'라그랑지안'에 해당되는 글 2건

  1. 2009.11.07 Lagrangian in Electromagnetism (4)
  2. 2009.05.06 Lagrangian formulation(1) (2)
2009/05/06 - Lagrangian formulation(1)

먼저 Lagrangian은 정확한 역학법칙은 아닙니다. 단지 다음 공식이 정확한 운동방정식으로 환원되기만 하면 되는 거지요.

\frac{\partial{L}}{\partial{x_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{x_i}}}=0

그리고 일반적인 경우, L은 T-V, 즉 운동에너지에서 위치에너지를 제한 값이 됩니다. 하지만 전자기학에서는 어떨까요? 애석하게도 자기력의 포텐셜은 벡터이기 때문에, 단순한 위치에너지가 계산이 되질 않습니다. 먼저 전자기학에서 힘은 어떻게 나타나는지 보기로 합니다.

\vec{F}=m\dot{\vec{v}}=q(\vec{E} \vec{v}\times\vec{B})

전기장과 자기장은 보기 심히 안 좋습니다. 포텐셜을 도입해서 전기장과 자기장을 바꾸어 줍니다.

\vec{E}=-\nabla\varphi-\frac{d}{dt}\vec{A} \\\vec{B}=\nabla\times\vec{A}

(자세한 내용은 여기에...http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_the_electromagnetic_field#Potential_field_approach)

설렁 설렁 도입해 줍니다.

\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi-\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} \vec{v}\times\nabla\times\vec{A})

우변의 마지막 항이 상당히 거슬리는군요. 깔끔하게 정리해 줍시다.

\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A}\\\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi-\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} \nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A})

오, 무언가 정리될 것 같아 보이네요.

\frac{\partial}{\partial{t}}\vec{A} (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A})=\frac{d}{dt}\vec{A}\\\frac{d}{dt}m{\vec{v}}=q(-\nabla\varphi \nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-\frac{d}{dt}\vec{A})\\0=\nabla(-q\varphi q\vec{v}\cdot\vec{A})-\frac{d}{dt}(m\vec{v} q\vec{A})

성분별로 써 봅시다.

\frac{\partial}{\partial{x_i}}(-q\varphi q\dot{x_j}A_j)-\frac{d}{dt}(m\dot{x_i} qA_i)=0\\\frac{\partial}{\partial{x_i}}(-q\varphi q\dot{x_j}A_j)-\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{x_i}}(\frac1{2}m\dot{x_j}^2 q\dot{x_j}A_j)=0

j는 dummy index입니다. j로 정리되어 있는 모든 성분에는 합이 생략되어 있지요. i는 우리가 측정하고 있는 방향의 성분입니다. 어찌되었든, 만약 q가 운동 속도에 영향을 받지 않는다면(많은 위치에너지가 그리하듯이) L을 다음과 같이 잡아주면 됩니다.

L=\sum_j\frac1{2}m\dot{x_j}^2-q(\varphi-\dot{x_j}A_j)=\frac1{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}-q(\varphi-\vec{v}\cdot\vec{A})

이렇게 L을 정의하면 원하는 운동방정식을 얻습니다. 전자기학에서 Lagrangian 구하기 끝.

양자역학으로 넘어가서 많이 중요해지는 Hamiltonian은 나중에 구해보기로 하지요 뭐.

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  1. Favicon of https://j4blog.tistory.com BlogIcon 재준씨  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이 글을 보고있자니 왠지 빅뱅이론의 장면이 생각나는군요. 쉘든과 라지가 칠판에 잔뜩 쓰여있는 공식을 노려볼 때 흘러 나오는 'eye of the tiger' -_-a

    2009.11.08 20:49 신고
  2. physics  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    전자기학은 상대론적인 이론인데 입자는 비상대론적으로 다루었군요. 실제적으로 꽤 문제가 될 것으로 보이며 계산도 복잡해질것 같습니다. 또 수식적으로는 맞다손 치더라도, action을 구할때 상당히 애를 먹겠군요. 적분구간이 불분명해서요. 그러면 boundary term을 구하기 힘들어지겠죠. 왜냐하면 A와 psi가 test particle의 경로 위에서 정의가 되었는데, 일반적으로 이것은 장 자체의 라그랑지안은 주지 못할것 같군요. 따라서 장의 운동량같은것도 주지 못할걸로 생각됩니다. 장의 라그랑지안 항을 더해줘야 총 라그랑지안이 나올거 같은데... 아시겠지만 이건 1/4 F^2로 주어지죠...

    2010.04.27 01:57
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.04.27 02:07 신고  댓글주소  수정/삭제

      장을 주고 입자의 움직임을 기술하는 고전적인 문제입니다. 학부 수준의 양자물리에서 Bohm-Aharanov 효과나 Zeeman effect를 다룰 때 사용하는 Hamiltonian을 구할 때 쓰는 Lagrangian이구요. Hamiltonian은 Lagrangian의 Legendre 변환이니까요.

      아, 그리고 이 식은 장과 입자의 interaction에 해당하는 Lagrangian이 될 겁니다. 장과 입자 자체의 Lagrangian은 빠져있구요.

고전역학은 크게 두 흐름으로 나누어 볼 수 있습니다. 첫째는 가장 잘 알려진 힘을 이용한 뉴턴역학이고 나머지 하나는 에너지를 주로 이용하는 해밀토니안 역학입니다. 양자역학에서는 힘이란 개념을 쓰기 어렵기 때문에 해밀토니안 역학이 특별하게 발달한 것을 양자역학으로 보아도 좋겠지요.(물론 기본이 되는 가정은 하늘땅 차이입니다만...)

보통 라그랑지안 역학을 얻는 방법은 두가지가 있습니다. 하나는 변분법이라고 해서 어느 값의 적분이 최소가 되도록 하는 방법이고, 나머지 하나는 가상일(virtual work)을 이용하는 것입니다. 가상일은 어떤 계가 평형상태에 있을 때, 각 위치좌표가 조금씩 변하더라도 힘의 합력은 0이므로 에너지가 변하지 않는다는 것을 이용하는 것이지요.

해밀토니안 역학은 라그랑지안 역학에서 얻어집니다. 보통의 경우 해밀토니안은 총에너지에 해당하기 때문에 해밀토니안을 에너지와 동등하게 취급하기도 합니다. 양자역학의 경우도 해밀토니안을 에너지와 등가로 취급하고 있지요.

이번 글에서는 간단하게 라그랑지안 식을 유도해 보려고 합니다. 첫 방법은 변분법을 이용하는 방법입니다. 먼저 해밀톤의 원리를 보아야겠네요.

Hamilton's Principle

물체는 시간 t_1와 t_2 사이를 운동할 때 운동에너지와 위치에너지의 차이가 최대 혹은 최소가 되도록 운동한다.[각주:1]

식으로 쓰면

\LARGE\!\delta\int_{t_1}^{t_2}(T-U)dt=0

가 됩니다. 여기서 저 차이를 라그랑지안 L로 정의합니다. 따라서 식은 다음처럼 변하지요.

\LARGE\!\delta\int_{t_1}^{t_2}L(q_i,\dot{q_i},t)dt=0

여기서 q_i는 일반화된 좌표들을 말합니다(i로 좌표를 구분합니다). 꼭 위치좌표일 필요는 없습니다. 부피여도 되고, 각도여도 되며, 넓이여도 상관이 없습니다. 점을 위에 붙여준 것은 그 일반화된 좌표의 시간에 대한 미분량이지요. 자, 그러면 변분법이 어떻게 이루어지는건지 먼저 알아야 하지 않을까요?

운동이 실제 경로 \normalsize\!q_i(t)를 따라 일어나고 있을 때, 위의 적분은 최소가 됩니다. 먼저 임의의 경로 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)+\alpha\xi_i(t)를 생각해보도록 하겠습니다. 여기서 \normalsize\!\xi_i(t)는 실제 경로에서 벗어나는 정도를 나타내어주는 함수입니다. 하지만 t_1에서 t_2까지 이동할 때 운동을 시작하는 지점과 운동이 끝나는 지점은 같기 때문에 \normalsize\!\xi_i(t_1)=\xi_i(t_2)=0라고 놓아야겠지요. 그리고 실제 경로가 되는 \normalsize\!\alpha=0인 경우에 위의 적분은 극값을 가져야 합니다. 이를 식으로 나타내어보면 다음과 같습니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\left[\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\right]_{\alpha=0}=0

이제 알파를 적분 안에 넣어 보겠습니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac\partial{\partial\alpha}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\\=\int_{t_1}^{t_2}\sum_i\left(\frac{\partial{\bar{q_i}}}{\partial\alpha}\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}+\frac{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}{\partial\alpha}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt\\=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\left(\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}+\dot\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt

두 번째 항에서는 \normalsize\!\xi_i(t)가 시간에 대해 미분이 되어 있습니다. 보기 거슬리니까 이를 다른 놈한테 넘겨줘 봅시다. 이때는 부분적분을 이용하면 됩니다.

/\LARGE\!\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt=\left[\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt\\=-\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt

이건 아까 구한 \normalsize\!\xi_i(t_1)=\xi_i(t_2)=0라는 조건에서 알 수 있지요. 그러면 식은 한결 간단해집니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\left(\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt

알파가 0이면 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)+\alpha\xi_i(t)에서 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)임을 알 수 있습니다. 그리고 이 때 위의 적분은 항등적으로 0이 되어야 하구요.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\left[\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\right]_{\alpha=0}\\=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\left(\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}\right)dt=0

그런데 \normalsize\!\xi_i(t)는 말 그대로 임의의 함수이기 때문에 항등적으로 영이 되기 위해서는 괄호 안의 값들이 무조건 영이 되어야 합니다. 따라서

\LARGE\!\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}=0

를 얻습니다. 이는 모든 i에 대해 성립합니다.

나머지 방법인 가상일을 이용하는 방법(D'Alembert의 원리)은 다음 글에서...(다음 글을 언제 쓸지는 저도 장담을 못하겠네요...)



델랑베르 원리에서 출발하는 라그랑주는 다음 글에서 확인하세요
라그랑지 운동방정식( Lagrange Equations of motion ) (Weistern님)

델랑베르 원리를 직접 언급하지는 않았지만 유도하는 방법(사실상 썼다고 봐야하지만)
Lagrangian and Hamiltonian Mechanics

  1. Marion, Classical Dynamics of Particles and Systems, 4th Ed.에 나오는 내용을 기준으로 작성했습니다. 사실은 최대나 최소가 될 필요는 없다고 하더군요. 참고 : http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics#Hamilton.27s_principle [본문으로]

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  1. Favicon of https://hbar.tistory.com BlogIcon h-bar  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    모든 수식이 깨져 있는 것은 제 컴터의 잘못인가요??

    2010.04.03 22:43 신고

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