'Mathematics'에 해당되는 글 32건

  1. 2010.04.13 무한대와 무한대가 만났을 때 (4)
  2. 2010.03.15 Power Set에 대한 잡담 (10)
  3. 2010.03.08 월급을 황금 막대기로 주기 (4)
  4. 2010.02.24 야코비 행렬(Jacobian matrix) (12)
  5. 2010.02.04 선형대수와 행렬
  6. 2010.01.27 루빅스로 배우는 군론
  7. 2010.01.13 무한대의 비교: 자연수와 실수
  8. 2009.12.17 Laplace 변환을 이용한 미분방정식 풀이 (2)
  9. 2009.12.15 각종 변환들
  10. 2009.12.15 Fourier 변환의 고유함수
  11. 2009.12.05 적분놀이
  12. 2009.10.16 Tensor(1) (2)
자연수의 부분집합과 하나의 자연수 (Weistern)

집합론을 공부하다가 갑자기 이 글이 떠올랐다. 저 말은 바꿔 말한다면 유한수열이 자연수와 일대일 대응을 맺을 수 있음을 보이라는 소리와 똑같으니까 말이다.(그런데 두어 달도 더 지난 글을 왜 기억하고 있는 거지...)

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%7C%5Cbold%20N%7C%3D%7C%5Cbold%20N%20%5Ctimes%20%5Cbold%20N%20%7C%3D%5Caleph_0
결국 이 소리다.

그리고 다음 결과도 꽤 재미있었다.

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%7C%5Cbold%20R%7C%3D%7C%5Cbold%20R%20%5Ctimes%20%5Cbold%20R%20%7C%3D2%5E%7B%5Caleph_0%7D

실수선과 평면이 일대일 대응을 맺을 수 있다는 의미 아닌가. 난 사실 프랙탈 곡선 중 하나(힐베르트 곡선)를 생각했었는데 그거 말고 그냥 10진수 전개해서 번갈아 가면서 실수를 지정해주면 된다고 한다. 0.12345678....은 0.1357...이랑 0.2468...을 말한다는 식으로 말이다.

File:Hilbert curve.gif
힐베르트 곡선

여튼, 이렇게 원래는 수리논리쪽에 관심이 생겨서 수강하게 되었는데 이상한 방향으로 관심이 흘러가고 있는 잉여의 기록을 남겨둔다. 학부땐 원래 교양을 많이 들으려고 했는데 이상한 과(?) 흘러들어가서 전공이나 듣고 있고 뭐하는 짓이지...

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  1. Favicon of http://karotte.egloos.com BlogIcon Carrot  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    전 저거 때문에 놀라고 조금 공부해보다가 수리논리에 관심이 간 케이스...

    2010.04.13 12:08
  2. Favicon of https://cjackal.tistory.com BlogIcon jackal_anu  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    수학부 세미나 때 세시간동안 space-filling curve로 된통 당해서 별로 보고 싶지 않은 그림 _-;;
    분명 세미나 제목은 해석학의 다양한 분야였는데 어느새 교수님 전공 이야기로 흘러가버렸다는...

    2010.04.13 21:19 신고

ZF 집합론을 공부하는 중인데, 보다 보면 멱집합(Power set)의 공리라는 것이 있다.


그러니까, 어떤 집합이 있으면 항상 그 부분집합 전체를 원소로 갖는 집합(멱집합이라고 부른다)이 존재한다는 것이다. 그런데 이게 공리여야 할 필요가 있나 싶다. 먼저 부분집합은 당연히 존재한다.(제한된 내포공리꼴-Axiom Schema of Restricted Comprehension을 이용하면 된다.) 그리고, 이 부분집합들을 자기 자신과 짝을 맺어 다시 집합으로 만드는 것이 가능하다(짝공리-Axiom of Pair; 집합에 중괄호{}를 한번 더 씌워줄 수 있다는 의미). 그리고 이렇게 만들어 낸 집합들의 합집합을 만들어낼 수 있는데(이건 짝공리와 합집합 공리-Axiom of Union를 꼬으면 된다), 이렇게 얻을 집합이 바로 멱집합이 되기 때문이다. 따라서 공리로 채택하기보다는 정리(Theorem)으로 유도해도 될 것 같다는 느낌이 든다. 물론 이건 유한집합에서의 이야기이지만.

생각해보면 무한집합에서 멱집합을 정의해줄 필요가 있어서 이런 공리를 택하는 것 같다. 무한차원에서의 선형대수학도 기저(base)를 정당화하기보다는 그렇다고 정의해버리니까 말이다.(제대로 공부해본 적은 없어서 확실하다고는 못 하겠지만.) 나중에 교수님께 질문해보지 뭐.

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  1. Favicon of http://karotte.egloos.com BlogIcon Carrot  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저 공리 없이는 직관적으로는 가산집합만 만들 수 있습니다. 비가부번집합은 못 만들어 냅니다.

    2010.03.16 02:51
    • Favicon of http://karotte.egloos.com BlogIcon Carrot 2010.03.16 03:07  댓글주소  수정/삭제

      그런데 사실 가산집합에 그런 직관을 적용해서 멱집합을 구성하는 일은 논리적으로 굉장히 복잡할 것 같습니다. 일단 부분집합은 존재하겠지만 부분집합 하나하나를 구별할 수 있느냐가 문제지요. 그래야 나중에 합집합을 했을 때, 그 집합이 A의 임의의 부분집합을 포함하는 집합인지 알 수 있을 것 아니겠습니까.

      차라리 A의 멱집합부터 존재함을 생각하고, 멱집합의 임의의 원소로 A의 부분집합을 다룰 수 있다고 생각하는 게 더 편하지 않을까요.

    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.03.16 08:00 신고  댓글주소  수정/삭제

      그렇군요 ㅇ-ㅇ

      하긴 무한집합을 못 다루는 집합론은 존재 의의가 좀...-_-;;

    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.03.16 08:04 신고  댓글주소  수정/삭제

      부분집합 하나하나 구별하는건 그리 어려워 보이지는 않아요. 우리에겐 2진법이라는 막강한(?) 명명법이 있으니까요. 유한집합이라면 어떻게든 그 원소에 순서를 줄 수 있고, 모두를 포함하지 않는 공집합부터 전체 집합과 동일한 부분집합까지 전부 셀 수 있으니까요. 원소의 수만 안다면 2^n이라는 유한한 계산과정을 통해 얼마든지 멱집합을 구할 수 있지 않을까요? 그리고 이런 복잡한 과정을 무시하라고 정리가 있는거구요.

    • Favicon of http://karotte.egloos.com BlogIcon Carrot 2010.03.16 13:13  댓글주소  수정/삭제

      일단 A의 부분집합이 존재하고 이를 B라고 하면 집합 {B}가 있는 것은 당연하죠. 그런데 지금 궁금한 건 이런 집합 B를 모두 뽑아서 {B}를 취하고 이를 나열할 수 있느냐는 겁니다. 이를 집합론의 말로 쓰면 결국 {{B}|B is a subset of A}라는 집합이 존재한다는 게 될텐데, 이 집합이 존재함을 보장할 수 있는지가 의문. (멱집합 공리와 동치로 보입니다.) 존재한다면 저 집합에 대한 합집함을 구할 수 있으니까 상관 없지요.

      또 '센다' '가산집합' 같은 개념도 실은 자연수 집합의 구성까지 가야 다룰 수 있는 거기 때문에 너무 돌아가는 듯 싶기도 하구요. 아마 그렇게 되면 주어진 집합 A에서 자연수 집합 N으로 가는 함수(혹은 그 역함수)를 잡아서 하면 될 것 같기도 한데, 왠지 선택공리하고 마주할 것 같습니다. 그런데 선택함수는 또 어찌하죠, 으악.

      이래저래 좀 골치 아파지는 듯 싶습니다. (...)

      일단은 도전문제로 남겨 놓으심이...

    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.03.17 16:00 신고  댓글주소  수정/삭제

      교수님께 물어보니 '유한집합'에 대해서는 귀납법을 이용해 증명하면 될 것 같다고 하시더군요. 유한집합은 자연수와 대응하는 집합으로 정의하면 된다면서. 재미있는 프로젝트가 될 것 같다는 말씀은 하시던데 -_- 흠;;

      B를 부분집합이라고 한다면 B는 당연히 존재하고(제한된 내포공리꼴을 이용하면 당연히 존재하니까요), 짝공리를 쓰면 {B}가 존재한다는 것을 보일 수 있고, 또 {{B}}도 동일한 이유로 존재하고, 그 다음 {{B_1}}과 {{B_2}}(부분집합을 레이블링 한다면)를 합집합 공리를 이용해서 {B_1, B_2}가 존재하겠죠.

      문제는 귀납법을 어떻게 적용하느냐인데..

  2. Favicon of http://karotte.egloos.com BlogIcon Carrot  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    그런데 일단은 그 레이블링을 위해서도, 귀납법을 적용하려면 자연수 집합을 구성해야 한다는 이야기. 아마 지금 쓰고 계시는 교재에도 나올 거에요. 다만 그렇게 첨수를 주는 것도 집합을 통해서 구성되니까 그 작업도 꽤 골치 아파 보입니다.

    여하튼 꽤 재미 있어보이는 도전문제입니다. 나중에 다시 공부할 일 있으면 NBG에서 한번 해볼까. (...)

    2010.03.17 20:49
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.03.18 00:10 신고  댓글주소  수정/삭제

      일단 유한한 자연수에 대해 멱집합을 공리 없이 구성할 수 있다는 것만 증명해도 문제의 70%는 해결될 것 같은데 말이죠 -_- 흠

      일단은 항공역학 공부부터(...)

  3. hmmm  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    weisterns첨보다 엄청 활성화 된듯요 ㅎ
    그건 그렇고 우울증 완전 탈피한건 아니지만 나름 적응중
    다시 생각해보면 우을증이 아니라 조울증이라고 생각되요 아 리튬 먹어야 하나

    2010.03.19 20:45

사람을 고용하려고 한다. 보수는 일 주일 내내 일하는 것으로 황금 막대기를 주기로 했다. 그런데 이 사람이 일 주일 일하고 보수를 받는 것은 믿을 수 없다며 매일 보수를 받겠다고 했다. 여기에 동의하고 매일 막대기를 1/7씩 주기로 했는데, 막대기를 자르는 데도 돈이 들어 막대기를 최소한으로 나누려고 한다. 어떻게 나누어야 할까?



hint. 2진법

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  1. 지나가던이  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    1일째: 1/7을 잘라서 준다. (다음날 꼭 월급을 줄테니 그 1/7을 다시 가져오도록 해야 한다.)
    2일째: 2/7을 잘라서 준다. 그리고 전날 준 1/7을 도로 받는다. (남은 황금은 5/7=1/7+4/7)
    3일째: 전날 받은 1/7을 다시 준다. 그리고 다음날 꼭 월급을 줄테니 받은 황금 모두 가져오도록 해야 한다. (남은 황금은 4/7)
    4일째: 남아 있는 황금 덩어리 4/7을 모두 주고, 지금까지 줬던 덩어리들(1/7, 2/7)를 도로 받는다. (남은 황금은 3/7=1/7+2/7)
    5일째: 1/7 덩어리를 준다. (다음날 1/7덩어리 다시 가져오도록 한다. 남은 황금은 2/7)
    6일째: 2/7 덩어리 주고, 1/7 덩어리를 도로 받는다. (남은 황금은 1/7)
    7일째: 남은 황금 1/7덩어리를 준다. 임금지급 완료
    2번 잘랐는데,,,이거 맞아요??? 총 3조각 나오는데....틀린건가?
    =
    ==
    ====

    2010.05.20 17:33
  2. Favicon of http://blog.naver.com/dwhuh2002 BlogIcon Joe군  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    음 지나가던이 말씀이 맞는듯요

    2010.06.27 00:49

처음 야코비 행렬을 보았을 때는 아마도 신입생 시절이었을 것이다.(기껏해야 재작년이지만) 야코비 행렬의 정의는 wikipedia 항목을 뒤져보면 쉽게 찾을 수 있다.

J=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix}.
위 링크에서는 n차원 유클리드 공간에서 m차원 유클리드 공간으로 보내는 사상 F에 대해서 정의되는 값이라고 되어있다. 다른 말로 하자면 n개의 x 성분이 있는 공간에서 정의된 m개의 y 성분이 있는 벡터장(vector field) F의 기울기(gradient)라고도 할 수 있다. 먼저 기울기의 성격을 잘 생각해보자.
 
d\psi=\nabla\psi\cdot d\bold r

위 식은 장을 측정하는 위치가 조금 변했을 때 장의 크기가 변하는 정도는 그 위치변화(변위)와 장의 기울기의 내적과 같다는 것을 말해주고 있다. 벡터장의 경우 동일한 결론을 얻게 되는데, 물론 벡터를 열벡터로 쓰는 것에 동의한 경우이다.[각주:1] 야코비 행렬을 J라고 쓰면 미소변위 dr만큼 움직였을 때 벡터장 F의 변화 dF는 다음과 같다.

d\bold F=\bold Jd\bold r

의문이 생기면 직접 확인해 보도록. 벡터의 각 성분을 스칼라함수로 본 상태에서 기울기를 구해 행벡터로 나열하고, 여기에 뒤쪽의 미소변위 벡터를 곱하면 각 항목마다 내적을 취하게 되어서 그렇다.[각주:2]

이 행렬의 행렬식(determinant)은 상당히 자주 이용된다. 물론 행렬식을 이용하려면 사상이 같은 차원의 공간을 이어주어야 한다. 대표적인 예는 구면좌표계를 직교좌표계로 바꾸는 경우가 있다. wikipedia의 동일 항목에 나온 예이긴 하지만,[각주:3] 이보다 적절한 예는 없다고 생각해서 이 예를 쓰도록 하겠다.

 x_1 = r\, \sin\theta\, \cos\phi \,
 x_2 = r\, \sin\theta\, \sin\phi \,
 x_3 = r\, \cos\theta. \,

이 경우의 야코비 행렬은

J_F(r,\theta,\phi) =\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial x_1}{\partial r} & \dfrac{\partial x_1}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_1}{\partial \phi} \\[3pt]
\dfrac{\partial x_2}{\partial r} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \phi} \\[3pt]
\dfrac{\partial x_3}{\partial r} & \dfrac{\partial x_3}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_3}{\partial \phi} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 
	\sin\theta\, \cos\phi &  r\, \cos\theta\, \cos\phi  & -r\, \sin\theta\, \sin\phi \\
	\sin\theta\, \sin\phi &  r\, \cos\theta\, \sin\phi  &  r\, \sin\theta\, \cos\phi \\ 
	\cos\theta            &  -r\, \sin\theta             &             0                               
\end{bmatrix}.

이 된다. 위 링크를 따라가보면 알겠지만 야코비 행렬식은 미소부피가 얼마나 팽창하는지 알려주는 계수가 된다. 위의 경우에서 행렬식을 구하면 r^2 sin θ가 되는데, 구면좌표계를 공부한 사람들은 알다시피 dx dy dz = r^2 sin θ dr dθ dφ 이다. 왜 그런지는 이렇게 보일 수 있다. 편의상 야코비 행렬이 다음과 같은 모습이라고 하자.

J_F=\left(\begin{array}{ccc} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{array}\right)

이제는 다음 방정식이 성립한다.

d\bold x=J_Fd\bold y

아까의 예제대로라면 x는 데카르트 좌표계, y는 구면좌표계의 미소변화이다. 위 식을 풀어쓰면 다음과 같은 세 방정식이 된다.

dx_1=a~dy_1+b~dy_2+c~dy_3\\ dx_2=d~dy_1+e~dy_2+f~dy_3\\ dx_3=g~dy_1+h~dy_2+i~dy_3

이제 미소부피를 구할 차례이다. 그런데 애석하게도, 미소부피는 저 세 값을 단순히 곱한다고 얻어지는게 아니다. 잘 생각해보면 각 항목은 하나의 벡터이다. 따라서 단위벡터를 ^를 씌워 나타낸다면 위 방정식은 정확히는 이런 방정식이 된다.

dx_1\hat{x_1}=a~dy_1\hat{y_1}+b~dy_2\hat{y_2}+c~dy_3\hat{y_3}\\ dx_2\hat{x_2}=d~dy_1\hat{y_1}+e~dy_2\hat{y_2}+f~dy_3\hat{y_3}\\ dx_3\hat{x_3}=g~dy_1\hat{y_1}+h~dy_2\hat{y_2}+i~dy_3\hat{y_3}

그리고 미소부피를 정확히 나타내려면 위 세 벡터를 스칼라곱 해주어야 한다. 더 높은 차원에서는 쐐기곱을 해주어야 하는데, 아직은 필요없으니 무시하자. 더 알고 싶은 사람은 여기를 확인하고, 여기서는 계속 나아가도록 하겠다. 이제 미소부피 dV는 다음과 같이 쓸 수 있다.

dV=(dx_1\hat{x_1})\cdot( dx_2\hat{x_2})\times (dx_3\hat{x_3})

삼중곱을 간단히 나타내는 방법을 우리는 아주 잘 알고있다. 행렬식을 이용하는 것. y를 사용하는 공간도 유클리드 공간이기 때문에 각 벡터를 성분으로만 써주면 이렇게 된다.

\bold{dx_1}=(a~dy_1,b~dy_2,c~dy_3)\\ \bold{dx_2}=(d~dy_1,e~dy_2,f~dy_3)\\ \bold{dx_3}=(g~dy_1,h~dy_2,i~dy_3)

이제 삼중곱.

dV=(dx_1\hat{x_1})\cdot( dx_2\hat{x_2})\times (dx_3\hat{x_3})~~~~~~~~~~\\=\left|\begin{array}{ccc} a~dy_1&b~dy_2&c~dy_3\\d~dy_1&e~dy_2&f~dy_3\\g~dy_1&h~dy_2&i~dy_3 \end{array}\right|\hat{y_1}\cdot\hat{y_2}\times\hat{y_3}

행렬식의 성질때문에 같은 열에 곱해진 숫자는 앞으로 튀어나올 수 있다. dy_1등을 행렬에서 제거해주자.

dV=(dx_1\hat{x_1})\cdot( dx_2\hat{x_2})\times (dx_3\hat{x_3})~~~~~~~~~~\\=\left|\begin{array}{ccc} a~dy_1&b~dy_2&c~dy_3\\d~dy_1&e~dy_2&f~dy_3\\g~dy_1&h~dy_2&i~dy_3 \end{array}\right|\hat{y_1}\cdot\hat{y_2}\times\hat{y_3} \\=\left|\begin{array}{ccc} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{array}\right|dy_1~dy_2~dy_3~\hat{y_1}\cdot\hat{y_2}\times\hat{y_3}

이제 사실상 의미없는 삼중곱을 지워주면 우리가 그토록 애타게 원하던 결과가 나온다.

dV=dx_1~dx_2~dx_3=\left|\begin{array}{ccc} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{array}\right|dy_1~dy_2~dy_3



강의를 듣던 당시에는 '오 신기하네' 정도로 생각하고 넘어갔는데 돌이켜보니 나름대로의 논리가 스며들어 있었던 결과물중 하나이다. 설명을 다시 짚어보지 않아서 제대로 설명했는지는 모르겠다.
  1. 행렬이 참으로 놀랍지 않을 수 없다. 얜 어디를 가더라도 등장해 -_- [본문으로]
  2. 행 별로 보는게 이해가 빠를 것이다. 각 행은 그 성분의 gradient라는 점에 주의. [본문으로]
  3. 대상은 조금 다르지만 상관없다. [본문으로]

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  1. Favicon of http://blog.naver.com/dwhuh2002 BlogIcon Joe군  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    얽 현 나이 중3
    이해X

    2010.06.27 01:06
  2.  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

    2011.02.20 12:44
  3. Favicon of http://GMLWND3011@NATE.COM BlogIcon AJ  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    어렵네요

    2011.02.20 12:44
  4. 엄태민  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    엑박이 좀 많은데 수정하실생각은 없으신지..

    2011.04.10 23:31
  5. Favicon of http://ckdwo0605.blog.me BlogIcon Heterotic-E  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    해석학공부중에 야코비안이 참임을 증명하기는 했지만 어떻게 도입되었는지에 대해서는 언급이 없어서 찾아보다가 이 글을 보게 되었네요. 좋은 글 잘보고갑니다. 아직 궁금증은 다 채워지지 않았지만요...

    2012.04.14 18:56
  6. 공대3학년  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    큐... 봐도모르겠네 대학공부 헛했네 ㅠㅜ

    2012.11.04 22:09
  7. ㅇㅇㅇㄴ  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저기요, 위에 dx1 dx2 dx3 스칼라 값에서 벡터 값으로 넘어가는데 어떤 연산을 한건가요? 왠지 그러할 것이다- 하고 넘어가는 것 같아서 조금 찝찝해요 ㅠㅠ

    2015.10.09 07:15
  8.  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    네 저기 위에 벡터표시를 얹어주는 과정이 틀렸는데요?

    2017.07.02 14:43

선형사상(linear map)은 두 벡터공간을 연결하는 특정한 함수의 하나이다. 이 함수를 규정하는 조건은 다음과 같다.


(생각해보니 두번째 줄은 넣지 않아도 되었을 듯)
선형사상은 항상 적절한 행렬로 나타낼 수 있다는 것이 알려져 있다.[각주:1] U와 V는 벡터공간이므로, 각 공간의 기저(basis)를 임의로 정할 수 있다. 각 공간의 차원을 m, n이라고 부르고 벡터를 어떤 고정된 기저의[각주:2] 선형조합으로 나타낼 때 각 성분을 열벡터로 쓰자. 예시;


출력되는 벡터도 마찬가지로 써 준다.(이번에는 n개의 행을 가진 열벡터가 된다.) 다음, 선형사상의 정의를 고려해서 출력값을 다음과 같이 써 준다.


이제 각 기저벡터의 상(image)을 열벡터로 나타내준다. 각 기저벡터의 상을 b_i라고 쓰자.


이제 x의 상은 다음과 같아진다.


이 연산은 행렬로도 쓸 수 있다.


b_i는 n×1 열벡터이기 때문에 선형사상 f는 n×m 행렬이 된다.



재미있는 사실은 이 선형사상을 텐서의 일종으로[각주:3] 볼 수 있다는 것이다.(물론 차원이 조금 이상하기는 하지만)

먼저 사상을 F라는 행렬로 쓰자. 그리고 F라는 행렬을 만드는데 쓰였던 상의 기저를 Y라는 집합으로, 전상(preimage)의 기저를 X라는 집합으로 쓰자. 상을 열벡터 y로, 전상을 열벡터 x로 쓴다면 위의 방정식은 다음과 같다.


이제 전상의 기저(X→X')를 바꾸어보자. 벡터 자체는 그대로 있지만 기저를 바꾸어서 그 벡터를 나타내는 숫자를 변경하는 것이다. 어차피 벡터의 표현 형식보다는 벡터 자체의 성질이 중요하기 때문에 원상의 기저를 바꾼다고 해서 상이 바뀔 이유는 없다. 그리고 상 자체는 그대로 있기 때문에, 상을 나타내는 기저가 바뀌지 않는 한 벡터 y는 바뀔 이유가 없다. 먼저 기저를 바꾸어서 x로 측정되던 벡터가 이제는 x'으로 측정된다고 하자.[각주:4] 이렇게 기저를 바꾸어주는 행렬을 T_x라고 쓰자.


그러면 사상 F가 변해야만 상이 y로 제대로 나올 수 있다. 단순히 F에 x'을 곱한다고 y가 나오지는 않으니 말이다. 기저 X를 새로운 기저 X'으로 쓸 때 사상을 나타내는 행렬을 F'이라고 하자.[각주:5] 물론 사상 자체가 바뀌지는 않았지만 숫자는 바뀌었다. 의외로 F'를 구성하는 숫자들은 간단하게 얻을 수 있다.


이번에는 상의 기저(Y→Y')마저 변했다고 치자. 벡터 y를 나타내는 숫자는 다음과 같이 변한다.


이렇게 되면 사상을 나타내는 행렬마져도 변하게 되는데, 이 행렬은 F''으로 쓰자. 처음처럼 간단한 형식을 유지하고 싶으면 다음과 같이 숫자를 변경하면 된다.


선형대수학을 공부한 많은 사람은 무언가 비슷한 식을 기억하고 있을 것이다. 위 식은 유사변환(similarity transform)의 전 형태이다. 상과 전상의 차원이 같고 둘 다 같은 기저만을 쓰도록 한다면 T_y와 T_x가 똑같기 때문에 유사변환이 된다.

이 글을 읽고나면 텐서의 정의를 읽기 조금은 쉬워질지도 모르겠다. 위에서 쓴 것을 좀 더 일반적으로 쓴 것이 텐서의 변환이기 때문이다. 역행렬이 곱해지는 것은 covariant의(아래쪽에 인덱스가 붙는 형태) 성질이고 그냥 행렬이 곱해지는 것은 contravariant의(위쪽에 인덱스가 붙는 형태) 성질이다.[각주:6] 나중에 tensor(2)를 쓰게 되면 정리하겠다.(과연 언제이려나)
  1. 선형대수학이 행렬학인 이유 [본문으로]
  2. 계속 같은 기저를 이용해 벡터를 측정한다는 말이다 [본문으로]
  3. 양쪽을 동일한 성질(covariant 또는 contravariant)의 벡터라고 할 때 (1,1) 텐서이다. [본문으로]
  4. 벡터가 변한 것이 아니라 벡터를 나타내는 숫자가 변한 것이다. 예를 들어 xy평면에서 (1,0)에 있는 점은 축을 시계방향으로 90도 돌리면 (0,1)에 있게 되지만, 축이 돌아간 것일 뿐 점 자체가 이동한 것은 아니다. 여기서는 (1,0)이 x에 해당하고, (0,1)이 x'에 해당한다. [본문으로]
  5. y=F'x'으로 쓰고 싶은 상태 [본문으로]
  6. 링크된 글에서는 엄격히 말하자면 contravariant 성분이 둘인 (2,0)텐서로 써야 했지만 귀찮아서 covariant로 써버렸다. [본문으로]

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요즘 444 루빅스 리벤지를 돌리다가 재미있는 현상을 발견했다. 같은 색 조합을 가진(예를 들면 빨강과 녹색을 면으로 가진) 모서리 조각이 서로 붙어있는 경우 반대 방향으로 붙을 수 없다는 것이다. 한 20여번 맞추어 보면서 그렇게 붙어있던 적을 한번도 본 적이 없었으니 아마도 맞을 것이다.

고등학교 졸업논문(...)으로 222 루빅스 큐브의 조합의 수가 왜 전체 가능한 배치에서 3을 나누어야 하는지를 썼던 기억이 있어서(지금 그 논문은 노트북 어딘가에 잠들어 있을 듯) 비슷한 방법을 쓰면 되겠지라고 생각하고 있었다.[각주:1] 그런데 이게 직접 숫자를 정의하고 모든 경우의 수마다 계산해주어야 하는 귀찮은 작업이라 인터넷에 비슷한 것을 발견한 사람이 없나 찾아보고 있었다.

그래서 군론을 살짝 공부해보고 있는 겸 rubix cube group이라는 검색어로 구글을 뒤적거려 보았더니 이 pdf가 튀어나왔다.

http://www.geometer.org/rubik/group.pdf

읽다 보니 '군론으로 전혀 알지 못하는 것도 다룰 수 있게 되었다'는 어느 물리학자의 말이 와 닿는다.


p.s. 군론에 대한 강의를 듣고 싶으면 '현대대수학'이라는 강의를 들으면 되는데, 대수라는 것은 '숫자를 대신한다'라는 뜻을 갖고 있다. 그러니까 직접 숫자를 쓰지 않고 계산한다는 의미로, 다르게 말하면 연산을 추상화해서 연산들의 공통점을 찾아낸다는 내용이 군론의 주된 내용이다. 현미경으로도 보이지 않는 입자들을 가지고 각종 계산을 해야 하는 물리학자들에겐 더없이 필요한 수학인 셈이다.
  1. 3을 나눈다는 것은 무작정 분해한 다음에 임의로 재조립했을 때 맞출 수 있는 배치가 될 확률이 1/3이라는 뜻이다. 불변값(내가 찾아낸 것은 3을 modulus로 갖는 숫자였다.)을 찾아내면 쉽게 증명할 수 있다. [본문으로]

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당장 수중에 책이 없어서 확인하지는 못하겠지만, 동화(?) 『수학귀신』의 9번째 장에는 아픈 아이의 방에 무한히 많은 숫자들이 몰려드는 이야기가 나온다. 이때 수학귀신이 한마디 던진다. '여기 중에서 제일 많은 숫자는 누구일까?'

이제 와서 돌이켜보면 무한히 많은 원소를 가지는 집합들의 크기를 비교하는 방법을 다룬 이야기였다. 1부터 5까지의 범위 안에 있는 자연수의 수와 홀수의 수는 확실히 비교할 수 있다. 하지만 우리가 다루는 구간이 무한히 나아간다면 어떨까? 얼핏 생각한다면 홀수가 더 적어 보인다. 홀수의 집합은 자연수의 집합의 부분집합이기 때문이다. 그런데 문제는 무한이라는 수(?)는 그 자체로 대소를 비교할 수 없다는 것이다.

문제를 조금 바꾸어서, 셋까지만 셀 수 있는 사람이 수만명으로 이루어진 두 집단의 크기를 비교하는 것으로 바꾸어 보자. 어떤 방법을 쓰면 두 집단을 비교할 수 있을까? 가장 간단한 방법은 서로 다른 집단의 한 사람과 손을 잡도록 시킨 후, 손이 빈 사람이 있는지 살펴보는 것이다. 두 집단을 편의상 갑과 을이라고 부른다면, 갑 집단의 사람이 많다면 갑 사람 중 손이 을 사람을 찾아 헤메는 사람이 있을 것이고 을 집단의 사람이 많다면 그 반대일 것이다.

물론 우리는 꽤 큰 숫자까지 셀 수 있다. 하지만 그 수를 무한과 비교해본다면, 수만 중 셋조차도 되지 못한다. 따라서 숫자 집합의 크기를 비교할 때에는 고민할 수 밖에 없다. 어떻게 해야 그 둘을 비교할 수 있을까? 앞선 문제에서 이미 눈치를 챈 독자도 있겠지만 나처럼 눈치가 매우 없는 사람들을 위해서 설명하자면, 그 숫자를 서로 묶어주는 것이다. 한 집단의 모든 원소에 대해 다른 집단의 원소를 묶어줄 수 있다면, 두 집단의 크기는 동일하다. 간단하게 자연수와 홀수를 비교해보자.


우리의 직관은 이렇게 홀수(아랫줄)구간에 빈 자리가 생기기 때문에 홀수가 당연히 더 적을 것이라고 생각한다. 하지만 과연 그럴까? 이번에는 이렇게 줄세워보자.


이번엔 자연수(윗줄)이 적어 보인다. 보이는 것이 전부는 아닌 것이다. 어떻게 해야 크기를 제대로 비교할 수 있을까? 답은 이렇다. '어떻게 줄을 세우더라도 한 쪽이 남는다면, 그 쪽이 크다' 자연수와 홀수는 이렇게 줄세우면 양쪽이 하나도 남지 않게 할 수 있다.


이런 식으로 끝까지(?) 나아갈 때, 나오지 않는 자연수와 홀수는 존재하지 않는다. 따라서 자연수와 홀수 집합의 크기는 동일하다. 이런 식으로 모든 소수의 집합과 모든 정수의 집합, 모든 유리수의 집합과 모든 제곱수의 집합 등이 전부 자연수 집합과 동등한 크기를 갖는다는 것을 증명할 수 있다.

유리수를 세는 방식. 2/2는 지워야 하겠지만 규칙성을 볼 수 있도록 놓아두었다.
분모와 분자의 합을 일정하게 하고 분모를 하나 뺀 뒤 분자를 하나 더하는 방식이다.

하지만 실수가 출동하면 어떨까?

나는 구식이다 OTL

실수 전체와 자연수를 비교하려면 힘이 매우 많이 든다. 먼저 0과 1 사이에 존재하는 모든 실수에 대해서만 자연수와 비교하도록 하자. 시작할때는 널럴하게 아무 실수나(전에 나온 것을 빼고) 골라서 자연수와 연결해준다. 다음처럼 말이다.


이대로라면 모든 실수를 연결해 줄 수 있을것만 같다는 기분이 든다. 과연 그럴까? 다음 실수가 자연수와 연결되었는지 확인해보자.

소수점 첫 째 자리는 1과 연결된 실수의 소수점 첫 째 자리와 다르고
소수점 둘 째 자리는 2와 연결된 실수의 소수점 둘 째 자리와 다르고
소수점 셋 째 자리는 3과 연결된 실수의 소수점 셋 째 자리와 다르고
소수점 넷 째 자리는 4와 연결된 실수의 소수점 넷 째 자리와 다르고
[...]
위에서의 예: 0.32436....

실수는 소수점 아래 무한한 자리의 숫자가 있고, 위의 실수는 지금 연결된 모든 실수와 최소한 한 자리는 차이가 나기 때문에 자연수와 전혀 연결되지 않았다. 그렇다면 이 수를 먼저 연결해주면 될 것 아닌가? 그런데 그러면 위와 같은 방법으로 구한 또 다른 수가 생길 것이고, 결국 어떤 방법을 쓰더라도 실수와 자연수를 연결하면 실수가 남는다는 것을 알 수 있다.(지금 실수는 0과 1 사이에서만 생각하고 있었다는 것을 생각하면 까마득하다.) 더군다나 이런 방식을 응용해서 찾을 수 있는 소수는 무수히 많다. 어떻게 연결해 주더라도 실수 중에서는 자연수 짝을 찾지 못한 솔로부대가 존재해야만 한다는 것이다.(그것도 매우 많이) 우리는 결국 실수의 집합은 자연수의 집합보다 크다는 결론을 내릴 수 밖에 없다.[각주:1]

우리는 지금까지 무한대의 크기를 비교했다. '실수 집합의 원소의 수'라는 무한과 '자연수 집합의 원소의 수'라는 무한 사이에는 같은 무한이더라도 분명한 크기 차이가 존재한다는 것을 보였다. 그렇다면 두 무한 사이에 존재하는 무한도 있을 수 있을까? 이 문제는 힐베르트의 난제중 하나(1번)이다. 이미 그 해답은 얻어졌지만, 공부를 안해서귀찮은 관계로 이 문제는 기약없는 다음으로 미루어두기로 한다.



20100304 추가
http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor's_first_uncountability_proof
이 정리는 칸토르의 작품이었다고 한다. 좀 더 엄밀한 정리.
  1. 첨언하자면 무리수의 집합 중 근(root)으로 나타낼 수 있는 수들의 집합은 자연수의 집합과 같은 크기를 갖는다. 왜 그런지는 독자들의 몫으로 남겨둔다. 힌트: 모든 근으로 이루어진 수들은 정수를 계수로 갖는 다항식의 해이다. [본문으로]

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멈추어 있는 상태(http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cdot%7Bx%7D(0)%3Dx(0)%3D0)의 조화진동자에 f라는 입력을 넣는다.

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cddot%7Bx%7D%2B%5Comega%5E2x%3D%5Cfrac%7Bf%7D%7Bm%7D

(편의상 질량항으로 나누어버렸다.) 전체를 Laplace 변환을 취한다.

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathcal%7BL%7D%5C%7Bx(t)%5C%7D%3DX(s)%2C~%5Cmathcal%7BL%7D%5C%7Bf(t)%5C%7D%3DF(s)%0A%5C%5C(s%5E2%2B%5Comega%5E2)X(s)%3D%5Cfrac%7BF(s)%7Dm

X에 대해 정리.

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=X(s)%3D%5Cfrac1%7Bm%5Comega%7D%5Cfrac%7B%5Comega%7D%7Bs%5E2%2B%5Comega%5E2%7DF(s)%3D%5Cfrac1%7Bm%5Comega%7D%5Cmathcal%7BL%7D%5C%7B%5Csin%5B%5Comega%7Bt%7D%5D%5C%7DF(s)

이제 역변환. convolution을 적용하면(여기 참조)

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathcal%7BL%7D%5E%7B-1%7D%5C%7BX(s)%5C%7D%3Dx(t)%3D%5Cmathcal%7BL%7D%5E%7B-1%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac1%7Bm%5Comega%7D%5Cmathcal%7BL%7D%5C%7B%5Csin%5B%5Comega%7Bt%7D%5D%5C%7DF(s)%5Cright%5C%7D%3D%5Cfrac1%7Bm%5Comega%7D%5Cint_0%5Et%5Csin%5B%5Comega(t-%5Ctau)%5Df(%5Ctau)d%5Ctau

마지막의 해는 전통적(?)인 방법으로는 절대로 구할 수 없는 답이다.



Griffith 10장 문제를 푸는데 갑툭튀한 해를 보고서는 '이게 뭐야' 하고 있다가 Laplace 변환을 쓰면 아주 쉽게 유도된다는 것을 발견.

이런데 쓰는구나(아...)

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  1. Favicon of http://chew282.wordpress.com BlogIcon Donnie  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    으음, 유도는 한판승이 묘미죠.

    그 외 나머지 본문 내용은 지상언어가 아닌 것 같아서 패스.

    2009.12.20 16:05

각종 변환들

Mathematics 2009.12.15 19:36
좌표변환과 같이 물리적인 의미가 있는 변환 말고 수학적인 변환 위주로 정리.

1. Legendre 변환
고전역학에서는 Hamiltonian에 쓰인다. 열역학에서도 Enthalpy나 Gibbs 자유에너지, Helmholtz 에너지 등에서 나타난다. 미분방정식에서 변수를 바꾸는 데 이용한다.

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=d%5Ceta%3DFd%5Cphi%2BGd%5Cpsi%5C%5CF%5Cequiv%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Ceta%7D%7B%5Cpartial%5Cphi%7D%2C~G%5Cequiv%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Ceta%7D%7B%5Cpartial%5Cpsi%7D

여기서 http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cpi%5Cequiv%5Ceta-G%5Cpsi라고 정의해주면

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=d%5Cpi%3Dd%5Ceta-d(G%5Cpsi)%3DFd%5Cphi%2BGd%5Cpsi-%5Cpsi%7BdG%7D-Gd%5Cpsi%5C%5Cd%5Cpi%3DFd%5Cphi-%5Cpsi%7BdG%7D

이처럼 변수가 바뀌게 된다.


2. Fourier 변환
파동역학 쪽에서 주로 쓰는듯. 양자역학에서는 basis를 위치에서 운동량으로(또는 역으로) 바꿀 때 이용한다. FFT(Fast Fourier Transform)이라고 해서 소리 정보를 디지털 정보로 변환해 저장하는 데 응용하기도 하는 것 같다. 진동 쪽에서도 공명주파수를 구하기 위해 쓰이는 것 같으나 자세한 것은 불명.

기본적으로는 Fourier series에서 주기를 무한대로 확장한 것이다. 때문에 전체구간에서 적분한 값이 존재하지 않으면 쓸 수 없다. 변수는 실수.

 \hat{f}(\omega) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{- i\omega\cdot x}\,dx f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(\omega) e^{ i\omega \cdot x}\,d\omega.
Wikipedia: Fourier transform

위는 일반적인 n차원에서 Fourier 변환을 나타낸다.[각주:1] 위의 것은 Fourier 변환, 아래 것은 역 Fourier 변환이라고 불린다. 변환시킨 것을 다시 되돌려 놓는다는 의미. 기타 다른 방법으로 쓸 수도 있지만, 이 방법이 대칭성이 보기 좋아 주로 쓰이는 것 같다.

미분방정식을 푸는데 쓸 수 있다. 역변환이 더럽긴 하지만. 여기를 참조.

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathcal%7BF%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bd%5Enf(x)%7D%7Bdx%5En%7D%5Cright%5C%7D%3D(i%5Comega)%5En%5Chat%7Bf%7D(%5Comega)

위의 관계식을 이용해서(부분적분으로 증명할 수 있느나 생략) 미분방정식을 단순한 대수방정식으로 바꾸는 것이다. 경우에 따라서는 convolution도 이용해야 하는 것 같지만...

예시:
http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cfrac%7Bd%5E2%20f(x)%7D%7Bdx%5E2%7D%20%2BA%5Cfrac%7Bdf(x)%7D%7Bdx%7D%2BBf(x)%3Dg(x)%0A%5C%5C(-%5Comega%5E2%2BAi%5Comega%2BB)%5Chat%7Bf%7D(%5Comega)%3D%5Chat%7Bg%7D(%5Comega)


3. Laplace 변환
신호쪽에서 쓴다고는 하지만, 사실 어디서 쓰는지 잘 모른다(...). 듣기로는 Fourier 변환의 확장이라고... 특징이라면 Fourier 변환이 함수가 무한대에서 발산하지 않을 것을 요구하지만 여기서는 그런거 없다는 것 정도? 대신 적분구간이 음의 무한이 아니라 0부터 무한이다.(일반적인 경우는 그렇지만, 전체 구간으로 확장하는 경우도 있는듯 하다.)

F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt.
Wikipedia: Laplace transform

s는 복소수라고 한다.(그런데 난 그렇게 배운 기억이 없다. 뭐지?)[각주:2]

마찬가지로 미분방정식을 푸는데 쓸 수 있다. 역시 여기 참조. 따로 역변환이 있다고 배운 기억이 없기 때문에 얻어진 변환의 함수꼴을 보고 원래 함수를 추정한다.(적어도 Kreyzig 책에서는 그렇게 푼다.)[각주:3]

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathcal%7BL%7D%5C%7Bf%27(t)%5C%7D%3Ds%20F(s)%20-%20f(0)

예시는 귀찮으니까 여기로...
최근 글인 2009/12/17 - Laplace 변환을 이용한 미분방정식 풀이참조.


4. Gauge 변환
전자기에서 등장. 듣기로는 핵력에서도 쓰인다는데, 배우지 못한 관계로 생략. 일종의 '기준점을 선택할 자유도'이다. 자세히 적는건 나중에... 그동안은 여기서..



시간나는 대로 추가할 생각이다.
  1. 귀찮아서 복소 Fourier변환만 다루었다. cosine이나 sine만 쓰는 경우도 있으니 조심. 그런데 사실 복소로 다 해먹을 수 있어서(...) [본문으로]
  2. s가 복소수라면, s가 허수부를 따라서만 이동할 때 확실히 Fourier변환이 맞기는 하다. [본문으로]
  3. 그런데 실제 역변환이 존재하는 것으로 보아서 복소변수함수의 적분을 배우지 않았기 때문인지도 모르겠다. 하지만, 역변환에서 contour 적분이 필요한 것으로 보아서는 계산 자체는 동일한듯. [본문으로]

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수학적 변환에 대해서 글을 쓰다가 재미있는 것을 발견했다. Hermite 다항식이 Fourier 변환의 고유함수라는 것. http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform#Eigenfunctions

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\,\!
n번째 Hermite 다항식. Wikipedia: Hermite polynomials

Hermite 다항식은 조화진동자 문제에서 등장하는 파동함수라는 것을 생각해보면 재미있다.[각주:1] 하긴, Hamiltonian은 운동량을 기준으로 쓰든지 위치를 기준으로 쓰든지 생김새 자체는 동일하고, 양자물리에서 Fourier 변환이 basis를 바꾸어주는 변환이라는 것을 생각해보면 이해가 갈 것 같기도 하다. 닮은 방정식의 해는 분명히 닮았을테니 말이다.

http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=H%3D%5Cfrac%7Bp%5E2%7D%7B2m%7D%2B%5Cfrac%7Bm%5Comega%5E2%7D2x%5E2
p의 제곱과 x의 제곱으로만 이루어진 Hamiltonian.
http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cleft%5Clangle%20x%20%7C%20%5Cpsi_n%20%5Cright%5Crangle%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5En%5C%2Cn!%7D%7D%20%20%5Cleft(%5Cfrac%7Bm%5Comega%7D%7B%5Cpi%20%5Chbar%7D%5Cright)%5E%7B1%2F4%7D%20%20e%5E%7B%0A-%20%5Cfrac%7Bm%5Comega%20x%5E2%7D%7B2%20%5Chbar%7D%7D%20H_n%5Cleft(%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bm%5Comega%7D%7B%5Chbar%7D%7D%20x%20%5Cright)%2C%20%5Cqquad%20n%20%3D%200%2C1%2C2%2C%5Cldots.
위 Hamiltonian의 x공간 해. H_n은 n번째 Hermite 다항식
  1. 정확히는 여기에 Gaussian 분포를 덧씌워야 하지만. [본문으로]

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적분놀이

Mathematics 2009.12.05 01:04
Griffith 양자책은 수학적인 설명은 살짝 불친절한것 같다. 하긴, 양자역학 책인데(...)

오늘 살펴볼 적분.

eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \pi

Time dependent perturbation에 등장하는 적분이다.
먼저, 부분적분.

eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\cos x \sin x}x dx - \left[\frac{\sin^2 x}x \right]_{-\infty}^\infty

뒷항은 안드로메다로 날려버리고 나면(0이니까)

eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\cos x \sin x}x dx

그런데 잘 보면

eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2\cos x \sin x}x dx =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin 2x}x dx = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin y}y dy

(y=2x) 이다. 이제 문제는 Dirichlet integral이다.

eq=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin y}y dy = 2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}x dx = \pi

Diriclet integral의 증명은 생략. 부분적분을 잘 꼬으면 Residue를 쓸 수 있을 것 같기도 한데....

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TAG 수학, 적분

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Tensor(1)

Mathematics 2009.10.16 01:00
목요일에 보았던 시험범위네요.



1. 먼저 벡터.

벡터는 수학적으로는 덧셈이 교환법칙(a+b=b+a)을 만족하며, 항등원이 있고(a+0=a) 역원이 있는(a+(-a)=0) 집합의 원소로 정의합니다. 일부의 경우 곱셈까지 제한조건으로 걸어두기도 하지만, 일단은 그 부분은 무시.

물리학적으로는 제한조건이 하나 더 붙게 됩니다. '좌표변환에 대해 좌표(변위벡터)와 동일한 방식으로 변화할 것.'이라는 조건인데, 생각해보면 당연합니다. 물리법칙은 좌표 선택에 영향받지 않습니다.[각주:1] 따라서 물리법칙에 들어가는 벡터량들은 좌표 선택에 영향받지 않아야 합니다. 그리고 좌표 선택에 영향받지 않는 물리량은 좌표 그 자체, 변위가 되겠지요. 그러면 당연히 다른 벡터들도 변위가 변화하는 방식에 따라 변화해야지요.

이런 방식으로 변화하지는 않지만 벡터와 같은 성질을 갖는 물리량들도 있습니다. 그런 벡터들을 두고는 유사벡터(pseudovector)라고 말합니다. 대표적인 예로는 각운동량이 있군요. 좌표를 전부 거꾸로 셀 때(이를 반전-inversion-이라고 부릅니다) 위치와 속도벡터는 거꾸로 세어지지만 이들의 벡터곱인 각운동량은 뒤집어지지 않기 때문입니다.



2. 다음, 텐서.

텐서는 벡터의 확장입니다. 말이야 쉽지요.

먼저 벡터의 정의에서 마지막으로 하나의 제한조건을 더 붙였던 것 기억하시길 바랍니다. 여기가 포인트입니다.

텐서는 좌표의 '조합'에 하나의 값을 부여합니다. x와 x에 대해서는 a라는 값을, x와 y에 대해서는 b라는 값을, y와 x에 대해서는 c라는 값을, 등등등...[각주:2] 그러면 텐서는 어떻게 변화해야 하나요? 좌표의 조합이 변화하는 방식에 따라 변화해야 합니다.

정확히 말하자면, x와 y의 조합에 b라는 값을 부여했을 때, b는 x좌표가 x'으로 바뀔 때 변하는 방식과 z좌표가 z'으로 바뀔 때 변하는 방식을 동시에 만족하면서 변해야 한다는 의미입니다. 수학적으로 바꾸어 보겠습니다.

좌표변환에서 새로 정의되는 벡터성분은 좌표변환 이전의 벡터성분들을 조금씩 수혈받습니다. xy평면상의 벡터들의 회전에 대한 행렬이 좋은 예이지요.

R(\theta) = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\[3pt]
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}\quad(\text{counterclockwise rotation by }\theta).
http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix

이 행렬에서 새로운 축의 x방향 성분은 이전 축의 x방향 성분에서 cos값을 곱한만큼 수혈받고 y축 방향 성분에서 -sin값을 곱한만큼 수혈받는다는 것을 알 수 있습니다.

그렇다면 x와 y의 조합에 대해 규정된 값인 b는 어떻게 변화해야 할까요? 새로운 축의 x와 옛 축의y의 조합에 대해 규정된 값 b'은 위의 방식대로 해주면 됩니다. 옛 축의 x와 x에 대해 정의된 값에서 cos값을 곱한만큼 수혈받고, 옛 축의 x와 y에 대해 정의된 값에서 -sin값을 곱한만큼 수혈받습니다. 그리고 새로운 축의 x와 y에 대해 부여된 값 b''은 새로운 축의 x와 옛 축의 x에 대해 정의된 값에서 sin값을 곱한만큼, 새로운 축의 x와 옛 축의 y에 대해 정의된 값에서 cos값을 곱한만큼 수혈받으면 되는 것이지요. 각 비율을 p라고 적으면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

T_{x'y'}=p^x_{x'} p^x_{y'} T_{xx} + p^x_{x'} p^y_{y'} T_{xy} + p^y_{x'} p^x_{y'} T_{yx} + p^y_{x'} p^y_{y'} T_{yy}



일단은 여기까지.

이런 기분은 당연한겁니다.

Contravarient/Covarient Tensor에 대해서도 해야 하는데...-.-;; 귀찮네요 -_-;;;

(2)는 쓸 지 안쓸 지 모르겠네요. 글은 쓰고 싶을 때 쓰는거라...
  1. 좌표 선택에 영향받으려면 기준이 되는 원점과 방향이 있어야 합니다. 그런데 일반적으로 가정하는 우주는 등방적, 즉 방향성을 갖지 않고 균일, 즉 위치의 특별함을 갖지 않습니다. 이런 우주에서 어떻게 기준이 되어야만 하는 원점과 방향을 잡을 수 있나요? [본문으로]
  2. 정확히는 순열(Permutation)이라고 해야겠네요. 어떤 순서로 좌표를 조합하느냐에 따라 값이 다를 수 있습니다. [본문으로]

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  1. 공대생 ㅜㅠ  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    잘보았습니다, 마지막 부분에 식이랑 ...

    원래 x,y에 cos,-sin수혈받고 그 담부터 이해가 잘 안가요 ㅠㅜ

    쉽게 좀 해주시면 안될까요 / / ? 제가 이해력이 떨어 져서 ㅠㅜ

    2010.03.12 22:10
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2010.03.12 23:39 신고  댓글주소  수정/삭제

      텐서의 각 성분을 두 벡터의 어떤 성분끼리의 곱이라고 생각하면 좀 더 쉬워요. 예를 들어서 텐서 T의 12성분은 벡터 A의 1번 성분과 벡터 B의 2번 성분의 곱이라는거죠.

      이렇게 해 놓고 좌표변환을 하는겁니다. A의 각 성분은 조금 다른 숫자를 갖게 되겠지요. 마찬가지로 B의 성분도 그렇고요. 그러면 텐서 T의 성분은 어떻게 변할까요?

      ---

      예전에 '선형대수화 행렬'이라고 썼던 글이 있어요. 어쩌면 살짝 도움이 될지도 모르겠네요.

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