각종 변환들

Mathematics 2009.12.15 19:36
좌표변환과 같이 물리적인 의미가 있는 변환 말고 수학적인 변환 위주로 정리.

1. Legendre 변환
고전역학에서는 Hamiltonian에 쓰인다. 열역학에서도 Enthalpy나 Gibbs 자유에너지, Helmholtz 에너지 등에서 나타난다. 미분방정식에서 변수를 바꾸는 데 이용한다.

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=d%5Ceta%3DFd%5Cphi%2BGd%5Cpsi%5C%5CF%5Cequiv%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Ceta%7D%7B%5Cpartial%5Cphi%7D%2C~G%5Cequiv%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Ceta%7D%7B%5Cpartial%5Cpsi%7D

여기서 http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cpi%5Cequiv%5Ceta-G%5Cpsi라고 정의해주면

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=d%5Cpi%3Dd%5Ceta-d(G%5Cpsi)%3DFd%5Cphi%2BGd%5Cpsi-%5Cpsi%7BdG%7D-Gd%5Cpsi%5C%5Cd%5Cpi%3DFd%5Cphi-%5Cpsi%7BdG%7D

이처럼 변수가 바뀌게 된다.


2. Fourier 변환
파동역학 쪽에서 주로 쓰는듯. 양자역학에서는 basis를 위치에서 운동량으로(또는 역으로) 바꿀 때 이용한다. FFT(Fast Fourier Transform)이라고 해서 소리 정보를 디지털 정보로 변환해 저장하는 데 응용하기도 하는 것 같다. 진동 쪽에서도 공명주파수를 구하기 위해 쓰이는 것 같으나 자세한 것은 불명.

기본적으로는 Fourier series에서 주기를 무한대로 확장한 것이다. 때문에 전체구간에서 적분한 값이 존재하지 않으면 쓸 수 없다. 변수는 실수.

 \hat{f}(\omega) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{- i\omega\cdot x}\,dx f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\omega) e^{ i\omega \cdot x}\,d\omega.
Wikipedia: Fourier transform

위는 일반적인 n차원에서 Fourier 변환을 나타낸다.[각주:1] 위의 것은 Fourier 변환, 아래 것은 역 Fourier 변환이라고 불린다. 변환시킨 것을 다시 되돌려 놓는다는 의미. 기타 다른 방법으로 쓸 수도 있지만, 이 방법이 대칭성이 보기 좋아 주로 쓰이는 것 같다.

미분방정식을 푸는데 쓸 수 있다. 역변환이 더럽긴 하지만. 여기를 참조.

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathcal%7BF%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bd%5Enf(x)%7D%7Bdx%5En%7D%5Cright%5C%7D%3D(i%5Comega)%5En%5Chat%7Bf%7D(%5Comega)

위의 관계식을 이용해서(부분적분으로 증명할 수 있느나 생략) 미분방정식을 단순한 대수방정식으로 바꾸는 것이다. 경우에 따라서는 convolution도 이용해야 하는 것 같지만...

예시:
http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7Bd%5E2%20f(x)%7D%7Bdx%5E2%7D%20%2BA%5Cfrac%7Bdf(x)%7D%7Bdx%7D%2BBf(x)%3Dg(x)%0A%5C%5C(-%5Comega%5E2%2BAi%5Comega%2BB)%5Chat%7Bf%7D(%5Comega)%3D%5Chat%7Bg%7D(%5Comega)


3. Laplace 변환
신호쪽에서 쓴다고는 하지만, 사실 어디서 쓰는지 잘 모른다(...). 듣기로는 Fourier 변환의 확장이라고... 특징이라면 Fourier 변환이 함수가 무한대에서 발산하지 않을 것을 요구하지만 여기서는 그런거 없다는 것 정도? 대신 적분구간이 음의 무한이 아니라 0부터 무한이다.(일반적인 경우는 그렇지만, 전체 구간으로 확장하는 경우도 있는듯 하다.)

F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt.
Wikipedia: Laplace transform

s는 복소수라고 한다.(그런데 난 그렇게 배운 기억이 없다. 뭐지?)[각주:2]

마찬가지로 미분방정식을 푸는데 쓸 수 있다. 역시 여기 참조. 따로 역변환이 있다고 배운 기억이 없기 때문에 얻어진 변환의 함수꼴을 보고 원래 함수를 추정한다.(적어도 Kreyzig 책에서는 그렇게 푼다.)[각주:3]

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathcal%7BL%7D%5C%7Bf%27(t)%5C%7D%3Ds%20F(s)%20-%20f(0)

예시는 귀찮으니까 여기로...
최근 글인 2009/12/17 - Laplace 변환을 이용한 미분방정식 풀이참조.


4. Gauge 변환
전자기에서 등장. 듣기로는 핵력에서도 쓰인다는데, 배우지 못한 관계로 생략. 일종의 '기준점을 선택할 자유도'이다. 자세히 적는건 나중에... 그동안은 여기서..



시간나는 대로 추가할 생각이다.
  1. 귀찮아서 복소 Fourier변환만 다루었다. cosine이나 sine만 쓰는 경우도 있으니 조심. 그런데 사실 복소로 다 해먹을 수 있어서(...) [본문으로]
  2. s가 복소수라면, s가 허수부를 따라서만 이동할 때 확실히 Fourier변환이 맞기는 하다. [본문으로]
  3. 그런데 실제 역변환이 존재하는 것으로 보아서 복소변수함수의 적분을 배우지 않았기 때문인지도 모르겠다. 하지만, 역변환에서 contour 적분이 필요한 것으로 보아서는 계산 자체는 동일한듯. [본문으로]

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