'Physics'에 해당되는 글 82건

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  17. 2010.09.20 Electromagnetism in Schrodinger Eqn. (1)
  18. 2010.09.03 어는점내림 상수 구하기, 보론
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  20. 2010.07.14 Hamiltonian formulation(1) (4)

양자역학에서 가장 유명한 commutator를 뽑으라면 누구나 하이젠베르크의 불확정성 원리를 꼽을 것이다. 아무래도 제일 먼저 발견된 교환이 불가능한 물리량이니까.


[x,p]=xp-px=i\hbar


그런데 왜 i가 붙을까? 고민해본 사람? 문제는 의외로 쉽게 풀린다. 두 측정가능한 물리량 A와 B를 가정하자. 따라서 A와 B는 에르미트(Hermitian) 연산자이다. 적당한 양자책을 잘 공부했다면 이를 설명할 필요는 없을 터(간단하게 말하자면 고유값(eigenvalue)이 실수가 나와야 해서). 한번 유도해보자.


\text{For observables }A,B\\A^\dagger=A, B^\dagger=B \\\\\therefore [A,B]^\dagger=(AB-BA)^\dagger\\=B^\dagger A^\dagger-A^\dagger B^\dagger=BA-AB \\\\\therefore [A,B]^\dagger=-[A,B] \\\\\text{or, equivalently;} \\\exists C(C^\dagger=C),\,\,[A,B]=iC


측정 가능한 물리량의 commutator는 항상 반에르미트(anti-Hermitian) 연산자여야 한다는 결론을 얻는다. 반에르미트 연산자는 단위허수 i를 곱하거나 나눠서 에르미트 연산자로 만들어줄 수 있으니 이제 그 미스테리한 i가 어디에서 튀어나왔는지 알 수 있다.


이제 조금 더 재미있는 명제를 도출해보자.


\text{Assume observables }A,B\text{ and an eigenstate of }A\\\\A\left|a \right \rangle=a\left|a \right \rangle \\\\\text{Then, we get the expectation value of the commutator}\\\\ \left\langle a|[A,B]|a \right\rangle=\left\langle a|AB-BA|a \right\rangle = (a^\ast - a)\left\langle a|B|a \right\rangle=0 \\\\\text{or, equivalently;} \\\\ C \equiv \frac1i [A,B],\;A\left|a \right \rangle=a\left|a \right\rangle \Rightarrow\left\langle a|C|a \right\rangle=0 \\\\\text{for any observables }A, B


아직 이상한 점을 눈치 못챘는가? A에 x를, B에 p를 넣어보자.


[x,p]=i\hbar\\\\\therefore \left\langle x\middle|\frac1i[x,p]\middle|x \right\rangle=\hbar\left\langle x|x \right\rangle=0\\\left\langle p\middle|\frac1i[x,p]\middle|p \right\rangle=\hbar\left\langle p|p \right\rangle=0


?!?!


이 비정합성은 commutator가 identity의 배수이기 때문에 나타난다. 다르게 말한다면, 어떤 한 측정량이 다른 측정량과 만드는 commutator가 identity의 배수로 나온다면 그 측정량의 고유상태(eigenstate)는 그다지 예쁜 성질을 갖지 않으며(예컨데 위치 x의 고유상태나 운동량 p의 고유상태는 L2(Square-integrable)공간에 속하지 않는다), 따라서 주의를 기울여 다루어야 한다고 결론지을 수 있다.


참고로 가장 간단(?)한 양자화 방법은 고전역학에서의 Poisson bracket을 양자역학의 commutator로 해석하는 것이기 때문에(Dirac quantisation 혹은 canonical quantisation) 양자역학의 미래가 골치아프다는 것은 확실해졌다. 양자장론이 괜히 머리 뽀개지는게 아니라니까...

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  1. Favicon of https://kipid.tistory.com BlogIcon kipid  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    0 \times delta(0) = ? 문제랑 비슷하군요.

    2014.05.23 00:05 신고
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2014.05.23 00:52 신고  댓글주소  수정/삭제

      함수 x\delta(x)로 읽어서 순간 당황했네요. 이 함수는 0이었죠(...)

    • Favicon of https://kipid.tistory.com BlogIcon kipid 2014.05.23 15:58 신고  댓글주소  수정/삭제

      아하 그런문제도. 더 간단하게는 0 * 무한대(infinity) 문제랑 비슷하겠네요 =ㅇ=;;ㅋ
      (a-a)*<a|B|a> 에서 이게 0이라고 넘어갈때 이런문제가... <a|B|a>가 L2 (Square-integrable) basis 를 쓰는 경우가 아니라면 무한대도 될 수 있어서.
      아무튼 생각지 못했던 부분이네요. 그런데 이게 "commutator가 identity의 배수이기 때문"이 맞나요? 그냥 state가 L2로 표기 안되어서 그런것도 같은데... 저것 때문이라고 단순히 말하면 필요/충분조건 요런거에서 헷갈리는 말인거 같아요. 양쪽 state가 L2로만 표현되면 그냥 숫자로 바꿀수 있긴 할테니까요.

    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2014.05.23 19:24 신고  댓글주소  수정/삭제

      양쪽의 state가 L2공간에 속한다고 하면 더 문제가 되겠죠. 우변이 0이니까 좌변 또한 0이어야 한다는 결론이 나오는건데, square-integrable하면 우변이 0*(유한한 숫자)가 되어서 빼도박도 못하는 0이 되어버리니까요. 관측가능량의 commutator로 identity가 나오는 순간 관련 고유상태의 규격화(normalisation)에 문제가 생긴다고 보는 편이 맞는 것 같습니다.

    • Favicon of https://kipid.tistory.com BlogIcon kipid 2014.05.24 04:31 신고  댓글주소  수정/삭제

      처음부터 A, B에 x,p를 넣고 전개해보면...
      Then, we get the expectation value of the commutator
      <x|[x,p]|x> = (x^* - x) <x|p|x> = ? (0 곱하기 무한대 형태라 결론을 못내림.)
      여기서 ?가 '0' 이란 결론을 못내릴거란 이야기였는데...

      그렇기 때문에
      C \equiv [x,p]/i 라고 해도 => <x|C|x> = ? (위의 물음표와 같은 놈.)
      란 결론까지 밖에 안되지 않나요? 뭔가 다른 이야기인가;;;;

      x가 L2였다면야 <x|p|x>가 유한할테니 ?=0이라고 결론 내릴 수 있고. (있나??? p의 eigenvalue 중에 무한대가 있으면 이렇게 결론 내릴 수 없을수도 있는건가 =ㅇ=;;)
      [x,p]가 identity의 배수라고 할지라도 (\equiv c) => <x|c|x>=0 이란 결론이?
      아 이게 문제였구나;;; 제 이해가 뭔가 꼬였었네요.

      결론적으론 L2 Hermitian operator A,B의 commutator [A,B]는 indentity의 배수가 될 수 없다가 되겠네요. 신기하넹 -ㅇ-;;; (지금 제가 이해한것도 듬성듬성 논리가 뚫려있어서 천천히 다시 생각해보긴 해야겠네요.)

방학이 끝나감에 따라 멘탈이 허약해지고 있어서 멘탈 강화를 위해 소소하지만 결과가 있는 일을 해보았습니다. 멘탈이 가루가 되어갈 때에는 이렇게 작은 일을 해 보면서 물을 뿌려 단단히 다지는 것도 필요한 일이라서요.


가끔 교수님들이 링크로 걸어놓곤 하시는 스티븐 와인버그의 글을 옮겨보았습니다. '과학자로서 첫 발을 내딛는 학생들을 위한 조언'이라는 말이 붙어있는데, 이건 번역을 안 했네요.


번역에 대한 신조(?)는 '최대한 자연스럽게'라서 의역을 기본으로 채택했습니다. 가령 첫 문단의 중간 쯤 나오는 '익사하거나 이겨내거나'는 'sink or swim'의 번역인데, 도저히 가라앉음과 수영으로는 두음 운율을 맞출 수가 없어서 '이겨내다'란 의역을 사용했습니다.


글로벌 스탠다드(?)에 맞추어 pdf로도 만들어 올립니다.


네 귀중한 교훈들.pdf





수정 - 27 Feb 2014


아래 댓글에서 어떤 분이 지적해주셨다시피, "역사가 당신의 연구에 도움이 될 수도 있기는 하지만 전혀 중요하지 않은 이유입니다"는 "The least important reason for this is that the history may actually be of some use to you in your own scientific work"의 번역문입니다. 직역하면 "역사가 당신의 연구에 도움이 될 수도 있는 것은 가장 덜 중요한 이유입니다"이고 의미상으로는 "역사가 당신의 연구에 도움이 될 수도 있겠지만, 중요한 이유들 중 가장 중요도가 낮은 이유입니다"가 됩니다. 그런데 한국어에서는 이런 표현을 쓰지 않죠(...) 그래서 어떻게든 자연스럽게 만드려다 보니 문장이 꼬여버렸네요. 해당 문장은 보다 자연스럽고 의미가 통하는 문장으로 수정하였습니다.




네 귀중한 교훈들(Four golden lessons)

스티븐 와인버그(Steven Weinberg)


제가 학부 졸업장을 받았을 때 - 백 년은 전이었던 것 같은데 - 물리학은 구석구석까지 살펴본 뒤에야 나만의 연구를 시작할 수 있는 드넓은 미지의 대양같았습니다. 어떻게 남들이 했던 일을 모르고서 무언가를 할 수 있을까? 운 좋게도 대학원 첫 해에 만난 선배 물리학자들께서는 일단 연구를 시작하고 그 과정에서 내가 알아야 할 것들을 익히라고 조언해 주셨습니다. 익사하거나 이겨내거나였지요. 그리고 놀랍게도 이 방법이 먹힌다는 것을 알게 되었습니다. 저는 빠른 박사학위를 받을 수 있었습니다 - 제가 물리에 대해 아는 것이 거의 없었는데도 말이지요. 하지만 저는 한 가지 중요한 것을 알게 되었습니다: 아무도 모든 것을 알지는 못하고, 그럴 필요도 없다는 것을요.


다른 교훈을 바다에 빗대어 말해보자면, 익사하지 않고 파도를 이겨내고 있는 한 더욱 거친 파도를 향해 나아가야 한다는 것입니다. 제가 1960년대 후반에 매사추세츠 공과대학(Massachusetts Institute of Technology; MIT)에서 교직을 맡고 있을 때 한 학생이 제 전공인 기본입자(elementary particle physics)보다는 일반상대론(general relativity)을 공부하고 싶다고 말했습니다. 일반상대론이 매우 잘 정립된 학문인 반면에 다른 하나는 엉망진창으로 보인다는 이유에서였지요. 제게는 반대로 행동해야 할 아주 좋은 이유였습니다. 입자물리는 아직 창조적인 작업을 할 수 있는 분야였습니다. 1960년대에는 정말 엉망진창이었지만 그 후 많은 이론물리학자와 실험물리학자들은 입자들을 분류하고 모든 것을 (뭐, 거의 모든 것을) 표준모형이라는 아름다운 이론으로 정리하는데 성공하였습니다. 제 조언은 난장판인 곳으로 가라는 것입니다 - 할 것이 있는 곳이니까요.


제 세번째 조언은 아마 가장 받아들이기 힘들 것입니다. 자신이 시간을 낭비하는 것을 용서하십시오. 교수들은 학생들에게 풀 수 있다고 아는 문제들(매우 심술궂은 경우가 아니라면)만 줍니다. 또한, 그 문제들이 과학적으로 중요한가는 상관없습니다 - 수업을 통과하기 위해서 푸는 것이니까요. 하지만 실세계에서 어떤 문제가 중요한지 알기는 매우 어렵고, 지금 이 순간 그 문제를 풀 수 있는지는 절대 알 수 없습니다. 20세기 초 로렌츠(Lorentz)와 아브라함(Abraham)을 포함한 많은 유명한 물리학자들은 전자에 대한 이론을 세우려 하였습니다. 왜 사람들이 지구가 에테르(Ether)를 통과하면서 일어나는 효과를 감지하는데 실패했는지 이해하기 위한 시도이기도 했죠. 모두 알듯이, 사람들은 잘못된 문제에 매달리고 있었습니다. 양자역학이 발견되지 않았던 시절이었기에 아무도 전자에 대한 성공적인 이론을 세울 수 없었지요. 1905년, 알베르트 아인슈타인(Albert Einstein)은 탁월하게도 운동이 시간과 공간의 측정에 주는 영향이 풀어야 할 올바른 문제임을 알아차렸고, 이 발견은 특수상대성이론으로 이어집니다. 무엇이 노력해야 할 올바른 문제인지 확신할 수 있는 사람은 아무도 없기 때문에 실험실이나 책상 위에서 보내는 대부분의 시간은 낭비됩니다. 창의적이고 싶다면, 대부분의 시간을 창의적이지 않은 채 보내는 데, 혹은 지식의 대양에서 정체하는 데 익숙해져야만 합니다.


마지막으로, 조금이라도 과학사에 대해, 최소한 몸담고 있는 과학 분과의 역사에 대해 배우십시오. 역사가 당신의 연구에 도움이 될 수도 있기는 하지만 전혀 중요하지 않은 이유입니다 사실 중요한 이유는 다른 곳에 있습니다.[각주:1] 예컨대, 프랜시스 베이컨(Francis Bacon)에서 시작해 토마스 쿤(Thomas Kuhn)과 칼 포퍼(Karl Popper)와 같은 철학자들이 제시한 과학에 대한 과하게 단순화된 모형들은 이따금 그 모형을 믿는 과학자들을 방해하곤 합니다. 과학철학에 대한 가장 좋은 해독제는 과학사에 대한 지식입니다.


더 중요한 이유는 과학사를 익혀 자신이 하는 일을 더 가치있게 느낄 수 있기 때문입니다. 과학자가 되어 부자가 되기는 어렵습니다. 친구들과 친척들은 보통 하고 있는 일을 이해하지 못할테고요. 더군다나 기본입자물리학과 같은 분야에서 일하게 된다면 당장 유용한 일을 한다는 보람조차 없습니다. 하지만 하고 있는 일이 역사의 일부가 된다는 사실을 아는 것으로 충분히 만족할 수 있습니다.


100년 전인 1903년을 되돌아봅시다. 1903년 대영제국의 국무총리가 누구였는지, 혹은 미합중국의 대통령이 누구였는지가 지금 얼마나 중요합니까? 정말 중요한 일은 맥길 대학교(McGill University)에서 에른스트 러더포드(Ernest Rutherford)와 프레더릭 소디(Frederick Soddy)가 방사능을 연구하고 있었다는 것입니다. 이 연구는 (당연하게도!) 실용적으로 응용할 수 있었지만 더욱 중요했던 것은 이 연구가 가진 문화적인 함의였습니다. 방사능에 대해 이해하게 되면서 물리학자들은 어떻게 태양과 지구의 핵이 수백만 년이 지난 후에도 뜨겁게 유지되는지 설명할 수 있게 되었습니다. 이렇게 많은 지질학자와 고생물학자들이 지구와 태양의 긴 나이에 대한 과학적인 반론이라고 여겼던 주장이 사라졌지요. 이후 기독교인과 유대인들은 성경을 문자 그대로의 진실로 믿는 것을 포기하거나 지적 무책임함으로 물러나야만 했습니다. 그리고 이 작업은 갈릴레오(Galileo)와 뉴턴(Newton), 다윈(Darwin)이 내딛고 지금까지 이어지는 종교 독단주의(religious dogmatism)의 약화라는 여정의 한 발걸음이 되었지요. 아무 신문이나 하나 집어서 읽어보면 이 작업은 아직 끝나지 않았음을 알 수 있습니다. 하지만 과학자들이 자부심을 느낄 만한 세련된(civilizing) 작업입니다.

  1. 오역이라는 의견이 있어 수정하였습니다 [본문으로]

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  1. sentinel_2  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이수종교수님 홈페이지에서 자주 보았던 글이네요ㅋㅋ 개인적으로는 제목으로 '네 가지 황금률'이나 '네 가지 귀중한 교훈들' 이 좋은 것 같아요. 네 라고 하니 [your]의 번역 같은 느낌이라...

    2014.02.24 21:45
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2014.02.26 01:28 신고  댓글주소  수정/삭제

      저도 '네가지' 대신 '네'라고 번역하면서 그런 느낌이 있는 부분이 마음에 걸렸었는데, '세가지 교훈들'보다는 '세 교훈들'이 좀 더 간결한 느낌이 들어 네를 택했습니다 :)

      저도 이수종교수님 홈페이지에서 처음 봤던 것으로 기억하는데 최근에 찾아보려고 이수종교수님 홈페이지 들어갔더니 링크가 사라져서 한동안 기억을 의심했었네요 ㅠㅠ

  2. 헐퀴  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    오역이 있습니다.

    > 역사가 당신의 연구에 도움이 될 수도 있기는 하지만 전혀 중요하지 않은 이유입니다.

    원문은 The least important reason for this is that the history may actually be of some use to you in your own scientific work. 이거더군요.

    이건 역사가 가진 많은 중요한 이유중 [가장 하찮은 이유정도 되는 것] 이 [당신의 연구에 직접 도움이 된다] 정도로 이해하시면 될 겁니다. [최소한, 네가 연구하는 분과의 역사에 대해서 알고 있다면 그게 앞으로의 연구에도 도움이 되겠지.] 정도로 바꿔 쓸 수 있겠네요.

    2014.02.26 12:17
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2014.02.27 01:54 신고  댓글주소  수정/삭제

      그 내용을 최대한 자연스럽게 한국어로 만드려다 보니 의도치 않게 오역이 발생했네요. 지적 감사합니다. 더 자연스러운 문장은 뭐가 있을지 고민을 해봐야겠네요...

  3. BlogIcon 함마  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아아 물리가 좋아 물리학과를 지망했지만
    좀민들어가도 어려운게 물리네요.
    덱스터님은 물리를 전공의 계기가 뭐었냐요?

    2014.10.18 12:04
  4. 어디엔가  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    덱스터님 좋은 글 번역해주셔서 감사합니다. 물론 마지막의 관점은 개인적으로 의아해 하는 부분이지만, 전체 적인 글의 맥락이 대학원을 이제 진학해야하는 입장에서 커다란 위로가 됩니다. 와인랜드 같은 사람조차도 자기가 무엇을 해야할지 알지 못한채 연구에 뛰어들었다는 사실에 대해서요 혹시 이 글을 개인적인 페이스북 페이지에 업로드 하고싶은데 허해주실 수 있는지요?

    2018.12.29 12:26

실험 세시간을 날려먹고서야 오실로스코프를 가로 단위를 2.5us로 잡고 single로 측정한 뒤에 가로폭을 확대하여 가로 단위를 500ns로 확대(A)한 후 오실로스코프를 새로운 값을 측정할 수 있도록 준비(B)했을 때와 2.5us에서 single로 측정한 후 오실로스코프를 새로운 값을 측정할 수 있도록 준비(B)한 뒤 가로 단위를 500ns로 확대(A)했을 때 오실로스코프가 측정한 값이 달라진다는 것을 알게 되었다. 붕괴된 멘탈을 재조립하면서 증가한 엔트로피를 배출해야 할 필요가 있으니 신나게 뻘글을 배출해 보자.




얼마 전 개미 다섯 마리의 다리 수를 세는 초등학교 문제가 화제가 된 적이 있었다. 5*6이라고 적은 답안을 오답 처리했기 때문이었는데, 6*5라고 써야 한다는 해설을 들은 사람들은 대체로 멘붕에 빠지거나 어떻게든 내신 등수를 내야겠기에 점수차이를 만드려고 오답처리를 한 것이라며 교사를 욕하는 내용이 대부분이었던 것으로 기억한다. 실제로는 곱셈을 가르칠 때 "무엇의 몇 묶음"의 방식으로 가르치기 때문에 순서가 중요하다고 하지만, 두 숫자의 곱은 순서를 바꾸어도 같다는 것이 상식이라고 말하기조차 민망할 정도로 당연하다고 생각하는 일반적인 사람들에게는 이 오답만큼 황당한 것도 없었으리라.


하지만 물리학(...)의 영역으로 가면 온갖 이상한 것들이 나타나기 시작하는데, 두 숫자의 곱 또한 얼마든지 괴상해질 수 있다. 대표적인 예로 하이젠베르크의 불확정성 원리가 있다. 비전공자가 사용한 100가지 경우 중 제대로 사용한 경우는 한가지가 될까 말까 한 불확정성 원리는 정확히는 '한 계(혹은 물체)에서 뽑아낼 수 있는 정보의 한계'를 말한다.


그렇다면 '정보'란 무엇일까? 섀넌은 정보의 양을 '가능한 모든 경우에서 얼마나 좁은 경우의 수로 좁힐 수 있는가'를 이용해 정의했다고 한다. 예를 들어 사람을 찾을 때 '그 사람은 태어났다'라는 명제는 전혀 정보로서의 가치가 없지만, '그 사람은 90년에 태어났다'라는 명제는 어느 정도 정보로서의 가치를 가지며, '그 사람은 90년 4월에 태어났다'라는 명제는 더 많은 정보로서의 가치를 갖는다는 식이다. 물리학에서도 비슷한 식으로 '한 계의 정보'를 정의할 수 있다. 아리스토텔레스의 자연철학에서는 (참고로 아리스토텔레스의 physics를 '물리학'으로 번역하는 경우가 가끔 있는데 올바른 번역은 '형이하학'이다) 한 물체의 위치만 주어지면 미래에 그 물체가 어떻게 운동할지 모든 것을 알 수 있다고 가정했다. 한 계의 정보로 '위치'면 충분하다는 것이다. 물론 실제로 한 물체의 미래를 알고 싶다면 그보다는 더 많은 정보가 있어야 했다. 갈릴레이는 '운동' 또한 위치만큼 중요하다(물리학에서 중요하게 여기는 값들은 변하지 않는 것-불변량-과 일정하게 유지되는 것-보존량-으로 나눌 수 있는데, 갈릴레이는 운동이 보존량이라는 것을 사고실험으로 증명했다)는 것을 논증했고, 뉴턴은 운동을 '한 계의 정보'에 포함시켰다. 따라서 뉴턴의 유산인 고전역학에 따른다면 '한 계의 정보'는 '위치에 대한 정보'와 '운동에 대한 정보' 두 가지 모두를 의미한다.


그렇다면 오늘 이 시각에도 지구 어딘가에서 오용되고 있을 하이젠베르크의 불확정성 원리로 돌아가 보자. 파울리는 한 편지에서 불확정성 원리를 "'운동을 보는 눈'만 뜨거나 '위치를 보는 눈'만 뜰 수는 있지만 둘 다 뜰 수는 없다니!"라고 표현했는데, 이건 위치에 대한 정보와 물체의 운동에 대한 정보 모두를 얻어낼 수는 없다는 것을 의미한다. 아이러니한 점은 이렇게 한 계에서 필요한 모든 정보를 얻어낼 수는 없더라도 양자역학에 따르면 충분히 완벽하게 그 계의 미래에 대한 모든 것을 알 수 있다는 것이다. 그러므로 불확정성 원리의 '확정'은 "미래는 확정지어져 있다"의 확정이 아니라 "상자에 들은 공의 갯수를 확정지을수 없다"의 확정이다. 하이젠베르크는 "xx의 값은 XX다!"라고 자신있게 말할 수 없다는 것이지, '미래는 모르는 것이다'와 같은 약 파는 소리(..)를 한적은 없다.


그렇다면 앞선 초등학교 수학 문제와 불확정성 원리의 관계는 무엇일까? 불확정성 원리의 수학적인 표현은 순서를 바꾸어 곱한 두 숫자의 차이로 나타난다. q를 위치를 나타내는 수로, p를 운동을 나타내는 수로 쓴다면 'qp-pq=i'가 불확정성 원리의 수학적 표현이다. 보다 쉽게 말한다면, 물리학에서는 q에 p를 곱하는 것과 p에 q를 곱하는 것이 같지 않다는 것이다. 가장 생각하기 쉬운 예시는 수1에서 많은 골치를 썩였을 행렬이 있다. 2X3 행렬에 3X2 행렬을 곱하면 3X2 행렬에 2X3 행렬을 곱한 값과 다를 수 밖에 없다. 이렇게 곱하는 순서가 중요한 숫자들은 불우하게 생을 마감한 수학자 아벨의 이름을 따 비아벨(nonabelian) 수라고 부른다.


한편 물리학자들은 하이젠베르크의 불확정성 원리를 다음과 같이 해석하기도 한다. "A를 먼저 측정한 후 B를 측정하는 것과 B를 먼저 측정한 후 A를 측정하는 것은 다른 결과를 가져온다" 이것은 물리학자들이 이 값들을 일종의 함수로 이해하고, 이 값들의 곱을 고등학교 수학에서부터 다루는 함수의 합성-f(g(x))는 x를 함수 g에 넣어 얻은 값을 다시 함수 f에 넣어 얻는 값을 말한다-으로 이해하기 때문이다. 위의 예시를 그대로 따온다면 pq를 'q를 잰 뒤 p를 잰다'로, qp를 'p를 잰 뒤 q를 잰다'로 이해한다는 것이다. 따라서 물리학자들은 'qp-pq=i'란 식을 'p를 잰 뒤 q를 잰 것과 q를 잰 뒤 p를 잰 것의 차이는 i이다'라고 이해한다.


이는 어떤 일을 수행하는데 순서가 중요하다는 것을 의미한다. 슈퍼맨이 되려면 쫄쫄이 위에 팬티를 입어야지 팬티 위에 쫄쫄이를 입어서는 안 되는 것이다(최근에 본 강철남-Man of Steel-에서는 붉은 삼각팬티가 사라지긴 했지만). 이렇게 어떤 과정을 거쳐서 지금의 상태로 오게 되었는가가 미래에 영향을 미치는 것을 경로의존성이라고 부른다. 물리학에서는 강자성체의 자기이력곡선(말만 어렵지 철이 자석되는 것을 말한다)이 대표적인 예이긴 한데, 너무 물리 이야기만 했으니 조금 다른 이야기를 해보려고 한다. 보다 극명하고 피부에 와 닿는 경로의존성이라면 단연 대통령제를 꼽을 수 있지 않을까. 서구에서는 꽤나 잘 정착된 이 제도는 몇몇 국가에서는 전제군주정의 현대적 변형으로 정착되어 있는데, 제도가 동일한데 결과가 다르다면 그 국가가 거쳐 온 역사가 다르기 때문이라는 설명 외의 적절한 설명은 없어 보인다. 과거가 현재를 만들었고 현재를 너머 미래에까지 영향을 미친다는 것이다. 그러니까 사랑하고 있는 여러분, 애인의 과거가 신경쓰인다면 그 과거가 있었기에 지금 사랑하고 있는 현재의 애인도 있는 것임을 이해하려 노력하시길 바랍니다. 결론이 무언가 이상한 것 같긴 하지만.

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디락방정식을 기억만으로 재구성해보는 작업을 하고 있는데, 그 와중에 조금 정리할 필요가 있다 생각되어 쓰는 글.


디락방정식의 도입 동기는 매우 간단하다. 그 이전까지 제시된 방정식들에 문제가 있었기 때문. 슈뢰딩거 방정식은 시간과 공간을 같게 다루지 않으며(공간에 대해서는 이계미분, 시간에 대해서는 일계미분), 클라인-고든 방정식은 시간에 대해 일계가 아니라는 문제가 있다. 시간에 대해 일계가 아니면 갖는 문제는 초기조건을 충분히 주지 못하기 때문에 문제가 된다. 시간에 대한 미분은 위상의 변화와 관련이 있는데, 위상의 차이는 측정할 수 있어도 위상이 변하는 속도는 측정할 방법이 없기 때문.


\text{Schroedinger equation: derivatives on time and} \\\text{space are not treated on a equal footing.} \\i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x) \right ]\Psi \\\\\text{Klein-Gordon equation: the equation treats time} \\\text{as a second order derivative.} \\\left[\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}+m^2 \right ]\Psi=0\text{ (natural units)}


디락이 생각한 해는 상당히 간단하다. 클라인-고든 방정식에 제곱근을 취하는 것.


\text{Dirac's solution: take the root!} \\\^H=i\frac{\partial}{\partial t}\;,\;\^p=-i\frac{\partial}{\partial x} \\\\\left[-\frac{\partial^2}{\partial x^2}+m^2 \right ]\Psi=-\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Psi\text{ (natural units)} \\(\^p^2+m^2)\Psi=\^H^2\Psi \\\\\Rightarrow(\alpha\cdot\^p+\beta m)\Psi=\^H\Psi


이러면 \alpha\beta에 대해 다음과 같은 10개의 관계식을 얻는다.


\begin{matrix} \alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i=2\delta_{ij} & \cdots\text{ 6 equations}\\ \alpha_i\beta+\beta\alpha_i=0 & \cdots\text{ 3 equations}\\ \beta^2=1 & \cdots\text{ 1 equation} \end{matrix}


일단 \alpha\beta는 우리가 일반적으로 보는 숫자가 아닌 것은 확실하다. 제곱해서 1이 되며 다른 숫자와 곱했을 때 0이 되는 복소수는 없기 때문. 따라서 이 녀석들은 행렬로 보는 것이 타당하다. 제곱을 할 수 있으므로 행렬 중 정사각행렬이 되어야 하는데, 그렇다면 정사각행렬 중 몇 짜리 정사각행렬을 써야 할까? n\times n 행렬은 모두 n^2개의 자유도를 갖는다. 그런데 위에서 최소한 10개의 조건이 필요하다는 결론을 얻었으므로, 최소한 4\times4행렬이 필요하다는 것을 알 수 있다. 이렇게 되면 6개의 자유도가 남는데, 이 자유도는 어디에 쓸 수 있을까? 다시 원래의 디락방정식으로 돌아와 보자.(틀린 설명입니다.) 미분은 좌표계를 바꾸면 변하게 되어 있으나 정지질량은 변하지 않는다. 따라서 식을 좀 더 깔끔하게 쓰려면 다음과 같이 정리하는 편이 낫다.


\text{Dirac equation} \\(-i\alpha\cdot\nabla+\beta m)\Psi=i\frac{\partial}{\partial t} \Psi \\\beta m \Psi=i\left[\frac{\partial}{\partial t}+\alpha\cdot\nabla \right ]\Psi \\=i\left[\frac{\partial}{\partial x_0}+\alpha_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\alpha_2\frac{\partial}{\partial x_2}+\alpha_3\frac{\partial}{\partial x_3} \right ]\Psi


약간의 불만사항: 질량은 변하지 않는데 쌩뚱맞은 \beta가 붙어 있다. 양 변에 \beta를 곱해서 좀 더 보기 쉽게 만들어주고, 남는 6개의 자유도를 이용해(틀린 표현입니다) 이 숫자들에게 추가적인 제한조건을 걸어주도록 하자. 이 제한조건은 '로렌츠 변환을 만족할 것'. 로렌츠 변환은 결국 4차원에서의 회전에 해당하기 때문에 4C2=6개의 제한조건을 의미한다. 남은 6개의 자유도를 완벽하게 구속할 수 있다는 의미이다.


\text{Multiply each side by }\beta \\m \Psi=i\left[\beta\frac{\partial}{\partial x_0}+\beta\alpha_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\beta\alpha_2\frac{\partial}{\partial x_2}+\beta\alpha_3\frac{\partial}{\partial x_3} \right ]\Psi \\\\\text{Redefine the numbers: Introduce the }\gamma^\mu\text{ matrices.} \\\gamma^0\equiv\beta,\;\gamma^i\equiv\beta\alpha_i \\\Rightarrow\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu} \\\\\text{Introduce more restrictions (six) to impose} \\\text{covariance under Lorentz transforms.} \\L^\mu_{\;\nu}\equiv\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu},\;L^{\;\;\mu}_{\nu}\equiv (L^\nu_{\;\mu})^{-1}=\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\nu} \\\\x^\mu\to x'^\mu=L^\mu_{\;\nu} x^\nu,\;\partial_\mu\to\partial'_\mu=L^{\;\;\nu}_{\mu}\partial_\nu \\\gamma^\mu\to\gamma'^\mu=L^\mu_{\;\nu}\gamma^\nu \\\\\Rightarrow \gamma^\mu\partial_\mu\to\gamma'^\mu\partial'_\mu=L^\mu_{\;\nu}L^{\;\;\nu}_{\mu}\gamma^\nu\partial_\nu=\gamma^\mu\partial_\mu


이렇게 로렌츠 불변 형식의 디락방정식이 완성된다.


\text{Thus, the Dirac equation in its final form} \\\text{nicely incorporates Lorentz covariance.} \\\\m\Psi=i\gamma^\mu\partial_\mu\Psi\Rightarrow(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\Psi=0 \\\\(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\Psi=(i\gamma'^\mu\partial'_\mu-m)\Psi





나중에는 디락방정식의 감마행렬에 대해 클리포드 대수란 말이 나오게 되는데(기본적으로는 anticommute하는 숫자들에 대한 대수를 의미한다. n-form이 한 사례) 아직은 그렇게 복잡하게 생각할 필요는 없다고 생각해서 정리해봤다. 조금만 더 만지작만지작 거리면 spin이 자기모멘트를 나타낸다는 것과 g-factor가 2가 된다는 것도 보일 수 있는데(처음의 \alpha\beta를 쓰는 형식에서 운동량을 canonical momentum으로 바꾼 뒤 제곱해서 정리하면 자기장과 내적한 꼴의 에너지 항을 얻는다) 그것까지 하기는 귀찮다. 언젠가 (2)를 쓰게 되면 그때나...


사실 목적은 기억만으로 수소원자를 푸는 것이었는데(디락방정식을 이용해서 수소원자 모형을 풀면 답에 자연스럽게 fine structure까지 포함된다) 어디선가 헤매고 있다. 일단은 디락 양자역학 책을 열어봐야 하나.


공부합시다!




수정(24 Dec 2013)

감마행렬이 4X4 행렬이라는 논리전개과정이 매우 불분명해서 제외. 대수학을 좀 더 공부해야 할 필요가 있습니다 엉엉 ㅠㅠ

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  1. Favicon of https://chronowalker.tistory.com BlogIcon chronowalker  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    Psi 의 해석을 가만히 둔 상태로 Schrodinger equation 을 relativistic 한 형태로 바꾸고 싶으신 건가요? 그렇게는 단순히 수학적인 논리만으로 감마행렬의 크기가 4 임을 밝힐 수는 없을 것 같습니다만...

    2013.12.29 21:11 신고
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2013.12.29 21:15 신고  댓글주소  수정/삭제

      안되더라구요(...) 정확히는 anticommute하고 제곱이 1인 행렬 넷은 4x4이상에서나 찾을 수 있다는 것을 보여야 하는데, 여태 참고한 책들 다들 대충 '2x2는 안되고 3x3도 안되니까 4x4로 한다'라는 식으로 설명해서 다른 설명은 없나 찾아보던 중이었습니다.

  2. Favicon of https://chronowalker.tistory.com BlogIcon chronowalker  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저도 궁금해서 좀 찾아 봤는데, 제가 약간 착각을 한 듯합니다. 이론하는 사람이 아닌지라, 명백한 결론을 내릴 때까지 시간을 쏟을 수 없지만 어느정도 가능해 보이는군요. 일단 클리포드 대수의 기본조건을 만족하는 행렬들이 작용할 수 있는 공간의 차원은 2^[d/2] 라고 합니다. [ ] 는 최대정수함수를 의미하구요. 실제로 응집물리에서는 저차원에서의 디락 방정식을 이용하기도 하니까 (이를테면 그래핀의 전자는 1+2 dimension 에서의 디락 페르미온으로 기술 가능하다던가...) 1+3 dimension 의 표현공간에 작용하는 클리포드 대수의 행렬표현의 크기가 4가 되어야 한다는 증명을 해볼 수 있을 것 같습니다.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Higher-dimensional_gamma_matrices 그리고
    http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=364399 또
    http://arxiv.org/pdf/hep-th/9811101v1.pdf 의 1장을 참고하였습니다.

    2013.12.29 23:33 신고

통계역학 시험결과가 나왔는데 광자의 화학포텐셜(chemical potential)이 0이라고 가정했다고 점수가 까인 것 때문에 까칠모드로 전환해 써 보는 글. 완벽히 고전적으로 할 경우 어디까지 갈 수 있나 해 봅시다.




1. 먼저 진공이 차 있는 실린더를 가정합니다. 실린더 안은 전자기파로만 채워지고 양자역학적으로 말하면 photon gas에 해당하는 radiation continuum으로 채워진다고 가정하겠습니다. '광자'라는 개념 자체가 없으므로 광자의 수 dN은 등장하지 않습니다.


2. 실린더 안의 radiation continuum을 설명할 때 쓸 변수를 T와 V로 고정하고 이것으로 충분하다고 가정합니다.


3. 여기까지의 가정에서 다음 두 정리를 얻습니다.


3.1. 에너지 U는 extensive variable입니다. 따라서 같은 extensive variable인 V에 대해 선형적으로만 영향을 받을 수 있습니다. 그러므로 U/V=u(T)라는 결론을 얻습니다. 엔트로피 S 또한 extensive variable이기 때문에 부피에 선형적으로 비례하고 S/V=s(T)라는 결론을 얻습니다.


3.2. 압력(있다고 가정할 경우) p는 intensive variable입니다. 따라서 V와는 무관한 변수여야 하며, p=p(T)를 얻습니다.


4. 상태방정식 u=3p를 얻어야 하는데, 이 부분이 제일 까다로와 보이네요. 일단


4.1. 상대론적인 물질은 E/P=c라는 방정식을 만족합니다. 여기서 P는 운동량입니다.


4.2. 임의의 방향으로 분포된 P로부터 압력을 구하면 p = Pc/3V를 얻습니다.


dP_\text{avr}=\frac{(dA \times cdt\cos\theta)\times(P/V\times\cos\theta)\times(\sin\theta d\phi d\theta)}{2\pi} \\\\\text{average momentum passing through an area element}\\=\frac{(\text{swept volume})\times(\text{momentum component per volume})\times(\text{solid angle})}{\text{solid angle of half-sphere}}


통과한 평균 운동량 = (면적 * 통과한 수직길이 = 통과한 부피) * [(단위부피당 존재하는 운동량의 크기) * 면에 수직한 성분을 위한 코사인] * (고체각 성분) / (반구-한쪽 방향만 생각하므로-의 고체각)


넘어가면서 phi에 대한 부분은 적분으로 날려버립니다.


dp=\frac{dP_\text{avr}}{dA\times dt}=\frac{Pc}{V}\cos^2\theta\,d(\cos\theta) \\\\\text{contribution to pressure}\\=\frac{\text{momentum flux contribution}}{\text{area element}\times\text{time elapsed}}\\\\0\leq\theta\leq\pi/2


압력을 구하기 위해 적분하면 p = Pc/3V를 얻네요.


4.3. 에너지를 집어넣습니다. P=E/c=U/c에서 p=U/3V=u/3을 얻습니다.


5. 위의 과정을 통해 U/V=u(T)와 p=u(T)/3을 얻습니다. 독립적인 변수는 T와 V 뿐입니다. 따라서 열역학 제 1법칙을 다음과 같이 정리합니다.


dU=TdS-pdV=T\left[ {\left. \frac{\partial S}{\partial T}\right|}_V dT +{\left. \frac{\partial S}{\partial V}\right|}_T dV \right]-pdV \\\therefore dU=T{\left.\frac{\partial S}{\partial T}\right|}_VdT+\left[T{\left. \frac{\partial S}{\partial V}\right|}_T-p \right]dV


5.1. dT=0으로 두면 s = 4u/3T을 얻습니다.


{\left. \frac{\partial U}{\partial V}\right|}_T=u(T)=T{\left. \frac{\partial S}{\partial V}\right|}_T-p=Ts(T)-p(T) \\\therefore u+p=\frac43u=Ts \\\therefore s=\frac{4u}{3T}=\frac{4p}{T}


6. 비열을 구해 봅시다. 정적비열은 다음과 같이 구합니다.


c_V=\frac1V {\left. \frac{\partial U}{\partial T}\right|}_V=\frac TV{\left. \frac{\partial S}{\partial T}\right|}_V=\frac{4T}{3V}{\left. \frac{\partial (U/T)}{\partial T}\right|}_V=\frac{4T}{3V}\left[{\left. \frac1T\frac{\partial U}{\partial T}\right|}_V-\frac{U}{T^2}\right] \\\therefore c_V=\frac43 c_V - \frac{4U}{3VT} \\\\c_V=\frac{4u}{T}=3s=\frac{du}{dT}


6.1. 정압비열은 구할 수 없습니다. 압력이 온도에 대한 함수로 나오기 때문에 압력을 고정한 채로 온도를 변화시킬 수 없기 때문이죠.


7. 마지막 결과를 조금 꼬아 봅시다. 그러면 고전적으로 스테판-볼츠만 법칙(Stefan-Boltzmann law)을 얻을 수 있습니다.


c_V=\frac{du}{dT}=3s=\frac{4u}{T} \\\\\therefore \frac{du}{u}=\frac{4dT}{T} \\\\\ln u=4\ln T +C \Leftrightarrow u=AT^4




스테판-볼츠만 상수는 구할 수 없는데, 그 이유는 스테판-볼츠만 상수에는 플랑크 상수가 들어가기 때문이며 플랑크 상수는 양자역학을 도입해야만 등장할 수 있기 때문입니다. 4번까지가 문제가 되고 5번부터는 위키백과에도 나오는 별로 특별할 것은 없는 문제.(신나게 유도해놓고 혹시 있나 해서 찾아봤더니 있었죠...=_=;;)


상대론적인 에너지와 운동량 관계식을 제외하고는 전부 고전열역학적 취급입니다. 양자 가설은 코빼기도 안 비치고, 굳이 태클을 건다면 4.2에서 kinetic theory가 필요하다고 볼 수 있겠네요.

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페이스북의 타임라인에 계신 많은 물리 전공자 분들께 질문을 날려보았습니다. 답변을 기다리는 중...


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음... 제가 뭔가 놓친 것 같은데 제 타임라인의 물리에 목숨 건 여러분들의 도움을 요청합니다....


주제는 '특정 파장의 레이저로 물질의 온도를 몇 도 까지 올릴 수 있는가'. 구글 스칼라로 "laser heating limit"을 검색해봤는데 관련있어 보이는 검색결과는 안 잡히네요(문헌조사가 두뇌 가동 알고리즘에 누락되어 있다는 뼈아픈 지적을 계속 받고 있어서 트레이닝중...).


왜 이런 문제를 생각하게 되었는가는 생략하고(전혀..까지는 아니지만 다른 문제에서 파생된(?) 문제라서요) 단순하게 '레이저의 세기가 물질의 복사에너지와 일치하는 시점에서 온도의 상승이 멈춘다'고 할 경우 다음과 같은 사고실험을 해 볼 수 있지 않느냐는 거죠.


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아이디어는 다음과 같습니다. 아무리 낮은 온도의 복사체라도 얼마든지 높은 에너지의 광자를 방출할 수 있습니다. 그러면 온도 T를 가진 한 복사체를 포물면거울의 초점에 두고, 반사되어 평면파로 바뀐 복사광을 회절 격자에 쬐어 스펙트럼으로 나눕니다. 그 중 특정 파장에 해당되는 빛만 취하고 나머지는 거울을 이용해 되돌려보냅니다. 유사 레이저를 만드는 거죠. 좀 더 그럴듯하게 하고 싶으면 편광판을 이용하는 방법도 있고요. 어쨌든 이것을 '온도 T의 유사 레이저 발진기'라고 부릅시다.


'온도 T의 유사 레이저 발진기'를 병렬로 연결합니다. 그러면 나오는 유사 레이저의 세기를 얼마든지 올릴 수 있겠죠(쓰다 보니 자신없어진 부분). 그러면 '온도 T의 유사 레이저 발진기'를 수십만개 연결해서 물체A를 가열하기 시작합니다. 물체A의 에너지는 계속 오르다가 어느 시점에서 평형을 이룰 텐데, 만약 이 평형을 이루는 온도가 레이저의 세기에만 의존한다면 충분히 많은 '온도 T의 유사 레이저 발진기'를 병렬로 연결하는 것으로 물체A의 온도를 T 이상으로 끌어올릴 수 있다는 말이 됩니다. 수많은 '온도 T의 유사 레이저 발진기'로 물체A를 T1(T1>T)으로 가열하는 거죠.


여기서 잠깐. 열역학 2 법칙에 따르면 더 낮은 온도에서 더 높은 온도로 열을 전달할 수는 없습니다(GRE Physics 9277인가에 나왔던 문제라 기억하고 있습니다. 틀렸거든요(...)).


...어라?


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일단 보이는 '현실적'인 불가능한 부분은 과연 '완벽한 반사체'가 존재하냐는 것인데요, 빛을 반사하는 과정에서 반사체의 온도가 상승할 가능성을 무시할 수 있느냐는 질문이 되겠네요.


두 번째로 이렇게 유사 레이저를 제작한다고 해도 그 유사 레이저를 병렬로 연결하면 과연 위상이 잘 맞아들어가서 유사 레이저의 광도가 증가할 것인가의 문제가 있습니다. 이 경우엔 레이저의 광도에 해당하는 흑체복사온도가 있다는 결론이 나올테니(유사 레이저의 세기는 흑체복사로 방출되는 복사광의 해당 파장에서의 세기 이상은 못 가질테니까요) 레이저의 광도와 온도를 직접적으로 대응시키는 방법이 생기네요. 문제 해결? 그런데 평균이 0인 정규분포를 따르는 변수를 모으면 모을수록 그 합의 분산은 증가하는데 꼭 광도가 어느 정도 이상의 값은 가지지 못할 것이라고 결론내리는 것이 너무 성급한 것은 아닌가 싶기도 합니다.


나머지 하나는 이 이상한(?) 현상을 받아들이고 다른 해석(?)을 하는 것. 물체A의 에너지를 물체A의 온도의 함수로 보고 canonical ensemble처럼 처리해서(온도 T의 reservior와 반응하는 것으로 생각하는 거죠) 평형상태 온도가 확률이 극대화가 된다는 것을 보이는 것인데(density of state를 고려해야 할 테니 잘 하면 한 계의 엔트로피 계산에도 쓸 수 있겠네요.) 신나는 계산이 기다리고 있죠...=_=;; 어떻게 계산하는가와 원하는 결과가 나올 것인가는 일단 옆으로 치워 두고...




Rev. 07Nov13


흑체복사에서 벗어나는 radiation의 분포 때문에 물질 내부의 상태는 equilibrium distribution이 아닙니다. 해당 파장의 radiation의 흡수율이 급격히 떨어지게 된다는 뜻. 이걸 고려해야 하는데, 이게 말이야 쉽지...=_=;;


더 이상 canonical distribution을 갖지 않는 상태에 대한 연구가 될 듯 합니다.

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  1. 초짜 물리학자  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제가 학부 때부터 궁금하게 생각한 문제입니다. 광학을 깊이 공부하고 나서야
    어떻게 된 건지 감이 오더라고요. 최종 계산은 아직 안 했지만...
    열 광원에서 나오는 빛은 레이저와 다른 성질을 가지는데요. 공간적 결맞음 이라고 하는
    것이 많이 떨어지지요.spatial coherence의 번역어인데요. 이렇게 공간적 결맞음이
    떨어지는 빛은 레이저처럼 거울의 초점에서 가능한 작은 영역에 모이지 않습니다.
    훨씬 넓은 영역을 지나는데요. 특히 공간적 결맞음이 0이면 무한히 퍼지고 말지요
    Hecht 광학의 coherence 또는 결맞음 부분 하고, van cittert-zernike 정리나 Wiener-Kintchin 정리를 찾아보면 무슨 얘기인지 이해가 가실 겁니다.

    2014.08.25 19:10

'과학과 기술 글쓰기' 수업 과제. 초고 제출한지 한 서너주 되었으니 블로그에 올려 본다. 다음주까지 수정본 제출인데 수정본은 천천히 올리게 될 듯. 쓰고 나서 비평을 맡은 조원들에게 왜 이렇게 길게 쓰냐고 욕먹었다(...). 그런데 내용에 빈 틈이 없게 하려다 보니 이렇게 길어져 버렸(...) 오히려 비평 받은 다음에 내용을 추가해야겠다는 생각이 들어버려서 문제인데, 면담 가면 어떻게 고쳐야 할 지 방향이 잡히지 않을까.


설마 블로그에 올렸다고 카피처리하지는 않겠지?(김광식 교수님 이거 제 블로그입니다 =_=;;)




나무 하나 없는 황량한 벌판을 한겨울의 매서운 칼바람이 가득 채우고 있었습니다. 그리고 벌판 한 가운데 사나운 겨울바람에 맞서며 거대한 구조물을 계속 손보는 형제가 있었습니다. 가문비나무 막대를 복잡하게 얽고 그 위에 얇고 질긴 면직물을 덮어씌운 구조물에 형제는 직접 깎은 프로펠러와 체인으로 연결된 가볍지만 강력한 엔진을 얹었지요. 형제는 세세한 주의사항 모두를 꼼꼼하게 점검하였습니다. 마침내 점검이 끝났습니다. 동생은 그 구조물 안에 탔고, 엔진 시동음이 바람 사이로 퍼져나갔습니다. 구조물은 맞바람을 받으며 달려나갔습니다.


1903년, 12월 17일, 10시 35분. 노스캐롤라이나의 키티 호크. 라이트 형제는 플라이어 1호를 타고 첫 공기보다 무거운 비행(heavier-than-air)에 성공하였습니다.


비행기는 우리 일상에 많은 영향을 미치고 있습니다. 여객기와 화물기는 빠른 운송 수단으로 이 곳과 해외 사이에 가로놓인 높은 장벽을 낮추어 주는 역할을 하며, 전투기는 끔찍했던 전쟁 이후 강력한 전쟁억지의 수단으로 자리잡았습니다. 이렇게 비행기 한 번 탄 적 없는 사람이라도 비행기가 가져온 세계의 변화에 휩쓸리지 않은 사람은 없습니다. 그리고 닿을 수 없는 자유의 상징으로만 여겨졌던 하늘은 더 이상 잡을 수 없는 밤하늘의 별이 아니게 되었지요. 비록 기계의 도움을 받기는 했지만요.


비행기는 어떻게 날까요? 실제 비행기를 가지고 여러 가지 실험을 해 볼 수는 없으니 더 싸고 더 쉽게 볼 수 있는 대용품을 찾아보기로 하겠습니다. 가장 간단한 대용품은 아무래도 종이비행기겠지요. 만들어지는 재질과 크기에서 차이가 나기는 하지만, 종이비행기가 잘 날기 위해서 가져야 할 조건은 비행기가 날기 위해서 가져야 할 조건과 같습니다. 그렇다면 종이비행기가 잘 날려면 무엇이 필요할까요? 이 질문에는 모두가 공통적으로 떠올리는 한 단어가 있지요.


“추락하는 것은 날개가 있다”는 말이 있습니다. 소설 제목과 영화 제목으로도 사용된 말인데, 이 말에는 얼핏 보아서는 못 보기 쉬운 삼단논법이 숨어있지요.


가. 추락하기 위해서는 날아올라야 합니다.

나. 그리고 날아오르기 위해서는 날개가 있어야 합니다.

다. 그렇기 때문에 추락하는 것은 날개가 있습니다.


그런데 날기 위해서는 날개가 있어야만 할까요? 확실히 흔히 볼 수 있는 날짐승들을 살펴보면 모두 날개가 있습니다. 참새, 잠자리, 메뚜기, 쏙독새, 비둘기에 이르기까지(비둘기는 다시 생각해야 할지도 모르겠네요.) 모두 날개를 갖고 있지요. 날려면 날개가 있어야만 할 것 같습니다. 실제로 많은 비행 연구는 ‘어떻게 해야 효과적으로 날 수 있는 날개를 만들 수 있는가’에 초점을 맞추고 있습니다.


날개가 어떻게 날 수 있는 힘을 만들어 주는지에 대한 설명은 이미 많은 좋은 글이 나와 있으니, 여기서는 날개 자체에 대해서만 생각해보겠습니다. 날려면 날개가 있어야 하는데, 반대로 날개가 있기만 하면 날 수 있을까요? 날개가 있지만 뛰어다닐 뿐 날지는 못하는 타조와 같은 새가 있는 것을 떠올려보면 날개가 있다고 무조건 날 수 있는 것은 아닌 것 같지만, 실제로 실험해보기 전까지는 알 수 없겠지요. 그러면 다음 그림처럼 비행기를 접어봅시다.




종이비행기를 많이 접어 보신 분들은 아시겠지만, 이런 형태로 접은 비행기는 날지 못합니다. 종이비행기를 접어 본 적이 없는 분들은 이 종이를 접어 바로 실험해보시면 되겠지요(대신 다시 읽을 수 있도록 땅바닥이 더러운 곳에서 실험하는 것은 피해주세요). 분명히 날개가 있는데 왜 날지를 못할까요? 그러면 다음과 같이 종이비행기를 접어봅시다.



이렇게 접은 비행기는 자주 보셨겠지요. 실제로 날려보면 이렇게 접은 비행기는 아주 잘 날지는 않더라도 최소한 날개만 만들어주었던 그 전의 종이비행기보다는 비행기같이 행동합니다(이 종이로 실험하시는 분들은 너무 멀리 날아가지 않게 조심해주세요). 날기 위해서 날개가 그렇게 중요하다면 분명히 날개가 클수록 더 잘 날아야 합니다. 그런데 실제로는 날개의 크기가 줄어든 두 번째 종이비행기가 훨씬 잘 날지요. 이 실험에서 알 수 있는 것은, 날기 위해서 중요한 것은 날개만이 아니라는 것입니다. 여태 날기 위해서 가장 중요한 것이 날개라고 생각하고 있었는데, 이 현상은 다소 이해하기가 힘들지요.


물리학자들은 한 어려운 현상을 이해하기 위해 좀 더 잘 아는 다른 현상에 견주어보고 그 사이의 공통점을 이끌어내는 버릇이 있습니다. 이 버릇으로 전기와 자기가 하나의 힘이라는 것과, 더 나아가서는 수많은 자연현상들이 단 네 가지 힘으로 설명할 수 있다는 것을 알아내게 되었지요. 그러면 이 글에서도 물리학자들의 버릇을 따라 잠깐 동안 종이비행기와는 조금 달라 보이는, 하지만 이해하기는 더 쉬운 예시를 끌어들여 보도록 하겠습니다.


넓은 공원이나 뜰에 나가면 부메랑이나 원반던지기를 하는 사람들을 쉽게 볼 수 있습니다. 그 사람들이 원반을 던질 때, 던지는 방향과 어떤 모양을 이루도록 던지나요? 보통은 원반을 날아가는 방향과 평행하도록 맞추어 던지지 날아가는 방향과 원반의 면이 수직이 되도록 던지지는 않습니다. 왜 수직으로 던지지는 않는 것일까요? 실험해보면 평행하게 던진 원반은 잘 날지만 수직으로 던진 원반은 꽤 큰 저항이 느껴지며 평행하게 던진 원반보다 잘 날지 못한다는 사실을 알게 됩니다. 이 큰 저항이 원반이 날아가는 것을 방해합니다. 모래주머니를 차고 달리면 더 금방 지치는 것처럼, 원반도 더 큰 저항에 더 빨리 날아갈 에너지를 잃는 것이지요.


종이비행기에서도 이와 같은 일이 일어납니다. 첫 번째의 날개만 있는 종이비행기는 날릴 경우 조금 나아가다가 머리가 수직으로 들려버리는 것을 보실 수 있습니다. 원반에 비유하자면, 평행하게 던진 원반이 갑자기 수직으로 바뀌어 버리는 것이지요. 이 상태를 실속(stall)이라고 부릅니다. 실속 상태에서는 날개가 비행기가 날기 위해 필요한 힘을 충분히 만들어내지 못하고 커다란 저항만 일으키게 되며, 때문에 비행기에서는 실속이 일어나면 추락할 위험이 매우 높아집니다. 비행기 사고가 가장 일어날 확률이 높은 때가 이륙할 때와 착륙할 때라고 하는데, 그 이유는 비행기가 이착륙할 때 실속이 간신히 일어나지 않을 정도의 한계에서 비행하기 때문이지요. 한편 두 번째 비행기는 머리를 들기는 하지만 그렇게 높이 들지는 않습니다. 날아가는 도중에 자세가 흐트러질 법도 한데, 절대 실속이 일어나지는 않도록 잘만 자세를 유지합니다. 두 번째 비행기는 어떻게 자세를 유지할 수 있는 것일까요?


이번에도 물리학자들의 버릇을 따라 좀 더 이해하기 쉬운 다른 예를 보겠습니다. 약수터의 가장 인기 있는 스포츠종목 중 하나로 배드민턴이 있습니다. 배드민턴은 셔틀콕이라는 특이한 공을 사용하는데, 코르크에 거위 깃털을 고르게 꽃아 놓은 것이지요. 그런데 셔틀콕이 날아가는 것을 잘 보면 특이한 점을 하나 알 수 있습니다. 편의상 셔틀콕의 코르크 부위를 앞, 깃털이 꼽힌 부위를 뒤라고 부른다면, 셔틀콕은 항상 앞으로 날아간다는 것이지요. 두 번째 종이비행기도 한 방향으로만 나는데(실제로 충분히 강한 힘으로 종이비행기를 뒤쪽으로 날려 보면 어느새 방향을 바꾸어 바른 방향으로 날아가는 것을 볼 수 있습니다), 우연의 일치일까요?


셔틀콕과 두 번째 종이비행기는 둘 다 앞쪽은 날렵하고 뒤쪽은 부피가 크며 둔하게 생겼다는 공통점이 있습니다. 이것은 무엇을 의미할까요? 바람 부는 날에 바람에 떠밀려 본 분은 아시겠지만, 공기는 물체에게 힘을 줄 수 있습니다. 이런 힘을 압력이라고 부르는데요, 압력은 물체의 모든 표면에 동시에 작용하기 때문에 그 총합을 직접 계산하기는 매우 까다롭습니다. 그래서 물리를 하는 사람들은 이 힘이 한 점에 집중되어 있다고 가정하여 계산을 단순화한 뒤 현상을 설명하고는 하는데, 이 점을 압력중심이라고 부릅니다. 압력중심은 바람이 불어오는 방향과 그 세기, 그리고 물체의 모양에 영향을 받아 그 정확한 위치를 결정하는 것은 매우 힘들지만, 대체적으로 부피가 큰 쪽에 있다는 사실이 알려져 있습니다. 앞쪽 보다는 뒤쪽이 부피가 크고 둔하게 생긴 물체는 앞쪽보다는 뒤쪽에 압력중심이 위치한다는 것이지요.


그렇다면 압력중심은 어떻게 자세를 유지하는 역할을 할까요? 이제는 이 표현이 식상해지려고 하지만, ‘물리학자들의 버릇을 따라’, 조금 더 생각하기 쉬운 예를 떠올려 보겠습니다. 우리 주변에서 원래 자세로 돌아가려고 하는 물체 중 가장 자주 볼 수 있는 것은 진자입니다. 진자는 살짝 건드리면 한 점을 중심으로 왔다 갔다 하다가 결국에는 건드리기 전의 원래 위치로 돌아옵니다. 진자와 종이비행기의 압력중심은 어떤 관계가 있을까요? 진자는 고정된 축과 추 두 가지로 이루어져 있습니다. 축을 중심으로 회전하도록 만들어진 진자의 추에 작용하는 중력은 진자를 원래 자세로 돌아가게 합니다. 진자의 비유에서 추와 중력은 압력중심과 압력에 대응합니다. 그러면 진자의 비유에서 고정된 축에 대응하는 것은 무엇일까요?


답부터 말하자면 비행기의 질량중심이 고정된 축의 역할을 합니다. 질량중심이란 압력중심과 마찬가지로 한 점에 한 물체의 모든 질량이 있다고 가정했을 때 그 점입니다. 좀 더 많은 질량을 가진 쪽에 위치하며, 압력중심과 같이 물리학자들이 계산을 좀 더 편리하게 해 보자는 의도에서 생각해내었지요. 두 번째 종이비행기의 경우 앞 쪽을 접어주었기 때문에 더 많은 질량이 앞쪽에 몰려 질량중심이 보다 앞 쪽으로 움직이게 됩니다. 그런데 질량중심은 어떻게 축의 역할을 하는 것일까요?


물리학이라는 학문(혹자는 과학이라는 학문 체계라고도 하더군요)의 개척자인 아이작 뉴턴은 처음으로 물리학이 제 모습을 갖추기 시작한 책 『프린키피아Principia』에서 세 가지 법칙을 제시하였습니다. 그 중 첫 번째가 바로 ‘관성의 법칙’입니다. 관성의 법칙이란 쉽게 말한다면 (외부에서 힘을 주지 않는 한) 움직이던 물체는 움직이던 그대로 움직이려 하고, 멈춰있던 물체는 멈춰있는 그대로 있으려 한다는 것이지요. 우리가 한 물체를 던지고 그 물체를 따라가면서 본다면, 그 물체는 상대적으로 멈춰 있는 것처럼 보인다는 것을 의미합니다.


하지만 연필만 던져보아도 던져진 물체는 회전까지 한다는 것을 알 수 있습니다. 그러면 회전하는 던진 물체를 따라가면서 볼 때, 그 물체는 어떻게 움직이는 것처럼 보일까요? 아무래도 물체는 가만히 있고 한 축을 중심으로 계속 회전하는 것처럼 보이겠지요. 이 축이 지나는 점이 질량중심입니다. 질량중심은 한 물체의 질량 전부를 대표하는 점이어야 하기 때문에 관성의 법칙을 더욱 철저하게 지켜야 합니다. 따라서 던진 물체를 따라가면서 보는 동안 질량중심은 가만히 정지해 있는 것처럼 보여야만 합니다. 고정된 축의 역할을 하게 되는 것이지요.


다시 잘 나는 두 번째 종이비행기로 돌아와서, 날린 종이비행기를 날아가는 속도 그대로 따라가면서 본다면 종이비행기의 한 점은 정지해 있는 것처럼 보입니다. 그 점은 위에서 설명한 질량중심이 되지요. 그리고 앞서 설명했던 것처럼 압력중심은 종이비행기의 뒤쪽에 위치하게 되며, 궁극적으로는 질량중심보다도 뒤에 위치하게 됩니다. 마지막으로 종이비행기는 날아가는 동안 공기가 날아가는 방향의 반대 방향으로 힘을 줍니다. 가슴이 터질 것처럼 뛰어보신 분들이라면 앞으로 내달릴 때 바람이 얼마나 세게 더 이상 못 달리게 하려는지 경험으로 알고 계시겠지요. 전체적인 그림을 다시 한 번 살펴본다면, 흔히 보는 진자를 옆으로 뉘어놓은 구도가 된다는 것을 알 수 있습니다. 중력이 진자를 원래 자세로 되돌리려는 것처럼, 공기의 압력이 종이비행기를 원래 자세로 되돌리려고 하는 것이지요.


이 비유는 첫 번째의 못 나는 종이비행기에게도 적용할 수 있습니다. 첫 번째의 종이비행기는 날개만 접어주었기 때문에 질량중심이 종이비행기의 한 가운데에 위치합니다. 압력중심 또한 특별히 부푼 부분이 없기 때문에 종이비행기의 한 가운데에 위치하지요. 회전의 중심이 되는 점과 되돌리려는 힘을 받는 점이 일치하게 된 것인데, 이는 진자의 축을 고정하는 축에 다는 것과 같습니다. 추의 정중앙에 못을 꿰어 벽에 박아놓으면 아무리 돌려보아도 원래 자세로 돌아오려 하지 않습니다. 마찬가지의 이유로 첫 번째 종이비행기는 처음 날린 자세 그대로 돌아오려 하지 않습니다. 조금 날다가 머리를 들어 그대로 실속을 맞이하는 것이지요.


우리는 이 글에서 종이비행기처럼 주변에서 흔히 보이는 아주 사소한 물건에도 복잡한 물리법칙이 작용해서 균형을 이루도록 한다는 것을 살펴보았습니다. 그리고 갖가지 비유를 통해 이 물리법칙들은 매우 달라 보이는 원반, 셔틀콕, 진자에게도 작용한다는 것을 알게 되었지요. 이 글을 읽고 잘 나는 종이비행기를 접는 법을 익힌다고 해도 라이트 형제처럼 내가 타고 날 수 있는 비행기를 만들 수는 없겠지만, 이 글이 물리학이 어떤 학문이고 얼마나 보편적으로 작용하는지 엿보는 기회가 되었으면 합니다. 그리고 이 글을 통해 여러분이 물리학이 어렵기만 한 학문이 아니라 실제로는 매우 재미있고 아름다운 학문이라는 것을 느끼신다면 그것만큼 큰 보람은 없겠지요. 지금까지 이 글을 읽어주셔서 감사합니다.





p.s. 실제로는 공기에 의해 힘을 받기 때문에 뉴턴의 제1 법칙은 완벽하게 적용되지 아니하나, 그 힘이 상대적으로 작아 무시할 수 있기 때문에 논의를 그대로 진행하였습니다. 또한, 실제 항공기 설계에서는 압력중심보다는 공력중심(aerodynamic centre)라 부르는 점을 이용합니다. 하지만 공력중심은 과도하게 논의가 어려워진다는 문제가 있어 압력중심으로 글을 이끌어간 점 양해 부탁드립니다.

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  1. hmmm  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    ㅋㅋweistern's에서 타고타고 넘어와 여기 처음 본것도 중학생때였던거 같은데 저도 대학교 2학년생이군요
    제대하셨나보네요 잘 지내시나요?

    2013.10.13 01:17
  2. hmmm  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    ㅋㅋㅋ전 중고딩 때 꿈을 잃은거 같았는데 오랜만에 예전에 보던 블로그들 돌아보니 감회가 새롭네요
    대학와서 실망한 부분도 많았는데 제 공부는 제가 하는 거란 걸 새삼 배워갑니다

    2013.10.13 01:41
  3. 이대곤  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    네모로 종이비행기접어도 앞쪽에 무개만 있으면 잘 나는데요...

    2013.12.19 15:39
  4. BlogIcon 성현석  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    종이 비행기의 꼬리날개로 방향을 조절하수있다는데 그렇게되는 과학적 원리를 자세히 말해주실수 있나요?

    2015.11.28 16:03
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2015.12.10 22:12 신고  댓글주소  수정/삭제

      이건 비행동역학을 알아야 자세히 설명할 수 있는데, 배운지 오래라 간략하게만 설명하겠습니다.

      비행기의 머리를 멀어지는 방향으로, 그러니까 시선 방향과 비행기의 방향을 일치시킨 상태에서 설명하도록 하겠습니다. 꼬리날개의 뒤쪽(방향키-rudder라 부릅니다)을 왼쪽으로 꺾으면 꼬리날개는 오른쪽으로 양력을 받습니다. 비행기가 시선 방향으로부터 왼쪽으로 꺾이는 방향으로 돌림힘을 받는다는 의미입니다. 이렇게 비행기가 왼쪽으로 돌아가게 될 경우 비행기의 주날개(일반적으로 뒤쪽으로 쳐져 있지요) 양쪽을 비교해보면 왼쪽보다는 오른쪽이 상대적으로 더 넓게 바람을 쐬는 것을 알 수 있습니다. 오른쪽 날개에 더 많은 양력이 걸리는 셈이지요. 따라서 비행기는 오른쪽이 뜨고 왼쪽이 가라앉는 모양새를 하게 됩니다. 이 상태에서는 양력이 위쪽 방향뿐만 아니라 왼쪽 방향으로도 작용하기 때문에, 비행기는 전체적으로 왼쪽으로 움직이는 힘을 받습니다.

      보통 종이비행기가 날아가는 방향을 조정할 때 보조날개(aileron)도 같이 조정하는 이유는 방향키 말고 보조날개도 비행기의 움직임에 영향을 미치기 때문입니다. 비행기가 선회하는 힘은 결국 선회하는 방향으로 양력이 만들어져서 나오는 힘이므로, 방향키만 조정하는 것보다는 보조날개까지 조정해야 더 효과적으로 선회할 수 있겠죠.

GRE Physics 문제

Physics 2013.09.29 17:32

검색하면 다 나와요. 그래도 귀찮아하는 사람 있을까봐 올려드립니다.



exam_GR0177.pdf


exam_GR0877.pdf


exam_GR9677.pdf



8677, 9277도 있는데 용량제한에 걸리네요. 앞쪽 두 숫자는 년도입니다. 86-92-96-01-08 순서대로 최신 기출문제. 얼마 전 GRE Physics를 신청하셨다면 0877은 우편으로 왔을 거구요.


실험 기법과 관련된 문제나(푸아송 분포를 이용해 오차범위를 1%로 줄이라는 문제가 있더군요.) 화학자들이 쓰는 기호법이 튀어나오는 문제는 좀 힘들겠지만 다른 건 (학부 수준 공부를 제대로 하셨다는 가정 하에) 쉽게 푸실 수 있을겁니다. 8677이 유난히 어려웠던 것 같은데(990 기준치가 가장 낮고 990 받은 사람도 2%정도밖에 안 되거든요) 나머지는 뭐 그냥...


참고로 전체 GRE Physics 응시자 중 990을 받는 사람은 6%정도 된다는 듯 합니다.


덕성여대 평생교육원 (서울 안국역 4번출구) 에서 봤는데 답안지에 수험번호 안 적을 뻔 했다는 것을 제외하면 뭐 그럭저럭 잘 본 것 같습니다. 뚜껑을 열어봐야 뭐가 나올지 알겠지만요.

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수업시간에 교수님이 하신 설명이 마음에 안 들어서(...) 처음부터 재구성. canonical ensemble을 이용한다. 다른 말로 계와 주변부(environment) 사이에 에너지 교환만 일어난다는 의미.


계와 주변부의 에너지가 특정 비율로 분배될 확률은 그 분배법이 얼마나 많은 가능한 상태의 수를 갖는가에 직접적으로 비례한다. 사실, 그 확률은 이 상태의 수에만 비례한다는 것이 통계역학의 기본 공리중 하나이다(postulate of equal a priori probability). 총 에너지를 E, 계의 에너지를 \varepsilon이라 하면 그 상태에 있을 확률은 다음과 같이 쓸 수 있다.


P(\varepsilon)\propto \Omega_{e}(E-\varepsilon)\Omega_{s}(\varepsilon)


여기서 \Omega_s는 에너지에 따른 계의 경우의 수, \Omega_e는 주변부의 경우의 수. 그런데 이 식은 쓰기 매우 불편하다. 실제로 다루는 물리량이 \Omega가 아니기 때문. 열역학에서 다루는 물리량은 보통 두가지로 나뉘는데,[각주:1]


1. 강성적 성질(intensive property): 계의 크기와는 독립적인 물리량. 압력, 온도, 밀도 따위. 계의 질량과는 독립적인 성질이라고도 설명한다.[각주:2]


2. 종량적 성질(extensive property): 계의 크기에 직접적으로 비례하는 물리량. 부피, 엔트로피 따위. 계의 질량에 직접적으로 비례하는 성질이라고도 설명한다.


\Omega는 이 둘 중 어느 하나에도 속하지 않는다. 계의 크기가 두배가 되면 \Omega는 제곱이 되기 때문. 따라서 좀 더 사용하기 용이한 물리량은 \Omega의 로그값이 된다.[각주:3] 물리적으로는 다음 식이 더 유용하다는 것.


\ln P(\varepsilon) = \ln\Omega_{e}(E-\varepsilon)+\ln\Omega_{s}(\varepsilon)+c


그런데 이러면 사용하기 너무 복잡하다는 문제가 있다. 이 때 이용하는 것이 주변부의 크기는 매우 크기 때문에 선형으로 근사해도 별 문제가 없다는 사실이다. 로그를 테일러 전개를 사용해 1차식으로 만들어주는 것이다. 그리고 이 과정에서 등장하는 미분량은 우리가 잘 알고 있다. 바로 \beta


\\\ln P(\varepsilon) = \ln\Omega_{e}(E-\varepsilon)+\ln\Omega_{s}(\varepsilon)+c\\=\ln\Omega_{e}(E)-\frac{\partial\ln\Omega_e(E)}{\partial E}\varepsilon+\ln\Omega_{s}(\varepsilon)+c\\=\ln\Omega_{e}(E)-\beta\varepsilon+\ln\Omega_{s}(\varepsilon)+c


따라서 원래대로 확률을 구하기 위해 지수를 취해주면


\therefore P(\varepsilon)=\exp(\ln\Omega_{e}(E)-\beta\varepsilon+\ln\Omega_{s}(\varepsilon)+c)


또는


P(\varepsilon)\propto\Omega_s(\varepsilon)\exp(-\beta\varepsilon)


를 얻는다. 바로 심심하면 보이는 볼츠만 분포.

  1. 노승탁, 『공업열역학』, 4판, 문운당 을 참고하고 내용 추가. [본문으로]
  2. 이 설명으로부터 뉴턴의 세계관에서는 질량이 어떤 의미를 갖는지 유추할 수 있다. '질량은 계의 현신'이랄까. [본문으로]
  3. Reif책이 이런 방식으로 서술한다고 기억하는 중. 어쨌든 재미있는 논증이다. [본문으로]

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달빛이 밝다. 햇볕이 없으면 살지 못하는 성격이어서 일부러 햇볕이 잘 드는 방으로 자리를 잡았더니 어두워야 할 밤에도 햇볕이 든다. 달이 비추어준 빛은 달빛으로 부르는 전통이 있기는 하나 그 빛의 뿌리를 파고들다 보면 태양이 쏘아낸 빛에 도달하니 햇볕이라 불러도 (과학적으로는) 오류가 없을 것이다.

며칠을 고민하게 만들었던 문제에 대한 해답을 찾은 듯 하다. 와인버그의 『태초의 3분』에는 시안(cyanide: CN)의 흡수 스펙트럼의 얇은 갈라짐으로부터 우주의 온도를 예측하는 부분이 등장한다. 그 작은 차이가 내 눈을 끌었다. 계산해보면 밀리전자볼트 단위의 아주 작은 에너지 차이인데, 이것을 어떻게 물리적 지식으로 계산할 수 있을까?

처음 든 생각은 C-N 결합을 수소원자 모형으로 단순화시켜 이 차이를 fine splitting이나 hyperfine splitting으로 설명하는 것이었다. 하지만 미세구조상수 계산에 전자의 질량이 사용되고, 여기서는 전자의 질량이 양성자의 질량으로 바뀌어야 된다는 것을 깨닫고는 이 설명은 너무 작은 숫자가 나온다는 것을 알게 되었다. 그래서 이 가설은 깔끔하게 포기하였다.

다음 가설은 회전운동에너지가 양자화된다는 것을 이용하는 것이었다. 고전역학적으로 각운동량은 회전관성과 각속도의 곱으로 나타나며, 회전운동에너지는 회전관성과 각속도의 제곱의 곱으로 나타난다. 그런데 양자의 영역에서는 각운동량이 양자화되므로, 각운동량의 최소단위인 플랑크 상수를 시안 분자의 회전관성으로 나누면 각속도를 얻을 수 있으며, 이로부터 최소 단위의 회전운동에너지를 계산할 수 있으리란 추론이었다.

지식을 총동원해보기로 했다. 플랑크 상수는 197MeV-fm이고 양성자의 질량은 938MeV, 분자 단위의 길이는 대략 Å정도의 차수이다. 환원질량(reduced mass)으로 취급하면 회전관성은 대략 6GeV-Å^2이고 전자볼트-제곱미터 단위로 나타내면 대략 -11승 정도, 플랑크 상수는 전자볼트-미터 단위로 나타내면 -7승 정도 된다. 따라서 플랑크 상수의 제곱을 회전관성으로 나누어주면 -3승 정도의 전자볼트 단위, 즉 밀리전자볼트 단위의 에너지가 남는다. 시안의 흡수스펙트럼의 미세한 갈라짐의 원인을 찾은 셈이다.

달빛이 밝으니 오랜만에 밝은 꿈을 꿀 수 있을 것 같다.

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진짜 오랜만의(...) 물리 이야기. 군대 복무하면서부터 구상했던 논문 주제가 결국 논문으로 나왔고, 발표도 했고, 학점도(...) 나왔다. 그리 잘 쓴 것 같지는 않지만 어떻게 생각이 이어지는지 log를 남겨두면 도움을 받을 법 한 사람들도 있으리라 생각되어서 최종 결과물과 거기에 다다르는데 있었던 생각의 도약들을 기록으로 남겨본다.

학점이 B+인건 아무래도 '선행연구 검토를 제대로 안해서'가 이유인듯 싶다. 사실 발표 한달 전 쯤(그러니까 논문 완성하기 3주 전 쯤) 구글스칼라를 돌면서 선행연구가 있는지 검토했었는데 전무했지만 발표하면서 기억이 안 나서 '기억상에는 없습니다'라고 불확실한 대답을 해버린지라...=_=;; 교수님이 연구 결과물보다는 연구 과정을 충실히 이행했는가를 중점으로 평가하시는 분이셔서 어쩔 수 없다.

주제는 '자기단극자의 무질량 극한에 대한 탐구'. 영문으로 쓰면서 좀 아쉬웠던 부분은 두 번 나오는 unfortunately 중 하나를 다른 표현으로 바꾸지 못한 것. 하나는 fortunately와 대구로 쓰였으니 상관없는데 다른건 바꿀 수 있지 않았을까. 초록에 나왔다시피 '에너지가 유한한 경우로는 존재할 수 없음'이 결론이다. 사실 좀 더 중요한 결론은 '유한한 에너지를 갖는 광속으로 이동하는 soliton은 존재하지 않는다'인 듯 싶지만.

thesis.pdf


아쉬운 점이라면 발표 후에 깨달은 논문상의 부호 문제(...). metric을 반대로 사용해서 정의할 때 부호를 반대로 썼어야 하는 식이 몇몇 있는데다가, 중간에 Stress-energy 텐서의 부호도 잘못 썼다. 어차피 각 항이 0이 되어야 한다는 조건인지라 결론 자체는 문제가 없지만. 왜 리뷰를 봐 주신 교수님들 중 아무도 이걸 지적하지 않은걸까(...).


Kinematic Angular Momentum의 양자화는 사실 자기장이 0인 조건에서만 성립하는데 그 부분도 생략했다. 뭐, 어차피 상관없겠지.


이상민 교수님께서 리뷰하신 후 "실력도 되는데 좀 더 큰 주제를 잡지 그랬냐"는 식으로 코멘트를 달아주셨는데 워낙 오래 전부터 생각했던 주제라 그냥 썼습니다(...).


Soliton을 다루는 건 이수종 교수님을 찾아갔더니 주제를 말씀드리자 Rubakov 책을 쿨하게 던저주셔서 시작. 그걸 한 학기 내내 거의 혼자서 팠다. 올해 봄학기동안 한 일의 70%는 저거였는듯.[각주:1] 그래서 봄학기에 가장 많은 스트레스의 원인이 되었던 과목이 생각보다 학점이 안 좋아서 한동안 푹 꺼져있기도 했다. 돌이켜보면 발표할 때 실수한 내 잘못이긴 하지만.


Soliton의 경우는 논문에서 사용한 좌표계에서 운동방정식을 만족하는 해를 찾으려 3주동안 손가락 한 마디 정도 되는 이면지를 써보았는데도(주로 내가 계산을 제대로 했는가 검산한거긴 하지만) 내가 사용하는 가정해(ansatz)가 해를 주지 못한다는 결론이 나와서 그냥 뒤집어서 '해가 아예 존재할 수 없음을 보여볼까?'를 시도한거다. 결과는 성공. 특정 형식을 갖는 Lagrangian들의 경우 finite energy&speed of light를 갖는 Soliton solution이 존재하지 않는다는 보다 일반적인 결론이다.


다음은 이수종 교수님을 만나서 신세계의 문(...)을 열기 전까지의 기록. 잘못 계산한 결과에서 도약했다는 것은 log 중간에 나온다. 흑역사도 잘 마무리하면 좋은 자양분이 될 수 있다는 한 사례가 되기를(...) 희망한다. '>>'로 표시된 것은 차후에 덧붙이는 주석.




2010/01/01 - 자기 단극자, Dirac String, 기타 등등


이런 글이 있었다. 아직도 비슷한 생각을 하고 있는지라 자기 단극자라는 개념에 대한 회의가 주된 고민거리이다.

처음에는 자기 단극자의 Lagrangian이나 Action Integral을 구하려고 했다. 문제는 그 형식이 어떨지 아예 감이 안 잡힌다는 것. 그래서 일반적으로 사용하는 벡터 포텐셜 A를 이용하면 문제가 생기나 봤더니, 벡터 포텐셜을 사용하게 되면 gauge symmetry는 당연하다는 결론만 얻게 되었다.

한창 보고 있는 책이 장론인지라 벡터 포텐셜을 이용해서 자기 단극자가 가질 수 밖에 없는 운동방정식을 텐서 형식으로 구하려고 했는데, 그것 마져도 실패했다. 그러면서 발견한 것이, 자기 단극자는 속도가 광속보다 매우 작은 경우에조차 갈릴레이 변환을 만족할 수 없는 운동방정식을 요구한다는 것이었다. 그렇다면 역으로 자기 단극자의 운동방정식은 전혀 다른 형식, 그러니까 질량이 없어서 광속보다 매우 작은 속도 자체가 불가능한 경우라는 결론에 도착했다. 그래서 지금은 질량없는 전하의 운동방정식을 어떻게 구해야 할까 고민하고 있다. 아무래도 전하가 자기 단극자보다는 다루기 쉬우니까 말이다.

시작은 Aharanov-Bohm 효과를 자기 단극자에서는 절대로 발견할 수 없다였는데[각주:2], 어느 순간 자기 단극자의 질량은 없다로 흘러가고 있다. 만약 그렇다면 magneton보다는 magnetino라는 이름으로 불러야 하지 않을까.

- 2011.10.02

Magnetino가 유도하는 전자기장 방정식을 구했다. 로렌츠 변환 대칭성을 이용해 운동 방향에 수직한 평면에만 전자기장이 존재하도록 하면(델타함수를 이용해 자하량을 만족시킨다) 운동 방향과 같은 방향으로의 로렌츠 변환에도 변하지 않는 전자기장을 만들 수 있다.(델타함수를 재규격화하는 것이 델타함수 이외의 항에서 나타나는 상수를 상쇄시킨다.) 문제는 벡터 포텐셜. 델타함수의 역미분이 애매하다.

재미있는 것은 이렇게 구한 벡터 포텐셜이 전하와 상호작용할 경우 필연적으로 뜬금없이 각운동량이 생성되어야 한다는 것인데, 이 각운동량을 상쇄할 수 있는 것은 자하나 전하 자체에 내재된 각운동량, 즉 스핀 뿐이라는 것. 스핀은 양자화되어있기 때문에 각운동량 또한 양자화되어 있어야 하고, 따라서 전하와 자하의 곱이 양자화되어야 한다. 우연인지 항상 생성되는 각운동량 또한 전하와 자하 사이의 수직거리와는 전혀 상관이 없다. Dirac 양자화 조건과 조금 다른 듯 싶지만 비슷한 결론이라는 것이 재미있다. 졸업논문을 쓰게 되면 이걸로 쓰면 되겠네.

-2012.03.01

Magnetic charge에 Lorentz invariance를 구현하는 방법은 없나? 현재까지 시도 결과는 없다는 결론만 나온다. 정말 답이 없는걸까? photon이 실존하는 particle(그러니까 고전적인 의미의 입자)이라 가정했을 때 얻는 energy-momentum tensor의 00항과 같은 transform을 갖는 것으로 보이긴 하는데...

>>00항과 같은 이유는 전자기장을 계산했기 때문이었다(...)

Classical limit에서의 equation of motion은 알려진 대칭적인 방정식 말고는 존재할 수 없음을 반쯤 증명했다. 서로에 대해 움직이는 magnetic charge와 electric charge가 상호작용하면서 서로에게 가하는 힘에서 운동에 linear한 term을 구할 수 있고 small loop current와 magnetic charge가 서로에 대해 정지해 있는 경우에 가해지는 힘에서 자기장에 선형적인 항을 구할 수 있다. 자기장과 운동에 선형적인 항은 없는지 의문.

>>간단하게 말하면 자기단극자의 운동방정식을 수학적으로 유도했던 시도다.

-2012.04.21

Magnetic charge에 걸리는 Lorentz force가 사실은 Lorentz invariant이라는 것이 확실해졌다. 전혀 틀린 가정에서 재미있는(?) 결과를 도출해낸 셈. 이제 문제는 magnetic charge가 conjugate field를 생성한다고 할 때 equation of motion을 구할 수 있는가이다. 물론 Lagrangian을 이용해서.

>>여기서 conjugate field는 curl이 전기장이 되는 four-vector를 말한다.

-2012.05.04

자기단극에 가해지는 힘 중 자기장과 운동에 전부 선형적인 항은 존재할 수 없음은 자기단극 두개를 이어 붙여서 만든 자기모멘트와 작은 loop의 자기모멘트가 구분할 수 없다는 가정을 이용하면 구할 수 있다. 만약 그런 항이 존재한다면 자기장에서 자기모멘트가 움직일 때 토크가 있어야 하는데 loop의 경우에는 존재하지 않으므로.

Field theory적으로 접근해볼까 고민중. 그런데 가상광자가 각운동량도 전달할 수 있는건지 모르겠다. 각운동량 보존은 어디서 구해와야 하나...

>>간단하게 말하면 자기단극자의 운동방정식을 수학적으로 유도했던 시도다.

-2012.6.2

젠장. 이미 비슷한 방식으로 quantisation을 완료한 논문이 European Journal of Physics에 실렸었다(2003). 그래서 이번에는 오히려 upper bound를 줄 생각. Dirac theory에 따르면 J_z가 보존되는 양이니까 가능할거란 생각이 든다. 문제는 Hamiltonian이 time independent할 경우에만 해당되는 내용이냐는 거지만. vacuum fluctuation과의 order of magnitude를 비교해봐야겠다.

>>해당 논문(2003 Eur. J. Phys. 24 111)의 링크: http://iopscience.iop.org/0143-0807/24/2/351/ 해당 논문에서는 vector potential을 사용하지 않기에 다른 내용이기는 하지만 내용이 겹치기는 한다.

-2012.11.13
... 


글을 공개로 바꾸면서 log를 다시 보니 난 수학에서나 요구할 법 한 논리적 엄밀성을 추구하는 별로 좋지 않은 버릇이 있는지도 모르겠다. 과감한 일반화가 물리의 미덕인데...

  1. 필요에 의해서 9장까지만 연습문제를 전부 풀어봤는데, 슬슬 나머지 장의 연습문제도 풀기 시작해야겠다. [본문으로]
  2. A-B 효과에서 자기장을 전기장으로 바꾸어주면 전기장 부분에서만 scalar potential을 요구하고 나머지에서는 모든 potential이 0이 되는 gauge를 취할 수 있다. [본문으로]

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간단하게 보고있는 것과 보았던 것들.


1. David Tong: Lectures on Quantum Field Theory

http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html


병장 시절 군대에서 보던 것. 간단하게 '양자장론이 뭐 하는 녀석이냐' 알기엔 좋다. 상대론과 양자역학 공부만 제대로 했다면 읽을 수 있는 수준이라 생각됨. 재규격화나 루프가 나오지는 않는다. 200여 페이지.


2. Gerard t'Hooft, The Conceptual Basis of Quantum Field Theory

http://www.staff.science.uu.nl/~hooft101/lectures/basisqft.pdf


현재 읽고 있는 녀석. Tong의 Lecture note보다는 얇아서 좋기는 한데 이것도 마찬가지로 간략하게만 다룬다는게 특징. 80여 페이지.


3. Paul Adrien Maurice Dirac, The Principles of Quantum Mechanics


인터넷 잘 뒤지면(...) 스캔본이 나온다.[각주:1] djvu 확장자일테니 데자뷰 리더는 필수.[각주:2] 그 유명한 디랙 맞다. QED의 초창기 발전 방향을 알 수 있음. 사실 Dirac Equation쪽이 제일 인상적이었다. 군대에서 양자역학 공부하려고 빌린 책. 연습문제는 없지만 내용은 충실. 300여 페이지.

이 때 쓰던 notation은 현재 통용되는 notation과 조금 다르다는 것에 유의.


4. Franz Mandl & Graham Shaw, Quantum Field Theory


이것도 인터넷 잘 뒤지면(...) pdf를 구할 수 있다. Peskin 책이 나오기 전에 가장 많이 쓰이던 양자장론 교재인듯 싶다. 7장까지 읽다가(연습문제는 안 풀어봤으니 말 그대로 재미로 읽은거다) 그 이후에 Tong Lecture note 보느라 덮어두었던 기억이 난다. 500여 페이지.


5. Michael E. Peskin & Daniel V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory


이것 역시 인터넷 잘 뒤지면(...) djvu 파일을 구할 수 있다. 세 버전 정도 구했는데 하나는 그림이 전부 깨졌고(pdf였다), 하나는 스캔본이었고, 하나는 괜찮았지만 페이지 하나가 아예 스캔이 안되어있었다는 단점이 있었다. 어떻게든 조합하면 쓸만하긴 하다만(...). Tong Lecture note를 보다가 이해가 안 되는 부분이 있으면 참조했던 책. 양자장론 교재로 제일 많이 쓰인다는데 난 정규교육을 받은 적이 없으니 그런걸 알 리가 있나.(대학원 2-3학년 과정이다) 가장 두껍다. 800여 페이지.


4&5번이 정식 교재이다. 1&2는 맛봬기로 독학하기에 좋은듯. 3은 사실 오래된 책이라 재미로 읽는 정도? 그래도 읽다 보면 디랙이 천재는 천재구나 하는 것을 느낄 수 있다. Griffiths 양자역학에 디랙방정식과 QED를 간략하게 넣으면(?) 이 책이 된다. 다만 Solid State Physics의 근간이 되는 Bloch's theorem은 등장하지 않는다. Sakurai의 Modern Quantum Mechanics처럼 양자역학에 대한 특이한 접근법이 인상적이다.

  1. 스캔본이란 스캔이 잘못되어서 문서 중심이 안 맞는다던가 하는 문제가 있는 파일을 말함. [본문으로]
  2. djvu파일 특성상 스캔의 오탈자가 많다. djvu 파일은 글자 세트 하나를 저장하고 이 글자들이 종이 어디에 배치되어 있는지 기록하는 방식인데 스캔을 잘못하면 원래 글자가 아닌 다른 글자로 인식해서 대응시켜 버리기 때문. [본문으로]

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이전에 쓴 글 중 양자역학의 유래라는 글이 있었다. 현대 양자역학의 근간이 되는 파동방정식 풀이법과 행렬을 이용한 선형대수 연산 및 고유값을 사용하게 된 기원 등을 다룬 글인데,[각주:1] 오랜만에 덧붙일만한 내용이 생각나서 새로운 글을 쓰기로 했다.


저번 글에서 양자역학이 형성되어 온 두가지 갈래길을 알아보았다. 이번에는 그 두 갈래길이 남아 아직도 영향을 미치고 있는 묘사(picture)에 대해 살펴보자.


수업을 듣던 중 교수님께서 에너지나 운동량 등의 측정값이 양자화되는 이유를 질문하셨다. 누군가가 경계조건(boundary condition)으로 고유값이 결정되기 때문이라고 했고 교수님은 공부를 열심히 했다고 칭찬하시고는 넘어가셨는데 필자가 보기에는 반만 맞는 답이었다. 하지만 타과생인지라 물리학과에 반기를 들기보다는 조용히 넘어갔다. 어째서 반만 맞는 답일까?


양자역학은 두 경로를 통해 발전했다. 하나는 슈뢰딩거(Erwin R. Schrödinger)의 '파동성을 핵심으로 하는 파동역학'이고, 나머지 하나는 하이젠베르크(Werner Heisenberg)의 '양자성을 핵심으로 하는 행렬역학'이다. 파동역학을 양자역학의 원류로 본다면 물리량이 양자화되는 이유는 경계조건이 존재하기 때문인 것이 맞다. 하지만 행렬역학을 양자역학의 원류로 본다면 물리량의 양자화는 공리(postulate)가 된다. 실제 양자역학은 두 원류가 합쳐진 형태로 발전했기 때문에 이런 의미에서 그 답은 반만 맞는 것이다. 그렇다면 이 두가지 관점은 어떻게 남아있을까?


슈뢰딩거의 파동역학은 전자파(electron wave-electromagnetic wave가 아니다!)와 같이 물체에게 파동성이 존재하므로 이미 존재하는 파동광학 등의 결과를 물질로 확장하는 것으로부터 출발하였다. 때문에 시간에 따라 변하는 것은 물질의 상태(state)가 되고, 이것이 반영되어 측정하는 물리량(operator를 말한다)은 시간에 불변하는 것으로 간주되었다. 빛이 화면에 닿아 상을 만들 때 화면의 상태가 변하기 때문에 화면에 그려지는 상이 변화한다고 보기보다는 빛의 상태가 변하기 때문에 상이 변화한다고 생각하는 것이 더 자연스럽지 않은가? 우리가 존재하는 공간이 변화한다고 보는 것보다는 그 공간에 놓인 물질이 변화한다고 보는 것이 아무래도 자연스럽기 때문에 대부분의 학부 양자역학 교재에서는 슈뢰딩거 묘사(Schrödinger picture)를 쓰는 경우가 많다. 슈뢰딩거 묘사를 쓸 경우 운동방정식은 다음과 같다. 잘 보면 고전적인 파동방정식과 닮았다.


\dot{\left|\psi\right>}=\frac{\bold{H}}{i\hbar}\left|\psi\right>


이번엔 하이젠베르크의 행렬역학을 따라가 보자. 하이젠베르크의 행렬역학은 전 글에서 설명했다시피, 물리량을 측정할 경우 그 값이 양자성을 가진다는 것에서부터 출발하였다. 수소원자스펙트럼은 불연속적으로 분포되어있지 않은가. 그렇기 때문에 하이젠베르크에게 변화하는 것은 물질의 상태가 아닌 물질의 측정값, 즉 물리량이 변화하게 된다. 같은 물질을 다른 시간에 측정하면 다른 물리량을 내놓는 것이므로 물질은 그대로 있고 물리량이 변화해야 한다는 의미이다. 안을 알 수 없는 기계장치가 들어있는 상자가 있고 그 상자의 벽에 화면이 설치되어 있어 시시각각 변화하는 숫자를 보여준다고 상상해보자. 이 경우 상자 자체가 변화한다기 보다는 상자의 화면에 찍히는 숫자가 변화한다고 보는 것이 자연스럽다. 하이젠베르크 묘사(Heisenberg picture)를 쓸 경우 운동방정식은 다음과 같다. 해밀토니안 역학에서 이런 방정식을 본 적이 있을 것이다.


\dot{\bold{A}}=\frac1{i\hbar}\left[\bold{A},\bold{H}\right]+\frac\partial{\partial{t}}\bold{A}


마지막으로 흔히 상호작용 묘사(interaction picture) 혹은 폴 아드리엔 모리스 디락(Paul Adrien Maurice Dirac)의 이름을 딴 디락 묘사(Dirac picture)를 생각해보자. 이 묘사방법은 양자장론(Quantum Field Theory)이 등장하면서 입자가 만들어지고 사라지기니 특정한 상태를 규정짓기가 힘들어지자 도입한 것으로 볼 수 있다. 물리적인 계(system)의 진화를 규정짓는 것이 해밀토니안(Hamiltonian)인데 이 묘사에서는 해밀토니안을 두가지로 나눈다. 일반적으로 우리가 측정하는 '입자'를 만들어주는 자유장 해밀토니안(free field Hamiltonian)과[각주:2] 이 입자들 사이의 상호작용을 기술하는 상호작용 해밀토니안(interaction Hamiltonian)으로 나누고, 각각 H_0와 H_int로 이름붙인다. 우리가 측정하는 모든 물리량은 자유장 해밀토니안에 따라 변화하고, 우리가 측정할 대상이 되는 상태들은 상호작용 해밀토니안에 따라 변화한다. 하이젠베르크 묘사를 설명하면서 쓴 예제를 사용해 본다면 상자의 화면에 등장하는 숫자가 변화하는데, 상자 자체도 조금씩은 모양을 바꾼다는 것으로 생각할 수 있다. 상자의 모양에 따라 화면에 등장하는 숫자 또한 영향을 받는다면 1. 상자의 모양마다 숫자가 어떻게 나타나는지 2. 상자의 모양이 시간에 따라 어떻게 변화하는지로 나누어 설명하는 것이 편리하다. 때문에 상호작용 묘사에서는 운동방정식이 조금 복잡하다.


\bold{H}=\bold{H_0}+\bold{H_{int}}\\ \dot{\bold{A}}=\frac1{i\hbar}\left[\bold{A},\bold{H_0}\right]+\frac\partial{\partial{t}}\bold{A}\\ \dot{\left|\psi\right>}=\frac{\bold{H_I}}{i\hbar}\left|\psi\right>\\\\ \text{where }\bold{H_I}\text{ is the solution of}\\ \dot{\bold{H_I}}=\frac1{i\hbar}\left[\bold{H_I},\bold{H_0}\right]+\frac\partial{\partial{t}}\bold{H_I}\\ \bold{H_I}(t=t_0)=\bold{H_{int}}


물리 덕후 소리를 들을 정도로 이곳 저곳 다 파고 들어가며 닥치는대로 공부하다 보니 물리학 개념이 어떻게 발전해왔는가에 대해서도 이것 저것 알게 된 것이 많다. 아무래도 이런 이해가 있다 보니까 정리가 좀 잘 되는듯. 다음 학기 학부 졸업논문이나 잘 써야 할텐데...

  1. 엄청나게 많은 깨져있는 수식을 복구하느라 조금 힘들었다. 이런 글 엄청 많을텐데...ㅠㅠ [본문으로]
  2. 이 '입자들'로 상태공간을 확장(span)하기 때문이다. 아무래도 알기 쉬운 것들로 공간을 나타내는 것이 더 보기 좋으니까. [본문으로]

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덧글에 찔려서 시작하는 백만년만의 물리 포스팅. 물리 포스팅은 수식 쓰는 시간이 길어서 조금 힘들다. 이번에는 Sakurai의 Modern Quantum Mechanics 140페이지에 등장하는 벡터 포텐셜을 구해보자.

\bold{A}=\frac{1-\cos\theta}{r\sin\theta}\hat\phi

시작은 curvilinear orthogonal coordinate system에서(특히 구면좌표계)의 curl에 대한 표현이다.

\nabla\times\bold{A}=\frac1{uvw}\begin{vmatrix} u\hat{x_1}&v\hat{x_2} &w\hat{x_3} \\ \partial_1&\partial_2 & \partial_3\\ uA_1&vA_2 &wA_3 \end{vmatrix}\\d\bold{s}=udx_1\hat{x_1}+vdx_2\hat{x_2}+wdx_3\hat{x_3}

구면좌표계에서는u=1, v=r, w=r\sin\theta인데, 우리가 원하는 curl의 형태는 \frac1{r^2}\hat{r}이기 때문에 해를 구하기 위해 다음과 같이 어느 정도 단순화된 해를 가정할 수 있다.[각주:1]

\bold{A}=A_\phi \hat\phi\\r\sin\theta{A_\phi}=f(\theta)\\\partial_\theta[{r\sin\theta{A_\phi}}]=\sin\theta

물론 이 방정식을 풀면(적분상수 C는 남겨둔다)

f(\theta)=C-\cos\theta\\\therefore{A_\phi}=\frac{C-\cos\theta}{r\sin\theta}


을 얻는다. C=1로 두면 위에서처럼 음의 z축에서만 폭발하는 vector potential을 만들 수 있고, 내가 구했던 경우는 C=0이었는데 이건 z축에서는 사용이 불가능했다.

\bold{A}=-\frac1{r}\cot\theta\hat\phi 

자기 단극자는 흥미로운 현상이다. 원래 없다는 공리에서 세워진 이론 체계에서 있다는 결론을 도출할 수 있다니 어찌 재미없다고 할 수 있겠는가. 요즘 부대에서 하는 물리 생각의 80% 이상은 이 녀석 생각이다. 잠정적인 결론은 "자기 단극자가 있다면 질량이 없을 것이다"이지만.(그래서 광속으로 이동하는 전하의 전기장에 대해 생각하고 있다.)
  1. 역으로 theta방향 성분만 있는 벡터 포텐셜을 생각할수도 있다. 하지만 이 경우 생기는 문제는 특이점의 집합이 평면이 되어버린다는 것이다. [본문으로]

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이제 어째서 제 2 법칙이 엔트로피가 생성된다는 법칙으로 이어지는지 살펴보자. 우선 전 글에서 우리가 확인한 두 가지 사항은 다음과 같다.

1. 카르노 기관을 뛰어넘는 효율을 갖는 기관은 없다.

2. 이상적인 과정만 존재하는 경우에는 

\oint\left(\frac{\delta Q}T\right)_{\textup{ideal}}=0

이 성립하고, 그 값을 엔트로피의 변화량이라 정의할 수 있다.

이제 우리가 증명해야 할 것은 위의 두 가지 중간결론만 가지고 다음 결론을 이끌어내어야 한다는 것이다.

dS\ge\frac{\delta Q}{T}

이 말은 이렇게도 해석할 수 있다.

0=\oint dS\ge\oint\frac{\delta Q}{T} \\0\ge\oint\frac{\delta Q}{T}

이 결론을 확인하기 위해 임의의 실제과정 사이클을 생각하고, 그 사이클에서 흡열과정과 출열과정을 나누어보자. 편의상 흡열과정은 완전히 이상적이지만 출열과정이 실제과정이라고 하자. 그렇다면 열기관의 효율은 이상과정의 효율을 넘을 수 없으므로

\eta_\text{real}=1-\frac{Q_{l_\text{real}}}{Q_h}\le\eta_\text{ideal}=1-\frac{Q_{l_\text{ideal}}}{Q_h} \\\therefore Q_{l_\text{real}}\ge Q_{l_\text{ideal}}

라는 결론을 얻는다. 즉, 출열과정에서는 

\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{real/exo}\le\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{ideal/exo}

이 성립한다는 것이다.[각주:1] 물론 아래에 T라는 함수가 붙기 때문에 저 적분이 항상 옳은가는 엄밀하게 증명되지 않았다. 하지만 적분경로를 나누어 각각 T가 일정하다고 볼 수 있는 미세한 구간으로 분할하면

\int\delta Q_\text{real/exo}\le\int\delta Q_\text{ideal/exo}\leftrightarrow \frac1T\int\delta Q_\text{real/exo}\le\frac1T\int\delta Q_\text{ideal/exo}\\\leftrightarrow \int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{real/exo}\le\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{ideal/exo}

이므로, 이 부등식은 어떤 적분경로를 택하더라도 성립한다고 할 수 있다. 비슷한 논의를 이용해 흡열과정에서도 같은 부등호가 성립함을 보일 수 있다.

eq=\eta_\text{real}=1-\frac{Q_l}{Q_{h_\text{real}}}\le\eta_\text{ideal}=1-\frac{Q_l}{Q_{h_\text{real}}} \\\therefore Q_{h_\text{real}}\le Q_{h_\text{ideal}} \\\therefore\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{real/endo}\le\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{ideal/endo}

그러므로 일반적으로

\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{ideal}\ge\int\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{real}

혹은 어떤 적분경로를 택하더라도 위의 부등식이 성립해야 하기 때문에

\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{ideal}\ge\left(\frac{\delta Q}{T}\right)_\text{real}

이 성립한다. 맨 처음에 증명하고자 했던 식의 우변은 이상적인 과정과 실제 과정을 전부 포함하므로 이렇게 증명은 완료되었다.

dS\ge\frac{\delta Q}{T}






훈련소에서 없는 기억을 되살려가며 해낸 증명인데[각주:2], 배울 때에는 조금 다르게 배웠었던 것으로 기억한다. 나중에 기회가 되면 다시 찾아봐야지 뭐.
  1. 적분에서는 출열과정의 열이 음수로 계산된다. 효율을 따질 때에는 방출된 열의 절대값만을 따졌으므로 부등호가 반전된다. [본문으로]
  2. 첫 주인 가입교 기간 동안에는 할 일이 없다. [본문으로]

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  1. lunefey  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    헉 어떻게 컴퓨터를?

    2010.11.27 16:36
  2. ㅠㅠ  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    수식이 안나오네요

    2011.08.13 20:23

일단 이 내용은 09년 봄학기 항공역학 기말고사 시험문제였죠. 기초적인 읽을거리 들어갑니다.

철새가 V자 비행을 하는 이유 (창의세상)

한줄로 요약하면 앞에서 나는 새가 상승기류를 만들고, 그 상승기류를 탄 뒤쪽의 새는 편하게 날아간다는 겁니다. 그러면 그 상승기류는 어디서 나오는 것일까요? 다음 비행기 사진을 살펴 보겠습니다.

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Airplane_vortex_edit.jpg

Wingtip vortex라 부르는 비행기 날개 끝의 소용돌이입니다. 전투기가 나오는 영화나 애니메이션이라면 항상 등장하는 단골 손님이기도 하구요. 이 소용돌이를 잘 보면 날개 아래 쪽에서 시작해서 밖을 선회하며 날개 위 쪽으로 돈다는 것을 알 수 있습니다. 이 소용돌이가 바로 상승기류의 원인이 되는 것이지요.

Regions of upwash and downwash created by trailing vortices
http://www.aerospaceweb.org/question/nature/q0237.shtml

그렇다면 이 소용돌이가 왜 생기는지 알아야 상승기류에 대해 더 잘 이해할 수 있겠지요. 이 소용돌이는 날기 위해 생기는 어쩔 수 없는 현상입니다. 먼저 비행기가 나는 원리를 생각해 보도록 하겠습니다. 비행기가 나는 원리는 간단합니다. 날개 위 아래로 압력차이를 발생시켜서 날개에 뜨는 힘을 유도하는 것이죠. 압력밥솥 위에 달린 종처럼 생긴 물건이 밥을 할 때 치카치카 거리면서 흔들거리는 이유와도 동일합니다.

http://superhachi.com/theory/airfoils/

이를 위해 비행기 날개의 단면은 위쪽으로 살짝 둥근 형태를 취하게 됩니다. 둥근 모습을 하게 되면 위쪽에 더 빠르게 공기가 흐르게 되는데, 이건 날개가 공기를 위쪽으로 더 많이 밀어내어 그 공기가 뒤로 빠져나가기 위해서는 더 빨리 흘러야 하기 때문입니다. 물이 흘러 나오는 호스의 끝을 쥐어 짜면 물이 엄청나게 세게 튀어나오는데, 그 원리와 비슷합니다.

Watering Plants Fallujah.jpg
http://www.michaeltotten.com/archives/2008/01/a-plan-to-kill.php

그리고 베르누이의 법칙(Bernoulli's Principle)에 따르면 유체는 속도가 빠를수록 낮은 압력을 갖습니다. 같은 밀도라고 하더라도 한 방향으로 흐르면 상대적으로 그 유체의 분자 하나하나가 압력을 전달하는 면에 작용하는 운동량이 적어지기 때문이라고 생각하면 됩니다. 그래서 윗면에는 빠른 공기와 낮은 압력이 분포하게 되고, 아랫면에는 느린 공기와 높은 압력이 분포하게 됩니다. 압력 차가 생겨났기 때문에 비행기는 뜨게 되는 것이지요. 그리고 그 압력 차이 때문에 앞서 나온 소용돌이 또한 발생하게 됩니다.

http://www.thaiflight.com/mach/modules.php?name=Forums&file=viewtopic&t=27224&view=next

공기는 높은 압력에서 낮은 압력의 방향으로 흐릅니다. 위 그림을 보시면 비행기의 아래쪽에는 높은 압력이, 위쪽에는 낮은 압력이 형성되었다는 것을 보실 수 있습니다. 공기는 그 압력 분포를 따라 이동하는 것이지요. 그리고 그 이동이 날개 끝에서는 소용돌이가 되어 나타나는 것입니다. 바로 이 소용돌이가 선두를 날아가는 새에게서 상승기류를 얻는 원천이 되는 것이지요.

하지만 그렇다고 해서 선두의 새는 손해만 보는 것은 아닙니다. 선두의 양 옆을 날아가는 새들은 선두를 나는 새에게 날개가 더 커지는 효과를 부여합니다. 선두의 새가 느끼는 소용돌이가 감소하게 되는 것이지요. 소용돌이는 진공을 가져오고 진공은 비행시 저항으로 작용하기 때문에 V자 대열은 선두의 새에게도 이득이 되는 셈입니다.

이것으로 글을 마치도록 하겠습니다. 마무리는 역시 멋진 비행기 사진으로... 태양을 날다!!

http://www.flickr.com/photos/avi_abrams/536403230/sizes/o/

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Feynman Lectures 3권의 (21.1) 식은 다음과 같다.

\left< b | a \right>_{\text{in } \bold A}=\left< b |a\right>_{\bold A=0}\cdot\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]

무슨 뜻인고 하면, 자기포텐셜 A가 존재할 때 전이확률을[각주:1] 구하려면 A가 0일 때의 전이확률에 자기포텐셜을 선적분한 만큼 추가적인 위상을 곱해주어야 한다는 것이다. 이 뜬금없는 식은 어디에서 등장한 것일까? 어떤 이유에서든 양자물리는 고전역학에 뿌리를 두고 있으므로 고전역학의 어디에서 왔는지 살펴보자. 먼저 Lagrangian in Electromagnetism에서 마지막 결과물로 얻은 고전적인 장-전하 반응 Lagrangian을 끌어오자.

L=\sum_j\frac1{2}m\dot{x_j}^2-q(\varphi-\dot{x_j}A_j)=\frac1{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}-q(\varphi-\vec{v}\cdot\vec{A})

여기에 Legendre 변환만 취해주면 Hamiltonian을 얻는다. 치환하고자 하는 물리량은 속도 벡터. 일단 Lagrangian을 좌표의 시간변화율로 편미분해주자.

p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot {x_i}}=m\dot{x_i}+qA_i

conjugate momentum을 구했으니 Legendre 변환을 취한다.

H= \sum_i p_i\dot{x_i}-L=\sum_i\frac12m\dot{x_i}^2+q\varphi

얼레. 이상한 포텐셜도 끼어들었는데 제대로 된 에너지가 결과로 나왔다. 하지만 명심해야 할 사실은, Hamiltonian은 좌표의 시간변화율이 끼어들 자리가 없다는 것이다. d(x_i)/dt를 p_i로 바꾸어주어야 한다는 사실을 잊지말자.

\dot{x_i}=\frac{p_i-qA_i}m \\\therefore H=\sum_i\frac1{2m}(p_i-qA_i)^2+q\varphi

이제 Schrodinger equation으로 자기력을 다룰 때 어째서 괴상한 방식으로 자기포텐셜이 도입되었는지 그 유래가 조금은 보일 것이다. 이제 Schrodinger 방정식을 풀어보자. 일반적으로 이 방정식을 풀 때 상태함수는 위치좌표를 기저로 쓰므로 운동량을 적당히 바꾸어 넣는다.

H=\frac1{2m}(-i\hbar\vec\nabla-q\bold A)\cdot(-i\hbar\vec\nabla-q\bold A)+q\varphi

우변의 첫 항이 사실 좀 많이 거슬린다. 계산이 너무 귀찮게 생겼다. 그런데 운동량과 자기포텐셜이 뒤섞여 있는 저 항은 잘 하면 계산하기 쉽게 바꿀 수 있을 것도 같다. 먼저 위의 Hamiltonian을 다시 써보자.

H=-\frac{\hbar^2}{2m}(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)\cdot(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)+q\varphi

다음 방정식은 쉽게 보일 수 있다. 이 녀석을 응용할 수 있지 않을까? (F는 f의 역도함수)

\left(\frac{d}{dx}-f(x)\right)g(x)~e^{F(x)}=g'(x)~e^{F(x)}

일단 입자가 a에서 b까지 1차원 경로로 이동하는 경우는 다음과 같이 쓰면 쉽게 정리할 수 있다.

\Psi(x,t)=\Psi_0(x,t)\cdot\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]

적분이 아직 난감하다고 해도, 미분은 엄청 간편해졌다.

i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=H\Psi=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)\cdot(\vec\nabla-\frac{iq}{\hbar}\bold A)+q\varphi\right]\Psi \\=\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]\cdot\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+q\varphi\right]\Psi_0 \\=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left(\exp\left[\frac{iq}{\hbar}\int_a^b\bold A\cdot d\bold s\right]\cdot\Psi_0\right)

특히, A가 시간과 무관한 경우라면 계산이 엄청나게 간단해진다.

i\hbar\frac{\partial\Psi_0}{\partial t}=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+q\varphi\right]\Psi_0

이제 처음에 등장한 식이 어떻게 얻어졌는지 조금은 보일 것이다.
  1. 실제 확률은 절대값의 제곱을 취하지만, 여기서는 간단히 두 상태의 내적으로 취급하자. [본문으로]

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  1. ㅋ_ㅋ  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    berry's phase네
    물론 엄청 간단한 경우지만

    2010.12.24 03:04

2009/04/24 - 어는점내림/끓는점오름을 다른 상수에서 구하기

위 글에서 내가 한 가정들 중에서는 엄밀하지 못한 가정이 하나 숨어있다. 원글에서도 밝혔지만 엔트로피에 대한 가정 말이다.

3. 엔트로피의 특징
엔트로피는 용매 자체가 가진 엔트로피(S_1)와 용질 자체가 가진 엔트로피(S_0)와 용매가 존재함으로서 생겨나는 엔트로피(S_p)의 합으로 생각한다. 이 때, 용질의 존재가 만들어내는 추가적인 엔트로피는 다음과 같이 가정한다.
 S_{p}=k\ln\Omega'\\\Omega'{=}\text{C}({N_1+N_s},{N_s})

여기서 C는 Combination 함수를 말한다.
 \text{C}(n,k)\equiv\frac{n!}{k!(n-k)!}

기존 엔트로피(그러니까, S_0S_1)에 대한 가정은 문제가 없다. 엔트로피를 로그함수로 정의한 이유가 이렇게 증가하는 복잡도를 단순한 덧셈으로 나타내고 싶었기 때문이다. 문제는 섞였을 때 만들어지는 엔트로피이다. 공간을 무작위로 나돌아다니는 분자들인데 어떻게 그 분자들의 복잡도가 단순한 조합(combination)함수로 나타내질 수 있느냐는 것이다.

결론은 의외로 간단하다. 어차피 통계역학은 그 기본 가정이 불연속성이므로 공간마저도 불연속적인 격자(grid)로 가정할 수 있다. 이제 한 격자의 크기를 한 분자가 겨우 들어갈 정도로 작게 잡고, 그 격자를 한줄로 쭉 늘어놓는다. 집합론에서 무한집합에 대해 \aleph_0\times\aleph_0=\aleph_0를 증명하는 것과 비슷한 방식을 사용하면 된다. 이렇게 격자를 한줄로 쭉 늘어놓으면 N_1%2BN_s개의 빈 상자에 N_s개의 용질 분자를 집어넣고 나머지를 용매 분자로 채우는 문제와 동일한 문제가 된다. 따라서 매우 간단해 보이는 조합함수이지만 상대적으로 정확한 엔트로피를 구할 수 있는 것이다.

물론 여기에는 용액이 액체이기 때문에 빈 격자가 없다는 가정이 포함된다. 빈 격자도 있으면 빈 격자도 계산에 넣어야 하기 때문이다. 따라서 구한 상수를 구하는 식은 초유체나 기체 용액에 적용하기에는 무리가 있다.

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2008/12/21 - 제레미 리프킨, 엔트로피

무질서도로 번역되는 엔트로피(Entropy)란 개념은 열역학 제 2법칙과 밀접한 관계를 갖습니다. 제 2법칙이 엔트로피 증가의 법칙으로 통용되는 것만 보아도 그것을 쉽게 알 수 있겠지요.

엔트로피에 대한 접근은 크게 두가지로 볼 수 있습니다.(정보 이론에서도 다룬다고 하는데 이건 무시.. 세스 로이드의 『프로그래밍 유니버스』란 책에서 간략하게 다루고 있는데 그걸 참고하셔도 좋을 듯 합니다.) 하나는 완전한 고전역학적인 접근이고 다른 하나는 완전한 통계역학적인 접근입니다. 고전역학적인 접근은 우리가 어느 물체에 대해 평균적인 값으로 측정하는 물리량(압력이나 부피, 밀도 등)을 기반으로 엔트로피를 정립해 나가는 것이고 통계역학적인 접근은 분자들의 상태의 수를 이용해서 엔트로피를 정립해 나가는 방식입니다. 보통은 통계역학적인 접근, 혹은 미시적인 접근을 주로 사용하지만 좀 독특한(일반적인 접근인 미시적인 접근과는 반대되는 접근이라는 점에서) 접근방식인 고전역학적인 접근을 써 보려고 합니다.[각주:1]

먼저 카르노 기관(순환Cycle)을 짚고 넘어가야 합니다. 카르노 기관은 엔트로피라는 개념이 정립되기 전부터 등장해서 엔트로피를 고전적으로 정의하는데 커다란 버팀목이 되었던 가상적인 엔진입니다. 이 엔진의 특징은 '모든 과정이 역으로 진행 가능하다'입니다.

카르노 기관(Carnot engine/cycle)

모든 과정이 역행 가능한 기관. 네 단계로 구성된다.

1. 등온팽창. 엔진과 같은 온도를 가진 열 공급원에서 에너지를 흡수한다. 같은 온도를 갖기 때문에 이 과정은 역으로 동일하게 진행될 수 있다.
2. 단열팽창. 엔진은 외부와 열 교환을 할 수 없다. 이때 팽창은 준정적Quasi-static으로 일어난다. 준정적이란 말은 평형상태와 유사하게라는 뜻으로, 이 경우에는 기체(또는 유체working fluid)의 팽창이 내부의 압력과 외부의 압력이 동일한 상태에서 일어나는 것이다. 이렇게 준정적인 과정으로 기체가 팽창할 경우 과정은 역으로 진행될 수 있다.
3. 등온압축. 엔진과 같은 온도를 가진 열 흡수원에 에너지를 방출한다. 등온팽창과 마찬가지의 이유로 역으로 동일하게 진행될 수 있다.
4. 단열압축. 단열팽창과 마찬가지로 열 교환을 할 수 없으며, 마찬가지의 조건과 이유로 과정은 역으로 진행할 수 있다.

그리고 열역학 제 2법칙의 공리가 등장합니다. 두 가지 공리가 있습니다.[각주:2]

Clausius Statement
열은 자연적으로 저온부에서 고온부로 전달될 수 없다.[각주:3]

Kelvin-Plank Statement
단일열원에서 열을 얻어 모두 일로 바꾸는 것은 불가능하다.

살펴보겠지만, 두 공리는 서로 동등한 관계를 지닙니다. 둘 중 하나만 부정되어도 다른 하나마저 부정되어야 하지요. 먼저 첫 서술을 부정해 보겠습니다. 열이 자동적으로 저온에서 고온으로 이동하는 겁니다. 그러면 어떤 순환이 두 열원 사이에서 작동하면서 저온부에 버리는 열이 고온으로 이동하면 외부에서 보기에는 고온에서 얻은 열을 전부 일로 바꾼 것으로 보이게 됩니다. 둘 째 서술이 부정되는 것이지요.

둘 째 서술을 부정해 볼까요? 단일열원에서 열을 얻어 모두 일로 바꾸는 기관을 냉동기에 연결합니다. 그러면 저온부에서 고온부로 스스로 이동하는 현상이 일어나게 됩니다. 첫 서술이 부정되는 겁니다. 결국 서로 동치라고 볼 수 있겠지요.

뭐 어찌되었든, 이를 이용하면 카르노 기관이 최고의 효율을 가진 기관이라는 것을 보일 수 있습니다. 카르노 기관은 기본적으로 외부에 영향을 미치지 않는 기관입니다. 모든 과정을 그대로 역으로 진행할 수 있기 때문이지요. 하지만 이 기관보다 효율이 좋은 기관을 도입한다면? 이런 이상적인 기관에서 일을 얻어서 카르노 기관을 역으로 진행시키는 데 사용한다면 열이 역류하는 현상이 일어납니다. 이는 Clausius의 서술에 위배되기 때문에 결국 그런 기관은 존재할 수 없다는 것이지요.

그리고 동일한 열원 사이에서 작동하는 카르노 기관들은 전부 같은 효율을 지닙니다. 하나가 다른 하나보다 더 효율이 좋으면, 하나를 냉동기로 사용하고 하나를 냉동기를 작동시키는 엔진으로 사용하면 열이 역류하는 현상을 볼 수 있겠지요. 이 역시 Clausius의 서술과 반대되기 때문에 존재할 수 없습니다.

그러면 같은 열원이란 무엇일까요? 동일한 온도를 가진 열원을 같은 열원이라고 말합니다. 그리고 카르노 기관의 효율은 그 기관이 작동하는 두 열원의 온도의 함수로 주어집니다. 이는 고온부와 저온부 그리고 그 사이에 중간단계의 열원이 존재함을 가정하고 고온부와 저온부 사이에서 작동하는 기관 하나, 고온부와 중간단계 사이에서 작용하는 기관 하나, 중간단계와 저온부 사이에서 작동하는 기관 하나를 놓은 다음 고온부에서 바로 저온부로 연결된 기관과 중간단계를 걸처 작동하는 기관 둘의 합이 같은 효율을 가져야 한다는 것을 이용해서 보일 수 있습니다.[각주:4] 고온부의 온도를 t_h, 저온부의 온도를 t_l, 중간 단계의 온도를 t_m이라고 한다면 저온부와 고온부 사이 그러니까 t_h와 t_l 사이에서 작동하는 카르노 기관의 효율은 이런 꼴로 나타날 것입니다.

\eta_{hl}=F(t_h,t_l)=1-\frac{Q_l}{Q_h}

Q는 카르노 기관에서 들어오거나 나가는 열의 양을 말하고, 첨자는 그 온도를 말합니다. 앞으로는 편의상 열을 주고받는 비율에 초점을 맞추겠습니다. 이 열을 주고받는 비율은 다음과 같이 식의 형태로 쓸 수 있지요.

\frac{Q_l}{Q_h}=f(t_h,t_l)

중간 단계에 걸쳐있는 나머지 두 카르노 기관에 대해서도 같은 식을 써 볼 수 있습니다.

\frac{Q_h}{Q_m}=f(t_h,t_m) \\\frac{Q_m}{Q_h}=f(t_m,t_l)

그리고 효율이 같다는 것에서 다음 식을 유도할 수 있습니다.

\eta_{hl}=1-\frac{Q_l}{Q_h}=\eta_{h|m|l}=1-\frac{Q_h}{Q_m}\frac{Q_m}{Q_l} \\\frac{Q_l}{Q_h}=\frac{Q_h}{Q_m}\frac{Q_m}{Q_l} \\\therefore f(t_h,t_l)=f(t_h,t_m)f(t_m,t_l)

마지막 식을 다음과 같이 정리할 수 있는데

\frac{f(t_h,t_l)}{f(t_m,t_l)}=f(t_h,t_m)

이렇게 되면 좌변에서만 t_l이 등장하므로, f는 변수분리가 가능한 함수가 됨을 알 수 있습니다. t_l만 변화했을 때 값이 변해서는 안 되기 때문에 분모인 함수가 t_l에 의해 받는 영향만큼 분자의 함수가 영향받아야 되기 때문이죠. 그러면 일단 함수를 나눈 다음 생각해 봅시다. 함수 f를 대충 분리해서

f(t_1,t_2)=\phi(t_1)\theta(t_2)

라고 둔다면

f(t_h,t_m)=\frac{\phi(t_h)}{\phi(t_m)}

을 얻게 되지요. 그런데 우리는 온도의 측정에 제한을 둔 적이 없기 때문에 함수 \phi를 온도를 정의하는데 사용할 수도 있습니다. 이를 열역학적 온도라고 부릅니다.

T=\phi(t)

이제 열역학적 온도를 이용해 카르노 기관의 열효율을 정의할 수 있게 됩니다.

\eta_{hl}=1-\frac{T_l}{T_h}=1-\frac{Q_l}{Q_h}

물론 이를 이용해 기준온도를 두고[각주:5] 다른 열역학적 온도를 측정하는 것도 가능하지요. 위의 식에서 흡수/방출하는 열이 온도와 정확히 비례하기 때문입니다.

T_2=\frac{Q_2}{Q_1}~T_1

이제 엔트로피를 도입할 수 있게 됩니다. 먼저 다음 값을 한번의 카르노 순환(cycle)에 대해서 계산해 봅시다.

\oint \frac{\delta Q}T

이때 Q는 계 안으로 흘러들어오는 열로 정의합니다. 단열과정에서는 열이 전혀 흐르지 않기 때문에 등온과정만 생각하면 되는데, 등온과정에서 T는 일정하므로 적분은 다음과 같습니다.

\oint \frac{\delta Q}T=\frac{Q_h}{T_h}+\frac{-Q_l}{T_l}

(두번째 항에 음의 부호가 붙어있는 이유는 저온부로 열이 방출되기 때문입니다.) 그런데 위에서 카르노 기관의 등온과정에서 흡수하거나 방출하는 열은 온도에 비례한다고 정의내렸었죠.[각주:6] 따라서 저 값은 영이 됩니다.

Q\propto T \\\therefore\oint \frac{\delta Q}T=\frac{Q_h}{T_h}-\frac{Q_l}{T_l}=0

더군다나 어떤 열역학적인 기구라고 하더라도 이상적으로만 작동하고 원래대로 돌아오는 주기운동을 하는 경우라면 수많은 작은 카르노 기관을 모아 만들 수 있습니다. 그러므로 이상적인 경우만 존재한다면 다음 결론을 얻습니다.

\oint\left(\frac{\delta Q}T\right)_{\text{ideal}}=0

다른 뜻으로는, 위 미분값이 완전미분이라는 것이지요. 완전미분량이기 때문에 위 미분을 어떤 스칼라 함수의 미분으로 볼 수 있다는 것입니다. 스칼라 함수라면 상태에 의존하는 값이라는 의미고, 그러므로 상태에만 의존하는 이 스칼라 함수를 하나의 물리량으로 볼 수 있다는 뜻입니다. 이 물리량이 바로 엔트로피입니다. 대신 엔트로피의 차이만 정의되지 엔트로피의 절대값은 정의되지 않습니다. 위치에너지와 비슷하지요.[각주:7]

\left(\frac{\delta Q}T\right)_{\text{ideal}}= dS \\\therefore\oint dS=0

통계역학 이전의 열물리에서 엔트로피라는 물리량이 어떻게 얻어졌는지를 보이는 것은 끝났고, 열역학 제 2법칙의 또 다른 버젼인 '엔트로피는 계속 생성된다'는 다음에 다루어 보도록 하죠. 스포일러: 이건 어떤 순환이라고 하더라도 이상적인 경우보다 효율이 떨어진다는 사실을 이용해 증명합니다.



많이 오래 전에 쓰다 만 글이라 문체가 조금 다릅니다. 별로 상관없지만...-.-;;
  1. 열역학 제 1법칙에 대한 확실한 이해가 필요할 수 있습니다. 제 1법칙은 에너지 보존의 법칙과 동치입니다. [본문으로]
  2. 공리는 '증명 불가능한 가정'입니다. 수학에서도 공리를 필요로 하는 것처럼, 물리학에서도 공리를 필요로 합니다. 뉴턴역학에서는 뉴턴의 세 법칙으로 공리가 나타났지요. 양자물리에서는 슈레딩거 방정식이 공리로 이용됩니다. [본문으로]
  3. 확률적으로 가능성이 낮은 것이지 불가능한 것은 아닙니다. 열역학 제 2 법칙은 사실 진리라기보다는 확률적으로 어쩔 수 없이 성립하는 결과라는 것이 대체적인 입장이구요. [본문으로]
  4. 시험문제에 나오더군요 OTL. 노승탁, 『최신 공업열역학』4판, 문운당, p.103~105 [본문으로]
  5. 기준온도는 물의 삼중점으로 273.16K입니다. [본문으로]
  6. 보인 것이 아니라 정의한 것입니다. 열역학적 온도를 정의하면서 따라온 부가적인 정리에 가까우니까요. [본문으로]
  7. 일반상대론이 등장하면서 '절대값'이 중요해졌다는 것도 통계역학적으로 열역학을 다루기 시작하면서 엔트로피의 절대값이 중요해졌다는 것과 닮았습니다. [본문으로]

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  1. Favicon of https://cjackal.tistory.com BlogIcon jackal_anu  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    우어어 ㅠ_ 열역학과 통계역학의 안좋은 추억이;;

    2010.08.06 00:45 신고
  2. Favicon of https://hbar.tistory.com BlogIcon h-bar  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    우어어 이거 과학독서발표대회때 읽었던 안좋은 추억이;;

    2010.08.09 22:00 신고
  3. Favicon of https://inpresity.tistory.com BlogIcon presii  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    세상에...우어어...;;;

    2010.08.11 07:22 신고
  4. lunefey  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    못쓰는 에너지죠? 그러니까 여러개 설명되던데.

    2010.08.17 02:08
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.10.23 01:43 신고  댓글주소  수정/삭제

      제레미 리프킨이 '못 쓰는 에너지'라는 정의로 사용하기는 했는데, 엄밀히 말하면 틀린 말이죠. 엔트로피는 에너지와 아예 다른 차원을 갖습니다. 물론 온도를 무차원량이라고 정의한다면 같은 종류의 것이 되기는 하지만, 일반적으로 단위가 붙어 있으면 그것을 하나의 차원으로 생각하거든요.

      고전 열역학에서의 엔트로피는 고전역학에서의 위치에너지 개념처럼 에너지와 온도를 이용한 식을 이리저리 돌려보다 보니 쓸만한 값을 찾아내 정의한 것으로 보아야 합니다. 반대로 통계역학에서는 엔트로피와 에너지가 먼저 정의되고 그 다음에 온도가 정의되지요.

  5. lunefey  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    물론 엔트로피가 에너지는 아니죠. T 를 곱해줘야 비로소 에너지가 되는데 그게 못쓰는 에너지가 되는게 아닌가 해서요. 엑서지 계산할 때도 다 빼주잖아요 ㅋ

    2010.10.26 21:22
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.12.18 11:51 신고  댓글주소  수정/삭제

      엑서지(exergy)는 전혀 다른 방법으로 계산하지 않던가요? 기억이 가물가물하네...

      여튼 깁스 자유에너지였나 헬렘홀츠 에너지였나 거기서는 엔트로피가 나왔던 것 같긴 한데 기억은 잘 안나네요... 그런데 그건 수학적 편의를 위해 도입했다고 보는게 옳다고 생각하는지라...

2009/05/06 - Lagrangian formulation(1)

Electromagnetism in Schrodinger Eqn.이라는 글을 쓰다가 생각해보니 쓸데없는 식이 들어와 글을나누었다. 그러면 일단, 시작해보자.

Lagrangian을 사용하는 역학을 조금만 비틀어주면 Hamiltonian을 사용하는 정석적(?)인 Hamilton역학을 얻는다. 먼저 Lagrangian의 정의는 운동에너지와 위치에너지의 차이이다. 이 내용을 수식으로 쓴다면

L(q_i,\dot{q_i},t)=T-V=\frac12mv^2-V

이다. 그리고 Lagrangian을 이용한 운동방정식(Euler-Lagrange equation이라고 부른다)은 각 일반화된 좌표(generalized coordinates) q_i마다 다음과 같다.

\LARGE\!\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}=0

여기에 Legendre 변환만 취해주면 Hamiltonian을 얻는다. 치환하고자 하는 물리량은 일반화된 속도 벡터.(좌표의 시간변화율을 말한다.) 일단 Lagrangian을 좌표의 시간변화율로 편미분해주자.

p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot {q_i}}

이 값을 conjugate momentum이라고 부른다. 이제 Legendre 변환을 취한다.

H(q_i,p_i,t)= \sum_i p_i\dot{q_i}-L(q_i,\dot{q_i},t)

독립변수가 변하는 것에 주목할 것.(일반적으로 우변의 항은 일반좌표의 시간변화율 d(q_i)/dt가 남아있기 때문에 Hamiltonian으로 쓰려면 모두 p_i로 바꾸어야 한다.) 좌표를 일반적인 직교좌표계로 두고 계산해보자.

p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot{x_i}}=m\dot{x_i}\\H= \sum_i p_i\dot{x_i}-L=\sum_i\frac12m\dot{x_i}^2+V\\H=\sum_i\frac{{p_i}^2}{2m}+V

얼레. 에너지다.(독립변수인 p_i로 쓴 점에 유의) 이래서 보통 Hamiltonian을 에너지라고 해석하기도 한다(양자역학을 배울 때 Hamiltonian을 에너지라고 가르치기도 하는데 그 이유가 여기있다). 그렇다면 운동방정식은 어떻게 될까? 우선 Lagrangian을 쓸 때 운동방정식은 이것이었다.

\LARGE\!\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}=0

Hamiltonian은 일반좌표의 성분이 전부 Lagrangian에서 나오기 때문에(Hamiltonian은 Lagrangian의 일반좌표 q_i와 일반좌표의 시간변화율 d(q_i)/dt 두 독립변수 중 시간변화율을 conjugate momentum으로 바꾼 것이다. 따라서 앞쪽의 p_i는 일반좌표 q_i와 독립적인 변수가 되고, 따라서 편미분하면 0이 된다.)[각주:1] 위의 식을 이렇게 바꿀 수 있다.

\frac{\partial L}{\partial q_i}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}=\frac d{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}=\dot {p_i}\\\frac{\partial H}{\partial q_i}=-\dot{p_i}

하나의 운동방정식을 구했다. 이제 두 번째 운동방정식을 구할 차례다.(Lagrangian의 운동방정식이 N차원 변수 x의 값과 그 시간변화율에 대한 2계도함수라면 Hamiltonian의 운동방정식은 N차원 변수 x와 N차원 변수 p에 대한 1계도함수이다. 따라서 하나씩 더 필요.) 우선 Lagrangian과 Hamiltonian의 완전미분을 생각해보자.

dH= \sum_i (\dot{q_i}~dp_i + p_i~d\dot{q_i})-dL \\dL=\sum_i\left(\frac{\partial L}{\partial\dot {q_i}}~d\dot{q_i}+\frac{\partial L}{\partial{q_i}}~dq_i\right)+\frac{\partial L}{\partial t}dt

식을 정리하면 다음처럼 된다.(p_i의 정의를 이용)

dH= \sum_i \left(\dot{q_i}~dp_i + p_i~d\dot{q_i}-\frac{\partial L}{\partial\dot {q_i}}~d\dot{q_i}-\frac{\partial L}{\partial{q_i}}~dq_i\right)-\frac{\partial L}{\partial t}dt \\dH= \sum_i \left(\dot{q_i}~dp_i -\frac{\partial L}{\partial{q_i}}~dq_i\right)-\frac{\partial L}{\partial t}dt

그런데 Hamiltonian은 conjugate momentum과 일반화된 좌표, 시간에 대한 종속변수이므로

dH= \sum_i\left(\frac{\partial H}{\partial{p_i}}~dp_i+\frac{\partial H}{\partial{q_i}}~dq_i\right)+\frac{\partial H}{\partial t}dt

가 되어여만 한다.(완전미분의 정의를 생각해보자.) 언제 어디서나 어떤 경우에도 바로 위의 식과 그 위의 식이 일치해야 하므로, 우리가 내릴 수 있는 결론은

\frac{\partial H}{\partial{p_i}}=\dot{q_i}~,~\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}

이다. 그리고 Hamiltonian을 시간에 대해 완전 미분한 결과는

\frac{dH}{dt}=\sum_i\left(\frac{\partial H}{\partial{p_i}}~\dot{p_i}+\frac{\partial H}{\partial{q_i}}~\dot{q_i}\right)+\frac{\partial H}{\partial t} \\=\sum_i\left(-\frac{\partial H}{\partial{p_i}}\frac{\partial H}{\partial{q_i}}+\frac{\partial H}{\partial{q_i}}\frac{\partial H}{\partial{p_i}}\right)+\frac{\partial H}{\partial t} \\=\frac{\partial H}{\partial t}

이라 Hamiltonian이 시간에 대한 explicit dependence가 없을 경우 일정한 값을 갖는다.

Lagrangian을 쓸 때와 Hamiltonian을 쓸 때의 차이점은 Lagrangian이 N개의 차원을 갖는 일반화된 좌표공간에서의 움직임을 2계도함수로 풀 때(Euler-Lagrange 방정식이 2계도함수이다) Hamiltonian은 2N차원의 일반화된 좌표-운동량공간(위상공간-phase space-으로 부른다)에서의 움직임을 1계도함수로 푼다는 것이다. 작아 보이는 차이지만 좌표와 좌표의 시간변화율은 완전히 독립이 아니기 때문에 perturbation[각주:2] 다룰 경우 Hamiltonian이 유리하다고 한다.(좌표와 운동량은 독립된 변수로 취급한다.)

다음번에는 Classical Dynamics of Particles and Systems 5판 7.11에 Hamilton's principle을 꼬아서 운동방정식을 유도하는 특이한 방법이 있어서 그걸 다뤄볼 생각이다. 아직 Lagrangian formulation(2)도 쓰지 않은 판에 이걸 쓸 지는 의문이기는 하지만. 이 방법이 Feynman의 경로적분(path integral)과 밀접한 관련이 있어보이는데 그것까지 할 지는 모르겠다.


ps. 고전역학에서 양자역학으로 넘어가는 데에는 위에 나온 미분방정식들보다는 푸아송 괄호(Poisson bracket)가 더 큰 역할을 했다. Shankar책에서 고전적인 계가 어떻게 양자역학적으로 바뀌는지에 대한 부분이 나오는데(아마 quantization이라고 하면서 푸아송 괄호를 commutator로 바꾸고 값에 ih-bar를 붙였던 것 같다) 참조하면 좋을 것이다.
  1. 그런데 그냥 변수가 다르니 편미분하면 0이라고 생각하는게 쉬울지도... [본문으로]
  2. Perturbation theory란 정확한 값을 구할 수 없기 때문에 근사값을 점차 좁혀가는 방법을 말한다. 원주율을 유리수의 합으로 계산하는 것과 비슷하다. [본문으로]

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  1. Favicon of https://cjackal.tistory.com BlogIcon jackal_anu  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    언제나 느끼는 거지만, 같은 수식인데도 수학의 수식과 물리의 수식은 느낌이 완전 다르네요 _-;;

    특히 양자역학은 _-;

    2010.07.14 20:42 신고
  2. lunefey  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    텐서에서 좌절 중 OTL

    2010.07.17 12:13

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