'물리학'에 해당되는 글 30건

  1. 2010.01.19 양자역학의 유래 (4)
  2. 2009.09.30 가진 물리학/공학 교재들 (7)
  3. 2009.05.06 Lagrangian formulation(1) (2)
  4. 2009.04.18 Dirac Delta orthonormality (2)
  5. 2009.04.14 츠즈키 타쿠지, [신은 주사위 놀이를 하지 않는다] (2)
  6. 2009.03.24 남순건, [스트링 코스모스] (2)
  7. 2009.03.14 다케루치 가오루, [싸우는 물리학자] (2)
  8. 2009.01.08 [물벽깨-2] 동시성의 상대성이란 무엇인가 - 실체진실의 장 1에대한 반론 (15)
  9. 2009.01.07 다케우치 가오루, [밤의 물리학]
  10. 2008.05.27 에너지, 일-에너지 정리와 열역학 제 1법칙
양자역학에서 상태는 추상적인 켓(ket)벡터 \left|\psi\right\rangle로 나타난다. 이 벡터가 시간에 따라 진화하는 법칙이 슈뢰딩거(E. Schrödinger) 방정식으로, 1926년 처음으로 변위(x)에 대한 식을 유도해낸 이의 이름을 붙인 것이다. 당시 슈뢰딩거가 식을 유도해내었을 때에는 위 벡터를 변위공간에 투영한 것(\psi(x)\equiv\left\langle{x}\middle|\psi\right\rangle)의 시간에 따른 진화를 다루는 방정식이었고, 그 방정식의 생김새를 보고 파동함수라고 이름붙였다. 나중에 상태를 추상적인 벡터로 나타내기 시작한 것은 디랙(P.A.M. Dirac)의 업적이다.[각주:1]

이름에서 알 수 있듯이, 슈뢰딩거는 입자가 보이는 파동적 성질에 착안해서 방정식을 만들었다. 드브로이(L. de Broglie)가 빛의 양자성에서 영감을 얻어 제시한 물질파 가정은 물질에 파동적인 성질이 존재한다는 것을 암시한다. 물질의 파동적인 성질은 이후 전자를 이용한 회절실험과 간섭실험으로 증명되었고, 슈뢰딩거 방정식에 등장하는 2계미분의 근간이 되었다.[각주:2] 1차원 입자 하나에 대해 쓰는 슈뢰딩거 방정식이 다음과 같이 생기게 된 것은 그 때문이다.[각주:3]

i\hbar\frac\partial{\partial{t}}\Psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\Psi(x)+V(x)\Psi(x)
1차원, 입자 하나의 슈뢰딩거 방정식

이렇게 슈뢰딩거가 물질이 가지는 파동적인 특성에 집중하고 있던 사이, 하이젠베르크(W. Heisenberg) 등은 물질이 가지는 양자적인 특성(측정값이 불연속적으로 나타나는 특성)에서 영감을 얻어 행렬역학(Matrix mechanics)을 창시했다. 탄생 자체가 측정만 염두에 두고 만들어져서 그런지 양자역학에서 측정에 대한 모든 가정들은 행렬역학에서 유래하였다. 고전역학과 양자역학이 대비되는 대표적인 특징인 '측정의 결과는 고유값(eigenvalue) 중 하나이다'가 행렬역학의 핏줄을 이어받은 것이다.

두 접근법을 잘 드러낼 수 있는 고전역학적인 예는 1차원상에서 두 질점이 후크의 법칙(Hooke's law)에 따라 상호작용을 하는 경우다. 다음 그림을 보자.

x가 이상하게 쓰인건 무시하자

평형거리를 s라고 둔다면, 위 상황에서 운동방정식은 다음과 같다.

m_1\ddot{x_1}=k(x_2-x_1-s)\\m_2\ddot{x_2}=-k(x_2-x_1-s)

또는,

m_1\ddot{y_1}=k(y_2-y_1)\\m_2\ddot{y_2}=-k(y_2-y_1)\\y_1\equiv{x_1},~ y_2\equiv{x_2-s}

슈뢰딩거의 해법은 위 두 방정식을 더하고 빼서 각각 하나의 변수에만 의존하는 방정식으로 만드는 것이다. '직접적인 해법'이라고 할 수 있을 것이다.

\ddot{(m_1y_1+m_2y_2)}=0 \\\ddot{(y_1-y_2)}=-\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}(y_1-y_2)

윗식은 운동량 보존에 해당하고, 아랫식은 환산질량으로 쓴 운동방정식이다. 한편, 행렬을 이용한 해법도 존재한다. 이 방법이 하이젠베르크가 도입한 행렬역학의 아이디어이다. 첫 식을 이렇게 변형하면

\ddot{y_1}=\frac{k}{m_1}(y_2-y_1)\\\ddot{y_2}=-\frac{k}{m_2}(y_2-y_1)

행렬을 이렇게 쓸 수 있다.

\ddot{X}=AX \\X=\left( \begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array} \right) \\A=\left( \begin{array}{cc} -\frac{k}{m_1} & \frac{k}{m_1} \\ \frac{k}{m_2} & -\frac{k}{m_2} \end{array} \right)

이 경우 해가되는 벡터 X는 A의 고유벡터(eigenvector)의 선형조합으로 쓸 수 있다. 기본적인 아이디어는 해를 정상상태를 나타내는 벡터들을 조합해 나타내자는 것이다. 우린 먼저 조화진동자의 (정상상태의) 해가 다음과 같은 꼴로 쓰일 수 있다는 것을 알고있다.[각주:4]

y=A\cos(\omega{t})+B\sin(\omega{t})

이 해를 추상화(?)하면 이렇게 쓸 수도 있다.

y=Re[Ae^{i\omega{t}}]

여기서 A는 복소수이다. 그리고 미분은 복소수를 켤레복소수로 만드는 과정과는 무관하므로(그러니까 어떤 복소함수를 미분한 다음 켤레복소수를 취하는 것이나 켤레복소수를 취한 복소함수를 미분하나 결과는 같으므로) 시간에 대한 2계미분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

\ddot{y}=\frac{d^2}{dt^2}Re[Ae^{i\omega{t}}]=Re\left[\frac{d^2}{dt^2}\{Ae^{i\omega{t}}\}\right]=Re[-\omega^2Ae^{i\omega{t}}]

전기공학에서 쓰는 phasor 기법이라고 생각하면 된다. 어쨌든 이 과정에서 힌트를 얻자. 먼저 해 벡터 X를 시간과 관련된 부분만 따로 빼낼 수 있다고 생각하는 것이다.

X=\chi{e^{i\omega{t}}}~,\frac{d}{dt}\chi=0

여기서 \chi는 시간에 무관한 열벡터이다. 어찌되었든 이런 형태를 취하고 나면 위의 미분방정식은 고유값 문제(eigenvalue problem)가 된다.

\ddot{X}=-\omega^2X=AX\\(A+\omega^2I)X=0

그렇다면 고유값은? 고유값은 바로 각진동수의 제곱이다(부호는 반대). 고유값을 계산해보면 0과 \frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}[각주:5] 얻고, 각자 평행이동과 서로에 대한 진동을 나타낸다는 것을 알 수 있다. 물론 해는 전의 방법과 전적으로 일치한다.

한가지 의문인 것은, 왜 측정하면 그 측정값의 고유벡터중 하나로 수렴할 확률이 그 고유벡터 계수의 절대제곱(absolute square)에 비례하냐는 것이다. 지금 당장은 신호를 퓨리에(Fourier)변환을 통해 주파수에 따라 분류하면 그 주파수대가 갖는 에너지가 절대제곱에 비례하기 때문에 거기에서 유래했으리라 추측하고 있지만 확실하지는 않다. 아무래도 조금 더 공부를 해야 할 것 같다.

첨언하자면 파동함수의 절대제곱이 확률밀도함수로 해석되게 된 이유 또한 행렬역학의 핏줄을 따라 내려온 것이라는 점이다. 왜 그런지는 독자의 몫으로 남겨 둔다.[각주:6] 쓰기 귀찮아서...



2012.11.08
추가할 내용은 새 글로 올리기로 했다. 다음 글도 읽어보시길.
2012/11/08 - 양자역학의 유래(2)


  1. 이 표기법을 이용하게 되면서 상태를 더욱 다양한 방식으로 나타낼 수 있게 되었고, 상태를 더욱 직관적으로 인식할 수 있게 되었다. [본문으로]
  2. 파동을 e와 허수 i를 이용한 지수함수로 나타낼 경우 진동수(파수)는 미분으로 얻어진다. 슈뢰딩거 방정식을 쓸 경우 허수의 도입이 절대적인 이유이기도 하다. [본문으로]
  3. 원래 슈뢰딩거는 이 방정식이 시간에 대해서는 1계미분방정식이라는 것을 못마땅해했다고 한다. 그것도 그럴 것이, 위 형태의 방정식은 로렌츠 변환에 일정하지 않기 때문이다.(더불어 고전적인 파동을 나타내는 방정식은 시간에 대해 2계미분항을 가지고 있다.) 상대론적 양자역학으로 넘어가면 클라인-고든 방정식(Klein–Gordon equation)이 이 대칭을 갖기는 하지만, 이 경우는 2계미분방정식이라는 것이 문제이다. 자세한 내용은 다른 곳을 참조하시길. [본문으로]
  4. 잠깐 이 문제를 벗어나고 있다. 일반적인 하나의 물체가 용수철로 벽에 연결된 상태를 생각하시길. [본문으로]
  5. 부호는 반전시켰다. [본문으로]
  6. 힌트: 함수는 무한한 행을 가진 열벡터로 쓸 수 있다. 아마 교재를 가지고 공부한다면 거기에 잘 나와있을 것이다. 그런데 실수라는 연속체를 그렇게 쓰기는 힘들텐데 -_-;; [본문으로]

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  1. hmmm  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    weistern's하고 실타래를 통해 오게 되었군요...
    웬만한 블로그는 다 서로서로 연결된다는 게 신기합니다.
    현실과는 또다른 세계이지만, 역시나 좁은 세상!

    2010.01.21 19:22
  2. Favicon of https://hbar.tistory.com BlogIcon h-bar  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    hmmm님도weistern's에서 봤는데,,, 세상 참 좁네요..

    2010.02.11 04:07 신고

Principles of Quantum Mechanics (2 SUB, Hardcover)
Shankar, Ramamurti/Kluwer Academic Pub

별건 아니고, 양자물리를 공부하면서 볼만할 것 같은 책을 한권 샀습니다. 살짝 고전역학이나 전자기학을 더 공부해야 될 것 같기는 하지만 뭐 그런거 무시하고 내맘대로 독학하는게 특징이라 그냥 질렀습니다. 양자책은 혼자 공부하려고 Griffith 책을 사 놓고 수업을 들으면서 교재로 쓰니까 다른 책이 필요해지더군요. 이 글은 기념 포스팅(...)
윗 책은 대충 읽어봤는데 괜찮아 보여서 바로 샀습니다. 가격이 여태 산 교재중에서 제일 비싸긴 하지만(...) 설명은 잘 되어 있는 것 같더군요. 사실 읽기가 버릇 수준으로 중독되면 논리가 있는 거의 모든 글은 이해하게 되긴 하지만 말이죠.

Introduction to Quantum Mechanics (2/e, Paperback)
David J. Griffiths 지음/Addison Wesley

Griffith 책은 순수히 비상대론적인 영역에서만 쓰여서(물론 상대론적인 보정을 하는 법-perturbation-은 나와 있지만)살짝 아쉽던 차에 잘 되었네요. 물론 나오는 상대론적 양자역학은 Marion의 고전역학책에서 특수상대론을 다루는 정도만큼만 나오는 수준이지만, 그게 어디입니까(...)

Classical Dynamics of Particles and Systems (5th, Hardcover)
Thornton, Stephen T./Cengage Learning

생각해보니 고등학교때 역학공부하려고 산 책이군요(흠...). 그때는 조금 헤매였던 것 같은데, 지금은 그냥 무난하게 읽히네요. 역시 수학이 받침이 되어야...(수학적인 내용이 아니면 쉽거든요. 물론 그거야 모든 책이 그렇지만...)

해석역학
G. R. Fowles & Cassiday 지음, 강주상 옮김/홍릉과학출판사

가진 책중에 드문 번역본이네요. 사실 이 책은 거의 안봤습니다. 이 책이 더 쉽다는 분들도 있는데, 전 오히려 Marion 책이 더 쉽더군요. 고등학교때 사 놓고 Lagrangian 부분 조금이랑 중심력 볼 때 빼고는 한번도 본 적이 없는 것 같네요.


7판으로 공부했습니다. 사실 내용은 하나도 기억이 안 나지만(...)
그것보다 공부하려고 무식하게 첫장부터 그냥 읽었던 책인데, 나중에 돌아보면 그게 오히려 도움이 된 것 같기도 하네요. 열역학 중간부분정도까지는 무턱대고 읽었던 기억이 납니다. 계속 고등학교때 사 놓았던 책이 흘러나오네요.

새대학물리 2
서울대학교물리교재편찬위원회/교문사

현재 구할 수는 없고, 헌책방에나 가야 구할 수 있는 책입니다. 상하 두권으로 나뉘어 있고요.
할리데이와 2학년 책의 중간단계정도 되는 난이도를 가졌습니다. 원서가 한글이라는 것이 가장 큰 특징이고, 조금 불친절합니다. 그런데 있을 내용은 초보적이더라도 웬만해서는 다 있으니 그정도로 만족... 통계역학은 이 책으로 배웠습니다(물론 사실상 독학).

물리학
물리학교재편찬위원회 엮음/북스힐

산 것은 아니지만 그냥 가지고 있는 책입니다. Halliday 책으로 어느 정도 공부한 뒤에 그냥 받은 책이라(AP-Advanced Placement-를 받을 때 교수님이 던져주신 책) 사실상 장식용(..)으로 쓰고 있습니다. 산 것은 아니지만, 이 책도 고등학교때부터 버려둔 책이군요.
동생이 공부하는 것을 살짝 엿보니 예제 위주로 설명하는 책인 것 같습니다.

알기 쉬운 물리학 강의
Paul G. Hewitt 지음, 공창식 외 옮김/청범출판사

사실 교재라고 하기는 조금 애매하지만, 참 좋았던 책입니다. 고등학교 들어가기 전 물리에 대한 개념을 잡으려고 읽었던 책이구요. 한 12장까지는 무턱대고 읽었던 것 같습니다. 이후에는 전혀 손대지 않았지만(-_-;;)
꾸준히 읽으면 처음 물리를 시작할 때 개념잡기 참 좋은 책입니다. 그것보다 다시 교재로...

Introduction to Electrodynamics (3 SUB, Hardcover)
Griffiths, David J./Addison-Wesley

역시 고등학교때 산 책입니다. 현재 '전기와 자기' 교재(...)로 쓰고 있고요.
이 책으로 배우기 시작할 때부터 물리를 하기위해 수학을 야매로 배우는 버릇이 생겼습니다. 벡터미분(Vector calculus)은 사실상 이 책으로 처음 배웠네요. 이렇게 하다 보니 요즘에는 오히려 더욱 엄격하게 수학적으로 증명하려는 버릇이 생긴 것 같기도 합니다.

The Feynman Lectures on Physics (Definitive and Extended Edition, Hardcover)
Feynman, Richard P./ Leighton, Robert B./ Sands, M/Addison Wesley

고등학교때 산 책은 아니고, 대학에 입학한 직후 혼자 공부해보겠다고 샀던 책입니다. 당시엔 10만원 초반이었는데 그 사이에 두배 가까이 가격이 오른 것 같네요.(망할 만수...) 총 네권이 들어 있습니다.
그런데 정말 더럽게 어렵습니다. 수식은 없는데 논리가 지독해요. 덕분에 재미있게 배우는 것도 많지만... 1학년 2학기에는 전자기학을 이 책으로 배웠습니다. 더러운 벡터포텐셜(...). 양자 공부하면서 3권을 조금씩 보고 있습니다.


1학년 1학기 물리학 종반부에서 느닷없이 튀어나온 통계물리학을 공부하려고 멋모르고 산 책입니다. 사실 자세히 보지는 않아서 내용이 어떤지는 모르겠지만, 그냥 무난해 보입니다. 물론 전 혜택을 하나도 받지 못하고 시험문제에 그대로 발려버렸지만...

기타로 현재 Tai L. Chow의 Mathematical methods for Physicists라는 책을 '기본물리수학' 교재로 이용하고 있습니다. 물론 제본으로... 책 자체는 그리 나빠 보이지는 않는데, 오타가 많이 거슬리네요(...)



공학책은 4대역학(열역학, 고체역학, 동역학, 유체역학) 교재 말고는 없네요. 사실 공학이라고 해도 물리학이나 마찬가지라서.... 기저에 깔린 사고체계가 다르긴 하지만 그런거 언제 따졌나요 -_-;;

최신 공업열역학 (노승탁)
노승탁 지음/문운당

'열역학' 교재로 이용한 책입니다. 위에서 Reif 책이 순수하게 미시적인 관점에서 접근했다면, 이 책에서는 순수하게 거시적인 관점에서 접근합니다. 물론 후반부에 가면 둘이 서로 합쳐지기는 하지만... 고전역학에서 열역학이 어떻게 발달했나를 얕게나마 알게 된 책이지요. 현대의 대세는 양자와 미시라지만, 고전과 거시도 나름대로의 사연이 있고 그 사연을 찬찬이 들여다보면 정말 재밌더군요.

'고체역학' 교재는 Crandall의 Introduction to Mechanics of Solids를 사용했습니다. 친구들은 책 안 좋다고 하는데, 전 왜 괜찮다고 느끼는 걸까요(-_-;;). 논리를 중요시하는 면이 있습니다.(원통형 물체에 모멘트가 걸렸을 때 변형이 왜 반지름에 따라 선형적인가에 대한 부분에서 폭발...) 저야 날림으로 배워서 안 배운 부분이 넘쳐나는데, 안 배운 부분들의 난이도는 별로 생각하고 싶지 않네요. '역학과 설계'과목에서도 주교재로 이용한다고 하더군요.


'동역학' 교재로 사용하고 있는 책입니다. 사실 단위가 더러운 것 빼면(SI Unit으로 나온 동일한 책도 있는데 마찬가지로 inch, feet 등등을 사용합니다) 별 특징이 없는 책이더군요. Marion 책으로 공부를 했던 이상 쉽게 느껴지기는 하지만...
계산기를 직접 써야 하는 문제가 많은 것을 제외하면 그냥 그럭저럭 봐줄만 한 책입니다. 뭐 언제까지나 공학도를 위한 책이니 위의 역학책과는 다를 수 밖에 없겠지만요.

Fluid Mechanics (6 HAR/CDR, Hardcover)
White, Frank M./McGraw-Hill

'유체역학' 교재로 이용하는 책입니다. 사실 유체에 대한 책은 이게 처음이라 무어라 평가내리기는 애매하네요. 정식으로 배운 것도 아니고...(현재 수강중)
다만 한가지, Navier-Stokes 방정식은 공포의 벡터포텐셜보다 더 무섭게 생겼다는 걸 확실히 깨닫게 되었습니다. 아마도 공부하면서 간혹 Reif 책을 뒤적거리게 될지도 모르겠는게, 증명을 조금 날림으로 해치우는 것 같아서 말이지요...

Electronics Fundamentals (8 LAB, Paperback)
Buchla, David M./Prentice Hall

가진건 7판으로 '전기공학개론' 교재로 사용한 책입니다. 공대의 경우 공대소양과목으로 타과의 개론과목을 들어야 합니다. 버티고 안 사려다 결국 숙제 때문에 산 책인데 그다지 인상적이지는 않네요. 초중반부를 전부 알아서 그런가(...)

그런데 이상하게 공학책에 대한 평가는 박하네요. 그럴 수 밖에 없는 건가...-.-;;



그냥 눈독들이는 교재들입니다. 실제로 살 생각은 아직까지는 없구요.

Classical Mechanics (3rd, Hardcover)
Goldstein, Herbert/Addison-Wesley

Modern Quantum Mechanics (Revised Edition, Hardcover)
J.J.J. Sakurai, San F. Taun 지음/Addison-Wesley

Introductory Quantum Mechanics (4th, Hardcover)
Liboff, Richard L./Addison-Wesley

Spacetime and Geometry (Hardcover)
Carroll, Sean M./Addison-Wesley

Gravity (Hardcover)
Hartle, J. B./Addison-Wesley

전부 물리학 교재네요 -_-;;; 얇은 책도 있고 두꺼운 놈도 있고...



IE-International Edition-가 확실히 싸네요.

'경제학개론'에서 배운 가격차별이란게 이런 것인가... 거의 두배 세배 정도는 차이나는 것 같습니다. 그나저나 환율이 안정되어가서 그런지 확실히 교재 가격이 내린 느낌이 납니다. 아니면 물가가 막장으로 오른 거거나.

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  1.  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    반가운 책들이네요. 학부 2학년이나 3학년 정도??

    아 그리고 고등학교때 Griffiths 전자기학 책을 보셨다니

    과학고 학생이거나 경시대회 준비하셨나보네요.

    포스팅 된 글 잘보고 갑니다.

    2009.10.15 23:21
  2. laceh  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제가 학부때 많은 도움을 받은 책입니다.

    역학 : landau mechanics(일반역학 한권 정도 보고 봐야함)
    전자기학 : griffith,
    양자 : sakurai quantum mechanics
    (modern quantum은 graduate 레벨입니다.)
    사쿠라의 양자역학은 명저로 꼽힙니다.

    2010.02.18 21:40
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.02.18 21:57 신고  댓글주소  수정/삭제

      Landau 책은 고전장론 책을 한번 구해볼까 생각중입니다. 대학원용의 느낌이 나기는 하지만... 역학책은 한번 도서관에 가봐야겠네요.
      Griffiths 전자기학은 명저이지요. Sakurai 책은 학부용도 있다니 놀랍네요. 확실히 대학원용을 조금 살펴보는데 대칭성에 관한 부분은 엄청 잘 썼더군요. 좋은 책 소개해주셔서 감사합니다. 좋은 하루 되세요 ^^

  3. 파인만  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    파인만물리강의를 교재로 쓰다니 개념있는 교수군요 ;;
    저도 고등학교때 파인만물리학강의를 무척 재미있게 읽었던... 아
    학부2 학년정도라면
    feynman의 path integral : path integral을 정말 쉽게 설명했습니다.
    modern quantum mechanics (sakurai) : 기본적인 대칭성 개념을 정말 쉽게 설명했습니다.
    jackson 전자기학 : 전자기학의 완전체;;
    susskind 강의: 개인적으로 모든강의가 주옥같으며 학부 2학년정도면 충분히 가능.. 이미 들으셨을수도.

    2010.08.25 21:26
  4.  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

    2015.10.09 08:37
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2015.10.11 00:27 신고  댓글주소  수정/삭제

      무슨 공학을 하고 싶으시냐에 따라 다르겠죠? 전자공학에서 유체역학을 쓸 일은 없다고 해도 상관없을거고 반대로 기계공학에서 전기역학을 쓸 일이 거의 없는 것처럼 무슨 공학을 하고 싶은가에 따라 공부해야 할 교재가 다릅니다. 공학 자체가 엄청나게 넓은 범주예요.

      다만 공통적으로 쓰는 물건들은 골라드릴 수 있는데, 대학수학 및 대학물리학 정도는 필수일거예요(생명공학 쪽은 확신이 서질 않는군요). 대학수학은 미적분학이라고 생각하면 얼추 맞고, 전 조금 다른 책을 썼지만 대체로는 Stewart의 책을 쓰는 듯 합니다. 대학물리학은 보통 Halliday를 쓰는 것으로 기억하고요.

고전역학은 크게 두 흐름으로 나누어 볼 수 있습니다. 첫째는 가장 잘 알려진 힘을 이용한 뉴턴역학이고 나머지 하나는 에너지를 주로 이용하는 해밀토니안 역학입니다. 양자역학에서는 힘이란 개념을 쓰기 어렵기 때문에 해밀토니안 역학이 특별하게 발달한 것을 양자역학으로 보아도 좋겠지요.(물론 기본이 되는 가정은 하늘땅 차이입니다만...)

보통 라그랑지안 역학을 얻는 방법은 두가지가 있습니다. 하나는 변분법이라고 해서 어느 값의 적분이 최소가 되도록 하는 방법이고, 나머지 하나는 가상일(virtual work)을 이용하는 것입니다. 가상일은 어떤 계가 평형상태에 있을 때, 각 위치좌표가 조금씩 변하더라도 힘의 합력은 0이므로 에너지가 변하지 않는다는 것을 이용하는 것이지요.

해밀토니안 역학은 라그랑지안 역학에서 얻어집니다. 보통의 경우 해밀토니안은 총에너지에 해당하기 때문에 해밀토니안을 에너지와 동등하게 취급하기도 합니다. 양자역학의 경우도 해밀토니안을 에너지와 등가로 취급하고 있지요.

이번 글에서는 간단하게 라그랑지안 식을 유도해 보려고 합니다. 첫 방법은 변분법을 이용하는 방법입니다. 먼저 해밀톤의 원리를 보아야겠네요.

Hamilton's Principle

물체는 시간 t_1와 t_2 사이를 운동할 때 운동에너지와 위치에너지의 차이가 최대 혹은 최소가 되도록 운동한다.[각주:1]

식으로 쓰면

\LARGE\!\delta\int_{t_1}^{t_2}(T-U)dt=0

가 됩니다. 여기서 저 차이를 라그랑지안 L로 정의합니다. 따라서 식은 다음처럼 변하지요.

\LARGE\!\delta\int_{t_1}^{t_2}L(q_i,\dot{q_i},t)dt=0

여기서 q_i는 일반화된 좌표들을 말합니다(i로 좌표를 구분합니다). 꼭 위치좌표일 필요는 없습니다. 부피여도 되고, 각도여도 되며, 넓이여도 상관이 없습니다. 점을 위에 붙여준 것은 그 일반화된 좌표의 시간에 대한 미분량이지요. 자, 그러면 변분법이 어떻게 이루어지는건지 먼저 알아야 하지 않을까요?

운동이 실제 경로 \normalsize\!q_i(t)를 따라 일어나고 있을 때, 위의 적분은 최소가 됩니다. 먼저 임의의 경로 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)+\alpha\xi_i(t)를 생각해보도록 하겠습니다. 여기서 \normalsize\!\xi_i(t)는 실제 경로에서 벗어나는 정도를 나타내어주는 함수입니다. 하지만 t_1에서 t_2까지 이동할 때 운동을 시작하는 지점과 운동이 끝나는 지점은 같기 때문에 \normalsize\!\xi_i(t_1)=\xi_i(t_2)=0라고 놓아야겠지요. 그리고 실제 경로가 되는 \normalsize\!\alpha=0인 경우에 위의 적분은 극값을 가져야 합니다. 이를 식으로 나타내어보면 다음과 같습니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\left[\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\right]_{\alpha=0}=0

이제 알파를 적분 안에 넣어 보겠습니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac\partial{\partial\alpha}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\\=\int_{t_1}^{t_2}\sum_i\left(\frac{\partial{\bar{q_i}}}{\partial\alpha}\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}+\frac{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}{\partial\alpha}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt\\=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\left(\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}+\dot\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt

두 번째 항에서는 \normalsize\!\xi_i(t)가 시간에 대해 미분이 되어 있습니다. 보기 거슬리니까 이를 다른 놈한테 넘겨줘 봅시다. 이때는 부분적분을 이용하면 됩니다.

/\LARGE\!\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt=\left[\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt\\=-\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt

이건 아까 구한 \normalsize\!\xi_i(t_1)=\xi_i(t_2)=0라는 조건에서 알 수 있지요. 그러면 식은 한결 간단해집니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\left(\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt

알파가 0이면 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)+\alpha\xi_i(t)에서 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)임을 알 수 있습니다. 그리고 이 때 위의 적분은 항등적으로 0이 되어야 하구요.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\left[\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\right]_{\alpha=0}\\=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\left(\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}\right)dt=0

그런데 \normalsize\!\xi_i(t)는 말 그대로 임의의 함수이기 때문에 항등적으로 영이 되기 위해서는 괄호 안의 값들이 무조건 영이 되어야 합니다. 따라서

\LARGE\!\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}=0

를 얻습니다. 이는 모든 i에 대해 성립합니다.

나머지 방법인 가상일을 이용하는 방법(D'Alembert의 원리)은 다음 글에서...(다음 글을 언제 쓸지는 저도 장담을 못하겠네요...)



델랑베르 원리에서 출발하는 라그랑주는 다음 글에서 확인하세요
라그랑지 운동방정식( Lagrange Equations of motion ) (Weistern님)

델랑베르 원리를 직접 언급하지는 않았지만 유도하는 방법(사실상 썼다고 봐야하지만)
Lagrangian and Hamiltonian Mechanics

  1. Marion, Classical Dynamics of Particles and Systems, 4th Ed.에 나오는 내용을 기준으로 작성했습니다. 사실은 최대나 최소가 될 필요는 없다고 하더군요. 참고 : http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics#Hamilton.27s_principle [본문으로]

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    모든 수식이 깨져 있는 것은 제 컴터의 잘못인가요??

    2010.04.03 22:43 신고

Dirac Delta orthonormality

Physics 2009. 4. 18. 13:11
모멘텀 변환 파동함수는 다음과 같이 나타난다(hbar 표현식을 못 찾아서 저렇게 썼음 -_-;;).



이 식은 k에 대해서도 쓸 수 있다. 이때 khbar는 p가 된다.



적분구간을 무한대로 해 놓고 두 모멘텀 파동함수(변수는 k)를 적분하면 Dirac Delta fuction이 얻어진다.



여기서 2pi는 다음과 같은 이유에서 얻어진다. 먼저 적분구간을 [0, 2pi]로 해 보자. 그러면 다음과 같은 관계식이 얻어진다.



여기서의 델타는 Kronecker Delta이다. 이제 이 구분된 적분구간을 무한히 확장한다. 그러면 처음에 얻은 식이 얻어진다.(Dirac Delta가 Kronecker Delta의 무한합으로 보는 관점) 이런 연유에서 규격화된 k에 대한 파동함수는 다음과 같이 쓴다.



보통의 경우, 일반적인 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.





여기서



로 정의한다.

덧. 궁금해하던 건데 마침 친구가 알려주더군요. 책 없이 휘갈기는거라 몇몇 상수는 빠졌을 수도 있습니다.(예를 들어 부호가 바뀌었다던지...)

그나저나 그녀석은 요즘 군론 공부한다던데 -_-;;;; (돌은 학부생이죠 예...-_-;;;;)


덧2. 알고보니 변수가 바뀌었군요 OTL 전부 수정했습니다. 마지막 부분은 외우기 쉽게 하려고 도입한 꼼수입니다 ^^ 책에는 없을거예요(Griffith에 없으니 다른 책에도 아마 없으리라 생각)

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  1. Favicon of http://saygj.com BlogIcon 빛이드는창  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    잘 보고 갑니다.
    행복한 한주 되세요^^

    2009.04.20 09:59

좀 많이 실망한 책입니다.

신은 주사위 놀이를 하지 않는다 - 4점
츠즈키 타쿠지 지음, 김하경 옮김/더블유출판사(에이치엔비,도서출판 홍)

'신은 주사위 놀이를 하지 않는다God does not play dice'는 아인슈타인이 양자물리가 갖고있는 근본적인 불확정성을 부정하면서 했던 말입니다. 그는 양자물리도 결국 과도기적인 물리학에 불과하다고 생각했지요. 모든 사물의 상태를 알고 있다면 어떤 시간이 지나더라도 전체 우주의 모습을 알 수 있다는 것이 그의 생각이었고, 따라서 본질적으로 불확실성을 내재하고 있는 양자물리는 또 다른 확정적인 물리학이 나타나기 전까지 잠시 징검다리 역할을 해 주는 과도기적 물리학이었던 것입니다.

물론 결론은 아인슈타인의 판정패였지요. 벨의 부등식이라고 불리는 관계식에 의해서 아인슈타인이 제시한 숨은 변수 가설Hidden-variable theory(정확히는 국소성이 있는 숨은변수가설[각주:1])이 부정됩니다.

이 책은 그런 양자역학을 다루는 책입니다. 내용 자체는 괜찮습니다. 그런데 번역이 참....

같은 야구 팀 이름인데도 첫 줄 다르고 끝 줄 다르니(드레곤즈 드라곤즈 -_-;;;) 번역을 하고 나서 교정작업을 했는지도 의문입니다. 더군다나 이 책처럼 전문분야의 교양서인 경우에는 전문가에게 감수를 받는 것이 좋은데 그런 작업은 없더군요. 많이 아쉬운 부분이었습니다.

덧붙이자면 꽤 오래된 책입니다. 60년대 즈음 해서 쓴 글인 것 같더군요. 지금 끄적이고 있는 2020년을 배경으로 한 소설이 2050년 즈음 되어서 어떻게 읽힐 지 조금은 기대되던데요?? ^^;;

(그러고 보니 그런 느낌을 느끼려면 그냥 조지 오웰의 1984를 보면 되겠네요 -_-;; 이미 읽긴 했는데 기억이 안 난다는...)


  1. 국소성이란 모든 변화는 국소적으로 일어난다는 성질입니다. 예시로 질량이 국소적으로 보존된다는 말은 그 점에서의 밀도 변화율은 그 점에서 단위시간당 흘러나가는 질량과 같다는 것이지요. [본문으로]

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  1. Favicon of http://chew282.wordpress.com BlogIcon Donnie  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제목은 읽고싶게 만드는 책이네요. :D

    2009.04.14 23:48
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2009.04.14 23:49 신고  댓글주소  수정/삭제

      뭐 반쯤 낚인 셈이지요 ㅠ

      내용은 괜찮긴 한데, 번역이 별 두개는 깎아먹었어요. 감수를 안한 것도 있어서 좀 엉성하게 번역한 부분도 쉽게 눈에 띄었구요.

이번 글은 날로 먹습니다 -_- 한창 숙제에 치여 살아서...

아주 예전에 읽었던 물리학 교양 서적입니다. 초끈이론을 다루고 있고, 찾기 드문 한국인 저자의 글입니다.

스트링 코스모스 - 8점
남순건 지음/지호

음.. 네이버 블로그를 쓰던 때 읽었던 책이고, 그 블로그의 기록을 뒤져보니 무려 07년 10월에 읽었군요. 이제 1년 반이 다 되어가네요. 간단하게 글만 긁어서 접어둡니다.


책의 깊이는 브라이언 그린의 『엘러건트 유니버스(원제 The elegant universe)』, 『우주의 구조(원제 The fabric of the cosmos)』나 미치오 카쿠의 『평행우주(원제 Parallel worlds)』에는 살짝 못 미쳤던 것으로 기억합니다.(비록 『우주의 구조』와 『평행우주』는 끝까지 읽은 것이 아니지만..) 초끈이론에 대한 설명은 다른 책들과 거의 동등한 위치에서 서술해주고 있지만(어떤 면에서는 더 낫다고도 할 수 있습니다. 게이지 변환(gauge tranformation)에 대한 설명은 여기서 처음 봤거든요.), 책이 얇은만큼 기타 다른 내용, 그러니까 초끈이론이 아니라 물리학 일반에 관련된 내용이 적다는 것입니다. 예를 들자면, 우주의 구조에서는 뉴턴이 제안한 회전하는 물통 실험이 들어가 있으며(제가 이 부분까지 읽고 읽기를 포기했지요. 그 전까지는 아주 재미있게 읽었는데...흑)[각주:1] 평행우주에서는 우주 진화론에[각주:2] 대해 나와 있지요. 이런 '초끈이론 외 물리학'에 대한 설명은 조금 부족합니다.[각주:3]

그래도 이 책이 가진 최고의 장점은 위의 네이버 블로그 소개글에서도 썼듯이 '한국인 저자'입니다. 사실 전 번역을 잘 못 믿는 편이라 여건이 되는 한 원서로 보려고 하는데(그래서 웬만한 영어를 원서로 가진 책들은 다 원서로 보지요..) 한국인 저자가 썼다면 번역에 대해서는 염려할 필요가 없겠지요. 그리고 실제로도 글이 매우 매끄럽고요(번역투라고 불리는 비문이 거의 없던 것으로 기억합니다.). 조금은 날로 먹는 글이긴 한데, 바쁜 처지 좀 이해해 주시고(;;) 그럼 전 이만 물러갑니다...

  1. 절대 좌표계의 존재에 대한 사고실험입니다. 위키피디아 링크로 대신합니다.http://en.wikipedia.org/wiki/Bucket_argument 그런데 보니까 마지막 더 읽을거리에 우주의 구조가 나오는군요 OTL [본문으로]
  2. 정확히는 다중우주론이라고 해야겠네요. 참고 : http://en.wikipedia.org/wiki/Multiverse [본문으로]
  3. 물론 여기에도 특유의 내용이 없다는 것은 아니지만, 그 양이 다른 책들에 비해 많이 떨어진다는 것이 문제라는 말입니다. [본문으로]

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  1. Favicon of http://babmucza.com BlogIcon 밥먹자  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    어디선가 들어본 초끈이론...
    "호두껍질 속의 우주"란 책을 샀던 걸 보면 저도 예전엔 우주에 약간 관심이 있었나봅니다. 최근에 잠이 안와서 그거 읽다가 던졌는데 말이죠...;;

    2009.03.25 19:44

예전에 다케우치 가오루 씨의 다른 글도 읽었던 적이 있었지요. 『밤의 물리학』이라는 책이었는데, 많은 부분은 이미 알고 있었던 내용이지만 그래도 재미있게 읽었던 책입니다. 저야 이 분야에 관심이 많은 사람이니 무난하게 소화했지만, 지식이 전무하신 분들께는 조금 어려울 수 있는 책이라고 생각합니다.

2009/01/07 - 다케우치 가오루, [밤의 물리학]

어쩌다가 관련 서적을 찾아보게 되었는데, 글쎄 이 책이 눈에 들어오더군요.

싸우는 물리학자 - 8점
다케우치 가오루 지음, 박재현 옮김, 전영석 감수/시공사

전 책이 물리학의 괴짜스러운 부분을 들추어냈던 이야기라면, 이 책은 괴짜 물리학자들의 이야기입니다. 내용은 사람끼리의 반목을 드러내었던 글과 사회와의 반목을 그려낸 글 이렇게 크게 둘로 구분지을 수 있습니다.

읽다 보니 제가 이름만 알고 있었던 몇몇 사람들이 실제로는 엄청난 획을 그은 일을 했었다는 것과 상당히 파란만장한 삶을 살았다는 말이 있어 놀랐습니다. 대표적인 예가 아하라노프-봄(Aharanov-Bohm) 효과의[각주:1] 봄입니다. 확실히 이 효과는 대단한 발견이긴 합니다만, 그가 매카시즘 열풍으로 미국에서 쫓겨났었다는 것은 몰랐던 사실이네요. 그리고 그의 세계관도 상당히 흥미롭습니다. 양자역학의 정통적인 해석인 코펜하겐 해석과는 전혀 다른 해석인데,[각주:2] 파동함수를 파면으로 보고 입자를 그 파면 위에서 물결에 휘둘리는 꽃가루로 보는 것이지요. 이 관점은 예전에 제가 공간을 파동함수를 매개하는 매개물들로 보면 어떨까 생각했던 것과[각주:3] 어느 정도 유사해서 관심이 가더군요.

그리고 친구들을 골려먹던 천재 물리학자의 이야기가 누구의 이야기인지 기억이 나지 않았었는데, 그게 바로 란다우(Landau)였군요. 전설적입니다. 동료 물리학자에게 '자네 노벨상 후보자에 올랐으니 논문 정리해서 오게나'라고 해 놓고서는 농담이었다고 했던 그 사람이라네요. 제 친구가 양자장론 독학한다고 보려던 책 중 하나가 란다우의 저서여서 이름을 기억하고 있었는데, 이런 사람인 것은 처음 알았습니다. 그나저나 왜 다 이렇게 못된 천재들이 많은 걸까요? 존 내시도[각주:4] 주변인을 아주 심하게 놀려먹었다는데(목숨을 건 장난을 자주 쳤다고 합니다 -_-;) 거 참...

가장 흥미로운 글은 아까 위에서의 범주에 들지 않는 상끼리의 비교입니다. 노벨상과 벤저민 프랭클린 메달을 비교한 글이었지요. 은근히 노벨상을 까는 분위기로 흐르는데, 뭐 역시 가장 좋은 것은 이런 상 분위기에 휩쓸리지 않고 제 갈길 가는것이겠지요. 연구하다 보니 상 받으라고 전화가 오더라, 이런 훈훈한 분위기(?)가 보편화되었으면 좋겠습니다. 그래도 우리나라에 한 사람 정도는 상을 받았으면 좋겠네요. 그래야지 돈이 갈 생각을 죽어도 안 하는 기초과학 부문에 투자도 하고 그럴텐데 말입니다.[각주:5]

오타는 그리 많지 않습니다. 191쪽에 어처구니없는 실수를 저지르기는 했지만(원서 제목을 적는데 알파벳 하나를 밖에 남겨두는 실수를 저질렀습니다.) 내용 상에는 큰 하자는 없습니다. 번역은 일어를 번역한 것이라 그런지 잘 된 편이구요.

주된 내용은 물리학자들의 연구 업적보다는 그들의 사상과 생활 전반에 대한 것이니 물리의 물자도 모르는 분도 쉽게 읽으실 수 있습니다. 전 제 관심(전공??;;) 분야라서 재미있게 읽었지만 물리에 전혀 관심이 없으신 분들도 재미있게 읽으실 것이라는 장담은 못하겠군요.
  1. 아하라노프-봄 효과는 전자기장이 물리적 실체인지 전자기 포텐셜이 물리적 실체인지를 밝혀내는데 공헌한 특이한 현상입니다. 숙제로 공부했던 적이 있어서 특히 기억에 남는 효과이지요. 자세한 설명은 부담스러우니 다음 사이트로 넘기겠습니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Aharonov-Bohm_effect [본문으로]
  2. 코펜하겐 해석은 '측정 전에는 그 물체는 존재하지 않는다'라는 기존의 관점과 상이한 해석으로 유명합니다. 그러니까 이런 말과 같은 것이지요. '아무도 없는 숲 속에서 사과가 떨어졌다. 사과가 떨어지면서 난 소리는 아무도 듣지 못했으므로, 사과가 떨어지면서 소리는 나지 않았다'. 대안적인 해석으로는 다세계해석(사건이 일어날 때마다 세계가 분열한다는 관점) 등이 있습니다. [본문으로]
  3. 소리는 공기가 없으면 전파되지 못합니다. 이것과 비슷한 원리로, 파동함수가 전파되기 위해서는 파동함수가 흘러갈 수 있는 공기와 같은 매질이 있어야 한다는 생각이었습니다. [본문으로]
  4. 뷰티풀마인드의 존 내시입니다. 내쉬 균형으로 1994년 노벨 경제학상을 수상했지요. [본문으로]
  5. 제 친구 녀석이 한국에서는 안 살 것이라면서 빨리 해외로 나가서 학위나 취득해야겠다던데 솔직히 할말은 없더군요. 저도 제가 하고 싶은 것 하려면 이 땅에서는 못 사는 것 잘 아니까 말입니다. 제가 지원 과 바꾼 이유가 그거라니까요. [본문으로]

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  1. Favicon of http://babmucza.com BlogIcon 밥먹자  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    물리에 관심이 없어도 재미있겠는데요. ^^

    2009.03.14 23:28

물리는 어렵지 않습니다. 단지 관심과 그에 맞는 시간을 요구할 뿐...

특별기획 물리의 벽을 깨라!-제 2회 기획글입니다.

먼저 연당선생의 홈페이지에는 실체진실의 장이라는 코너가 있습니다. 이번 글에서는 이에 대해 무엇이 잘못되었는지 지적을 하면서 반론을 하게 될 것입니다. 먼저, 특수상대론이 무엇인지 알 필요가 있으니 잘 모르시는 분은 전 글을 참고하시길 바랍니다.

[물벽깨-1] 특수상대론은 무엇인가



동시성의 상대성 - 나에게 동시에 일어난 일은 남에게 동시에 일어나지 않았다?


특수상대론이 상식을 야멸차게 배신하는 경우의 대표적인 예는 동시성의 문제입니다. 동시성의 문제란 쉽게 말하면 "나에게는 동시에 일어났는데, 왜 너한테는 다르게 일어났냐"라고 할 수 있지요. 일단 그 이전에 물리에서 중요한 개념 중 하나인 "사건"에 대해 명확히 하고 넘어가야겠습니다.

"사건"이란 "하나의 점(공간을 지정합니다)에서 하나의 시간에 일어난 것"을 말합니다. 그러니까 '대한민국 서울, 2008년 11월 20일. 덱스터가 블로그에 글을 올리다'가 사건의 일례입니다.('대한민국 서울'이라는 공간을 지정하는 점과 '2008년 11월 20일'이라는 시간을 지정하는 점, 그리고 이때 '덱스터가 블로그에 글을 올렸다'라는 일까지 전부 합친 것이 사건이지요.) 물리에서는 이 사건이 중요합니다. 왜냐하면, 물리는 "일어난 사건들을 통해서 일어날 사건들을 예측하는 학문"이거든요. 또, "사건은 누가 보더라도 같게" 일어나야 합니다. A라는 사람과 B라는 사람이 하나의 사건을 서로 다르게 보았다고 한다면(예를 들어 개와 고양이가 싸우는 사건[각주:1]이 일어났는데 A는 개가 이기는 사건으로 끝났다고 하고 B는 고양이가 이기는 사건으로 끝났다고 한다면), A와 B는 다른 세계에 사는 것이란 말입니까?(평행우주? 생각해 보니 재밌네요 -_-;;) 당연히 일이 일어났으면 일어난 거고 일어나지 않았으면 일어나지 않은 것이지요.

이제 동시성의 상대성이란 말은 여기서 등장하는 말입니다. 두 사건이 동시에 일어났다고 생각할 수 있지만, 다른 사람에게는 그게 동시에 일어나지 않은 사건일 수 있다는 것입니다. 이게 무슨 뚱딴지같은 소리냐고요?

다음과 같은 상황을 생각해 봅시다. 제가 기차 플랫폼에서 기다리고 있는데 기차가 자기를 막 지나 가는거예요. 편의상 이 기차는 제가 보기에 일정한 속도로 가고 있다고 합시다. 그런데 이 기차의 한가운데에는 기차의 양 끝 벽으로 빛을 쏘는 장치가 설치되어 있습니다. 갑자기 이 장치가 빛을 쏘게 된다면 기차 안에서는 이런 모습을 보게 되겠지요.

File:Traincar Relativity1.svg

당연하지요. 빛의 속도는 일정하니까, 한 가운데에 있으면 장치가 빛을 쏘기 시작하는 점에서부터 양 끝까지의 거리가 같으니까 둘 다 도착하는데 걸리는 시간은 같을 것입니다. 당연히 동시에 이루어져야 할 것 같은데, 무엇이 문제인 걸까요?

문제는 제가 보고 있는 현상입니다. 전 플랫폼에 서 있어요. 제가 보는 현상은 이렇습니다.

File:Traincar Relativity2.svg

뒤에 먼저 빛이 도달합니다. 왜냐하면, 기차의 뒷 벽은 다가오는 빛을 '마중나가기 때문'이지요. 반대로 앞쪽 벽은 도망갑니다. 그래서 시간이 더 걸리지요. 결국, 기차 안에서는 빛이 벽에 도달하는 두 사건이 동시에 일어났지만, 제가 보기엔 벽 뒤에 도달하는 것이 먼저 일어난 것으로 느껴지게 됩니다. 이렇게 한 사람이 보기에는 동시에 일어났던 사건이 다른 사람이 보기에는 다른 시각에 시작한 것처럼 느껴지는 것을 동시성의 상대성이라고 부릅니다. 이런 현상이 일어나는 데에는 특수상대론의 첫 가정인, 모든 관성계는 동등한 물리 법칙을 갖는다가 놓여 있습니다.

그래프를 보실 줄 아시는 분들을 위해 깜짝 준비한 선물입니다 ^^(사실 위키피디아에 가면 있긴 하지만...-_-;;) 민코프스키 다이어그램이라는 그래프입니다. 이 그래프는 특수상대론에서 여러 사건들을 다루기 쉽도록 하기 위해서 고안된 그래프이며, 보통 가로축에 공간상의 좌표를 세로축에 시간상의 좌표를 놓습니다. 이 그래프의 가장 큰 특징은 축의 기울기를 일정하게 바꾸어 주면 다른 이동하는 사람이 어떻게 사건을 보고 있는지 서술해준다는 것입니다. 이 변형 방식은 조금 독특해서, 축을 한 방향으로 몰아주는 형태를 취하지요. 자 그러면 그래프 나갑니다 ^^

File:Relativity of Simultaneity Animation.gif

아래 쓰인 숫자가 변하는 것 보이시죠?? ^^ v는 속도를 나타내는데(velocity의 첫 글자), c는 잘 아시다시피 빛의 속도입니다(어원은 불분명하다고 하지요.). 처음에 속도가 0이었다가(정지한 입장이었다가) 0.3c(+ 방향으로 광속의 30%로 이동하는 사람이 보는 좌표), -0.5c(-방향으로 광속의 50%로 이동하는 사람이 보는 좌표) 이렇게 변하는 것을 보시면 그래프가 특이하게 변하시는 것을 보실 수 있습니다. 물론 사건 자체는 그대로 있는데, 왜냐하면 관측자가 움직이면서 변하는 것은 그 관측자가 측정할 때 쓰는 자이기 때문이지요(이것이 축이 저렇게 이리저리 움직이는 원인입니다). 잘 보시면 속도가 0일 때에는 동시에 일어났던 일들이(즉, 같은 시간값을 갖던 사건들이) 보기에 따라서 다른 시간값을 갖는 것을 보실 수 있습니다. 이게 물리학에서 말하는 동시성의 상대성입니다.




실체진실의 장 1 - 동시성의 상대성은 존재하지 않는다?


자 이제 실체진실의 장 1에 대해 반론해 봅시다. 먼저 연당선생의 글을 보도록 하지요.


이를 이해하기 쉽게 설명하면 두대의 로켓 문제가 되겠습니다.[각주:2] 상황 설명에 대한 것은 자세히 하지 않고, 여기서 오류만 지적하려고 합니다. 아니, 오류라기보다는 빼먹은 논의를 지적해야겠군요. 위에서 말한대로 당연히 K'이 보는 빛은 동시가 아니며, 이건 고전역학적인 범위에서도 당연한 말입니다. 그런데, K'이 보는 빛이 동시가 아니라면 K'은 빛이 동시에 발사된 것이 아니라고 느낀다는 것이 핵심입니다. 왜냐하면, K'이 보는 원점과 광원 사이의 거리는 K에서 보고 있는 원점과 광원 사이의 거리와 똑같거든요. 그러니까, 빛이 발사되는 사건이 K에서는 동시에 일어났다고 할 수 있지만 K'에서는 동시에 일어나지 않았다는 것입니다. 왜냐하면, (다시 말하다시피) 빛의 속도는 누가 어떤 속도로 이동하고 있어도 보기에 똑같고, 거리가 같다면 그 거리를 빛이 이동하는데 걸린 시간은 같기 때문이지요.

그냥 제가 보기엔 연당선생께서는 특수상대론에 대해 완전한 이해를 못 하신 것 같습니다.



덧1. 어익후.. 벌서 해를 넘겼네요;;; ㄷㄷㄷ 앞으로도 쓸 말이 많은데...
덧2. 특별기획이 이거 아무리 비정기포스팅이라고 해도...-_-;;; 다음엔 노력하도록 하겠습니다 ㅠㅠ
  1. 이때는 엄밀히 말해 사건'들'이 맞겠지요. 개가 앞발을 휘두르는 사건 하나, 고양이가 꼬리로 후려치는 사건 하나, 뭐 이런 식으로 여러 사건들을 전부 일컫는 것이니까요. [본문으로]
  2. 일반물리학을 공부하는데 기본 지침서중 하나로 애용되는 Halliday의 Fundamentals of Physics에 잘 나와 있답니다. [본문으로]

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  1. Favicon of http://nigimizoddo.tistory.com BlogIcon 냉면개시  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    호오...... 적절히 이해가 가면서도 전혀 모르겠군요
    ㅋㅋㅋㅋㅋ 흥미는 가는데 빡세요~

    2009.01.08 09:34
  2. Favicon of http://saygj.com BlogIcon 빛이드는창  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    물리학은 어렵던데...다시 읽어봐야겠어요^^

    2009.01.08 10:10
  3. Favicon of http://babmucza.com BlogIcon 밥먹자  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    대충 뭔 말인지 알 것 같습니다. ^^;; 저 움직이는 좌표 덕에 이해가 잘 가네요.

    2009.01.09 19:38
  4. 아!!ㅂ  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    미치겠네요......
    생전 생각 안해보다가 tv 보고 궁금해서 상대성 이론이 뭔지 이해볼려고 며칠을 똑같은 내용을
    보고 있지만 이해가 될듯 말듯 하는건...... 이해하면 속이 후련하련만......
    아무래도 현실에 안주하고 살아야겠습니다.

    2009.04.14 03:42
  5. 우와 덱스터님  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    천재네요ㅋ

    2009.04.26 00:03
  6.  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

    2013.01.19 14:09
  7.  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

    2015.03.18 00:33
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2015.03.19 00:30 신고  댓글주소  수정/삭제

      자유롭게 쓰셔도 좋습니다. 다만 블로그 글 같이 전문성이 떨어지는 글은 언제까지나 이해를 위한 보조적인 수단으로 취급해야 한다는 것은 잊지 않으셨으면 해요.

  8. 고3  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    연당선생이라는 분의 주장이 잘못된 것 같습니다
    특수상대성 이론에 의하면 k'의 관측자도 두 광원이 동시에 빛을 발사했다고 봐야 합니다.

    2019.05.26 16:45

밤의 물리학 - 8점
다케우치 가오루 지음, 꿈꾸는과학 옮김/사이언스북스

오늘 책이 도착해서 바로 읽어보았습니다. 한 한시간 정도 써서 돌파한 것 같네요. 좀 새로운 것을 기대했더니만, 이상하게 반 이상은 이미 제가 알고 있는 이야기들입니다. 나오는 이론도 반 정도는 과제를 한다면서 미약하게나마 공부했던 것들이고 말이지요. 아무래도 제 자신이 이런 쪽은 볼 수 있는대로 다 보아 두어서 나올만한 이야기들은 다 뻔하디 뻔한 이야기일뿐이라 그런지도 모르겠네요.

알라딘 리뷰 중에서는 '이 책이 대중을 위해 쉽게 쓰인 책이다'라는 판단을 내리고 접근했다가 당황했다는 글도 있더군요 ^^ 뭐 저야 큰 무리 없이 대부분 이해한 듯 하지만(하지만 허블과 관련해서 나오는 허수시간은 좀 애매하군요 -_- 허수인 시간은 어떻게 측정할까나? 허수에서 실수로 시간이 바뀌는 것도 고려해야하고...-_-) 그거야 제가 이 방면으로 공부하는 사람들 중 하나니 그렇고요..-_-

이 책에서는 물리학계에서 정설로 여겨지는 이론들과 함께 마찬가지로 흥미로운 준정설과 이단설에 대해 다루었습니다. 여기서 이단설로 나오는 갖가지 가설들 중에서는 고등학교 교과서에도 나올 정도로 유명한 가설도 있지요. 예를 들어 빅뱅 이론과 대치대는 많은 가설들 중 하나에는 정상우주론이 있습니다. 우주가 한 점에서 시작한 것이 아니라 원래 태초부터 이런 모습이었고 우주가 팽창하면서 물질이 계속 만들어지고 있다는 이론이지요. 지구과학II를 공부하셨다면 아시겠네요 ^^

전반적으로 쉽게 쓰였습니다. 대중적이긴 하지만 그래도 약간은 난이한 책입니다. 스트링 코스모스 정도의 난이도라고 할 수 있겠네요. 우주의 구조나 엘러건트 유니버스보다는 쉽고 가볍지만 말이지요. 책은 200페이지가 못 되니 정말 가볍게 읽으실 수 있을 겁니다.

예전에 읽은 책들과 대비되는 부분이라면 역시 인물들에 대한 평가 부분입니다. 다른 교양서의 경우 대부분 이론 소개에도 벅차 보이던데(말은 쉽게 쉽게 하는데 엄청나게 길지요 -_-) 이 책에서는 이론 소개만큼이나 물리학사에 기여를 했다고 할 수 있는 사람들에 대한 뒷이야기나 인품에 대한 평가 등을 다루고 있습니다.

그리고 교수의 길을 포기한 이유에 대해서도 설명하는군요. 학문만 하고 살 줄 알았는데 개인적으로 우러러보던 교수님이 각종 연구 압박에 시달리는 모습을 보고서는 교수의 길을 포기했다고 합니다. 그래서 지금 저널리스트(?) 쪽으로 활동하고 있다면서요. 저도 얼핏하다간 이 길로 빠질 지 모르겠다는 생각이 듭니다. 물리라는 학문 자체는 정말 매력적이지만, 그걸로 먹고 살 정도로 잘 한다고 생각하지는[각주:1]...-_- 뭐 일단 시도해 보는 것은 나쁘지 않겠지만 말이지요.

가끔씩 간단하게 특이한 이론을 찾고 싶을 때 참고하면 좋을 것 같네요. 아니면 (물리)문제의 답이 도저히 보이지 않아서 머리를 식히고 싶을 때(푸앙카레는 이를 부화incubation 단계라고 불렀다지요) 읽으면 딱인 책입니다.
  1. 더군다나 교수 잘하려면 정치적 능력이 상당히 요구된다는데 전 그런 것이랑은 거리가 상당히 멀어서요 -_-;;; [본문으로]

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에너지, 일-에너지 정리와 열역학 제 1법칙


들어가기 앞서 물리는 자연을 수학이라는 도구로 모델링하는 학문이라는 것을 상기하도록 하자. 수학적으로 모델링을 하는데 있어서 중요한 것은 어떤 경우에도 변하지 않는 소위 "불변량" 이라는 것이다. 이 불변량들이 특히 편리한 이유는, 수학적으로 쉽게 다룰 수 있기 때문이다. 일례로 뉴튼의 제 2법칙에서 얻어지는 F=ma라는 공식만 해도, 질량이 변하지 않는다는 가정 하에서 얻어진 방정식(즉, 질량을 불변량으로 취급한 방정식)이라는 것을 생각해 본다면 수학이 얼마나 쉬워지는가에 대해서는 의심할 여지가 없어 보인다.

이런 불변량들은 물리에서 다양하게 나타난다. 고전 역학부터 따져본다면 운동량, 각운동량 등이 있으며, 한참 후에 다루게 될 특수상대론에서는 spacetime interval(한글로는 어떻게 번역되는지 잘 모르나 시공거리라고 부르자)이 보존되고, 또 나중에 다룰 양자역학에서는 parity 등의 다양한 불변량들이 존재한다. 하지만 그 중 운동량 보존만큼 기초적이면서 제일 큰 중요도를 갖는 것은 에너지라고 할 수 있을 것이다.


에너지는 무엇인가

앞서 힘이란 "'쉽게 변하지 않는 무언가'를 변화시키는 것" 이라고 정의한 적이 있다. 그리고 그 '쉽게 변하지 않는 무언가'는 운동이라는 성질이며, 이것을 정량화한 것이 운동량으로 힘은 "운동량을 변화시키는 것"으로 정의되었다. 물론 이때 변화시킨다는 것은 시간의 개념을 내포하고 있으며, 힘은 운동량의 시간에 따른 변화량으로 정량화할 수 있었다. 그렇다면 에너지는 무어란 말인가?

에너지는 무엇인가. 내 경험으로 미루어 볼 때 고전역학의 범위에서 에너지는 "'쉽게 변하지 않는 무언가'를 변화시킬 수 있는 잠재적인 능력" 이라는 정의가 가장 타당해 보인다. 고전역학의 관점을 따르자면 "운동을 변화시킬 수 있는 잠재적인 능력" 정도로 정리가 가능하다. 이제 그 자세한 내막으로 들어가 보자.


일-에너지 정리

에너지가 정의되었다. 그러면 이를 어떻게 정량화하는 것이 옳을까? 먼저 에너지를 어떻게 측정하는가의 문제가 생긴다. 운동을 변화시키는 능력, 그것도 잠재적인 능력은 어떻게 측정하면 되는 것일까? 엔트로피라는 개념을 나중에 다루겠지만, 에너지라는 것은 엔트로피처럼 그 '변화량' 을 측정하기는 쉬워도 그 '절대량'을 측정한다는 것은 쉽지 않다. 약간의 물리학 지식을 가진 사람은 에너지의 절대량을 측정할 수 있다고 할 지 모른다. 하지만 이것을 떠올려주기 바란다. 그대들이 측정한 에너지는 어떤 '절대적인' 기준점에 대해 측정한 에너지라는 것을. 그렇다. 엔트로피와 마찬가지로, 에너지라는 것은 어떤 기준 없이 절대량을 측정한다는 것이 거의 불가능하다. 그렇다면 그 변화량은 어떤 방법으로 측정하는 것이 옳을까?

이 변화량은 일이라고 불리며, 다음과 같이 정의된다. "힘의 경로 적분(path integral of force)".

W = ∫(a, b, vec[F] * vec[ds])

a는 적분의 밑, b는 적분의 위, vec[F] * vec[ds]는 힘벡터와 미소경로벡터의 내적을 나타낸다. 이 일은 에너지의 변화량으로 정의되며, 여기서 역으로 에너지를 정의할 수도 있다. 마치 엔트로피로 정의되는 온도로 엔트로피를 정의할 수 있는 것과 같이 말이다.

E_i + W = E_f ... W = E_f - E_i = ΔE

이제 일의 정의를 다시 한번 잘 살펴보자.

W = ∫(a, b, vec[F] * vec[ds])
= ∫(a, b, vec[dP]/dt * vec[ds])
= ∫(a, b, vec[dP] * vec[v])
= ∫(a, b, vec[P]/m * vec[dP])
= ∫(a, b, m^(-1) 1/2 d(vec[P] * vec[P]))
= ∫(a, b, m^(-1) 1/2 d(P^2))
= Δ(P^2 / 2m)

vec[ds]/dt = vec[v] 인 이유는 vec[ds]가 이동하는 경로이기 때문이다. 이 부분에 대해서는 따로 언급하지 않겠다.

이제 정리된 식을 자세히 보자. P^2 / 2m의 변화량이 일과 같아졌다. 만약 T := P^2 / 2m 라고 정의한다면

W = ΔT = T_f - T_i

를 얻는다. 식이 한결 간단해진 것을 알 수 있다. 여기서 흥미로운 점은 T는 운동량 P의 크기에만 관계하는 양이며 T의 차원은 에너지와 같다는 것이다(당연한 것이지만). 따라서 T를 운동에너지라고 정의한다면 외부에서 해준 일은 운동에너지의 변화이다 라고 정리할 수 있다. 이것이 일-에너지 정리이다.


포텐셜 에너지와 에너지 보존

이처럼 힘들게 얻은 에너지라는 개념을 어디에 사용할 수 있을까? 먼저, 일은 어떤 일정한 종류의 힘에 대해 상당히 재미있는 성질을 갖는다. 바로 '어떤 경로를 따라 이동하더라도 두 위치를 이동하는데 필요한 일의 양은 같다'는 것이다. 이런 종류의 힘을 보존력이라고 하는데, 모든 중심력(중심력은 우주의 모든 힘을 구성하는 기본이 된다는 것을 상기하기 바란다.)은 이런 종류의 힘에 속한다. 이에 대한 증명은 자세히 다루지 않겠지만, 이런 성질은 확실히 유용하다는 생각을 버릴 수 없다. 그 시덥잖은 적분을 일일이 하지 않고서도 일을 이용해서 속력을 계산할 수 있다는데, 그 누가 이런 간단한 방법을 버리겠는가?

앞서 계산을 했을 때, 일은 에너지의 변화량이라는 것을 알 수 있었다. 하지만 그것은 '일을 받은 쪽'의 에너지 변화량이다. 일을 한 쪽의 에너지 변화량은 결코 일과 같지 않다. 그렇다면 일을 한 쪽의 에너지 변화량은 어떻게 될까? 여기에 뉴튼의 제 3법칙을 적용시켜 보자. 뉴튼의 제 3법칙은 '어떠한 작용에 대해, 그와 반대되는 방향을 갖는 같은 크기의 반작용이 존재한다'는 것이다. 그렇다면 일을 한 쪽의 에너지 변화량은 어떻게 되는 것일까? 단순히 생각하면 '반작용의 방향이 반대이므로 부호가 반대이고 크기는 같을 것이다' 이지만, 이렇게 단순하게 내린 결론이 결과적으로는 옳다. 왜냐하면, 뉴튼의 제 3법칙이 적용되는 힘의 거리적분이 일이기 때문이다. 적분에서 안에 있는 상수(이 경우에는 -1)는 적분 밖으로 빼 줄수 있다. 이런 식이다.

W_r = ∫(a, b, -vec[F] * vec[ds]) = -∫(a, b, vec[F] * vec[ds]) = -W

여기서 W_r은 받은 일을 말한다. 이처럼 적분이 이렇게 간단화되면, 받은 일은 한 일과 부호가 반대임을 쉽게 알 수 있다. 여기에 받은 일은 자신의 에너지 변화라는 것을 생각해 본다면

ΔE = -W

라는 결론에 다다르게 된다. 이를 다룰 때, 에너지의 변화량은 최종위치에만 따라 일정하다는 것을 알 수 있다. 위치에 따라 결정되는 상태함수라는 것이다.(상태함수란 처음과 끝 상태만 값에 관계있는 함수이다.) 이런 종류의 에너지를 하나로 다루면 편리할 것이라는 생각이 든다. 그래서 나온 것이 포텐셜 에너지라는 개념이다. 위치에 따라 어떤 정해진 절차로 그 위치에 해당하는 에너지라는 숫자를 배당시켜 준다면, 그 숫자의 차이로 일을 계산할 수 있는 것이다.

이제 이 숫자를 어떻게 배당하는 것이 옳을까? 일을 이용하면 된다. 어느 점을 기준점으로 잡아서 그곳에 숫자 0을 배당하고, 그 점을 기준으로 일을 했을 때 이 점에서는 무슨 숫자가 배당되야 옳은 결과가 나오는지를 살펴보는 것이다. 대부분의 중심력의 경우 이 기준점은 무한원점에 배당한다. 이렇게 기준점을 무한원점에 배당한 경우에 측정한 에너지를 일반적으로 포텐셜 에너지라고 부르는 데, 이를 절대적인 것으로 생각하지는 말았으면 좋겠다. 어떤 경우에는 이처럼 어리석은 짓도 없기 때문이다.

한편, 이 논의를 두 계로 구성된 차단된 계에 확장하면(차단된 계란 에너지의 유입이나 유출이 없는 계를 말한다)

ΔE_1 = -W = -ΔE_2
∴E_1i + E_2i = E_1f + E_2f

를 얻는다. 에너지의 유입이나 유출이 없는 계 안에서는 에너지의 합이 항상 일정하다는 것이다. 이를 에너지 보존 법칙이라고 부른다. 이 법칙은 다른 법칙과는 다르게, 여태까지 예외가 발견된 적이 없는 유일한 법칙이다. 단, 일부 에너지의 종류에서는 에너지가 증가하거나 감소하는 효과를 보일 수 있으나(에너지는 지금 다룬 포텐셜 에너지와 운동에너지 말고도 많이 존재한다. 하지만 대부분의 에너지는 미시적으로 따졌을 때 이 두가지 에너지로 표현될 수 있다.) 모든 종류의 에너지를 고려한다면 예외가 알려진 바 없고, 또한 예외가 있을 리 만무한 법칙이다.(개인적으로는 만무하다는 표현을 사용하기는 했으나, 이는 인간의 오만에 불과한 것이 아닌가 하고 생각하기도 한다.)


에너지 보존의 확장 1: 열역학 제 1법칙

다음으로 이 논의를 차단되지 않은 계로 확장해 보자. 먼저 흘러들어온 에너지는 들어와서 저장되거나 어디론가 빠져나가야만 한다. 흘러들어온 에너지의 양은 일정하기 때문이다. 그렇지 않다면 에너지가 어디선가 새어서 사라졌다는 말이 되고, 이것은 에너지 보존 법칙에 어긋나는 결과이다. 먼저 흘러 들어온 '알짜' 에너지, 즉 '알짜 일' 만 고려해 보자. 받은 일은 자신의 에너지 변화와 같다. 그러므로

ΔE = W_r'

이다. 그런데 생각해 보자. W_r'은 '알짜'로 계에 굴러들어온 에너지이다. 그렇다면 실제로는 굴러들어온 에너지에서 굴러나간 에너지를 제거해 준 것이 된다. 굴러들어온 에너지를 Q, 굴러 나간 에너지는 자신이 한 일과 같으므로 W라고 해 준다면

ΔE = Q - W

를 얻는다. 이를 보기 좋게 정리해 주면

Q = ΔE + W

이것이 에너지 보존을 일반화시킨 열역학 제 1법칙이다. 일반적으로 이 법칙은 열에너지에 적용한 것이라고 하지만, 필자의 경우에는 에너지 보존 법칙을 사용할 때 이 법칙만큼 편리한 방법을 아직까지는 찾지 못했다. 이 식을 사용하면 자신이 놓친 부분까지도 고려할 수 있기 때문이다.(많은 경우에 에너지를 사용하여 푸는 경우 외부에서 들어오는 에너지를 생각하지 못하는 경우가 있다.)


에너지 보존의 확장 2; 베르누이 방정식

유체에서 이런 에너지 보존을 다룰 수도 있다. 이 경우에는 베르누이 방정식이라고 알려진 다음과 같은 방정식으로 표현된다.

(ρv^2)/2 + ρgh + p = constant

이 식은 포텐셜 에너지가 mgh로 주어졌을 때 에너지 보존 법칙에서 얻어진다. 이 부분에 대해서는 포텐셜 에너지가 mgh로 주어진 계에서 에너지를 부피에 대해 미분해 주면 얻어진다는 정도로 설명하고, 이후 부분은 독자들의 연습용으로 남겨두기로 한다.


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에너지 보존 이전의 부분은 전부 http://blog.naver.com/jwkonline 에 있습니다.

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