Dexter's story

Q.

어떤 n개의 자유도를 가진 scalar 함수 G가 있고, 이 값을 극대화하고 싶다. 물론 그냥 극대화하고 싶다면 gradient가 0이 되는 지점을 찾으면 된다.

Feynman Lectures 3권의 21-6 소챕터는 The Meissner effect라는 제목을 가지고 있다. 마이즈너 효과라고 초전도체가 모든 자기장을 외부로 밀어내는(?) 현상을 말하는 것인데, 자기부상열차에 응용하려는 움직임도 있다. 하지만 이 챕터를 내가 끌어오는 것은 중간에 잘못된 설명이 있어서이다.


어느 스칼라 함수의 라플라시안(Laplacian)이 항등적으로 0일 조건은 그 스칼라 함수가 상수일 때가 아니다. 먼저 가장 간단한 반례.

f(x,y)=e^y\cos x\\\nabla^2f=\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)f=0

물론 라플라시안이 0인 스칼라 함수는 이것 말고도 엄청나게 많다. 만약 위에서 사용된 금속 덩어리가 원통형이라면 다음과 같은 분포도 라플라시안이 0이 됨을 보일 수 있다. 보이는 계산은 다소 복잡하지만 말이다.

\theta(\rho,\phi,z)= J_1(\rho)\cos\phi\cosh z

J_1은 1종 베셀함수(Bessel function)에서 1차(order 1)인 경우이다. 수많은 공대생의 적 베셀함수가 등장하기는 했지만 용서하시길.(...) 그리고 위의 식은 원점 부근에서 발산하지 않기 때문에 충분히 사용 가능하다. 그렇다면 어째서 파인만이 저런 말을 한 것일까? 사실, 완전히 틀린 말은 아니다. 경계조건을 상수로 주면 라플라시안이 0이 되는 방법은 스칼라 함수가 상수인 경우밖에 없기 때문이다. 이 수학적인 특징은 정전기학(electrostatics)에서 정전차폐를 설명하는 근거가 된다.


그렇다면 여기서 증명되어야 할 것은, 경계조건을 상수로 두어도 좋다는 주장이다. \theta는 상태함수의 위상이라 그 절대적인 값은 의미가 없어 임의의 지점에 임의의 값을 대응시켜 주는 것은 자유롭지만 문제는 그 자유도는 한 점에 국한된다는 것이다. 다시 한번 말하면, 금속 표면의 한 점에서 위상을 0으로 주었다고 금속 표면 전체의 위상이 0이라는 근거는 없다. 나는 파인만씨가 다음 식(21.19)만 만족하면 되기에 게이지 자유도(gauge freedom)를 이용해 \theta를 벡터포텐셜 A로 흡수시켰다고 추측할 뿐이다.

수학의 아름다움이라는 글에서 말했듯이 뉴턴 이전의 물리라는 이름을 붙일만한 학문(?)들은 정량적인 분석보다는 정성적인 분석이 주를 이루었다. 중학교 과학 교과과정에 나오는 4원소설과 같은 것들 말이다. 따라서 전통적인(?) 자연과학은 숫자를 자주 사용하는 현대보다는 기하학과 같이 보다 추상적인 학문이었다고 할 수 있다.^[각주:1] 오늘은 그래서 기하학 이야기를 조금 해 보자.

전에 낸 퀴즈의 답은 involute 곡선이다. 정확히는 원의 involute 곡선이 된다. 만드는 방법은 다음과 같다. 먼저 원에 실을 팽팽하게 감아둔다. 그 다음 실의 끝에 펜을 연결하고 실을 팽팽하게 당긴 상태로 실을 푼다. 그러면 펜이 그리는 곡선이 involute 곡선이 된다.


팽팽하게 잡아당겨진 실의 끝은 실과는 항상 수직하게 움직일 수 밖에 없다. 원에 감긴 실을 잡아당긴 채로 풀게 되면 풀려진 실은 원의 접선의 일부가 되고, 따라서 이렇게 그리는 곡선은 원의 어떤 접선을 잡아도 접점에서는 항상 수직하다.

왜 이 곡선이 중요한가는 이 곡선이 원의 어떤 접선을 가져와도 항상 수직하다는 특징 때문이다. 이론적으로 어떤 접촉면에서 마찰을 제외한 모든 힘은 면에 수직하게만 주어진다. 따라서 원의 접선 방향을 따라 힘을 전달하고 싶다면, 원 위에 이 곡선을 기반으로 한 곡면을 만들어 밀어주면 되는 것이다. 기어에 이 곡선이 주로 사용되는 이유이다.^[각주:2]


잘 보면 힘이 전달되고 있는 파란선과 두 기어가 접촉하는 면이 항상 수직한 것을 볼 수 있다.

수학은 그리 멀리 떨어진 곳에 있는게 아니다. 단지 눈이 좋지 못해 못 찾아내고 있을 뿐이다.

프로젝트로 밤을 새면서 이 프로젝트와 관련이 있을지도 모르는 퀴즈 하나.

Nature by Numbers from Cristóbal Vila on Vimeo.


몇몇은 새로 보기도 하고 몇몇은 이렇게 보니까 이해되기도 하고...

조금은 다른 이야기지만, 우리가 일반적으로 아는 것과는 달리 자연현상에 수학을 도입했던 것은 뉴턴이 처음이 아니라 고대 그리스까지 거슬러 올라간다고 한다. 그때는 4원소설이 지배하던 시기였는데, 각각의 원소마다 정다면체 하나씩을 배정하고(그때까지만 해도 정12면체는 발견이 안 되었다고 한다) 그 원소들이 움직이는 성질에 따라 자연을 설명하려고 했던 것이다.^[각주:1] 실제로 아래 그림과 같이 신이 컴퍼스를 들고 있는 그림이 중세에도 있었다는 것은 이런 전통이 상당히 오래되었다는 것을 알 수 있다. 어떻게 보면 인간 추상능력의 최극단에 서 있는 수학이 자연을 기술하는데 사용되지 않는다는 것이 더 이상할지도 모른다.


그러면 뉴턴이 한 일은 무엇인가? 뉴턴이 한 일은 자연현상을 설명하는데 수학적인 설명에서 그친 것이 아니라 '직접 숫자를 도입'한 것이다. 별 것 아닌 것처럼 보이지만 사실 여기에서 물리가 출발했다. 그리고 '숫자를 가지고 자연을 설명한다'는 아직도 물리라는 학문의 정의이다. 그런데 왜 수학을 이야기하다가 물리로 넘어온거지?

KP집합론이라는 녀석을 발견했다. 문제는 3번이다. 저게 존재한다는 것을 어떻게 보일 수 있으려나...

자연수의 부분집합과 하나의 자연수 (Weistern)

집합론을 공부하다가 갑자기 이 글이 떠올랐다. 저 말은 바꿔 말한다면 유한수열이 자연수와 일대일 대응을 맺을 수 있음을 보이라는 소리와 똑같으니까 말이다.(그런데 두어 달도 더 지난 글을 왜 기억하고 있는 거지...)


그리고 다음 결과도 꽤 재미있었다.


실수선과 평면이 일대일 대응을 맺을 수 있다는 의미 아닌가. 난 사실 프랙탈 곡선 중 하나(힐베르트 곡선)를 생각했었는데 그거 말고 그냥 10진수 전개해서 번갈아 가면서 실수를 지정해주면 된다고 한다. 0.12345678....은 0.1357...이랑 0.2468...을 말한다는 식으로 말이다.


여튼, 이렇게 원래는 수리논리쪽에 관심이 생겨서 수강하게 되었는데 이상한 방향으로 관심이 흘러가고 있는 잉여의 기록을 남겨둔다. 학부땐 원래 교양을 많이 들으려고 했는데 이상한 과(?) 흘러들어가서 전공이나 듣고 있고 뭐하는 짓이지...

ZF 집합론을 공부하는 중인데, 보다 보면 멱집합(Power set)의 공리라는 것이 있다.


그러니까, 어떤 집합이 있으면 항상 그 부분집합 전체를 원소로 갖는 집합(멱집합이라고 부른다)이 존재한다는 것이다. 그런데 이게 공리여야 할 필요가 있나 싶다. 먼저 부분집합은 당연히 존재한다.(제한된 내포공리꼴-Axiom Schema of Restricted Comprehension을 이용하면 된다.) 그리고, 이 부분집합들을 자기 자신과 짝을 맺어 다시 집합으로 만드는 것이 가능하다(짝공리-Axiom of Pair; 집합에 중괄호{}를 한번 더 씌워줄 수 있다는 의미). 그리고 이렇게 만들어 낸 집합들의 합집합을 만들어낼 수 있는데(이건 짝공리와 합집합 공리-Axiom of Union를 꼬으면 된다), 이렇게 얻을 집합이 바로 멱집합이 되기 때문이다. 따라서 공리로 채택하기보다는 정리(Theorem)으로 유도해도 될 것 같다는 느낌이 든다. 물론 이건 유한집합에서의 이야기이지만.

생각해보면 무한집합에서 멱집합을 정의해줄 필요가 있어서 이런 공리를 택하는 것 같다. 무한차원에서의 선형대수학도 기저(base)를 정당화하기보다는 그렇다고 정의해버리니까 말이다.(제대로 공부해본 적은 없어서 확실하다고는 못 하겠지만.) 나중에 교수님께 질문해보지 뭐.

사람을 고용하려고 한다. 보수는 일 주일 내내 일하는 것으로 황금 막대기를 주기로 했다. 그런데 이 사람이 일 주일 일하고 보수를 받는 것은 믿을 수 없다며 매일 보수를 받겠다고 했다. 여기에 동의하고 매일 막대기를 1/7씩 주기로 했는데, 막대기를 자르는 데도 돈이 들어 막대기를 최소한으로 나누려고 한다. 어떻게 나누어야 할까?



hint. 2진법

처음 야코비 행렬을 보았을 때는 아마도 신입생 시절이었을 것이다.(기껏해야 재작년이지만) 야코비 행렬의 정의는 wikipedia 항목을 뒤져보면 쉽게 찾을 수 있다. $$d\mathbf F=\mathbf Jd\mathbf r$$

선형사상(linear map)은 두 벡터공간을 연결하는 특정한 함수의 하나이다. 이 함수를 규정하는 조건은 다음과 같다.

요즘 444 루빅스 리벤지를 돌리다가 재미있는 현상을 발견했다. 같은 색 조합을 가진(예를 들면 빨강과 녹색을 면으로 가진) 모서리 조각이 서로 붙어있는 경우 반대 방향으로 붙을 수 없다는 것이다. 한 20여번 맞추어 보면서 그렇게 붙어있던 적을 한번도 본 적이 없었으니 아마도 맞을 것이다.

당장 수중에 책이 없어서 확인하지는 못하겠지만, 동화(?) 『수학귀신』의 9번째 장에는 아픈 아이의 방에 무한히 많은 숫자들이 몰려드는 이야기가 나온다. 이때 수학귀신이 한마디 던진다. '여기 중에서 제일 많은 숫자는 누구일까?'

멈추어 있는 상태()의 조화진동자에 f라는 입력을 넣는다.



(편의상 질량항으로 나누어버렸다.) 전체를 Laplace 변환을 취한다.



X에 대해 정리.



이제 역변환. convolution을 적용하면(여기 참조)



마지막의 해는 전통적(?)인 방법으로는 절대로 구할 수 없는 답이다.


Griffith 10장 문제를 푸는데 갑툭튀한 해를 보고서는 '이게 뭐야' 하고 있다가 Laplace 변환을 쓰면 아주 쉽게 유도된다는 것을 발견.

이런데 쓰는구나(아...)

좌표변환과 같이 물리적인 의미가 있는 변환 말고 수학적인 변환 위주로 정리.

1. Legendre 변환
고전역학에서는 Hamiltonian에 쓰인다. 열역학에서도 Enthalpy나 Gibbs 자유에너지, Helmholtz 에너지 등에서 나타난다. 미분방정식에서 변수를 바꾸는 데 이용한다.



여기서 라고 정의해주면



이처럼 변수가 바뀌게 된다.


2. Fourier 변환
파동역학 쪽에서 주로 쓰는듯. 양자역학에서는 basis를 위치에서 운동량으로(또는 역으로) 바꿀 때 이용한다. FFT(Fast Fourier Transform)이라고 해서 소리 정보를 디지털 정보로 변환해 저장하는 데 응용하기도 하는 것 같다. 진동 쪽에서도 공명주파수를 구하기 위해 쓰이는 것 같으나 자세한 것은 불명.

기본적으로는 Fourier series에서 주기를 무한대로 확장한 것이다. 때문에 전체구간에서 적분한 값이 존재하지 않으면 쓸 수 없다. 변수는 실수.



위는 일반적인 n차원에서 Fourier 변환을 나타낸다.^[각주:1] 위의 것은 Fourier 변환, 아래 것은 역 Fourier 변환이라고 불린다. 변환시킨 것을 다시 되돌려 놓는다는 의미. 기타 다른 방법으로 쓸 수도 있지만, 이 방법이 대칭성이 보기 좋아 주로 쓰이는 것 같다.

미분방정식을 푸는데 쓸 수 있다. 역변환이 더럽긴 하지만. 여기를 참조.



위의 관계식을 이용해서(부분적분으로 증명할 수 있느나 생략) 미분방정식을 단순한 대수방정식으로 바꾸는 것이다. 경우에 따라서는 convolution도 이용해야 하는 것 같지만...

예시:



3. Laplace 변환
신호쪽에서 쓴다고는 하지만, 사실 어디서 쓰는지 잘 모른다(...). 듣기로는 Fourier 변환의 확장이라고... 특징이라면 Fourier 변환이 함수가 무한대에서 발산하지 않을 것을 요구하지만 여기서는 그런거 없다는 것 정도? 대신 적분구간이 음의 무한이 아니라 0부터 무한이다.(일반적인 경우는 그렇지만, 전체 구간으로 확장하는 경우도 있는듯 하다.)



s는 복소수라고 한다.(그런데 난 그렇게 배운 기억이 없다. 뭐지?)^[각주:2]

마찬가지로 미분방정식을 푸는데 쓸 수 있다. 역시 여기 참조. 따로 역변환이 있다고 배운 기억이 없기 때문에 얻어진 변환의 함수꼴을 보고 원래 함수를 추정한다.(적어도 Kreyzig 책에서는 그렇게 푼다.)^[각주:3]



예시는 귀찮으니까 여기로...
최근 글인 2009/12/17 - Laplace 변환을 이용한 미분방정식 풀이참조.


4. Gauge 변환
전자기에서 등장. 듣기로는 핵력에서도 쓰인다는데, 배우지 못한 관계로 생략. 일종의 '기준점을 선택할 자유도'이다. 자세히 적는건 나중에... 그동안은 여기서..


시간나는 대로 추가할 생각이다.

수학적 변환에 대해서 글을 쓰다가 재미있는 것을 발견했다. Hermite 다항식이 Fourier 변환의 고유함수라는 것. http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform#Eigenfunctions


Hermite 다항식은 조화진동자 문제에서 등장하는 파동함수라는 것을 생각해보면 재미있다.^[각주:1] 하긴, Hamiltonian은 운동량을 기준으로 쓰든지 위치를 기준으로 쓰든지 생김새 자체는 동일하고, 양자물리에서 Fourier 변환이 basis를 바꾸어주는 변환이라는 것을 생각해보면 이해가 갈 것 같기도 하다. 닮은 방정식의 해는 분명히 닮았을테니 말이다.

Griffith 양자책은 수학적인 설명은 살짝 불친절한것 같다. 하긴, 양자역학 책인데(...)

오늘 살펴볼 적분.



Time dependent perturbation에 등장하는 적분이다.
먼저, 부분적분.



뒷항은 안드로메다로 날려버리고 나면(0이니까)



그런데 잘 보면



(y=2x) 이다. 이제 문제는 Dirichlet integral이다.



Diriclet integral의 증명은 생략. 부분적분을 잘 꼬으면 Residue를 쓸 수 있을 것 같기도 한데....

목요일에 보았던 시험범위네요.


1. 먼저 벡터.

벡터는 수학적으로는 덧셈이 교환법칙(a+b=b+a)을 만족하며, 항등원이 있고(a+0=a) 역원이 있는(a+(-a)=0) 집합의 원소로 정의합니다. 일부의 경우 곱셈까지 제한조건으로 걸어두기도 하지만, 일단은 그 부분은 무시.

물리학적으로는 제한조건이 하나 더 붙게 됩니다. '좌표변환에 대해 좌표(변위벡터)와 동일한 방식으로 변화할 것.'이라는 조건인데, 생각해보면 당연합니다. 물리법칙은 좌표 선택에 영향받지 않습니다.^[각주:1] 따라서 물리법칙에 들어가는 벡터량들은 좌표 선택에 영향받지 않아야 합니다. 그리고 좌표 선택에 영향받지 않는 물리량은 좌표 그 자체, 변위가 되겠지요. 그러면 당연히 다른 벡터들도 변위가 변화하는 방식에 따라 변화해야지요.

이런 방식으로 변화하지는 않지만 벡터와 같은 성질을 갖는 물리량들도 있습니다. 그런 벡터들을 두고는 유사벡터(pseudovector)라고 말합니다. 대표적인 예로는 각운동량이 있군요. 좌표를 전부 거꾸로 셀 때(이를 반전-inversion-이라고 부릅니다) 위치와 속도벡터는 거꾸로 세어지지만 이들의 벡터곱인 각운동량은 뒤집어지지 않기 때문입니다.



2. 다음, 텐서.

텐서는 벡터의 확장입니다. 말이야 쉽지요.

먼저 벡터의 정의에서 마지막으로 하나의 제한조건을 더 붙였던 것 기억하시길 바랍니다. 여기가 포인트입니다.

텐서는 좌표의 '조합'에 하나의 값을 부여합니다. x와 x에 대해서는 a라는 값을, x와 y에 대해서는 b라는 값을, y와 x에 대해서는 c라는 값을, 등등등...^[각주:2] 그러면 텐서는 어떻게 변화해야 하나요? 좌표의 조합이 변화하는 방식에 따라 변화해야 합니다.

정확히 말하자면, x와 y의 조합에 b라는 값을 부여했을 때, b는 x좌표가 x'으로 바뀔 때 변하는 방식과 z좌표가 z'으로 바뀔 때 변하는 방식을 동시에 만족하면서 변해야 한다는 의미입니다. 수학적으로 바꾸어 보겠습니다.

좌표변환에서 새로 정의되는 벡터성분은 좌표변환 이전의 벡터성분들을 조금씩 수혈받습니다. xy평면상의 벡터들의 회전에 대한 행렬이 좋은 예이지요.

이 행렬에서 새로운 축의 x방향 성분은 이전 축의 x방향 성분에서 cos값을 곱한만큼 수혈받고 y축 방향 성분에서 -sin값을 곱한만큼 수혈받는다는 것을 알 수 있습니다.

그렇다면 x와 y의 조합에 대해 규정된 값인 b는 어떻게 변화해야 할까요? 새로운 축의 x와 옛 축의y의 조합에 대해 규정된 값 b'은 위의 방식대로 해주면 됩니다. 옛 축의 x와 x에 대해 정의된 값에서 cos값을 곱한만큼 수혈받고, 옛 축의 x와 y에 대해 정의된 값에서 -sin값을 곱한만큼 수혈받습니다. 그리고 새로운 축의 x와 y에 대해 부여된 값 b''은 새로운 축의 x와 옛 축의 x에 대해 정의된 값에서 sin값을 곱한만큼, 새로운 축의 x와 옛 축의 y에 대해 정의된 값에서 cos값을 곱한만큼 수혈받으면 되는 것이지요. 각 비율을 p라고 적으면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.