'라그랑주'에 해당되는 글 2건

  1. 2011.01.16 Lagrange Multipliers - 라그랑주 승수법 (7)
  2. 2009.05.06 Lagrangian formulation(1) (2)
어떤 n개의 자유도를 가진 scalar 함수 G가 있고, 이 값을 극대화하고 싶다. 물론 그냥 극대화하고 싶다면 gradient가 0이 되는 지점을 찾으면 된다.

\text{To find the maximum of }G=G(x_1,\cdots,x_n)\\\text{Find }(\chi_1,\cdots,\chi_n) \text{ where } \nabla G=0

하지만 상황은 그리 녹녹치가 않다. 대부분의 경우 우리가 취할 수 있는 위치는 제한되어 있기 때문이다. 예를 들어서 어떤 함수 R=0을 항상 만족해야 한다거나 말이다.

\text{But }R=R(x_1,\cdots,x_n)\text{must satisfy the relation }R=0

계산이 좀 귀찮아졌다. 일단은 변수의 개수를 두개로 줄이자. 우선은 완전미분에 대해 생각해보자. 제한조건을 만족하는 상황대로 조금 움직인다면 R의 변화량은 항등적으로 0이어야 한다. 왜? 상수값이니 말이다.

\text{To handle the problem, let }n=2\\\text{The exact differential of }R \text{ becomes}\\dR=\frac{\partial R}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial R}{\partial x_2}dx_2\\\text{when infinitesimal movement does not violate the requirement;}\\dR=0

그리고 편미분량이 취해지는 위치에서 G가 극대/극소값을 취하고 있다면 dR=0를 만족하는 조건 하에서 dG또한 0이어야 한다. 왜냐하면 극대/극소이기 때문이다.

\text{When the function }G\text{ takes the extremum at the point}\\\text{The exact differential of }G \text{ also satisfies}\\dG=\frac{\partial G}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial G}{\partial x_2}dx_2=0\\\text{under the condition that }dR=0

그런데 dR=0이므로 두 자유도 중 하나는 다른 하나에 종속되게 되어 다음과 같이 이 방정식을 풀 수도 있다.

\frac{\partial R}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial R}{\partial x_2}dx_2=0\\\therefore dx_1=-\frac{\frac{\partial R}{\partial x_2}}{\frac{\partial R}{\partial x_1}}dx_2\\\therefore dG=\frac{\partial G}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial G}{\partial x_2}dx_2\\=\left[-\frac{\partial G}{\partial x_1}\frac{\frac{\partial R}{\partial x_2}}{\frac{\partial R}{\partial x_1}}+\frac{\partial G}{\partial x_2}\right]dx_2\\=0\\\text{However, we are free to choose } dx_2 \text{, which implies}\\-\frac{\partial G}{\partial x_1}\frac{\frac{\partial R}{\partial x_2}}{\frac{\partial R}{\partial x_1}}+\frac{\partial G}{\partial x_2}=0

하지만 다른 방법은 없을까? 상수 alpha를 도입해 보자.

dR=0, dG=0\\\therefore dR-\alpha dG\\=\left[\frac{\partial R}{\partial x_1}-\alpha\frac{\partial G}{\partial x_1}\right]dx_1\\+\left[\frac{\partial R}{\partial x_2}-\alpha\frac{\partial G}{\partial x_2}\right]dx_2\\=0

물론 첫번째 변수의 미소변화량은 아직 두번째 변수의 미소변화량에 종속되어 있다.

\text{However, as the restriction is still not removed,}\\\frac{\partial R}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial R}{\partial x_2}dx_2=0\\\therefore dx_1=-\frac{\frac{\partial R}{\partial x_2}}{\frac{\partial R}{\partial x_1}}dx_2

그러므로 우리는 아직 두번째 변수의 미소변화량을 마음대로 변화시킬 수 있다.

\text{Therefore under this restriction, we can freely choose }dx_2\\\frac{\partial R}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial R}{\partial x_2}dx_2=0

그런데 만약 상수 alpha를 잘 잡아서 다음 값이 0이 된다고 가정해보자.

\text{Assume we choose }\alpha\text{ so that}\\\frac{\partial R}{\partial x_1}-\alpha\frac{\partial G}{\partial x_1}=0\\\text{Then }dR-\alpha dG =0 \text{ reduces to}\\\left[\frac{\partial R}{\partial x_2}-\alpha\frac{\partial G}{\partial x_2}\right]dx_2=0\\\text{As we are free to choose }dx_2 \text{, we must conclude that}\\\frac{\partial R}{\partial x_2}-\alpha\frac{\partial G}{\partial x_2}\text{ must be zero as well}

라그랑주 승수법의 원리가 여기에 있다. 대략적인 논의는 여기까지. 변수 2개에서 n개로, 제한조건 1개에서 m개로의 확장은 안 해도 되겠지...

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  1. Yeoni  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저기.... 한국말로 이해못하겠어서 그런데 영어로 설명좀해주시면 안돼요?ㅠㅠ

    2013.11.12 15:00
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2013.11.12 23:57 신고  댓글주소  수정/삭제

      어느 부분이 영어가 필요하신지요? 완전미분은 exact differential, 미소변화량은 infinitesimal change입니다.

      책이 필요하시다면 이 논의는 Reif 열역학 책의 부록에 있는 논의를 그대로 가져온 것이라고 말씀드립니다.

  2. 공돌이  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    질문 좀 해도 될까요?
    마지막에서 dx_2를 자유롭게 선택할 수 있다는 점에서 어떻게 '마지막 식이 0이 된다'는 결론을 이끌 수 있는 건가요?

    2013.12.05 00:20
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2013.12.05 19:31 신고  댓글주소  수정/삭제

      '한 수 a에 임의의 수 b를 곱했을 때 항상 a*b=0 이라면 a는 0이어야 한다'라는 명제는 받아들이실 수 있으시죠?

      여기에 b를 dx_2로 보고 a를 그 앞의 항으로 보시면 됩니다.

  3. Favicon of https://kipid.tistory.com BlogIcon kipid  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제가 정리한 Lagrange Multiplier Formalism (라그랑지 승수법, 최적화). Complex variable이 들어간 경우를 다룬것이긴한데.. 접근 방법은 약간은 다른.. 참고해 보세요.

    // 링크가 바껴서 수정.

    http://kipid.tistory.com/entry/Method-of-Lagrange-multipliers

    http://kipid.tistory.com/entry/Optimization-with-the-Method-of-Lagrange-multipliers

    2014.12.27 12:05 신고
  4. 질문드립니다  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    만약 상수 alpha를 잘 잡아서 다음 값이 0이 된다고 가정해보자.
    -> 이 문제 이외에도 g(x,x',t) 와 같은 형식의 식과 제약조건이 있을 때 alpha 를 분모가 0이 되는 등의 이유로 잘 잡을 수 없다면, lagrange multiplier method 를 사용 할 수 없다 라고 생각 하는게 맞는지 궁금하여 질문 드립니다.

    2017.02.20 11:59
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2017.02.20 20:39 신고  댓글주소  수정/삭제

      제약조건을 만족하는 점들이 변곡점이거나(gradient가 사라지는 점들이 되겠죠) 매끄러운 곡면이 아니라면(제약조건이 min(G1,G2)와 같은 꼴로 주어지는 경우) 위와 같은 방식으로 계산했을 때 문제가 생길 수 있습니다. 이런 경우에는 'Lagrange multiplier를 사용할 수 없다'고 생각하기보다는 '문제를 잘 조정해서 Lagrange multiplier로 풀 수 있도록 만들어야 한다'로 보아야 합니다.

고전역학은 크게 두 흐름으로 나누어 볼 수 있습니다. 첫째는 가장 잘 알려진 힘을 이용한 뉴턴역학이고 나머지 하나는 에너지를 주로 이용하는 해밀토니안 역학입니다. 양자역학에서는 힘이란 개념을 쓰기 어렵기 때문에 해밀토니안 역학이 특별하게 발달한 것을 양자역학으로 보아도 좋겠지요.(물론 기본이 되는 가정은 하늘땅 차이입니다만...)

보통 라그랑지안 역학을 얻는 방법은 두가지가 있습니다. 하나는 변분법이라고 해서 어느 값의 적분이 최소가 되도록 하는 방법이고, 나머지 하나는 가상일(virtual work)을 이용하는 것입니다. 가상일은 어떤 계가 평형상태에 있을 때, 각 위치좌표가 조금씩 변하더라도 힘의 합력은 0이므로 에너지가 변하지 않는다는 것을 이용하는 것이지요.

해밀토니안 역학은 라그랑지안 역학에서 얻어집니다. 보통의 경우 해밀토니안은 총에너지에 해당하기 때문에 해밀토니안을 에너지와 동등하게 취급하기도 합니다. 양자역학의 경우도 해밀토니안을 에너지와 등가로 취급하고 있지요.

이번 글에서는 간단하게 라그랑지안 식을 유도해 보려고 합니다. 첫 방법은 변분법을 이용하는 방법입니다. 먼저 해밀톤의 원리를 보아야겠네요.

Hamilton's Principle

물체는 시간 t_1와 t_2 사이를 운동할 때 운동에너지와 위치에너지의 차이가 최대 혹은 최소가 되도록 운동한다.[각주:1]

식으로 쓰면

\LARGE\!\delta\int_{t_1}^{t_2}(T-U)dt=0

가 됩니다. 여기서 저 차이를 라그랑지안 L로 정의합니다. 따라서 식은 다음처럼 변하지요.

\LARGE\!\delta\int_{t_1}^{t_2}L(q_i,\dot{q_i},t)dt=0

여기서 q_i는 일반화된 좌표들을 말합니다(i로 좌표를 구분합니다). 꼭 위치좌표일 필요는 없습니다. 부피여도 되고, 각도여도 되며, 넓이여도 상관이 없습니다. 점을 위에 붙여준 것은 그 일반화된 좌표의 시간에 대한 미분량이지요. 자, 그러면 변분법이 어떻게 이루어지는건지 먼저 알아야 하지 않을까요?

운동이 실제 경로 \normalsize\!q_i(t)를 따라 일어나고 있을 때, 위의 적분은 최소가 됩니다. 먼저 임의의 경로 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)+\alpha\xi_i(t)를 생각해보도록 하겠습니다. 여기서 \normalsize\!\xi_i(t)는 실제 경로에서 벗어나는 정도를 나타내어주는 함수입니다. 하지만 t_1에서 t_2까지 이동할 때 운동을 시작하는 지점과 운동이 끝나는 지점은 같기 때문에 \normalsize\!\xi_i(t_1)=\xi_i(t_2)=0라고 놓아야겠지요. 그리고 실제 경로가 되는 \normalsize\!\alpha=0인 경우에 위의 적분은 극값을 가져야 합니다. 이를 식으로 나타내어보면 다음과 같습니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\left[\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\right]_{\alpha=0}=0

이제 알파를 적분 안에 넣어 보겠습니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac\partial{\partial\alpha}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\\=\int_{t_1}^{t_2}\sum_i\left(\frac{\partial{\bar{q_i}}}{\partial\alpha}\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}+\frac{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}{\partial\alpha}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt\\=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\left(\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}+\dot\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt

두 번째 항에서는 \normalsize\!\xi_i(t)가 시간에 대해 미분이 되어 있습니다. 보기 거슬리니까 이를 다른 놈한테 넘겨줘 봅시다. 이때는 부분적분을 이용하면 됩니다.

/\LARGE\!\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt=\left[\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt\\=-\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt

이건 아까 구한 \normalsize\!\xi_i(t_1)=\xi_i(t_2)=0라는 조건에서 알 수 있지요. 그러면 식은 한결 간단해집니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\left(\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt

알파가 0이면 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)+\alpha\xi_i(t)에서 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)임을 알 수 있습니다. 그리고 이 때 위의 적분은 항등적으로 0이 되어야 하구요.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\left[\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\right]_{\alpha=0}\\=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\left(\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}\right)dt=0

그런데 \normalsize\!\xi_i(t)는 말 그대로 임의의 함수이기 때문에 항등적으로 영이 되기 위해서는 괄호 안의 값들이 무조건 영이 되어야 합니다. 따라서

\LARGE\!\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}=0

를 얻습니다. 이는 모든 i에 대해 성립합니다.

나머지 방법인 가상일을 이용하는 방법(D'Alembert의 원리)은 다음 글에서...(다음 글을 언제 쓸지는 저도 장담을 못하겠네요...)



델랑베르 원리에서 출발하는 라그랑주는 다음 글에서 확인하세요
라그랑지 운동방정식( Lagrange Equations of motion ) (Weistern님)

델랑베르 원리를 직접 언급하지는 않았지만 유도하는 방법(사실상 썼다고 봐야하지만)
Lagrangian and Hamiltonian Mechanics

  1. Marion, Classical Dynamics of Particles and Systems, 4th Ed.에 나오는 내용을 기준으로 작성했습니다. 사실은 최대나 최소가 될 필요는 없다고 하더군요. 참고 : http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics#Hamilton.27s_principle [본문으로]

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  1. Favicon of https://hbar.tistory.com BlogIcon h-bar  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    모든 수식이 깨져 있는 것은 제 컴터의 잘못인가요??

    2010.04.03 22:43 신고

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