는 계의 포아송 괄호에 해당하는 물체를 어떻게 찾아낼 것인가를 고민한 결과 디락 괄호를 찾아내게 된다.


다시 원래 이야기로 돌아와서, 제약조건이 있다는 뜻은 전체 위상공간 중 그 부분집합에 해당하는 $f_i(\vec{p},\vec{q})=0$을 만족하는 $(\vec{p},\vec{q})$만 실제 계의 상태를 나타낸다는 관점으로도 이해할 수 있다. 일반적으로 해밀토니안에 의해 만들어지는 흐름은 이 제약조건을 만족하는 위상공간 속 부분다양체(submanifold) 위에서 출발하더라도 그 밖을 벗어나게 되리라고 예상할 수 있다.


해밀토니안에 의해 만들어지는 흐름(연두)은 제약조건을 만족하는 부분다양체(연파랑) 위에서 출발하더라도 그 부분다양체 위에서 움직이는 방향(녹색)과 그 부분다양체에서 벗어나는 방향(적색)을 모두 포함한다.


이제 문제는 포아송 괄호를 통해 얻은 해밀토니안 함수에 대응되는 흐름에서 제약조건을 만족하지 못하게 하는 방향의 흐름을 제거하는 것이다. 위의 그림에서 적색 화살표에 해당하는 성분을 제거하는 것이 목표인 셈. 이 목표는 제약조건을 만족하는 경우 0이란 값을 갖는 제약조건에 해당하는 함수 $f_i$들을 적당히 더하는 것으로 이루어진다. $f_i$에 의해 만들어지는 흐름 $\{f_i,\bullet\}$은 일반적으로 0이 아니기 때문. 수식으로 나타내면 다음과 같다.

\[ H \to \{ H, \bullet \}_{\text{Dirac}} = \{ H + c_i f_i , \bullet \} \]


이제 문제는 1. 충분한 숫자의 $f_i$를 찾아서 어떤 방향으로 벗어나더라도 벗어나는 방향을 제거할 수 있을 것 2. 계수들 $c_i$를 결정할 것 두가지로 나뉘게 된다. 첫번째 문제에 대한 답은 제약조건을 primary/secondary constraint와 1st class/2nd class constraint로 분류하는 과정과 관련이 있는데[각주:2] 여기서는 일단 충분한 숫자의 $f_i$들을 구했다고 가정하기로 하자.


디락 괄호는 포아송 괄호에 보정을 가해서 제약조건을 만족시키도록 한 것으로 볼 수 있다.


계수들 $c_i$는 어떤 해밀토니안 함수를 통해 생성된 흐름이더라도 제약조건 $f_i$의 값을 0으로 유지시켜야 한다는 것으로부터 구할 수 있다. 따라서 다음 방정식의 해를 구해야 한다는 뜻이다.

\[ \forall i \,, \{ H, f_i \}_{\text{Dirac}} = 0 \]


이 문제는 다음 가설풀이(ansatz)를 적용해서 풀 수 있다. 이런 가설풀이를 도입하는 이유는 포아송 괄호의 성질들 중 필요한 성질들을 보존하기 위함인데, 그 이야기까지 하기에는 글이 너무 길어지므로 대충 넘어가기로 하자.

\[ c_i(H) = - \{ H, f_j \}M^{ji} \]


위의 가설풀이를 적용하면 이제 풀어야 할 방정식은 아래와 같이 바뀐다.

\[ \{ H, f_i \}_{\text{Dirac}} = \{ H, f_i \} - \{ H, f_k \} M^{kj} \{ f_j, f_i \} = 0\]


고맙게도 위 방정식은 단순한 역행렬 계산으로 풀 수 있다.

\[ M^{ij} \text{ is the solution to } M^{ij} \{ f_j, f_k \} = \delta^i_k \]


이 정도가 디락 괄호의 핵심적인 아이디어에 속한다.

  1. 오스카 와일드의 표현을 따르자면 '다음 기회가 있다면'.(...) [본문으로]
  2. 나도 잘 구분 못한다. 어차피 아이디어를 이해할 때 명칭은 아주 중요한 것은 아니니 대충 넘어가자. [본문으로]
Posted by 덱스터

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  1. Favicon of https://kipid.tistory.com BlogIcon kipid 2019.03.08 10:11 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    수식이 처리가 안되어 보이네요.

입자물리에서 표준모형(standard model)이란 현재 우리가 알고 있는 모형 중 가장 자연을 잘 기술하는 모형을 의미합니다. 물리학에 관심이 있으시다면 들어보셨을 네 개의 힘과 쿼크, 중성미자 등등이 이 표준모형을 구성하고 있죠. 그리고 대부분의 (입자)물리학자들의 꿈은 표준모형을 넘어서는 것입니다. 그래야 교과서에도 기록되고 운이 좋으면 노벨상도 받는 영광을 누릴 수 있을 테니까요. 그렇다면 현재 알려진 가장 정확한 자연에 대한 기술이 실패하고 있는 지점은 어디일까요?


표준모형이 자연을 기술하는데 실패하고 있는 지점은 의외로 많으며, 그 중 하나는 뮤온의 이상자기모멘트(anomalous magnetic moment)입니다. 뮤온은 경입자(lepton)의 하나로, 전자의 무거운 형제라고 생각하시면 얼추 맞습니다. 현재(2018년 12월) 위키백과의 해당 페이지에서 인용하고 있는 측정된 뮤온의 이상자기모멘트는 다음과 같습니다.

\[a_\mu = 0.001~165~920~9(6)\]


반면에 표준모형이 예측하는 뮤온의 이상자기모멘트는 다음과 같죠.

\[a_\mu^{SM} = 0.001~165~918~04(51)\]


두 값은 약 3.5 표준편차만큼의 차이를 보입니다. 3.5 표준편차는 두 값이 실제로 같았을 경우 1/1000보다도 작은 확률로 이런 차이를 보여야 한다는 의미로, 실험이 어딘가 잘못되었거나 우리가 가진 이론이 어딘가 잘못되었을 가능성이 높다는 정황증거가 되지요. 현재 페르미랩(Fermilab)에서는 이 차이가 실존하는지 검증하기 위한 정밀측정 실험이 진행되고 있습니다.




이상자기모멘트가 흥미로운 관측량이라는 것은 알겠는데, 그래서 이상자기모멘트란 무엇일까요? 이상자기모멘트를 이해하기 위해서는 각운동량과 자기모멘트에 대한 이해가 선행되어야 하므로, 우선은 이 둘에 대한 이야기를 해보도록 하죠.


물리학은 정량적인 측정량을 정성적인 측정량보다 우선시하는 학문입니다. 그러므로 다루고자 하는 대상의 특성을 숫자로 만드는 것이 중요하죠. 예컨대 운동량(momentum)이란 물체가 얼마나 격하게 일정한 방향으로 움직이고 있는지 그 양을 계량화한 것을 의미합니다. 같은 물체라도 더 빠르게 움직이고 있다면 더 많은 운동을 하고 있다고 할 수 있으니 더 큰 운동량을 가질 것이고, 같은 속도로 움직이고 있는 두 물체라도 더 무거운 물체가 더 많은 운동을 하고 있다고 할 수 있으니 더 큰 운동량을 갖는 식이죠. 물론 물체는 일정한 방향으로 움직이지만은 않습니다. 팽이와 같이 한 자리에서 뱅그르르 도는 운동을 하는 경우도 있지요. 이런 회전운동을 계량하기 위해 만들어진 물리량이 각운동량(angular momentum)입니다.


각운동량은 자신이 잡은 기준점에 대해 상대적으로 움직이기 때문에 갖는 오비탈 각운동량(orbital angular momentum)과 그 물체가 스스로 회전하기 때문에 갖는 스핀(spin)이란 두 값으로 분류할 수 있습니다. 흥미롭게도 우리가 아무런 내부구조도 없는 순수한 점으로 취급하는 전자와 같은 기본입자들조차 스핀을 가지며, 기본입자들이 어떤 스핀을 가지는가는 우리가 보고 있는 우주의 형성에 큰 영향을 미치고 있습니다. 물론 아무것도 없는 점이 회전하고 있다고 생각할 수는 없으므로 '전자가 회전하고 있다'는 설명을 너무 곧이곧대로 받아들여서는 안되고, '어떤 이유인지는 모르겠으나 전자는 고유한 각운동량을 갖는다'고 이해하시는 것이 좋겠습니다. 이제 이 모든 이야기의 출발점이 되었던 이상자기모멘트로 돌아오면, 이상자기모멘트는 입자가 갖는 스핀으로부터 예상되는 자기모멘트가 그 측정값으로부터 얼마나 벗어나는지를 나타내는 값입니다. 이제 자기모멘트에 대해 이야기할 시간이 되었군요.


자석 중에는 전기의 힘으로 자력을 발휘하는 전자석이란 물건이 있습니다. 전자석은 전하를 가진 물체가 움직여서 전류를 만들면 그 전류에 의해 자기장이 발생하는 원리를 이용한 자석입니다. 물론 대부분의 전자석처럼 전하가 크게 도는 운동을 해야만 자석이 만들어지는 것은 아닙니다. 전하가 제자리에서 뱅글뱅글 도는 것으로도 자석이 만들어질 수 있지요. 이렇게 회전하는 대전된[각주:1] 물체가 자신의 회전운동으로 만들어내는 작은 자석을 계량화한 값이 자기모멘트입니다. 그리고 자기모멘트는 회전운동으로부터 만들어졌으므로, 어떤 물체의 자기모멘트는 그 물체의 스핀과 비례할 것이라고 예상할 수 있습니다. 이 예상을 반영하여 한 물체의 자기모멘트를 그 물체의 스핀으로 나눈 것을 자기회전비율(gyromagnetic ratio)이라고 부르며, 랑데 g 인자(Landé g-factor)는 자기회전비율을 기본입자를 기술하기에 유용한 단위로 측정한 값을 의미합니다. 물론 이 이야기에는 기본입자인 전자나 뮤온도 포함되며, 앞서 잠깐 이야기했듯이 뮤온 자기회전비율의 이론으로 계산한 값과 실험으로 측정한 값 사이의 불일치는 현대물리가 마주하고 있는 가장 큰 문제 중 하나이기도 합니다.




그렇다면 가장 '자연스러운' 자기회전비율은 얼마일까요? 여기에 답하기 위해서는 기본입자들의 스핀에 대해서 좀 더 이해해야 할 필요가 있습니다.


앞서 우리는 기본입자들 또한 스핀을 가질 수 있다는 사실을 배웠습니다. 그렇다면 기본입자들은 아무런 스핀이나 가질 수 있는 것일까요? 물론 여기에 대한 대답은 '아니오'입니다. 현재 알려진 기본입자들은 스핀이 1(글루온/광자/W,Z 보손)이거나 1/2(쿼크/전자/중성미자 등), 혹은 최근 발견되어 누구나 이름은 들어본 적이 있는 힉스 입자처럼 0입니다. 일반적으로 양자역학에 따르면 스핀은 정수(0,1,2 등)거나 반정수(1/2,3/2,5/2 등)를 가져야만 하죠. 여기에서 스핀을 단순한 숫자로 적기는 했지만, 각운동량은 단순한 숫자가 아니라 어떤 단위로 계량되는 값이기에 실제 스핀은 $\hbar$로 쓰는 디락 상수를 단위로 잰 값이라고 생각하셔야 합니다.


흥미로운 점은 기본입자들이 전자기적으로 상호작용한다는 것을 반영하는 최소한의 조건(이를 minimal coupling이라 부릅니다)을 요구할 경우 스핀 1/2 입자를 기술하는 방정식인 디락방정식으로부터 g 인자의 값이 2여야 한다는 결론을 얻게 된다는 것입니다. 앞서 이야기했던 이상자기모멘트란 실제 g 인자의 값이 2에서 얼마나 벗어나는지를 잰 것으로, g 인자의 값은는 양자역학적인 효과에 의해 예측된 값인 2로부터 벗어나게 됩니다. 이상자기모멘트가 적어도 소수점 셋째 자리에서 시작한다는 것은 그만큼 양자역학적인 효과를 무시해도 좋으며, 많은 경우 g 인자의 값을 2로 취급해도 문제가 없다는 것을 의미하죠. 그렇다면 다른 입자의 경우에는 어떨까요?


Belinfante는 디락방정식의 선례를 따라 minimal coupling을 요구할 경우 스핀이 s인 기본입자는 g 인자의 값으로 1/s를 갖는다는 가설을 내놓은 적이 있습니다. s에 1/2를 대입할 경우 우리가 잘 아는 전자나 뮤온의 g=2라는 결론을 얻게 되죠. 그렇다면 다른 스핀을 갖는 기본입자의 경우는 어떨까요? 현재 표준모형에 남아있는 전하를 가지면서 스핀이 1/2이 아닌 입자로는 W 보손이 있으며, W 보손의 g 인자는 2.11[각주:2]정도인 것으로 알려져 있습니다. 그리고 W 보손의 스핀은 1이죠. 따라서 자연스러운 자기회전비율은 g=1/s란 Belinfante의 가설은 벌써부터 반례와 마주하게 되죠. 그래서, 가장 자연스러운 값은 무엇일까요?


W 보손의 g 인자 값이 2에 가깝다는 실험결과에 대해서 들으신 다음이라면 '가장 자연스러운 g 인자의 값은 2가 아닐까?'란 의심을 해볼 수 있겠지요. 흥미롭게도 이 단순무식한 답이 실제 답일 가능성이 높습니다. Holstein은 다음과 같은 정황근거를 제시합니다.[각주:3]


1) 고에너지 콤프턴 산란(Compton scattering)이 좋은 성질을 갖기 위해서 필요한 값이다.

2) GDH 합 규칙(sum rule)이 자연스럽게 측정하는 값이다.

3) 중력자 산란과 광자 산란 사이의 KLT 관계를 자연스럽게 반영하기 위해 필요한 값이다.

4) 열린 끈이론(open string theory)으로부터 예측되는 값이다.

5) 일반상대론에서 전기장의 영향 아래 움직이는 입자의 스핀을 기술하는 BMT 방정식이 가장 간단해지는 값이다.

6) 전하가 있는 회전하는 블랙홀(Kerr-Newman)을 점입자로 취급하는 극한에서 얻는 값이다.


위 목록의 흥미로운 점이라면 중력이 등장한다는 것입니다. 1번과 2번을 제외하면 모두 중력과 접점을 갖고 있습니다; 중력자 산란이나 일반상대론, 블랙홀은 당연히 중력과 떼려 해도 뗄 수 없는 관계이며, 끈이론의 경우에는 닫힌 끈(closed string)을 자연스럽게 고려하면서 닫힌 끈의 한 상태인 중력자를 이야기할 수 밖에 없게 되지요. 표준모형에서는 일반적으로 중력을 다른 힘들과 같은 위치에 두고 다루지는 않기 때문에 은근슬쩍 나타난 중력은 예상 밖의 등장이라고 할 수 있겠습니다. 하지만 예상 밖의 등장이라고 해서 그것이 우연이라고 단정할 수는 없는 법이죠.




이 포스트의 제목인 중력과 자기회전비율의 관계를 이야기하려면 이 관계가 가장 명확하게 드러나는 새로운 기술법으로부터 출발하는 편이 좋겠습니다. 주인공은 스피너-헬리시티 변수(spinor-helicity variable)입니다.


스피너-헬리시티 변수는 우리가 사는 세계인 3+1차원의 세계에서 회전을 기술하는 군인 $SO(1,3)$군이 행렬식이 1인 $2 \times 2$ 복소행렬들의 집합인 $SL(2,\mathbb{C})$군으로 확장될 수 있다는 사실에서 출발합니다. 표준적인 양자역학을 따른다면 우리가 다루는 모든 상태(state)는 이 $SL(2,\mathbb{C})$군의 표현(representation) 중 하나로 수렴해야 하죠. 스피너-헬리시티 변수는 단순히 모든 상태를 $SL(2,\mathbb{C})$군의 가장 기본적인 표현(fundamental representation)과 그 켤레복소수(complex conjugate)에 해당하는 표현만을 이용해 기술하는 것을 의미합니다. 이 모든 전문적인 내용을 이해하지 못하셨다면 단순히 '최대한 군더더기를 없애고 입자들의 상태를 표현하는 방법'이라고 생각하셔도 좋습니다.


최근까지만 해도 스피너-헬리시티 변수는 질량이 없는 입자에 대해서만 그 기술법이 알려져 있었습니다. 이 변수가 질량이 있는 입자에 대해서도 쓸 수 있도록 확장된 것은 채 2년이 지나지 않았죠. 이 변수를 쓰게 되면 여태 이야기한 g 인자와 중력과의 관계를 더욱 쉽게 이해할 수 있게 됩니다. 이제부터 우리가 주로 다룰 문제는 다음 파인만 도표(Feynman diagram)으로 나타낼 수 있으며, 질량이 있는 입자(검은 선)가 질량이 없는 입자(연파랑 물결선)를 방출하는 과정에 대한 산란진폭(amplitude)입니다. 산란진폭이란 산란실험의 중요한 물리량인 산란단면적을 계산하기 위해 필요한 물리량으로, 자세한 설명을 다루기에는 이 글이 너무 길어지므로 다른 글에서 설명하도록[각주:4] 하겠습니다. 또한 산란진폭 업계의 표준을 따라 모든 운동량은 들어오는(incoming) 방향으로 취급하도록 하겠습니다.

입자 셋을 다루는 파인만 도표


자세한 설명은 논문으로 넘기기로 하고 결과만 적어보면, 위와 같은 일반적인 입자 셋의 산란진폭은 다음과 같은 꼴로 적을 수 있습니다. 여기서 질량이 있는 입자는 질량 m에 스핀 s인 입자라고 가정하였으며[각주:5], 질량이 없는 입자의 헬리시티는[각주:6] h로 가정하였습니다.

\[ M_3^{h} = (mx)^h \left[ g_0 \frac{\langle {\bf 21} \rangle^{2s}}{m^{2s-1}} + g_1 x^{1} \frac{\langle {\bf 21} \rangle^{2s-1} \langle {\bf 2} 3 \rangle \langle 3 {\bf 1} \rangle}{m^{2s}} + \cdots + g_{2s} x^{2s} \frac{\langle {\bf 2} 3 \rangle^{2s} \langle 3 {\bf 1} \rangle^{2s}}{m^{4s-1}} \right] \]


이 산란진폭을 보면 총 2s개의 파라메터 $g_i$가 등장하며, 모두 각자의 해석이 존재합니다. 예컨대 질량이 없는 입자의 헬리시티를 h=1로 둘 경우 이 산란진폭은 입자가 전자기적으로 어떻게 반응하는지를 나타내며[각주:7], 첫번째 파라메터인 $g_0$는 입자의 전하량을 결정합니다. 흥미로운 점은 두번째 파라메터인 $g_1$인데, 이 경우 $g_1$은 g 인자를 결정하는 역할을 하며, $g_1$이 0이여야만 g 인자의 값이 2가 됩니다. 어떤 의미에서는 $g_0$만 남기고 나머지 파라메터를 전부 0으로 결정한 $M_3 = x \langle {\bf 21} \rangle^{2s}$이 가장 단순하고 자연스럽다고 할 수 있으니[각주:8] 이런 관점에서도 g=2가 가장 자연스러운 자기회전비율이라고 주장할 수 있겠지요.


위의 산란진폭에서 질량이 없는 입자의 헬리시티를 h=2로 둘 경우 이 산란진폭은 입자가 중력과 어떻게 상호작용하는지를 나타내게 됩니다[각주:9]. 흥미롭게도 중력이 입자의 질량과 상호작용하는 방식이 정해져 있을 뿐만 아니라 스핀과도 상호작용하는 방식이 정해져 있다는 성질에 의해 $g_1$이 0 이외의 값을 가지는 것은 금지되어 있습니다. g 인자가 자연스러운 값 2를 갖기 위해서는 $g_1$이 0이어야 한다는 사실을 의식할 수 밖에 없는 결과이지요. 그리고 실제로도 둘은 관련이 있습니다.




1986년 Kawai-Lewellen-Tye 세 사람은 (끈이론의 맥락 안에서) 중력자를 포함한 산란진폭을 글루온만 있는 산란진폭의 (적절한 처리를 거친) 제곱으로 쓸 수 있다는 사실을 발견합니다. 이를 KLT 관계라고 부르며, 이 관계를 양자효과를 고려한 경우까지 확장한 것을 BCJ(Bern-Carrasco-Johannsson) 관계라고 부릅니다. 이런 관련성은 색-운동학 이중성(colour-kinematics duality), 중력은 양밀 제곱 (GR=YM^2), 혹은 더블 카피 (double copy) 관계라는 이름을 쓰기도 합니다. 위에서 Holstein이 언급한 g=2에 대한 여섯가지 정황증거 중 세번째 정황증거가 이 관계를 이용하죠.


글루온은 양밀이론(Yang-Mills theory)의 스핀 1인 질량이 없는 입자를 지칭하는 말로, 우리가 아는 전자기력의 광자와 닮은 사촌이라고 생각하셔도 좋습니다. 따라서 KLT 관계는 광자를 포함한 산란진폭을 적절한 처리를 거쳐 제곱하면 중력자를 포함한 산란진폭으로 바꿀 수 있다는 것을 의미한다고 볼 수 있지요. 어째서 KLT 세 사람이 이런 관련성을 알아내게 되었는지 이해하기 위해서는 끈이론에서 중력과 양밀이론이 어떻게 구현되는지 알아야 합니다.


끈이론에서 입자는 끈의 각기 다른 진동 모드로 구현됩니다. 진동 모드란 끈이 얼마나 격하게 진동하는가를 나타내는 것으로, 대체로 진동이 격해질수록 그 진동 모드에 해당하는 입자의 질량과 스핀이 증가하게 됩니다. 둘은 진동이 격해짐에 따라 서로 비례해서 증가하는 모습을 보이는데, 이를 레제 궤적(Regge trajectory)이라고 부릅니다. 레제 궤적은 핵물리 발전 초창기에 강한 핵력을 통해 상호작용하는 입자들의 스핀과 질량 사이에 선형(linear)[각주:10] 관계가 존재한다는 관찰을 바탕으로 세워진 가설인데, 끈이론의 태동기에는 끈이론이 레제 궤적을 만들어낸다는 사실 때문에 많은 사람들이 끈이론을 가망있는 핵물리 모형으로 여기고 뛰어들게 되었죠.


각기 다른 진동 모드. N이 클 수록 격렬하게 진동하고 스핀과 질량이 증가한다.



끈이론에서 다루는 끈의 종류는 크게 두가지로 나눌 수 있습니다; 열린 끈(open string)과 닫힌 끈(closed string)이죠. 열린 끈은 신발끈처럼 양 끝이 이어져 고리를 이루지 않는 끈을 지칭하며, 닫힌 끈은 고무줄처럼 양 끝이 이어져 고리를 이루는 끈을 말합니다. 열린 끈의 경우 질량이 없는 입자에 해당하는 진동 모드 중에는 스핀이 1인 진동 모드가 포함되며, 닫힌 끈의 경우 질량이 없는 입자에 해당하는 진동 모드 중에는 스핀이 2인 진동 모드가 포함됩니다. 따라서 열린 끈의 경우에는 질량이 없고 스핀이 1인 입자가 등장하고 닫힌 끈의 경우에는 질량이 없고 스핀이 2인 입자가 등장합니다. 질량이 없고 스핀이 1인 입자로는 글루온과 광자가 있고, 질량이 없고 스핀이 2인 입자는 중력자로 유일하다는 것이 알려져 있습니다. 따라서 열린 끈을 다루게 되면 질량 없는 스핀 1 입자가 필요한 양밀이론을 포함하게 되며, 닫힌 끈을 다루게 되면 질량 없는 스핀 2 입자가 필요한 중력을 포함하게 되지요.


흥미로운 점은 열린 끈 두 개를 가져다가 양 끝을 이으면 닫힌 끈을 만들 수 있다는 것입니다. 그리고 이런 관계에서 양밀이론의 산란진폭을 제곱하면 중력이론의 산란진폭을 얻을 수 있다는 KLT 관계가 유도됩니다. 닫힌 끈의 산란진폭은 열린 끈의 산란진폭 한 쌍을 가져다가 곱한 것으로 이해할 수 있으므로, 중력이론의 산란진폭은 양밀이론의 산란진폭 한 쌍을 가져다가 곱한 것으로 이해할 수 있다는 것이지요.


열린 끈 둘의 끝을 잇는 것으로 닫힌 끈을 만들 수 있으며, 이 성질은 KLT 관계의 근간이 됩니다.


이 모든 이야기가 앞서 도입한 스피너-헬리시티 변수와 무슨 관계가 있을까요? 우리는 입자 셋의 산란진폭에는 총 2s개의 파라메터 $g_i$가 등장할 수 있으며, 그 중 $g_1$은 광자/글루온과의 상호작용의 경우 g 인자와 밀접한 관계를 맺고 중력자와의 상호작용의 경우 항상 사라져야 한다는 것을 배웠습니다. 만약 이 입자가 광자/글루온과의 산란진폭을 제곱하는 것으로 중력자와의 산란진폭을 얻을 수 있는 KLT 관계를 만족하게 된다면 광자/글루온 산란진폭의 $g_1$은 중력자 산란진폭의 $g_1$으로 변하게 됩니다. 그런데 중력자 산란진폭의 $g_1$은 항상 0이어야 한다는 것이 알려져 있으므로 이 입자의 광자/글루온 산란진폭의 $g_1$ 또한 0이어야 한다는 결론을 내릴 수 있으며, 이로부터 이 입자의 g 인자는 항상 2란 값을 만족해야 한다는 사실을 알 수 있습니다. 어떤 의미에서는 중력이 g 인자의 값이 2가 되도록 강제한다고 할 수 있는 것이죠.




우리는 자기회전비율이라는 입자의 전자기장과 상호작용하는 방식을 나타내는 한 파라메터가 전자기력과는 전혀 상관없어 보이는 중력과의 상호작용과 어떻게 연결될 수 있는지 알아보았습니다. 그리고 그 관계를 가장 명확하게 드러내는 방법은 최근에 개발된 표기법인 스피너-헬리시티 변수라는 것도 알게 되었죠. 이 새로운 도구는 우리에게 어떤 도움을 줄 수 있을까요?


미래를 예단하는 것은 멍청한 헛소리를 하는 가장 빠른 지름길이므로 여기서는 무엇을 할 수 있을지 조심스러운 전망을 내놓기보다는 이미 알려진 흥미로운 결과를 이야기해보려고 합니다. 중력과의 가장 '단순한' 상호작용이지요.


스피너-헬리시티 변수로 쓸 수 있는 가장 단순한 중력자와의 상호작용은 다음과 같습니다.

\[ M_3 = x^2 \langle {\bf 21} \rangle^{2s} \]


그리고 중력이 있는 계에서 가장 단순한 물체는 아무런 특징이 없는 (no hair) 블랙홀이라는 사실이 알려져 있죠. 따라서 이 산란진폭이 블랙홀과 중력자의 상호작용을 나타내는 것은 아닐까 가설을 세워 볼 수 있겠죠. Arkani-Hamed는 그 가설이 실제로 밝혀진다면 흥미로울 것이라고 이야기한 적이 있습니다. 블랙홀이 '기본입자'처럼 반응한다는 것을 의미한다면서요. 그리고 실제로도 이 산란진폭이 (고전적인 크기의 스핀을 갖는) 블랙홀의 산란진폭과 일치한다는 것을 보일 수 있습니다. 위에서 Holstein이 언급한 '블랙홀의 g 인자는 2다'란 명제를 생각해본다면, 어쩌면 이 사실은 그리 놀라운 일이 아닐지도 모릅니다. 하지만 스피너-헬리시티 변수라는 새로운 도구가 없었더라면 우리는 이 그렇게까지는 놀랍지 않은 일을 알 길이 없었겠지요. 이 새로운 도구가 어떤 길로 우리를 안내하게 될 지 기대하게 되는 이유이기도 합니다.

  1. 대전된 물체는 전체적으로 전하를 가진 물체를 말합니다. [본문으로]
  2. loop effect라 불리는 양자효과를 고려한 값으로, 양자효과를 제하면 남는 값은 정확히 2입니다. https://arxiv.org/pdf/hep-ex/0209015.pdf [본문으로]
  3. 이 목록에는 등장하지 않지만, 대부분의 초대칭이론의 경우에도 g 인자의 값이 2로 고정된다는 사실이 알려져 있습니다. 또 다른 강력한 정황증거인 셈이죠. [본문으로]
  4. 끈이론 개론 시리즈의 2편이 산란진폭을 다룰 예정입니다. [본문으로]
  5. 때때로 중요하지 않다고 생각되면 수식에서 질량을 나타내는 m을 생략하겠습니다. [본문으로]
  6. 헬리시티는 질량이 없는 입자의 스핀을 말합니다. 질량이 없는 입자의 경우 스핀의 방향을 뒤집을 수 없기 때문에 특별히 헬리시티란 이름을 붙입니다. [본문으로]
  7. 광자의 스핀이 1이기 때문에 일어나는 현상입니다. [본문으로]
  8. 이렇게 $g_0$만 남기고 다른 파라메터를 전부 0으로 날려버리는 선택은 질량이 없는 극한으로 아무런 문제 없이 보낼 수 있는 유일한 선택지이기도 합니다. [본문으로]
  9. 중력자의 스핀이 2이기 때문에 일어나는 현상입니다. [본문으로]
  10. 비례관계를 보다 전문적으로 일컫는 말이라고 생각하시면 됩니다. [본문으로]
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얼마 전에 했던 삽질 관련 내용 정리.



이 잘 알려진(하지만 나는 몰랐던) 상식을 증명하는 방법은 Schwarz-Christoffel transform을 이용하는 것. 이 변환은 복소평면의 윗 반평면(upper half plane)을 다각형의 내부로 보내는 등각변환이다. 완전한 등각변환이라고 하기에는 꼭지점에서의 등각성이 깨지긴 하지만 그 정도는 무시하기로 하고(...). 2차원 이상유체 문제나 도파관 문제를 풀 때 이 변환을 이용하는 경우가 있는데, 요즘 물리과에서는 보통 풀 일이 없는 문제들이라 생소한 사람들도 많을듯. 구체적인 설명은 위키백과의 해당 항목으로 넘기기로 하자.


Schwarz-Christoffel map이 하는 일. 변수 z에서의 upper half plane을 등각성을 유지한 상태로 변수 w에서의 다각형 내부로 보낸다.


이 변환을 통해 증명하고 싶은 것은 'open string disk amplitude에서 vertex operator를 집어넣는 점들 중 일부가 한 점으로 수렴하고 이 점들을 a1, a2, ...으로 쓰기로 하자. 한 점으로 수렴하는 극한의 산란진폭은 a1, a2, ...에 해당하는 입자들이 산란하는 산란진폭과 나머지 입자들이 산란하는 산란진폭에 해당한다'는 주장인데, 다르게 이야기하면 'a1, a2, ... , c가 산란하는 진폭과 c, b1, b2, ...(b1, b2, ...는 vertex operator들 중 a1, a2, ...에 해당하지 않는 나머지)가 산란하는 진폭으로 나누어지며 그 사이를 c에 해당하는 상태가 진행하는 극한에 해당한다'가 된다. 단순히 말하면 c에 해당하는 internal propagator가 on-shell에 가까워져서 먼 거리를 이동한다는 이야기.


편의상 4ptc scattering을 생각하기로 하고 t-channel이 on-shell로 가는 극한을 생각하자. 이때 $SL(2,R)$를 이용해 vertex operator를 집어넣는 점 셋을 고정할 수 있다. 정석적인 선택은 $(0,\sigma,1,\infty)$. 따라서 다음 그림과 같은 형태의 Schwarz-Christoffel map을 찾는 것이 목표가 된다.


t-channel에서 intermediate state가 on-shell에 가까워지면 먼 거리를 이동하는 극한과 동등하다는 것을 보이기 위해 필요한 Schwarz-Christoffel map


여기서 $\bar{\sigma_1}$은 왼쪽의 꺾이는 점(혹은 1번과 4번 string이 intermediate state에 해당하는 string으로 합쳐지는 점)에 해당하고 $\bar{\sigma_2}$는 오른쪽의 꺾이는 점(혹은 intermediate state에 해당하는 string이 2번과 3번 string으로 갈라지는 점)에 해당한다. 이제 위 그림에서 $\sigma \to 1$의 극한이 $f(\bar{\sigma_2}) \to +\infty$로 가는 극한, 즉 $\bar{\sigma_1}$에 해당하는 점에서 $\bar{\sigma_2}$에 해당하는 점까지 이동하는 거리가 무한히 늘어나는 극한과 일치한다는 것을 보이면 된다. 이 변환은 다음 미분방정식의 해로서 주어진다.

\[ f'(z) = A (z-x)^{1}(z-0)^{-1}(z-\sigma)^{-1}(z-[\sigma + a(1-\sigma)])^{1} (z-1)^{-1} \]


이 식은 다음과 같이 분수들의 합으로 정리할 수 있다.

\[ f'(z) = A\left\{ \frac{\alpha}{z-0} + \frac{\beta}{z-\sigma} + \frac{\gamma}{z-1} \right\} \]


약간의 Mathematica 계산을 통해[각주:1] $\alpha = \frac{-x(a\sigma - a - \sigma)}{\sigma}$, $\beta=\frac{a(\sigma - x)}{\sigma}$, $\gamma = (1-a)(1-x)$가 된다는 것은 금방 확인할 수 있다. 영 못 믿겠으면 손으로 계산하는 것도 방법. 여기서 $a$와 $x$가 고정되어 있다면 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 모두 유한한 값으로 고정된다는 것을 알 수 있다. 적분은 단순한 $1/z$의 적분이므로 바로 계산이 가능하다. 단, 복소변수이기 때문에 약간의 주의가 필요. Argument를 결정하는 branch cut은 편의상 -Im(z)축 방향으로 뻗도록 하는 것이 좋다.

\[ f(z) = A\left\{ {\alpha}\text{Log}z + {\beta}\text{Log}(z-\sigma) + {\gamma}\text{Log}(z-1) \right\} + B \]


state 1은 $-A\alpha$방향, state 2는 $-A \beta$방향, state 3는 $-A \gamma$방향, state 4는 $A(\alpha+\beta+\gamma) = A$방향에 위치한다는 것을 알 수 있다. 그러므로 위의 그림에 맞게 $A$의 값을 정하면 $A<0$이 된다. 이제 string worldsheet이 갈라지는 점들($f(\bar{\sigma_1})$과 $f(\bar{\sigma_2})$)의 위치를 살펴보자. 여기서 중요한 것은 Im(w)축상의 위치가 아니라 Re(w)축 방향의 거리이므로 Log의 argument에 해당하는 항은 잠시 무시해도 좋다. 우선 왼쪽의 합쳐지는 점의 위치를 구하면 다음과 같다.

\[ f(\bar{\sigma_1}) = A \left\{ \alpha \log |x| + \beta \log |x-\sigma| + \gamma \log |x-1| \right\} + i \cdots + B \]


오른쪽의 합쳐지는 점의 위치는 다음과 같이 주어진다.(수식이 약간 깨지는데 중요한 부분은 다음 문단에 있으므로 굳이 편집하지는 않겠다)

\[ f(\bar{\sigma_2}) = A \left\{ \alpha \log |\sigma + a(1-\sigma)| + \beta \log |a(1-\sigma)| + \gamma \log |(a-1)(1-\sigma)| \right\} + i \cdots + B \]


$\sigma \to 1$의 극한에서 발산하는 항만 모아보면 다음과 같다.

\[ f(\bar{\sigma_2}) = A \left\{ \beta \log |(1-\sigma)| + \gamma \log |(1-\sigma)| \right\} + \cdots \]


참고로 이 극한에서는 $\beta + \gamma \to 1 - x$이기 때문에, 오른쪽의 갈라지는 점은 $+\infty$의 방향으로 밀려나는 것이 맞다(부호를 $x<0$와 $A<0$로 결정했기 때문). 여기서 발산하는 항들은 전부 로그에 들어가는 값이 0으로 수렴하는 극한 때문에 등장했으므로, 이런 현상은 4ptc scattering에만 국한된 것이 아니라 일반적인 산란 상황에서도 관찰할 수 있을 것으로 기대할 수 있다. vertex insertion point가 모이게 되면 amplitude factorisation이 되는 극한, 혹은 intermediate state가 long distance propagation을 하는 IR divergence가 있는 극한으로 생각할 수 있다는 의미.


$\sigma \to 1$ 극한은 두 갈라지는 점 사이의 거리가 무한이 멀어지는 극한으로 생각할 수 있다


다만 이 논증은 worldsheet에서의 이야기이고, 실제 target space로 바로 연결되지는 않는다. 하지만 induced metric을 생각해보면 worldsheet상에서의 거리가 무한히 멀어지는 것과 target space상에서의 거리가 무한히 멀어지는 것은 비슷하다고 봐도 무방해 보인다.

  1. Apart 함수를 쓰면 된다. [본문으로]
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  1. 진민서 2018.09.16 01:39  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    wlsalstj0321@naver.com 저는 지금 학생이구요! 제가 블로그를 운영하게 되면 IT, 정보보안,컴퓨터 쪽으로 제가 블로그를 운영하게 된거 같아요!!! 제가 블로그를 운영하게 되면 같이 정보도 공유하고 같이 소통할수 있었으면 좋겠어요!!! 제글 읽어주셔서 감사합니다!! 초대장이 없어서 블로그를 운영하지 못하고있어요 ㅜㅜㅠ 초대장 보내주시면 같이 소통도하고 지낼수 있을거 같아요!! 감사합니다

  2. Favicon of http://no1gs.co.kr/ BlogIcon 강남 2018.09.16 21:15  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    잘보고 가요!!!

  3. 예나아빠 2018.10.17 14:48  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    안녕하세요. 깔끔하게 양질의정보로만 블로그를 꾸려나가시네요.. 워너비입니다.
    저는 평범한 직장인이구요.
    블로그를 시작해보려는데 번잡한 네이버보다는 티스토리가 좋을것 같아
    티스토리 초대장을 보내주실수 있을까 해서 댓글 남깁니다.

  4. twistors105 2018.11.02 11:46  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    유도 잘 봤습니다. 4pt amplitude에서 world-sheet integrand를 unintegrated vertex operator가 꼽힌 점 하나를 골라서 그 점 근처에서 전개해서 적분하면 나오는 internal propagator를 world-sheet 상에서 시각화 하신 것 같은데 world-sheet integrand로 부터 low energy effective amplitude를 (적분 안하고) 찾는데 도움이 될 것 같네요. 또한, 4개의 punctures가 있는 구의 moduli space의 boundary에서 일어나는 상황을 world-sheet에서 물리적으로 이해하는데도 도움이 될 것 같네요. 재밌게 잘 봤습니다. one loop (torus)에서 tau가 i \times \infty로 가는 상황도 비슷하게 world-sheet 상에서 이해할 수 있을지 궁금해지네요. 재밌게 잘 봤습니다.

    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2018.11.03 15:02 신고  댓글주소  수정/삭제

      1-loop에서 tau가 + i \infty로 가는 극한은 string이 string length에 비해 아주 먼 거리를 이동하는 극한 혹은 particle approximation에 해당하는 극한으로 이해할 수 있습니다. Bern-Kosower rule이 이 관찰에서 유도되었다고 알고 있어요.

지도교수님과 회식을 하던 도중 이런 이야기가 나왔습니다.

최근 들어 논문 원고만 쓰고 블로그는 방치해뒀다는 약간의 자책감과 글을 쓰지 않는 버릇을 들이다가는 생각하는 법도 잊어버린다는 약간의 위기감과 연구에 진척이 나질 않는데 잠시 숨을 돌려볼까 하는 약간의 일탈감에 힘입어 오랜만에 글을 써 볼까 키보드를 잡았습니다. 주제는, 교수님의 이야기에서 아이디어를 얻어, 제 전공이 있는지조차 모르는 사람들을 위한 안내서가 좋겠다 싶었죠. 제가 제 전공에 대해 글을 쓸 정도로 제 전공을 잘 아느냐고 물으신다면 양심의 가책은 느끼겠지만, 그런 것에 전혀 구애받지 않고 배짱으로 들이대는 것이 젊음의 특권 아니겠습니까(?)


이제부터는 나이를 묻거든 얼굴에 철판을 깔고 살기로 했습니다


과거 인기를 끌었던 사극 중 <태양인 이제마>가 있습니다. 사상의학의 개척자 이제마의 일대기를 다룬 드라마였는데, 드라마 중간에는 양의학을 접한 이제마가 다음의 말을 하는 장면이 있습니다.

"양의학은 부분을 깊게 살펴 빠르게 효과를 보지만 전체를 고려하지 않아 근본적인 대책이 되지는 못한다"(기억에 의존한 대사라 정확하지 않을 수 있습니다)

인터넷의 영원한(?) 떡밥 중 하나인 '한의학과 양의학 중 어느 쪽을 믿을 것인가'란 질문은 잠시 제쳐두고, '부분을 깊게 살핀다'는 말에 초점을 맞춰보겠습니다.


'부분을 자세히 파고들어 전체를 이해해보겠다'는 접근방식을 환원주의(reductionism)라 부릅니다. 예컨대 시계가 어떻게 작동하는지 알고 싶다면 시계를 구성하는 톱니바퀴들 사이의 관계를 이해하면 된다는 것이지요. 환원주의는 근대과학의 주된 구심점으로 작동했습니다. 현실 세계는 복잡하지만 현실 세계에서 '중요하지 않은 부분'을 쳐내고 나면 보다 단순한 현상으로 환원되고, 환원된 단순한 현상은 우리가 충분히 이해할 수 있으며, 단순화된 현실을 다루는 것으로 얻은 지식을 현실 세계로 다시 외삽하면 현실 세계를 이해할 수 있다는 것이 과학의 근간이었으니까요. 20세기부터 이어진 근대과학의 눈부신 성장을 보면 이런 접근법이 매우 성공적이었다고 평할 수 있겠죠.


입자물리, 혹은 고에너지물리는 이런 환원주의의 끝에 놓인 학문 중 하나입니다. 예로부터 사람들은 자신을 둘러싼 세계를 이해하고자 노력했습니다. 각종 신화 및 설화를 살펴보면 '왜 번개가 치는가?' 혹은 '왜 무지개가 생기는가?'와 같은 질문에 대한 답을 어렵지 않게 찾을 수 있다는 것이 그 방증이지요. 그리고 (어떤 의미에서는 지나치게) 성공적이었던 환원주의를 이 런 문제들에 적용해보는 사람들이 나타나는 것은 필연이라 할 수 있겠지요. 환원주의에 따르면 우리는 우리를 둘러싼 세계를 보다 작은 부분으로 나누어 그 작은 부분을 이해하는 것으로 원래 이해하고자 했던 세계를 이해할 수 있습니다. 이렇게 계속 세계를 작은 부분으로 나누어 나가다 보면 물질의 구성 요소라 여겨지는 소립자들을 이해하는 문제와 마주하게 됩니다. 소립자물리, 혹은 입자물리를 환원주의의 끝에 놓인 학문이라 부르는 것은 이러한 맥락에서입니다. 입자물리학의 성배를 최종이론(final theory), 혹은 모든 것의 이론(TOE; Theory Of Everything)이라 부르는 것 또한 이 연장선상에 있습니다.




입자물리는 고에너지물리라고도 부릅니다. 물리학자들이 작은 물체들의 행동을 가장 정확하게 묘사한다고 믿는 양자역학에 따르면 보다 작은 것을 보기 위해서는 보다 높은 에너지를 필요로 하므로, 가장 작은 것을 보고자 한다면 가장 높은 에너지를 이용해야만 하기 때문입니다. 그리고 실제로는 입자가 아닌 것들 또한 다룬다는 점에서 고에너지물리라는 명칭이 보다 정확하다고도 할 수 있지만, 용어의 혼동을 방지하고자 이 글에서는 입자물리라는 이름을 계속 사용하도록 하겠습니다.


입자물리는 그 이름이 시사하듯이 입자들의 행동을 다룹니다. 그렇다면 먼저 입자가 무엇인지 정의하는 것이 필요하겠지요. 양자역학이 등장하기 이전까지 물리학자들이 세계를 바라보는 관점에 커다란 영향을 미쳤던 뉴턴의 입장을 따른다면 입자는 하나의 점이고, 따라서 점입자(point particle)이란 용어를 쓰기도 합니다. 기하학에서 다루곤 하는 '크기와 부피를 갖지 않는 추상적인 점'이 바로 입자라는 것이지요. 물론 이 정의는 '얼마나 공간을 차지하는가'의 관점에서 주어지는 것으로, 점입자는 다른 물리적인 성질 즉 질량이나 전하와 같은 성질은 얼마든지 가질 수 있습니다. 또한 우리가 책을 한 권, 두 권 세는 것처럼 입자도 한 개, 두 개 셀 수 있지요. 이런 입자의 정의는 직관적으로는 잘 와닿기는 하지만 실제 연구를 하는 사람들에게 있어서는 충분히 세밀하지 못하다는 단점이 있습니다.


보다 현대적인 입자의 정의는 헝가리 출신 미국 물리학자 유진 위그너(Eugene Wigner)에 의해 정립되었습니다. 위그너 분류법(Wigner classification)은 다음과 같은 아이디어를 따릅니다.


1. 이론상 어떤 물체의 에너지와 운동량은 정확하게 측정할 수 있다. 그러므로 물체의 에너지와 운동량을 기본적인 변수로 잡자.

1'. (특수)상대론에 따라 에너지와 운동량을 조합하여 질량을 정의한다.

2. 어떤 물체든 그 물체를 회전시키면 그 회전에 반응한다[각주:1]. 물체의 운동량을 변화시키지 않고 물체를 회전시켰을 때 물체가 반응하는 방식을 따라 같은 운동량을 갖는 물체를 분류하자.

2'. 회전에 반응하는 방식을 스핀으로 정의한다.


운동량이라는 개념이 생소할 분들을 위해 운동량을 약간 설명해보자면, 운동량이란 말 그대로 '물체가 얼마나 많은 양의 운동을 갖고 있는가?'를 계량화한 것입니다. 같은 속도로 달리는 소형차와 거대한 트럭을 비교하면 거대한 트럭 쪽(무거운, 혹은 질량이 큰 쪽)이 보다 많은 운동을 갖고 있다고 할 수 있습니다. 또한 같은 소형차라고 해도 보다 빠르게 달리는 소형차가 보다 많은 운동을 갖고 있다고 할 수 있지요. 뉴턴의 입장에서는 이 두 관찰 결과를 반영하여 운동량을 질량과 속도의 곱으로 정의합니다. 운동량의 현대적인 정의는 이와는 조금 차이가 있지만 필요 이상으로 길어지게 되므로 이 정도에서 설명을 마치겠습니다.


정리하자면 현대적인 입자의 정의에서는 입자를 다음과 같은 것들에 의해 무엇인지 식별할 수 있는 대상으로 봅니다; 운동량 및 에너지가 몇인가(질량이 몇인가), 그리고 스핀은 몇인가. 이 과정을 통해 분류한 입자 한 개 한 개를 모아 입자 여러개를 묘사하는 것 또한 가능하다고 여깁니다. 물론 이 관점에서는 뉴턴의 입장에서와 마찬가지로 '전하가 몇인가'란 질문을 통해 서로 다른 입자를 식별할 수 있는 여지는 남아 있습니다. 하지만 이 정의에 '입자의 크기는 얼마이고 위치는 어디인가?'란 질문이 비집고 들어올 틈은 보이지 않죠. 그렇다고 입자의 크기나 위치를 묻는 질문이 의미가 없다고는 할 수 없습니다. 분명히 모든 존재하는 것은 어딘가 공간을 조금이라도 차지하고 있으니까요.




'입자의 크기가 무엇인가?'란 질문에 답하려면 '입자의 크기는 어떻게 측정하는가?'를 묻는 것이 더 나을 수도 있습니다. 이렇게 어떤 개념을 그 개념을 얻어내는 과정을 이용하여 정의하는 것을 조작적 정의(operational definition)라 부릅니다[각주:2]. 입자의 크기는 어떻게 측정할 수 있을까요?


우리는 손에 닿지 않는 물건의 크기를 가늠하는데 눈을 사용하곤 합니다. 눈이 하는 역할은 그 물건의 표면에서 반사된 빛을 잡아채는 것이지요. 그리고 이 과정을 다르게 표현하면 빛과 물건이 충돌을 일으킨 뒤 튕겨져 나온 빛을 관찰하는 것이라고 할 수 있습니다. 비슷한 방법을 입자의 크기를 측정하는 데 써볼 수 있습니다. 각기 다른 입자끼리 충돌시켜 보는 것이죠. 이처럼 입자와 입자를 충돌시키는 실험을 산란실험이라고 부릅니다. 가장 기본적이고 가장 투박하면서도 그에 걸맞지 않을만큼 강력한 실험이지요. 최근 힉스 입자의 발견으로 (약간의 희망을 담아 멋대로 수식어를 붙여본다면) 대중에게 널리 알려진 LHC에서 하는 실험도 이런 종류의 실험입니다. 그 이름(Large Hadron Collider; 큰 강입자 충돌기)이 암시하듯 LHC에서는 물리학자들이 강입자라고 분류하는 입자들을 매우 빠르게 가속시켜 서로 충돌시키는 실험을 하고 있습니다. 강입자는 나중에 이야기의 주연으로 등장하게 되지만 강입자에 대해서는 그 때 설명하기로 하죠.


산란실험은 반복수행을 염두에 두고 설계된 실험입니다. 작고도 작아 정확한 제어가 힘든 소립자들을 이용해야 하는 실험이라는 점이 반영된 셈이죠. 이렇게 반복수행을 염두에 두고 설계된 실험에서는 총 반복한 실험 횟수에 대하여 어떤 결과가 몇 번 얻어졌는지 그 비율을 관측하는 것이 실험의 목적이 됩니다. 그리고 이 비율은 입자의 '크기'를[각주:3] 정의하는 기준이 됩니다. '큰 물체일수록 더 많은 빛을 반사한다'란 일상생활에서의 관찰 결과를 소립자의 세계까지 확장한 것이지요. 재미있게도 산란실험은 '입자가 어디에 위치하고 있는가'에 대한 부분적인 답 또한 줍니다. 한 입자가 다른 입자와 충돌을 일으켰다면, 두 입자는 서로 같은 위치를 지나친 것이니까요. 어떻게 보면 당연해 보이는 '같은 위치를 지나쳐야만 충돌을 일으킨다'는 성질은 사실 상당히 강력한 제약이 됩니다. 이에 대해서는 다음 글에서 이야기하도록 하겠습니다.


물리학자들은 산란실험으로 결정되는 '크기'를 산란단면적(scattering cross-section)이라 부릅니다. 현대 입자물리학 역사의 큰 줄기는 산란실험으로 얻은 산란단면적의 정보로부터 이 산란단면적과 일치하는 예측치를 주는 이론을 역추적하는 일과 주어진 이론으로부터 원하는 산란과정에 해당하는 산란단면적을 계산해내는 일로 요약할 수 있을 정도로 산란단면적은 입자물리학에서 거대한 주축을 담당하고 있습니다. 끈이론은 이 거대한 주축으로부터 탄생했습니다.


연관글:


비전공자를 위한 끈이론 개론(2) - 산란행렬의 계산 (작성중)

비전공자를 위한 끈이론 개론(3) - TBA (작성 예정?)


  1. 여기서 반응이라는 것은 '책상 위의 책을 뒤집으면 더 이상 앞면이 보이지 않고 보이지 않던 뒷면이 보이는 것'처럼 그 물체를 기술하는 방법이 바뀐다는 것을 의미합니다. [본문으로]
  2. 보다 물리학, 특히 고전역학에 익숙한 독자들을 위해 약간의 설명을 덧붙이자면, '힘을 받지 않는 물체가 등속운동하는 기준계'가 관성기준계에 대한 일반적인 정의라면 '힘을 받지 않는 물체들을 각기 다른 방향으로 던져 그 물체들이 등속운동을 하는 것으로 보이도록 잡은 좌표계'가 관성기준계의 조작적 정의에 해당합니다. [본문으로]
  3. '크기'에 따옴표를 친 이유는 크기를 (조작적으로) 정의하는 다양한 방법이 있을 수 있기 때문입니다. 대부분의 경우 크기에 대한 각기 다른 정의는 물체의 크기에 대해 다른 답을 줍니다. 다양한 크기의 정의법을 보고 싶으신 분은 이 글을 참고하시면 좋겠습니다(링크된 글에서 전자의 크기를 정의하기 위해 사용하는 조작적 정의들은 이 글에서 사용한 정의와는 차이가 있습니다). [본문으로]
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전하와 자하를 동시에 두면 이로부터 만들어지는 전자기장이 각운동량을 갖는다는 사실은 잘 알려져 있다. 처음으로 이 계산을 한 것이 톰슨이었다던가. 이 계산은 각운동량의 양자화로부터 전하와 자하의 양자화를 유도해내는 과정인 Dirac quantisation 혹은 Dirac-Schwinger-Zwanziger quantisation을 정당화하는데 이용되기도 한다.


여튼, 정석적인 계산방법은 전하를 원점에, 자하를 적당한 z축상의 한 점에 둔 뒤 원통좌표계를 써서 각운동량을 계산하는 것인데 이 방법 말고 벡터미적분학을 적절히 이용해서 쉽게(?) 계산하는 방법이 있다. 이 방법이 있다는 것은 알고 있었는데 정확한 과정을 떠올리는데 만 하루가 걸리고 나니 조금 슬프지만.


먼저 전하를 원점에, 자하를 $\vec{r'}$에 두자. 그리고 다음과 같이 벡터 $\vec{\rho} := \vec{r} - \vec{r'}$를 정의한다. 전하와 자하가 만들어내는 전자기장은 다음과 같이 계산할 수 있다.

\[ \vec{J} = \int \vec{r} \times \vec{P} = \int \vec{r} \times \left( \vec{E} \times \vec{B} \right)  \]


전기장과 자기장을 쓰기 위한 단위계는 cgs를 택하기로 한다.

\[ \vec{E} = \frac{e \vec{r}}{r^3} \] \[ \vec{B} = \frac{g \vec{\rho}}{\rho^3} \]


실제 계산에 문제가 되는 항은 다음 항이다.

\[ \frac{\vec{r} \times ( \vec{r} \times \vec{\rho})}{r^3 \rho^3} \]


벡터 삼중곱을 쓰면 이 항은 다음과 같이 쉽게 정리할 수 있다.

\[ \frac{\vec{r} \times ( \vec{r} \times \vec{\rho})}{r^3 \rho^3} = \vec{r} \frac{ \vec{r} \cdot \vec{\rho}}{r^3 \rho^3} - \frac{\vec{\rho}}{r \rho^3} \]


이제부터 벡터미적분학의 묘미가 시작된다. 다음 등식은 어렵지 않게 증명 가능하다.

\[ (\nabla \phi) \cdot (\nabla \varphi) = \nabla \cdot (\phi \nabla \varphi) - \phi \nabla^2 \varphi \]


이 식을 $\vec{a}/a^3$꼴의 식에 적용한다.

\[ \frac{ \vec{r} \cdot \vec{\rho}}{r^3 \rho^3} = \nabla \frac{1}{r} \cdot \nabla \frac{1}{\rho} = \nabla \cdot \left( \frac{1}{r} \nabla \frac{1}{\rho} \right) - \frac{1}{r} \nabla^2 \frac{1}{\rho} \]


다음 항등식은 전자기학을 공부했으면 심심찮게 만날 수 있다.

\[ \nabla^2 \frac{1}{r} = - 4 \pi \delta^3 (\vec{r}) \]


정리하면

\[ \frac{\vec{r} \times ( \vec{r} \times \vec{\rho})}{r^3 \rho^3} = 4 \pi \frac{\vec{r}}{r} \delta^3 (\vec{\rho}) + \vec{r} \nabla \cdot \left( \frac{1}{r} \nabla \frac{1}{\rho} \right) + \frac{1}{r} \nabla \frac{1}{\rho} \]


또는, Einstein summation convention을 도입할 경우,

\[ \frac{\vec{r} \times ( \vec{r} \times \vec{\rho})}{r^3 \rho^3} = 4 \pi \frac{\vec{r}}{r} \delta^3 (\vec{\rho}) + \nabla_j \left( \frac{\vec{r}_i}{r} \nabla_j \frac{1}{\rho} \right) \]


가 되어 total divergence만 남는 것을 확인할 수 있다. 따라서,

\[ \vec{J} = e g \int 4 \pi \frac{\vec{r}}{r} \delta^3 (\vec{\rho}) + \nabla_j \left( \frac{\vec{r}_i}{r} \nabla_j \frac{1}{\rho} \right) = 4 \pi e g \hat{r'} + \oint \text{boundary terms} \]


으로 정리할 수 있으며, 약간의 order of magnitude analysis를 통해 boundary term은 0이 된다는 것을 증명하면 정리는 끝난다. 해당 증명은 어렵지 않으니 생략.

\[ \therefore \vec{J} = 4 \pi e g \hat{r'} \]


단위계가 엉망인데 계산과정이 중요한 것일 뿐이니 적당히 알아서 집어넣으시길...

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