Dexter's story

급 뽐뿌가 도졌다.

계절학기도 안 듣는지라 완전히 잉여로운 삶을 만끽하고 있습니다.

어쨌든 어제 이리저리 돌아다니느라 힘들었지만 어떻게 성적을 살짝 올리게 되었네요.(숙제성적을 제대로 입력 안 한 조교탓도 있지만...) 그리고 최악을 기대하면 좋은 일만 생긴다더니 예상보다는 성적이 잘 나온 것 같습니다(물론 전공 하나가 가정한 최악보다 더 안 나온게 슬프긴 하지만). 문제는 그래도 역대 성적중 최저라는거(...)

체력을 길러야 하는데 운동장은 눈이 와서 질퍽거리고 해야하는 공부보다는 나중에 해야 할 공부가 손에 잡히고 왜 이리 머리가는대로 마음이 움직이지 않는지...쩝


수리물리 책을 한권 질렀습니다. 그 유명한 Arfken 수리물리 -_-+

IE(International Edition)이 있었군요. 덕분에 상당히 싼 가격으로 샀습니다. Goldstein 역학을 살까 하다가 역시나 수학이 문제야(...)라는 생각이 들어서 결국엔 수리물리로 낙찰. Sakurai 양자책도 끌리긴 했지만 이미 Shankar책이 있는지라 또 사기 애매하더군요(되도록이면 전공책은 최소한으로 사고 제대로 파자는 주의라서...).

그런데 생각해보니 전공서적은 대부분 4~5만원 선에서 평준화되어있다는 느낌이...

학점이 잘 안 나와서(여러 일이 겹쳐 바빴던 것도 있지만) 기분이 그렇지 않아도 다운되어 있는데 문화일보에서 다음 기사를 냈더군요.

해돋이 명소 모텔 ‘1박에 16만원’ (문화)

싸이월드에서 본 기사인데, 댓글들 보다가 그냥 시비 한번 걸어봅니다. 법으로 저런 것 막아야 한다고 댓글(그것도 베스트 2위)을 올리는 사람들이 있더군요. 그런데 미안하지만, 이게 자본주의거든요? 싫으면 혁명 일으키던가.(나쁘지 않은데?)

더불어 줏어먹는 조선일보.

호텔비만큼 비싸네… 해돋이 명소 모텔 1박 16만원(조선)

조선일보는 불리해보이는 기사는 다 '어디서 저런대더라'라고 쓰는 습성이 있는듯. 기분탓이겠죠.

자려고 누워서 틀렸을 가능성이 매우 높은 5번 문제를 생각하다가(여기서 블로그 주인장의 정신나간 덕후끼를 느낄 수 있다) 왜 뻘짓을 하고 있었는지 깨달았다.

5번 문제는 Bell's inequality를 실제로 만족하는지 보이는 문제였다. 세 각은 두 벡터(a, b)가 직각을 이루고, 그 사이에 하나의 벡터(c)가 끼어들어 45도로 배치된 상태. Griffith책의 426페이지에 나오는 배치와 동일하다. 이 벡터의 방향으로 스핀을 측정한다.

주어진 Bell의 부등식은(동일한 책 425페이지)

\left|P(\bold{a},\bold{b})-P(\bold{a},\bold{c})\right|\le1+P(\bold{b},\bold{c})

주어진 Quantum state는(e는 전자, p는 양전자)

\left|\chi_1\right\rangle=\sqrt{\frac13}\left|\uparrow\right\rangle_e\left|\downarrow\right\rangle_p-\sqrt\frac23\left|\downarrow\right\rangle_e\left|\uparrow\right\rangle_p \\\left|\chi_2\right\rangle=\sqrt{\frac13}\left|\uparrow\right\rangle_e\left|\uparrow\right\rangle_p-\sqrt\frac23\left|\downarrow\right\rangle_e\left|\uparrow\right\rangle_p

먼저 1번 상태에 대해서 풀면, 계산은 다음처럼 하면 된다. 난 이렇게 풀고 있었다.

P(\bold{a},\bold{b})=\left|\left\langle\chi_a^+\chi_b^+\middle|\chi_1\right\rangle\right|^2+\left|\left\langle\chi_a^-\chi_b^-\middle|\chi_1\right\rangle\right|^2-\left|\left\langle\chi_a^+\chi_b^-\middle|\chi_1\right\rangle\right|^2-\left|\left\langle\chi_a^-\chi_b^+\middle|\chi_1\right\rangle\right|^2

간단하다. a방향과 b방향의 spin up 상태와 down 상태를 각각 구한다음에, 각각으로 붕괴할 확률을 구하고, 값이 +가 나오는 경우를 더하고 -가 나오는 경우를 뺀다. 얼마나 간단한가? 계산이 더럽긴 하지만. 결국 그래서 못 풀고 말았다. P 하나 계산하는데 30번은 가뿐히 뛰어넘는 계산이 필요하더군. 그런데 더 쉬운 방법이 있다.

P(\bold{a},\bold{b})=\left\langle\chi_1\middle|\bold{\sigma_a}\otimes\bold{\sigma_b}\middle|\chi_1\right\rangle

얼마나 간단한가! 이건 8번 정도만 계산하면 된다.

....

나 여태 뭐 공부한거니 ㅠㅠ


동등함을 보이기는 '매우' 쉽다.

\bold{\sigma_a}=\left|\chi_a^+\middle\rangle\middle\langle\chi_a^+\right|-\left|\chi_a^-\middle\rangle\middle\langle\chi_a^-\right|\\ \bold{\sigma_b}=\left|\chi_b^+\middle\rangle\middle\langle\chi_b^+\right|-\left|\chi_b^-\middle\rangle\middle\langle\chi_b^-\right|

direct product를 이용해서 둘을 곱해버리면 맨 위의 식과 동등한 식을 얻는다.

일단 쓸 글이 있기는 한데 개념을 가다듬고 논리의 흐름을 다시 한번 살펴보고 하는 중이라(다른말로 하면 당장은 하기 싫어서) 며칠 전 주문한 책을 읽어보고 있다.


지금은 한 50쪽 정도 읽은 상태인데(전체 약 350페이지) 웃음밖에 안 나온다. 수학문제를 서너페이지에 걸쳐 겨우 겨우 풀어냈는데 옆의 친구가 천재적인 발상 하나로 두세줄만에 풀어냈을 때 나오는 웃음 말이다. 아직까지 나온 내용 중에서는 생각해보지 않은 것은 없었던 것 같지만 그걸 이렇게 '엮어내었던 적'은 없는 것 같다.

'하늘 아래 새로운 것은 없다.'는 말이 있었던가? 초등학교에 다니던 때 '제아무리 좋은 생각이라도 발표되지 못하면 소용없다'는 과학 선생님의 말씀이 생각난다. 그래서 논문을 쓰는 방법을 배워야 한다고 쥐여짜여 지냈던 것 같지만.

2학기 완전히 종강 -_-v

마지막 양자물리2 기말고사가 아스트랄하군요. 오픈북이라서 한껏 기대(?)하고 갔더니 평범하게 연습문제를 풀게나 시키고...(하지만 아스트랄한 계산량으로 3시간 30분 시험을 시간을 모자라게 하는군요 + 하필 안풀어본 문제가 나오냐 -_- 계산실수로 틀렸잖아)

대략 그 이전 마지막 시험이 토요일이었기 때문에 남는 나흘동안 시험범위의 모든 내용을 책 따라가면서 손수 증명해보고 준 대학원 책을 정독했더니 내용 자체는 쉽네요.(문제는 Feynman씨 말처럼 계산이지만)^[각주:1] 혹시 물리가 어려우신 분들은 책 읽어보고 어렵다고 생각되는 부분의 증명을 외운 후 백지에 혼자서 증명해보는 과정을 두세번쯤 하고 나면 머리에 들어가 있으니 한번 해보세요. 전 특수상대론 그렇게 공부했습니다.(운동에너지 유도가 좀 짜증나더군요 + 어째서 정지에너지가 mc^2인지는 아직도 불명^[각주:2]) 수학도 이렇게 공부할 수 있을지도?

어쨌든 전 다시 잠깐의 휴식을 만끽하러...


덧. 왜 난 Fourier 역변환을 Fourier 변환으로 알고 있었을까...-_-;;;;;

멈추어 있는 상태()의 조화진동자에 f라는 입력을 넣는다.



(편의상 질량항으로 나누어버렸다.) 전체를 Laplace 변환을 취한다.



X에 대해 정리.



이제 역변환. convolution을 적용하면(여기 참조)



마지막의 해는 전통적(?)인 방법으로는 절대로 구할 수 없는 답이다.


Griffith 10장 문제를 푸는데 갑툭튀한 해를 보고서는 '이게 뭐야' 하고 있다가 Laplace 변환을 쓰면 아주 쉽게 유도된다는 것을 발견.

이런데 쓰는구나(아...)

좌표변환과 같이 물리적인 의미가 있는 변환 말고 수학적인 변환 위주로 정리.

1. Legendre 변환
고전역학에서는 Hamiltonian에 쓰인다. 열역학에서도 Enthalpy나 Gibbs 자유에너지, Helmholtz 에너지 등에서 나타난다. 미분방정식에서 변수를 바꾸는 데 이용한다.



여기서 라고 정의해주면



이처럼 변수가 바뀌게 된다.


2. Fourier 변환
파동역학 쪽에서 주로 쓰는듯. 양자역학에서는 basis를 위치에서 운동량으로(또는 역으로) 바꿀 때 이용한다. FFT(Fast Fourier Transform)이라고 해서 소리 정보를 디지털 정보로 변환해 저장하는 데 응용하기도 하는 것 같다. 진동 쪽에서도 공명주파수를 구하기 위해 쓰이는 것 같으나 자세한 것은 불명.

기본적으로는 Fourier series에서 주기를 무한대로 확장한 것이다. 때문에 전체구간에서 적분한 값이 존재하지 않으면 쓸 수 없다. 변수는 실수.



위는 일반적인 n차원에서 Fourier 변환을 나타낸다.^[각주:1] 위의 것은 Fourier 변환, 아래 것은 역 Fourier 변환이라고 불린다. 변환시킨 것을 다시 되돌려 놓는다는 의미. 기타 다른 방법으로 쓸 수도 있지만, 이 방법이 대칭성이 보기 좋아 주로 쓰이는 것 같다.

미분방정식을 푸는데 쓸 수 있다. 역변환이 더럽긴 하지만. 여기를 참조.



위의 관계식을 이용해서(부분적분으로 증명할 수 있느나 생략) 미분방정식을 단순한 대수방정식으로 바꾸는 것이다. 경우에 따라서는 convolution도 이용해야 하는 것 같지만...

예시:



3. Laplace 변환
신호쪽에서 쓴다고는 하지만, 사실 어디서 쓰는지 잘 모른다(...). 듣기로는 Fourier 변환의 확장이라고... 특징이라면 Fourier 변환이 함수가 무한대에서 발산하지 않을 것을 요구하지만 여기서는 그런거 없다는 것 정도? 대신 적분구간이 음의 무한이 아니라 0부터 무한이다.(일반적인 경우는 그렇지만, 전체 구간으로 확장하는 경우도 있는듯 하다.)



s는 복소수라고 한다.(그런데 난 그렇게 배운 기억이 없다. 뭐지?)^[각주:2]

마찬가지로 미분방정식을 푸는데 쓸 수 있다. 역시 여기 참조. 따로 역변환이 있다고 배운 기억이 없기 때문에 얻어진 변환의 함수꼴을 보고 원래 함수를 추정한다.(적어도 Kreyzig 책에서는 그렇게 푼다.)^[각주:3]



예시는 귀찮으니까 여기로...
최근 글인 2009/12/17 - Laplace 변환을 이용한 미분방정식 풀이참조.


4. Gauge 변환
전자기에서 등장. 듣기로는 핵력에서도 쓰인다는데, 배우지 못한 관계로 생략. 일종의 '기준점을 선택할 자유도'이다. 자세히 적는건 나중에... 그동안은 여기서..


시간나는 대로 추가할 생각이다.

수학적 변환에 대해서 글을 쓰다가 재미있는 것을 발견했다. Hermite 다항식이 Fourier 변환의 고유함수라는 것. http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform#Eigenfunctions


Hermite 다항식은 조화진동자 문제에서 등장하는 파동함수라는 것을 생각해보면 재미있다.^[각주:1] 하긴, Hamiltonian은 운동량을 기준으로 쓰든지 위치를 기준으로 쓰든지 생김새 자체는 동일하고, 양자물리에서 Fourier 변환이 basis를 바꾸어주는 변환이라는 것을 생각해보면 이해가 갈 것 같기도 하다. 닮은 방정식의 해는 분명히 닮았을테니 말이다.

양자물리를 Griffith 책으로 공부하다 보면 나타나는 의문이 참 많다. 그 중에서 내가 가장 큰 의문을 가졌던 것은 운동량 연산자에 대한 것이었다. 어째서 운동량 연산자는 x로 span된 힐베르트 공간에서 미분으로 나타나는 것일까?


그 이름이 암시하듯이, 운동량이란 물체의 운동 즉 시간과는 떼어놓고 생각할 수 없는 존재이다. 그런데 어째서 운동량을 나타내는 연산자는 시간에 무관한 것일까?

맨 처음 운동량 연산자를 유도해내는 과정을 보고서 내가 느낀 것은, '운동량에 대응하는 정보가 파동함수에 들어 있고, 그 정보는 어떤 연산을 통해서 외부에 나타난다. 따라서, 운동량의 고전적인 정의를 이용해서 운동량에 해당하는 연산자를 유도해내는 것은 아닐까?'였다.


하지만 문제는, 우리가 알고 있는 Schrodinger 방정식 자체가 운동량 연산자를 가정하는 것에서 출발했다는 것이다. 보통 Schrodinger 방정식은 다음과 같은 형태로 쓴다.


H는 Hamiltonian 연산자로, 고전역학에서 사용하는 Hamiltonian이라는 물리량에 해당한다. 일반적인 경우, Hamiltonian은 계 전체의 에너지와 같은 값을 갖는다. 따라서, Schrodinger 방정식은 계를 나타내는 상태함수가 에너지에 비례하여 시간적으로 변화한다는 것을 나타낸다고 볼 수 있다. 그리고 고전적으로 운동에너지는 운동량의 제곱을 질량의 두배로 나눈 값이다. Schrodinger 방정식의 첫 항(Laplacian이 들어가 있는 항)을 잘 보면 바로 앞서 구한 운동량의 제곱을 질량의 두배로 나눈 값, 즉 고전적인 운동에너지라는 것을 알 수 있다. 결국, 우리는 원점으로 돌아온 것이다.^[각주:2] 그렇다면 어떻게 해야 운동량에 해당하는 연산자를 구할 수 있을까?


쓰기 귀찮아서 여기까지만...(여기까지 써놓고 끝날 가능성도 농후)
관심이 가시는 분은 여기를 참조:
http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation#Derivation
Erwin Schrodinger의 원본을 보고 싶으신 분을 위하여:
http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf

1시간 15분짜리 시험을 보았습니다. 수학 시험이죠.

행렬을 더럽게 꼬아서 낸 문제는 그렇다고 칩시다.(계산하는데 시간이 좀 걸리긴 했지만...)

Euler angle을 이용한 회전행렬을 구하는 문제도 뭐 그럴 수 있다고 합시다.(3x3 행렬 셋을 곱하는 것 정도야...(?))

6번 문제: 다음 미분방정식을 풀어라.



(실제 식에서는 전체에 -1이 곱해져 있고 y가 R로, x가 r로 바뀌어 있었음)


Rodrigues' formula는 알고 있었지만 이걸 풀라고요?(결국 시간 부족으로 GG)^[각주:1]

파워시리즈 문제(무려 한 문제나 더 있었다!) 두개가 1시간 15분짜리 시험에 나온다는게 말이 되냐고요 OTL

그런데 조교 曰 '교수님이 푸시는데 걸린 시간을 보고 시간을 정한겁니다'


역시 교수님들은 인간이 아니었던건가 OTL

1학년때부터 느끼는 거지만, 교수님이 작정하시면 학생은 죽어야 합니다 OTL

중력이 거의 없는 우주에서 커다란 각운동량이 어떤 효과를 나타내는지 잘 보여주는 동영상.

살짝 치면 진동하면서 점차 조금씩 돌아가는 것을 볼 수 있는데, 저 현상은 순수히 고전역학적으로도 보일 수 있는 결과물이다.

Inertia Tensor(관성 텐서)가 시험범위여서 오늘 시험보기 전 잠깐 precession(세차운동)에 대해 찾아보다가 발견한 동영상.


누구의 양자책이었는지는 기억이 잘 안 나는데, 거기서 양자역학은 고전역학보다 카오스 현상이 덜 나타난다는 말이 있었다.

그래서 그런가? 왜 양자가 '조금'은 더 쉽게 느껴지지 -_-;;; 고전역학은 하면 할수록 깊은 수렁에 빨려들어가는 느낌이 든다....

Griffith 양자책은 수학적인 설명은 살짝 불친절한것 같다. 하긴, 양자역학 책인데(...)

오늘 살펴볼 적분.



Time dependent perturbation에 등장하는 적분이다.
먼저, 부분적분.



뒷항은 안드로메다로 날려버리고 나면(0이니까)



그런데 잘 보면



(y=2x) 이다. 이제 문제는 Dirichlet integral이다.



Diriclet integral의 증명은 생략. 부분적분을 잘 꼬으면 Residue를 쓸 수 있을 것 같기도 한데....

드디어 그리피스 양자책을 돌파했습니다 -_-v(이제 12단원 배우는 중)

지금 복사불가능성과 양자적 얽힘에 대해서 배울 차례인데, 보다 보니 재미있는 아이디어가 하나 떠오르더군요. 복사불가능은 어쩔 수 없지만 양자적 얽힘은 피해가는 방법이 있을지도 모르겠다는 생각이 듭니다. 기본 아이디어는 이거죠.



인 a와 b를 찾는 겁니다. Dirac equation의 motive와 비슷하네요. 당연하지만, 이 a와 b는 행렬들이죠. 그런데 행렬이면 좀 처리하기 귀찮아지고 더군다나 그 크기를 정하는 것도 애매해지니까(Dirac이 이 항들을 어떻게 해석했는지는 아직 공부를 안 해 보아서 모르겠지만...) 차라리 벡터로 보는 것은 어떨까 생각해 보았습니다.

문제는, 벡터의 coefficient가 벡터라는 것이네요. 더군다나 하나는 bra벡터여야 하기 때문에 direct product를 제대로 정할 수 있을지가 의문이고, direct product를 하는 과정에서 bra벡터가 ket벡터와 반응해서 사라질 수 있느냐가 문제입니다.

물리학적으로 해석하자면 '하나의 측정량을 포기하는 것으로 불확정성 원리를 깰 수 있다' 정도 되겠네요. 'EPR 역설이 실제로 일어날 수도 있지 않을까' 라고 보아도 무방합니다. 대신에 이 포기하는 측정량이 다른 측정량과 먼저 얽힘 상태에 있어야 한다는 것이 문제랄까... 제 3의 입자를 도입하면 해결될지도 모르겠군요.

p.s. 문제는, 왜 난 내 전공 공부보다 다른 과 전공공부가 더 재미있는가 정도...-_-;;;

....-_-;;

위상수학인 것 같은데, 신기하네요. 어차피 나중에 배워야 할 것 같은데....

http://wiessen.tistory.com/443





쉽게 잘 설명한 것 같긴 한데, 역시나 이런 짤방이 생각납니다.

1. 에이즈 오진에 대해서.

먼저 간단한 질문 하나.


정답: 약 10%. 왜 그런지 아실 것 같은가?(이게 무려 대학입학시험 문제라니...)

우로보로스 : '꼬리를 삼키는 자'를 뜻하는 그리스어(ουροβóρος)로, 뱀이나 용이 자신의 꼬리를 물고 있는 그림을 말하며 주로 원형이다. 시작과 끝이 하나라는 의미를 내포하고 있어 윤회사상과 영원성을 나타내는 상징으로 주로 이용되었다고 한다.

우로보로스(영문 위키백과)(한글 위키백과)



단순한 상징입니다. 강철의 연금술사(하가렌 하앍)을 보다보면 호문클루스들의 상징으로 등장하죠. 뭐 여기서만 등장하는 것은 아니지만... 어쨌든 단순한 상징입니다.

그런데 그것이 실제로 일어났습니다.

RSS 구독목록 중 재미있는 글이 올라왔다. 이 글은 그냥 그 글에 대한 주석 정도로 생각하면 될 듯 싶다.(사실 공부가 안되서 쓰는 글이다)

호모 리시프로칸으로서 트위터리언들의 선택, 보복, 그리고 신뢰 (Gatorlog)

먼저 관련있다고 생각하는 책 리뷰 하나를 링크로 걸어둔다.

2009/03/16 - 게르트 기거렌처, [생각이 직관에 묻다]

호혜적 인간이란 말 그대로 은혜를 입으면 갚는 인간을 말한다. 하지만 여기서의 은혜는 우리가 일반적으로 사용하는 은혜보다는 넓은 개념이어서, 혜택이나 이익 뿐만 아니라 불이익까지 포함한다. 즉, 눈에는 눈 이에는 이를 실현하는 인간이라는 말이다. 거기에다가 이런 은혜를 갚을 때 자신은 충분히 비용을 지불할 의사를 갖는다. 내가 죽더라도 널 지옥에는 보내야겠다와 어느 정도 비슷하다고 해야 하나?

호혜적 인간이 무엇인가에 대해서는 더 말할 필요는 없을 것 같으니, 왜 이런 인간이 만들어졌는가에 대해 생각해 보려고 한다. 호혜적 인간에 '생물학적 뿌리'가 있을까? 악한 일을 행한 자에게 비용을 지불해서라도 벌한 사람은 쾌락 중추가 반응한다. 이것은 악한 자에게 벌하려는 욕망이 자연적으로 선택되었다는 것을 의미한다.^[각주:1] 얼마나 많은 사람들이 이런 반응을 가진지는 관련 자료를 찾아보지 않아 모르겠지만, 아마도 상당히 높은 비율로 인간에게 나타날 것 같다.

얼핏 생각해본다면 쓸데없는 비용을 지불하려는 사람은 도태되어야 한다. 하지만 생각해보자. 비용을 지불해서라도 손해를 야기하는 구성원을 도태시키려는 사람이 없는 집단은 부패로 무너져 내리고 만다. 집단 자체가 무한히 단단한 기반 위에 세워져 있는다면 자기에게 손해가 가는 행동은 절대로 하지 않는 행동이 선택되어도 좋다. 분명히 그런 행동의 취하는 구성원이 몇 배는 더 잘 나갈 것이기 때문이다. 하지만 만약 집단이 무너질 가능성을 가지고 있다면 어느 정도 집단을 단단히 유지시켜주는 행동이 선택되어야만 생존이 보장된다. 집단이 무너지면 아무리 잘 나가던 구성원도 한순간에 몰락하고 말 것이다. 미국 정부가 갑자기 사라져 달러화의 화폐가치가 사라지면 제아무리 빌 게이츠라고 해도 달러화밖에 갖지 않은 사람은 알거지가 되는 것처럼 말이다.

그리고 진화는 집단 단위로 일어난다. 현대적인 의미에서 진화는 그 구성원이 가진 모든 유전자들의 집합(이것을 유전자 풀-gene pool-이라고 한다)이 변화하는 것을 말한다.^[각주:2] 여러 집단이 있고 집단 단위로 진화가 이루어진다고 할 때, 어느 정도 집단이 서 있을 수 있도록 모아주는 행동방식이 진화에 의해서 선택되는 것은 당연하다. 따라서 호혜적 인간이 많은 집단이 자연적으로 선택되었을 것이다. 하지만 역시 그 집단 내에서도 악행을 하는 것은 자신에게 이익이 남기 때문에, 집단이 위태롭지는 않을 만큼의 이기적인 행위는 사라지지 않는다. 살인을 하려는 사람은 극히 드물지만, 어느 정도 거짓말을 하고 사는 사람은 널리고 널렸다는 것이 이를 잘 보여준다.

생각해보면 생물학, 특히 진화와 관련된 분야의 생물학과 경제학은 많이 닮아있는 것 같다. 서로 배울 부분이 있는가는 내가 그쪽을 깊게 공부해보지 않아서 잘 모르겠지만, 아마도 있을 것 같다. 특히 경제학을 '효율적인 집단의 틀을 짜는 학문'이라고 한다면, 어떤 방식으로 자연이 효율적인 집단을 선택해왔는가는 고려해보는 것이 괜찮을 것이라고 생각한다.


p.s. 자연계 자체와 자본주의의 구조 사이에는 어느 정도 닮은 부분이 있는 것 같다. 지금 쓰기에는 너무 늦은 것 같고, 나중에 제대로 떠오르면 한번 써 볼까 한다.

2009/05/06 - Lagrangian formulation(1)

먼저 Lagrangian은 정확한 역학법칙은 아닙니다. 단지 다음 공식이 정확한 운동방정식으로 환원되기만 하면 되는 거지요.

\frac{\partial{L}}{\partial{x_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x_i}}}=0

그리고 일반적인 경우, L은 T-V, 즉 운동에너지에서 위치에너지를 제한 값이 됩니다. 하지만 전자기학에서는 어떨까요? 애석하게도 자기력의 포텐셜은 벡터이기 때문에, 단순한 위치에너지가 계산이 되질 않습니다. 먼저 전자기학에서 힘은 어떻게 나타나는지 보기로 합니다.

\vec{F}=m\dot{\vec{v}}=q(\vec{E} \vec{v}\times\vec{B})

전기장과 자기장은 보기 심히 안 좋습니다. 포텐셜을 도입해서 전기장과 자기장을 바꾸어 줍니다.

\vec{E}=-\nabla\varphi-\frac{d}{dt}\vec{A} \\\vec{B}=\nabla\times\vec{A}

(자세한 내용은 여기에...http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Potential_field_approach)

설렁 설렁 도입해 줍니다.

\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi-\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} \vec{v}\times\nabla\times\vec{A})

우변의 마지막 항이 상당히 거슬리는군요. 깔끔하게 정리해 줍시다.

\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A}\\\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi-\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} \nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A})

오, 무언가 정리될 것 같아 보이네요.

\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A})=\frac{d}{dt}\vec{A}\\\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi \nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-\frac{d}{dt}\vec{A})\\0=\nabla(-q\varphi q\vec{v}\cdot\vec{A})-\frac{d}{dt}(m\vec{v} q\vec{A})

성분별로 써 봅시다.

\frac{\partial}{\partial{x_i}}(-q\varphi q\dot{x_j}A_j)-\frac{d}{dt}(m\dot{x_i} qA_i)=0\\\frac{\partial}{\partial{x_i}}(-q\varphi q\dot{x_j}A_j)-\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{x_i}}(\frac1{2}m\dot{x_j}^2 q\dot{x_j}A_j)=0

j는 dummy index입니다. j로 정리되어 있는 모든 성분에는 합이 생략되어 있지요. i는 우리가 측정하고 있는 방향의 성분입니다. 어찌되었든, 만약 q가 운동 속도에 영향을 받지 않는다면(많은 위치에너지가 그리하듯이) L을 다음과 같이 잡아주면 됩니다.

L=\sum_j\frac1{2}m\dot{x_j}^2-q(\varphi-\dot{x_j}A_j)=\frac1{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}-q(\varphi-\vec{v}\cdot\vec{A})

이렇게 L을 정의하면 원하는 운동방정식을 얻습니다. 전자기학에서 Lagrangian 구하기 끝.

양자역학으로 넘어가서 많이 중요해지는 Hamiltonian은 나중에 구해보기로 하지요 뭐.