'Physics'에 해당되는 글 82건

  1. 2010.05.30 Kutta-Joukowski Theorem, alternate proof(without residue theorem) (4)
  2. 2010.04.24 Thin airfoil theory의 결과물에 대해서(flat plate) (2)
  3. 2010.02.28 Contravariant/Covariant/Metric tensor와 Kronecker delta (2)
  4. 2010.01.28 전자기학 교재(?)
  5. 2010.01.19 양자역학의 유래 (4)
  6. 2010.01.19 복소수의 필연성
  7. 2010.01.01 자기 단극자, Dirac String, 기타 등등
  8. 2009.12.24 측정의 평균 (2)
  9. 2009.12.14 운동량 연산자에 대해서(1) (7)
  10. 2009.12.09 우월한 고전역학
  11. 2009.12.04 요즘 하는 생각
  12. 2009.11.07 Lagrangian in Electromagnetism (4)
  13. 2009.10.20 Time operator? (2)
  14. 2009.10.17 왜 하필이면 Hamiltonian 연산자인가?
  15. 2009.09.30 가진 물리학/공학 교재들 (7)
  16. 2009.05.06 Lagrangian formulation(1) (2)
  17. 2009.04.30 복소수 대칭과 시간대칭 (23)
  18. 2009.04.25 Operator determination
  19. 2009.04.24 어는점내림/끓는점오름을 다른 상수에서 구하기 (4)
  20. 2009.04.18 Dirac Delta orthonormality (2)
항공역학(사실상 유체역학이다만)을 배우다 보니 꽤 간단하면서도 중요한 식들을 보게 되는데, 그중 단연 으뜸이라고 할 수 있는 녀석은 이 녀석이다. Kutta-Joukowski Theorem

L'=\rho_{\infty}V_{\infty}\Gamma

대문자 감마(Gamma)는 circulation이라고 불리는 녀석인데, 여기서는 이렇게 정의한다.

\Gamma=-\oint\vec V\cdot d\vec s

2차원 유동을 다룰 때 나오는 식이다. 예상하겠지만, circulation은 어떤 폐곡선을 따라 적분하느냐에 따라 값이 휙휙 뒤바뀐다. 그리고 전자기학 공부 조금이라도 깊게 한 사람은 알겠지만, Stokes정리[각주:1] 의해 대문자 감마를 다른 방식으로 구할 수 있다.

\Gamma=-\oint\vec V\cdot d\vec s~~~~~\\=-\int \vec\nabla\times\vec V dA[각주:2]

유체역학에서는 유동장 속도 벡터에 curl을 취한 벡터를 vorticity라고 부른다. 일반적으로 여기에 문자 하나를 배정해 주는데 크시(Xi)를 주로 쓰는 듯. 별로 중요하지는 않아 보이지만. 이 값은 그 위치에서 유동 성분이 어떤 각속도를 가지고 도는지를 나타낸다. 크시의 크기는 각속도의 두배.

\vec\xi=\vec\nabla\times\vec V

항공역학이다 보니 항공기에서 나타나는 유동을 주로 다루게 되는데, 일반적으로 vorticity는 0이다.(이러면 속도 벡터를 모함수의 물매(gradient)로 생각할 수 있어 potential flow라고 부른다.) 단순하게 생각해서 항공기가 앞으로 날아가면 항공기 입장에서는 공기가 앞에서 불어오는 것처럼 보인다. 그리고 앞에서 일정하게 불어오는 공기에게 각운동량 따위가 있을리가 없다. 어딘가를 중심으로 회전해야 각운동량이 생기기 때문이다.[각주:3] 뭐 일단 자세한 설명은 생략하고, 실제 물체가 있는 곳 주위를 제외한 다른 부분에서는 대부분 vorticity가 0이다. 이런 부분을 따라 contour를 그리는 것이다. 그런데 비행기가 뜨기 위해서는 lift가 존재해야 하고, 위의 정리를 따르면 circulation이 0이면 안된다. 그런데도 velocity potential 자체는 정의할 수 있다. magnetic scalar potential과 비슷한 개념이라고 생각하면 될 듯 하다.[각주:4] 당연히 이 녀석은 Riemann surface 비슷하게 한 지점에서 하나의 값만 정의되지는 않는다. complex variable analysis에서 residue와 비슷하다고 해야 하나?

잡담은 여기까지 하고(무언가 헤맨 느낌이 들지만), 직접 증명해보자. 일반적으로는 complex potential을 이용한다고 하는데, 그런 고등한 방식은 우리에게 어울리지 않는다.(이 방법으로 증명한 것을 보고 싶으면 여기로) 좀 더 바로 바로 와 닿는 증명은 없을까? 구멍이 조금 있어 엄밀하지는 못하지만(메꿀 수는 있는 구멍이다.) 이런 방식으로 증명하는 것도 가능하다.

대충 다음처럼 airfoil 하나를 준다. Kutta조건을 만족하려면 아래처럼 흐르게 된다.


이전 글에서 긁어왔던 그림. 이번에도 여기에서

circulation이 생겼다. 그러면 이제 이 airfoil이 하나의 점처럼 보일 때까지 시야를 확대한다.

대충 이런 느낌이다.

이제 중요한 부분. 이렇게 매우 먼 지점에서 유체의 y방향 운동량 성분의 변화를 분석한다. 먼저 r이 매우 커지면 가장 중요한 성분은 다음 세 가지가 된다.

\text{at large } r\gg1\text{, flow field is characterized by}\\\\ \begin{array}{cc} \text{flow from infinity}&V_\infty\hat x\\ \text{source flow}&\frac\Lambda{2\pi r}\hat r\\ \text{vortex flow}&-\frac\Gamma{2\pi r} \hat\theta \end{array}\\\\ \text{on the first order of } \frac1r

r의 -1차항까지 분석하는 이유는 우리가 적분할 때 r의 order를 갖는 weighting factor를 부여할 것이기 때문이다. 일단 확실한 것은 airfoil이 있어도 유체가 새로 생성되거나 사라지지는 않는다는 것이다.

\Lambda=0

먼저 들어오는 y 운동량을 측정하자. 일단 다음과 같이 그림을 잡으면 미소시간 dt동안 들어온 y방향 성분을 알 수 있다.


a>>1으로 두기 때문에 위에서 얻은 근사식을 적용한다. 흘러 들어오는 질량은 수직길이당 \rho_\infty V_\infty dt 이므로 적분은 대충 다음처럼 생겼다.

p_{y,i}=\int_\infty^\infty \rho_\infty V_\infty dt\frac\Gamma{2\pi r}\cos\theta dl~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ =\int_\infty^\infty \rho_\infty V_\infty dt\frac\Gamma{2\pi a\sec\theta}\cos\theta~ d(a\tan\theta)\\ =\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \rho_\infty V_\infty dt\frac\Gamma{2\pi}d\theta\\ =\frac12\rho_\infty V_\infty \Gamma dt

뒷쪽에 대해서도 같은 식을 구할 수 있다. 다만 이 때는 vortex가 유도한 y성분의 속도 방향이 아래쪽이므로,

p_{y,o}=-\frac12\rho_\infty V_\infty dt

이다. 따라서 airfoil이 전체 유동장에 주는 힘은

\text{momentum transferred into the fluid flow} = p_{y,o}-p_{y,i}\\ =-\rho_\infty V_\infty\Gamma dt\\\\ \therefore \text{force transferred into the fluid flow}={p_{y,o}-p_{y,i}\over dt}\\ =-\rho_\infty V_\infty\Gamma

이제 뉴턴 3법칙을 이용한다.

\text{lift} = -\text{force transferred into the fluid flow}\\\\ \therefore L'=\rho_\infty V_\infty\Gamma~~~~~~~~~~~~~~~~~

증명 완료. 이런 방식으로 증명하게 되면 Navier-Stokes 방정식처럼 potential flow를 가정할 수 없는 경우에도 Kutta-Joukowski 정리가 대략적으로 성립한다는 것을 보여줄 수 있을지도 모른다는 생각이 들었지만 생각해보면 점성때문에 r의 -1차 항이 0으로 배는 빠르게 수렴하는구나. 교수님께서는 이 식이 점성이 있어도 대충 맞는다고 하셨는데 그렇게 잘 맞게 하려면 어떻게 contour를 잡는지에 대한 감각이 필요할 것 같다.

쓰고 나서 보니 막쓴 항들이 보이는데 너그러운 마음으로 무시해 주시길 바란다, 정 찝찝하면 dt를 Δt로 바꾸시면 되겠다.
  1. 전자기에서 주로 만나서 몰랐는데, 이 인물이 원래는 유체역학을 하던 사람이라고 한다. 교수님 말씀하시길: "천재는 무언가 하면 이곳저곳에 흔적을 남기는 법이야"(맞나?) [본문으로]
  2. 2차원이다. 3차원이 아닌 공간에서 curl을 쓰는 것이 이상하기는 하지만, z축을 임의로 도입하고 z방향의 변화는 항상 0이 된다고 가정하면 된다. [본문으로]
  3. 물론 각운동량이 존재해도 어딘가 중심을 가지고 회전하지는 않는 것처럼 보일 때가 있다. [본문으로]
  4. 비록 전자기 시간에 '이런게 있음 ㅇㅇ'하고 대충 넘어가신 것 같기는 하지만. [본문으로]

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  1. Favicon of https://cjackal.tistory.com BlogIcon jackal_anu  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    구타(...)라면 오일러 메쏘드를 개량한 Runge-Kutta method의 바로 그분??

    2010.05.30 19:49 신고
  2. lunefey  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    기계공학하시는데 양자쪽도 하시는건가요? 독학으로요?? 대단하시다 ㅋㅋ

    2010.06.03 00:02

Thin airfoil theory는 말 그대로 날개가 얇다고 가정을 한 상태에서 날개 주변의 유동에 대해 해석적인(analytic) 해를 구하는 것이다. 상당히 극단적인 가정이 많이 들어가기는 하지만 의외로 잘 맞아서(실험 데이터와 오차범위를 비교해놓은 것을 보면 정확하다는 말만 나온다.) 이전에 공학과 흑묘백묘론이라는 글을 쓰는 모티브가 되기도 했다. 물론 모티브는 내 엉망인 글 솜씨에 의해서 망해버렸지만.

근사를 하는 과정은 다음과 같다.

1. 점성항을 제거한다.
Navier-Stokes 공식을 Euler 공식으로 바꾸는 것이다. 이렇게 공식을 바꾸어주면 그나마 풀 수 있는 문제로 바뀌게 된다.[각주:1]

2. 회전하지 않는다고 가정한다.
속도 벡터장의 회전도(curl)를 항등적으로 0으로 취급한다는 뜻이다. 1번과 함께 이 조건이 만족되면 속도를 스칼라 함수의 물매(gradient)로 쓸 수 있다고 해서 potential flow라고 부른다. 컴퓨터 없이 유체역학을 공부하게 되면 이런 종류의 흐름만 배울 것이다.

3. 날개를 camber만 남긴다.
camber는 날개의 윗 단면과 날개의 아랫 단면의 정중앙을 지나는 곡선이다. 임의의 수직선을 생각했을 때 camber가 날개를 정확히 반으로 가른다고 생각해도 좋고, 윗 단면과 아랫 단면의 평균이라고 생각해도 좋다. 중요한 것은 날개에 이 녀석만 남겨서 두께를 0으로 만들어 버린다는 것이다.

4. x축에 vortex를 적절히 배치한다.[각주:2]
말 그대로 적절히 배치한다. 이 배치를 잘 조절해서 camber만 남긴 날개와 유체의 흐름이 평행하도록 만들어주는 것이다. 비행기가 날 때 공기가 날개를 뚫고 흐르지는 않는 것을 모사한다.

정확한 것은 책을 찾아보세요. 블로그는 언제까지나 블로그이다.

문제는 결국 이 방정식으로 줄어들게 된다. gamma는 x축 위의 vortex 분포, V는 무한지점에서 불어오는 속도(그래서 아래첨자가 무한대이다), alpha는 받음각(angle of attack), x는 좌표, z는 camber의 공식. 0에서부터 c까지 적분한다는 소리는 날개의 앞쪽 끝에서 뒤쪽 끝까지 적분한다는 의미이다.

\frac1{2\pi}\int_{0}^{c}\frac{\gamma(\xi)d\xi}{x-\xi}=V_\infty\left(\alpha-\frac{dz}{dx}\right)

Anderson의 Fundamentals of Aerodynamics 4th Ed.을 쓰고 있는데, 여기서는 날개를 완전히 평평한 판으로 근사했을 때(dz/dx=0)의 해를 다음과 같이 구해놓았다.

\gamma(\theta)=2\alpha V_\infty\frac{1+\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\\x=\frac{c}2(1-\cos(\theta))

재미있는 것은 이 식이 경험법칙인 Kutta condition을 만족한다는 사실이다. Kutta 조건은 어떤 실험을 해 보아도 날개 끝 지점에서 유체의 움직임은 끝의 생김새와 평행하다는 것이다. 수식으로 바꾸면 gamma가 날개의 끝 지점에서는 0이라는 말이다.


http://galileo.phys.virginia.edu/classes/311/notes/aero/node4.html

아래 그림이 Kutta 조건을 만족할 때의 유동 모습이다. 일단 책에 나온 해의 그래프는 다음과 같이 그려진다.

c를 1로 잡았다. y축은 어차피 분포를 보여주기 위한 목적이 전부이니 무시.

자, 어떻게 다음 적분방정식(integral equation)의 해가 저렇게 깔끔한 성질을 보여줄까?

\frac1{2\pi}\int_{0}^{c}\frac{\gamma(\xi)d\xi}{x-\xi}=V_\infty\alpha

결론부터 말하자면, 당연히 깔끔할 수 밖에 없다. 일반적으로 적분방정식의 해는 여러개가 나오는데 그 중에서 우리가 원하는 조건에 맞는 녀석만 남도록 경계조건(boundary condition)을 적용했기 때문이다.[각주:3] 방정식 자체는 alpha와 V의 부호를 동시에 바꾸어도 동일하다는 점에 주목하길 바란다. 이 말은 위에서 구한 분포가 반대 방향에서 불어오고 있을 때에도 유효한 답이 된다는 말과 똑같은 소리이다.

\frac1{2\pi}\int_{0}^{c}\frac{\gamma(\xi)d\xi}{x-\xi}=(-V_\infty)(-\alpha)
의 해도\gamma(\theta)=2\alpha V_\infty\frac{1-\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\\x=\frac{c}2(1-\cos(\theta))
가 된다.


다르게 표현한다면 다음 해도 사실은 유효하다는 것이다.부호 반대.

\gamma(\theta)=2\alpha V_\infty\frac{1-\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\\x=\frac{c}2(1-\cos(\theta))

하늘색이 새로운 해의 분포

그래서 수업시간에 교수님께서 질문하신 "왜 답이 이렇게 깔끔한지 알기나 하냐?"에 대한 답은 "깔끔하도록 제한해주었으니까요"가 되겠다.



2012.11.14
좌우 대칭으로 바꾸어주면서 gamma의 부호도 바꾸어주어야 하는데 그 부분이 빠졌다.(시계방향 회전을 좌우대칭으로 바꾸면 반시계방향 회전이 된다.) 따라서 실제 위의 방정식을 만족하는 해는 다음 식이 된다.


\gamma(\theta)=2\alpha V_\infty\frac{\cos(\theta)-1}{\sin(\theta)}\\x=\frac{c}2(1-\cos(\theta))


양력은 음수가 되는 것을 알 수 있다. 전혀 쓰일 이유가 없는 해인 것이다.


  1. N-S 방정식을 완전히 풀어낸 해는 모두 합쳐도 손으로 꼽을 수 있을 정도밖에는 안된다. 그 중 하나가 원통 내부를 흘러가는 유체의 유동방정식인데, 이 녀석도 유체가 안정적으로(laminar) 흐를 때에만 유용한 녀석이라 좀 문제가 있다. 수도꼭지에서 물을 틀면 물이 매끈한 원기둥처럼 나올 때가 있고 이곳 저곳 울퉁불퉁한 흐름이 생기는 경우도 있는데 후자가 근처에서 가장 쉽게 관찰할 수 있는 불안정한(turbulent) 경우이다. 그나마 제대로 푼 식이라도 제한적으로만 의미가 있다는 뜻이다. CFD(Computational Fluid Dynamics)가 발전한 이유이기도 하고. [본문으로]
  2. 전자기학에 비유한다면, 적절한 전하밀도를 분포시키는 것이다. [본문으로]
  3. 양자역학의 산란 파트에서 Born approximation을 할 때에도 적분방정식을 푼다. 이때 나오는 독립적인 해가 두개인가 되는데, 그 중 하나는 경계조건으로 날려버린다. [본문으로]

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    비밀댓글입니다

    2010.05.05 16:40
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.05.05 23:19 신고  댓글주소  수정/삭제

      원통좌표계를 사용하고 theta 방향의 속도 성분만 r에 대한 함수로 존재한다고 가정하면 됩니다.(theta에 대한 속도분포의 변화가 전혀 없다고 가정할 경우) 비압축성이니 속도 분포가 r에 비례하는 꼴 하나와 r에 반비례하는 꼴 하나가 나올 것이고(연속성에서 나옵니다) 해는 이 두 분포의 조합으로 나올 것 같네요. B.C은 no-slip으로 주면 됩니다. 일반적인 유체역학 책에서는 이런 방법으로 풀 겁니다.

요즘은 양자를 하기 전에 고전적인 장론에 대해 좀 더 알아야 할 것 같아서 이 책을 보고있다.

The Classical Theory of Fields (4 Revised, Paperback)
Landau, L. D./Butterworth-Heinemann
고급 전자기학과 일반상대론을 다룬다.

여태 역학의 관점에서만 상대론을 공부해서 나한테만 새로운건지는 모르겠는데, 시공간상의 거리(Spacetime interval; 직역하면 시공간 간극이 맞겠지만)로부터 논리를 세우는 과정은 인상적이었다. 그런데 친구한테 듣기로는 요즘 상대론 책은 전부 그렇다고 한다. 내가 구세대라니 OTL

그런데 첫 챕터부터 읽는데[각주:1] 틀린 것 같은 부분이 있어서 확인해봤다. 결과는 옳기는 하더라도, 과정상 틀린 부분이 있다는 기분이 들었던 것. 바로 metric tensor와 관련된 부분이다. 책에서는 Kronecker delta 텐서를 indice lowering/raising하는 것으로 metric tensor가 얻어지는 것처럼 서술했는데, 원래는 둘은 서로 독립적인 존재이다.

metric tensor는 공간의 특성, 즉 거리의 측정법을 규정한다. 두 점 사이의 변위를 d{\bold x}^i로 쓸 때, 두 점 사이의 거리는 다음으로 정의한다.(표기는 Einstein summation notation을 따른다)

ds^2=g_{ij}d\bold x^id\bold x^j

여기서 g_{ij}가 metric tensor이다.[각주:2] 일반적인 유클리드 공간이라면 metric tensor는 Kronecker delta가 된다. 그리고 일반적으로 말하는 평평한 시공간(flat spacetime)에서는 (정의하기 나름이지만) 0번째 항이 1이고 나머지 항은 -1인 대각행렬(diagonal matrix)이 된다. 만약 시공간이 꼬여있으면 그건 일반상대론한테 물어보도록. 리만(Riemann)을 찾아가도 되겠지만 일반상대론보다 일반적이지는 않을 거다.[각주:3]

metric tensor의 원래 정의는 위와 같지만, contravariant의 indice를 내려주는 역할을 하기도 한다. 사실 covariant를 dual 벡터로 정의하기 때문에 생기는 특성이기는 하지만 말이다.

\bold A_i=g_{ij}\bold A^j

그렇다면 covariant의 indice를 올려주고 싶다면 어떻게 하면 될까? 그건 metric tensor의 dual을 이용한다.

\bold A^i=g^{ij}\bold A_j

그렇다면 dual은 어떻게 구할까? 위의 두 과정을 합쳐보자.

\bold A^i=g^{ij}g_{jk}\bold A^k=\delta^i_k\bold A^k

어차피 벡터 A는 무엇이 되어도 상관없기 때문에 떼어버리면(아래 식의 우변은 metric tensor의 대칭성을 이용한 것이다.)

g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k=g_{kj}g^{ji}

신비롭게도 행렬로 쓴다면 둘은 서로 역행렬 관계이다. 결론을 제대로 서술하자면, metric tensor와 Kronecker delta는 무관하고, metric의 dual이 Kronecker delta를 이용해 구해진다는 것이다.

오늘의 태클은 여기까지.
  1. 공부의 정석은 정독이다. [본문으로]
  2. 단, symmetric tensor가 되어야 한다. [본문으로]
  3. 일반상대론에서는 유사리만공간(pseudo-Riemannian manifold)을 이용하고 내적이 좀 더 복잡하다. 자기 자신과의 내적이 음이 될수도 있도록 일반화된 공간이 유사리만공간이다. [본문으로]

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    비밀댓글입니다

    2010.02.28 08:05

전자기학 교재(?)

Physics 2010.01.28 00:09
Shankar책으로 장의 양자화(field quantization)를 공부하려고 하는데 Lagrangian Density가 튀어나온 배경을 모르겠어서 검색해보다가 이런 책을 발견했다.

http://www.plasma.uu.se/CED/Book/

철저한 카피레프트 정신에 기반한 책인데 의외로 쓸만한 것 같다. Goldstein 역학을 사려다가 상대론 책이 없구나 하면서 Carrol 상대론 책을 샀기 때문에(왜 하필 Goldstein 책을 뒤저보라는 각주가 붙어있는지...)[각주:1] 전혀 필요한 정보를 얻지 못하고 있었는데 그때 혜성같이 나타나 구원(?)해주었다.

Feynmann의 졸업논문도 가지고 있기는 하지만(여기에서도 그 Lagrangian을 다루었으니..) 거기는 좀 나중에 보는게 나을 듯 싶다. Lagrangian을 이용하는 방법은 양자역학 도입 전부터 있었으니까 완전히 고전적으로 다루는 것부터 이해하는 편이 나아보인달까.

일단 군론은 잠시 접어두고 이것부터 해야지...
  1. 상대론 교재에서 고민했던건 Landau의 고전장론을 살지 Carrol책을 살지였다. 결국 Carrol책이 더 많은 내용을 담은 것 같아서 샀는데 Landau를 샀어도 괜찮았을것 같다는 기분이 ㅠㅠ [본문으로]

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양자역학에서 상태는 추상적인 켓(ket)벡터 \left|\psi\right\rangle로 나타난다. 이 벡터가 시간에 따라 진화하는 법칙이 슈뢰딩거(E. Schrödinger) 방정식으로, 1926년 처음으로 변위(x)에 대한 식을 유도해낸 이의 이름을 붙인 것이다. 당시 슈뢰딩거가 식을 유도해내었을 때에는 위 벡터를 변위공간에 투영한 것(\psi(x)\equiv\left\langle{x}\middle|\psi\right\rangle)의 시간에 따른 진화를 다루는 방정식이었고, 그 방정식의 생김새를 보고 파동함수라고 이름붙였다. 나중에 상태를 추상적인 벡터로 나타내기 시작한 것은 디랙(P.A.M. Dirac)의 업적이다.[각주:1]

이름에서 알 수 있듯이, 슈뢰딩거는 입자가 보이는 파동적 성질에 착안해서 방정식을 만들었다. 드브로이(L. de Broglie)가 빛의 양자성에서 영감을 얻어 제시한 물질파 가정은 물질에 파동적인 성질이 존재한다는 것을 암시한다. 물질의 파동적인 성질은 이후 전자를 이용한 회절실험과 간섭실험으로 증명되었고, 슈뢰딩거 방정식에 등장하는 2계미분의 근간이 되었다.[각주:2] 1차원 입자 하나에 대해 쓰는 슈뢰딩거 방정식이 다음과 같이 생기게 된 것은 그 때문이다.[각주:3]

i\hbar\frac\partial{\partial{t}}\Psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\Psi(x)+V(x)\Psi(x)
1차원, 입자 하나의 슈뢰딩거 방정식

이렇게 슈뢰딩거가 물질이 가지는 파동적인 특성에 집중하고 있던 사이, 하이젠베르크(W. Heisenberg) 등은 물질이 가지는 양자적인 특성(측정값이 불연속적으로 나타나는 특성)에서 영감을 얻어 행렬역학(Matrix mechanics)을 창시했다. 탄생 자체가 측정만 염두에 두고 만들어져서 그런지 양자역학에서 측정에 대한 모든 가정들은 행렬역학에서 유래하였다. 고전역학과 양자역학이 대비되는 대표적인 특징인 '측정의 결과는 고유값(eigenvalue) 중 하나이다'가 행렬역학의 핏줄을 이어받은 것이다.

두 접근법을 잘 드러낼 수 있는 고전역학적인 예는 1차원상에서 두 질점이 후크의 법칙(Hooke's law)에 따라 상호작용을 하는 경우다. 다음 그림을 보자.

x가 이상하게 쓰인건 무시하자

평형거리를 s라고 둔다면, 위 상황에서 운동방정식은 다음과 같다.

m_1\ddot{x_1}=k(x_2-x_1-s)\\m_2\ddot{x_2}=-k(x_2-x_1-s)

또는,

m_1\ddot{y_1}=k(y_2-y_1)\\m_2\ddot{y_2}=-k(y_2-y_1)\\y_1\equiv{x_1},~ y_2\equiv{x_2-s}

슈뢰딩거의 해법은 위 두 방정식을 더하고 빼서 각각 하나의 변수에만 의존하는 방정식으로 만드는 것이다. '직접적인 해법'이라고 할 수 있을 것이다.

\ddot{(m_1y_1+m_2y_2)}=0 \\\ddot{(y_1-y_2)}=-\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}(y_1-y_2)

윗식은 운동량 보존에 해당하고, 아랫식은 환산질량으로 쓴 운동방정식이다. 한편, 행렬을 이용한 해법도 존재한다. 이 방법이 하이젠베르크가 도입한 행렬역학의 아이디어이다. 첫 식을 이렇게 변형하면

\ddot{y_1}=\frac{k}{m_1}(y_2-y_1)\\\ddot{y_2}=-\frac{k}{m_2}(y_2-y_1)

행렬을 이렇게 쓸 수 있다.

\ddot{X}=AX \\X=\left( \begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array} \right) \\A=\left( \begin{array}{cc} -\frac{k}{m_1} & \frac{k}{m_1} \\ \frac{k}{m_2} & -\frac{k}{m_2} \end{array} \right)

이 경우 해가되는 벡터 X는 A의 고유벡터(eigenvector)의 선형조합으로 쓸 수 있다. 기본적인 아이디어는 해를 정상상태를 나타내는 벡터들을 조합해 나타내자는 것이다. 우린 먼저 조화진동자의 (정상상태의) 해가 다음과 같은 꼴로 쓰일 수 있다는 것을 알고있다.[각주:4]

y=A\cos(\omega{t})+B\sin(\omega{t})

이 해를 추상화(?)하면 이렇게 쓸 수도 있다.

y=Re[Ae^{i\omega{t}}]

여기서 A는 복소수이다. 그리고 미분은 복소수를 켤레복소수로 만드는 과정과는 무관하므로(그러니까 어떤 복소함수를 미분한 다음 켤레복소수를 취하는 것이나 켤레복소수를 취한 복소함수를 미분하나 결과는 같으므로) 시간에 대한 2계미분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\ddot{y}=\frac{d^2}{dt^2}Re[Ae^{i\omega{t}}]=Re\left[\frac{d^2}{dt^2}\{Ae^{i\omega{t}}\}\right]=Re[-\omega^2Ae^{i\omega{t}}]

전기공학에서 쓰는 phasor 기법이라고 생각하면 된다. 어쨌든 이 과정에서 힌트를 얻자. 먼저 해 벡터 X를 시간과 관련된 부분만 따로 빼낼 수 있다고 생각하는 것이다.

X=\chi{e^{i\omega{t}}}~,\frac{d}{dt}\chi=0

여기서 \chi는 시간에 무관한 열벡터이다. 어찌되었든 이런 형태를 취하고 나면 위의 미분방정식은 고유값 문제(eigenvalue problem)가 된다.

\ddot{X}=-\omega^2X=AX\\(A+\omega^2I)X=0

그렇다면 고유값은? 고유값은 바로 각진동수의 제곱이다(부호는 반대). 고유값을 계산해보면 0과 \frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}[각주:5] 얻고, 각자 평행이동과 서로에 대한 진동을 나타낸다는 것을 알 수 있다. 물론 해는 전의 방법과 전적으로 일치한다.

한가지 의문인 것은, 왜 측정하면 그 측정값의 고유벡터중 하나로 수렴할 확률이 그 고유벡터 계수의 절대제곱(absolute square)에 비례하냐는 것이다. 지금 당장은 신호를 퓨리에(Fourier)변환을 통해 주파수에 따라 분류하면 그 주파수대가 갖는 에너지가 절대제곱에 비례하기 때문에 거기에서 유래했으리라 추측하고 있지만 확실하지는 않다. 아무래도 조금 더 공부를 해야 할 것 같다.

첨언하자면 파동함수의 절대제곱이 확률밀도함수로 해석되게 된 이유 또한 행렬역학의 핏줄을 따라 내려온 것이라는 점이다. 왜 그런지는 독자의 몫으로 남겨 둔다.[각주:6] 쓰기 귀찮아서...



2012.11.08
추가할 내용은 새 글로 올리기로 했다. 다음 글도 읽어보시길.
2012/11/08 - 양자역학의 유래(2)


  1. 이 표기법을 이용하게 되면서 상태를 더욱 다양한 방식으로 나타낼 수 있게 되었고, 상태를 더욱 직관적으로 인식할 수 있게 되었다. [본문으로]
  2. 파동을 e와 허수 i를 이용한 지수함수로 나타낼 경우 진동수(파수)는 미분으로 얻어진다. 슈뢰딩거 방정식을 쓸 경우 허수의 도입이 절대적인 이유이기도 하다. [본문으로]
  3. 원래 슈뢰딩거는 이 방정식이 시간에 대해서는 1계미분방정식이라는 것을 못마땅해했다고 한다. 그것도 그럴 것이, 위 형태의 방정식은 로렌츠 변환에 일정하지 않기 때문이다.(더불어 고전적인 파동을 나타내는 방정식은 시간에 대해 2계미분항을 가지고 있다.) 상대론적 양자역학으로 넘어가면 클라인-고든 방정식(Klein–Gordon equation)이 이 대칭을 갖기는 하지만, 이 경우는 2계미분방정식이라는 것이 문제이다. 자세한 내용은 다른 곳을 참조하시길. [본문으로]
  4. 잠깐 이 문제를 벗어나고 있다. 일반적인 하나의 물체가 용수철로 벽에 연결된 상태를 생각하시길. [본문으로]
  5. 부호는 반전시켰다. [본문으로]
  6. 힌트: 함수는 무한한 행을 가진 열벡터로 쓸 수 있다. 아마 교재를 가지고 공부한다면 거기에 잘 나와있을 것이다. 그런데 실수라는 연속체를 그렇게 쓰기는 힘들텐데 -_-;; [본문으로]

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  1. hmmm  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    weistern's하고 실타래를 통해 오게 되었군요...
    웬만한 블로그는 다 서로서로 연결된다는 게 신기합니다.
    현실과는 또다른 세계이지만, 역시나 좁은 세상!

    2010.01.21 19:22
  2. Favicon of https://hbar.tistory.com BlogIcon h-bar  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    hmmm님도weistern's에서 봤는데,,, 세상 참 좁네요..

    2010.02.11 04:07 신고

글을 쓰다가 깨달은 건데, 양자역학에서 허수의 도입이 필연적인 이유는 광양자의 에너지가 고전적인 파동의 에너지와는 다르게 진동수에 선형적으로 비례하기 때문일지도 모른다는 생각이 들었다. 광양자는 그 근본이 상대론적인 입자라서 고전적인 양자이론으로는 기술하는 것이 힘들긴 하지만...

어쨌든 되도록이면 빨리 글을 끝내야지 -_-

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1. Aharanov-Bohm 효과(AB효과)
AB효과는 자기장이 무시할 만큼 작은 공간에서도 자기장의 Potential함수 때문에 입자의 위상이 변화하는 것을 말한다. 물리적으로는 자기장보다는 그 자기장의 원함수(Potential)가 실제 영향을 미친다는 것을 의미한다. 여기까지는 학부 수준의 양자역학에서 배우는 내용이다. 보통은 무한솔레노이드 주변에서 이 효과를 증명하는데, 무한솔레노이드의 한 방향을 따라 움직였을때 위상과 반대 방향으로 움직였을때 위상차이는 솔레노이드 안에 흐르는(?) 자속(Magnetic flux)에 비례한다.

2. Dirac String
재미있는 것은, 무한솔레노이드에서 AB효과가 존재하더라도 솔레노이드가 특정값의 자속을 갖는다면 그 위상차이가 정확히 한바퀴(2pi)가 되어서 알 수 없다는 것이다. 이런 경우를 두고 솔레노이드가 투명하다고 할 수 있다. 만약 이 솔레노이드의 자속을 일정하게 유지시키는 대신 반지름을 0으로 무한히 줄인다면 솔레노이드의 양 끝은 자기 단극자(Magnetic monopole)처럼 보일 것이다(그 사이를 잇는 솔레노이드는 투명하니까). 이것을 Dirac String 이라고 부른다. 이것을 이용해 Dirac은 자기단극자가 만약 존재한다면 전하의 양자화는 당연하다는 것을 보였다.(역사적인 순서는 반대였던것 같다.)

3. 문제
그렇다면 문제를 뒤로 돌려서, 처음부터 자기 단극자가 존재한다고 가정하면 어떻게 될까? 위에서 얻어진 결과물은 본래 자기 단극자가 존재하지 않는다는 가정에서 출발한 것이다. 이 경우에도 위와 같은 결과물을 얻을 수 있을까(물론 얻어야만 한다. AB효과는 실험적으로 검증되었다.)?

가장 큰 문제점은 양자역학이 전기장과 자기장으로 쓰여있지 않다는 것이다. 전자기에서 Hamiltonian은 전기장과 자기장의 원함수로 쓰여진다. 결국 처음부터 자기 단극자가 존재한다고 가정하려면 당장 Hamiltonian을 구하는 것이 급선무인 셈이다. 그런데 자기 단극자가 존재한다고 가정했을 때 과연 전기장과 자기장의 원함수를 구할 수 있을까?

1학년 때 수업을 들으면서 요즘은 특이점이 있는 경우를 주로 연구한다고 들었던 것 같다. 자기장의 원함수를 scalar 함수로 쓰는 경우도 있었는데, 이 경우 특이점이 문제가 되었던 것으로 기억한다. 자기장이 어떤 scalar potential을 원함수로 가지므로 어떤 loop를 따라 적분하든지 0이 되어야만 하는데, 잘 알다시피 Ampere의 법칙은 이 조건을 무참히 부셔버린다. 이 경우 특이점은 전류가 흐르는 도선이다. 이런 특이점을 어떻게 해쳐 나가야 할 것인지가 문제인 셈이다.

결론은 결국 위상수학도 보아야 하는건가(...)

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측정의 평균

Physics 2009.12.24 04:29
자려고 누워서 틀렸을 가능성이 매우 높은 5번 문제를 생각하다가(여기서 블로그 주인장의 정신나간 덕후끼를 느낄 수 있다) 왜 뻘짓을 하고 있었는지 깨달았다.

5번 문제는 Bell's inequality를 실제로 만족하는지 보이는 문제였다. 세 각은 두 벡터(a, b)가 직각을 이루고, 그 사이에 하나의 벡터(c)가 끼어들어 45도로 배치된 상태. Griffith책의 426페이지에 나오는 배치와 동일하다. 이 벡터의 방향으로 스핀을 측정한다.

주어진 Bell의 부등식은(동일한 책 425페이지)

\left|P(\bold{a},\bold{b})-P(\bold{a},\bold{c})\right|\le1+P(\bold{b},\bold{c})

주어진 Quantum state는(e는 전자, p는 양전자)

\left|\chi_1\right\rangle=\sqrt{\frac13}\left|\uparrow\right\rangle_e\left|\downarrow\right\rangle_p-\sqrt\frac23\left|\downarrow\right\rangle_e\left|\uparrow\right\rangle_p \\\left|\chi_2\right\rangle=\sqrt{\frac13}\left|\uparrow\right\rangle_e\left|\uparrow\right\rangle_p-\sqrt\frac23\left|\downarrow\right\rangle_e\left|\uparrow\right\rangle_p

먼저 1번 상태에 대해서 풀면, 계산은 다음처럼 하면 된다. 난 이렇게 풀고 있었다.

P(\bold{a},\bold{b})=\left|\left\langle\chi_a^+\chi_b^+\middle|\chi_1\right\rangle\right|^2+\left|\left\langle\chi_a^-\chi_b^-\middle|\chi_1\right\rangle\right|^2-\left|\left\langle\chi_a^+\chi_b^-\middle|\chi_1\right\rangle\right|^2-\left|\left\langle\chi_a^-\chi_b^+\middle|\chi_1\right\rangle\right|^2

간단하다. a방향과 b방향의 spin up 상태와 down 상태를 각각 구한다음에, 각각으로 붕괴할 확률을 구하고, 값이 +가 나오는 경우를 더하고 -가 나오는 경우를 뺀다. 얼마나 간단한가? 계산이 더럽긴 하지만. 결국 그래서 못 풀고 말았다. P 하나 계산하는데 30번은 가뿐히 뛰어넘는 계산이 필요하더군. 그런데 더 쉬운 방법이 있다.

P(\bold{a},\bold{b})=\left\langle\chi_1\middle|\bold{\sigma_a}\otimes\bold{\sigma_b}\middle|\chi_1\right\rangle

얼마나 간단한가! 이건 8번 정도만 계산하면 된다.

Canon | Canon DIGITAL IXUS 750 | 1/60sec | F/2.8 | 7.7mm


....

나 여태 뭐 공부한거니 ㅠㅠ



동등함을 보이기는 '매우' 쉽다.

\bold{\sigma_a}=\left|\chi_a^+\middle\rangle\middle\langle\chi_a^+\right|-\left|\chi_a^-\middle\rangle\middle\langle\chi_a^-\right|\\ \bold{\sigma_b}=\left|\chi_b^+\middle\rangle\middle\langle\chi_b^+\right|-\left|\chi_b^-\middle\rangle\middle\langle\chi_b^-\right|

direct product를 이용해서 둘을 곱해버리면 맨 위의 식과 동등한 식을 얻는다.

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  1. Favicon of https://www.i-rince.com BlogIcon rince  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아 외계어네요

    2009.12.25 09:41 신고

양자물리를 Griffith 책으로 공부하다 보면 나타나는 의문이 참 많다. 그 중에서 내가 가장 큰 의문을 가졌던 것은 운동량 연산자에 대한 것이었다. 어째서 운동량 연산자는 x로 span된 힐베르트 공간에서 미분으로 나타나는 것일까?

\mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla
3차원 공간에서 운동량 연산자. Wikipedia: Momentum operator

그 이름이 암시하듯이, 운동량이란 물체의 운동 즉 시간과는 떼어놓고 생각할 수 없는 존재이다. 그런데 어째서 운동량을 나타내는 연산자는 시간에 무관한 것일까?

맨 처음 운동량 연산자를 유도해내는 과정을 보고서 내가 느낀 것은, '운동량에 대응하는 정보가 파동함수에 들어 있고, 그 정보는 어떤 연산을 통해서 외부에 나타난다. 따라서, 운동량의 고전적인 정의를 이용해서 운동량에 해당하는 연산자를 유도해내는 것은 아닐까?'였다.

1. 어떤 연산이 있어 운동량에 대응된다.
\langle{p}\rangle=\int\psi^{\star}{p}\psi{dx}

2. 고전적인 운동량에 해당하는 값은 다음과 같다.
p_{classical}=m\frac{d}{dt}\langle{x}\rangle=m\frac{d}{dt}\int\psi^\star{x}\psi{dx}

3. 이미 알려진 Schrodinger 방정식을 적절히 손보면, 다음 식을 얻는다.[각주:1]m\frac{d}{dt}\int\psi^\star{x}\psi{dx}=\int\psi^\star{\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}}\psi{dx}

4. 여기서 운동량에 해당하는 연산을 찾을 수 있다.(연산자를 강조하기 위해 ^ 사용)
\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}

하지만 문제는, 우리가 알고 있는 Schrodinger 방정식 자체가 운동량 연산자를 가정하는 것에서 출발했다는 것이다. 보통 Schrodinger 방정식은 다음과 같은 형태로 쓴다.

i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = \hat H \Psi(\mathbf{r},t)
하나의 계에 대한 Schrodinger 방정식
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},\,t) + V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},\,t)
입자 하나에 대한 Schrodinger 방정식. Wikipedia: Schrodinger equation

H는 Hamiltonian 연산자로, 고전역학에서 사용하는 Hamiltonian이라는 물리량에 해당한다. 일반적인 경우, Hamiltonian은 계 전체의 에너지와 같은 값을 갖는다. 따라서, Schrodinger 방정식은 계를 나타내는 상태함수가 에너지에 비례하여 시간적으로 변화한다는 것을 나타낸다고 볼 수 있다. 그리고 고전적으로 운동에너지는 운동량의 제곱을 질량의 두배로 나눈 값이다. Schrodinger 방정식의 첫 항(Laplacian이 들어가 있는 항)을 잘 보면 바로 앞서 구한 운동량의 제곱을 질량의 두배로 나눈 값, 즉 고전적인 운동에너지라는 것을 알 수 있다. 결국, 우리는 원점으로 돌아온 것이다.[각주:2] 그렇다면 어떻게 해야 운동량에 해당하는 연산자를 구할 수 있을까?



쓰기 귀찮아서 여기까지만...(여기까지 써놓고 끝날 가능성도 농후)
관심이 가시는 분은 여기를 참조:
http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation#Derivation
Erwin Schrodinger의 원본을 보고 싶으신 분을 위하여:
http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf
  1. Griffith 책에 있으니 생략. [본문으로]
  2. Schrodinger 방정식이라는 대전제 안에 운동량에 대한 가정이 포함되어 있고, 우리는 이 보이지 않는 가정을 일련의 과정을 통하여 벗겨낸 것일 뿐이다. [본문으로]

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  1. Favicon of http://www.yutiro.com BlogIcon 순원  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    안녕하세요.
    사실 Griffith 책에서는 빠른 이해를 위해서 위와 같이 유도를 해 놓았지만,
    실제로 p 연산자는 x 연산자와의 commutator relationship 으로만 정의되는
    것 아닌가요?

    말하자면 논리 구조가 다음과 같은것이죠.
    1. 양자역학은 헤밀토니안 역학에서, 연산자 도입, 파동함수 도입... etc
    이러쿵 저러쿵되어 정의된다.

    2. 이 중에서 x 연산자를 다음과 같이 정의하고(이를 이용해서 파동함수를 표현)
    이에 헤밀토니안 역학에서 conjugate momentum인 p 연산자를 정의한다.
    이 때 헤밀토이안 역학의 conjugate momentum은 양자역학에서 commutation
    relationship이 됩니다.

    3. 2번에 입각해서 수식을 쓰면 그것이 위에 유도한 공식이 됩니다.


    이 논리에 따르면 헤밀토니안 연산자에 운동량 개념이 내제되어 있는 것은 아니고,
    헤밀토니안 연산자는 x basis로 표현되어지며, 여기서 p 연산자가 x basis로
    끄집어 내어진것이겠죠. 참으로 재밌게도 (어쩜 당연하게도) H가 p^2/2m을 함유하고
    있는것으로 나왔고 이는, p가 x의 conjugate momentum이기 때문에 나타는 현상이죠.
    이를 Ehrenfest's theorem이라고 하나요?

    2010.04.26 10:42
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.26 14:10 신고  댓글주소  수정/삭제

      나중에는 translation을 생성하는 operator로 정의하긴 하는데, 처음 Schrodinger가 S.E을 유도했을 때에는 운동량 연산자가 그처럼 생겼을 것이라는 가정에서 출발했더라구요. 그리고 운동량 연산자가 그렇게 생겼으리라는 가정은 아마도 파동의 성질에서 나온 것 같아요. Hamiltonian 역학에서 어떤 극한을 취하면(잊어버렸는데 -.-;;) 파동방정식처럼 변하게 되는데, DeBrogile 운동량-파장 가설에서도 운동량 연산자가 이렇게 나타나게 되고, Hamlitonian 역학에서는 당연히 그렇게 정의되고, 뭐 그런거죠.
      결국 하고 싶었던 말은 Griffith 책에서처럼 운동량 연산자가 되는 것을 보이는 것은 동어반복이라는 것이었구요. 이런 유도가 갖는 의미라면 일단 모순은 없다 정도 되겠네요.

  2. 남욱  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    순원 선배님이 말씀해 주셨지만, p operator랑 x operator 자체가 어쩌면 commute relation으로 정의된다고 할 수 있겠죠. 하지만 보다 일반적으로 나가면, 사실은 creation operator, a+ 와 annelation operator a를 정의하고 이것의 commute relation을 정의하는게 먼저라고 할 수 있습니다. fermion에 대해서는 [a,a+]=1이고 boson에 대해서는 {a,a+}=1이라고 하죠. 보존에 대한 경우를 Grosmann Algebra에 해당하는 경우고 Fermion에 대한 경우는 딱히 이름이 있는지는 모르겠는데 어쨌든 Clifford Algebra 의 special case라고 할 수 있겠네요. a와 a+는 x와 p의 합으로 표현되니까 파동함수의 대수적 성질을 이 연산자를 이용해 정의했다고 할 수 있죠,
    그러니까... H= p^/2m이라는 결과는 x의 표현이라기보다는... 그자체로 맞는 식이고 p가 어떻게 x space에서 표현되는지가 알고싶은 issue라고 할 수 있을거 같네요.
    이같은 논의는 사쿠라이에 보면 간략히 나오는데, 간단히 말하자면...학부에서 waveFtn이라고 부르는 psi는 사실은 <x|psi>잖아요? 모멘텀 오퍼레이터는 algebraic object라 사실은 explicit form이 필요 없는데, int dx |x><x| =1 이 identity를 사용해서 p |psi> = int |x><x|p|psi>이고 <x|p == -i round <x| 를 사용했다고 볼 수 있죠. 사실 마지막 줄에서 사용한, |x>와 p의 위치를 바꿀때 사용한 식은 momentum 의 x에 대한 representation은 translation operator의 generator라는 정의에서 나오는 것이라고 볼수 있습니다. waveFtn을 a만큼 옮기는 operator는 아시다시피 exp(-iap/hbar) 에서 나왔고, 이것을 x 표현에서 infinitisiml한 a에 대해 생각하면 x space에 대한 p 표현이 유도됩니다. 위와 같이 에렌페스트 정리를 이용해서 고전역학과의 대응관계를 생각하는것도 틀린 추론이라고 불 순 없지만 대수적으로는 이게 옳은 approach라고 생각됩니다..

    2010.04.27 21:32
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.28 00:15 신고  댓글주소  수정/삭제

      그러니까 지금 하고싶은 말이 creation과 annhilation을 먼저 정의하고 얘네의 조합으로 momentum을 얻는다는 말인거지? 원래는 자연수만 있었는데 여기에서 실수를 얻고 더 근본적(?)인 것이라고 생각하자는 것과 비슷한건가...

  3. 남욱  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    뭐 사실은 독립적인 것이기는 한데.. p operator는 translation operator의 generator로 정의되니까... (정확히는 hbar factor가 있겠지만) 이게 바로 어떤 공간 이동에 대해서 불변인 양을 나타내는 것이기도 하고.. 그런데 사실은 뭐 p=-i del 자체가 벡터이기도 하고...말하다보니 복잡하게 돼버렸네 어쨌든 중요한 건 사실 p의 x 에 대한 representation이 딱히 중요하지는 않다는거지. 입자가 여려개 있거나 상대론적으로 가면 운동량 연산자 자체를 explecit하게 정의하는 게 힘들기도 하고. 실제로 중요한건 system의 lagrangian이니까.

    2010.04.28 00:26
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.28 00:42 신고  댓글주소  수정/삭제

      사실은 독립적인 거라면 음냐 무언가 꼬인 것 같은데 -_-

      뭐 하긴 Hamiltonian은 그냥 그 계를 잘 묘사해주기만 하면 되는 거니까 operator가 실제로는 무엇이냐 논의하는게 무의미할지도.

      원래 이 글은 '어떤 경로로 그렇게 생긴 operator를 도입하게 되었는가'를 추적하려던 것이라 댓글들은 무언가 벗어난 것 같지만

  4.  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    Google 에서 Momentum operator 를 치면 wikipidia 에서 잛고 간략하게 운동량 연산자가
    -(ih/2p)i*d/dx 로 정리되어있는지 schrodinger equation 과 debroglie relation 을 간단히 연립하여 유도한 설명이 있습니다.

    ps : 저도 궁금해서 찾아보던중에 알게 되어 말씀드립니다.

    2014.07.03 16:58

우월한 고전역학

Physics 2009.12.09 22:37


중력이 거의 없는 우주에서 커다란 각운동량이 어떤 효과를 나타내는지 잘 보여주는 동영상.

살짝 치면 진동하면서 점차 조금씩 돌아가는 것을 볼 수 있는데, 저 현상은 순수히 고전역학적으로도 보일 수 있는 결과물이다.

Inertia Tensor(관성 텐서)가 시험범위여서 오늘 시험보기 전 잠깐 precession(세차운동)에 대해 찾아보다가 발견한 동영상.



누구의 양자책이었는지는 기억이 잘 안 나는데, 거기서 양자역학은 고전역학보다 카오스 현상이 덜 나타난다는 말이 있었다.

그래서 그런가? 왜 양자가 '조금'은 더 쉽게 느껴지지 -_-;;; 고전역학은 하면 할수록 깊은 수렁에 빨려들어가는 느낌이 든다....

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드디어 그리피스 양자책을 돌파했습니다 -_-v(이제 12단원 배우는 중)

지금 복사불가능성과 양자적 얽힘에 대해서 배울 차례인데, 보다 보니 재미있는 아이디어가 하나 떠오르더군요. 복사불가능은 어쩔 수 없지만 양자적 얽힘은 피해가는 방법이 있을지도 모르겠다는 생각이 듭니다. 기본 아이디어는 이거죠.

eq=a^\star a =0 \\ b^\star b = 0 \\ a^\star b \ne 0 \\b^\star a \ne 0

인 a와 b를 찾는 겁니다. Dirac equation의 motive와 비슷하네요. 당연하지만, 이 a와 b는 행렬들이죠. 그런데 행렬이면 좀 처리하기 귀찮아지고 더군다나 그 크기를 정하는 것도 애매해지니까(Dirac이 이 항들을 어떻게 해석했는지는 아직 공부를 안 해 보아서 모르겠지만...) 차라리 벡터로 보는 것은 어떨까 생각해 보았습니다.

문제는, 벡터의 coefficient가 벡터라는 것이네요. 더군다나 하나는 bra벡터여야 하기 때문에 direct product를 제대로 정할 수 있을지가 의문이고, direct product를 하는 과정에서 bra벡터가 ket벡터와 반응해서 사라질 수 있느냐가 문제입니다.

물리학적으로 해석하자면 '하나의 측정량을 포기하는 것으로 불확정성 원리를 깰 수 있다' 정도 되겠네요. 'EPR 역설이 실제로 일어날 수도 있지 않을까' 라고 보아도 무방합니다. 대신에 이 포기하는 측정량이 다른 측정량과 먼저 얽힘 상태에 있어야 한다는 것이 문제랄까... 제 3의 입자를 도입하면 해결될지도 모르겠군요.

p.s. 문제는, 왜 난 내 전공 공부보다 다른 과 전공공부가 더 재미있는가 정도...-_-;;;

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2009/05/06 - Lagrangian formulation(1)

먼저 Lagrangian은 정확한 역학법칙은 아닙니다. 단지 다음 공식이 정확한 운동방정식으로 환원되기만 하면 되는 거지요.

\frac{\partial{L}}{\partial{x_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x_i}}}=0

그리고 일반적인 경우, L은 T-V, 즉 운동에너지에서 위치에너지를 제한 값이 됩니다. 하지만 전자기학에서는 어떨까요? 애석하게도 자기력의 포텐셜은 벡터이기 때문에, 단순한 위치에너지가 계산이 되질 않습니다. 먼저 전자기학에서 힘은 어떻게 나타나는지 보기로 합니다.

\vec{F}=m\dot{\vec{v}}=q(\vec{E} \vec{v}\times\vec{B})

전기장과 자기장은 보기 심히 안 좋습니다. 포텐셜을 도입해서 전기장과 자기장을 바꾸어 줍니다.

\vec{E}=-\nabla\varphi-\frac{d}{dt}\vec{A} \\\vec{B}=\nabla\times\vec{A}

(자세한 내용은 여기에...http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Potential_field_approach)

설렁 설렁 도입해 줍니다.

\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi-\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} \vec{v}\times\nabla\times\vec{A})

우변의 마지막 항이 상당히 거슬리는군요. 깔끔하게 정리해 줍시다.

\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A}\\\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi-\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} \nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A})

오, 무언가 정리될 것 같아 보이네요.

\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A})=\frac{d}{dt}\vec{A}\\\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi \nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-\frac{d}{dt}\vec{A})\\0=\nabla(-q\varphi q\vec{v}\cdot\vec{A})-\frac{d}{dt}(m\vec{v} q\vec{A})

성분별로 써 봅시다.

\frac{\partial}{\partial{x_i}}(-q\varphi q\dot{x_j}A_j)-\frac{d}{dt}(m\dot{x_i} qA_i)=0\\\frac{\partial}{\partial{x_i}}(-q\varphi q\dot{x_j}A_j)-\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{x_i}}(\frac1{2}m\dot{x_j}^2 q\dot{x_j}A_j)=0

j는 dummy index입니다. j로 정리되어 있는 모든 성분에는 합이 생략되어 있지요. i는 우리가 측정하고 있는 방향의 성분입니다. 어찌되었든, 만약 q가 운동 속도에 영향을 받지 않는다면(많은 위치에너지가 그리하듯이) L을 다음과 같이 잡아주면 됩니다.

L=\sum_j\frac1{2}m\dot{x_j}^2-q(\varphi-\dot{x_j}A_j)=\frac1{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}-q(\varphi-\vec{v}\cdot\vec{A})

이렇게 L을 정의하면 원하는 운동방정식을 얻습니다. 전자기학에서 Lagrangian 구하기 끝.

양자역학으로 넘어가서 많이 중요해지는 Hamiltonian은 나중에 구해보기로 하지요 뭐.

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  1. Favicon of https://j4blog.tistory.com BlogIcon 재준씨  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이 글을 보고있자니 왠지 빅뱅이론의 장면이 생각나는군요. 쉘든과 라지가 칠판에 잔뜩 쓰여있는 공식을 노려볼 때 흘러 나오는 'eye of the tiger' -_-a

    2009.11.08 20:49 신고
  2. physics  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    전자기학은 상대론적인 이론인데 입자는 비상대론적으로 다루었군요. 실제적으로 꽤 문제가 될 것으로 보이며 계산도 복잡해질것 같습니다. 또 수식적으로는 맞다손 치더라도, action을 구할때 상당히 애를 먹겠군요. 적분구간이 불분명해서요. 그러면 boundary term을 구하기 힘들어지겠죠. 왜냐하면 A와 psi가 test particle의 경로 위에서 정의가 되었는데, 일반적으로 이것은 장 자체의 라그랑지안은 주지 못할것 같군요. 따라서 장의 운동량같은것도 주지 못할걸로 생각됩니다. 장의 라그랑지안 항을 더해줘야 총 라그랑지안이 나올거 같은데... 아시겠지만 이건 1/4 F^2로 주어지죠...

    2010.04.27 01:57
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.27 02:07 신고  댓글주소  수정/삭제

      장을 주고 입자의 움직임을 기술하는 고전적인 문제입니다. 학부 수준의 양자물리에서 Bohm-Aharanov 효과나 Zeeman effect를 다룰 때 사용하는 Hamiltonian을 구할 때 쓰는 Lagrangian이구요. Hamiltonian은 Lagrangian의 Legendre 변환이니까요.

      아, 그리고 이 식은 장과 입자의 interaction에 해당하는 Lagrangian이 될 겁니다. 장과 입자 자체의 Lagrangian은 빠져있구요.

뉴턴의 고전역학에서 아인슈타인의 상대론으로 넘어오면서 뉴턴역학의 많은 부분이 바뀌었는데, 그중 대표적인 것은 시간의 공간화이다. 시간에 일정한 상수(광속)을 곱하여 거리로 취급하게 된 것이다. 공간과는 다른 성질을 갖기는 하지만(예를 들어 시간상에서 앞뒤로 움직이는 것은 불가능하다.)[각주:1] 일반상대론에서는 시공간거리(Spacetime interval)를 정의하여 쓸 정도로 시간은 공간처럼 인식하는 것이 보편화되어 있다.

그렇다면 양자역학에서는 어떨까? 애석하게도 시간은 공간과는 다르다는 독특한(?) 취급을 받고 있다. 좌표를 나타내는 x, y, z 연산자는 있지만, 시간을 나타내는 t 연산자는 없다. 왜 없는지 한번 생각해보자.

먼저 x, y, z는 위치를 나타낸다. 위치의 평균값은 다음과 같이 쓸 수 있다.



(파동함수는 규격화되었다고 하자.) 그리고 각 위치를 나타내는 연산자인 x, y, z는 고유벡터(eigenvector)를 가지며, 고유벡터들은 다음과 같은 성질을 갖는다.



(편의상 x에 대해서만 식을 썼다.) 아래쪽의 식은 파동함수를 x라는 ket 벡터들의 집합에 투영(project)한 것이라고 생각할 수 있다. 연산자 x의 고유벡터는 무한하기 때문에(x 좌표의 수를 생각해보라), 파동함수를 다시 완전하게 구성하고 싶다면 다음처럼 하면 된다.



그렇다면 다음과 같은 방법도 생각해 볼 수 있지 않을까? 시간에 해당하는 t라는 연산자를 가정하고, x 연산자에 대해 행한 일을 다시 해 보는 것이다.



(이 의문은 1학기에 필자가 가졌던 의문이다.) 애석하게도, 이것은 불가능하다. 왜냐하면, 다음 식이 정의되지 않기 때문이다.[각주:2]



시간의 평균은 무엇인가? 지금 파동함수를 쓰는 시점 이전에 존재했던 시간은 너무나도 거대하기에 무한하다고 할 수 있고, 앞으로 남은 시간도 상상할 수 없을 정도로 막대하기에 무한하다고 쓸 수 있다. 적분구간이 음의 무한대에서 양의 무한대로 발산하는 것이다. 위치를 나타내는 x, y, z의 평균을 구할 때에도 적분구간은 음의 무한대에서 양의 무한대이지만, 음과 양의 무한대로 갈 때 파동함수의 크기는 0으로 수렴했기 때문에 평균이 박살나는 일은 없었다. 하지만 지금은? 파동함수가 가리키고 있는 입자의 존재가 영구적이라고 한다면, t라는 변수에 대해 파동함수의 크기는 1로 일정하다. 왜냐하면 어떤 시간에서라도 입자는 관찰되어야 하기 때문이다. 그리고 모두가 알다시피, 숫자 1을 음의 무한대에서 양의 무한대까지 적분하면 무한대밖에는 얻을 것이 없다.[각주:3]

하지만 잠깐. 우리는 공간이 무한하다고 가정하고 위치의 평균을 구하고 있었다. 그런데 실제 우주는 무한한가? 우주의 크기는 상상할 수 조차 없이 크지만, 분명히 그 크기는 130억 광년이라는 유한한 값을 가지고 있다. 시간도 마찬가지이다. 우주가 생멸(生滅)하는 기간은 겁(劫)이라는 겁나도록 긴 기간이지만, 유한하다.[각주:4] 그렇다면 시간을 나타내는 연산자를 도입할 수 있지 않을까?[각주:5]
  1. 물론 실제로는 가능할 수도 있다. 단지 우리가 시간 속에서 의식을 만들어내기에 시간이 단방향으로만 흐른다고 생각하는 것일수도 있으니. 하지만 시간이 양방향으로 흐르면 열역학 제 2법칙에 문제가 생기게 된다. 열역학 제 2법칙에서는 엔트로피가 늘어난다는 말만 했지, 시간의 흐름에 대한 엔트로피는 말하고 있지 않기 때문이다. 시간이 역으로 흐른다면 역으로 흐르는 시간 상에서 엔트로피가 증가하고, 결국 우리 눈에는 엔트로피가 감소하는 것처럼 보일 수 있다는 것이다. 물론, 열역학 제 2법칙을 확률적인 법칙으로만 인정한다면 이런 충돌은 피할 수 있다. [본문으로]
  2. 최근에 떠오른 재미난 생각이 있어서 검증해보려다가 오래된 의문을 해결하게 되었다. [본문으로]
  3. 물론 영구적인 입자의 존재를 부정한다면 입자의 연대기를 통해 평균적인 삶을 생각해볼 수 있을 것이다.(사람이 태어나고 죽은 년도의 평균을 구해 그 사람의 평균적인 존재연도를 구하는 것처럼) 그런데 입자가 언젠가는 소멸한다고 가정하는 것은 조금 이상하지 않을까? 최소한 전자는 사라질 것 같아 보이지 않는다. [본문으로]
  4. 이 때 유한하다는 말은 우주가 팽창하다가 수축하는 경우, 즉 빅 크런치(Big Crunch)라는 종말을 가정할 경우이다. 다른 경우 총 시간을 유한하다고 할 수는 없을 것이다. [본문으로]
  5. 물론 시간에 대응하는 추상적인 연산자 t를 도입할 수 있을지도 모른다. 하지만 이 연산자가 실질적으로 의미를 지닐 수 있을지는 매우 회의적이다. 우리는 겁이라는 시간을 잴 수 있을만큼 오래 살지 못한다는 것이 문제이다. [본문으로]

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  1. 나묵  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    string에서는 t operator가 있는디? 그리고 내생각에 슈레딩거 방정식에서도 잘하면 t operator를 정의할 수 있을거같은데...예를들면 supersymmetric schrodinger같은거

    2010.05.11 19:54
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.05.11 22:16 신고  댓글주소  수정/삭제

      일반 SE에서도 susy 도입할 수 있는거? string은 일단 무시. SE만 다루고 있잖아 -_-

      그냥 가장 큰 문제는 t의 평균값을 계산할 수 없다는 건데 -_-;;

Shankar 책을 산지 좀 되었습니다.

심심해서(하라는 시험공부는 안하고) 이전에 Liboff 책에서 재미있게 보았던 대칭성과 보존에 관한 부분을 보았습니다. 보다 보니 이런 부분이 나오더군요.

[...]

We define translational invariance by the requirement



[...]
Principles of Quantum Mechanics 2nd Ed., R. Shankar, Springer, 1994, p. 285

저기서 T(epsilon) 연산자는 입실론만큼 전체를 +x 방향으로 옮기는 연산자입니다. 그건 그렇다 치고, 왜 불변성을 Hamiltonian 연산자를 이용해 정의하는 것인지 좀 생각해 보아야겠더군요.

현재는 그저 '기본법칙이 Schrödinger 방정식이기 때문'이라고 결론내렸습니다. 저 항등식을 만족시킨다면 상태함수에 T 연산자를 마음껏 들이대어도 기본법칙에 어긋나지 않거든요.



왜 왼쪽에 다른 임의의 상태를 들이대냐면, 측정은 저렇게 이루어지기 때문입니다. 양자물리에서 모든 측정량은 저렇게 bra를 붙여서 얻어야 하니 말이지요. (그런데 써놓고 보니 아직도 논리에 구멍이 있는 것 같네요. 좀 더 엄밀하게 해보는 것은 나중에...)[각주:1]

어찌되었든, T 연산자로 모든 상태를 이동시켜 놓았을 때 임의의 연산자 A는 어떻게 변해야 하는가 생각해 보았습니다. 생각해보니 쉽더군요.



이니까



하지만 T 연산자의 역함수(역연산자?)는 T 연산자의 hermitian conjugate 입니다. 왜 그런지는 A 대신에 I(Identity - 1이라고 생각하시면 됩니다)를 넣어보면 됩니다. I 연산자가 좌표와는 상관있을 리가 없겠죠. 그러면 결국



이 됩니다. 어째 어디선가 본 행렬형식의 2계텐서 변환방식이 떠오르는군요.

그나저나 시간대칭은 역시 허수의 성질을 이용하는군요. i나 -i나 구분할 수 없다는 그 성질 말입니다. 이건 예전에 적어둔 것이니 링크만 간단히...

2009/04/30 - 복소수 대칭과 시간대칭

ps. 뭐 아실 분들은 아시겠지만 사실 저 T 연산자는 P 연산자, 즉 운동량과 관련이 있습니다. 그래서 운동량 보존이 균일성(위치에 대해 변하지 않음-translational symmetry/invariance)과 동치인 것이구요. 정확히는



입니다. Taylor 전개를 해 보면 알 수 있는데 그것까지 하기는 귀찮네요. Griffith 책의 연습문제로도 나오니 제가 할 필요는 없겠지요.
  1. 이렇게 엄밀한 거 좋아하다가 서너줄이면 끝날 숙제 문제를 한두페이지가량 써제끼는 일이 한두번이 아니네요 -_-;; [본문으로]

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Principles of Quantum Mechanics (2 SUB, Hardcover)
Shankar, Ramamurti/Kluwer Academic Pub

별건 아니고, 양자물리를 공부하면서 볼만할 것 같은 책을 한권 샀습니다. 살짝 고전역학이나 전자기학을 더 공부해야 될 것 같기는 하지만 뭐 그런거 무시하고 내맘대로 독학하는게 특징이라 그냥 질렀습니다. 양자책은 혼자 공부하려고 Griffith 책을 사 놓고 수업을 들으면서 교재로 쓰니까 다른 책이 필요해지더군요. 이 글은 기념 포스팅(...)
윗 책은 대충 읽어봤는데 괜찮아 보여서 바로 샀습니다. 가격이 여태 산 교재중에서 제일 비싸긴 하지만(...) 설명은 잘 되어 있는 것 같더군요. 사실 읽기가 버릇 수준으로 중독되면 논리가 있는 거의 모든 글은 이해하게 되긴 하지만 말이죠.

Introduction to Quantum Mechanics (2/e, Paperback)
David J. Griffiths 지음/Addison Wesley

Griffith 책은 순수히 비상대론적인 영역에서만 쓰여서(물론 상대론적인 보정을 하는 법-perturbation-은 나와 있지만)살짝 아쉽던 차에 잘 되었네요. 물론 나오는 상대론적 양자역학은 Marion의 고전역학책에서 특수상대론을 다루는 정도만큼만 나오는 수준이지만, 그게 어디입니까(...)

Classical Dynamics of Particles and Systems (5th, Hardcover)
Thornton, Stephen T./Cengage Learning

생각해보니 고등학교때 역학공부하려고 산 책이군요(흠...). 그때는 조금 헤매였던 것 같은데, 지금은 그냥 무난하게 읽히네요. 역시 수학이 받침이 되어야...(수학적인 내용이 아니면 쉽거든요. 물론 그거야 모든 책이 그렇지만...)

해석역학
G. R. Fowles & Cassiday 지음, 강주상 옮김/홍릉과학출판사

가진 책중에 드문 번역본이네요. 사실 이 책은 거의 안봤습니다. 이 책이 더 쉽다는 분들도 있는데, 전 오히려 Marion 책이 더 쉽더군요. 고등학교때 사 놓고 Lagrangian 부분 조금이랑 중심력 볼 때 빼고는 한번도 본 적이 없는 것 같네요.


7판으로 공부했습니다. 사실 내용은 하나도 기억이 안 나지만(...)
그것보다 공부하려고 무식하게 첫장부터 그냥 읽었던 책인데, 나중에 돌아보면 그게 오히려 도움이 된 것 같기도 하네요. 열역학 중간부분정도까지는 무턱대고 읽었던 기억이 납니다. 계속 고등학교때 사 놓았던 책이 흘러나오네요.

새대학물리 2
서울대학교물리교재편찬위원회/교문사

현재 구할 수는 없고, 헌책방에나 가야 구할 수 있는 책입니다. 상하 두권으로 나뉘어 있고요.
할리데이와 2학년 책의 중간단계정도 되는 난이도를 가졌습니다. 원서가 한글이라는 것이 가장 큰 특징이고, 조금 불친절합니다. 그런데 있을 내용은 초보적이더라도 웬만해서는 다 있으니 그정도로 만족... 통계역학은 이 책으로 배웠습니다(물론 사실상 독학).

물리학
물리학교재편찬위원회 엮음/북스힐

산 것은 아니지만 그냥 가지고 있는 책입니다. Halliday 책으로 어느 정도 공부한 뒤에 그냥 받은 책이라(AP-Advanced Placement-를 받을 때 교수님이 던져주신 책) 사실상 장식용(..)으로 쓰고 있습니다. 산 것은 아니지만, 이 책도 고등학교때부터 버려둔 책이군요.
동생이 공부하는 것을 살짝 엿보니 예제 위주로 설명하는 책인 것 같습니다.

알기 쉬운 물리학 강의
Paul G. Hewitt 지음, 공창식 외 옮김/청범출판사

사실 교재라고 하기는 조금 애매하지만, 참 좋았던 책입니다. 고등학교 들어가기 전 물리에 대한 개념을 잡으려고 읽었던 책이구요. 한 12장까지는 무턱대고 읽었던 것 같습니다. 이후에는 전혀 손대지 않았지만(-_-;;)
꾸준히 읽으면 처음 물리를 시작할 때 개념잡기 참 좋은 책입니다. 그것보다 다시 교재로...

Introduction to Electrodynamics (3 SUB, Hardcover)
Griffiths, David J./Addison-Wesley

역시 고등학교때 산 책입니다. 현재 '전기와 자기' 교재(...)로 쓰고 있고요.
이 책으로 배우기 시작할 때부터 물리를 하기위해 수학을 야매로 배우는 버릇이 생겼습니다. 벡터미분(Vector calculus)은 사실상 이 책으로 처음 배웠네요. 이렇게 하다 보니 요즘에는 오히려 더욱 엄격하게 수학적으로 증명하려는 버릇이 생긴 것 같기도 합니다.

The Feynman Lectures on Physics (Definitive and Extended Edition, Hardcover)
Feynman, Richard P./ Leighton, Robert B./ Sands, M/Addison Wesley

고등학교때 산 책은 아니고, 대학에 입학한 직후 혼자 공부해보겠다고 샀던 책입니다. 당시엔 10만원 초반이었는데 그 사이에 두배 가까이 가격이 오른 것 같네요.(망할 만수...) 총 네권이 들어 있습니다.
그런데 정말 더럽게 어렵습니다. 수식은 없는데 논리가 지독해요. 덕분에 재미있게 배우는 것도 많지만... 1학년 2학기에는 전자기학을 이 책으로 배웠습니다. 더러운 벡터포텐셜(...). 양자 공부하면서 3권을 조금씩 보고 있습니다.


1학년 1학기 물리학 종반부에서 느닷없이 튀어나온 통계물리학을 공부하려고 멋모르고 산 책입니다. 사실 자세히 보지는 않아서 내용이 어떤지는 모르겠지만, 그냥 무난해 보입니다. 물론 전 혜택을 하나도 받지 못하고 시험문제에 그대로 발려버렸지만...

기타로 현재 Tai L. Chow의 Mathematical methods for Physicists라는 책을 '기본물리수학' 교재로 이용하고 있습니다. 물론 제본으로... 책 자체는 그리 나빠 보이지는 않는데, 오타가 많이 거슬리네요(...)



공학책은 4대역학(열역학, 고체역학, 동역학, 유체역학) 교재 말고는 없네요. 사실 공학이라고 해도 물리학이나 마찬가지라서.... 기저에 깔린 사고체계가 다르긴 하지만 그런거 언제 따졌나요 -_-;;

최신 공업열역학 (노승탁)
노승탁 지음/문운당

'열역학' 교재로 이용한 책입니다. 위에서 Reif 책이 순수하게 미시적인 관점에서 접근했다면, 이 책에서는 순수하게 거시적인 관점에서 접근합니다. 물론 후반부에 가면 둘이 서로 합쳐지기는 하지만... 고전역학에서 열역학이 어떻게 발달했나를 얕게나마 알게 된 책이지요. 현대의 대세는 양자와 미시라지만, 고전과 거시도 나름대로의 사연이 있고 그 사연을 찬찬이 들여다보면 정말 재밌더군요.

'고체역학' 교재는 Crandall의 Introduction to Mechanics of Solids를 사용했습니다. 친구들은 책 안 좋다고 하는데, 전 왜 괜찮다고 느끼는 걸까요(-_-;;). 논리를 중요시하는 면이 있습니다.(원통형 물체에 모멘트가 걸렸을 때 변형이 왜 반지름에 따라 선형적인가에 대한 부분에서 폭발...) 저야 날림으로 배워서 안 배운 부분이 넘쳐나는데, 안 배운 부분들의 난이도는 별로 생각하고 싶지 않네요. '역학과 설계'과목에서도 주교재로 이용한다고 하더군요.


'동역학' 교재로 사용하고 있는 책입니다. 사실 단위가 더러운 것 빼면(SI Unit으로 나온 동일한 책도 있는데 마찬가지로 inch, feet 등등을 사용합니다) 별 특징이 없는 책이더군요. Marion 책으로 공부를 했던 이상 쉽게 느껴지기는 하지만...
계산기를 직접 써야 하는 문제가 많은 것을 제외하면 그냥 그럭저럭 봐줄만 한 책입니다. 뭐 언제까지나 공학도를 위한 책이니 위의 역학책과는 다를 수 밖에 없겠지만요.

Fluid Mechanics (6 HAR/CDR, Hardcover)
White, Frank M./McGraw-Hill

'유체역학' 교재로 이용하는 책입니다. 사실 유체에 대한 책은 이게 처음이라 무어라 평가내리기는 애매하네요. 정식으로 배운 것도 아니고...(현재 수강중)
다만 한가지, Navier-Stokes 방정식은 공포의 벡터포텐셜보다 더 무섭게 생겼다는 걸 확실히 깨닫게 되었습니다. 아마도 공부하면서 간혹 Reif 책을 뒤적거리게 될지도 모르겠는게, 증명을 조금 날림으로 해치우는 것 같아서 말이지요...

Electronics Fundamentals (8 LAB, Paperback)
Buchla, David M./Prentice Hall

가진건 7판으로 '전기공학개론' 교재로 사용한 책입니다. 공대의 경우 공대소양과목으로 타과의 개론과목을 들어야 합니다. 버티고 안 사려다 결국 숙제 때문에 산 책인데 그다지 인상적이지는 않네요. 초중반부를 전부 알아서 그런가(...)

그런데 이상하게 공학책에 대한 평가는 박하네요. 그럴 수 밖에 없는 건가...-.-;;



그냥 눈독들이는 교재들입니다. 실제로 살 생각은 아직까지는 없구요.

Classical Mechanics (3rd, Hardcover)
Goldstein, Herbert/Addison-Wesley

Modern Quantum Mechanics (Revised Edition, Hardcover)
J.J.J. Sakurai, San F. Taun 지음/Addison-Wesley

Introductory Quantum Mechanics (4th, Hardcover)
Liboff, Richard L./Addison-Wesley

Spacetime and Geometry (Hardcover)
Carroll, Sean M./Addison-Wesley

Gravity (Hardcover)
Hartle, J. B./Addison-Wesley

전부 물리학 교재네요 -_-;;; 얇은 책도 있고 두꺼운 놈도 있고...



IE-International Edition-가 확실히 싸네요.

'경제학개론'에서 배운 가격차별이란게 이런 것인가... 거의 두배 세배 정도는 차이나는 것 같습니다. 그나저나 환율이 안정되어가서 그런지 확실히 교재 가격이 내린 느낌이 납니다. 아니면 물가가 막장으로 오른 거거나.

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  1.  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    반가운 책들이네요. 학부 2학년이나 3학년 정도??

    아 그리고 고등학교때 Griffiths 전자기학 책을 보셨다니

    과학고 학생이거나 경시대회 준비하셨나보네요.

    포스팅 된 글 잘보고 갑니다.

    2009.10.15 23:21
  2. laceh  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제가 학부때 많은 도움을 받은 책입니다.

    역학 : landau mechanics(일반역학 한권 정도 보고 봐야함)
    전자기학 : griffith,
    양자 : sakurai quantum mechanics
    (modern quantum은 graduate 레벨입니다.)
    사쿠라의 양자역학은 명저로 꼽힙니다.

    2010.02.18 21:40
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.02.18 21:57 신고  댓글주소  수정/삭제

      Landau 책은 고전장론 책을 한번 구해볼까 생각중입니다. 대학원용의 느낌이 나기는 하지만... 역학책은 한번 도서관에 가봐야겠네요.
      Griffiths 전자기학은 명저이지요. Sakurai 책은 학부용도 있다니 놀랍네요. 확실히 대학원용을 조금 살펴보는데 대칭성에 관한 부분은 엄청 잘 썼더군요. 좋은 책 소개해주셔서 감사합니다. 좋은 하루 되세요 ^^

  3. 파인만  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    파인만물리강의를 교재로 쓰다니 개념있는 교수군요 ;;
    저도 고등학교때 파인만물리학강의를 무척 재미있게 읽었던... 아
    학부2 학년정도라면
    feynman의 path integral : path integral을 정말 쉽게 설명했습니다.
    modern quantum mechanics (sakurai) : 기본적인 대칭성 개념을 정말 쉽게 설명했습니다.
    jackson 전자기학 : 전자기학의 완전체;;
    susskind 강의: 개인적으로 모든강의가 주옥같으며 학부 2학년정도면 충분히 가능.. 이미 들으셨을수도.

    2010.08.25 21:26
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    비밀댓글입니다

    2015.10.09 08:37
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2015.10.11 00:27 신고  댓글주소  수정/삭제

      무슨 공학을 하고 싶으시냐에 따라 다르겠죠? 전자공학에서 유체역학을 쓸 일은 없다고 해도 상관없을거고 반대로 기계공학에서 전기역학을 쓸 일이 거의 없는 것처럼 무슨 공학을 하고 싶은가에 따라 공부해야 할 교재가 다릅니다. 공학 자체가 엄청나게 넓은 범주예요.

      다만 공통적으로 쓰는 물건들은 골라드릴 수 있는데, 대학수학 및 대학물리학 정도는 필수일거예요(생명공학 쪽은 확신이 서질 않는군요). 대학수학은 미적분학이라고 생각하면 얼추 맞고, 전 조금 다른 책을 썼지만 대체로는 Stewart의 책을 쓰는 듯 합니다. 대학물리학은 보통 Halliday를 쓰는 것으로 기억하고요.

고전역학은 크게 두 흐름으로 나누어 볼 수 있습니다. 첫째는 가장 잘 알려진 힘을 이용한 뉴턴역학이고 나머지 하나는 에너지를 주로 이용하는 해밀토니안 역학입니다. 양자역학에서는 힘이란 개념을 쓰기 어렵기 때문에 해밀토니안 역학이 특별하게 발달한 것을 양자역학으로 보아도 좋겠지요.(물론 기본이 되는 가정은 하늘땅 차이입니다만...)

보통 라그랑지안 역학을 얻는 방법은 두가지가 있습니다. 하나는 변분법이라고 해서 어느 값의 적분이 최소가 되도록 하는 방법이고, 나머지 하나는 가상일(virtual work)을 이용하는 것입니다. 가상일은 어떤 계가 평형상태에 있을 때, 각 위치좌표가 조금씩 변하더라도 힘의 합력은 0이므로 에너지가 변하지 않는다는 것을 이용하는 것이지요.

해밀토니안 역학은 라그랑지안 역학에서 얻어집니다. 보통의 경우 해밀토니안은 총에너지에 해당하기 때문에 해밀토니안을 에너지와 동등하게 취급하기도 합니다. 양자역학의 경우도 해밀토니안을 에너지와 등가로 취급하고 있지요.

이번 글에서는 간단하게 라그랑지안 식을 유도해 보려고 합니다. 첫 방법은 변분법을 이용하는 방법입니다. 먼저 해밀톤의 원리를 보아야겠네요.

Hamilton's Principle

물체는 시간 t_1와 t_2 사이를 운동할 때 운동에너지와 위치에너지의 차이가 최대 혹은 최소가 되도록 운동한다.[각주:1]

식으로 쓰면

\LARGE\!\delta\int_{t_1}^{t_2}(T-U)dt=0

가 됩니다. 여기서 저 차이를 라그랑지안 L로 정의합니다. 따라서 식은 다음처럼 변하지요.

\LARGE\!\delta\int_{t_1}^{t_2}L(q_i,\dot{q_i},t)dt=0

여기서 q_i는 일반화된 좌표들을 말합니다(i로 좌표를 구분합니다). 꼭 위치좌표일 필요는 없습니다. 부피여도 되고, 각도여도 되며, 넓이여도 상관이 없습니다. 점을 위에 붙여준 것은 그 일반화된 좌표의 시간에 대한 미분량이지요. 자, 그러면 변분법이 어떻게 이루어지는건지 먼저 알아야 하지 않을까요?

운동이 실제 경로 \normalsize\!q_i(t)를 따라 일어나고 있을 때, 위의 적분은 최소가 됩니다. 먼저 임의의 경로 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)+\alpha\xi_i(t)를 생각해보도록 하겠습니다. 여기서 \normalsize\!\xi_i(t)는 실제 경로에서 벗어나는 정도를 나타내어주는 함수입니다. 하지만 t_1에서 t_2까지 이동할 때 운동을 시작하는 지점과 운동이 끝나는 지점은 같기 때문에 \normalsize\!\xi_i(t_1)=\xi_i(t_2)=0라고 놓아야겠지요. 그리고 실제 경로가 되는 \normalsize\!\alpha=0인 경우에 위의 적분은 극값을 가져야 합니다. 이를 식으로 나타내어보면 다음과 같습니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\left[\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\right]_{\alpha=0}=0

이제 알파를 적분 안에 넣어 보겠습니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac\partial{\partial\alpha}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\\=\int_{t_1}^{t_2}\sum_i\left(\frac{\partial{\bar{q_i}}}{\partial\alpha}\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}+\frac{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}{\partial\alpha}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt\\=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\left(\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}+\dot\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt

두 번째 항에서는 \normalsize\!\xi_i(t)가 시간에 대해 미분이 되어 있습니다. 보기 거슬리니까 이를 다른 놈한테 넘겨줘 봅시다. 이때는 부분적분을 이용하면 됩니다.

/\LARGE\!\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt=\left[\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt\\=-\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt

이건 아까 구한 \normalsize\!\xi_i(t_1)=\xi_i(t_2)=0라는 조건에서 알 수 있지요. 그러면 식은 한결 간단해집니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\left(\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt

알파가 0이면 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)+\alpha\xi_i(t)에서 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)임을 알 수 있습니다. 그리고 이 때 위의 적분은 항등적으로 0이 되어야 하구요.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\left[\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\right]_{\alpha=0}\\=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\left(\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}\right)dt=0

그런데 \normalsize\!\xi_i(t)는 말 그대로 임의의 함수이기 때문에 항등적으로 영이 되기 위해서는 괄호 안의 값들이 무조건 영이 되어야 합니다. 따라서

\LARGE\!\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}=0

를 얻습니다. 이는 모든 i에 대해 성립합니다.

나머지 방법인 가상일을 이용하는 방법(D'Alembert의 원리)은 다음 글에서...(다음 글을 언제 쓸지는 저도 장담을 못하겠네요...)



델랑베르 원리에서 출발하는 라그랑주는 다음 글에서 확인하세요
라그랑지 운동방정식( Lagrange Equations of motion ) (Weistern님)

델랑베르 원리를 직접 언급하지는 않았지만 유도하는 방법(사실상 썼다고 봐야하지만)
Lagrangian and Hamiltonian Mechanics

  1. Marion, Classical Dynamics of Particles and Systems, 4th Ed.에 나오는 내용을 기준으로 작성했습니다. 사실은 최대나 최소가 될 필요는 없다고 하더군요. 참고 : http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics#Hamilton.27s_principle [본문으로]

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  1. Favicon of https://hbar.tistory.com BlogIcon h-bar  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    모든 수식이 깨져 있는 것은 제 컴터의 잘못인가요??

    2010.04.03 22:43 신고

물리학에서 대칭성은 대부분 어떤 보존으로 나타납니다. 여기서 말하는 대칭이란 '구분할 수 없음'을 뜻하지요. 운동량은 위치에 대한 대칭성에서, 에너지 보존은 시간에 대한 대칭성에서 얻어지지요.

이제 질문. 허수 i와 -i는 대칭적입니다. 서로 구분이 불가능하지요. 이 수학적 대칭은 물리의 어떤 현상으로 이어질까요? 잘 살펴보면, 이런 수학적 대칭은 시간을 뒤집는 대칭에 해당한다는 것을 알 수 있습니다.



이게 원 슈레딩거 방정식입니다. 양변의 i를 모조리 -i로 바꾸어주면



여기서 *로 표시된 것은 전부 켤레복소수(complex conjugate)에 해당합니다. 해밀토니안은 i를 포함하지 않는다고 가정하면(즉, 포텐셜이 실수로만 나타난다고 가정하면)[각주:1] 다음의 꼴을 얻습니다.



-t를 새로운 시간, 타우로 정의하면



시간을 뒤집은 파동함수(의 켤레복소수)가 원래의 파동함수와 같은 방정식을 만족하는군요. 결국, 시간에 대해 파동함수는 대칭적이라고 생각할 수 있겠지요. 이 대칭성은 time parity라고 불리는 값의 보존으로 이어집니다. 패리티에 대해서는 나중에 설명하기로 하지요 ^^;;;

재미있는 것은 시간 뒤집기가 성공하지 못할 수 있다는 것입니다. 허수포텐셜을 도입하면 그렇게 되지요. 이제 허수가 들어가는 포텐셜은 약력을 대표한다고 추론할 수 있겠지요. 약력이 대부분의 대칭성 붕괴의 원인이니 말입니다.

덧. 쓰다보니 하루가 지나가는군요 -_-


  1. 허수포텐셜을 도입하는 경우 파동함수는 보통 시간이 지나며 필연적으로 파괴되어 버리거나(0으로 수렴하거나) 무한히 발산해 버립니다. 때문에 방사능 붕괴와 같은 경우에는 허수포텐셜을 도입합니다. 하지만 그런 부분은 지금 우리가 관심을 갖는 영역이 아니기 때문에, 무시하도록 하겠습니다. [본문으로]

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  1. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    허수포텐셜을 도입하더라도 시간대칭이 깨지지 않을수도 있을것 같은데요. 물리적으로
    시간은 하나의 차원으로 보았을때 시간대칭은 반입자를 포함하는 반시간으로 본다면
    양자역학적으로 어떠한 원인에 근거하여 물질의 붕괴시점은 변화할수있지않을까 추측해봅니다. 전문가가 아니라서 정확하지는 않지만 ....

    2009.07.13 11:21
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.07.13 11:41 신고  댓글주소  수정/삭제

      허수포텐셜은 파동함수 전체의 크기를 변화시키는 역할을 합니다. 에너지의 값이 허수부를 가질 때 허수부의 부호에 따라 입자의 존재 확률이 증감하게 되는데 허수부의 부호가 바뀌게 되면 존재 확률이 증가하던 것이 반대가 되겠지요. 이렇게 되면 실제 현상을 나타낸다는 것에서는 똑같을 수 있지만(시간이 역으로 진행하고 있으니) 시간에 대칭되는 형태로 운동이 나타나지는 않습니다. 붕괴 자체가 시간에 대칭적이지 않은 현상이니까요.(대칭이라는 것은 구분할 수 없음을 나타냅니다.)


      입자를 반입자로 바꾸고 시간을 뒤집는 것을 CT 대칭이라고 부르는데, 이 부분은 아마 아직 해결이 안 되었을 겁니다.

  2. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    말꼬리를 잡아끄는 것 같아서 죄송하게 생각합니다. 저는 물리학을 정식으로 공부하지 않은 일반인입니다. 최근에 일반인들을위해 쓰여진 엘리건트유니버스 같은 책을 조금 봤습니다.
    나름대로 소립자에관해서 공부하고 있는데 역시나 수학적인부분은 방대하여 막혀있는 상황이구요 그래서 나름 방법을 고안한것이 물질의 구성이 무었이냐부터 시작해서 원자->중성자양자->쿼크 (표준모형) + 중간자 + CP붕괴, B붕괴.. + 초대칭 + 초끈이론 + 양자역학성질 이런순으로 이론적으로 공부해보고 여러자료 엮어서 보니 조금이나마 이해가 가드라구요..
    초끈이론보면서 허수가 왜 나왔는지 알게되었답니다. 그와중에 생각난게 있는데 바로
    시간대칭이요 어짜피 물리학은 현실을 분석하는것이니 현실과 같아야 하잖습니까
    그런데 재생각에는 조금 이상한부분이 차원에대한인식이 약간 잘못되어있지 않나 하는거 였습니다. 어짜피 비전문가적생각이니 무시하셔도 괜찮으세요.

    제생각에는 초끈이론에서 예견하는 추가적인 6차원의 복소기하학차원이 필요없을것 같다는거죠 왜냐하면 시간을 하나의 차원으로 인식하고 우리가 살고 있는 물질공간을 4차원시공간으로 본다면 반입자가 존재하거나 붕괴된 6차원(물질+반물질) 같이있는거죠 왜냐하면 서로 반대의 시간으로 변화하기 때문에

    제생각에는 이성질이 곧 양자론적 성질또한 증명할수 있지않냐는거죠 어떠한 원인에 근거하여 결과가 동시에 존재하는 것 그러나 그것은 또다른 원인에의하여 가변이 되는거죠. 만약
    엄격하게 동일한 실험조건을 갖춘상황에서 비교적 짧은 붕괴주기를 가진 입자를 이용해서 실험을 해본다면 어떨까 하는생각인데 ....아직 그이후의 생각은 안해봤습니다..

    (시간이 역으로 진행하고 있으니) 시간에 대칭되는 형태로도 운동이 나타날수 있다고 봅니다.
    어짜피 공간자체가 대칭이 되어있는 상황이라면 그곧에 생물들은 나이를 거꾸로 먹는것이죠 단 양자적으로 복제된현실이고 쉽게 상대적인 원인에 의하여 존재하였다가도 존재하지 않을수 있는...그런 결론. 죄송합니다.

    2009.07.13 18:05
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.07.14 00:18 신고  댓글주소  수정/삭제

      저도 전공자는 아니니까 죄송하실 필요는 없고요 ^^;;

      대칭성이라는 개념을 명확히 해야 할 것 같네요. 대칭성은 '구분하지 못한다'라는 의미입니다. 공간대칭이란 공간의 어느 위치에 존재하는지 구분하지 못한다는, 즉 위치가 아무리 변해도 나타나는 현상이 똑같기 때문에 원칙적으로 구분할 수 없다는 것을 의미합니다. 비슷한 의미에서 시간대칭이란 현상 자체만 놓고 보면 시간이 역으로 진행하고 있는지 순방향으로 진행하고 있는지 구분하지 못한다는 뜻이지요. 이건 공기에 의한 마찰이 존재하지 않을 때 날아가는 공이 그리는 궤적을 찍은 비디오가 있을 때, 비디오만 보고 비디오가 제대로 재생되는지 역으로 재생되는지 알지 못한다는 것과 같습니다.

      처음 허수가 도입된 것은 파동역학과 관련이 있습니다. 슈레딩거방정식은 이전에 존재하던 파동방정식을 꼬아 만든 것인데, 파동을 기술할 때 허수지수를 갖는 경우 sine과 cosine처럼 주기성을 갖는다는 것에 착안하여 허수로 나타내던 것을 이용한 것이지요.

      사실 초끈이론은 요즘 거의 '수학'으로 여겨지고 있는 편입니다. 새로운 이론으로 거듭나려면 이전의 이론들이 예측할 수 없었던 현상을 예측할 수 있어야 하는데 그런 부분이 아직은 존재하지 않는다는 거지요. 12차원도 이런 맥락에서 하나의 가설로 생각하셔야 할 겁니다.

  3. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    양자세계에서 시간차원을 가정한다면 시간이 역이든 순방향이든 모든 가능한 방향에서 흐르는게 원칙이죠 그렇게되야 양자적인특성이 설명되죠 수학적으로 지적하신 특이한 경우에서만 존재하지 않을뿐 존재한다면 실험을 해봐야 하는건 아닌지요?

    기존사실로 보게되면 입자냐 파동이냐도 같은경우로 보입니다. 논리적으로 따지는것이지요
    확인하는 조건이냐 하지않은 조건이냐에 따라 두가지로 분류되듯이 만약 물질의 붕괴또한
    사라졌다가도 다시나타날수도 있는것이 아닐까 터널효과 처럼요. 이런것을 수학적으로 표현할수만 있다면 좋겠는데 방법이 있으면 실험도 해보고요.

    2009.07.17 09:32
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.07.17 17:39 신고  댓글주소  수정/삭제

      예 물론 하나의 '차원' 이라면 앞뒤로 자유롭게 움직일 수 있어야 하겠지요. 그런데 시간의 경우에는 그런 현상이 나타나지 않는다는 것이 미스테리인 것이구요.(이것은 고전역학에서도 마찬가지입니다. 물론 상대성이론 이전에는 시간을 공간에 대해 완전히 독립적인 것으로 가정했었지만 말이지요)

      그리고 제가 말씀하시는 말을 제대로 이해하고 있는지 모르겠네요. 반물질과 물질로 구성된 6차원에서 반물질은 역의 시간을 갖고 물질은 순방향의 시간을 가지는 상태가 실제 현상이다 이런 말씀이신건가요?

      그런데 이 가정 자체에 애매한 점이 있는 것이 반물질은 물질을 만나면 감마선으로 붕괴합니다. 물질과 반물질이 동시에 존재한다면 우주에는 상당한 양의 감마선이 존재해야만 하겠지요. 그런데 실제 우주에서 대량의 감마선이 검출되느냐가 문제네요.(제가 알기로 우주선의 대부분은 하전입자입니다 광자가 아니라.)

      아, 쓰고 나니까 생각난 것이 있는데, 지금처럼 두 방향의 시간의 흐름이 존재한다는 가설은 현재 우주론의 정설이나 마찬가지인 빅뱅이론과 배치되는 부분이 있어 보이네요. 순방향으로 흐르는 시간의 시작점(빅뱅이 시작된 시점)이 존재한다면 분명히 역방향으로 흐르는 시간의 시작점(우주의 종말이 되겠지요) 또한 존재해야만 합니다. 그런데 현재 관찰되는 우주의 모습은 수축으로 인한 멸망보다는 과도한 팽창으로 인한 멸망으로 보이는데, 이 경우 우주의 종말 시점은 존재하지 않게 됩니다. 종말은 어느 순간 이루어지는 것이 아니라 0.999...가 1에 다가가는 것처럼 점근적으로 멸망해 가는 것이기 때문이지요. 정상우주론을 택한다면 가능성이 있어 보이지만 확실한 것은 정상우주론을 택하기에는 너무나도 많은 반증사례가 존재한다는 것이고요.

  4. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    정말 감사드려요 비전문가적인 저의 식견에 하나하나 답해주셔서요 덕분에 많이 배우게 되는것 같아서 즐겁고 감사드려요.^~^
    현상이라고 하시니까 저도 생각나는것들이 있어서요. 왜 사람들이 데자뷰라고 하는것있죠 어떤한시점에 현실의 상황이 어떤 희미한 기억과 맞아떨어지거나 뚜렷한 기억이 나는때 벌어졌던기억?

    저는 이런 경험이 남들보다 조금 많다보니까 결국에 그러한 추론을 하게된것 같습니다.

    그리고 수축과 팽창에 대한 저의 생각은 이렇습니다. 결국에 팽창일경우 공간집중적인것이
    아니라 물질의 표현으로서 그렇게 나타나느것이 아닌지요 사실 공간이란 단순히 인식대상이지 실제로 존재하는 것이 아니라고 생각합니다. 실제사례로 양자론적인 효과는 원자이하의 범위에서만 일어난다는점 말입니다.

    초끈이론서적 엘리건트유니버스 중반부에보면 이러한 내용이 있습니다. 우리가 손을 휘저을때 그 휘저은 손은 단순히 우리가 알고있는 3차원공간상을 이동한것이 아니라 어떠한 좀더
    많은차원을 이동한것이라고 하는 내용이 있습니다.

    저는 이말에 공감하는 이유가 있습니다. 만약 공간이 팽창하였다면 우리 자신들또한 무한히
    팽창하여야 하는데 물질은 일반적으로 안정적이지 않습니까 만약 공간 즉 우주가 팽창한다면 3차원구조인 물질 즉 원소또한 팽창을 하지 않으면 안된다고 생각합니다. 즉 공간이란 각차원을 대변하는 보편상수라고 보았을때 사실 우리가 알고 있는 팽창이란 의미는

    실제와는 거리가 있다는 생각이 듭니다. 그러나 실제로 은하나 항성간의 거리가 멀어지는 현상은 마치 에너지를 가진 상대간의 에너지 교환에 의하여 마치 멀어지는것처럼 보이는것은 아닌지요 결과적으로 우주의 수축과 팽창은 이미 고정되었다는 결론이 나오는데요

    실제로 물질자체가 안정적인것을 반례라고 들고 싶습니다.

    그리고 감마선이 존재하지 않는이유는 있습니다. 결과적으로 제가 초끈이론에서 제시하는
    수학적인 추가적 6차원이 필요헚다고 말씀드린것 즉 그들이 말하는 고차원 다양체에 관한것입니다.

    만약 시간적으로 다르게 움직이고 있는 두가지의 공간이 같은 점에 위치하여도 두가지는 전혀 간섭을 일으키지 않는다는점 말입니다. 파장이 다를 경우에 간섭현상이 일어나지 않는것처럼 말입니다.

    결과적으로 물질과 반물질의 직접적인 반응은 인위적인것외에는 존재할수 없다는 결론입니다.

    다시말해서 실제로 같은 쌍둥이 이지만 그 시간대는 다르다는거죠.

    2009.07.18 12:10
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.07.18 14:49 신고  댓글주소  수정/삭제

      음... 거리가 멀어지는 현상은 적색편이(도플러 효과는 들어보셨죠?? 경찰차 같은게 다가오거나 멀어질때 사이렌 소리가 다르게 들리는 것을 말합니다. 적색편이는 멀어지는 광원에서 나오는 빛의 파장이 도플러 효과로 길어지는 것을 의미합니다. 파동의 파장이 길어지는 경우는 보통 그 파원과 인식원의 거리가 멀어지는 것을 뜻하고요.)와 관련있어서 에너지로 보기에는 조금 무리가 있지 않나 싶습니다.

      그리고 시간적으로 다르게 움직이는 물질이라면 현재 기술로 검출할 방법이 없는 것인가요?(인위적인 반응이라는 것도 결국은 자연적인 반응의 일부일텐데 자연적인 반응이 없다면 인위적인 반응도 불가능하리라 생각합니다.) 물질-반물질 반응이 일어나지 않는다면 사실상 검출할 방법이 없다는 소리가 되는 것 같아서 말이지요. 과학에서 말할 수 없는 것은(그러니까 간접적으로도 증명할 수 없는 것은) 비과학으로 취급하는 경우가 많습니다.

      공간에 대한 부분은 좀 생각해 보아야겠네요 ^^;; 그 부분은 공간을 해석하는 것에 관련된 철학적인 부분이라(공간이 물질을 담는 그릇이냐 아니면 공간은 물질의 부재이냐 이 두가지가 충돌하던 시절이 있었지요) 말이지요 ^^;;

      그리고 양자론적 효과는 (상대론을 무시하면) 커다란 범위에서도 일어납니다. 단지 양자론에만 특화된 현상(터널링같은 경우 말입니다)의 확률이 확 줄어들어 버려 나타나지 않을 뿐이고요.

  5. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    내 죄송 희미한 기억을 끄집어내다보니까...도플러효과 관측시 전기장은 속도?이던가 에 비례하여 파형으로 검출가능하다고 했던가 비스무리...죄송. 암튼 원리적인 부분만 이해하고 있구요 생각과는 분리하여 말씀드려야하는데 아무튼 거리가 틀려진다는 건 맞죠??

    제가 에너지라고 했던것은 정확하지 않지만 물질의 에너지 준위의 범위가 변화할수 있다고 하는 내용을 읽었는데 자료가 너무 많아서 찾지는 못하겠습니다. 그리고 제 생각으로는 중력이란 하나가 아닌 다수의 핵의 결합체로 보고 (결합이 가능하다고 가정) 결과적으로 우리는 그 껍질에 살고 있는 모양이 되는것. 실제로 바다물의 층계 와 대기권의 층계가 나타나는 현상을 예로 들겠습니다. 에너지의 교환이라고 말씀드린것은 그런차원에서 말씀드렸던 것이구요.

    물질-반물질의 반응은 저도 아직 결론을 못내리고 있는부분인데요 다음번에 생각을 정리해서 말씀드릴께요.

    다음은 제가 생각하기로는 공간자체가 축소되었다면 양자론적 모형으로 축소되어 현재 물질계와 정확하게 일치되어져 있는것 즉 상대론을 무시하지 않고도 양자효과는 현실속에 존재한다는 다시말해서 우리공간을 양자론적인 막이 꽉꽉 채운고 있다는것이죠. 아참 제가 상대론에 대해서 아직 완벽하게 읽지 않아서 같이 놓고 생각은 안해봤거든요 왠지 읽기가 싫어지더라구요

    제가 아는건 단지 E=MC^2 : 물질이 소멸하면 그소멸한 질량에 광속도의 제곱을 곱한 수량만큼 에너지로 변한다 << 특수상대성이론 이던가...머리아프게 일반상대성이론은 좀더 심오한 뜻이 있는것처럼 설명되있는던데 읽다가 머리아파서 그만뒀어요.

    왠지모르게 상대성이론은 공부하기가 싫어지는게 .... 좀짜증스럽다고 해야하나..

    2009.07.18 22:44
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.07.18 23:01 신고  댓글주소  수정/삭제

      상대성이론은 시공간에 대한 모든 기존의 상식을 제거해야 하기 때문에 어렵지요 ^^;; 그런데 그것만 제외하면 순수수학이나 마찬가지라 그리 어렵지는 않을 겁니다.(수학이 쉽다면)

      (고전적인)양자론은 상대성이론에 따른 효과를 고려하지 않은 것은 사실이지만, 이후 등장하는 양자장론과 같은 경우에는 상대성이론에 어느 정도 부합하도록 짜여져 있습니다(중력이 고려되지 않는 특수상대론에). 따라서 상대론과 양자론을 완전히 구분하는 것은 무의미할 수 있어요. 요즘 물리학자들이 하는 일이 중력을 양자의 범위로 끌어들이려는 것이거든요.

      에너지에 대한 부분은 사실 이해가 잘 안 되네요 ^^;;;

      은하나 항성간 거리가 멀어지고 있다는 것은 맞습니다.

  6. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    우주의 팽창에 대해서 생각해보고 있는데요. 팽창 또한 확장되는 에너지로 본다면 이 에너지는 강력>전자기력>약력>중력>팽창력(=수축력)>은하나 항성간의 인력

    이렇게 따져보니까 제가 저번에 말씀드렸던 내용중에 물질이 안정되있는 이유가 팽창이 멈추지 않았냐는 이야기 틀렸다는것을 이제 알겠네요.

    그런데 문제는 이렇게 따지게 되면 물질적인 면에서 오류가 발생해요.
    축소된 공간은 이미 물질보다 작아졌다는 이야기가 되는데.

    결과적으로 반입자또한 우리 우주내에 존재한다고 가정하는 현실로 돌아가야 겠네요.
    그렇다면 도대체 축소된것은 무었인가요 단순히 무한히 축소되는 막일까요?

    그리고,

    만약 우주를 하나의 막이라면 이 막은 어떠한 입자로 되어 있을까요? 혹시 들어보셨는지요?

    2009.07.31 11:13
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.08.11 00:28 신고  댓글주소  수정/삭제

      음... 축소가 있어야 한다는 것은 역행하는 시간도 시작점이 있어야 하기 때문에 우주가 끝나는 어떤 지점이 존재해야 한다는 가정을 했기 때문에 나온 결론이라서 축소가 일어나는가는 알 수 없네요. 축소가 일어날 것인지 일어나지 않을 것인지 알 수 없다면 축소거 어떤 것인지 답하는 것은 더 어렵고요.

      그리고 우주 자체가 하나의 막이라면 우주는 우리가 알고 있는 입자의 형태는 아니겠지요. 우주라는 막은 '입자가 존재할 수 있게 해 주는 매질'이 될 테니까요.

  7. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제가 맞았네요. 현실세계에서도 반입자는 시간을 거슬러 과거로 여행하는 입자로 보네요.

    리처드파인만이 이야기 한 사실입니다.

    입자의 충돌이 가상적인 성격을 띈 반입자를 때때로 생성한다고 하네요.

    2009.08.04 19:02
  8. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    전공자도 아닌사람이 두서없이 하는 소리를 받아주시니 참 고맙습니다. 대부분 이런식으로 질문하거나 이야기 하면 100% 무시받을꺼라 생각하고 절대 입박에 내놓지 않는건데....ㅎㅎ

    암튼...아참 '가상적인 성격'은요 로버트 길모어에 양자나라의 앨리스라는 책을 지금 읽고 있는중이거든요 거기에 아주 많이 나와있어요. 이책에서는 그러니까 가상은 곧 현실에 위배되는 현상을 뜻하는것으로 보여요. 즉 입자가 과거 에서 미래로 이동하는것을 현실입자라고 치면 미래에서 과거로 이동하는 입자를 가상적인 입자라고 하는식이요.

    실제로 반물질 생성에 관련한 전자포탈 모아진에 게제된 내용에는요 우주왕복선의 외부탱크
    의 연료량 75만kg 이 반양성자 45mg 이 내는 에너지와 같다고 하네요.

    현재 CERN에서 1년에 10picogram을 생산할수 있다고 합니다. 예 너무 적죠. 결국 년간 45mg를 생산하기 위해서 생산수율을 45억배나 높여야하는데 아마도 불가능할듯 싶네요...

    2009.08.11 13:28
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.08.12 00:22 신고  댓글주소  수정/삭제

      제 의미는 '시간을 역행한다'->'가상입자'라는 방향성은 성립하더라도 '가상입자;->'시간을 역행한다'에는 논리적인 정당성이 없다는 의미였습니다. 후자가 성립하려면 좀 더 완전한 조건이 필요하지요.

  9. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    완전한 조건을 갖추려면 무엇이 필요한지 알고 싶습니다.

    2009.08.24 11:30
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.08.24 15:34 신고  댓글주소  수정/삭제

      이런 겁니다.

      '비행기'는 '하늘을 날아다닐 수 있는 것'이지만 '하늘을 날아다닐 수 있는 것'이라고 해서 '비행기'라고 할 수는 없지요. 새도 분명히 날아다니고, 풍선도 헬륨으로 채우면 날기는 날으니까요.

      시간을 역행한다는 특징 때문에 다른 가상입자와 구분되는 성질을 갖는다면 시간을 역행하는 입자라고 할 수 있겠지요.

  10. 김영주  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    가상적인 특성이 입자의 대칭인 반입자의 시간역행 특성을 대변하기위해서는 무언가 정확한 조건이 제시되어야 한다는 뜻인지요?

    2009.08.24 16:12
  11. 덱스터님 틀린거같은데여  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    에르미션 컨쥬게이트가 어떻게 time reversial operator가 될수 있나요? 그러면 position parity에 대응되는 것도 4원수로 정의할 수 있어야 할것같은데 그렇게 보이지는 않는군요. 더군다나 dirac equation이나 Klain-Gorden Eq에서는 i 자체가 없지 않나요? 그리고 약력은 complex field에서 정의된 potential 에서 일어날 수 있다고 했는데 이때는 total wave function이 decay 되기때문에 틀린 이론 아닌가요? QFT에서도 어떤 field가 decay할 때 다른 field로 꼭 전환되어 total field는 보존되어야 할것같은데요. 스텐다드 모델을 보면 weak interaction에서는 W field가 fermion kinetic part랑 서로 field strength를 교환하는 형태잖아요. 이를테면 spin number consorvation같은 것이 허수에서는 성립이 안되고, 이때는 arbitrary waveFtn을 더해줘도 확률을 보존할 수 없을거 같은데 어떻게 생각하시는지요?ㅋ 아참 저는 물리학과 학부생이라 잘몰르긴해여.

    2010.04.26 21:59
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.27 00:09 신고  댓글주소  수정/삭제

      Hermitian conjugation은 Ket 공간에서 Bra공간으로 기준점을 바꾸겠다는 의미이고 여기서는 허수 i의 대칭을 이용한 것입니다. 여기서 다루고 있는 S.E는 시간과 공간을 동등하게 다루고 있지 않기 때문에(시간이라는 축에 벡터를 붙여놓은 것이 아니라 시간이라는 parameter로 벡터를 묘사하고 있으니까요) position parity와는 당연히 다르죠.

      약력은 S.E에서 허수항을 갖는 potential로 묘사한다는 의미였는데 전달이 조금 잘못 된 것 같네요. 그리고 아직 Standard model은 보질 않아서 그 이후는 모르겠네요 -.-;;

      Dirac eq.에서도 i는 등장합니다. alpha로 쓰는 행렬 부분에 숨어있어서 안 보일 뿐이고요. 그런데 alpha는 잡기 나름이니까 꼭 그렇다고 확신은 못하지만. 더불어 S.E 이후에는 대부분 시간과 공간이 동등하게 다루어지기 때문이 지금 논의가 의미를 잃을거예요.

      사실 공대생보다는 물리학부생이 더 잘 알지 않을까요? 저야 아직은 반쯤 취미(..)삼아 공부하는거니...

    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.27 02:14 신고  댓글주소  수정/삭제

      실수로 빼먹은 것이 있는데, 행렬도 허수 i처럼 쓰는 방법이 있기 때문에(대각성분이 0이고 나머지가 1과 -1인 2x2 행렬(iσ_2)이라던가) Dirac eq.에 i가 없다고 할 수는 없다고 생각합니다. Dirac eq.에 들어가는 alpha는 숫자를 대신해서 쓰이는 거니까요.

Operator determination

Physics 2009.04.25 09:52
x-space에서 위치와 운동량의 측정값을 나타내는 Operator는 다음과 같다.

\hat{x}\equiv{x}\\\hat{p}\equiv{-i\hbar\frac\partial{\partial{x}}}

이를 더 간단한 k에 대해 나타내어 보자. 잘 알려진 바와 같이, 운동량 p는 k의 간단한 상수배이다.

p={\hbar{k}}\\\therefore\hat{k}={-i\frac\partial{\partial{x}}}

이제 각 알려진 연산자들에 대해 eigenstate를 구해보자. 먼저 x 연산자에 대해 x'이라는 eigenvalue를 얻어내는 eigenstate를 x에 대해 나타내면 다음과 같다.

\hat{x}|\varphi_{x'}\rangle=x'|\varphi_{x'}\rangle\\\therefore\,\langle{x}|\varphi_{x'}\rangle=\delta(x-x')

이는 k에도 마찬가지로 적용될 수 있다.

\hat{k}|\varphi_{k'}\rangle=k'|\varphi_{k'}\rangle\\\therefore\,\langle{k}|\varphi_{k'}\rangle=\delta(k-k')

각자의 eigenstate를 간단하게 쓰자.

|x\rangle\equiv|\varphi_x\rangle\\|k\rangle\equiv|\varphi_k\rangle

한편

\langle{x}|\hat{k}|k\rangle=-i\frac{d}{dx}\langle{x}|k\rangle=k\langle{x}|k\rangle\\\therefore\,\langle{x}|k\rangle=Ae^{ikx}

(주의 : 편미분 대신 일반적인 미분 d를 사용한 것은 eigenstate k를 x에 대한 함수로 취급하기 위함이다.)
여기서 A는 아직 정해지지 않은 상수이다. 한편

\int\langle{k'}|x\rangle{dx}\langle{x}|k\rangle=\langle{k'}|k\rangle=\delta(k'-k)

이므로

\langle{k'}|x\rangle=\frac1{2\pi{A}}e^{-ik'x}

을 얻는다. 앞의 상수가 일치하도록 조절하면(둘은 complex conjugate 관계라는 것을 고려한다)

\frac1{2\pi{A}}=A\\\therefore\,A=\frac1{sqrt{2\pi}}

을 얻는다. k 연산자는 k-space에서 단순한 상수로 나타나는데 그러면 x 연산자는 어떤 꼴로 나타날까? 구해보자.

\langle{k}|\hat{x}|x\rangle=x\langle{k}|x\rangle\\\hat{x}Ae^{-ikx}=xAe^{-ikx}\\\therefore\,\hat{x}=i\frac\partial{\partial{k}}

(주의 : 변수는 k이기 때문에 이런 꼴로 나타나는 것이다.)
좀 더 명확하게 말하자면

\langle{k}|\hat{x}=i\frac\partial{\partial{k}}\langle{k}|

이라고 할 수 있을 것이다. 이를 다시 p에 대해서 나타내면

\langle{p}|\hat{x}=i\hbar\frac\partial{\partial{p}}\langle{p}|

라고 할 수 있다. 다음 두 식을 보면, 재미있는 대칭성이 존재한다는 것을 볼 수 있을 것이다.

\langle{x}|\hat{p}=-i\hbar\frac\partial{\partial{x}}\langle{x}|\\\langle{p}|\hat{x}=i\hbar\frac\partial{\partial{p}}\langle{p}|


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2008/04/03 - K_f 구하기(어는점내림 상수)
리뉴얼입니다. 심심한 관계로.... LATEX 조금 익숙해질 겸 해서 하는거지요 뭐...

통계역학적 관점(Maxwell-Boltzmann)에서 구한 값입니다. 대강은 맞는 것 같더라구요.

N_1개의 액체 상태의 용매입자가 있는 용기에 총 N_s개의 용질입자가 녹아있는 용기에서 어는점내림과 끓는점오름을 계산한다. 이때 용질입자는 용매입자와 같이 얼어붙지 않는다고 가정한다.

I. 가정.

1. 엔트로피의 정의
  \LARGE\!S \equiv k \ln \Omega

2. 온도의 특징(경우에 따라서는 정의로 사용되기도 한다)
  \LARGE\!\frac {1}T = \frac{\partial S}{\partial Q}

3. 엔트로피의 특징
엔트로피는 용매 자체가 가진 엔트로피(S_1)와 용질 자체가 가진 엔트로피(S_0)와 용매가 존재함으로서 생겨나는 엔트로피(S_p)의 합으로 생각한다. 이 때, 용질의 존재가 만들어내는 추가적인 엔트로피는 다음과 같이 가정한다.
 S_{p}=k\ln\Omega'\\\Omega'{=}\text{C}({N_1+N_s},{N_s})

여기서 C는 Combination 함수를 말한다.
\text{C}(n,k)\equiv\frac{n!}{k!(n-k)!}

이 가정대로라면 용액의 어는점내림은 녹아있는 용질 입자의 수에만 관계있게 된다. 이는 이미 실험적으로 확인되었다.

4. 기타 상수들
기타 상수들의 표
\begin{array}{c|c}\\N_0&\text{Avogadro constant}\\H_f&\text{Heat of fusion of solvent per mole}\\N_1&\text{Number of solvent particles}\\N_s&\text{Number of solute particles}\\a&\text{mole number per unit mass of solvent}\\x&\text{molality concentration of solute}\\T_0&\text{Freezing point of pure solvent(Kelvin)}\end{array}


II. 계산과정.

먼저 엔트로피를 다음과 같이 쓸 수 있다.

S=S_0+S_1+S_p

이를 Q에 대해서 편미분을 취해준다. 온도를 얻기 위함이다.

\frac{1}T=\frac{\partial{S}}{\partial{Q}}=\frac{\partial{(S_0+S_1)}}{\partial{Q}}+\frac{\partial{S_p}}{\partial{Q}}

이를 잘 보면 앞의 항은 현재의 온도를 나타냄을 알 수 있다. 이 항은 현재 온도(어는점)의 역수로 생각할 수 있다.

\frac{1}T=\frac{\partial{S}}{\partial{Q}}=\frac{\partial{(S_0+S_1)}}{\partial{Q}}+\frac{\partial{S_p}}{\partial{Q}}=\frac{1}{T_0}+\frac{\partial{S_p}}{\partial{Q}}

이제 뒷 항이 문제이다. 아까의 가정에서 엔트로피는 다음과 같이 주어진다.

S_p=k\ln{\frac{(N_1+N_s)!}{N_1!N_s!}}

이 식에서 숫자는 전부 충분히 크다고 가정하면 Sterling's formular를 이용해 간단히 할 수 있다.(확인결과 이 식이 원본에서는 잘못되어 있음(부호가 반대)을 발견하였다.)

S_p = k[(N_1 + N_s) \ln (N_1 + N_s) - N_1 \ln N_1 - N_s \ln N_s]

다음, 변수분리를 해 보자. 이 이유는 S_p가 Q에 대한 함수가 아니기 때문이다. 지금 변하는 것은 용매 입자의 수 뿐이므로 편미분은 다음처럼 바뀌게 된다.

\frac{\partial{S_p}}{\partial{Q}}=\frac{\partial{N_1}}{\partial{Q}}\,\frac{\partial{S_p}}{\partial{N_1}}

앞 항은 용매 분자 하나가 얼어붙거나 용매 분자 하나가 녹아나올 때 액체가 흡수하는 에너지이다. 용매 분자 하나가 얼어붙을 때 N_1은 감소하면서 열을 방출하므로(용매 분자가 얼면서 내놓는 에너지는 전부 고체로 흘러나간다고 가정한다. 즉, 원래 용액이 가지고 있던 에너지를 잃어버림으로서 용액이 언다고 생각하는 것이다.) 첫 항의 부호는 양이 되어야 한다. 결국 첫 항은 다음과 같다.(원본에서는 이 가정도 반대로 되어 있으며, 이 두 가정이 서로를 상쇄하여 올바른 결과를 도출한 것으로 보인다.)

\frac{\partial{N_1}}{\partial{Q}}=\frac{N_0}{H_f}

둘째 항은 단순미분이므로 금방 계산할 수 있다. 계산 결과는

\frac{\partial{S_p}}{\partial{N_1}}=k \ln \frac{N_1 + N_s}{N_1}=k\ln{(1+\frac{N_s}{N_1})}=k\ln{(1+\frac{x}a)}

가장 오른쪽에서 수의 비를 밀도로 나타낸 것을 볼 수 있다. 이는 둘 다 단위질량의 용매에 대한 용질과 용매의 몰 수를 나타내기 때문에 가능하다. 이제 처음의 식으로 되돌아가면

\frac{1}T=\frac{1}{T_0}+\frac{\partial{S_p}}{\partial{Q}}=\frac{1}{T_0}+\frac{kN_0}{H_f}\ln{(1+\frac{x}a)}

를 얻는다. 이 식은 다시 또

\frac{1}T=\frac{1}{T_0}\left[\frac{kN_0T_0}{H_f}\ln{(1+\frac{x}a)}\right]

으로 정리된다. 양변을 뒤집으면

T={T_0}{\left[\frac{kN_0T_0}{H_f}\ln{(1+\frac{x}a)}\right]}^{-1}

를 얻는다. 이제 이 식을 x에 대해 테일러전개한 후 1차근사식을 구하면

T\simeq{T_0}\left[1-\frac{kN_0T_0}{aH_f}x\right]=T_0-\frac{kN_0T_0^2}{aH_f}x

이제 알려진 어는점내림의 식으로 돌아가 보자.

T=T_0-K_f{x}

위의 식과 그 위의 식이 동등하므로, 우리는 어는점내림상수 K_f가 다음과 같다는 것을 알 수 있다.

K_f=\frac{kN_0T_0^2}{aH_f}

위키피디아의 Freezing-point depression이라는 항목에는 이 식이 다음과 같이 나타나 있다.

Kf = RTm2M/ΔHf,
R is the gas constant, Tm is the melting point of the pure solvent in kelvin, M is the molar mass of the solvent, and ΔHf is the heat of fusion per mole of the solvent

위의 두 식은 동등하다. M의 역수가 a이며, kN_0가 R이기 때문이다. 이 식은 끓는점오름에도 사용할 수 있으며, 그 때에는 T_0와 H_f를 끓는점에 맞게 바꾸어주어야 한다. 결과는 올바르게 나오는데, 왜냐하면 앞 항의 부호가 뒤바뀌기 때문이다.(에너지를 받아야 분자 하나가 떨어져 나가므로 첫 항의 부호는 음이 된다.)



전 이 식이 통계역학 교과서 어디를 잘 뒤저보면 나올 줄 알았는데 안 나오더군요.(이 식을 증명했을 때는 대학 갓 입학한 새내기 -_-) 첨언하자면, 엔트로피를 구하는 과정에서 약간의 문제가 있을 수 있기 때문에 엄밀하다는 못하다고 합니다. 제가 봐도 엔트로피는 날림으로 가정했어요.

그리고 마지막으로 덧붙이자면, 날림의 가정을 통해서도 상당히 정확한 식을 얻어낼 수 있군요. 원래 이 식은 다른 두 법칙에서 얻어야 한다고 하네요(통계역학적인 관점은 아니더군요). 역시 후발주자는 무언가 새로운 것을 해내었다고 생각하면 그 이전의 누군가는 건드려 놓았다는 것을 뼈저리게 느끼고 갑니다 흑...

PS. 이 식을 잘 생각해 보면 약간 녹은 얼음에 소금을 뿌리면 얼음의 온도는 0도이더라도 그 얼음 주위의 소금물의 온도는 0도 아래라는 것을 알 수 있습니다. 얼음은 순수하기 때문에 0도에서 점차 녹고 있는 것이고 소금물의 온도는 소금이 들어가서 추가적으로 만들어내는 엔트로피에 의해 0도보다 아래에 있다는 것이지요.


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  1. hmmm  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이식을 증명했을 때는 갓 대학 입학 ..ㅠㅠ전 언제쯤..(먼 산)

    이제 고등학교 입학하는데 2년 후에 졸업할때쯤엔 어떨런지

    2010.02.11 20:06
  2. GoNH  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    으으.. 정말 대단하네요.. 이제 화공 학부 2학년인데요.. 정말 놀랍고 재밌습니다..

    사소한 질문좀 드릴게요 ㅠㅠ..

    델타 (S0 + S1)/ 델타 Q 를 T0^-1 로 놓을 수 있었던게 Sp 와 달리 초기 서로 영향을 주지 않았을 때를 가정(???) 해서 그런가요??

    또 Sterling's formular 는 어느 책에서 참고 할 수 있을 까요? ㅠㅠ 책으로 참조하는게 더
    재밋을 거 같에서요 ㅠㅠ

    2014.05.16 12:32
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2014.05.22 13:41 신고  댓글주소  수정/삭제

      섞기 전의 값이라고 생각하시면 될 듯 합니다. Sterling's formula는 통계역학 책이라면 다 다루고 있으니 참고하세요. 물리수학책에도 유도하는 과정이 있을겁니다.
      보다 고전적으로는 깁스 에너지를 이용하는 방법도 있을텐데(Clausius-Clapeyron equation) 그 부분은 지금 당장은 기억이 나질 않네요.

모멘텀 변환 파동함수는 다음과 같이 나타난다(hbar 표현식을 못 찾아서 저렇게 썼음 -_-;;).



이 식은 k에 대해서도 쓸 수 있다. 이때 khbar는 p가 된다.



적분구간을 무한대로 해 놓고 두 모멘텀 파동함수(변수는 k)를 적분하면 Dirac Delta fuction이 얻어진다.



여기서 2pi는 다음과 같은 이유에서 얻어진다. 먼저 적분구간을 [0, 2pi]로 해 보자. 그러면 다음과 같은 관계식이 얻어진다.



여기서의 델타는 Kronecker Delta이다. 이제 이 구분된 적분구간을 무한히 확장한다. 그러면 처음에 얻은 식이 얻어진다.(Dirac Delta가 Kronecker Delta의 무한합으로 보는 관점) 이런 연유에서 규격화된 k에 대한 파동함수는 다음과 같이 쓴다.



보통의 경우, 일반적인 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.





여기서



로 정의한다.

덧. 궁금해하던 건데 마침 친구가 알려주더군요. 책 없이 휘갈기는거라 몇몇 상수는 빠졌을 수도 있습니다.(예를 들어 부호가 바뀌었다던지...)

그나저나 그녀석은 요즘 군론 공부한다던데 -_-;;;; (돌은 학부생이죠 예...-_-;;;;)


덧2. 알고보니 변수가 바뀌었군요 OTL 전부 수정했습니다. 마지막 부분은 외우기 쉽게 하려고 도입한 꼼수입니다 ^^ 책에는 없을거예요(Griffith에 없으니 다른 책에도 아마 없으리라 생각)

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  1. Favicon of http://saygj.com BlogIcon 빛이드는창  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    잘 보고 갑니다.
    행복한 한주 되세요^^

    2009.04.20 09:59

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