2010. 2. 1. 23:36 Daily lives

알라딘 찬양


오오

크롬으로도 결재할 수 있는 날이 올 줄이야

아니면 여태 결재는 IE에서만 해서 타 브라우저로도 된다는 것을 몰랐던건가...쩝;;

브라우저 안 바꿔도 되고 좋네 -_-乃


원하는 책(특히 만화책)이 품절이라 조금 불만. 일단 나머지라도 질러둘까...-_-;;;;
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2010. 1. 30. 15:45 Daily lives

공대생의 착각

꽤 오래된 우스갯소리중에는 이런 말이 있다.

'공대생은 최첨단 기술을 이용해 개발만 하면 팔릴 줄 안다'

잠시 묵념.(...) 일반적인 사람들은 어떤지 모르겠지만 나처럼 귀찮음의 아우라를 뿜으며 돌아다니는 사람은 필요한 기능만 제대로 구현한 제품이면 된다. 난 지금 당장 내 폰이 2000년대 초반 흑백폰으로 바뀐다고 해도 별로 상관하지 않는다. 이미 쓰고 있는 기능의 대부분은 그때부터 지원했으니 말이다. 물론 폰카메라가 사라지는 것은 좀 아쉽지만.

조금은 비교 대상이 안 맞는 것 같지만, 손목시계를 생각해보자. 분명히 기계식 시계보다는 수정 조각의 진동수를 이용한 쿼르츠(Quartz)시계가 몇 배는 더 정확하다. 그런데 왜 아직까지도 기계식 시계가 만들어지는걸까? 좀 더 나아가서, 왜 손으로 직접 만드는 수제 손목시계는 아직도 수요가 존재하는 것일까? 간단하다. '멋있으니까.'

제품들의 성능에 큰 편차가 있었던 예전과는 다르게 현대에는 전반적으로 성능이 상향평준화가 되었기 때문에 성능만을 보고 제품을 소비하는 경우가 급격히 줄어들었다. 무엇을 사더라도 평타는 치기 때문이다. 이런 상황에서는 성능보다는 디자인을 따르기 마련이다. 공대생 죽어나는 소리가 들리는 이유이기도 하다. 전공도 바빠 죽겠는데 미학도 배워야 하는거냐 -_-


아래 글을 읽다가 잠시 떠오른 생각들
http://www.journalog.net/coolpint/23565
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2010. 1. 28. 00:09 Physics

전자기학 교재(?)

Shankar책으로 장의 양자화(field quantization)를 공부하려고 하는데 Lagrangian Density가 튀어나온 배경을 모르겠어서 검색해보다가 이런 책을 발견했다.


철저한 카피레프트 정신에 기반한 책인데 의외로 쓸만한 것 같다. Goldstein 역학을 사려다가 상대론 책이 없구나 하면서 Carrol 상대론 책을 샀기 때문에(왜 하필 Goldstein 책을 뒤저보라는 각주가 붙어있는지...)[각주:1] 전혀 필요한 정보를 얻지 못하고 있었는데 그때 혜성같이 나타나 구원(?)해주었다.

Feynmann의 졸업논문도 가지고 있기는 하지만(여기에서도 그 Lagrangian을 다루었으니..) 거기는 좀 나중에 보는게 나을 듯 싶다. Lagrangian을 이용하는 방법은 양자역학 도입 전부터 있었으니까 완전히 고전적으로 다루는 것부터 이해하는 편이 나아보인달까.

일단 군론은 잠시 접어두고 이것부터 해야지...
  1. 상대론 교재에서 고민했던건 Landau의 고전장론을 살지 Carrol책을 살지였다. 결국 Carrol책이 더 많은 내용을 담은 것 같아서 샀는데 Landau를 샀어도 괜찮았을것 같다는 기분이 ㅠㅠ [본문으로]
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2010. 1. 27. 13:20 Mathematics

루빅스로 배우는 군론

요즘 444 루빅스 리벤지를 돌리다가 재미있는 현상을 발견했다. 같은 색 조합을 가진(예를 들면 빨강과 녹색을 면으로 가진) 모서리 조각이 서로 붙어있는 경우 반대 방향으로 붙을 수 없다는 것이다. 한 20여번 맞추어 보면서 그렇게 붙어있던 적을 한번도 본 적이 없었으니 아마도 맞을 것이다.

고등학교 졸업논문(...)으로 222 루빅스 큐브의 조합의 수가 왜 전체 가능한 배치에서 3을 나누어야 하는지를 썼던 기억이 있어서(지금 그 논문은 노트북 어딘가에 잠들어 있을 듯) 비슷한 방법을 쓰면 되겠지라고 생각하고 있었다.[각주:1] 그런데 이게 직접 숫자를 정의하고 모든 경우의 수마다 계산해주어야 하는 귀찮은 작업이라 인터넷에 비슷한 것을 발견한 사람이 없나 찾아보고 있었다.

그래서 군론을 살짝 공부해보고 있는 겸 rubix cube group이라는 검색어로 구글을 뒤적거려 보았더니 이 pdf가 튀어나왔다.


읽다 보니 '군론으로 전혀 알지 못하는 것도 다룰 수 있게 되었다'는 어느 물리학자의 말이 와 닿는다.


p.s. 군론에 대한 강의를 듣고 싶으면 '현대대수학'이라는 강의를 들으면 되는데, 대수라는 것은 '숫자를 대신한다'라는 뜻을 갖고 있다. 그러니까 직접 숫자를 쓰지 않고 계산한다는 의미로, 다르게 말하면 연산을 추상화해서 연산들의 공통점을 찾아낸다는 내용이 군론의 주된 내용이다. 현미경으로도 보이지 않는 입자들을 가지고 각종 계산을 해야 하는 물리학자들에겐 더없이 필요한 수학인 셈이다.
  1. 3을 나눈다는 것은 무작정 분해한 다음에 임의로 재조립했을 때 맞출 수 있는 배치가 될 확률이 1/3이라는 뜻이다. 불변값(내가 찾아낸 것은 3을 modulus로 갖는 숫자였다.)을 찾아내면 쉽게 증명할 수 있다. [본문으로]
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2010. 1. 25. 13:12 Daily lives

궁금한 것 하나

학생들 "소지품 검사, 영장 갖고와서 하라" 주장 (조선)

경기도교육청이 만들려는 '학생인권조례'와 관련해 2차 공청회가 열렸으나, 찬성 의견의 학생들을 상대로 한 공청회라 호평 일색의 토론으로 끝났다.[...]

음..

그런데 '반대 의견의 학생들'이 있기나 한가? 없으면 하나마나한 지적이잖아. 그리고 내 경험상으로는 저거 반대할 학생은 튀어보고 싶어하는 모범생 아니면 없을텐데. 주먹 많이 쓰는 애들이 반대할 이유는 없잖아?
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2010. 1. 23. 12:56 Writer

무적의 거짓말: 통계


자주 보는 만화중 하나인데 이건 진짜 대박이다 싶어서 긁어왔다. 마침 이항분포의 극한이 정규분포라는걸 증명하느라 끙끙대고 있기도 했고 해서 이번 글은 눈길이 가는 4번에 대한 설명. 나머지 셋은 사람들이 잘 알고 있는 것 같아서...

여기서 질문 하나. 대통령 지지율은 어떻게 산출할까? 두 설문지를 준비했다.

설문지 1

최근 대통령의 국정수행에 대해 어떻게 평가하십니까?
1. 아주 잘하고 있다.
2. 잘하는 편이다.
3. 보통이다.
4. 못하는 편이다.
5. 아주 못하고 있다.

이 경우 지지율은 전체 응답자 수 대 1, 2로 답한 응답자 수가 된다.

설문지 2

최근 대통령의 국정수행에 대해 어떻게 평가하십니까?
1. 아주 잘하고 있다.
2. 잘하는 편이다.
3. 못하는 편이다.
4. 아주 못하고 있다.

1과 크게 다르지는 않지만, 설문지 2에서는 3번 항목 '보통이다'를 제외했다. 이처럼 중립평가를 제외하면 어떤 현상이 일어날까? 첫 설문지에서 3을 선택했을 사람들이 전부 잘하는 편인가 못하는 편인가를 결정내려야만 한다. 결과적으로는 지지율이 살짝 오른다. 물론 중립평가를 선택한 사람들이 엄청나게 많다면 지지율은 급등할 것이다. 어떻게 통계냈는지를 비교하지 않고 단순히 지지율만 가지고 대통령을 비교하는 것이 위험한 이유이다.[각주:1] 열심히 써놓았더니 이런 글이 있었네 -_-

선택지가 없기 때문에 통계가 왜곡되는 상황중 하나를 링크해둔다.

통계라는 것은 미묘한 차이가 엄청나게 증폭되는 성격을 갖기 때문에 통계치를 제대로 사용하려면 그 통계에 대해 잘 알고 있어야 한다. 재미있는 예로는 설문지를 돌리는 사람에 따라 통계가 변화한다는 것이다. 미국에서 인종차별에 대한 설문지를 흑인이 돌릴때와 백인이 돌릴때 통계가 변한다는 연구결과도 있고, 좀 더 가까운 예라면 소개팅에서 더치페이에 대한 설문지를 남자가 돌릴때와 여자가 돌릴때의 응답이 있다. 일반적으로 설문지를 작성하는 사람들은 설문지를 돌린 사람의 눈치를 보기 때문이다.

결론은, 숫자도 볼 줄 아는 사람이 제대로 써먹을 수 있다는 것과, 숫자만큼 사기치기에 좋은 수단도 없다는 것? 세가지 거짓말이 그냥 거짓말, 새빨간 거짓말과 통계라는 누구의 말을 잘 새겨두자.[각주:2]


ps. 고등학교때 다닌 수학학원 선생님 曰: 통계에 강한 사람들이 돈을 잘 번다. 왜 생각난거지...
  1. 지지율의 경향성은 비교적 훼손되지 않겠지만, 그건 하나의 대통령의 지지율을 비교하는 척도가 될 뿐 대통령끼리 비교하는 척도가 되지는 못한다. [본문으로]
  2. 마크 트웨인이 유행시킨 말이라니 놀랐다. [본문으로]
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2010. 1. 19. 22:44 Physics/Speculations

양자역학의 유래

양자역학에서 상태는 추상적인 켓(ket)벡터

$$\left|\psi\right\rangle$$

로 나타난다. 이 벡터가 시간에 따라 진화하는 법칙이 슈뢰딩거(E. Schrödinger) 방정식으로, 1926년 처음으로 변위(x)에 대한 식을 유도해낸 이의 이름을 붙인 것이다. 당시 슈뢰딩거가 식을 유도해내었을 때에는 위 벡터를 변위공간에 투영한 것(

$$\psi(x)\equiv\left\langle{x}\middle|\psi\right\rangle$$

)의 시간에 따른 진화를 다루는 방정식이었고, 그 방정식의 생김새를 보고 파동함수라고 이름붙였다. 나중에 상태를 추상적인 벡터로 나타내기 시작한 것은 디랙(P.A.M. Dirac)의 업적이다.

[각주:1]

 
이름에서 알 수 있듯이, 슈뢰딩거는 입자가 보이는 파동적 성질에 착안해서 방정식을 만들었다. 드브로이(L. de Broglie)가 빛의 양자성에서 영감을 얻어 제시한 물질파 가정은 물질에 파동적인 성질이 존재한다는 것을 암시한다. 물질의 파동적인 성질은 이후 전자를 이용한 회절실험과 간섭실험으로 증명되었고, 슈뢰딩거 방정식에 등장하는 2계미분의 근간이 되었다.[각주:2] 1차원 입자 하나에 대해 쓰는 슈뢰딩거 방정식이 다음과 같이 생기게 된 것은 그 때문이다.[각주:3]
 

$$i\hbar\frac\partial{\partial{t}}\Psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\Psi(x)+V(x)\Psi(x)$$

1차원, 입자 하나의 슈뢰딩거 방정식

 
이렇게 슈뢰딩거가 물질이 가지는 파동적인 특성에 집중하고 있던 사이, 하이젠베르크(W. Heisenberg) 등은 물질이 가지는 양자적인 특성(측정값이 불연속적으로 나타나는 특성)에서 영감을 얻어 행렬역학(Matrix mechanics)을 창시했다. 탄생 자체가 측정만 염두에 두고 만들어져서 그런지 양자역학에서 측정에 대한 모든 가정들은 행렬역학에서 유래하였다. 고전역학과 양자역학이 대비되는 대표적인 특징인 '측정의 결과는 고유값(eigenvalue) 중 하나이다'가 행렬역학의 핏줄을 이어받은 것이다.
 
두 접근법을 잘 드러낼 수 있는 고전역학적인 예는 1차원상에서 두 질점이 후크의 법칙(Hooke's law)에 따라 상호작용을 하는 경우다. 다음 그림을 보자.
 

x가 이상하게 쓰인건 무시하자

 
평형거리를 s라고 둔다면, 위 상황에서 운동방정식은 다음과 같다.
 

$$m_1\ddot{x_1}=k(x_2-x_1-s)\\m_2\ddot{x_2}=-k(x_2-x_1-s)$$

또는,

$$m_1\ddot{y_1}=k(y_2-y_1)\\m_2\ddot{y_2}=-k(y_2-y_1)\\y_1\equiv{x_1},~ y_2\equiv{x_2-s}$$

 
슈뢰딩거의 해법은 위 두 방정식을 더하고 빼서 각각 하나의 변수에만 의존하는 방정식으로 만드는 것이다. '직접적인 해법'이라고 할 수 있을 것이다.
 

$$\ddot{(m_1y_1+m_2y_2)}=0 \\\ddot{(y_1-y_2)}=-\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}(y_1-y_2)$$

 
윗식은 운동량 보존에 해당하고, 아랫식은 환산질량으로 쓴 운동방정식이다. 한편, 행렬을 이용한 해법도 존재한다. 이 방법이 하이젠베르크가 도입한 행렬역학의 아이디어이다. 첫 식을 이렇게 변형하면
 

$$\ddot{y_1}=\frac{k}{m_1}(y_2-y_1)\\\ddot{y_2}=-\frac{k}{m_2}(y_2-y_1)$$

 
행렬을 이렇게 쓸 수 있다.
 

$$\ddot{X}=AX \\X=\left( \begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array} \right) \\A=\left( \begin{array}{cc} -\frac{k}{m_1} & \frac{k}{m_1} \\ \frac{k}{m_2} & -\frac{k}{m_2} \end{array} \right)$$

 
이 경우 해가되는 벡터 X는 A의 고유벡터(eigenvector)의 선형조합으로 쓸 수 있다. 기본적인 아이디어는 해를 정상상태를 나타내는 벡터들을 조합해 나타내자는 것이다. 우린 먼저 조화진동자의 (정상상태의) 해가 다음과 같은 꼴로 쓰일 수 있다는 것을 알고있다.[각주:4]
 

$$y=A\cos(\omega{t})+B\sin(\omega{t})$$

 
이 해를 추상화(?)하면 이렇게 쓸 수도 있다.
 

$$y=Re[Ae^{i\omega{t}}]$$

 
여기서 A는 복소수이다. 그리고 미분은 복소수를 켤레복소수로 만드는 과정과는 무관하므로(그러니까 어떤 복소함수를 미분한 다음 켤레복소수를 취하는 것이나 켤레복소수를 취한 복소함수를 미분하나 결과는 같으므로) 시간에 대한 2계미분은 다음과 같이 쓸 수 있다.
 

$$\ddot{y}=\frac{d^2}{dt^2}Re[Ae^{i\omega{t}}]=Re\left[\frac{d^2}{dt^2}\{Ae^{i\omega{t}}\}\right]=Re[-\omega^2Ae^{i\omega{t}}]$$

 
전기공학에서 쓰는 phasor 기법이라고 생각하면 된다. 어쨌든 이 과정에서 힌트를 얻자. 먼저 해 벡터 X를 시간과 관련된 부분만 따로 빼낼 수 있다고 생각하는 것이다.
 

$$X=\chi{e^{i\omega{t}}}~,\frac{d}{dt}\chi=0$$

 
여기서 $\chi$는 시간에 무관한 열벡터이다. 어찌되었든 이런 형태를 취하고 나면 위의 미분방정식은 고유값 문제(eigenvalue problem)가 된다.
 

$$\ddot{X}=-\omega^2X=AX\\(A+\omega^2I)X=0$$

 
그렇다면 고유값은? 고유값은 바로 각진동수의 제곱이다(부호는 반대). 고유값을 계산해보면 0과 $$\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}$$을[각주:5] 얻고, 각자 평행이동과 서로에 대한 진동을 나타낸다는 것을 알 수 있다. 물론 해는 전의 방법과 전적으로 일치한다.
 
한가지 의문인 것은, 왜 측정하면 그 측정값의 고유벡터중 하나로 수렴할 확률이 그 고유벡터 계수의 절대제곱(absolute square)에 비례하냐는 것이다. 지금 당장은 신호를 퓨리에(Fourier)변환을 통해 주파수에 따라 분류하면 그 주파수대가 갖는 에너지가 절대제곱에 비례하기 때문에 거기에서 유래했으리라 추측하고 있지만 확실하지는 않다. 아무래도 조금 더 공부를 해야 할 것 같다.
 
첨언하자면 파동함수의 절대제곱이 확률밀도함수로 해석되게 된 이유 또한 행렬역학의 핏줄을 따라 내려온 것이라는 점이다. 왜 그런지는 독자의 몫으로 남겨 둔다.[각주:6] 쓰기 귀찮아서...

2012.11.08
추가할 내용은 새 글로 올리기로 했다. 다음 글도 읽어보시길.

2012/11/08 - 양자역학의 유래(2)

 

  1. 이 표기법을 이용하게 되면서 상태를 더욱 다양한 방식으로 나타낼 수 있게 되었고, 상태를 더욱 직관적으로 인식할 수 있게 되었다. [본문으로]
  2. 파동을 e와 허수 i를 이용한 지수함수로 나타낼 경우 진동수(파수)는 미분으로 얻어진다. 슈뢰딩거 방정식을 쓸 경우 허수의 도입이 절대적인 이유이기도 하다. [본문으로]
  3. 원래 슈뢰딩거는 이 방정식이 시간에 대해서는 1계미분방정식이라는 것을 못마땅해했다고 한다. 그것도 그럴 것이, 위 형태의 방정식은 로렌츠 변환에 일정하지 않기 때문이다.(더불어 고전적인 파동을 나타내는 방정식은 시간에 대해 2계미분항을 가지고 있다.) 상대론적 양자역학으로 넘어가면 클라인-고든 방정식(Klein–Gordon equation)이 이 대칭을 갖기는 하지만, 이 경우는 2계미분방정식이라는 것이 문제이다. 자세한 내용은 다른 곳을 참조하시길. [본문으로]
  4. 잠깐 이 문제를 벗어나고 있다. 일반적인 하나의 물체가 용수철로 벽에 연결된 상태를 생각하시길. [본문으로]
  5. 부호는 반전시켰다. [본문으로]
  6. 힌트: 함수는 무한한 행을 가진 열벡터로 쓸 수 있다. 아마 교재를 가지고 공부한다면 거기에 잘 나와있을 것이다. 그런데 실수라는 연속체를 그렇게 쓰기는 힘들텐데 -_-;; [본문으로]
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2010. 1. 19. 21:30 Physics/Speculations

복소수의 필연성

글을 쓰다가 깨달은 건데, 양자역학에서 허수의 도입이 필연적인 이유는 광양자의 에너지가 고전적인 파동의 에너지와는 다르게 진동수에 선형적으로 비례하기 때문일지도 모른다는 생각이 들었다. 광양자는 그 근본이 상대론적인 입자라서 고전적인 양자이론으로는 기술하는 것이 힘들긴 하지만...

어쨌든 되도록이면 빨리 글을 끝내야지 -_-
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2010. 1. 19. 12:35 Daily lives

근황 및 최근 사회 감상(?)

제주도를 다녀왔습니다.

3박4일로 다녀오면서 한 35km는 가뿐이 걸은 듯 하지만 다리는 다리꼬아 앉을 때 빼고는 별 이상이 없네요. 아, 발바닥은 제외. 학기중이었다면 거의 일이주일치를 이틀만에 걸은 셈이니 이러는 것이 무리는 아니지만, 친구처럼 근육이 끊어지는 느낌은 없네요.

시공간상의 거리에 대해 글을 쓰기로 약속했었던 느낌이 들지만 아마 기분탓일거라고 생각하고(그 이전에 만족할만한 글이 안 나오기도 하지만) 반 정도 적다가 말았던 고전적(?) 양자역학이 어떻게 모습을 갖추었는가에 대해 써보려고 합니다. 파동함수가 도입된 계기라던가는 이미 다들 잘 알고 있지만 어째서 고유값이 측정값과 관련이 있는지, 왜 파동함수의 절대값의 제곱이 밀도함수가 되는지 알려주는 사람은 없는 듯 싶더군요. 그래서 나름대로 추리해본 결과물을 적어보려고 합니다.

책은 Hitchhiker's guide to the galaxy(은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서)를 얼마 전에 다 읽고 이제는 얼마 전에 산 Brave new world(멋진 신세계)를 읽고 있습니다. 한글책은 얼마 전에 『법을 보는 법』을 읽었네요. 추천도서 목록(아마 블로그 오른쪽에 있는 것 같은데) 업데이트를 해야겠습니다. 역시 히치하이커는 말장난이 일품이더군요. 2권을 살까 말까 고민중입니다. 멋진 신세계는 3장까지인가 읽은 것 같은데 소름끼치네요. 당시에는 첨단이었을 기술과 이론들을 그렇게 잘 이해하고 작품 속에 녹여낸 사람이 있다는 것이 인상적입니다. 그런데 한국에서는 고등학교 때부터 과학만 배울 사람과 사회만 배울 사람이 나뉘어지죠. 우린 안될꺼야 아마(...)[각주:1]

그것보다도 학교가 세종시로 옮겨가게 생겼네요 -_- 군대갔다와야 하는데 ㅠㅠ

이전에도 말했던 것 같은데 대한민국에서 이공계는 소모품으로 취급하는 것 같습니다. 또 이전에도 말했지만 자원없는 나라는 기술로 먹고 살던지 문화로 먹고 살던지 금융으로 먹고 살던지 해야 할 것이라고요. 그런데 한국은 막장드라마가 판을 치는 안팔리는 문화에[각주:2] 금융업은 이미 때려쳤고 기술로 먹고살아야 할 판에 이공계를 무시하잖아? 우린 안될꺼야 아마 ㅠ
  1. 그런데 외국에는 학부 전공이 인문학이면서 대학원을 물리로 전공하는 사람들이 있다는 것을 생각해보면 정말 답이 없는 것일지도... [본문으로]
  2. 이전에 어떤 일본인과의 인터뷰를 보니까 그러더군요. 한류는 일시적인 문화일 뿐이라고. 정말 그렇습니다. 대한민국만의 원류 문화가 있나요? 그런게 없다면 문화 가공이라도 잘해먹으면 모르겠는데, 그런 건 없고 막장드라마만 제조하고 있는데 무슨 문화를 팔아먹어요. 괜히 미드 일드 이런 신조어 생겨난게 아닙니다. [본문으로]
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2010. 1. 13. 15:27 Mathematics

무한대의 비교: 자연수와 실수

당장 수중에 책이 없어서 확인하지는 못하겠지만, 동화(?) 『수학귀신』의 9번째 장에는 아픈 아이의 방에 무한히 많은 숫자들이 몰려드는 이야기가 나온다. 이때 수학귀신이 한마디 던진다. '여기 중에서 제일 많은 숫자는 누구일까?'

이제 와서 돌이켜보면 무한히 많은 원소를 가지는 집합들의 크기를 비교하는 방법을 다룬 이야기였다. 1부터 5까지의 범위 안에 있는 자연수의 수와 홀수의 수는 확실히 비교할 수 있다. 하지만 우리가 다루는 구간이 무한히 나아간다면 어떨까? 얼핏 생각한다면 홀수가 더 적어 보인다. 홀수의 집합은 자연수의 집합의 부분집합이기 때문이다. 그런데 문제는 무한이라는 수(?)는 그 자체로 대소를 비교할 수 없다는 것이다.

문제를 조금 바꾸어서, 셋까지만 셀 수 있는 사람이 수만명으로 이루어진 두 집단의 크기를 비교하는 것으로 바꾸어 보자. 어떤 방법을 쓰면 두 집단을 비교할 수 있을까? 가장 간단한 방법은 서로 다른 집단의 한 사람과 손을 잡도록 시킨 후, 손이 빈 사람이 있는지 살펴보는 것이다. 두 집단을 편의상 갑과 을이라고 부른다면, 갑 집단의 사람이 많다면 갑 사람 중 손이 을 사람을 찾아 헤메는 사람이 있을 것이고 을 집단의 사람이 많다면 그 반대일 것이다.

물론 우리는 꽤 큰 숫자까지 셀 수 있다. 하지만 그 수를 무한과 비교해본다면, 수만 중 셋조차도 되지 못한다. 따라서 숫자 집합의 크기를 비교할 때에는 고민할 수 밖에 없다. 어떻게 해야 그 둘을 비교할 수 있을까? 앞선 문제에서 이미 눈치를 챈 독자도 있겠지만 나처럼 눈치가 매우 없는 사람들을 위해서 설명하자면, 그 숫자를 서로 묶어주는 것이다. 한 집단의 모든 원소에 대해 다른 집단의 원소를 묶어줄 수 있다면, 두 집단의 크기는 동일하다. 간단하게 자연수와 홀수를 비교해보자.


우리의 직관은 이렇게 홀수(아랫줄)구간에 빈 자리가 생기기 때문에 홀수가 당연히 더 적을 것이라고 생각한다. 하지만 과연 그럴까? 이번에는 이렇게 줄세워보자.


이번엔 자연수(윗줄)이 적어 보인다. 보이는 것이 전부는 아닌 것이다. 어떻게 해야 크기를 제대로 비교할 수 있을까? 답은 이렇다. '어떻게 줄을 세우더라도 한 쪽이 남는다면, 그 쪽이 크다' 자연수와 홀수는 이렇게 줄세우면 양쪽이 하나도 남지 않게 할 수 있다.


이런 식으로 끝까지(?) 나아갈 때, 나오지 않는 자연수와 홀수는 존재하지 않는다. 따라서 자연수와 홀수 집합의 크기는 동일하다. 이런 식으로 모든 소수의 집합과 모든 정수의 집합, 모든 유리수의 집합과 모든 제곱수의 집합 등이 전부 자연수 집합과 동등한 크기를 갖는다는 것을 증명할 수 있다.

유리수를 세는 방식. 2/2는 지워야 하겠지만 규칙성을 볼 수 있도록 놓아두었다.
분모와 분자의 합을 일정하게 하고 분모를 하나 뺀 뒤 분자를 하나 더하는 방식이다.

하지만 실수가 출동하면 어떨까?

나는 구식이다 OTL

실수 전체와 자연수를 비교하려면 힘이 매우 많이 든다. 먼저 0과 1 사이에 존재하는 모든 실수에 대해서만 자연수와 비교하도록 하자. 시작할때는 널럴하게 아무 실수나(전에 나온 것을 빼고) 골라서 자연수와 연결해준다. 다음처럼 말이다.


이대로라면 모든 실수를 연결해 줄 수 있을것만 같다는 기분이 든다. 과연 그럴까? 다음 실수가 자연수와 연결되었는지 확인해보자.

소수점 첫 째 자리는 1과 연결된 실수의 소수점 첫 째 자리와 다르고
소수점 둘 째 자리는 2와 연결된 실수의 소수점 둘 째 자리와 다르고
소수점 셋 째 자리는 3과 연결된 실수의 소수점 셋 째 자리와 다르고
소수점 넷 째 자리는 4와 연결된 실수의 소수점 넷 째 자리와 다르고
[...]
위에서의 예: 0.32436....

실수는 소수점 아래 무한한 자리의 숫자가 있고, 위의 실수는 지금 연결된 모든 실수와 최소한 한 자리는 차이가 나기 때문에 자연수와 전혀 연결되지 않았다. 그렇다면 이 수를 먼저 연결해주면 될 것 아닌가? 그런데 그러면 위와 같은 방법으로 구한 또 다른 수가 생길 것이고, 결국 어떤 방법을 쓰더라도 실수와 자연수를 연결하면 실수가 남는다는 것을 알 수 있다.(지금 실수는 0과 1 사이에서만 생각하고 있었다는 것을 생각하면 까마득하다.) 더군다나 이런 방식을 응용해서 찾을 수 있는 소수는 무수히 많다. 어떻게 연결해 주더라도 실수 중에서는 자연수 짝을 찾지 못한 솔로부대가 존재해야만 한다는 것이다.(그것도 매우 많이) 우리는 결국 실수의 집합은 자연수의 집합보다 크다는 결론을 내릴 수 밖에 없다.[각주:1]

우리는 지금까지 무한대의 크기를 비교했다. '실수 집합의 원소의 수'라는 무한과 '자연수 집합의 원소의 수'라는 무한 사이에는 같은 무한이더라도 분명한 크기 차이가 존재한다는 것을 보였다. 그렇다면 두 무한 사이에 존재하는 무한도 있을 수 있을까? 이 문제는 힐베르트의 난제중 하나(1번)이다. 이미 그 해답은 얻어졌지만, 공부를 안해서귀찮은 관계로 이 문제는 기약없는 다음으로 미루어두기로 한다.


20100304 추가
이 정리는 칸토르의 작품이었다고 한다. 좀 더 엄밀한 정리.
  1. 첨언하자면 무리수의 집합 중 근(root)으로 나타낼 수 있는 수들의 집합은 자연수의 집합과 같은 크기를 갖는다. 왜 그런지는 독자들의 몫으로 남겨둔다. 힌트: 모든 근으로 이루어진 수들은 정수를 계수로 갖는 다항식의 해이다. [본문으로]
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2010. 1. 7. 21:43 Daily lives

그냥 생각난 이야기

1. 유체역학
다들 알다시피 서울지하철 1호선은 평지를 신나게(?) 달리죠. 눈이 신나게 온 다음날 세류역에서 지하철을 기다리고 있는데 반대편에서 열차 한대가 신나게 지나가더군요. 눈이 온 뒤라 열차가 지나가면서 눈가루(?)가 흩날리는걸 보았는데 가장 먼저 드는 생각은 'no slip condition'[각주:1](...)
그런데 정작 지나가는 기차를 보면 이런 생각 할 정도로 공부했던 유체역학 학점은 B였다는 것이 또 다른 아이러니(...) 처음부터 turbulence를 떠올릴 정도로 공부했다면 A를 받을 수 있었으려나...

2. 스타크래프트
무한도전보다 스타리그를 더 즐겨보는 덕분에 마지막으로 스타한지 1년이 넘어가는데도 마이크로컨트롤은 잘 되는군요.(운영을 엄청 못하기 때문에 ㅈ망) 그런데 왜 난 스타를 무지 못하는 편인데 친구들과 개인랜덤컨트롤을 하면 내가 라이프가 가장 많이 남아있지...
그것보다 헌터에서 앞마당만 먹고도 4배럭 3팩은 가뿐히 돌려야 하지 않나요(4:4에서 8배럭 무한마린메딕을 '본진자원으로만' 돌려본 경험이 있는 1人)[각주:2] 왜 다른애들은 멀티 세개씩 먹고도 그렇게 못돌리지 -_-;; 덕분에 컴퓨터에게 신나게 발렸던 어젯밤 음주스타 ㅠ

3. 수학
군론공부를 조금 하고 있는데 '모든 군을 행렬로 나타낼 수 있다'는 부분을 보고서 의문. 동일한 공리를 두고서 시작한다는 것은 알겠는데 그렇다고 항상 동일한 결론을 내릴 수 있을까? 표현 방식도 드러나지는 않지만 하나의 제약을 걸어두는 것일텐데 과연 표현 방식이 결론에 영향을 미칠 수는 없는지 궁금하다.
그냥 그러려니 하고 군론공부를 계속하다가 '아 더이상은 안되겠어 행렬공부하지 않으면'이라는 생각이 들어서 지금은 행렬을 다시 보고 있습니다. 확실히 뒷 부분은 배우다 만 부분이군요.

4. 글
다 쓰고 나서 이 글 읽어보니 어투 신나게 바뀌고 엉망이네요 -_-;;
  1. 유체와 강체가 맞닿아 있을때 경계면에서 유체의 속도는 강체의 속도와 동일하다는 경계조건. 물 속을 손으로 휘저을 때 손에 맞닿아 있는 부분의 물은 손과 같이 움직인다고 생각하면 됩니다. [본문으로]
  2. 이때 인구수 100의 마린메딕이 중앙에 바글바글 차있는 모습이 인상적이었죠 -_- 탱크가 지키고 있는데 무시하고 돌진 ㄷㄷ [본문으로]
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2010. 1. 4. 22:43 Interests/RubiksCube

가진 큐브들에 대한 간단한 잡담

1. Rubik's 25th Anniversary

07년에 샀으니까 한 2년 정도 된 노익장. 따다닥 거리는 스피드큐빙에 전혀 어울리지 않는 노벨큐브를 제외하고는 처음으로 산 큐브. 느낌이 가볍고 회전력도 좋지만, 제건 왜 그런지 모르겠지만 스프링 소리가 난다. 오래되어서 그런가...
요즘은 너무 길들였더니 심심하면 폭발한다. 장력조절이 안되어서 안습...

2. 2007 한국큐브연구회배 큐브 챔피언쉽 대회 기념 큐브
두 번째 큐브. 기념큐브인지라 잘 안 쓰는것도 있지만, 느낌이 루빅스에 비해 무거워서 더 손이 안 가는 큐브. 돌아가는 것이 뻑뻑하다는 것이 아니라 그냥 큐브 자체가 더 무거운 것처럼 느껴진다. 아마도 모든 모서리 조각이 막혀있기 때문에 그런듯.(루빅스는 한쪽만 막혀있죠) 왜인지는 모르겠지만 기름이 묻어있는 듯한 느낌이 드는 스티커의 촉감 때문에 더 안 쓰게 됨. 손가락으로 쳐주면 딱딱 90도 돌아가는 것이 좋기는 하지만(루빅스는 내가 힘조절을 못하는 것인지 항상 중간에 걸리더군요) 앞의 이유 때문에 손을 안 댄다. 이후에 더 괜찮은 큐브를 산 것도 있고...

3. Rubik's Revenge

그 사이에 새로 디자인한 모양. 내껀 25주년에 붙어있는 로고와 똑같은 로고가 붙어있는 형태. 꽤 오래 전 것이라 내부구조도 매우 다른 것 같은데(사실 열어보지는 못했지만)... 스피드큐빙은 때려친 녀석. 한번 맞추는데 4분정도 걸리고 그나마도 운이 따라주어야 성공. 아직도 토끼이빨 공식을 제대로 외우지 못해서...(외우긴 했는데 금방 금방 잊어버림) 이것도 꽤나 시간이 걸리는데 555를 2분내로 맞추는 사람들을 보면 신기하기만 할 뿐...

4. 2007 한국큐브연구회배 부산큐브대회 기념 큐브 (피라밍크스)

너무 쉬워서 안 건드린다. 333 스피드큐빙을 연습하고 있을 정도로 능숙하게 하게 되니까(최고기록이 30초대면 뭐) 이건 그냥 직감으로도 풀 수 있을 정도. 현재는 집에서 한 꼭지가 날아가는 바람에 장롱큐브가 되었다.

5. YJ 미러블럭 실버

사실상 일반적인 333과 다를 바 없는 큐브이지만, 재미있다. 색이 없이 크기만 보고 맞추어야 하는지라 눈 감고도 맞출 수 있고(시간은 매우 많이 걸리지만). 크기를 보고 맞추어야 한다는 사실 때문에 풀다가 많이 헤매기도 한다.
그런데 왜 볼때마다 얘가 생각나지...

Videos tu.tv
(생각해보니 에바 파는 결국 못 보는구나...ㅠ)

5. Rubik's 3x3 White Assembly

루빅스 조립형. 이건 장력조절이 된다. 그런데 내가 샀던건 축이 흰색이고 캡이 저것보다는 더 잘 달라붙게 생긴 거였는데...(그냥 끼워 넣어도 어느 정도 중앙 조각에 잘 달라붙는 구조) 어쨌든 덕분에 장력조절이 가능한 루빅스 탄생.
장력조절은 실패했다. 조만간 장력을 다시 조정하는 시간을 가져야 할듯. 어째 가진 25주년보다도 더 쉽게 폭발하는 것 같다. 물론 회전감은 비교가 안 되게 좋지만... 모서리조각 한쪽이 열려있는 탓에 조립하는데 살짝 애먹었다. 느낌상 25주년과 장력조절을 제외하면 큰 차이는 없는 것 같다. 색이 예쁜게 장점이라면 장점이랄까?
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2010. 1. 4. 21:28 Writer

대한민국이 살아남을 방법?

발단 : 「W 이론」의 창시자 - 서울工大 李冕雨 교수의 경고
부제 - 理工系 기피 현상은 한국이 조선시대로 돌아가고 있다는 증거 (월간조선)

2004년 글. 자주 들르는 커뮤니티에 올라왔길레 짧은 감상평.

1. 기술은 중요. 자원이 없으면 희귀한 기술이라도 가져야지.
2. 이공계 답이 없는것도 정답. 그런데 이 문제는 복합적인 거라서 이공계 input이 과도하게 많다 + 위에서 기술의 중요성을 모른다 두가지를 동시에 해결해야 한다.
3. 기술도 중요하긴 하지만 더 쉽게 먹고사는 법도 있다. 문화. 물론 문화를 뒷받침할 기술이 있어야 한다는 점에서[각주:1] 근본적으로는 기술이 문제라고 볼 수 있을지도.

1, 2번은 대충 넘어가고, 3번은 이런 것이다. 잘 만든 영화 한편 팔아먹으면 자동차 수십만대를 팔아도 별 볼일 없어 보이게 만드는 것이랄까? 영화는 나름대로 잘 나가고 있는 것 같기는 하지만, 문학을 생각해보면 정말 답이 없다. 우리는 브라질의 소설을 서점에서 돈 주고 사 읽는동안(대표작가 파울로 코엘료) 브라질의 사람들은 대한민국 소설가의 소설 제목을 알기나 할까? 미국이나 서유럽은 세계경제의 틀을 짜는 문화권이니 그쪽에서 우리를 전혀 모르는 것을 그렇다 치더라도, 브라질 정도면 대한민국하고 대충 경제/문화수준은 비슷할 것 같은데.[각주:2] 옆나라 일본은 일단 경제수준의 차이가 크다고 하더라도 1Q84가[각주:3] 영문위키백과에 등록되어 있는 것을 보면 일본 문학쪽은 꽤 잘 나가고 있는 것 같다. 왜 이런 문제가 생긴걸까?

사실 이런 이유는 만들어서라도 댈 수 있다. 이미 후발 주자가 따라잡지 못할 정도로 선도그룹이 시장을 장악하고 있어서일수도 있고, 다른 방향으로는 패배주의자들이 말하는 국민성도 댈 수 있다.[각주:4] 하지만 내가 보기에 가장 큰 문제는 여유가 없다는 것이다. 특히 경제적인 여유. 대한민국의 모든 문제가 여기에서 출발한다. 미친듯한 입시경쟁도 결국 '대학 못 들어가면 거지 꼴을 못 면하니까' 그런 것이고, 인문학과 순수과학이 고사하다 못해 화석까지 증발해버릴 정도인 이유도 '그거 전공해서 거지 꼴을 못 면하니까' 그런거다. 어떤 의미로는 마르크스가 말한 '경제적 토대가 사회를 규정한다'(맞나?)가 정확했다고 할 수 있다. 물론 그의 결론은 아직도 틀렸다고 생각하지만.[각주:5]

결국 나는 좀 더 많은 임금인상이 이루어져야 한다고 생각한다. 모두가 부자가 되는 것은 불가능하지만, 모두가 야근없이 일주일에 8시간씩 5일 일하고 취미 하나에 몰두할 수 있는 삶을 사는 것은 적어도 불가능하지는 않다. 특히 대한민국의 경제수준을 생각해 볼 때, 그렇지 않다는 것이 오히려 이상한 일 아닐까?

뭐, 어차피 실현될 가능성이 없는 거울 속 나라의 이야기일 뿐이다. 작년에 신입사원 연봉을 얼마나 깎았더라?
  1. 인터넷이 대표적인 예이겠지만, 산업혁명 이전이라도 기술은 문화의 형성에 매우 중요했다. 예컨데 우주를 정교한 시계에 비유하는 세계관은 기계적인 시계가 없었다면 나타나지 않았을 것이고, 세계관은 문화의 가장 큰 중심축 중 하나이다. 더불어 도시가 형성될 수 있는 각종 기술들이 발달하지 않았더라면 우리의 삶은 현재와 매우 달랐을 것이다. [본문으로]
  2. GDP에서는 밀리지만 1인당으로 따지면 월등히 앞선다. [본문으로]
  3. 읽어보진 않았지만 광고를 찌라시 뿌리듯이 하니 모를 수가 없더라 -_- [본문으로]
  4. 사람이 달라야 얼마나 다르다고 그런 소리를 해 대는지는 모르겠다. 문화가 다르다는 것은 납득이 가기는 하지만 문화야 바꾸면 되는거 아닌가. [본문으로]
  5. 요즘 책을 읽다가 보니 내가 공산주의에 대해 오해했었던 부분이 있다는 것을 인정하게 되었지만, 결국 불가능하다는 생각은 변함이 없다. 개인적인 재산과 생산에 사용되는 자본을 엄밀히 구분할 수 있을까? 미래에 기술이 발달하면 한 사람이 하나의 공장만한 생산성을 갖추게 될 날이 언젠가는 올 것이고, 그가 그렇게 미사여구로 극찬하던 공산주의 세계는 헌법을 뒤적거리지 않는 한 복지가 매우 강화된 자본주의 세계와 구분할 수 없을 것이다. [본문으로]
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2010. 1. 4. 20:16 Daily lives

눈이 왔네요

나가지도 않으면서 길 미끄럽다고 불평하는 난 늙어버린 건가요 OTL
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2010. 1. 1. 15:14 Daily lives

새해 두번째 글

새해 하는 일마다 행운이 가득하기를 빕니다 ^^


새해 첫 글이 좀 난감하네요 -_-;;;
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2010. 1. 1. 02:20 Physics/Concepts

자기 단극자, Dirac String, 기타 등등

1. Aharanov-Bohm 효과(AB효과)
AB효과는 자기장이 무시할 만큼 작은 공간에서도 자기장의 Potential함수 때문에 입자의 위상이 변화하는 것을 말한다. 물리적으로는 자기장보다는 그 자기장의 원함수(Potential)가 실제 영향을 미친다는 것을 의미한다. 여기까지는 학부 수준의 양자역학에서 배우는 내용이다. 보통은 무한솔레노이드 주변에서 이 효과를 증명하는데, 무한솔레노이드의 한 방향을 따라 움직였을때 위상과 반대 방향으로 움직였을때 위상차이는 솔레노이드 안에 흐르는(?) 자속(Magnetic flux)에 비례한다.

2. Dirac String
재미있는 것은, 무한솔레노이드에서 AB효과가 존재하더라도 솔레노이드가 특정값의 자속을 갖는다면 그 위상차이가 정확히 한바퀴(2pi)가 되어서 알 수 없다는 것이다. 이런 경우를 두고 솔레노이드가 투명하다고 할 수 있다. 만약 이 솔레노이드의 자속을 일정하게 유지시키는 대신 반지름을 0으로 무한히 줄인다면 솔레노이드의 양 끝은 자기 단극자(Magnetic monopole)처럼 보일 것이다(그 사이를 잇는 솔레노이드는 투명하니까). 이것을 Dirac String 이라고 부른다. 이것을 이용해 Dirac은 자기단극자가 만약 존재한다면 전하의 양자화는 당연하다는 것을 보였다.(역사적인 순서는 반대였던것 같다.)

3. 문제
그렇다면 문제를 뒤로 돌려서, 처음부터 자기 단극자가 존재한다고 가정하면 어떻게 될까? 위에서 얻어진 결과물은 본래 자기 단극자가 존재하지 않는다는 가정에서 출발한 것이다. 이 경우에도 위와 같은 결과물을 얻을 수 있을까(물론 얻어야만 한다. AB효과는 실험적으로 검증되었다.)?

가장 큰 문제점은 양자역학이 전기장과 자기장으로 쓰여있지 않다는 것이다. 전자기에서 Hamiltonian은 전기장과 자기장의 원함수로 쓰여진다. 결국 처음부터 자기 단극자가 존재한다고 가정하려면 당장 Hamiltonian을 구하는 것이 급선무인 셈이다. 그런데 자기 단극자가 존재한다고 가정했을 때 과연 전기장과 자기장의 원함수를 구할 수 있을까?

1학년 때 수업을 들으면서 요즘은 특이점이 있는 경우를 주로 연구한다고 들었던 것 같다. 자기장의 원함수를 scalar 함수로 쓰는 경우도 있었는데, 이 경우 특이점이 문제가 되었던 것으로 기억한다. 자기장이 어떤 scalar potential을 원함수로 가지므로 어떤 loop를 따라 적분하든지 0이 되어야만 하는데, 잘 알다시피 Ampere의 법칙은 이 조건을 무참히 부셔버린다. 이 경우 특이점은 전류가 흐르는 도선이다. 이런 특이점을 어떻게 해쳐 나가야 할 것인지가 문제인 셈이다.

결론은 결국 위상수학도 보아야 하는건가(...)
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2009. 12. 30. 23:29 Interests/RubiksCube

어느 큐브를 질러야 잘 질렀다고 소문이 날까

급 뽐뿌가 도졌다.


하악

그런데 한국에서는 루빅스꺼를 팔지는 않는 것 같다. 큐브엔조이에서 팔기는 하는데 여긴 처음 들어보는 완구회사이고(...) 어차피 루빅스도 중국에서 만들기는 하지만.

그리고...


...

이건 미친짓이야
난 여기서 나가야겠어(?)
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Posted by 덱스터

2009. 12. 29. 22:06 Daily lives

학점이 나온다 -_-+

계절학기도 안 듣는지라 완전히 잉여로운 삶을 만끽하고 있습니다.

어쨌든 어제 이리저리 돌아다니느라 힘들었지만 어떻게 성적을 살짝 올리게 되었네요.(숙제성적을 제대로 입력 안 한 조교탓도 있지만...) 그리고 최악을 기대하면 좋은 일만 생긴다더니 예상보다는 성적이 잘 나온 것 같습니다(물론 전공 하나가 가정한 최악보다 더 안 나온게 슬프긴 하지만). 문제는 그래도 역대 성적중 최저라는거(...)

체력을 길러야 하는데 운동장은 눈이 와서 질퍽거리고 해야하는 공부보다는 나중에 해야 할 공부가 손에 잡히고 왜 이리 머리가는대로 마음이 움직이지 않는지...쩝


수리물리 책을 한권 질렀습니다. 그 유명한 Arfken 수리물리 -_-+

IE(International Edition)이 있었군요. 덕분에 상당히 싼 가격으로 샀습니다. Goldstein 역학을 살까 하다가 역시나 수학이 문제야(...)라는 생각이 들어서 결국엔 수리물리로 낙찰. Sakurai 양자책도 끌리긴 했지만 이미 Shankar책이 있는지라 또 사기 애매하더군요(되도록이면 전공책은 최소한으로 사고 제대로 파자는 주의라서...).

그런데 생각해보니 전공서적은 대부분 4~5만원 선에서 평준화되어있다는 느낌이...
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Posted by 덱스터

2009. 12. 28. 18:13 Writer

자본주의 세상에서 산다는 것 & 줏어먹는 조선일보

학점이 잘 안 나와서(여러 일이 겹쳐 바빴던 것도 있지만) 기분이 그렇지 않아도 다운되어 있는데 문화일보에서 다음 기사를 냈더군요.

해돋이 명소 모텔 ‘1박에 16만원’ (문화)

싸이월드에서 본 기사인데, 댓글들 보다가 그냥 시비 한번 걸어봅니다. 법으로 저런 것 막아야 한다고 댓글(그것도 베스트 2위)을 올리는 사람들이 있더군요. 그런데 미안하지만, 이게 자본주의거든요? 싫으면 혁명 일으키던가.(나쁘지 않은데?)

더불어 줏어먹는 조선일보.

호텔비만큼 비싸네… 해돋이 명소 모텔 1박 16만원(조선)

조선일보는 불리해보이는 기사는 다 '어디서 저런대더라'라고 쓰는 습성이 있는듯. 기분탓이겠죠.
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Posted by 덱스터

2009. 12. 28. 01:21 Writer

아바타: 그래픽 말고는 건질 것 없는 영화

아바타 - 6점
제임스 카메론

25일의 금요일 이후 첫 글이네요.(24일은 목요일, 25일은 금요일...)

제목이 전부입니다. 진짜 그래픽 말고는 건질 것 하나도 없는 영화. 덕분에 가장 기억에 남는 장면은 첫 장면뿐이네요. 얼굴 앞에서 물방울이 떠다니는 장면이죠. 3D 안경을 쓰면 화면 위에 물방울이 떠다니고, 안경을 벗으면 얼굴이 보이고 물방울은 나뉘어 보이고.(아니면 딱 두 장면이 전환될 때 안경을 쓴 것이거나)

그래픽은 일단 넘어가고, 내용은 조금 마음에 안 드는 부분이 있더군요. 스포일러 위험.


제가 기분 나빠서 이런 평가 내리는 것은 아닙니다. 연말에 이리저리 치여사는게 짜증나긴 하지만...
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