2009/05/06 - Lagrangian formulation(1)

먼저 Lagrangian은 정확한 역학법칙은 아닙니다. 단지 다음 공식이 정확한 운동방정식으로 환원되기만 하면 되는 거지요.

\frac{\partial{L}}{\partial{x_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x_i}}}=0

그리고 일반적인 경우, L은 T-V, 즉 운동에너지에서 위치에너지를 제한 값이 됩니다. 하지만 전자기학에서는 어떨까요? 애석하게도 자기력의 포텐셜은 벡터이기 때문에, 단순한 위치에너지가 계산이 되질 않습니다. 먼저 전자기학에서 힘은 어떻게 나타나는지 보기로 합니다.

\vec{F}=m\dot{\vec{v}}=q(\vec{E} \vec{v}\times\vec{B})

전기장과 자기장은 보기 심히 안 좋습니다. 포텐셜을 도입해서 전기장과 자기장을 바꾸어 줍니다.

\vec{E}=-\nabla\varphi-\frac{d}{dt}\vec{A} \\\vec{B}=\nabla\times\vec{A}

(자세한 내용은 여기에...http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Potential_field_approach)

설렁 설렁 도입해 줍니다.

\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi-\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} \vec{v}\times\nabla\times\vec{A})

우변의 마지막 항이 상당히 거슬리는군요. 깔끔하게 정리해 줍시다.

\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A}\\\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi-\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} \nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A})

오, 무언가 정리될 것 같아 보이네요.

\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A})=\frac{d}{dt}\vec{A}\\\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi \nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-\frac{d}{dt}\vec{A})\\0=\nabla(-q\varphi q\vec{v}\cdot\vec{A})-\frac{d}{dt}(m\vec{v} q\vec{A})

성분별로 써 봅시다.

\frac{\partial}{\partial{x_i}}(-q\varphi q\dot{x_j}A_j)-\frac{d}{dt}(m\dot{x_i} qA_i)=0\\\frac{\partial}{\partial{x_i}}(-q\varphi q\dot{x_j}A_j)-\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{x_i}}(\frac1{2}m\dot{x_j}^2 q\dot{x_j}A_j)=0

j는 dummy index입니다. j로 정리되어 있는 모든 성분에는 합이 생략되어 있지요. i는 우리가 측정하고 있는 방향의 성분입니다. 어찌되었든, 만약 q가 운동 속도에 영향을 받지 않는다면(많은 위치에너지가 그리하듯이) L을 다음과 같이 잡아주면 됩니다.

L=\sum_j\frac1{2}m\dot{x_j}^2-q(\varphi-\dot{x_j}A_j)=\frac1{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}-q(\varphi-\vec{v}\cdot\vec{A})

이렇게 L을 정의하면 원하는 운동방정식을 얻습니다. 전자기학에서 Lagrangian 구하기 끝.

양자역학으로 넘어가서 많이 중요해지는 Hamiltonian은 나중에 구해보기로 하지요 뭐.

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  1. Favicon of https://j4blog.tistory.com BlogIcon 재준씨  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이 글을 보고있자니 왠지 빅뱅이론의 장면이 생각나는군요. 쉘든과 라지가 칠판에 잔뜩 쓰여있는 공식을 노려볼 때 흘러 나오는 'eye of the tiger' -_-a

    2009.11.08 20:49 신고
  2. physics  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    전자기학은 상대론적인 이론인데 입자는 비상대론적으로 다루었군요. 실제적으로 꽤 문제가 될 것으로 보이며 계산도 복잡해질것 같습니다. 또 수식적으로는 맞다손 치더라도, action을 구할때 상당히 애를 먹겠군요. 적분구간이 불분명해서요. 그러면 boundary term을 구하기 힘들어지겠죠. 왜냐하면 A와 psi가 test particle의 경로 위에서 정의가 되었는데, 일반적으로 이것은 장 자체의 라그랑지안은 주지 못할것 같군요. 따라서 장의 운동량같은것도 주지 못할걸로 생각됩니다. 장의 라그랑지안 항을 더해줘야 총 라그랑지안이 나올거 같은데... 아시겠지만 이건 1/4 F^2로 주어지죠...

    2010.04.27 01:57
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.27 02:07 신고  댓글주소  수정/삭제

      장을 주고 입자의 움직임을 기술하는 고전적인 문제입니다. 학부 수준의 양자물리에서 Bohm-Aharanov 효과나 Zeeman effect를 다룰 때 사용하는 Hamiltonian을 구할 때 쓰는 Lagrangian이구요. Hamiltonian은 Lagrangian의 Legendre 변환이니까요.

      아, 그리고 이 식은 장과 입자의 interaction에 해당하는 Lagrangian이 될 겁니다. 장과 입자 자체의 Lagrangian은 빠져있구요.

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