드디어 그리피스 양자책을 돌파했습니다 -_-v(이제 12단원 배우는 중)

지금 복사불가능성과 양자적 얽힘에 대해서 배울 차례인데, 보다 보니 재미있는 아이디어가 하나 떠오르더군요. 복사불가능은 어쩔 수 없지만 양자적 얽힘은 피해가는 방법이 있을지도 모르겠다는 생각이 듭니다. 기본 아이디어는 이거죠.

eq=a^\star a =0 \\ b^\star b = 0 \\ a^\star b \ne 0 \\b^\star a \ne 0

인 a와 b를 찾는 겁니다. Dirac equation의 motive와 비슷하네요. 당연하지만, 이 a와 b는 행렬들이죠. 그런데 행렬이면 좀 처리하기 귀찮아지고 더군다나 그 크기를 정하는 것도 애매해지니까(Dirac이 이 항들을 어떻게 해석했는지는 아직 공부를 안 해 보아서 모르겠지만...) 차라리 벡터로 보는 것은 어떨까 생각해 보았습니다.

문제는, 벡터의 coefficient가 벡터라는 것이네요. 더군다나 하나는 bra벡터여야 하기 때문에 direct product를 제대로 정할 수 있을지가 의문이고, direct product를 하는 과정에서 bra벡터가 ket벡터와 반응해서 사라질 수 있느냐가 문제입니다.

물리학적으로 해석하자면 '하나의 측정량을 포기하는 것으로 불확정성 원리를 깰 수 있다' 정도 되겠네요. 'EPR 역설이 실제로 일어날 수도 있지 않을까' 라고 보아도 무방합니다. 대신에 이 포기하는 측정량이 다른 측정량과 먼저 얽힘 상태에 있어야 한다는 것이 문제랄까... 제 3의 입자를 도입하면 해결될지도 모르겠군요.

p.s. 문제는, 왜 난 내 전공 공부보다 다른 과 전공공부가 더 재미있는가 정도...-_-;;;

'Physics > Speculations' 카테고리의 다른 글

복소수의 필연성  (0) 2010.01.19
운동량 연산자에 대해서(1)  (7) 2009.12.14
Time operator?  (2) 2009.10.20
왜 하필이면 Hamiltonian 연산자인가?  (0) 2009.10.17
복소수 대칭과 시간대칭  (23) 2009.04.30
Posted by 덱스터
2009/05/06 - Lagrangian formulation(1)

먼저 Lagrangian은 정확한 역학법칙은 아닙니다. 단지 다음 공식이 정확한 운동방정식으로 환원되기만 하면 되는 거지요.

\frac{\partial{L}}{\partial{x_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x_i}}}=0

그리고 일반적인 경우, L은 T-V, 즉 운동에너지에서 위치에너지를 제한 값이 됩니다. 하지만 전자기학에서는 어떨까요? 애석하게도 자기력의 포텐셜은 벡터이기 때문에, 단순한 위치에너지가 계산이 되질 않습니다. 먼저 전자기학에서 힘은 어떻게 나타나는지 보기로 합니다.

\vec{F}=m\dot{\vec{v}}=q(\vec{E} \vec{v}\times\vec{B})

전기장과 자기장은 보기 심히 안 좋습니다. 포텐셜을 도입해서 전기장과 자기장을 바꾸어 줍니다.

\vec{E}=-\nabla\varphi-\frac{d}{dt}\vec{A} \\\vec{B}=\nabla\times\vec{A}

(자세한 내용은 여기에...http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Potential_field_approach)

설렁 설렁 도입해 줍니다.

\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi-\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} \vec{v}\times\nabla\times\vec{A})

우변의 마지막 항이 상당히 거슬리는군요. 깔끔하게 정리해 줍시다.

\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A}\\\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi-\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} \nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A})

오, 무언가 정리될 것 같아 보이네요.

\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A})=\frac{d}{dt}\vec{A}\\\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi \nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-\frac{d}{dt}\vec{A})\\0=\nabla(-q\varphi q\vec{v}\cdot\vec{A})-\frac{d}{dt}(m\vec{v} q\vec{A})

성분별로 써 봅시다.

\frac{\partial}{\partial{x_i}}(-q\varphi q\dot{x_j}A_j)-\frac{d}{dt}(m\dot{x_i} qA_i)=0\\\frac{\partial}{\partial{x_i}}(-q\varphi q\dot{x_j}A_j)-\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{x_i}}(\frac1{2}m\dot{x_j}^2 q\dot{x_j}A_j)=0

j는 dummy index입니다. j로 정리되어 있는 모든 성분에는 합이 생략되어 있지요. i는 우리가 측정하고 있는 방향의 성분입니다. 어찌되었든, 만약 q가 운동 속도에 영향을 받지 않는다면(많은 위치에너지가 그리하듯이) L을 다음과 같이 잡아주면 됩니다.

L=\sum_j\frac1{2}m\dot{x_j}^2-q(\varphi-\dot{x_j}A_j)=\frac1{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}-q(\varphi-\vec{v}\cdot\vec{A})

이렇게 L을 정의하면 원하는 운동방정식을 얻습니다. 전자기학에서 Lagrangian 구하기 끝.

양자역학으로 넘어가서 많이 중요해지는 Hamiltonian은 나중에 구해보기로 하지요 뭐.

'Physics' 카테고리의 다른 글

측정의 평균  (2) 2009.12.24
우월한 고전역학  (0) 2009.12.09
가진 물리학/공학 교재들  (7) 2009.09.30
Operator determination  (0) 2009.04.25
Dirac Delta orthonormality  (2) 2009.04.18
Posted by 덱스터

2009. 10. 20. 20:37 Physics/Speculations

Time operator?

뉴턴의 고전역학에서 아인슈타인의 상대론으로 넘어오면서 뉴턴역학의 많은 부분이 바뀌었는데, 그중 대표적인 것은 시간의 공간화이다. 시간에 일정한 상수(광속)을 곱하여 거리로 취급하게 된 것이다. 공간과는 다른 성질을 갖기는 하지만(예를 들어 시간상에서 앞뒤로 움직이는 것은 불가능하다.)[각주:1] 일반상대론에서는 시공간거리(Spacetime interval)를 정의하여 쓸 정도로 시간은 공간처럼 인식하는 것이 보편화되어 있다.

그렇다면 양자역학에서는 어떨까? 애석하게도 시간은 공간과는 다르다는 독특한(?) 취급을 받고 있다. 좌표를 나타내는 x, y, z 연산자는 있지만, 시간을 나타내는 t 연산자는 없다. 왜 없는지 한번 생각해보자.

먼저 x, y, z는 위치를 나타낸다. 위치의 평균값은 다음과 같이 쓸 수 있다.



(파동함수는 규격화되었다고 하자.) 그리고 각 위치를 나타내는 연산자인 x, y, z는 고유벡터(eigenvector)를 가지며, 고유벡터들은 다음과 같은 성질을 갖는다.



(편의상 x에 대해서만 식을 썼다.) 아래쪽의 식은 파동함수를 x라는 ket 벡터들의 집합에 투영(project)한 것이라고 생각할 수 있다. 연산자 x의 고유벡터는 무한하기 때문에(x 좌표의 수를 생각해보라), 파동함수를 다시 완전하게 구성하고 싶다면 다음처럼 하면 된다.



그렇다면 다음과 같은 방법도 생각해 볼 수 있지 않을까? 시간에 해당하는 t라는 연산자를 가정하고, x 연산자에 대해 행한 일을 다시 해 보는 것이다.



(이 의문은 1학기에 필자가 가졌던 의문이다.) 애석하게도, 이것은 불가능하다. 왜냐하면, 다음 식이 정의되지 않기 때문이다.[각주:2]



시간의 평균은 무엇인가? 지금 파동함수를 쓰는 시점 이전에 존재했던 시간은 너무나도 거대하기에 무한하다고 할 수 있고, 앞으로 남은 시간도 상상할 수 없을 정도로 막대하기에 무한하다고 쓸 수 있다. 적분구간이 음의 무한대에서 양의 무한대로 발산하는 것이다. 위치를 나타내는 x, y, z의 평균을 구할 때에도 적분구간은 음의 무한대에서 양의 무한대이지만, 음과 양의 무한대로 갈 때 파동함수의 크기는 0으로 수렴했기 때문에 평균이 박살나는 일은 없었다. 하지만 지금은? 파동함수가 가리키고 있는 입자의 존재가 영구적이라고 한다면, t라는 변수에 대해 파동함수의 크기는 1로 일정하다. 왜냐하면 어떤 시간에서라도 입자는 관찰되어야 하기 때문이다. 그리고 모두가 알다시피, 숫자 1을 음의 무한대에서 양의 무한대까지 적분하면 무한대밖에는 얻을 것이 없다.[각주:3]

하지만 잠깐. 우리는 공간이 무한하다고 가정하고 위치의 평균을 구하고 있었다. 그런데 실제 우주는 무한한가? 우주의 크기는 상상할 수 조차 없이 크지만, 분명히 그 크기는 130억 광년이라는 유한한 값을 가지고 있다. 시간도 마찬가지이다. 우주가 생멸(生滅)하는 기간은 겁(劫)이라는 겁나도록 긴 기간이지만, 유한하다.[각주:4] 그렇다면 시간을 나타내는 연산자를 도입할 수 있지 않을까?[각주:5]
  1. 물론 실제로는 가능할 수도 있다. 단지 우리가 시간 속에서 의식을 만들어내기에 시간이 단방향으로만 흐른다고 생각하는 것일수도 있으니. 하지만 시간이 양방향으로 흐르면 열역학 제 2법칙에 문제가 생기게 된다. 열역학 제 2법칙에서는 엔트로피가 늘어난다는 말만 했지, 시간의 흐름에 대한 엔트로피는 말하고 있지 않기 때문이다. 시간이 역으로 흐른다면 역으로 흐르는 시간 상에서 엔트로피가 증가하고, 결국 우리 눈에는 엔트로피가 감소하는 것처럼 보일 수 있다는 것이다. 물론, 열역학 제 2법칙을 확률적인 법칙으로만 인정한다면 이런 충돌은 피할 수 있다. [본문으로]
  2. 최근에 떠오른 재미난 생각이 있어서 검증해보려다가 오래된 의문을 해결하게 되었다. [본문으로]
  3. 물론 영구적인 입자의 존재를 부정한다면 입자의 연대기를 통해 평균적인 삶을 생각해볼 수 있을 것이다.(사람이 태어나고 죽은 년도의 평균을 구해 그 사람의 평균적인 존재연도를 구하는 것처럼) 그런데 입자가 언젠가는 소멸한다고 가정하는 것은 조금 이상하지 않을까? 최소한 전자는 사라질 것 같아 보이지 않는다. [본문으로]
  4. 이 때 유한하다는 말은 우주가 팽창하다가 수축하는 경우, 즉 빅 크런치(Big Crunch)라는 종말을 가정할 경우이다. 다른 경우 총 시간을 유한하다고 할 수는 없을 것이다. [본문으로]
  5. 물론 시간에 대응하는 추상적인 연산자 t를 도입할 수 있을지도 모른다. 하지만 이 연산자가 실질적으로 의미를 지닐 수 있을지는 매우 회의적이다. 우리는 겁이라는 시간을 잴 수 있을만큼 오래 살지 못한다는 것이 문제이다. [본문으로]
Posted by 덱스터
Shankar 책을 산지 좀 되었습니다.

심심해서(하라는 시험공부는 안하고) 이전에 Liboff 책에서 재미있게 보았던 대칭성과 보존에 관한 부분을 보았습니다. 보다 보니 이런 부분이 나오더군요.

[...]

We define translational invariance by the requirement



[...]
Principles of Quantum Mechanics 2nd Ed., R. Shankar, Springer, 1994, p. 285

저기서 T(epsilon) 연산자는 입실론만큼 전체를 +x 방향으로 옮기는 연산자입니다. 그건 그렇다 치고, 왜 불변성을 Hamiltonian 연산자를 이용해 정의하는 것인지 좀 생각해 보아야겠더군요.

현재는 그저 '기본법칙이 Schrödinger 방정식이기 때문'이라고 결론내렸습니다. 저 항등식을 만족시킨다면 상태함수에 T 연산자를 마음껏 들이대어도 기본법칙에 어긋나지 않거든요.



왜 왼쪽에 다른 임의의 상태를 들이대냐면, 측정은 저렇게 이루어지기 때문입니다. 양자물리에서 모든 측정량은 저렇게 bra를 붙여서 얻어야 하니 말이지요. (그런데 써놓고 보니 아직도 논리에 구멍이 있는 것 같네요. 좀 더 엄밀하게 해보는 것은 나중에...)[각주:1]

어찌되었든, T 연산자로 모든 상태를 이동시켜 놓았을 때 임의의 연산자 A는 어떻게 변해야 하는가 생각해 보았습니다. 생각해보니 쉽더군요.



이니까



하지만 T 연산자의 역함수(역연산자?)는 T 연산자의 hermitian conjugate 입니다. 왜 그런지는 A 대신에 I(Identity - 1이라고 생각하시면 됩니다)를 넣어보면 됩니다. I 연산자가 좌표와는 상관있을 리가 없겠죠. 그러면 결국



이 됩니다. 어째 어디선가 본 행렬형식의 2계텐서 변환방식이 떠오르는군요.

그나저나 시간대칭은 역시 허수의 성질을 이용하는군요. i나 -i나 구분할 수 없다는 그 성질 말입니다. 이건 예전에 적어둔 것이니 링크만 간단히...

2009/04/30 - 복소수 대칭과 시간대칭

ps. 뭐 아실 분들은 아시겠지만 사실 저 T 연산자는 P 연산자, 즉 운동량과 관련이 있습니다. 그래서 운동량 보존이 균일성(위치에 대해 변하지 않음-translational symmetry/invariance)과 동치인 것이구요. 정확히는



입니다. Taylor 전개를 해 보면 알 수 있는데 그것까지 하기는 귀찮네요. Griffith 책의 연습문제로도 나오니 제가 할 필요는 없겠지요.
  1. 이렇게 엄밀한 거 좋아하다가 서너줄이면 끝날 숙제 문제를 한두페이지가량 써제끼는 일이 한두번이 아니네요 -_-;; [본문으로]

'Physics > Speculations' 카테고리의 다른 글

요즘 하는 생각  (0) 2009.12.04
Time operator?  (2) 2009.10.20
복소수 대칭과 시간대칭  (23) 2009.04.30
어는점내림/끓는점오름을 다른 상수에서 구하기  (4) 2009.04.24
파동함수...  (6) 2009.03.04
Posted by 덱스터
Principles of Quantum Mechanics (2 SUB, Hardcover)
Shankar, Ramamurti/Kluwer Academic Pub

별건 아니고, 양자물리를 공부하면서 볼만할 것 같은 책을 한권 샀습니다. 살짝 고전역학이나 전자기학을 더 공부해야 될 것 같기는 하지만 뭐 그런거 무시하고 내맘대로 독학하는게 특징이라 그냥 질렀습니다. 양자책은 혼자 공부하려고 Griffith 책을 사 놓고 수업을 들으면서 교재로 쓰니까 다른 책이 필요해지더군요. 이 글은 기념 포스팅(...)
윗 책은 대충 읽어봤는데 괜찮아 보여서 바로 샀습니다. 가격이 여태 산 교재중에서 제일 비싸긴 하지만(...) 설명은 잘 되어 있는 것 같더군요. 사실 읽기가 버릇 수준으로 중독되면 논리가 있는 거의 모든 글은 이해하게 되긴 하지만 말이죠.

Introduction to Quantum Mechanics (2/e, Paperback)
David J. Griffiths 지음/Addison Wesley

Griffith 책은 순수히 비상대론적인 영역에서만 쓰여서(물론 상대론적인 보정을 하는 법-perturbation-은 나와 있지만)살짝 아쉽던 차에 잘 되었네요. 물론 나오는 상대론적 양자역학은 Marion의 고전역학책에서 특수상대론을 다루는 정도만큼만 나오는 수준이지만, 그게 어디입니까(...)

Classical Dynamics of Particles and Systems (5th, Hardcover)
Thornton, Stephen T./Cengage Learning

생각해보니 고등학교때 역학공부하려고 산 책이군요(흠...). 그때는 조금 헤매였던 것 같은데, 지금은 그냥 무난하게 읽히네요. 역시 수학이 받침이 되어야...(수학적인 내용이 아니면 쉽거든요. 물론 그거야 모든 책이 그렇지만...)

해석역학
G. R. Fowles & Cassiday 지음, 강주상 옮김/홍릉과학출판사

가진 책중에 드문 번역본이네요. 사실 이 책은 거의 안봤습니다. 이 책이 더 쉽다는 분들도 있는데, 전 오히려 Marion 책이 더 쉽더군요. 고등학교때 사 놓고 Lagrangian 부분 조금이랑 중심력 볼 때 빼고는 한번도 본 적이 없는 것 같네요.


7판으로 공부했습니다. 사실 내용은 하나도 기억이 안 나지만(...)
그것보다 공부하려고 무식하게 첫장부터 그냥 읽었던 책인데, 나중에 돌아보면 그게 오히려 도움이 된 것 같기도 하네요. 열역학 중간부분정도까지는 무턱대고 읽었던 기억이 납니다. 계속 고등학교때 사 놓았던 책이 흘러나오네요.

새대학물리 2
서울대학교물리교재편찬위원회/교문사

현재 구할 수는 없고, 헌책방에나 가야 구할 수 있는 책입니다. 상하 두권으로 나뉘어 있고요.
할리데이와 2학년 책의 중간단계정도 되는 난이도를 가졌습니다. 원서가 한글이라는 것이 가장 큰 특징이고, 조금 불친절합니다. 그런데 있을 내용은 초보적이더라도 웬만해서는 다 있으니 그정도로 만족... 통계역학은 이 책으로 배웠습니다(물론 사실상 독학).

물리학
물리학교재편찬위원회 엮음/북스힐

산 것은 아니지만 그냥 가지고 있는 책입니다. Halliday 책으로 어느 정도 공부한 뒤에 그냥 받은 책이라(AP-Advanced Placement-를 받을 때 교수님이 던져주신 책) 사실상 장식용(..)으로 쓰고 있습니다. 산 것은 아니지만, 이 책도 고등학교때부터 버려둔 책이군요.
동생이 공부하는 것을 살짝 엿보니 예제 위주로 설명하는 책인 것 같습니다.

알기 쉬운 물리학 강의
Paul G. Hewitt 지음, 공창식 외 옮김/청범출판사

사실 교재라고 하기는 조금 애매하지만, 참 좋았던 책입니다. 고등학교 들어가기 전 물리에 대한 개념을 잡으려고 읽었던 책이구요. 한 12장까지는 무턱대고 읽었던 것 같습니다. 이후에는 전혀 손대지 않았지만(-_-;;)
꾸준히 읽으면 처음 물리를 시작할 때 개념잡기 참 좋은 책입니다. 그것보다 다시 교재로...

Introduction to Electrodynamics (3 SUB, Hardcover)
Griffiths, David J./Addison-Wesley

역시 고등학교때 산 책입니다. 현재 '전기와 자기' 교재(...)로 쓰고 있고요.
이 책으로 배우기 시작할 때부터 물리를 하기위해 수학을 야매로 배우는 버릇이 생겼습니다. 벡터미분(Vector calculus)은 사실상 이 책으로 처음 배웠네요. 이렇게 하다 보니 요즘에는 오히려 더욱 엄격하게 수학적으로 증명하려는 버릇이 생긴 것 같기도 합니다.

The Feynman Lectures on Physics (Definitive and Extended Edition, Hardcover)
Feynman, Richard P./ Leighton, Robert B./ Sands, M/Addison Wesley

고등학교때 산 책은 아니고, 대학에 입학한 직후 혼자 공부해보겠다고 샀던 책입니다. 당시엔 10만원 초반이었는데 그 사이에 두배 가까이 가격이 오른 것 같네요.(망할 만수...) 총 네권이 들어 있습니다.
그런데 정말 더럽게 어렵습니다. 수식은 없는데 논리가 지독해요. 덕분에 재미있게 배우는 것도 많지만... 1학년 2학기에는 전자기학을 이 책으로 배웠습니다. 더러운 벡터포텐셜(...). 양자 공부하면서 3권을 조금씩 보고 있습니다.


1학년 1학기 물리학 종반부에서 느닷없이 튀어나온 통계물리학을 공부하려고 멋모르고 산 책입니다. 사실 자세히 보지는 않아서 내용이 어떤지는 모르겠지만, 그냥 무난해 보입니다. 물론 전 혜택을 하나도 받지 못하고 시험문제에 그대로 발려버렸지만...

기타로 현재 Tai L. Chow의 Mathematical methods for Physicists라는 책을 '기본물리수학' 교재로 이용하고 있습니다. 물론 제본으로... 책 자체는 그리 나빠 보이지는 않는데, 오타가 많이 거슬리네요(...)



공학책은 4대역학(열역학, 고체역학, 동역학, 유체역학) 교재 말고는 없네요. 사실 공학이라고 해도 물리학이나 마찬가지라서.... 기저에 깔린 사고체계가 다르긴 하지만 그런거 언제 따졌나요 -_-;;

최신 공업열역학 (노승탁)
노승탁 지음/문운당

'열역학' 교재로 이용한 책입니다. 위에서 Reif 책이 순수하게 미시적인 관점에서 접근했다면, 이 책에서는 순수하게 거시적인 관점에서 접근합니다. 물론 후반부에 가면 둘이 서로 합쳐지기는 하지만... 고전역학에서 열역학이 어떻게 발달했나를 얕게나마 알게 된 책이지요. 현대의 대세는 양자와 미시라지만, 고전과 거시도 나름대로의 사연이 있고 그 사연을 찬찬이 들여다보면 정말 재밌더군요.

'고체역학' 교재는 Crandall의 Introduction to Mechanics of Solids를 사용했습니다. 친구들은 책 안 좋다고 하는데, 전 왜 괜찮다고 느끼는 걸까요(-_-;;). 논리를 중요시하는 면이 있습니다.(원통형 물체에 모멘트가 걸렸을 때 변형이 왜 반지름에 따라 선형적인가에 대한 부분에서 폭발...) 저야 날림으로 배워서 안 배운 부분이 넘쳐나는데, 안 배운 부분들의 난이도는 별로 생각하고 싶지 않네요. '역학과 설계'과목에서도 주교재로 이용한다고 하더군요.


'동역학' 교재로 사용하고 있는 책입니다. 사실 단위가 더러운 것 빼면(SI Unit으로 나온 동일한 책도 있는데 마찬가지로 inch, feet 등등을 사용합니다) 별 특징이 없는 책이더군요. Marion 책으로 공부를 했던 이상 쉽게 느껴지기는 하지만...
계산기를 직접 써야 하는 문제가 많은 것을 제외하면 그냥 그럭저럭 봐줄만 한 책입니다. 뭐 언제까지나 공학도를 위한 책이니 위의 역학책과는 다를 수 밖에 없겠지만요.

Fluid Mechanics (6 HAR/CDR, Hardcover)
White, Frank M./McGraw-Hill

'유체역학' 교재로 이용하는 책입니다. 사실 유체에 대한 책은 이게 처음이라 무어라 평가내리기는 애매하네요. 정식으로 배운 것도 아니고...(현재 수강중)
다만 한가지, Navier-Stokes 방정식은 공포의 벡터포텐셜보다 더 무섭게 생겼다는 걸 확실히 깨닫게 되었습니다. 아마도 공부하면서 간혹 Reif 책을 뒤적거리게 될지도 모르겠는게, 증명을 조금 날림으로 해치우는 것 같아서 말이지요...

Electronics Fundamentals (8 LAB, Paperback)
Buchla, David M./Prentice Hall

가진건 7판으로 '전기공학개론' 교재로 사용한 책입니다. 공대의 경우 공대소양과목으로 타과의 개론과목을 들어야 합니다. 버티고 안 사려다 결국 숙제 때문에 산 책인데 그다지 인상적이지는 않네요. 초중반부를 전부 알아서 그런가(...)

그런데 이상하게 공학책에 대한 평가는 박하네요. 그럴 수 밖에 없는 건가...-.-;;



그냥 눈독들이는 교재들입니다. 실제로 살 생각은 아직까지는 없구요.

Classical Mechanics (3rd, Hardcover)
Goldstein, Herbert/Addison-Wesley

Modern Quantum Mechanics (Revised Edition, Hardcover)
J.J.J. Sakurai, San F. Taun 지음/Addison-Wesley

Introductory Quantum Mechanics (4th, Hardcover)
Liboff, Richard L./Addison-Wesley

Spacetime and Geometry (Hardcover)
Carroll, Sean M./Addison-Wesley

Gravity (Hardcover)
Hartle, J. B./Addison-Wesley

전부 물리학 교재네요 -_-;;; 얇은 책도 있고 두꺼운 놈도 있고...



IE-International Edition-가 확실히 싸네요.

'경제학개론'에서 배운 가격차별이란게 이런 것인가... 거의 두배 세배 정도는 차이나는 것 같습니다. 그나저나 환율이 안정되어가서 그런지 확실히 교재 가격이 내린 느낌이 납니다. 아니면 물가가 막장으로 오른 거거나.

'Physics' 카테고리의 다른 글

측정의 평균  (2) 2009.12.24
우월한 고전역학  (0) 2009.12.09
Lagrangian in Electromagnetism  (4) 2009.11.07
Operator determination  (0) 2009.04.25
Dirac Delta orthonormality  (2) 2009.04.18
Posted by 덱스터
고전역학은 크게 두 흐름으로 나누어 볼 수 있습니다. 첫째는 가장 잘 알려진 힘을 이용한 뉴턴역학이고 나머지 하나는 에너지를 주로 이용하는 해밀토니안 역학입니다. 양자역학에서는 힘이란 개념을 쓰기 어렵기 때문에 해밀토니안 역학이 특별하게 발달한 것을 양자역학으로 보아도 좋겠지요.(물론 기본이 되는 가정은 하늘땅 차이입니다만...)

보통 라그랑지안 역학을 얻는 방법은 두가지가 있습니다. 하나는 변분법이라고 해서 어느 값의 적분이 최소가 되도록 하는 방법이고, 나머지 하나는 가상일(virtual work)을 이용하는 것입니다. 가상일은 어떤 계가 평형상태에 있을 때, 각 위치좌표가 조금씩 변하더라도 힘의 합력은 0이므로 에너지가 변하지 않는다는 것을 이용하는 것이지요.

해밀토니안 역학은 라그랑지안 역학에서 얻어집니다. 보통의 경우 해밀토니안은 총에너지에 해당하기 때문에 해밀토니안을 에너지와 동등하게 취급하기도 합니다. 양자역학의 경우도 해밀토니안을 에너지와 등가로 취급하고 있지요.

이번 글에서는 간단하게 라그랑지안 식을 유도해 보려고 합니다. 첫 방법은 변분법을 이용하는 방법입니다. 먼저 해밀톤의 원리를 보아야겠네요.

Hamilton's Principle

물체는 시간 t_1와 t_2 사이를 운동할 때 운동에너지와 위치에너지의 차이가 최대 혹은 최소가 되도록 운동한다.[각주:1]

식으로 쓰면

\LARGE\!\delta\int_{t_1}^{t_2}(T-U)dt=0

가 됩니다. 여기서 저 차이를 라그랑지안 L로 정의합니다. 따라서 식은 다음처럼 변하지요.

\LARGE\!\delta\int_{t_1}^{t_2}L(q_i,\dot{q_i},t)dt=0

여기서 q_i는 일반화된 좌표들을 말합니다(i로 좌표를 구분합니다). 꼭 위치좌표일 필요는 없습니다. 부피여도 되고, 각도여도 되며, 넓이여도 상관이 없습니다. 점을 위에 붙여준 것은 그 일반화된 좌표의 시간에 대한 미분량이지요. 자, 그러면 변분법이 어떻게 이루어지는건지 먼저 알아야 하지 않을까요?

운동이 실제 경로 \normalsize\!q_i(t)를 따라 일어나고 있을 때, 위의 적분은 최소가 됩니다. 먼저 임의의 경로 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)+\alpha\xi_i(t)를 생각해보도록 하겠습니다. 여기서 \normalsize\!\xi_i(t)는 실제 경로에서 벗어나는 정도를 나타내어주는 함수입니다. 하지만 t_1에서 t_2까지 이동할 때 운동을 시작하는 지점과 운동이 끝나는 지점은 같기 때문에 \normalsize\!\xi_i(t_1)=\xi_i(t_2)=0라고 놓아야겠지요. 그리고 실제 경로가 되는 \normalsize\!\alpha=0인 경우에 위의 적분은 극값을 가져야 합니다. 이를 식으로 나타내어보면 다음과 같습니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\left[\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\right]_{\alpha=0}=0

이제 알파를 적분 안에 넣어 보겠습니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac\partial{\partial\alpha}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\\=\int_{t_1}^{t_2}\sum_i\left(\frac{\partial{\bar{q_i}}}{\partial\alpha}\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}+\frac{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}{\partial\alpha}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt\\=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\left(\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}+\dot\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt

두 번째 항에서는 \normalsize\!\xi_i(t)가 시간에 대해 미분이 되어 있습니다. 보기 거슬리니까 이를 다른 놈한테 넘겨줘 봅시다. 이때는 부분적분을 이용하면 됩니다.

/\LARGE\!\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt=\left[\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt\\=-\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt

이건 아까 구한 \normalsize\!\xi_i(t_1)=\xi_i(t_2)=0라는 조건에서 알 수 있지요. 그러면 식은 한결 간단해집니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\left(\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt

알파가 0이면 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)+\alpha\xi_i(t)에서 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)임을 알 수 있습니다. 그리고 이 때 위의 적분은 항등적으로 0이 되어야 하구요.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\left[\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\right]_{\alpha=0}\\=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\left(\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}\right)dt=0

그런데 \normalsize\!\xi_i(t)는 말 그대로 임의의 함수이기 때문에 항등적으로 영이 되기 위해서는 괄호 안의 값들이 무조건 영이 되어야 합니다. 따라서

\LARGE\!\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}=0

를 얻습니다. 이는 모든 i에 대해 성립합니다.

나머지 방법인 가상일을 이용하는 방법(D'Alembert의 원리)은 다음 글에서...(다음 글을 언제 쓸지는 저도 장담을 못하겠네요...)



델랑베르 원리에서 출발하는 라그랑주는 다음 글에서 확인하세요
라그랑지 운동방정식( Lagrange Equations of motion ) (Weistern님)

델랑베르 원리를 직접 언급하지는 않았지만 유도하는 방법(사실상 썼다고 봐야하지만)
  1. Marion, Classical Dynamics of Particles and Systems, 4th Ed.에 나오는 내용을 기준으로 작성했습니다. 사실은 최대나 최소가 될 필요는 없다고 하더군요. 참고 : http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics#Hamilton.27s_principle [본문으로]
Posted by 덱스터
물리학에서 대칭성은 대부분 어떤 보존으로 나타납니다. 여기서 말하는 대칭이란 '구분할 수 없음'을 뜻하지요. 운동량은 위치에 대한 대칭성에서, 에너지 보존은 시간에 대한 대칭성에서 얻어지지요.

이제 질문. 허수 i와 -i는 대칭적입니다. 서로 구분이 불가능하지요. 이 수학적 대칭은 물리의 어떤 현상으로 이어질까요? 잘 살펴보면, 이런 수학적 대칭은 시간을 뒤집는 대칭에 해당한다는 것을 알 수 있습니다.



이게 원 슈레딩거 방정식입니다. 양변의 i를 모조리 -i로 바꾸어주면



여기서 *로 표시된 것은 전부 켤레복소수(complex conjugate)에 해당합니다. 해밀토니안은 i를 포함하지 않는다고 가정하면(즉, 포텐셜이 실수로만 나타난다고 가정하면)[각주:1] 다음의 꼴을 얻습니다.



-t를 새로운 시간, 타우로 정의하면



시간을 뒤집은 파동함수(의 켤레복소수)가 원래의 파동함수와 같은 방정식을 만족하는군요. 결국, 시간에 대해 파동함수는 대칭적이라고 생각할 수 있겠지요. 이 대칭성은 time parity라고 불리는 값의 보존으로 이어집니다. 패리티에 대해서는 나중에 설명하기로 하지요 ^^;;;

재미있는 것은 시간 뒤집기가 성공하지 못할 수 있다는 것입니다. 허수포텐셜을 도입하면 그렇게 되지요. 이제 허수가 들어가는 포텐셜은 약력을 대표한다고 추론할 수 있겠지요. 약력이 대부분의 대칭성 붕괴의 원인이니 말입니다.

덧. 쓰다보니 하루가 지나가는군요 -_-


  1. 허수포텐셜을 도입하는 경우 파동함수는 보통 시간이 지나며 필연적으로 파괴되어 버리거나(0으로 수렴하거나) 무한히 발산해 버립니다. 때문에 방사능 붕괴와 같은 경우에는 허수포텐셜을 도입합니다. 하지만 그런 부분은 지금 우리가 관심을 갖는 영역이 아니기 때문에, 무시하도록 하겠습니다. [본문으로]

'Physics > Speculations' 카테고리의 다른 글

Time operator?  (2) 2009.10.20
왜 하필이면 Hamiltonian 연산자인가?  (0) 2009.10.17
어는점내림/끓는점오름을 다른 상수에서 구하기  (4) 2009.04.24
파동함수...  (6) 2009.03.04
직관과 포인팅 벡터  (15) 2008.12.08
Posted by 덱스터

2009. 4. 25. 09:52 Physics

Operator determination

x-space에서 위치와 운동량의 측정값을 나타내는 Operator는 다음과 같다.

\hat{x}\equiv{x}\\\hat{p}\equiv{-i\hbar\frac\partial{\partial{x}}}

이를 더 간단한 k에 대해 나타내어 보자. 잘 알려진 바와 같이, 운동량 p는 k의 간단한 상수배이다.

p={\hbar{k}}\\\therefore\hat{k}={-i\frac\partial{\partial{x}}}

이제 각 알려진 연산자들에 대해 eigenstate를 구해보자. 먼저 x 연산자에 대해 x'이라는 eigenvalue를 얻어내는 eigenstate를 x에 대해 나타내면 다음과 같다.

\hat{x}|\varphi_{x'}\rangle=x'|\varphi_{x'}\rangle\\\therefore\,\langle{x}|\varphi_{x'}\rangle=\delta(x-x')

이는 k에도 마찬가지로 적용될 수 있다.

\hat{k}|\varphi_{k'}\rangle=k'|\varphi_{k'}\rangle\\\therefore\,\langle{k}|\varphi_{k'}\rangle=\delta(k-k')

각자의 eigenstate를 간단하게 쓰자.

|x\rangle\equiv|\varphi_x\rangle\\|k\rangle\equiv|\varphi_k\rangle

한편

\langle{x}|\hat{k}|k\rangle=-i\frac{d}{dx}\langle{x}|k\rangle=k\langle{x}|k\rangle\\\therefore\,\langle{x}|k\rangle=Ae^{ikx}

(주의 : 편미분 대신 일반적인 미분 d를 사용한 것은 eigenstate k를 x에 대한 함수로 취급하기 위함이다.)
여기서 A는 아직 정해지지 않은 상수이다. 한편

\int\langle{k'}|x\rangle{dx}\langle{x}|k\rangle=\langle{k'}|k\rangle=\delta(k'-k)

이므로

\langle{k'}|x\rangle=\frac1{2\pi{A}}e^{-ik'x}

을 얻는다. 앞의 상수가 일치하도록 조절하면(둘은 complex conjugate 관계라는 것을 고려한다)

\frac1{2\pi{A}}=A\\\therefore\,A=\frac1{sqrt{2\pi}}

을 얻는다. k 연산자는 k-space에서 단순한 상수로 나타나는데 그러면 x 연산자는 어떤 꼴로 나타날까? 구해보자.

\langle{k}|\hat{x}|x\rangle=x\langle{k}|x\rangle\\\hat{x}Ae^{-ikx}=xAe^{-ikx}\\\therefore\,\hat{x}=i\frac\partial{\partial{k}}

(주의 : 변수는 k이기 때문에 이런 꼴로 나타나는 것이다.)
좀 더 명확하게 말하자면

\langle{k}|\hat{x}=i\frac\partial{\partial{k}}\langle{k}|

이라고 할 수 있을 것이다. 이를 다시 p에 대해서 나타내면

\langle{p}|\hat{x}=i\hbar\frac\partial{\partial{p}}\langle{p}|

라고 할 수 있다. 다음 두 식을 보면, 재미있는 대칭성이 존재한다는 것을 볼 수 있을 것이다.

\langle{x}|\hat{p}=-i\hbar\frac\partial{\partial{x}}\langle{x}|\\\langle{p}|\hat{x}=i\hbar\frac\partial{\partial{p}}\langle{p}|


'Physics' 카테고리의 다른 글

측정의 평균  (2) 2009.12.24
우월한 고전역학  (0) 2009.12.09
Lagrangian in Electromagnetism  (4) 2009.11.07
가진 물리학/공학 교재들  (7) 2009.09.30
Dirac Delta orthonormality  (2) 2009.04.18
Posted by 덱스터

2008/04/03 - K_f 구하기(어는점내림 상수)
리뉴얼입니다. 심심한 관계로.... LATEX 조금 익숙해질 겸 해서 하는거지요 뭐...


[16Dec2020 update] Wikipedia의 freezing point depression 항목에서는 더 이상 포스트의 후반부에서 인용된 식을 찾을 수 없습니다. 기억을 살짝 더듬어보면 자유에너지에 뭔가 잘 알려지지 않은 관계식을 이용해서 계산했던 것 같군요. 지금 해당 식은 Cryoscopic constant 항목에서 찾을 수 있습니다.

통계역학적 관점(Maxwell-Boltzmann)에서 구한 값입니다. 대강은 맞는 것 같더라구요.

$N_1$개의 액체 상태의 용매입자가 있는 용기에 총 $N_s$개의 용질입자가 녹아있는 용기에서 어는점내림과 끓는점오름을 계산한다. 이때 용질입자는 용매입자와 같이 얼어붙지 않는다고 가정한다.

I. 가정.

1. 엔트로피의 정의
  $$\LARGE\!S \equiv k \ln \Omega$$

2. 온도의 특징(경우에 따라서는 정의로 사용되기도 한다)
  $$\LARGE\!\frac {1}T = \frac{\partial S}{\partial Q}$$

3. 엔트로피의 특징
엔트로피는 용매 자체가 가진 엔트로피($S_1$)와 용질 자체가 가진 엔트로피($S_0$)와 용매가 존재함으로서 생겨나는 엔트로피($S_p$)의 합으로 생각한다. 이 때, 용질의 존재가 만들어내는 추가적인 엔트로피는 다음과 같이 가정한다.

 $$S_{p}=k\ln\Omega'\\\Omega'{=}\text{C}({N_1+N_s},{N_s})$$

여기서 C는 Combination 함수를 말한다.

$$\text{C}(n,k)\equiv\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

이 가정대로라면 용액의 어는점내림은 녹아있는 용질 입자의 수에만 관계있게 된다. 이는 이미 실험적으로 확인되었다.

4. 기타 상수들
기타 상수들의 표
$$\begin{array}{c|c} N_0&\text{Avogadro constant}\\H_f&\text{Heat of fusion of solvent per mole}\\N_1&\text{Number of solvent particles}\\N_s&\text{Number of solute particles}\\a&\text{mole number per unit mass of solvent}\\x&\text{molality concentration of solute}\\T_0&\text{Freezing point of pure solvent(Kelvin)}\end{array}$$


II. 계산과정.

먼저 엔트로피를 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$S=S_0+S_1+S_p$$

이를 Q에 대해서 편미분을 취해준다. 온도를 얻기 위함이다.

$$\frac{1}T=\frac{\partial{S}}{\partial{Q}}=\frac{\partial{(S_0+S_1)}}{\partial{Q}}+\frac{\partial{S_p}}{\partial{Q}}$$

이를 잘 보면 앞의 항은 현재의 온도를 나타냄을 알 수 있다. 이 항은 현재 온도(어는점)의 역수로 생각할 수 있다.

$$\frac{1}T=\frac{\partial{S}}{\partial{Q}}=\frac{\partial{(S_0+S_1)}}{\partial{Q}}+\frac{\partial{S_p}}{\partial{Q}}=\frac{1}{T_0}+\frac{\partial{S_p}}{\partial{Q}}$$

이제 뒷 항이 문제이다. 아까의 가정에서 엔트로피는 다음과 같이 주어진다.

$$S_p=k\ln{\frac{(N_1+N_s)!}{N_1!N_s!}}$$

이 식에서 숫자는 전부 충분히 크다고 가정하면 Sterling's formular를 이용해 간단히 할 수 있다.(확인결과 이 식이 원본에서는 잘못되어 있음(부호가 반대)을 발견하였다.)

$$S_p = k[(N_1 + N_s) \ln (N_1 + N_s) - N_1 \ln N_1 - N_s \ln N_s]$$

다음, 변수분리를 해 보자. 이 이유는 $S_p$가 Q에 대한 함수가 아니기 때문이다. 지금 변하는 것은 용매 입자의 수 뿐이므로 편미분은 다음처럼 바뀌게 된다.

$$\frac{\partial{S_p}}{\partial{Q}}=\frac{\partial{N_1}}{\partial{Q}}\,\frac{\partial{S_p}}{\partial{N_1}}$$

앞 항은 용매 분자 하나가 얼어붙거나 용매 분자 하나가 녹아나올 때 액체가 흡수하는 에너지이다. 용매 분자 하나가 얼어붙을 때 $N_1$은 감소하면서 열을 방출하므로(용매 분자가 얼면서 내놓는 에너지는 전부 고체로 흘러나간다고 가정한다. 즉, 원래 용액이 가지고 있던 에너지를 잃어버림으로서 용액이 언다고 생각하는 것이다.) 첫 항의 부호는 양이 되어야 한다. 결국 첫 항은 다음과 같다.(원본에서는 이 가정도 반대로 되어 있으며, 이 두 가정이 서로를 상쇄하여 올바른 결과를 도출한 것으로 보인다.)

$$\frac{\partial{N_1}}{\partial{Q}}=\frac{N_0}{H_f}$$

둘째 항은 단순미분이므로 금방 계산할 수 있다. 계산 결과는

$$\frac{\partial{S_p}}{\partial{N_1}}=k \ln \frac{N_1 + N_s}{N_1}=k\ln{(1+\frac{N_s}{N_1})}=k\ln{(1+\frac{x}a)}$$

가장 오른쪽에서 수의 비를 밀도로 나타낸 것을 볼 수 있다. 이는 둘 다 단위질량의 용매에 대한 용질과 용매의 몰 수를 나타내기 때문에 가능하다. 이제 처음의 식으로 되돌아가면

$$\frac{1}T=\frac{1}{T_0}+\frac{\partial{S_p}}{\partial{Q}}=\frac{1}{T_0}+\frac{kN_0}{H_f}\ln{(1+\frac{x}a)}$$

를 얻는다. 이 식은 다시 또

$$\frac{1}T=\frac{1}{T_0}\left[\frac{kN_0T_0}{H_f}\ln{(1+\frac{x}a)}\right]$$

으로 정리된다. 양변을 뒤집으면

$$T={T_0}{\left[\frac{kN_0T_0}{H_f}\ln{(1+\frac{x}a)}\right]}^{-1}$$

를 얻는다. 이제 이 식을 x에 대해 테일러전개한 후 1차근사식을 구하면

$$T\simeq{T_0}\left[1-\frac{kN_0T_0}{aH_f}x\right]=T_0-\frac{kN_0T_0^2}{aH_f}x$$

이제 알려진 어는점내림의 식으로 돌아가 보자.

$$T=T_0-K_f{x}$$

위의 식과 그 위의 식이 동등하므로, 우리는 어는점내림상수 $$K_f$$가 다음과 같다는 것을 알 수 있다.

$$K_f=\frac{kN_0T_0^2}{aH_f}$$

위키피디아의 Freezing-point depression이라는 항목에는 이 식이 다음과 같이 나타나 있다.

Kf = RTm2M/ΔHf,
R is the gas constant, Tm is the melting point of the pure solvent in kelvin, M is the molar mass of the solvent, and ΔHf is the heat of fusion per mole of the solvent

위의 두 식은 동등하다. M의 역수가 a이며, kN_0가 R이기 때문이다. 이 식은 끓는점오름에도 사용할 수 있으며, 그 때에는 T_0와 H_f를 끓는점에 맞게 바꾸어주어야 한다. 결과는 올바르게 나오는데, 왜냐하면 앞 항의 부호가 뒤바뀌기 때문이다.(에너지를 받아야 분자 하나가 떨어져 나가므로 첫 항의 부호는 음이 된다.)



전 이 식이 통계역학 교과서 어디를 잘 뒤저보면 나올 줄 알았는데 안 나오더군요.(이 식을 증명했을 때는 대학 갓 입학한 새내기 -_-) 첨언하자면, 엔트로피를 구하는 과정에서 약간의 문제가 있을 수 있기 때문에 엄밀하다는 못하다고 합니다. 제가 봐도 엔트로피는 날림으로 가정했어요.

그리고 마지막으로 덧붙이자면, 날림의 가정을 통해서도 상당히 정확한 식을 얻어낼 수 있군요. 원래 이 식은 다른 두 법칙에서 얻어야 한다고 하네요(통계역학적인 관점은 아니더군요). 역시 후발주자는 무언가 새로운 것을 해내었다고 생각하면 그 이전의 누군가는 건드려 놓았다는 것을 뼈저리게 느끼고 갑니다 흑...

PS. 이 식을 잘 생각해 보면 약간 녹은 얼음에 소금을 뿌리면 얼음의 온도는 0도이더라도 그 얼음 주위의 소금물의 온도는 0도 아래라는 것을 알 수 있습니다. 얼음은 순수하기 때문에 0도에서 점차 녹고 있는 것이고 소금물의 온도는 소금이 들어가서 추가적으로 만들어내는 엔트로피에 의해 0도보다 아래에 있다는 것이지요.



'Physics > Speculations' 카테고리의 다른 글

Time operator?  (2) 2009.10.20
왜 하필이면 Hamiltonian 연산자인가?  (0) 2009.10.17
복소수 대칭과 시간대칭  (23) 2009.04.30
파동함수...  (6) 2009.03.04
직관과 포인팅 벡터  (15) 2008.12.08
Posted by 덱스터

2009. 4. 18. 13:11 Physics

Dirac Delta orthonormality

모멘텀 변환 파동함수는 다음과 같이 나타난다(hbar 표현식을 못 찾아서 저렇게 썼음 -_-;;).



이 식은 k에 대해서도 쓸 수 있다. 이때 khbar는 p가 된다.



적분구간을 무한대로 해 놓고 두 모멘텀 파동함수(변수는 k)를 적분하면 Dirac Delta fuction이 얻어진다.



여기서 2pi는 다음과 같은 이유에서 얻어진다. 먼저 적분구간을 [0, 2pi]로 해 보자. 그러면 다음과 같은 관계식이 얻어진다.



여기서의 델타는 Kronecker Delta이다. 이제 이 구분된 적분구간을 무한히 확장한다. 그러면 처음에 얻은 식이 얻어진다.(Dirac Delta가 Kronecker Delta의 무한합으로 보는 관점) 이런 연유에서 규격화된 k에 대한 파동함수는 다음과 같이 쓴다.



보통의 경우, 일반적인 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.





여기서



로 정의한다.

덧. 궁금해하던 건데 마침 친구가 알려주더군요. 책 없이 휘갈기는거라 몇몇 상수는 빠졌을 수도 있습니다.(예를 들어 부호가 바뀌었다던지...)

그나저나 그녀석은 요즘 군론 공부한다던데 -_-;;;; (돌은 학부생이죠 예...-_-;;;;)


덧2. 알고보니 변수가 바뀌었군요 OTL 전부 수정했습니다. 마지막 부분은 외우기 쉽게 하려고 도입한 꼼수입니다 ^^ 책에는 없을거예요(Griffith에 없으니 다른 책에도 아마 없으리라 생각)

'Physics' 카테고리의 다른 글

측정의 평균  (2) 2009.12.24
우월한 고전역학  (0) 2009.12.09
Lagrangian in Electromagnetism  (4) 2009.11.07
가진 물리학/공학 교재들  (7) 2009.09.30
Operator determination  (0) 2009.04.25
Posted by 덱스터
무려 열역학 숙제입니다...-_-;;

주어진 힌트는 압력밥솥이 압력을 조절하는 매커니즘 뿐입니다.


위 꼭지의 무게가 작은 구멍에서 나오는 압력을 막는 형태입니다. 저 압력과 꼭지의 무게와 맞먹는 정도로 밥솥 내부의 압력이 유지되는 것이지요.

힌트는 여기까지. 자, 이제 구해오세요.

하하하하하하ㅏ하하하 -_-

자, 무작정 시작해 봅시다. -_-;


참 저도 신기하게 구하는데 성공했습니다. 사람은 역시 극한상황에서는 못하는 것이 없다는데 진리이군요.


덧. 숙제는 내일(쓰는 시각 29일)까지인데 예~~전에(19일) 풀었던 문제입니다. 그 주 주말에 숙제 네개를 하느라 떡실신했는데 이런 것도 할 여유가 있었나 보네요 -_-;;; 일단은 예약발행 해 둡니다.
  1. 엄격한 물리적인 논의에서 무게는 질량과는 달리 힘의 단위를 갖습니다. [본문으로]
  2. 이러면 이중지렛대가 되는 것이지요. [본문으로]
  3. 이때의 가정은 책의 무게중심은 책의 정중앙이다라는 것입니다. 이 경우 책이 워낙 위아래로 커서 살짝만 기울어져도 무게중심이 많이 움직이더군요. 이를 계산하니 약 5%정도의 차이를 가져올 것으로 계산했구요. 물론 이 5%는 계산에 넣지 않았습니다. [본문으로]
Posted by 덱스터
사람들은 물리학 하면 일단 편견을 갖고 대합니다. 이런 우스갯소리도 있지요.

"제가 비행기를 탔을 때, 옆 자리 사람과 대화를 나누고 싶으면 저를 천문학자라고 소개합니다. 그날이 피곤하거나 하면 물리학자라고 소개하구요."

-천체물리학자

천문학자라고 하면 '오늘 양자리 운세는 어떤가요?'라는 다소 황당한 질문이라도 들려오지만, 물리학자라고 하면 말을 안 거는 상황을 빗댄 것이지요. 예, 그런 겁니다. 기계과는 하수구 막히면 뚫는거고, 전기과는 컴퓨터 에러나면 고치는거고, 영문과는 '아리까리하다'란 단어 번역해야 하는거고, 경제학과는 부동산 가격이나 예측하고 있어야 하는 거지만, 물리과는 조용히 있어 주어야 하는 겁니다.(이건 철학과도 그럴듯...)

그러고 보니 수능 준비하던 때가 생각나는군요. EBS에서 수능 점검용 문제집을 내기도 하는데(그 왜 최종점검용으로 나오는 얇고 큰 문제집 있잖아요), 물리II는 대전에 없었습니다. 당시 반짝 서울로 학원을 다니던 때라 고속터미널에서 문제집을 사 돌아오기는 했는데, 친구들 말을 들어보면 물리II 문제집은 대전 어디에도 없었다는군요. 어찌되었든 친구들은 제 문제집 복사해 가서 열심히 풀더군요. 뭐 얼마나 물리II를 신청한 사람이 없었으면 대전에 안 들어왔겠느냐는 답이 가능하겠지요. 그만큼 물리란 학문은 사람과 거리가 먼 듯 합니다(먼산..).[각주:1]

뭐 어찌되었건, 어떻게든 물리를 공부해야 하는 한 사람으로서 물리가 무엇인지에 대해 잠깐 정리해 보는 것도 좋은 경험이 되겠지요. 자, 그럼 시작합니다.

물리는 '자연을 수학으로 모형화(Modeling)하는 학문'입니다. 사람에 따라서는 물리학 법칙이 '실제 자연이 움직이는 원리이다'와 '자연을 제일 잘 서술하는 근사(Approximation)이다'[각주:2] 두 가지로 나뉩니다만, 모형화라는 부분은 공통입니다. 이 모형이 실제 자연인가 좋은 근사인가에 대한 왈가왈부일 뿐이지요. 그리고 중요한 것은 모형화한다는 것입니다. 모형화라는 것이 수학과 물리를 구분짓는 가장 큰 기준이 됩니다. 사실, 순수하게 물리적인 부분이라고 할 수 있는 부분은 모형화까지입니다. 그 이후부터는 각종 방정식을[각주:3] 풀어내는 것이 전부인데(이후 결과값을 해석하는 것은 모형화라고 보아야겠지요.), 이건 사실 수학으로 보아도 무방하지요. 뉴턴경이 위대한 물리학자이면서 유명한 수학자라는 것이 이 사실을 뒷받침합니다.[각주:4]

그러면 이런 모형화에 대해서 알아보는 것이 다음 수순이 되겠지요. 모형화는 주로 몇 가지 가정을 통해 이루어집니다. 이런 가정 중 어떤 것은 모든 모형에서 다루지만 어떤 것은 그 모형에서만 다루어져 그 모형을 특징짓기도 합니다. 모든 모형에서 다루는 대표적인 가정으로는 '우주가정'을 들 수 있습니다. 아무 것도 없는 공간에서는 위치와 방향을 가늠할 수 없다는 것이지요. 이것을 공간의 균일성(Homogeneity)과 등방성(Isotropy)이라고 부릅니다.[각주:5] 한편, 특별한 모형에서만 다루는 가정으로는 슈레딩거 방정식이나 운동량 보존 법칙이 있습니다. 슈레딩거 방정식은 사실 가정입니다. 모든 파동함수가[각주:6] 이 편미분방정식에[각주:7] 따라서 변화한다는 가정이며, 이 가정이 비상대론 영역에서 양자역학의 뼈대를 이룹니다. 운동량 보존 법칙은 각 물체를 나타내는 운동량이라는 벡터량의[각주:8] 총합이 보존된다는 가정입니다. 이 가정은 뉴턴역학의 뼈대를 이루지요.[각주:9]

자, 그러면 이제 이 가정들이 얼마나 합당한지를 살펴보아야 합니다. 이런 검증 과정은 실험으로 이루어집니다. 이것이 모형화라는 특징을 갖는 물리학이 수학과 다른 부분이지요. 물리학에서는 가정이 얼마나 합당한지를 실제 자연 현상을 관찰해서 결론내립니다. 하지만 수학의 경우에는 그런 과정이 없습니다. 요즘 한창 유명한 (초)끈이론이 아직은 물리학의 범위에 발을 들이지 못한 이유도 이것입니다. 모형을 검증할 정도로 기계장치들이 발전하지 못했다는 것이지요.[각주:10]

이제 정리하겠습니다. 물리학은 자연의 모형화를 다루는 학문입니다.[각주:11] 이 모형화는 수학적인 모형화이며,[각주:12] 이것이 물리학을 수학과 떨어뜨려 생각하기 힘들게 합니다. 또, 수학과 물리학이 다른 것은 물리학은 모형이 얼마나 적합한지를 실험으로 검증해야 하기 때문입니다. 이 정도면 깔끔한 정리라고 보여지는데, 아닌가요?

덧. 이게 바로 날려먹은 그 글입니다. 아아아아ㅏ악! 짜증나 ㅠㅠ
덧2. 크게 보면 예전 글 리뉴얼입니다. 07년에 썼으니, 상당히 오래된 글이네요.
2007/08/05 - 물리란 무엇일까?

  1. 그러고 보니 당시(08수능)에 있었던 물리II 복수정답 스캔들(?)이 생각나는군요. 기체의 자유도에 대한 문제였던 것으로 기억하는데, 전 사실 그 문제제기는 적당하지 않다고 생각합니다. 물론 물리학의 관점에서 보면 옳은 소리이긴 하지만, 교과과정을 봐야지요. 언어공부 제대로 했으면 고등학교 과정에서는 자유도가 3 이상인 이상기체는 다루지 않는다는 것을 알 것이고, 그러면 정답이라고 보기 힘들다는 것도 아실텐데 말이지요. 물론, 저도 고민하다가 원 정답을 찍기는 했습니다. [본문으로]
  2. 파동함수(나중에 설명)를 어떻게 해석할 것인지에 대한 입장 중에서 리처드 파인만은 '닥치고 계산'이라는 입장을 고수했다고 알려집니다. 물리 법칙을 근사로 이해하는 것의 연장선상에 이 입장을 놓을 수 있겠지요. [본문으로]
  3. 방정식은 '수들 사이의 관계'라고 할 수 있습니다. 이 방정식을 이용하여 아는 수들을 이용해 모르는 수를 알아내는 것을 '방정식을 푼다'라고 합니다. [본문으로]
  4. 뉴턴역학으로 유명하신 우리의(?) 뉴턴경은 라이프니츠와 함께 미적분학의 발견자로 명성을 떨치셨습니다. 이 일로 둘이 피터지게 싸웠다는 후문이... [본문으로]
  5. 예전 글에 이에 대해서 조금 설명해 두었습니다. 용어 선택은 조금 다르긴 하지만, 내용상 큰 차이는 없으니 참고 바랍니다. http://dexterstory.tistory.com/247 [본문으로]
  6. 함수는 '여러 입력값에 하나의 출력값을 내보내는 것'이라고 요약할 수 있습니다. 예를 들어 z=x^2+y라는 함수의 경우 x에 2를, y에 3을 넣어주면 z에 7을 출력합니다. [본문으로]
  7. 미분은 '함수에서 입력값이 변화할때 출력값이 어떻게 변화하는가'를 나타내어 줍니다. 편미분은 입력값을 하나로 제한하는 경우에 얻어지는 결과이구요. 보통 미분은 그래프의 기울기로 나타납니다. [본문으로]
  8. 벡터란 '덧셈과 곱셈이 잘 정의된 집합의 원소'를 말합니다. 물리의 영역으로 끌어오면 한 가지 조건이 더 붙는데, 그것은 바로 '변환에서 공간상의 점과 같은 방식으로 변해야 한다'는 것입니다. 이것은 물리에서 다루는 벡터량이 측정량과 관련이 있다는 사실과, 이 측정량은 누가 어떤 기준에서 측정하더라도 동일해야 한다는 것에서 붙는 제한입니다. 이런 잡소리를 다 무시하고 간단하게 말하자면, 벡터란 '방향을 가지는 수'라고 할 수 있습니다. [본문으로]
  9. 전 슈레딩거 방정식과 운동량 보존 법칙을 가정이라고 했습니다. 왜냐하면 그것은 증명할 수 없는 것이기 때문입니다. 공리(axiom, postulate)라고 부르기도 하지만 넓게 보면 가정이라고 보아야겠지요. 논리를 출발시키려면 어딘가 단단한 기반이 있어야 합니다. 그것은 물리학도 마찬가지입니다. [본문으로]
  10. LHC가 검증할 수 있게 되기를 바라는 사람들이 많기는 하지만, 아직까지는 검증 안된 이론일 뿐... [본문으로]
  11. 주식시장 예측으로 나가는 사람들이 많은 것도 이런 이유에서일지도... 주식의 오르락내리락을 모형화하는 것이니까 모형화를 다루는 학문으로서는 유리하겠지요. [본문으로]
  12. 캘빈경도 일찍이 수학의 중요성을 강조했지요. "In physical science the first essential step in the direction of learning any subject is to find principles of numerical reckoning and practicable methods for measuring some quality connected with it. I often say that when you can measure what you are speaking about, and express it in numbers, you know something about it; but when you cannot measure it, when you cannot express it in numbers, your knowledge is of a meagre and unsatisfactory kind; it may be the beginning of knowledge, but you have scarcely in your thoughts advanced to the state of Science, whatever the matter may be." [PLA, vol. 1, "Electrical Units of Measurement", 1883-05-03] - http://zapatopi.net/kelvin/quotes/ [본문으로]
Posted by 덱스터
[주의] 일반인을 내쫓는 글 입니다.

1.
하나의 입자를 서술하는 한 파동함수가 A에서 델타함수로 붕괴한 다음에 B에서 델타함수로 붕괴한다.
이때 관찰자를 잘 잡으면 A에서 붕괴하는 사건과 B에서 붕괴하는 사건이 동일 시간에 일어나게 되는데, 그러면 이때에는 하나의 입자가 두개의 입자가 된 것으로 나타나게 되지 않을까?
(어제 수업시간에 했던 질문)

2.
상대론을 양자역학에 접목시키려면 그렇게 변환하면 안된다는 답변이...
그것보다도 상대론적 양자역학에서는 하나의 관찰자만을 가정한다고 했던 것 같다. 하나의 관찰자를 잡은 다음에는 그대로 쭈욱 가야 한다고....

3.
생각해보니 저 사건이 일어나려면 붕괴하는 사건은 space-like 관계여야 한다(즉, ds^2=dx^2+dy^2+dz^2-dt^2으로 잡으면 ds^2>0). 그런데 그러면 입자가 빛의 속도 이상으로 움직였다는 말이 되는데, 이건 상대론의 가정에서 어긋나는구나.
(터널링이 일어난다면 가능할지도...)
그런데 그것보다도, 파동함수가 붕괴했을 때 그게 다른 관찰자에게는 붕괴한 것이 아닌 것으로 보일 수 있다는 것이 문제인듯 하다. A에게 동시인 것이 B에게 동시인 경우는 매우 드무니까...

4.
갑자기 지난 학기에 들었던 '파인만의 업적'이 생각났다.
이른바 재규격화(re-normalization)이라는 거였던 것 같은데, 조금은 알 것 같기도...
관찰자를 바꿀 때 마다 파동함수를 재규격화 해야 한다는 건가...

5.
결론> 슈뢰딩거 방정식이나 마스터하고 디랙으로 넘어가든가 하자 -_-
Posted by 덱스터
일요일(그러니까 대보름 전날) 달무리를 보았습니다. 여태 달무리는 달 주변에 조그맣게 생기는 것인 줄 알았는데 엄청 크더군요.(쿨럭;) 뭐 초중딩때 과학 공부(특히 기상 부분 OTL) 조금 하셨다면 달무리나 해무리는 48시간 이내에 비가 온다는 것을 예보하는 기상 현상이라는 것도 아실 겁니다. 마침 나갔다 들어왔는데 이슬비가 내리더군요.

제가 눈대중으로 잰 달무리의 반경은 0.38 래디언, 즉 약 22도였습니다. 달무리를 만드는 그 각도가 어떻게 생겨나는가에 대해 고심하기 시작했지요. 덕분에 고딩때 손 놓았던 기하광학에 빠져들었습니다.


먼저 몇가지 가정을 해 보겠습니다.

1. 달빛은 평행하다.
2. 물방울은 구형이다.
3. 달무리는 물방울 내부에서 일어나는 굴절이나, 내부에서 반사 후 일어나는 굴절에 의해 생긴다.

그리고 달무리의 사진을 봅시다. 해무리도 좋습니다.(편의상 위키피디아의 Halo 항목에 있는 사진을 가져왔습니다.)

File:Bosman 09222008 002-1.JPG

안쪽이 어둡습니다.
이건 빛의 굴절이 어느 각도 이하에서는 일어나지 않는다는 의미입니다. 그러니까, 22도 이하에서는 일어나지 않던 빛의 굴절이 22도 이후부터 생겨나기 때문에 상대적으로 안이 어둡고 밖이 밝은 무리가 생긴다는 것입니다. 이건 무리가 어떻게 생기는가에 대한 탐구 방향을 제시해줍니다.


case I. 1회 굴절할 경우



델타(δ)가 물방울 안에서 반사가 일어나지 않을 때, 광선이 휘어지는 각도입니다. 이 각도는 입사각인 베타(β)와 물의 굴절률 n에 의해 영향을 받게 됩니다. 이등변삼각형의 원리와 스넬의 법칙, 그리고 기타 등등을 버무려서 계산해 보면, 다음 식을 얻게 됩니다.

\delta = 2(\beta - \arcsin ( \frac {\sin(\beta)} {n})

하지만 입사각이 전부 동등한 중요도를 갖지는 않습니다. 당연히 입사각이 똑바를수록 더 많은 입사광을 받겠지요. 그래서 중요한 것은 물방울의 중심으로부터 얼마만큼 떨어져 있으면 얼마만큼 굴절되느냐입니다. 물방울에 비치는 빛이 일정할 경우 빛의 세기는 중심에서의 거리와 무관할 테니까요.


위의 그림에서 입사각 베타와 거리 d, 그리고 반지름 R 사이에는 다음의 식이 성립하는 것을 알 수 있습니다. 편의상 거리대 반지름의 비율 d/R을 x라고 부르도록 하겠습니다. x는 0부터 1 사이에 속하는 수가 되겠지요?

\beta = \arcsin(\frac{d}{R}) \\ = \arcsin(x)

이 결과를 굴절각 델타에 넣어보면 다음 식이 얻어집니다.

\delta = 2(\arcsin(x) - \arcsin(\frac{x}{n}))

이 식을 이용해 그래프를 그려보겠습니다. 굴절률 n은 1.33을 넣었습니다.


x가 1일 때의 값은 약 1.44래디언으로, 각도로 따지면 약 82도 정도 됩니다. 이 상관 없어 보이는 숫자는 어디에 쓰이는 숫자일까요? 바로 태양이나 달이 밝히는 하늘의 범위입니다. 그러니까 태양이나 달을 중심으로 한 82도의 범위 내의 하늘은 굴절된 빛에 의해 밝게 빛난다는 뜻이지요. 이 값은 순수히 물방울에 의한 굴절만 계산했기 때문에, 반사광이나 먼지의 영향은 고려되지 않았다는 점에 유의하시길 바랍니다.



case II. 내부에서 1회 반사가 있을 경우



위의 경우입니다. 이번에도 마찬가지로 여러가지 식들과 싸우다 보면 다음의 결과를 얻게 됩니다.

\delta = \pi + 2\arcsin(x) - 4\arcsin(\frac{x}{n})

흠... 일단 그래프 먼저 그려보겠습니다...

적색은 case I이고, 이번에 그려진 그래프는 녹색입니다.

원하던 형태의 그래프입니다. 어느 각도 이하에서는 빛이 더 이상 굴절되지 못하지요. 해무리와 달무리처럼 말입니다. 그런데 문제는, 값이 π 근처에만 존재하는 것을 볼 수 있습니다. 최소값은 약 2.40래디언으로, 각도로 바꾸어주면 138도입니다. 180도에서 42도 모자란 셈이지요. 바로 무지개의 각도입니다. 결국 무언가 틀렸다는 말이 되는데, 무엇이 문제였을까요?

가정으로 돌아가 보겠습니다.

1. 달빛은 평행하다.
2. 물방울은 구형이다.
3. 달무리는 물방울 내부에서 일어나는 굴절이나, 내부에서 반사 후 일어나는 굴절에 의해 생긴다.

가정 1은 합당한 가정입니다. 달의 거리가 얼마나 먼데요...
가정 2가 문제입니다. 무리는 상공에 얼음이 떠 있을 때 만들어집니다. 얼음의 경우에는 결정이 구형이 아니라 육각형입니다. 그래서 이런 오류가 생기는 것이지요. 결국 구형 물체가 아닌 다른 물체를 가정해야 한다는 것이지요.(전 이 가정에서 이틀동안 헤매다가 결국 찾아보고 말았습니다.)


나머지는 포스트 2에서 찾아뵙겠습니다 -_-;;;
(포스트 하나 쓰는것도 은근히 힘들군요)

'Physics > Concepts' 카테고리의 다른 글

Lagrangian formulation(1)  (2) 2009.05.06
물리학이란 학문에 대해서  (19) 2009.03.07
힘과 운동  (0) 2008.08.08
우주의 균일함과 중심력  (0) 2008.08.08
에너지, 일-에너지 정리와 열역학 제 1법칙  (0) 2008.05.27
Posted by 덱스터
물리는 어렵지 않습니다. 단지 관심과 그에 맞는 시간을 요구할 뿐...

특별기획 물리의 벽을 깨라!-제 2회 기획글입니다.

먼저 연당선생의 홈페이지에는 실체진실의 장이라는 코너가 있습니다. 이번 글에서는 이에 대해 무엇이 잘못되었는지 지적을 하면서 반론을 하게 될 것입니다. 먼저, 특수상대론이 무엇인지 알 필요가 있으니 잘 모르시는 분은 전 글을 참고하시길 바랍니다.

[물벽깨-1] 특수상대론은 무엇인가



동시성의 상대성 - 나에게 동시에 일어난 일은 남에게 동시에 일어나지 않았다?


특수상대론이 상식을 야멸차게 배신하는 경우의 대표적인 예는 동시성의 문제입니다. 동시성의 문제란 쉽게 말하면 "나에게는 동시에 일어났는데, 왜 너한테는 다르게 일어났냐"라고 할 수 있지요. 일단 그 이전에 물리에서 중요한 개념 중 하나인 "사건"에 대해 명확히 하고 넘어가야겠습니다.

"사건"이란 "하나의 점(공간을 지정합니다)에서 하나의 시간에 일어난 것"을 말합니다. 그러니까 '대한민국 서울, 2008년 11월 20일. 덱스터가 블로그에 글을 올리다'가 사건의 일례입니다.('대한민국 서울'이라는 공간을 지정하는 점과 '2008년 11월 20일'이라는 시간을 지정하는 점, 그리고 이때 '덱스터가 블로그에 글을 올렸다'라는 일까지 전부 합친 것이 사건이지요.) 물리에서는 이 사건이 중요합니다. 왜냐하면, 물리는 "일어난 사건들을 통해서 일어날 사건들을 예측하는 학문"이거든요. 또, "사건은 누가 보더라도 같게" 일어나야 합니다. A라는 사람과 B라는 사람이 하나의 사건을 서로 다르게 보았다고 한다면(예를 들어 개와 고양이가 싸우는 사건[각주:1]이 일어났는데 A는 개가 이기는 사건으로 끝났다고 하고 B는 고양이가 이기는 사건으로 끝났다고 한다면), A와 B는 다른 세계에 사는 것이란 말입니까?(평행우주? 생각해 보니 재밌네요 -_-;;) 당연히 일이 일어났으면 일어난 거고 일어나지 않았으면 일어나지 않은 것이지요.

이제 동시성의 상대성이란 말은 여기서 등장하는 말입니다. 두 사건이 동시에 일어났다고 생각할 수 있지만, 다른 사람에게는 그게 동시에 일어나지 않은 사건일 수 있다는 것입니다. 이게 무슨 뚱딴지같은 소리냐고요?

다음과 같은 상황을 생각해 봅시다. 제가 기차 플랫폼에서 기다리고 있는데 기차가 자기를 막 지나 가는거예요. 편의상 이 기차는 제가 보기에 일정한 속도로 가고 있다고 합시다. 그런데 이 기차의 한가운데에는 기차의 양 끝 벽으로 빛을 쏘는 장치가 설치되어 있습니다. 갑자기 이 장치가 빛을 쏘게 된다면 기차 안에서는 이런 모습을 보게 되겠지요.

File:Traincar Relativity1.svg

당연하지요. 빛의 속도는 일정하니까, 한 가운데에 있으면 장치가 빛을 쏘기 시작하는 점에서부터 양 끝까지의 거리가 같으니까 둘 다 도착하는데 걸리는 시간은 같을 것입니다. 당연히 동시에 이루어져야 할 것 같은데, 무엇이 문제인 걸까요?

문제는 제가 보고 있는 현상입니다. 전 플랫폼에 서 있어요. 제가 보는 현상은 이렇습니다.

File:Traincar Relativity2.svg

뒤에 먼저 빛이 도달합니다. 왜냐하면, 기차의 뒷 벽은 다가오는 빛을 '마중나가기 때문'이지요. 반대로 앞쪽 벽은 도망갑니다. 그래서 시간이 더 걸리지요. 결국, 기차 안에서는 빛이 벽에 도달하는 두 사건이 동시에 일어났지만, 제가 보기엔 벽 뒤에 도달하는 것이 먼저 일어난 것으로 느껴지게 됩니다. 이렇게 한 사람이 보기에는 동시에 일어났던 사건이 다른 사람이 보기에는 다른 시각에 시작한 것처럼 느껴지는 것을 동시성의 상대성이라고 부릅니다. 이런 현상이 일어나는 데에는 특수상대론의 첫 가정인, 모든 관성계는 동등한 물리 법칙을 갖는다가 놓여 있습니다.

그래프를 보실 줄 아시는 분들을 위해 깜짝 준비한 선물입니다 ^^(사실 위키피디아에 가면 있긴 하지만...-_-;;) 민코프스키 다이어그램이라는 그래프입니다. 이 그래프는 특수상대론에서 여러 사건들을 다루기 쉽도록 하기 위해서 고안된 그래프이며, 보통 가로축에 공간상의 좌표를 세로축에 시간상의 좌표를 놓습니다. 이 그래프의 가장 큰 특징은 축의 기울기를 일정하게 바꾸어 주면 다른 이동하는 사람이 어떻게 사건을 보고 있는지 서술해준다는 것입니다. 이 변형 방식은 조금 독특해서, 축을 한 방향으로 몰아주는 형태를 취하지요. 자 그러면 그래프 나갑니다 ^^

File:Relativity of Simultaneity Animation.gif

아래 쓰인 숫자가 변하는 것 보이시죠?? ^^ v는 속도를 나타내는데(velocity의 첫 글자), c는 잘 아시다시피 빛의 속도입니다(어원은 불분명하다고 하지요.). 처음에 속도가 0이었다가(정지한 입장이었다가) 0.3c(+ 방향으로 광속의 30%로 이동하는 사람이 보는 좌표), -0.5c(-방향으로 광속의 50%로 이동하는 사람이 보는 좌표) 이렇게 변하는 것을 보시면 그래프가 특이하게 변하시는 것을 보실 수 있습니다. 물론 사건 자체는 그대로 있는데, 왜냐하면 관측자가 움직이면서 변하는 것은 그 관측자가 측정할 때 쓰는 자이기 때문이지요(이것이 축이 저렇게 이리저리 움직이는 원인입니다). 잘 보시면 속도가 0일 때에는 동시에 일어났던 일들이(즉, 같은 시간값을 갖던 사건들이) 보기에 따라서 다른 시간값을 갖는 것을 보실 수 있습니다. 이게 물리학에서 말하는 동시성의 상대성입니다.




실체진실의 장 1 - 동시성의 상대성은 존재하지 않는다?


자 이제 실체진실의 장 1에 대해 반론해 봅시다. 먼저 연당선생의 글을 보도록 하지요.


이를 이해하기 쉽게 설명하면 두대의 로켓 문제가 되겠습니다.[각주:2] 상황 설명에 대한 것은 자세히 하지 않고, 여기서 오류만 지적하려고 합니다. 아니, 오류라기보다는 빼먹은 논의를 지적해야겠군요. 위에서 말한대로 당연히 K'이 보는 빛은 동시가 아니며, 이건 고전역학적인 범위에서도 당연한 말입니다. 그런데, K'이 보는 빛이 동시가 아니라면 K'은 빛이 동시에 발사된 것이 아니라고 느낀다는 것이 핵심입니다. 왜냐하면, K'이 보는 원점과 광원 사이의 거리는 K에서 보고 있는 원점과 광원 사이의 거리와 똑같거든요. 그러니까, 빛이 발사되는 사건이 K에서는 동시에 일어났다고 할 수 있지만 K'에서는 동시에 일어나지 않았다는 것입니다. 왜냐하면, (다시 말하다시피) 빛의 속도는 누가 어떤 속도로 이동하고 있어도 보기에 똑같고, 거리가 같다면 그 거리를 빛이 이동하는데 걸린 시간은 같기 때문이지요.

그냥 제가 보기엔 연당선생께서는 특수상대론에 대해 완전한 이해를 못 하신 것 같습니다.



덧1. 어익후.. 벌서 해를 넘겼네요;;; ㄷㄷㄷ 앞으로도 쓸 말이 많은데...
덧2. 특별기획이 이거 아무리 비정기포스팅이라고 해도...-_-;;; 다음엔 노력하도록 하겠습니다 ㅠㅠ
  1. 이때는 엄밀히 말해 사건'들'이 맞겠지요. 개가 앞발을 휘두르는 사건 하나, 고양이가 꼬리로 후려치는 사건 하나, 뭐 이런 식으로 여러 사건들을 전부 일컫는 것이니까요. [본문으로]
  2. 일반물리학을 공부하는데 기본 지침서중 하나로 애용되는 Halliday의 Fundamentals of Physics에 잘 나와 있답니다. [본문으로]
Posted by 덱스터
生 이론물리 포스트입니다 ^-^;;
아무래도 엔비앙 님만 이해하실듯...ㄷㄷ;;;

포인팅 벡터(Poynting Vector)라는 것이 있어요. 전자기학에서 에너지의 흐름을 나타내는 벡터인데, 많은 경우 이 녀석이 말하는 내용이 직관적으로는 말이 안 됩니다. 가장 대표적인 예로는 열이 발생하고 있는 저항선에서 전기 에너지가 어디서 들어오는가 하는 문제이지요. 직관적으로 생각하면 전기 에너지는 전지에서 전선을 타고 들어와서 열에너지로 빠져나가야 합니다. 전선을 타고 에너지가 흐른다는 생각을 하는 것이지요. 그런데 포인팅 벡터는 전선의 외부에서 전선 속으로 에너지가 흘러 들어온다고 말합니다. 그러니까, 전선을 타고 들어오는 에너지는 하나도 없다는 것이 포인팅 벡터가 말하는 주된 내용입니다. 이건 저번 주 수요일 강의 내용이었지요.(교과서로는 파인만 강의록을 사용하고 있는데, 이 책 참 읽기가...-_-;;)

그날 일이 있어서 맥주 한캔을 빨고(-_-;;) 잠자리에 들다가 갑자기 이런 생각이 들었습니다. '논리적으로 생각하면 에너지는 당연히 전선을 타고 올 수 없구나!'. 원래 떠올린 것은 '전자의 부호를 -가 아닌 +로 센다면' 이었는데, 찾아보니 C-대칭(Charge Conjugation Symmetry-입자를 반입자로 바꾸어도 물리 법칙이 일정하다는 그런 내용입니다. 중력과 전자기력에는 적용되지만 약력에는 적용되지 않는다고 하더군요.)과 전혀 차이가 없는 듯 합니다. 하여튼, 시작해 보겠습니다 ^^;;

먼저, 몇 가지 가정을 할 필요가 있습니다. 첫 가정은 '전하의 부호를 반대로 세어도 전자기학 법칙은 바뀌지 않는다' 이고, 두 번째 가정은 '에너지는 국소적으로 보존된다' 입니다. 첫 가정으로부터 얻어지는 뒤따르는 가정은 '에너지의 흐름은 전하의 부호를 반대로 세어도 바뀌지 않는다'가 되겠지요. 흠... 이건 독립된 가정인가요? 뭐 하여튼 가정은 이쯤에서 끝내고, 적용해 보겠습니다.

먼저 에너지는 전선만 타고 흐를 수 있다고 가정합니다. 그러면 전선에는 전류가 흐르는 방향이 있을 것이고, 전체 에너지의 흐름은 전류의 방향과 (1)평행하거나, (2)역평행(antiparallel)하거나, (3)무관해야 합니다. 여기서 무관하다는 말은 에너지가 모든 점에서 수렴한다거나 모든 점에서 발산한다는 것인데, 이렇게 되면 두번째 가정인 '에너지는 국소적으로 보존된다'에 어긋나게 됩니다. 사실, 에너지 보존 법칙을 쓰지 않더라도 어떻게 해야 모든 점에서 에너지가 수렴하거나 발산하도록 할 수 있는 방법이 있기나 한지 저는 전혀 모르겠네요.(지금은 에너지가 전선만 타고 흐를 수 있다고 가정했기 때문에 그렇습니다.)

그러면 당연히 전체 에너지의 흐름은 전류의 방향과 평행하거나 역평행하다는 결론이 내려집니다. 이제, 전하의 부호를 바꾸어 세 보겠습니다. 그러면 전류의 방향이 역전되고, 에너지의 흐름도 반대가 되겠지요. 그런데 문제는, 이렇게 바꾸어 세기만 했을 뿐인데 에너지의 흐름이 뒤바뀌느냐는 겁니다. '에너지의 흐름은 전하의 부호를 반대로 세어도 바뀌지 않는다'는 가정에 의해서 에너지의 흐름은 전류의 방향과 무관하다는 결론이 얻어집니다. 왜냐하면, 에너지의 흐름이 반대가 되어도 원래 에너지의 흐름과 같으려면 에너지의 흐름은 그 점에 대하여 대칭이 되어야 하기 때문이지요. a=-a의 답이 a=0인 이유와 같다고 생각하시면 됩니다. 그런데 앞서 한 논의에서 에너지의 흐름이 전선 위에만 있으면서 모든 점에서 수렴하거나 발산하는 경우는 있을 수 없다고 결론내렸습니다. 따라서, 위의 가정 중 하나가 틀렸다는 말이 되지요. 그러면 가장 만만한(?) 가정은 에너지는 전선만 타고 흐를 수 있다는 가정입니다. 결국 에너지는 전선이 아니라 공중에서 흘러들어온다는 것이 논리적으로 볼 때에는 타당하다는 것이지요.

음... 이건 전 이렇게 해석했습니다. 전기장을 만드는 것은 실제로는 만드는 것이 아니라 공간에 퍼져 있는 미세한 전기장을 그 지점으로 끌어오는 것이라구요. 그러니까, 거의 0에 가까운 전기장들을 전선 주변으로 가져오는 것이 전선에 전류를 흘리는 방법인데, 이렇게 전기장들을 전선으로 가져오려면 전기장들은 허공에서 전선으로 흘러들어가는 형태가 되어 버립니다. 이렇게 전기장들이 허공에서 흘러들어가니까 포인팅 벡터가 허공에서 전선 속을 향하고 있다고 생각하는 것이지요. 이 논의는 무한평면축전기에도 적용이 가능해 보입니다. 파인만 강의록에도 같은(?) 방법으로 설명해 두었더군요. 물론, 파인만 강의록에 있던 설명은 무한평면축전기에 대한 내용이었긴 하지만 말입니다.

덧. 물리시험은 다음주 월요일이고 내일 통계시험이 있는데 이러고 있는 저는 막장?

'Physics > Speculations' 카테고리의 다른 글

Time operator?  (2) 2009.10.20
왜 하필이면 Hamiltonian 연산자인가?  (0) 2009.10.17
복소수 대칭과 시간대칭  (23) 2009.04.30
어는점내림/끓는점오름을 다른 상수에서 구하기  (4) 2009.04.24
파동함수...  (6) 2009.03.04
Posted by 덱스터
물리는 어렵지 않습니다. 단지 관심과 그에 맞는 시간을 요구할 뿐...

특별기획 물리의 벽을 깨라!-제 1회 기획글입니다.

먼저 연당선생의 홈페이지에는 실체진실의 장이라는 코너가 있습니다. 이에 대해 반론하기 전에, 특수상대론이 무엇인가를 알아봐야 하겠지요. 먼저 특수상대론이 무엇인지 알아봅시다.



특수상대론은 무엇인가요?


특수상대론은 '특별한 상황에서 적용되는 상대론'입니다. 특별한 상황이란 우리가 지구위에 서 있도록 해 주는 중력이 없는 경우를 말하지요. 여담이지만 물리학자들에게 이 중력이란 놈처럼 여러곳에 산재하면서 골치아픈 녀석도 없습니다. 과학쪽에 관심이 있는 사람이라면 다 알고 계실 통일장이론에서 유일하게 마지막까지 해결하지 못한 녀석이 중력이지요. 지금은 해결 되었는지 모르겠습니다만...

다시 돌아와서, 특수상대론이 등장하게 된 이유는, 빛(전자기파)의 속도가 일정하게 관측되어야 한다고 전자기학이 예측하였기 때문입니다. 자, 상식적으로 생각해 봅시다. 100키로로 달리고 있는 도주차량이 있습니다. 이 자동차를 50키로로 쫓아가는 경찰차에서 바라보면 당연히 이 도주차량의 속도는 50키로로 보여야 하겠지요. 그런데 빛의 경우에는 그렇지 않더라는 말입니다. 50키로로 쫓아가서 바라보더라도 여전히 100키로로 도망가고 있는 것처럼 보인다는 것이지요.(경찰관 입장에서는 통탄할 노릇이군요) 더 나아가서, 이 도주차량을 1키로로 쫓아가던지, 99키로로 쫓아가던지 이 도주차량은 계속 100키로로 도망가는 것처럼 보인다는 것입니다. 그러니까, 누가 쫓아가더라도 이 도주차량을 잡을 수 없다는 것이 전자기학이 예측한 현상입니다.(전자기학에서는 이 도주차량이 빛입니다.)

여기까지는 이해하셨죠??

원래 전자기학이 예측한 상황은 이게 아니었습니다. "누군가가 측정하기에 빛의 속도는 항상 c이다"였지요. c는 초속 299,792,458미터로, 우리가 자주 쓰는 키로미터 단위로 환산하면 초당 약 삼백만 키로미터가 됩니다. 이 속도는 1초만에 지구 둘레의 일곱배 하고도 반을 돌 수 있을 정도로 빠른 속도입니다.(80일간의 세계일주에서 포그씨가 80일동안 지구 한바퀴를 겨우 돈 것을 생각하면 이건 그야말로 혁명적(?)인 속도이지요.) 그래서 '광속'이란 단어는 매우 빠른 속도를 일컫는 일반명사로 쓰이기도 합니다. '광속으로 갔다와라'는 말에서처럼 말이지요. 그런데, 이 광속이 "누가 측정하기에 항상 c인가?"라는 의문이 남습니다. 누구일까요?

옛 사람들은 이 누군가가 "완전히 정지해 있는 사람"[각주:1]이라고 생각했습니다. 초등교육때부터 계속적으로 주입된 과학교육으로 아시다시피, 지구는 멈추어 있지 않아요. 지구는 태양 주위를 돕니다(이를 서로 돌고 있다고 해서 공전이라고 부릅니다.). 자체적으로 돌고 있기도 하구요(이를 스스로 돈다고 해서 자전이라고 부르지요.). 그래서, 옛 사람들은 지구 위에서 빛의 속도를 측정할 수 있다면 이 빛의 속도는 c가 아닐 것이다라고 결론내렸습니다. 100키로로 달리는 자동차들만 가득한 고속도로에서 90키로로 달리고 있을 때, 반대편의 차는 매우 빠르게 지나가지만 주변의 차는 천천히 앞으로 지나가는 것처럼, 빛의 속도도 방향에 따라 다르게 느껴질 것이라는 것이었지요. 논리적으로는 전혀 문제될 부분이 없어 보입니다. 하지만, 실제 자연 현상은 그럴까요?

이런 느낌입니다.
(스캐너가 없어요...ㅠㅠ 디카 사진입니다.)

실제로는 그렇지 않았습니다. 마이켈슨-몰리 실험에서 "지구에서 측정한 빛의 속도는 방향에 상관없이 일정하다"는 결론이 내려진 것입니다.(이 실험에 대한 자세한 설명은 다음에 다른 글에서 하겠습니다. 이게 할 말이 상당히 많은 흥미로운 주제이거든요.) 패닉이지요. 쉽게 설명하자면, 위의 고속도로에서 달리고 있는데 이쪽의 자동차나 저쪽의 자동차나 같은 빠르기로 지나가는 것처럼 느낀다는 것입니다. 여기서 상식이 깨지기 시작합니다. 왜 빛은 쫓아가도 그 속도 그대로 도망갈까?(여담이지만, 빛이 도둑이었다면 치안유지가 상당히 힘드리라 생각되네요. 무슨 도둑이 다 홍길동이야 -_-)

이에 아인슈타인은 상식 비틀기를 시도합니다. "움직이면 시간이 늘어나고 거리가 줄어든다"는 것이었지요. 단, 주의해야 할 것이 있습니다. 이때 늘어나고 줄어드는 것은 기준이 되는 시간과 거리입니다. 그러니까, 움직이는 녀석의 1초가 제가 보기엔 1.1초인 것이고, 움직이는 녀석의 1미터가 제가 보기엔 0.9미터인 것이지요. 그러면 제가 관측한 55초는 움직이는 녀석에게는 50초처럼 느껴지는 것이고(수정)제가 관측한 50초는 움직이는 녀석에게는 55초처럼 느껴지는 것이고, 제가 관측한 50미터는 움직이는 녀석에게는 45미터로 느껴지는 것이지요. 환율에 빗대어 설명해 보자면, 1 달러의 값(측정하는 값-미터나 초가 여기에 해당합니다.)이 1100원(자연상태의 값-아직 측정하지 않은 거리나 시간입니다.)이었는데 줄어들어 1000원이 되어 버리면, 실제로는 전혀 변하지 않은 5만 5천원이 50달러였다가 55달러로 늘어나는 것과 같은 이치입니다. 이렇게 기준이 되는 시간과 거리가 늘어나고 줄어들기 때문에, 실제 관측값은 줄어들고 늘어나게 됩니다. 이 부분이 오해하기 가장 쉬운 부분입니다. 이제 다시 돌아가 보지요.

속도는 다들 알다시피 이동거리를 시간으로 나누어 정의합니다. 이런 분수에서 분자(윗 부분)를 키우고 분모(아랫 부분)를 줄이면 분수는 커지게 됩니다. 위처럼 관측된 거리가 늘어나고 관측된 시간이 줄어들면 분수의 분자가 커지고 분모가 작아지면 분수의 크기가 커져, 속도가 늘어난다는 것이었지요. 이 늘어나는 정도는 정말 절묘하게 설정되어 있어서, 빛의 속도는 쫓아가는 정도만큼 그 속도가 정확히 늘어나서 그 속도 그대로 유지된다고 설명하는 것입니다.[각주:2]

이정도 수학은 중학교때 배우지 않나요?

이것이 특수상대론입니다. 최대한 쉽게 설명해 보려고 했는데, 이해하기 쉬웠는지는 잘 모르겠네요.[각주:3]

재미있는 것은, 이런 가정을 처음으로 한 사람은 아인슈타인이 아니라는 것입니다. 이런 가정을 처음으로 한 사람은 네덜란드 사람인 핸드릭 안톤 로렌츠(Hendrik Antoon Lorentz)였습니다. 애석하게도 이 분은 위의 "완전히 정지해 있는 사람"이 있을 거라고 생각해서 특수상대론에 다다르지는 못했지요. 그래도 이 사람이 만든 로렌츠 변환은 아직까지도 살아 남았습니다.(변환이란, "A라는 사람이 관측한 C라는 사건을 다른 B라는 사람은 어떻게 볼까"라는 질문에 답하기 위해 만들어진 수학적 과정을 말합니다.) 이제 이처럼 상식을 약간 비튼 일이, 얼마나 상식에서 벗어나는지는 다음 글에서 알아보겠습니다.


덧1. 원래 이 글은 다음 글과 같이 포스트하려고 공개를 미루었던 글인데, 공개가 너무 늦어지는 것 같아서(^-^;;) 지금 공개합니다. 다음 글은 사진만 구하면 금방 금방 쓸 것 같으니(기말이 코앞이긴 하지만 -_-;;) 오래 기다리실 필요는 없을 겁니다 ^^;;

덧2. 특수상대론이 문제가 아예 없는 이론은 아닙니다. 물론 상대론 자체에는 문제가 없지만, 이게 전자기학과 연계되는 과정에서 문제가 만들어지게 된다고 해야겠네요. 이에 대한 것은 나중에 다루겠습니다.
  1. 옛 사람들이 도입했던 개념인 '에테르'를 아시는 분이 있으련지 모르겠네요. 이 '에테르'가 보기에 멈추어 있는 사람이 '완전히 정지해 있는 사람'입니다. [본문으로]
  2. 정확히 말하자면 이건 상대론이 아닙니다. Preferred reference Frame Theory(PFT)에 해당하는데, 현 시점에서는 따로 구분할 필요는 없어 보이니 그냥 그대로 진행하도록 하겠습니다. [본문으로]
  3. 제가 설명을 하면서 한가지 빼먹은 것(상대성)이 있는데, 이것에 대해서는 다음 글에서 말해야 할 것 같습니다. 상대성에 대해 간단히 말하자면 '관성 운동(가만히 움직이거나 멈춰있는 운동)을 하는 관찰자들이 관측하는 물리법칙은 동일하다' 입니다. 역시 다른 글에서 설명하는게 낫겠네요. [본문으로]
Posted by 덱스터
안녕하세요 돌아온 덱스터입니다!(항상 여기에 있었으니 돌아왔다고 하기도 뭐하지만...;;)
제 블로그를 조금 꼼꼼히 돌아보신 분들은 아시겠지만(없을 거라고 거의 확신하지만..ㅠㅠ) 물리에 대한 포스트가 좀 많은(?) 편입니다. 물리에 관한 포스트를 손보고 있는 부분도 많구요. 그건 제가 공대생이라는 물리와 절대 벗어날 수 없는 영역에서 살아가고 있는것도 한 원인이 되겠지만 나름대로 물리를 많이 좋아하는 것이 주 원인이겠지요.

그런데 일단 물리에 대한 사람들의 인식은 이렇습니다.


...

이런 우스갯소리가 있습니다.

"제 옆자리의 사람과 대화를 나누고 싶을 때에는 천문학을 전공했다고 해요. 그냥 쉬고 싶을땐 물리학을 전공했다고 합니다." - 천체물리 전공자

이처럼 물리라는 것에 사람들은 거대한 벽을 느낍니다. 단순한 벽도 아닌 매우 거대한 벽을요.

그런데 실제로 물리라는 학문은 그렇게 어려운 학문은 아닙니다. 이런 말이 있지요.

어렵다는 것은 익숙하지 않다는 말의 다른 표현에 불과하다.
-도아

물리가 어려워 보이는 것은 물리가 기반으로 하는 학문이 수학이기 때문입니다. 수학이란 학문은 웬만한 관심을 갖지 않고서는 깊이있는 이해를 하기 힘들지요. 물리는 깊이가 어느 정도 있는 수학을 요구하기 때문에, 당연히 어려워 보일 수 밖에 없습니다. 하지만, 물리는 수학을 도구로 할 뿐 나머지는 상식에 기반을 둡니다. 즉, 수학만 다루지 않는다면 그리 복잡할 것 없는 학문이라는 것이지요. 그래도 시간은 많이 잡아먹을 것이라는 데는 저도 크게 동의합니다...ㅠㅠ

이번 기획은 이런 물리에 대한 벽을 깨뜨려 보고자 하는 것이 목표입니다. 예전에 서울메트로에서 야심차게 기획하던 풍력발전계획이 완전한 돈을 날리는 사업이라는 것을 증명하는 것은 목표가 아니긴 하지만, 앞으로 물리가 대중과 좀 더 가까워진다면 이런 어처구니 없는 사건은 사라지겠지요.

제일 먼저 '특수상대성 이론'을 시작으로 하려고 합니다. 상식과 가장 어긋나는 이론으로 유명하지요. 물론 이제는 이론이 아니라 정설에 가깝긴 하지만 말입니다. 이번 기획에 가장 커다란 영향을 주신 연당선생께 감사의 말씀 드립니다.

제가 왜 이런 기획을 하냐고요? 트래픽을 노려보자는 꿍꿍이도 있지만 지식 자체는 누구에게 귀속되는 것이 아니지 않습니까.(그 사용권은 좀 문제가 다르죠) 여튼, 이번 기획을 끝까지 가져갈 수 있느냐는 제 근성에 달린 문제인데, 잘할 수 있으려나 모르겠네요. 그러면 이만, 다음을 기약해야겠네요.
Posted by 덱스터

2008. 8. 8. 00:38 Physics/Concepts

힘과 운동

물리는 '자연 현상'을 '수학적'으로 '모델링'하고 그 모델에 따라 앞으로 있을 자연 현상을 '예측'하는 학문이다. 오늘은 간단하게 모든 물리학의 기초가 되는 뉴턴 역학에 대해서 알아보자.

힘은 무엇인가?

힘은 무언가를 변화하는데 사용되는 것이다. 일반적으로 그 무언가는 쉽게 변하지 않는 것이며, 그렇기 때문에 힘을 정의하기에 앞서 무엇이 쉽게 변하지 않는가 알아보아야 한다. 철학뿐만 아니라 여러 분야에서 두각을 나타내었던 옛 그리스 시대의 아리스토텔레스는 이 쉽게 변하지 않는 양이 '위치'라고 보았다. 하지만 '위치'라는 양은 그냥 놔두어도 쉽게 변한다. 공중에 던져진 물체의 위치는 매우 빠르게 변화한다. 쉽게 변하지 않는 양이 위치라면, 공중에 던져진 물체는 금방 멈추어야 할 것이다. 또한, 자유낙하를 설명하기 위해 도입한 자연운동이라는 개념은 일관성이 떨어진다. 무엇이 강제운동(아리스토텔레스는 힘에 의해 억지로 위치가 변하는 것을 강제운동이라고 불렀다.)이고 무엇이 자연운동인지 누가 정의한단 말인가? 천체들은 왜 자연운동을 하지 않는가? 물론 그렇기 때문에 아리스토텔레스는 천상과 지상의 법칙이 다르다는 결론에 도달했을 것이다. 천상에서는 자연운동이 원운동으로 나타나고, 지상에서는 자연운동이 낙하운동으로 나타나기 때문에 천상의 물체들(천체들)은 낙하하지 않는다는 설명은 얼핏 들으면 그럴듯하지만, 무엇이 천상의 물체이고 무엇이 지상의 물체인지 정확히 정해지지 않는다면 예외로 가득찬 법칙이 되어버릴 것임에 틀림없다.

뉴턴은 완전히 다른 관점에서 접근했다. 먼저 뉴턴은 천상의 법칙이나 지상의 법칙이나 다를 것이 없다고 생각했다. 흔히 사과가 떨어지는 것을 보고 뉴턴이 중력을 생각해 내었다고 전해진다. 하지만, 원래의 이야기는 사과가 떨어지는 것과 달이 원운동을 하는 것과 적용되는 법칙은 같다는 것을 떠올리게 된 것이라고 한다. 사과가 떨어지는 것이 만유인력 때문이다 이런류의 생각은 아니지만, 어찌 되었든 사과가 만유인력의 법칙을 떠올리는데 중요한 역할을 한 것임에는 틀림없다. 그렇다면 무엇이 쉽게 변하지 않는 것인지 알아보기로 하자.

변하지 않는 양-운동

여기서 그 유명한 갈릴레오의 관성에 대한 사고실험을 보도록 하자.

사용자 삽입 이미지

A위치에서 출발한 공은 곡면을 따라 같은 높이(B,C)까지 굴러 올라간다는 것은 경험상 모두 잘 알고 있다. 진자를 생각해 보아도 좋다. 진자가 올라가는 최대 높이는 그리 큰 차이를 보이지 않는다. 물론 갈수록 조금씩 내려가기는 하지만, 그리 큰 것은 아니다. 원래 그림으로 돌아와서, 만약 이 곡면을 무한대로 확장한다면(D) 어떻게 될까? 이 공은 같은 높이가 될 때까지 계속 굴러갈 것이라는 추론이 가능하다. 이것이 그 유명한 갈릴레오의 관성에 대한 사고실험이다.

여기서 중요한 것은 '계속' 굴러간다는 사실이다. 여기서 얻어진 아이디어가, 물체에게 있어 잘 변하지 않는 것은 바로 '운동'이라는 것이다. 이것은 현대 물리학의 '쉽게 변하지 않는 것'에 대한 관점이다.(뉴턴의 제 1 법칙: 운동하는 물체는 계속 운동한다) 이제 이렇게 쉽게 변하지 않는 것을 알아내었으면, 그것을 수학적으로 표현해주어야 한다. 운동을 무엇으로 나타내야 잘 나타낼 수 있을까?

누구나 무거운 물체에는 더 많은 힘이 들어가야만 같은 속도로 운동시킬 수 있다는 것을 알고 있다.(뉴턴의 제 2 법칙: 질량과 가속도는 반비례한다) 이처럼 운동을 대표하는 양에는 '질량', 즉 무겁고 가벼움에 대한 값이 포함되어야 한다. 마찬가지로 누구나 빠른 공은 느린 공보다 더 많은 힘을 들여야 멈출 수 있다는 것을 알고 있다. 굴러오는 총알보다 총에서 발사된 총알이 더 무서운 것과 같다. 이처럼 빠르기를 대표하는 양인 '속도'도 운동에 고려되어야 한다. 실제 실험에서는 질량과 속도는 서로 동등한 가중치를 갖기 때문에 운동을 운동량, 질량과 속도의 곱으로 표현한다.

뉴턴의 3 법칙

우리는 여태까지 뉴턴의 3가지 법칙 중 두가지 법칙(제 1, 제 2 법칙)에 대해 알아보았다. 이제 마지막 법칙인 세번째 법칙을 알아보도록 하자. 먼저 두개의 물체를 생각해 보자. 이 두개의 물체를 묶어서 보는 입장에서는 두 물체에 외부에서 아무런 힘을 주지 않더라도 두 물체의 운동량의 합은 변하지 않아야 한다. 두 물체를 질량 없는 상자로 덮어 놓는다면, 외부에서 볼 때에는 두 물체의 집합이 하나의 물체로 보일 것이고, 이 하나의 물체에 대해서는 여태 다루었던 법칙이 다 적용되어야 하기 때문이다.이것이 세번째 법칙의 골자이다.

세번째 법칙은 두 물체가 힘을 주고받는 경우, 둘은 같은 크기의 힘(짝힘이라고 부른다)을 주고받으며, 두 힘의 방향은 반대라고 말하고 있다. 운동량의 합이 변하면 안되기에, 한쪽의 운동량이 변하는 만큼(힘) 반대쪽의 운동량이 감소하는 것이다(짝힘). 변화하는 방향이 반대인 만큼(한쪽은 증가, 반대는 감소), 두 힘의 방향은 반대가 된다. 이제 세번째 법칙을 정리할 수 있다. '두 물체 사이에 힘이 작용할 경우 두 물체 사이에는 같은 크기의 힘이 작용하며, 그 힘들의 방향은 서로 반대이다.'

힘과 운동에 대한 포스트는 간단하게 이정도에서 마치도록 한다.

Posted by 덱스터

균일함에 대하여

우주는 균일하다고 여겨진다. 균일하다는 것은 쉽게 구분할 수 없다는 것으로, 크게 두 가지가 있는데, 하나는 방향에 대한 개념이 있고, 다른 하나는 위치에 대한 개념이 있다.

먼저, 방향적으로 균일하다는 것을 isotropic이라고 부른다. 한글로는 어떻게 번역되는지 잘 모르겠으나, 이 글에서는 편의상 "등방향성" 이라고 부르기로 하자. 우주에 등방향성이 존재한다는 것은 다음의 말과 같다. 우주 안의 한 지점에서 우주를 바라보고 있을 때, 그 점에서 어떤 방향으로 바라보고 있는지 알 수 없다는 뜻이다. 등방향성이란 바라보는 방향마다 차이가 적어 방향을 구분할 수 없을 때를 말한다. 쉽게 말해 밤하늘을 크게 확대해 놓으면 자기가 동쪽을 바라보고 있는지 남쪽을 바라보고 있는지 모르는 것이다.

다음으로, 위치적으로 균일하다는 것을 homogenous라고 부른다. 역시 한글로는 어떻게 번역되는지 잘 모르겠으나, 이 글에서는 "균일하다"라는 말을 이 개념에 배당하겠다. 이 균일성이라는 개념은, 우주 안에서 어떤 위치에 있는지는 기준점 없이는 알 수 없다는 것이다. 이처럼 균일하다는 것은 바라보는 위치가 바뀌어도 차이가 적어 위치의 차이를 구분하지 못할 때를 말한다. 쉽게 말해 서울의 밤하늘과 대전의 밤하늘은 밤하늘만 가지고서는 자기가 어디에서 하늘을 보고 있는지 구분하지 못하는 것이다.

균일함과 중심력

이제 완전히 빈 공간을 생각해 보자. 쉽게 생각하면 티끌하나 존재하지 않는 우주와 비견될 수 있을 것이다. 물론 실제의 우주에서는 양자 요동이라는 현상에 의해 불가능하지만, 아직까지는 고전적인 범위에서만 다루므로 티끌하나 존재하지 않는 완전히 비어있는 우주를 생각할 수 있다.

이제 이곳에 입자 하나를 놓자. 무엇이 되어도 상관이 없다. 그것이 사람이든, 책이든, 휴대폰이든, 시계든 상관이 없다. 하지만 이런 모든 것들은 자체적으로 방향성을 가지고 있는데다가(사람을 위에서 보는것과 아래에서 보는 것으로 구분할 수 있듯이), 분해되어 점들의 집합으로 서술될 수 있기 때문에 이상적인 상황을 논하고 있는 현재에는 그다지 합당하지 않다고 느껴진다. 따라서 이런 문제가 생기지 않도록 점 하나를 공간에 가져다 놓았다고 생각해 보자. 이제 이 점입자를 A라고 부르자.

바로 이 순간, 빈 공간에서의 균일성은 붕괴하게 된다. A라는 물질이 존재하게 되면서 A까지의 거리라는 변수에 의해 위치의 차이를 구분할 수 있게 되기 때문이다. 하지만, 아직 A의 방향성이 정해지지 않았으므로 A까지의 거리가 다른 경우에만 서로 구분할 수 있고 A까지의 거리가 같은 점들(구를 만들어낸다)끼리는 구분이 불가능하므로 균일성은 붕괴하기는 하지만 완전하지는 않다고 할 수 있다.

하지만 등방향성은 어떤가? 우리가 아는 것은 A까지의 거리일 뿐, A에 대한 방향은 알 수 없다. 이건 A의 입장에서 보면 더욱 두드러진다. A가 보기에는 12시 방향이나, 4시 방향이나 다 똑같은 끝없는 암흑뿐이다.(12시 방향도 정의하기 힘들다.) 결국 점을 하나 가져다 놓는다고 해서 등방향성이 깨지지는 않는다. 이처럼 우주가 등방향성을 보존한다는 것과 관련있는 힘이 중심력이다. 이제 중심력의 정확한 정의를 알아보자.

중심력은 무엇인가.

중심력이란 "입자와 입자 사이의 거리에만 관여하며, 그 방향이 입자와 입자를 잇는 선상에 놓이는 힘"을 말한다. 만약 중심력의 벡터가 입자와 입자를 잇는 선상에 놓이지 않는다면, 등방향성을 위배하게 된다. A로부터 받는 힘을 이용해 자신의 방향을 예측할 수 있고, 이는 등방향성이 깨져버리게 되기 때문이다. 실제 이런 방법으로 등방향성이 깨지는 경우는 관측된 바는 없다. 물론 일반상대론의 영역으로 가면 공간 자체가 휘어버리면서 공간 자체가 방향성을 가지게 되기도 하지만, 그것은 기본적으로 가속운동상태인 회전운동중이나 입자 자체가 움직이고 있어 방향성을 갖는 경우에나 볼 수 있는 것이다. 고전역학은 가속운동되는 계가 아닌 관성운동을 하는 계, inert한 계만 다루기 때문에 이런 경우까지 따로 다루지는 않겠다.

실제로도 자연계의 기본적인 힘으로 여겨지는 4대 힘(중력, 전자기력, 약력, 강력) 모두 중심력에 속한다. 이쯤 되면 독자들도 왜 기본적인 힘이 중심력에 속하는지 눈치를 챘으리라 믿으며(혹시 눈치채지 못한 독자를 위해 내 개인적인 생각을 말하자면, 나는 우주는 최대한 대칭성(등방향성이나 균일성)을 보존하려고 하는 성질을 갖고 있다고 믿는다. 이런 성질에 최대한 부합하기 위해 4대 힘이 모두 중심력으로 나타난다고 생각한다.), 중심력 중 가장 기초가 되는 중력으로 넘어가겠다.

가장 기초적인 중심력, 중력.

중력은 "중력질량을 갖는 두 물체 사이의 힘" 으로 정의된다. 물론 이 힘을 매개하는 입자(가상적인 입자, 중력자(graviton))나 마당(장, 역장(force field)을 말한다) 으로도 정의할 수도 있으나, 중력을 제일 처음 다루었던 뉴턴(Sir Isaac Newton)의 관점을 따르기로 하자. 뉴턴이 발견한 중력의 특징은 다음과 같다.

"두 질량을 가진 입자는 서로를 끌어당기며, 그 힘은 두 질량의 곱에 비례하고 두 입자사이의 거리의 제곱에 반비례한다"

참 신기하게도, 전자기력 또한 두 입자 사이의 거리의 제곱에 반비례하는 성질을 가지고 있다. 이러한 성질은 우리가 보는 세계의 차원(공간적인 차원. 시간까지 합치면 완전치 못한 4차원이 된다. 이 부분은 특수론에서 다루기로 하자.)과 관련이 있다고 여겨진다. 3차원의 공간에서 정의된 구의 겉넓이는 반지름의 제곱에 비례한다.(자명하므로 증명은 생략한다.) 힘이 공간에 의해 매개된다고 할 때(역장의 개념으로 볼 수 있다), 힘은 등방향성의 성질에 따라 힘을 생성하는 입자에서 같은 거리에 떨어진 지점마다 모두 같은 힘을 제공해야만 한다.(이렇지 않다면 특정한 방향성이 존재한다는 것을 알게 되고, 등방향성이 깨져버린다.) 이때, 이 같은 거리에 떨어진 지점들의 수는 거리의 제곱에 비례한다(구의 겉넓이에 비례하게 될 것이기 때문이다). 따라서, 지점당 배당되는 힘은 거리의 제곱에 반비례할 수 밖에 없다. 나눠줄 점들이 거리의 제곱에 비례해서 계속 늘어나기 때문이다.

중력으로 돌아와서, 이제 이 중력이라는 것을 수학적으로 나타내 보기로 하자. 계속 강조하듯이, 물리라는 학문 자체가 수학적인 모델링에 그 기본 뼈대를 두고 있기 때문에 이런 귀찮은(?) 작업은 필수적이다.

vec[F(r)] = -GMm/(r^2) vec[e_i]

벡터 F(r)은 바라보는 질점이 바라보아지는(..) 질점에게 가해주는 힘이며,G는 비례상수를 나타낸다. 유래는 아무래도 영어단어 gravitation에서 온 듯 하다. M과 m은 두 질점의 질량을 말하며, r은 두 질점 사이의 거리를,벡터 e_i는 바라보는 질점에서 바라보아지는(..) 질점을 잇는 벡터의 단위벡터를 말한다. 말이 좀 꼬여있기는 한데, 다음 예를 보면 쉽게 이해할 수 있으리라 생각한다.

질점 M이 질점 m을 징그럽게 끌어당기는 힘은 위의 식과 같이 나타난다고 할 때, 벡터 e_i는 질점 M을 시점으로 하고 질점 m을 종점으로 하는벡터와 같은 방향의 단위벡터이다. 이쯤 되면 왜 - 부호가 붙었는지 이해할 수 있을 것이다. 근본적으로 벡터 e_i는 밀어내는 방향의 벡터이다. 중력은 끌어당기는 힘이므로, 필연적으로 - 부호가 붙게 되는 것이다.

2체문제와 환산질량

이제 두 물체가 중심력으로 서로 영향을 주고받는 상황을 다루어 보자. 이런 경우는 참 복잡하다. 이런 문제는 하나를 고정시키고(누구맘대로인지는 모르겠다) 다른 하나만 자유로이 움직인다고 가정하고 풀면 매우 쉽게 풀린다. 두개의 물체를 전부 고려해 주어야 했는데, 이제는 그 수고를 덜 수 있기 때문이다. 이제 그 수학적 기교를 보도록 하자.

먼저, 두 물체의 질량은 변하지 않는다고 가정하자. 이렇게 질량이 불변하다는 가정을 하면 여러가지로 참 편리하다. 대표적인 예로 운동량의 시간에 따른 변화로 정의되는 힘이 매우 간단해진다는 것이다. 이제 두 질점을 가정해 보자. 두 질점은 각각 M, m의 질량을 가지고 있으며, 두 질점의 위치벡터는 r_1, r_2이며, 두 질점 사이에 작용하는 중심력은 질점 M에서 기술된다고 하자. 그렇다면 방정식은 다음과 같이 나타내어 질 것이다.

m (d^2 vec[r_1])/(d t^2) = F(|vec[r_1]-vec[r_2]|) vec[e_i]

뉴턴의 제 3번째 법칙을 기억하시는지? 기억하신다면 다음과 같이 나타내는 것을 쉽게 이해할 수 있을 것이다. F의 힘을 M이 m에게 먹이고 있으니, 자기는 -F를 먹어야지.

M (d^2 vec[r_2])/(d t^2) = -F(|vec[r_1]-vec[r_2]|) vec[e_i]

이 두 식에서 각각 질량으로 나누어주고 위에서 아래를 빼 보자.

(d^2 vec[r_1])/(d t^2) -(d^2 vec[r_2])/(d t^2) = (M^-1 + m^-1) F(|vec[r_1]-vec[r_2]|) vec[e_i]

이제 vec[r]을 vec[r_1]-vec[r_2]로 정의해주고 잘 정리해 보자.

(mu) (d^2 vec[r])/(d t^2) = F(|vec[r]|) vec[e_i]

한결 식이 간단해졌다. 이 방정식은 이제질점 M이 바라보는 질점 m의 운동의 방정식이 된다. 이때의 mu는 mM/(m+M)으로 정의되며, 이것을 환산질량이라고 부른다. 더 공부할 사람들은 앞으로 이 환산질량을 많이 쓰게 될 것이다. 이 포스팅의 주요 목적은 물리적인 현상을 쉽게 설명하는 데 있고, 이후 중심력에 대한 부분은 대부분 수학적인 풀이법에 그치므로, 이쯤에서 포스팅을 마친다.

Posted by 덱스터
이전버튼 1 2 3 4 5 이전버튼

블로그 이미지
A theorist takes on the world
덱스터
Yesterday
Today
Total

달력

 « |  » 2024.3
1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30
31

최근에 올라온 글

최근에 달린 댓글

글 보관함