'분류 전체보기'에 해당되는 글 816건

  1. 2015.10.01 Series Expansion
  2. 2015.09.08 이런저런 이야기
  3. 2015.08.25 Understanding de Sitter and Anti-de Sitter space
  4. 2015.05.01 이항전개와 수치근사 (1)
  5. 2015.03.22 파인만이 말하는 연습문제를 푸는 이유
  6. 2015.03.21 Mobius Transformation and Rotation in E^3
  7. 2015.03.04 수식 렌더링 실패 관련
  8. 2015.03.04 Measurements and Projection Operators
  9. 2015.02.25 Gaussian Integral with Imaginary Coefficients (2)
  10. 2015.02.24 근황. 짤막하게
  11. 2015.02.21 회전과 우주의 구조
  12. 2015.01.09 일반상대론에서의 쌍둥이 역설
  13. 2015.01.01 영원의 하루
  14. 2014.12.24 Fermi-Walker transport (2)
  15. 2014.12.22 불확정성 원리와 상대성이론 (2)
  16. 2014.10.26 로그 항등식? (3)
  17. 2014.09.18 Independent Susceptibilities (1)
  18. 2014.08.15 Commutators in finite dimensions and identity matrix
  19. 2014.08.08 듣는 사람 - P. A. M. Dirac
  20. 2014.06.23 Computation and Heat (2)

Series Expansion

Mathematics 2015.10.01 23:35


series_expansion_public.pdf


뭐 내용 자체는 예전에 썼던 이항전개로 장난치는 그 글과 크게 다르지 않습니다. 다만 역함수의 급수전개법과 멱급수를 멱급수로 나누는 조금 다른 방법이랑 점근수열에 대한 내용을 조금 추가한 점이 바뀌었달까요. (왜 굳이 영역했냐고 물으신다면, 나중에 우려먹기 편하라고..)


2015/05/01 - 이항전개와 수치근사


수강생들이 수업에서 약간 헤매는 것 같길레 구체적인 예시로 쓸 겸 + Boas 수리물리에서 안 다루는 내용들을 간단하게 넣어볼 겸 만들었습니다. 의외로 Arfken에서는 안 다루는 급수 안에 급수를 집어넣어 급수전개하는 방법을 Boas에서는 다루고 있더군요. 어째서인지 많은 수강생분들이 교재를 안 읽고 미분계수를 구하는 삽질을 통해 테일러 전개를 하고 계시는 것 같아 안타깝습니다만...

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1.

일요일에 토플을 치고 학교에 출근했더니 휴식이 부족해서인지 지난 목요일에 완전히 뻗어버렸습니다. 역시 페이스 조절은 중요하다는 것을 느끼는 중. 목요일에 뻗고 금요일은 기어가 모두 헛도는 상황이 발생해서 주말동안은 완전휴식 모드로 보냈네요. 결국 그래서 월요병이... 으흑



2.

<역시 내 청춘 러브코메디는 잘못됐다>를 읽었습니다.[각주:1] 재미있긴 한데 가끔씩 눌려버리는 우울우울 스위치가 신경쓰이는게 유쾌하기만 하지는 않네요. 뭐, 우울한 추억에[각주:2] 잠깐씩 잠겨보는 것도 나쁘지 않다고 생각합니다.

화자로 설정된 히키가야 하치만의 성격이 마음에 듭니다. 특히 문제에 답이 없다면 문제를 이그러뜨려서라도 답을 도출해낸다는 접근법이요. 두 평행선이 만날 수 없다면 공간을 구겨버려 만나게 만든다고 해야할까요. 하야마 하야토나 유키노시타 유키노가 하치만을 높게 평가하는 부분은 이런 결단력이라 생각합니다. 하지만, 중학교 미술 실습시간에 사서 쓰던 그 큰 4B 잠자리 지우개마냥, 자기 자신을 갉아먹어 가면서 없을 길을 만들어내는 것을 바로 옆에서 지켜보기는 괴롭겠죠.

약간 신경쓰이는 건 유키노시타 하루노란 캐릭터. 표면상으로는 히키가야 하치만과는 정 반대의 인물로 설정되어 있지만, 제 감상은 하치만의 거울상으로 설정되었다에 가깝습니다. 항상 사람들이 둘러싸게 만들고, 만나는 사람들마다 호감을 심는 능력이 있다는 점에서는 반대칭적이지만, 그녀가 동생인 유키노시타 유키노의 성장을[각주:3] 위해 취하는 방법들은 지극히 하치만스럽달까요. 문제를 계속 던져줘서 스스로 극복하도록 만드는 방식은 유키노의 방식이긴 하지만, 자신을 악역의 자리에 위치시키고 화살을 자신에게로 돌리는 방법은 하치만의 방법이죠.

하루노가 무엇을 목표로 하는지는 자세히 알 방법이 없긴 하지만, 전 크게 다음의 두 가지라고 생각합니다. 첫째는 동생 유키노의 성장, 특히 갈등을 해결하는 방법에는 흑과 백만 있는 것이 아니라 회색지대 또한 존재한다는 것을 깨닫고, 거기에 익숙해지도록 하는 것. 둘째는 순전히 추측입니다만, 하치만의 정답. 혹은, 하치만이 찾는 진실된 것. 간혹 배겨나오는 차가운 면모라던가, 하치만에게 기대하는 부분이라던가, 하치만에게 그렇게 시시했냐고 묻는다던가와 같은 내용들을 절충해보면 그녀 또한 같은 답을 찾으려 했고, 다소 다른 답에 도달했을 것 같다는 생각이 듭니다. 그런 건 존재하지 않는다, 랄까요. 그렇기 때문에 자신이 찾아내지 못한 답을 찾으려는 하치만에게 관심이 닿는 것이고, 자신이 찾아내지 못한, 자신이 납득할 수 있는 정답을 찾아내기를 원하는 것이겠죠.



2.1.

각 캐릭터들에 대한 인상은 다음과 같습니다. 전부 쓰자니 귀찮아지기도 하고 말로 잘 표현이 안 되기도 해서 빠뜨리는 부분이 많긴 합니다만.

히키가야 하치만은 '어떻게든 답을 만들어내는 사람'입니다. 정답인지, 정답에서 살짝 비껴난 오답인지, 아니면 잘못된 가정에서의 정답인지는 모릅니다. 하지만 어떻게든 답을 만들어냅니다. 앞서 말했듯, 유키노와 하야토가 하치만을 높게 평가하는 부분이겠죠. 그리고 그 잘못된 가정 중 하나인 '나 하나 좀 망가지면 어때?'가 작품에서 가장 두드러지는 갈등의 원인이 됩니다. 소부고교 봉사부 삼인방 중 내부적으로도 외부적으로도 가장 많이 망가져 있던 사람이었지만[각주:4] 점차 망가진 부분이 수복되어 가는 것을 잇시키 이로하나 오리모토 카오리를 대하는 태도를 통해 보여주고 있죠.

유키노시타 유키노는 반대로 내부적으로 망가진 사람입니다. 살짝 언급했듯, 갈등 상황에서는 짓밟은다 혹은 짓밟힌다 두 선택지 말고 다른 선택지를 이끌어내는 방법을 모르는 사람이죠. 그녀 또한 그것이 정답은 아니란 것을 알고 있고, 그래서 정답을 제시해줄 수 있는 사람들을 쫓습니다.

유이가하마 유이는 (봉사부 안에서 따질 때) 필요한 것은 모두 가진, 완성된 캐릭터입니다. 물 마냥 자신의 빛깔 없이 주변의 빛깔을 그대로 투영하던, 거울 마냥 자기 자신이 없이 주변의 분위기만 반영하던 사람이 자신의 빛깔을 내비칠 줄 알게 되었고 자신의 의지를 분위기에 반영할 줄 알게 되었죠. 그렇기에 점차 찢어져 가는 봉사부를 어떻게든 붙들어 맬 수 있었던 것일거구요.

하야마 하야토는 어릴 적부터 유키노시타 자매와 어울려 왔습니다. 지금과는 달리 덜 성숙했던 어린 시절의 하야토는 주변 인간관계가 으스러지고 박살나는 광경을 많이 봐 왔겠지요. 유키노의 '발렌타인 다음날은 분위기가 냉랭했다'는 말을 생각해보면요. 그렇기 때문에 하야토는 '살얼음판이 깨지지 않도록 균형잡는 법'을 연마해 온 사람입니다. 불안정한 균형을 유지하는데 특화되었죠. 그래서 하야토가 하치만에게 질투를 느끼는 것이겠죠. 하치만은 '살얼음판을 전부 부숴버리고 헤엄쳐 강을 건너는 사람'이니까요. 더불어 자신을 '남의 기대에 얽매여 선택하지 못하는 사람'이라 여기는 것을 볼 때 '남의 기대따윈 무시하는 사람'인 하치만의 자유로움(?)을 동경할 겁니다. 말도 안 돼는 기대를 충족시키기 위해 노력하고 결국 그 기대에 대답한다는 점에서 완벽하지만, 어느 기대 하나도 거절하지 못한다는 것에서 불완전하달까요.



2.2.

앞으로의 결말에 대해서 예측해보는 것은 무의미하지만,[각주:5] 일단 생각난 김에 해 보는 것도 나쁘지는 않겠죠.

전 일단 무척 게으른 사람입니다. 특히나 선택에 대해서요. 보통은 이런 게으름을 우유부단이라고 부르죠. 그래서 지금의 봉사부 관계가 무너져 내리지 않기를 원합니다. 그렇다면 결론은 잇시키 이로하가 되겠네요. 하치만이 '진실된 것'을 원한다는 것을 알면서, 봉사부의 관계가 조각나지 않도록 할 수 있는 선택지. 제게 닥친 현실이었다면 이 길, 하야토의 답을 택했을지도 모릅니다. 하지만, 이야기의 완결성이란 측면에서는 최악의 선택이죠. 우선 12권에서 13권 안에 결말이 난다면 하치만이 이 답을 '진실된 것'이라고 납득하기 위해 필요한 시간이 충분하지 않을 것이고, 결정적으로 하루노가 계속 물어 올 것입니다. 의미는 살짝 다르지만, 중세 정물화의 해골과 같달까요? 시야 한 구석에서, 끝없이 물어 올 겁니다. 네가 찾던 정답이, 그 정답이었냐고.

결국 선택지는 유이와 유키노, 둘 중 하나로 남습니다. 선택하지 않는다는 결말은 화자가 납득하지 못할 테니까요. 이 경우에도 전 현실이었다면 택했을 답과 이야기의 완결성을 위해 택했을 답이 좀 다른데, 전 현실이었다면 유이와 하치만이 이어지는 결말 쪽을 선호했을 겁니다. 유이와 같이 상냥한 사람들이 상처받는 것을 보지 못한달까요. 하지만 유키노의 빈 구멍은 완전히 메워지지 않은 채 결말이 날 가능성이 높고, '소부고교 봉사부 삼인방의 성장'이라는 이야기의 틀에는 무언가 안 어울립니다. 굳이 이야기의 완결성까지 충족하는 한 가지 가능성을 생각해보자면 하야토와 하루노까지 말려들어 유키노의 빈 구석을 채우는 것이겠지만, 하야토가 자신이 애써 이룬 균형을 스스로 무너뜨리려 한다는 것은 상상하기 힘드네요. 에비나 히나와 토베 카케루로부터 시작된 균열이 전체 판을 뒤흔들어버린다면 모르겠지만요.[각주:6][각주:7]

봉사부 밖에서 발생한 사건의 여파가 봉사부까지 휘두르는 방향으로 진행하지 않는다는 가정을 할 경우, 전 유키노 쪽이 이야기의 진행 상 좀 더 어울린다고 봅니다. 마태복음도 아니고 가득한 사람에게 더 준다는 것은 영 아니란 생각이라서요. 이 쪽 방향일 경우 어떻게 풀어나갈 지는 감이 안 잡히지만, 하루노가 말려드는 것은 필연적으로 보이네요. 쓰고 보니까 유이 쪽 엔딩에 제시한 시나리오가 더 그럴듯하게 느껴지기 시작해서 문제



2.3.

이렇게 말을 주저리주저리 써놓긴 했지만 전 어지간해서는 악평을 안 내리는 인간인지라 어떤 결론을 내든 전 납득하지 않을까 싶네요.

제가 악평을 내리는 경우는 작품이 운이 나쁘게도(?) 아주 낮은 확률로 눌리는 이상한 곳에서 배배 꼬인 버튼을 누를 때인데, 그 대표적인 경우가 <아바타>입니다. 어째서인지 이상적인 무언가를 그리려고 하기만 하면(특히 그 구호가 '자연으로 돌아가자'같은 느낌일 경우) 도저히 곱게 봐 주지를 못해요.[각주:8] '진실, 혹은 정답이란게 존재하기는 하는 걸까?'에 대해 잠정적으로는 부정적인 답변을 내려서일지도 모르겠네요.

그래서 제가 버린 길의 끝을 가보려는 화자가 마음에 들었는지도 모르겠습니다.



3.

화요일입니다. 일주일 한번 신나게 살아보자구요.

  1. 11권까지 [본문으로]
  2. 이걸 추억이라 불러야 하는가에 대해서는 자신은 없지만요. [본문으로]
  3. 일단 유키노는 '갈등을 조정하는 능력'에서 성장이 필요하니 계속 갈등 상황을 만들어낸다는게 제 하루노에 대한 판단입니다. 유키노의 갈등해결방법은 두 가지 뿐이죠. 갈등을 정면에서 찍어누르거나, 아니면 갈등에 정면으로 굴복하거나. [본문으로]
  4. 그러니까 히라츠카 시즈카가 봉사부에 강제로 입부시켰겠지요 [본문으로]
  5. 언제까지나 이건 '제가 읽고 제 마음 속에 제멋대로 구성한 이야기'의 해설이니까요. 뭐야, 지극히 하치만스러운 생각이잖아? [본문으로]
  6. 다만 이 경우에도 유키노가 얻게 될 마지막 조각이 충분할 것인가에 대해서는 마음에 걸립니다. 과거 이야기가 나오지 않은 이상 섣불리 판단할 수는 없겠지만요. [본문으로]
  7. 뭐, 제4의 인물인 하야토의 성장(이 경우엔 '남의 기대를 무시하고 자신이 원하는 것을 관철하는 능력'이 되겠지요)까지 고려한다면 영 불가능한 시나리오는 아니라고 생각합니다. [본문으로]
  8. 이상적인 무언가를 찾아 헤매는 경우가 아니라, 이상적인 무언가가 이미 주어져 있고 거기에 걸어들어가는 흐름에 대해 알레르기 반응을 보인다고 생각하시면 되겠습니다. [본문으로]

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오늘 아카이브에 들어가봤다가 의외의 글을 발견했다.


http://arxiv.org/abs/1508.05607


de Sitter 공간에서 타키온을 올려놓은 문제인데, 사실 '어 이게 글로 나올 만한 문제였던가?'가 솔직한 감상. 고전적인 타키온 입자는 유한한 시간 동안만 생존한다는게 주요 내용인데(양자적인 경우는 조금 다르게 취급), '유한한 시간 동안 생존한다'는 해석을 빼면 전혀 새로울 것이 없었는지라. 다만 이런 느낌은 내가 타키온을 해석하는 방법 때문인지도 모르겠다.


우선 예전 글들 링크.

2015/01/09 - 일반상대론에서의 쌍둥이 역설

2014/01/11 - Poincare Half Plane 푸앙카레 반평면 (1)

2014/05/25 - Poincare Half Plane 푸앙카레 반평면 (2)


지금 보니 블로그에서 직접적으로 언급한 적이 없다는 것이 살짝 의외인데, de Sitter(이하 dS) 공간과 Anti-de Sitter(이하 AdS) 공간은 사실상 똑같은 공간이다. 푸앙카레 반평면 (1)글에서 마지막에 살짝 언급하고 넘어갔듯, 푸앙카레 반평면 (2)글에서 t와 z의 해석을 뒤바꿔주면 AdS 공간이 dS 공간으로 변한다. 이 말은 AdS 공간에 사는 질량이 있는 물질, 타디온(tardyon)들이 dS 공간의 질량 제곱이 음수인 물질, 타키온들과 똑같이 움직인다는 것을 의미한다. 그 반대로 dS 공간의 타디온들이 AdS 공간의 타키온들처럼 행동한다는 해석 또한 가능하고.


다만 우리가 일반적으로 생각하는 시공간에서는 시간 차원이 하나밖에 존재하지 않아서 완전히 동일하지는 않다. AdS/CFT에서와 같이 일반적으로 AdS 공간을 생각할 경우 한 차원 높은 민코프스키 공간에서 초쌍곡면을 그대로 가져다가 AdS 공간으로 잡지 않고 그 universal cover를 이용하곤 한다. 이 짓을 안 하면 closed timelike trajectory가 나와서 인과율에 문제가 생기기 때문이다. 이건 시간 방향이 1차원이라서 $S^1$의 위상을 갖기 때문에 가능한 일인데, 만약 시간 방향이 2차원이거나 보다 높은 차원을 가질 경우에는 $S^n$의 위상을 갖게 되고, $S^n$은 자기 자신이 universal cover이기 때문에 universal cover를 취해서 closed timelike trajectory를 없애는 것이 불가능해진다. n+1차원의 dS 공간에서 움직이는 타키온을 무작정 측지텐서의 부호를 뒤집어서 AdS 공간에서 움직이는 타디온으로 바꾸어 해석하려면 조심해야 할 필요가 있다는 소리.


여기까지는 주의사항이었으니 타키온에 물리적인 의미를 줄 수 있는 방법을 생각해보자. 일반상대론에서의 쌍둥이 역설에서 설명했듯, 양의 질량 제곱을 가진 물체가 관성운동을 하면서 재는 고유시간은 그 물체가 만든 직선(일반상대론에서 관성운동하는 물체가 그리는 경로는 직선이다)의 길이를 의미한다. 같은 해석을 타키온에 적용하면, 타키온이 관성운동을 하면서 재는 고유시간(tachyonic proper time이라고 부를 수 있을 것이다)은 타키온이 그린 경로의 길이, 혹은 타키온이 지난 경로를 온전히 포함하는 time slice 위에서의 spatial distance에 해당한다.[각주:1]


이 결론을 임의의 n+1 dS 공간에서 움직이는 타키온들에 적용해보면 재미있는 사실을 몇 가지 알 수 있다. 우선 AdS와 dS의 대칭을 이용하면 임의의 점에서 각기 방향으로[각주:2] 쏘아보낸 타키온들은 모두 한 점에서 만난다는 사실을 알 수 있다.[각주:3] FLRW flat 형태의 dS 공간 metric에만 익숙한 분들이라면 약간 놀라울 수 있는 사실. 모든 타키온들이 만나는 점은 타키온을 처음 쏘아보낸 점의 대척점(antipodal point)에 해당한다.


이번에는 좌표를 새로 잡아보도록 하자. 각 방향으로 쏘아보내는 타키온들 중 임의로 하나씩 골라 그 타키온들의 시공간상의 경로가 만들어내는 초평면을 time slice로 하는 좌표계를 만들어보는 것이다.[각주:4]이렇게 좌표계를 건설하는 것은 dS 공간은 등방적이기 때문에 처음에 쏘아보내는 타키온들의 운동량 분포만 충분히 매끄럽게 만들면 얼마든지 가능하다. 정의상 이 좌표계에서 시간에 해당하는 좌표 t가 상수인 초평면 위를 움직이는 타키온들은 한 점에서 만난다.


이렇게 건설한 좌표계에서 t=0인 초평면을 잡고 운동량의 시간 성분이 0인 타키온을 A라고 이름붙인 뒤 쏘아보내기로 하자. 이 타키온은 언젠가는 모든 타키온들이 만나는 점, 대척점에 도달할 것이다. 대척점에 도달한 뒤에도 이 타키온이 그릴 경로를 이어그려 보자. 가장 쉬운 방법은 타키온 A를 쏘아보낼 때 같이 쏘아보낸 타키온 중 대척점에서 A와 정 반대의 운동량을 갖는 타키온 B를 골라낸 뒤, 타키온 A의 경로를 연장해가면 타키온 B의 경로를 거슬러올라가게 된다고 생각하는 것이다. 어차피 t=0인 초평면 위에 모든 운동이 제한되어 있고, 모든 타키온의 경로는 직선이니, 직선의 접선에 대한 정보만 있으면 그 직선을 완전히 기술할 수 있을테니 말이다. 이 두 해석을 조합하면 관성운동하는 타키온은 처음 운동을 시작한 점으로 다시 돌아오게 된다는 결론을 내릴 수 있다. 어떻게 생각해 보면 당연한 결과이다. AdS 공간에서 universal cover를 취하지 않을 경우엔 closed timelike geodesic이 만들어지니, dS 공간에서는 closed spacelike geodesic이 만들어지는 것을 예상할 수 있었어야 한다.


결론적으로, 해당 arXiv 글의 결과는 'dS 공간은 모든 spacelike geodesic은 loop를 만든다'는 기하학적인 명제를 다르게 해석한 것이라고 할 수 있다. 타키온이 만드는 경로가 bound되어 있으니 무한한 시간동안 살아남지 못하는 것은 당연한 결과인 셈이다.

  1. 이 time slice가 시간에 해당하는 좌표가 상수인 초평면일 경우 해당 좌표계에서 타키온의 시간 성분 운동량은 0이다. [본문으로]
  2. 각기 방향으로 쏘아보낸다는 것은 임의의 운동량으로 쏘아보낸다는 의미이다. [본문으로]
  3. n이 1이 아닐 때 성립하는 것은 타키온들의 움직임을 1+1차원 평면 위에 한정시켜 이 평면 위의 모든 타키온들이 같은 타키온 고유 시간에 만난다는 것을 보인 후 이 곡면을 돌려서 나머지 차원 방향에 대해서도 성립한다는 것을 보이면 된다. [본문으로]
  4. 이건 타디온들을 이용해 synchronous frame을 만드는 과정과 거의 동일하다. [본문으로]

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저번에 중간고사를 보고 의외로 사람들이 많이 모르는 것 같아서 만들어봤습니다. 사실 대학 1학년때 배우는 미적분학에서 다뤘어야 할 내용인데 자세하게 알려주는 교수님도 조교님도 없죠. 수학과에선 증명을 하지 계산을 하지는 않으니까(...). 공학수학은 이미 알고 있다고 생각하고 진행하는 경향이 있고요.


binomial_expansion_and_numerical_approximation.pdf


그런데 정작 난 읽어야 할 논문은 안 읽고 뭔 짓을 하고 있는가...ㅠㅠ

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  1. 낭낭  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    오 많은 도움 되었어요 감사합니다!

    2017.01.13 21:50


해당 내용을 '어디에선가 읽었었는데 어디지?'하다가 계산이론 강의록을 뒤져봤는데 발견해서 저렴하게(...) 번역해봤습니다. pdf에는 원문도 수록(저작권에 걸리진 않겠지?)


feynman.pdf


이제 두 가지 방법으로 이 주제들에 대해 이해도를 높일 수 있어요. 하나는 큰 그림을 잡은 후 집에 가서 어떤 명령들이 필요한지 생각해보면서 하나도 빠뜨리지 않도록 하는겁니다. 명령어들을 줄이거나 늘인 뒤 아무 문제나 풀어보면서 좋은 점과 나쁜 점을 이해합니다. 전 이런 성격을 가졌기 때문에 이렇게 할겁니다! 이건 제가 공부하는 방법입니다 — 작업을 해 보면서 이해하는, 다르게 표현하자면, 만들어 내면서 이해하는 것이죠. 당연히 백 퍼센트 만들어내지는 못합니다; 가야 할 방향에 대한 힌트는 취하되 사소한 부분은 잊습니다. 그런 부분들은 직접 만들어내는 것이죠.


마찬가지로 가치있는 다른 방법은 다른 사람이 어떻게 했는지 주의깊게 읽는 것입니다. 제게는 기본 아이디어를 이해했을 땐 첫 방법이 더 맞더라구요. 막히면 다른 사람이 어떻게 했는지 알려주는 책을 봅니다. 페이지를 넘기고 "아, 그 부분을 잊었네"하고 책을 덮은 뒤 계속 진행하죠. 어떻게 했는지 알아낸 뒤에는 다른 사람들이 어떻게 했는지 읽은 후 내 해답이 얼마나 멍청하며 그들의 답이 얼마나 똑똑하고 효율적인지 알게 되죠! 이 방법을 쓰게 되면 그들이 내놓은 아이디어의 똑똑함과 문제를 생각하는 틀을 이해할 수 있게 됩니다. 제가 누군가가 내놓은 해답을 곧장 읽게 되면 지루하고 재미없게 느껴지면서 모든 것이 한 눈에 들어오질 않습니다. 최소한 그게 제 방식이예요!


놀아볼만한 문제들을 책 전반에 걸쳐 제시할 예정입니다. 이 문제들을 건너뛰고 싶으실지도 몰라요. 너무 어렵다면 괜찮습니다. 몇몇 문제들은 상당히 어렵거든요! 누군가가 이미 했을텐데 이걸 할 이유가 있나 생각하실 수도 있겠죠. 당연히 이미 누군가에 의해 풀린 문제들입니다! 그래서 뭐? 재미를 위해서 하세요. 이것은 무언가를 해야 할 일이 생겼을 때 그것을 하는 방법을 익히는 요령입니다. 한 가지 예를 들어보죠. 다음과 같은 수열의 합을, 예컨대 62까지라고 해 보죠, 구하고 싶다고 해 봅시다.


1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7... 


당연히 어떻게 하는지는 아시겠지요; 하지만 이런 문제들을 어떻게 하는지 모르는 어린 아이일 때 접하게 되면 . . . 어떻게 하는지 알아내는 것이 즐겁습니다. 자라나면서 이것 저것을 발견할 수 있다는 자신감을 기르게 되지요; 하지만 이미 누군가가 그것들을 발견했다고 해서 주눅들어서는 안됩니다. 한 바보가 할 수 있는 것은 다른 바보도 할 수 있는 것이고, 어떤 바보가 당신을 이겼다고 불편해하는게 아니라 무언가를 발견했다고 즐거워해야죠. 이 책에서 제시할 많은 문제들은 이미 여러 사람들이 풀은 것들이고, 수많은 천재적인 해법들이 개발되었습니다. 하지만 남들이 한 것들을 계속 풀어보면서 자신감을 쌓고 해의 복잡성을 쌓아가다 보면 — 단지 재미를 위해서 — 어느 날 뒤돌아보며 아무도 풀지 못한 문제를 푼 자신을 보게 되겠죠! 이렇게 컴퓨터과학자가 되는 겁니다.


제 경험에서 우러나오는 사례를 하나 보여드릴께요. 위에서는 자연수를 더하는 문제를 말했죠. 여러 해 전 저는 이런 문제들을 일반화하는 방법에 관심을 갖게 되었습니다: 제곱수, 세제곱수, 그리고 그 이상의 지수들에 대해서 $m$까지 $n$승들의 합을 구하는 공식을 찾고 있었죠. 결국엔 여러 흥미로운 관계식들을 찾아내면서 문제를 깼습니다. 끝났을 땐 각 $n$의 합에 대해서 숫자들을 이용한 식이 나왔지만, 그 숫자들에 대한 식은 구할 수 없었죠. 흥미로운 점은 그 숫자들이 $n$=13까지는 정수였다는 것입니다 — 13에서는 아니었죠 (691을 조금 넘었습니다)! 매우 놀랍죠! 재미있기도 하구요.


어쨌든 이 숫자들이 1746년에 이미 알려졌다는 것을 시간이 지난 뒤에 알게 되었습니다. 제가 1746년까지 따라잡은 것이죠! "베르누이 수"라고 불리더군요. 구하는 식은 상당히 복잡하고 간단히 말하면 알려지지 않았습니다. 저는 이전 것으로부터 다음 것을 구하는 점화식은 구할 수 있었지만, 임의의 숫자를 찾지는 못했습니다. 이런 식으로 살다가 1889년에 처음 발견된 것을 찾고, 다음엔 1921년에 발견된 것을 찾고 . . . 결국엔 제가 찾은 날과 같은 날 발견된 것을 찾았습니다. 제가 이런 과정에서 큰 즐거움을 느끼기 때문에 비슷한 방법으로 즐거우실 분들이 계실 거라 생각해서 즐길 문제들을 제시해드리는 겁니다.(물론 사람들은 각자의 방식으로 즐거움을 느끼죠) 제가 드릴 말씀은 두려워하지 말고 누군가 이미 했다고 피하지 말라는 겁니다. 옛 것들을 많이 연습해보지 않고는 새 것을 발견할 수 없을 뿐더러, 재미있는 관계들과 흥미로운 것들을 갖고 놀면서 많은 재미를 느끼실 거라는 겁니다. 그리고 다른 바보가 한 일을 읽게 되면 그게 얼마나 어려운지 (혹은 아닌지), 그가 무엇을 하려는지, 무엇이 그의 문제인지 등등을 알 수 있게 되지요. 답을 읽기 전에 그것들을 가지고 장난을 쳐 봐야 훨씬 쉽게 이해할 수 있습니다. 이 모든 이유에서 한 번 시도해보시는 것을 추천합니다.

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조교일 하면서 삽질한걸 TeX으로 치는 더블삽질을 감행했습니다. 3차원 유클리드 공간이면 주로 $\mathbb{R}^3$라고 쓰지만 좀 있어보이는(..) $\mathbb{E}^3$란 표현을 쓰기로 결정. 사원수를 실제로 계산에 써 보는건 처음이군요.


Mobius transform public.pdf


밥값은 하고 있다고 생각해야 하나...

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Codecogs equation editor를 javascript로 끌어다 쓰고 있었는데 맛이 가 버렸습니다(...) 정상화되거나 더 쓸만한 녀석을 찾기 전까진 일단 수식 렌더링 기능을 꺼 둘 생각입니다.


1주일 뒤 공지사항으로 전환합니다.




15/03/15 20:58 추가

Codecogs equation editor가 제대로 작동하기 시작했네요. 수식 렌더링을 다시 적용합니다.

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수업 들어가기 전 양자정보 전공하는 친구가 던져준 문제.


자연수 $m$으로 나열한 연산자(operator)들 $M_m$들이 다음 두 조건을 만족한다.

1. $\sum M_m^\dagger M_m = I$

2. $M_m^\dagger M_m = M_m $


이 때, 연산자 $M_m$들이 사영연산자(projection operator) $P_m$임을 증명하라. 사영연산자들은 다음 조건을 만족한다.

1. $\sum P_m = I$

2. $P_mP_n = P_m\delta_{mn}$

3. $P_m^\dagger = P_m$


연산자들이 작용하는 벡터 공간이 유한 차원이라면 쉽게 증명하겠는데, 무한 차원에서는 잘 모르겠다. 유한 차원이 쉬운 이유는 고유벡터(eigenvector)가 항상 하나라도 존재해야 하기 때문. 무한차원에서는 이게 안 되는데, 좋은 예로 harmonic oscillator의 creation operator가 있다. number state를 기저로 잡는 Fock basis에서 계산해보면 영벡터가 사실상 유일한 creation operator의 고유벡터가 된다(...)


먼저 2번 조건에 Hermitian adjoint를 취해 $M_n^\dagger=M_m$이란 조건을 얻는다. 사영연산자의 3번 조건 해결. 이 조건은 모든 $M_m$이 대각화 가능하다는 것을 의미하기도 한다.


위에서 구한 식을 이용해 2번 조건을 정리하면 $M_mM_m=M_m$이란 관계식을 얻는다. 연산자 $M_m$의 고유값(eigenvalue)이 0이거나 1이라는 소리. 따라서 임의의 벡터 $\left|v\right>$에 대해 $\left< v \middle| M_m \middle| v\right> \geq 0$가 성립.


마찬가지로 1번 조건을 정리하면 $\sum M_m=I$란 조건을 얻는다. 이 조건에 $M_m$의 고유벡터 $v_m$을 가져다가 양변에 취하면 $n\neq m,\left< v_n \middle| M_m \middle| v_n \right> = 0$이란 조건(이 조건을 a라 부르자)을 얻는다(위 조건 참조).


이제부터는 간단하다. 모든 $M_m$이 대각화되어 있고 대각선의 값이 1 아니면 0인 기저를 구하는 것. 우선 $M_1$을 가져다가 고유벡터(들)을 구한다. 고유벡터가 하나가 아닐 경우 Gram-Schmidt 과정을 거쳐서 직교하는 고유벡터(들)로 나눈다. 이 벡터(들)을 기저벡터 1(혹은 갯수에 따라 2, 3, 등등)로 잡는다.


다음엔 $M_2$를 가져온다. $M_m$의 고유벡터를 $\left| v_2 \right>$라고 할 때, $\left| v_2 \right>$를 $M_1$의 고유벡터 성분 $\alpha\left| v_1 \right>$과 $M_1$의 고유벡터에 수직한 성분 $\beta \left| w \right>$(이 성분의 $M_1$에 대한 고유값은 0이다)으로 나눈다. 크기가 1일 것이란 조건에서 $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$이란 조건을, 조건 a에서 $|\alpha|^2=0$이란 조건을 얻으므로 $\left| v_2 \right>$는 $M_1$의 고유벡터들과 수직하다는 사실을 알 수 있다. 다음은 $M_1$에서와 마찬가지로 $M_2$의 고유벡터들을 기저에 포함시키면 끝. 이 과정을 계속 반복하면 모든 $M_m$이 diagonal인 orthonormal basis를 구성할 수 있고, 이 basis에서 각 $M_m$의 대각선 성분은 1 아니면 0이며, 서로 다른 $M_m$은 대각선 성분 중 1을 공유하지 않는다는 사실을 알 수 있다.




문제의 $M_m$은 '측정'을 의미한다고 추정하고 있다.[각주:1] $\left| v \right>$란 벡터에 해당하는 상태에 있는 계에 대해 측정을 행했더니 $m$번째 가능한 결과값이 튀어나왔을 때 $\left| v \right>$ 벡터는 $ M_m \left| v \right>=\left| M_m v \right>$란 상태로 변했다는 것을 의미. 2번 조건은 $m$번째 측정값이 나올 확률 $\left< M_m v \middle| M_m v \right>/\left< v \middle| v \right>$이 $M_m$의 기댓값 $\left< v \middle| M_m \middle| v \right>/\left< v \middle| v \right>$와 같을 것을 요구하는 것이고, 1번 조건은 측정값이 나올 확률들을 다 더하면 1이 될 것 혹은 측정하게 되면 어떤 측정값이든 하나는 얻어질 것을 의미한다. 측정에 해당하는 연산자 $M_m$들은 unitary할 수 없다(projection operator는 당연히 unitary하지 않다)는 것을 보여주는 것이 목적인 모양.


2번 조건을 보이기 위해서는 벡터공간의 임의의 벡터 $\left| v \right>$에 대해 연산자 $A$의 기댓값이 $\left< v \middle| A \middle| v \right>=0$란 조건을 만족할 경우 항등적으로 $A=0$이란 것을 증명하면 된다. 이건 유한 차원에서는 매우 쉬운데, Schur decomposition을 통해 $A$를 upper triangular로 만드는 orthonormal basis를 잡을 수 있고, upper triangular로 바꾸었을 때 대각 성분이 전부 0임은 자명하며, 이로부터 (1,2)성분, (1,3)성분, (2,3)성분 등등이 0이어야 한다는 것을 계산을 통해 보일 수 있기 때문이다(그렇지 않다면 기댓값이 0이 아닌 벡터 $\left| v \right>$를 찾을 수 있다).

  1. 측정과 관련된 내용을 읽고 있다고 했고, 던져준 문제에 M이 들어가있는게 딱 measurement란 삘이 와서. 이 문제가 나온 책을 읽어본 것은 아니다. [본문으로]

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보통 $\int \exp(iax^2) dx, a\in \mathbb{R}^+$를 적분할 때는 다음과 같은 극한을 이용해서 풀곤 한다.

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{iax^2}dx=\int_{-\infty}^{+\infty} \lim_{\epsilon\to0}e^{(ia-\epsilon)x^2}dx = \lim_{\epsilon\to0} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{(ia-\epsilon)x^2}dx \]

\[ \therefore \int_{-\infty}^{+\infty} e^{iax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{-ia}} = (1+i)\sqrt{\frac{\pi}{2a}} \]


문제는 극한의 적분과 적분의 극한이 같지 않을 수 있다는 것. 물론 위의 적분은 맞는 값이긴 하다. 위 적분을 제대로 구하는 한 가지 방법은 http://www.jstor.org/stable/2588989에서 다루고 있으니 참조. 이 글에서는 조금 다른 방법으로 구할 생각이다. 일종의 컨투어 회전.


아이디어는 복소평면에서  $\exp(iaz^2)$의 절대값을 그리게 되면 안장과 같은 모양을 하게 된다는 것. 원래 적분하는 구간은 다음 그림과 같다.

복소평면에서 적분하고  $\exp(iaz^2)$는 pole이 하나도 없는[각주:1] analytic function이기 때문에 이 적분은 '시작점'과 '끝점'에만 의존한다. 해당 적분을 다음과 같이 바꾸어도 된다는 것.



왼쪽의 붉은 원호 적분이 $\Gamma_a$, 가운데의 녹색 선 적분이 $\Gamma_b$, 오른쪽의 붉은 원호 적분이 $\Gamma_c$이다. 파워포인트로 그리느라 감마를 넣는 과정이 복잡해서(..) 그림에는 넣지 않았는데 대충 알아들으리라 믿으며..


$\Gamma_b$를 +45도로 잡은 이유는 $z^2$의 허수부가 양수가 되도록 만들기 위해서다. 그래야 $a$ 앞의 $i$와 상쇄되어 음수가 만들어지니까. 각 적분을 구해 보자.

\[ \int_{-R}^{+R} e^{iax^2}dx = \Gamma_a+\Gamma_b+\Gamma_c \]

\[ \Gamma_b = \frac{(1+i)}{\sqrt2}\int_{-R}^{+R} e^{-ax^2} dx \]


여기까지는 쉽다. 이제 남은 두 적분이 $R\to\infty$ 극한에서 사라진다는 것을 보일 차례.

\[ \Gamma_a = \int_{0}^{\pi/4} e^{iaR^2\exp(2i\theta)}\left[-Re^{i\theta}\right]d\theta \\= \int_{0}^{\pi/4} -Re^{iaR^2\cos(2\theta)+i\theta}e^{-aR^2\sin(2\theta)}d\theta \]


어차피 크기가 0으로 날아간다는 것을 보이는 것이 중요하므로 크기만 구하면 된다.

\[ \left|\Gamma_a\right| \leq \int_{0}^{\pi/4} \left|-Re^{iaR^2\cos(2\theta)+i\theta}e^{-aR^2\sin(2\theta)}\right|d\theta \\ = \int_{0}^{\pi/4} Re^{-aR^2\sin(2\theta)}d\theta \\ = \int_{0}^{\pi/2} \frac{R}{2}e^{-aR^2\sin(\theta)}d\theta \\ \leq \int_{0}^{\pi/2} \frac{R}{2}e^{-aR^2\frac{2}{\pi}\theta}d\theta \sim O(R^{-1})\]


마지막 줄은 Jordan's lemma를 그대로 이용한 것. $\Gamma_c$도 같은 방법으로 $1/R$ 꼴을 갖는다는 것을 보일 수 있다. 이제 결론만 남은 상태.

\[ \therefore \int_{-\infty}^{+\infty} e^{iax^2}dx = \Gamma_b = \frac{(1+i)}{\sqrt2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2}dx = (1+i)\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\]


참고로 이 방식을 이용하면 처음 극한을 이용할 때 문제가 되는 $\sqrt{i}$의 부호가 한번에 해결된다. $\left(\frac{(1+i)}{\sqrt2}\right)^2=\left(-\frac{(1+i)}{\sqrt2}\right)^2=i$에서 어떤 부호를 택할 것이냐의 문제. 문제에서 $a$가 음의 실수인 경우에는 -45도로 틀면 똑같은 결론을 얻으니 더 언급할 필요는 없을 듯 하다.

  1. 물론 무한원점은 essential pole에 해당하지만, 여기서는 고려하지 않기로 한다. [본문으로]

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  1. 박재웅  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    스티븐 와인버그 해석 글은 덕분에 잘 읽었습니다.

    2015.03.04 02:21

0.

내가 얼마나 공부량이 부족한지 계속 뼛속까지 체감중. 난 무슨 배짱으로 입을 털어 댄 걸까...



1.

10월쯤부터 들고다녔던 것으로 기억하는 Kahn의 Topology를 얼마 전 완독했다. 202쪽을 6개월 정도 걸려서 본 것이니 하루에 한 페이지씩 읽은 셈. 마지막 장의 문제는 fundamental group을 계산하라는 문제여서 '수학책은 눈으로 푼다'는 암묵적으로 갖고 있던 원칙(작용기억 용량을 늘리려고 하는 훈련 중 하나다. 간단한 증명문제는 종이 없이도 풀리니까)을 집어던질 수 밖에 없었는데 머리 속에서 안 되는 시뮬레이션 끙끙거리며 하던 것을 종이에 그리면서 하니까 금방 풀리더라. 이제 위상수학은 homology만 공부하면 쓰게 될 수학의 윤곽은 그릴 수 있는 수준이 되려나...


군 복무 중 받아놓았던 것으로 기억하는-그러면 받은지 최소한 3년은 되었다는 소리다- t'Hooft의 '양자장론의 개념적 기반'도 결국 읽을 수 있는 부분은 읽었는데, 그래봤자 실제 계산을 하려면 각 잡고 제대로 된 양자장론 교재를 파야 한다는게 문제. '무엇을 배워야 하고 어떻게 이해해야 하는가'를 파악하는 계기로 삼기로 했다. 아직 안 읽은 부분은 6장.


꽤 지난 숙원(?)을 마무리한 기념으로 작은 장난감을 하나 사기로 했다. 원래는 좀 크게 지를까 생각했는데 등록금 부담이...



2.

논문에 집중하기 어려워졌다. 위에서 쓴 '수학책은 눈으로 푼다'라는 원칙을 끌고가다 보니 생긴 문제인지도 모르겠는데, 언제부턴가 공부할 때 읽으며 밑줄을 긋는 것으로 공부를 끝내는 버릇이 생겼다. 내용이 간단한 경우에는 이 정도로도 충분하지만, 조금만 복잡해지면 도저히 집중이 안 되어서. 오늘은 보다 못해 예전에 학사논문 쓸 때 공부하던 것처럼 연습장을 곁에 두고 내용을 적어가며 논문을 읽었는데, 확실히 집중도가 배로 상승한 것을 느꼈다. 근 한 달의 거의 유일하다시피 한 제대로 된 성과는 다음 교훈 뿐이라는 생각이 드니 조금은 우울한데, 지금이라도 정신을 차렸으니 다행이라고 생각해야 할까.


'논문은 눈으로 읽는게 아니라 손으로 읽는 것이다'



3.

어릴 적부터 책을 써보고 싶다는 생각을 했었고 특히 대학 신입생 시절부터 SF 소설을 써보고 싶다는 생각을 했었는데, 아침에 재미있는 플롯이 떠올라 적다 보니 꽤 많은 시간이 흘러버렸다. 해야 할 공부는 안 하고. 쯧. 좋은 소재인 것 같긴 한데 플롯이 아무리 봐도 우울증 환자같아서 진짜로 쓰게 될 지는 모르겠다. 중간 중간에 채워넣어야 할 에피소드들이 딱히 생각나지 않기도 하고. 인터넷 선 끊어놓고 공부만 하게 되면 스트레스 푼다고 끄적거리게 될 지도 모르겠지만, 그건 그 때 가서 생각해야지.


이런 상황에 처할 때마다 느끼는 건 세부사항을 채워넣는 것이 정말 큰 재능이라는 것이다. 언젠가부터 '실제로 계산할 수 있는가'를 상당히 중요하게 여기게 된 것과도 관련이 있겠지 하고 막연하게 생각할 뿐이지만.


.. 빨리 양자장론 공부를 시작하자..

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지구가 둥글다는 것을 알았던 옛 사람들은 태양이 지구를 도는 것에서 낮과 밤이 생기는 이유를 찾았습니다. 이를 천동설이라고 합니다. 갈릴레오 갈릴레이가 "그래도 지구는 돈다"라고 말했을 때는 '지구의 태양에 대한 회전'과 '태양의 지구에 대한 회전'이 서로 충돌하던 시절이었죠. '회전과 우주의 구조'라고 말했으니 이 대립을 생각하시는 분들도 많을 것입니다. 하지만 이 글에서는 조금 다른 이야기를 해 보려고 합니다.




회전을 정의하기


우선은 다루기 쉽게 회전을 수학적으로 정의해 보도록 하겠습니다. 중학생 수준을 넘는 수식은 쓰지 않을 예정이니 수학이라는 단어에 겁을 먹지 않으셔도 됩니다. 다만 얼마 전까지만 해도 고등학교 정규교육과정에 포함되어 있던 행렬 이야기는 할 예정이니 '행렬이 무엇인가' 정도는 알고 계셔야겠군요.


가장 먼저 필요한 것은 '공간을 수학으로[각주:1] 나타낼 방법'입니다. 이걸 '좌표'라고 부르죠. 어떤 물건의 위치를 문자(여기서는 숫자와 문자를 구분하지 않겠습니다)로 나타내는 규칙입니다. 토런트같은 P2P에서 파일의 위치를 나타내는 주소나 인터넷 페이지의 DNS 주소를 구할 때 "좌표 찍어줘"라고 말하는 것을 생각하시면 되겠습니다.


우리가 사는 공간에서는 세 숫자면 공간상의 모든 점을 표현할 수 있습니다. 예컨데 '내가 앉은 위치에서 동쪽으로 세 칸, 북쪽으로 두 칸, 위로 네 칸'으로 한 위치를 특정지을 수 있지요. 이를 두고 '우리는 3차원 공간에 산다'라고 말합니다. 한 물건의 크기를 적을 때 높이x너비x깊이 이 세 숫자로 크기를 적을 수 있는 것은 같은 이유에서입니다. (변위)벡터는 이 세 쌍의 숫자를 말합니다. 많은 경우 벡터를 시각화하기 좋도록 원점(내가 앉은 위치)에서 목표점(특정지을 위치)까지 이은 화살표로 생각하는데, 벡터의 크기는 이 화살표의 길이가 되지요.


이제 수학적으로 회전을 정의할 수 있겠네요. 회전이란 3차원 공간상의 벡터들을 1. 벡터의 크기를 보존하고 2. 벡터간 각도를 보존하는 3. 선형변환 입니다.[각주:2] 선형은 다른 의미가 아니고 $a$를 $f(a)$로 보내는 변환 $f$에 $a+b$를 집어넣으면 $f(a+b)=f(a)+f(b)$를 만족한다는 뜻입니다. 직선의 방정식처럼 결과가 단순하게 더해진다는 뜻이지요.


'선형'이라는 말이 나오는 순간부터(무한차원이 아닌 한) 우리는 행렬을 생각해야 합니다. 모든 선형변환은 행렬로 나타낼 수 있기 때문입니다. 여기서는 세 숫자를 세 숫자로 보내는 행렬이 되어야 하므로 우리가 생각해야 할 행렬은 3x3 행렬이며, 위에서 말한 세 조건들을 만족하는 회전을 나타내는 행렬들의 집합에는 O(3)라는 이름이 붙어 있습니다. 이 집합에는 거울상 변환에 해당하는 행렬도 들어있는데, 거울상 변환이란 거울에 비추었을 때 상이 뒤집어지는 것처럼 왼손을 오른손으로 보내는 변환들을 말합니다. 일반적으로는 이를 제거한 행렬들의 집합인 SO(3)를 주로 고려합니다. 어떻게 회전하든 오른손이 왼손과 포개어지지는 않으니까요.


SO(3) 집합이라는 표현할 대상을 찾았으면 표현할 방법을 구상해야겠지요. 이 집합의 한 원소(회전을 나타내는 어떤 행렬이 되겠죠)를 나타내는 한 가지 방법은 위도와 경도를 이용해 지구 위 위치를 나타내듯 두 각도를 이용해 회전의 중심으로 잡을 축을 찾고 그 축에 대한 회전각도를 적어주는 것입니다. 여기에는 숫자 셋이 필요하죠(위도, 경도, 회전각). 중요한 것은 숫자 셋이면 충분하다는 것입니다.


더 보기 쉽게 SO(3) 집합의 한 원소를 나타내는 방법은 오일러 각입니다. 오일러 각은 축 세 개를 지정하면 각 축에 대한 회전만으로 모든 회전을 구현할 수 있다는 것에서 출발합니다. 마찬가지로 숫자 셋(회전각 세 개)으로 모든 회전을 나타낼 수 있지요. 흔히 보는 자이로스코프에 회전축이 단 세 개만 존재하는 것과도 관련이 있습니다.


http://en.wikipedia.org/wiki/File:Gimbal_3_axes_rotation.gif


학부 2학년 역학 시간이나 동역학 시간에는 보통 zxz 오일러 각을 배웁니다. z축을 중심으로 전체를 한번 돌린 뒤 x축을 중심으로 한번 더 돌리고 다시 z축에 대해서 돌리는 것이죠. 보통은 팽이의 움직임이나 인공위성의 자세를 묘사하기 위해서 사용합니다. 반면 항공동역학 시간에는 xyz 오일러 각을 배웁니다. z축을 중심으로 돌린 뒤 y축으로 돌리고 다시 x축으로 돌리는 방법이죠. 다른 각을 쓰는 이유는 이 조합이 항공기의 세 횡운동(yaw, pitch, roll)을 나타내는데 더 편해서입니다.


오일러 각의 문제점은 특이점이 존재한다는 것입니다. 회전 전체의 집합 SO(3)에 대해서 우리는 '비슷한 회전'이란 것을 생각해 볼 수 있겠죠. 대부분의 회전에 대해서는 비슷한 회전으로 바뀔 때 오일러 각이 연속적으로 변합니다. 하지만 특정 회전에 대해서는 오일러 각이 불연속적으로 변합니다. 이를 두고 Gimbal lock이라 부릅니다. 이 문제가 생기면 제어 프로그램이 맛이 가기 때문에 이 문제를 피하는 것이 중요합니다.


문제가 있으면 해결하는 방법도 있어야겠죠. 이 문제를 해결하는 한 방법은 위에서 처음 제시한 (위도, 경도, 회전각) 조합을 이용하는 것입니다. 이 방법을 택할 경우 3x3 행렬들의 곱셈, 즉 아홉 숫자의 곱을 계산해야 합니다.


다른 방법은 사원수(quaternion)를 이용하는 것입니다. 이 방법은 단 네 숫자의 곱셈만을 이용합니다.




회전을 나타내는 다른 방법: 사원수


사원수는 간단하게 말하자면 복소수의 확장입니다.[각주:3] 복소수에 단위허수 두개를 더해서 숫자'처럼' 만든 물건이죠. 숫자'처럼'이라고 하는 이유는 행렬처럼 교환법칙( $ab=ba$)이 성립하지 않기 때문입니다.(다만 실수에 대해서는 교환법칙이 성립) 해밀턴 경이 아일랜드 왕립학회에 가다 떠올렸는데 마땅한 적을 곳이 없어서 지나가던 다리 위에다 사원수의 기본 아이디어를 새겼다는 일화가 전해지죠.


다리 위에 새긴 공식은 $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = −1$ 으로, 단위허수 $i,j,k$ 간의 관계식입니다. 이 관계식으로부터 단위허수 사이의 관계식을 얻을 수 있는데, 가령 $ijk=-1$의 양 변 좌측에 $-i$를 곱하면

\[jk=(-ii)jk=(-i)(ijk)=(-1)(-i)=i\]


를 얻습니다.비슷한 과정을 반복하면 $ij=-ji=k, ki=-ik=j, jk=-kj=i$라는 관계식을 얻습니다.[각주:4]



회전은 크기가 1인 사원수(단위 사원수라 부릅니다)를 이용해 나타낼 수 있습니다.[각주:5] 벡터 $(e,f,g)$를 사원수 $v=ei+fj+gk$로 나타내면 단위 사원수 $q$를 이용해 회전된 벡터 $(e',f',g')$를 $e'i+f'j+g'k=qvq^{-1}$로 나타낼 수 있습니다.[각주:6] 구체적인 방법은 http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation를 참조하시는 편이 낫겠네요.


여기에 재미있는 점이 하나 있는데, 크기가 1인 사원수의 집합은 4차원 공간에서 원점으로부터 거리가 1인 구면, 그러니까 3차원 구면이 됩니다( $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. 3차원 구면은 $S^3$란 기호를 써서 나타냅니다.) 따라서 우리는 회전의 집합 SO(3)가 3차원 구면 $S^3$의 구조를 가지리라고 예상할 수 있습니다. 정말로 그럴까요?


애석하지만 조금 다른 구조를 갖습니다. 왜냐하면 $q$를 이용한 회전과 $-q$를 이용한 회전이 같거든요. '3차원 구면의 대척점 쌍'에 대해 하나의 회전이 정의된 것이죠. 이는 다음 식으로부터 알 수 있습니다.

\[(-q)v(-q)^{-1}=(-1)qv(-1)q^{-1}=(-1)^2 qvq^{-1}=qvq^{-1}\]


SO(3)란 집합은 '3차원 구면의 대척점 쌍'을 원소로 갖는 것이죠. 이런 공간을 사영공간(projective space) $RP^3$로 부릅니다. $RP^3$는 '4차원 공간의 원점에서 직선을 쏘는 방법'들의 공간이기도 합니다.


회전을 나타내는 사원소들의 집합과(3차원 구면 $S^3$의 구조) 실제 회전을 나타내는 행렬의 집합 SO(3)는(사영공간 $RP^3$의 구조) 구조상 미묘한 차이를 보이는 것이지요. 놀랍게도 이 차이는 우리가 보는 세상이 우리가 보는대로 구성되는 것과도 관련이 있습니다.




회전의 미묘한 차이와 우주의 구조


지금까지 회전을 나타내는 두 가지 방법(오일러 각/사원수)이 있으며, 이 중 사원수를 이용한 방법은 오일러 각을 이용한 방법보다 실제로는 더 많은 경우의 수를 가지고 있다는 것을 보여드렸습니다. 재미있게도 이 차이는 물리학에서 입자를 구분하는 방식, 그리고 우주의 모습이 지금 이 모습인 것과 관련이 있습니다.


우선은 회전의 집합을 제대로 규정해야겠지요. 먼저 말씀드렸다시피 3차원 공간에서 회전의 집합은 SO(3)가 됩니다. 하지만 실제 회전에 대응되는 사원수가 나타내는 집합은 SU(2)라고 부릅니다. SU(2)는 3차원 구면 $S^3$의 구조를 가지며, '일반적인 회전 집합' SO(3)에 대해 SU(2)의 두 원소가 SO(3)의 한 원소에 대응되겠죠(사원수 $q$와 $-q$가 같은 회전이므로). 어떤 면에서는 SU(2)라는 집합이 SO(3)라는 집합을 '두 번 덮는다'고 표현할 수 있습니다. 이런 경우를 두고 'SU(2)가 SO(3)의 덮개공간(covering space)이다'라 합니다.



이런 수학적인 장난(?)을 하는 이유는 보통은 느끼기 힘들지만 회전은 분명 흔적을 남기기 때문입니다. 이 흔적은 다음과 같은 실험으로 확인할 수 있습니다. (머플러나 리본처럼) 면을 가진 끈을 준비해 책에 한 끝을 붙이고 다른 끝을 공중 어딘가에 고정합니다. 책을 바닥에 평평하게 두고 한 바퀴 돌리게 되면 끈은 꼬이겠지요. 하지만 '같은' 방향으로 한번 더 돌리면 끈이 풀립니다. 이를 Balinese plate trick이라고 부릅니다. 다음 동영상에서 컵이 계속 위쪽으로 향하도록 한 뒤 회전시킬 때 한 번 회전하면 팔이 꼬이지만 두 번 회전하면 팔이 다시 풀리는 것으로 확인할 수 있죠.



SU(2)와 SO(3)의 2대 1 대응은 '이 차이를 보는가/보지 못하는가'를 나타낸다고 생각하시면 됩니다. 홀수 번 회전과 짝수 번 회전을 구분할 수 있으면 SU(2), 구분하지 못하면 SO(3)가 되는 것이지요.


전자나 양성자와 같은 페르미 입자(fermion)는 홀수 번 회전과 짝수 번 회전을 구분하는 입자들입니다. 이 입자들은 한 바퀴 회전할 때 마다 -1이란 부호를 획득합니다. 광자나 중력자(아직 관찰되지 않았습니다)와 같은 보즈 입자(boson)는 둘을 구분하지 못합니다. 이 차이는 상당히 중요한 결과를 가져옵니다. 두 입자의 자리바꿈과 두 입자의 회전이 동등하기 때문에 페르미 입자의 '회전을 구분하는 특징'은 파울리 배타원리로 나타나게 됩니다. 파울리 배타원리는 '구분할 수 없는 페르미 입자가 같은 상태에 존재하는 것'을 금지합니다. 구분할 수 없는 페르미 입자 두 개가 자리를 바꾸면서 얻는 -1이란 부호가 파동함수의 상쇄간섭을 일으키기 때문입니다.[각주:7] 반면 보즈 입자에 대해서는 파울리 배타원리가 적용되지 않기 때문에 '구분할 수 없는 보즈 입자가 같은 상태에 존재하는 것'이 얼마든지 가능합니다. 극단적인 경우에는 모든 구분이 불가능한 보즈 입자들이 한 상태에 밀집하며, 이를 보즈-아인슈타인 응축이라 부릅니다.


파울리 배타원리의 가장 중요한 결과는 주기율표입니다. 다른 종류의 원자가 서로 다른 화학적 성질을 갖는 이유는 전자가 페르미 입자라서 같은 상태에 두 입자가 존재할 수 없기 때문에 서로 다른 궤도를 갖고 원자핵을 돌기(물론 엄밀하게 말할 때 '도는 것'은 아닙니다만 다른 궤도를 갖고 있다는 것이 중요합니다) 때문입니다. 만약 전자가 보즈 입자였다면 전자는 모두 가장 낮은 에너지를 갖는 궤도에 안착할 것이고(파울리 배타원리가 이런 '붕괴'를 막습니다) 모두 같은 궤도에 있기 때문에 화학 반응이 일어나지 않겠지요.


또 다른 중요한 결과는 항성 핵과 중성자별의 존재입니다. 연소가 끝난 항성 핵은 가장 안정적인 철 원자로 구성되어 있고 철 원자의 전자들은 페르미 입자이기 때문에 '열운동에 의한 압력' 및 '파울리 배타원리의 효과'를 받아 중력으로 붕괴하지 않습니다. 중성자별은 연소가 끝난 별들의 원자핵이 페르미 입자인 중성자로 변해 마찬가지의 원리로 붕괴하지 않지요. 만약 파울리 배타원리의 효과를 받지 않는다면 이 천체들은 연속적으로 붕괴하여 블랙홀이 됩니다.


우리 모두는 별의 잔해에서 태어났습니다. 우리 몸을 구성하는 탄소나 산소와 같은 원소들은 별들의 핵에서 생성되었으니까요. 파울리 배타원리의 효과로 천체들이 불연속적으로 붕괴하는 것이 중요한 이유는 별들이 불연속적으로 붕괴하면서 핵에서 만들어진 원소들을 우주 공간으로 날려보내고, 이로부터 생명이 시작되기 때문입니다. 철 원자로 이루어진 항성의 핵을 지탱해주는 파울리 배타원리의 효과가 중력을 이겨내지 못하는 순간 항성의 핵의 철 원자 핵은 전자를 흡수하며 중성자가 되고, 이 과정에서 부피가 줄어들기 때문에 항성 핵은 붕괴하기 시작합니다. 하지만 중성자도 부피를 갖기 때문에 무한히 붕괴하지는 않지요. 원자 핵 밖에서 항성의 중심으로 낙하하던 물질들은 새롭게 만들어진 중성자 핵이라는 벽에 부딪치고 별 밖으로 튕겨나가게 됩니다. 이 과정을 초신성이라 부릅니다. 항성이 연속적으로 붕괴했다면 일어나지 않았을 일들이지요.


우리가 보는 세상이 우리가 보는 모습대로 있는 이유는, 그리고 우리가 존재할 수 있는 이유는 얼핏 보면 드러나지 않는 회전의 미묘한 차이를 구분할 수 있는 소립자들의 존재 때문인 셈입니다.





트위터에 날린 융단폭격을 조금 정리해봤습니다. 융단폭격의 우두머리(?)는 다음 세 트윗:


https://twitter.com/AstralDexter/status/568795182709125120

https://twitter.com/AstralDexter/status/568802072251887616

https://twitter.com/AstralDexter/status/568809524733222912


자이로스코프 이야기를 하려다 하려던 자이로스코프 이야기는 안 하고 샛길로 새어버렸네요 -_-;; 해당 내용을 추가하기는 늦은 듯 해서 다음에 기회가 생기면 이야기하기로 했습니다.

  1. 정확히는 숫자입니다. 앞으로 각주를 달 내용은 글의 내용과 관련만 있고 흐름과는 상관없는 내용들만 쓸 예정이므로 읽지 않으셔도 좋습니다. 어느 정도 배경지식이 있는 사람들을 위한 이야기라서요. 접어둔 내용은 글을 이해하시는 데 필요할 수 있는 정보들입니다. [본문으로]
  2. 3은 사실 연속성(비슷한 벡터는 비슷한 벡터로)과 같이 생각해야 하는 조건입니다. 연속성이란 조건을 날려버리면 '구 하나를 쪼개고 잘 합쳐 둘로 만드는' 것도 가능합니다. Banach-Tarski 역설을 참조: http://en.wikipedia.org/wiki/Banach-Tarski_paradox [본문으로]
  3. 복소수에서 사원수로 확장하는 과정을 이용해서 수 체계를 계속 확장하는 것이 가능합니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley-Dickson_construction [본문으로]
  4. 사원수의 경우 Gibbs가 벡터 연산을 개발하기 전까지 물리학의 기본 언어로 쓰일 정도로 물리에 영향을 많이 미쳤습니다. 이후 사원수와 같은 방향으로 나아간 것에는 geometric algebra란게 있는 모양입니다만 공부해보진 않았네요. 참고로 xyz 단위벡터를 쓸 때 ijk를 쓰는 것은 사원수의 흔적입니다. [본문으로]
  5. 바로 다음 파트에서 다룰 예정이지만, 단위 사원수의 집합은 SU(2)와 동일합니다. [본문으로]
  6. 앞선 각주를 읽으셨고 게이지 장론을 공부하셨다면 회전을 나타내는 방법 중 SO(3)는 fundamental representation에, SU(2)는 adjoint representation에 해당한다는 것을 확인할 수 있습니다. [본문으로]
  7. 공간이 2차원이 되면 한 바퀴 회전할 때 얻는 부호가 1 또는 -1로 제한될 필요가 없습니다. Anyon이 이런 경우를 다룹니다. [본문으로]

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페이스북 타임라인에 쌍둥이 역설과 관련이 깊은 질문들이 올라와서 이런저런 생각을 해봤다. 이 글은 대충대충 쓸거라 일반상대론에 대한 지식이 어느 정도 있어야 읽을 수 있다는 것을 미리 알려드리며.




쌍둥이 역설이야 다들 아실테니 설명을 제끼기로 하자. 그렇다면 쌍둥이 역설의 기하적인 의미는 무엇일까? (약간의 비약을 넣어) 기하적으로 접근하면 '평면에서는 두 직선을[각주:1] 두 번 교차시킬 수 없다'는 것을 의미한다.


두 직선을 두번 교차하게 만드는 방법은 공간을 휘는 것이다. 예컨데 구에서 서로 다른 직선 둘을 그리면 두 점에서 교차하게 된다. 일반상대론에서는 중력이 공간을 휘어주는 역할을 하고, 직선은 중력을 따라 자유낙하하는 물체의 궤적이다. 일반상대론에서 직선의 길이는 자유낙하하는 물체의 고유시간이다.


이제 휘어진 공간에서 두 직선의 길이를 비교해 보자. 가장 간단하게 생각해볼 수 있는 방법은 지구를 이용해 공간을 휜 뒤 A는 지구의 원궤도에, B는 머리 위로 똑바로 던져서 다시 받는 궤도에[각주:2] 놓되 조건을 잘 맞추어서 같은 시간 같은 점에서 출발한 A와 B가 조금 뒤 같은 점에서 다시 만나도록 하는 것이다. 같은 시공간상의 점에서 출발한 두 직선-A와 B가 만드는 시공간상의 궤적-이 다시 한 점에서 만났을 때, 두 직선의 길이는 과연 같을 것인가? (계산을 해보지는 않았지만) 일반적으로 다르리라고 예상할 수 있다. 쌍둥이 역설일까? 물론 아니다. A가 그린 직선과 B가 그린 직선은 분명히 다르기 때문에[각주:3] A가 그린 직선의 길이와 B가 그린 직선의 길이가 다른 것이 문제가 될 이유는 없다.


문제를 더 꼬아보자. A가 그린 직선과 B가 그린 직선을 구분할 수 없다면? 그런 종류의 공간으로 더 시터르 공간(de Sitter space: dS)와 반-더 시터르 공간(anti-de Sitter space: AdS)이 있다.[각주:4] 이 공간들 위에서 두 물체 A와 B가 직선을 그리며 운동할 때 A가 그리는 직선과 B가 그리는 직선은 근본적으로 구분이 불가능하다. 따라서 쌍둥이 역설이 생기지 않으려면 (1) A가 그리는 직선과 B가 그리는 직선은 절대로 만나지 않던가(dS공간이 여기에 해당한다) (2) A가 그리는 직선과 B가 그리는 직선이 만났을 때 두 직선의 거리는 똑같아야 한다(AdS공간이 여기에 해당한다).


재미있는 점은 (2)의 경우 A와 B의 상대속도에 무관하게 같은 고유시간 뒤에 다시 만나게 된다는 부분. 이건 다음과 같이 증명할 수 있다. 우리는 A 위에 앉아있다고 하고, B와 C를 준비한다. 이제 B와 C를 (A에 대해) 같은 속력으로 날리되 방향은 다르게 한다. 그리고 공간은 대칭적이므로 B와 C는 동시에 A에 도착하게 된다. 그런데 B와 C 모두 관성운동을 했으므로, 우리는 B나 C 위에 앉아서 이 과정을 구경해도 된다. C에서 이 과정을 볼 경우 A와 B는 일반적으로 다른 속력을 가지고 관성운동을 하므로, 임의의 상대속력을 갖고 출발한 두 관성운동은 항상 같은 고유시간 뒤에 다시 만나게 된다.[각주:5]




결론: 일반상대론에서의 쌍둥이 역설으로부터 'AdS 공간에서의 한 점에서 출발하는 모든 timelike geodesic은 다른 한 점으로 수렴하며, 그 고유길이(고유시간)은 모두 같다'는 결론을 내릴 수 있다.




P.S. 고전역학에서는 harmonic oscillator가 정확히 똑같은 현상을 보인다. 우주상수를 넣고 아인슈타인 방정식의 구면대칭적인 해를 찾을 때 나오는 답의 $g_{00}$항이 1(또는 convention에 따라 -1)에서 벗어나는 정도를 Newtonian potential로 해석할 수 있는데, 이 potential 항이 harmonic oscillator의 potential을 갖는다는 것과 연결지어 생각할 수 있다.

  1. 상대론에서 '중력(0일 수도 있다)만을 받으며 운동'하는 점입자의 궤적은 직선(geodesic - 정확히는 time-like geodesic)이다. 단지 3차원에서 사는 사람의 눈에는 직선으로 보이지 않는 것일 뿐. [본문으로]
  2. purely radial motion이라고 생각하면 된다 [본문으로]
  3. 예를 들어 A와 B는 각각 자유낙하를 하면서 공간의 리만 곡률텐서의 값을 읽어볼 수 있다. A가 읽는 곡률은 일정하겠지만 B가 읽는 곡률은 위치에 따라 달라진다. [본문으로]
  4. 관성운동(본문의 직선을 그리는 운동)을 하는 모든 입자가 자신이 정지한 좌표계에서 똑같은 공간을 보려면 시공간의 곡률을 만들어주는 stress-energy tensor가 metric tensor의 상수배여야 한다. maximal symmetry를 가정하면 Lorentz boost에 해당하는 임의의 좌표변환을 하더라도 모양이 변하지 않는게 metric밖에 없기 때문. [본문으로]
  5. 정확한 증명(a.k.a. 수학적 증명)을 하려면 (v의 속력에서 시작했을 때/c=1) 상대속도 0에서 상대속도 2v/(1+v)까지의 모든 운동이 같은 고유시간에 도착한다는 것을 보인 뒤(각도 문제다), 이걸 반복하면 임의의 u<1도 포함된다는 것을 보이면 된다. [본문으로]

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영원의 하루

Daily lives 2015.01.01 22:05

"전에 어떤 책 서문에서 읽은 건데, 우리가 사는 세상 저 북쪽 끝 스비스조드라는 땅에 거대한 바위 하나가 있답니다. 높이와 너비가 각각 1백마일에 이를 만큼 엄청나게 큰 바위인데, 이 바위에 인간의 시간으로 천 년에 한 번씩 작은 새 한 마리가 날아와 날카롭게 부리를 다듬고 간답니다. 그리고, 그렇게 해서 이 바위가 닳아 없어질 때 영원의 하루가 지나간답니다."


-이순원, <은비령> 중


읽어본 적 없는 소설의 기억나는 한 구절. 문득 생각나 인터넷을 찾아보았다. <은비령>이라는 소설의 한 구절이라고 한다. 시간 나면 읽어봐야지.


영원을 사유하는 존재가 찰나에 얽매여야 한다니 이만한 저주도 없지 않을까.

찰나에 얽매이는 주제에 영원을 사유할 수 있다니 이만한 축복도 없겠지만.


새해에는 더 멀리서, 동시에 더 가까이서 볼 수 있었으면 좋겠다. 별을 관측한다고 우물에 빠지는 것이 괜찮은 것은 아니니까.[각주:1]

  1. 찾아보니 가장 오랜 기록은 탈레스를 지목한다고 한다(테아이테토스 174a). [본문으로]

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Lense-Thirring effect가 과제로 나와서 이책 저책을 찾아보다가 Fermi-Walker transport란걸 알게 되었다. 검색을 조금 돌려보니까 이런 논문도 나오는데, 이 논문까지 읽을 필요는 없을듯. Fermi-Walker transport의 식은 다음과 같이 주어진다.

\[\frac{D_F A^{\mu}}{Ds}=(w^{\mu} u_{\nu}-u^{\mu}w_{\nu})A^{\nu}\] \[\mathbf{u}=\frac{d}{ds}, \mathbf{w}=\nabla_{\mathbf{u}}\mathbf{u}\] \[s \text{ is (natural) parametrisation of the curve; }\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=1\]


notation이 이것저것 섞여있긴 한데 알아들을 분들은 다 알아들으리라 믿고(...)


그래서 이게 뭐냐? 위키백과 항목에는 '평행이동(parallel transport)의 일반화'라고 서술되어 있지만 그 말은 별로 옳지 않아 보인다. 그림으로 보는게 가장 이해하기 편할 듯.



평행이동을 곡면좌표계(curvilinear coordinates)에서 유도하는 과정을 보면 위의 그림이 된다.



그리고 이게 Fermi-Walker transport. 이동시킬 곡선에 평행한 성분은 계속 평행하고 수직한 성분은 계속 수직하게 이동시키는 과정. 따라서 이동시키는 곡선이 '직선'(혹은 측지선-geodesic)인 경우 Fermi-Walker transport는 평행이동과 같아진다. Fermi-Walker transport의 식 유도는 벡터 $\mathbf{A}$를 가져다가 곡선의 접선(tangent)인 $\mathbf{u}$에 평행한 성분과 수직한 성분으로 나눈 뒤 수직한 성분의 변화율을 $\mathbf{u}\cdot\mathbf{A_\perp}=0$을 미분해서 얻으면 된다. 감이 안 잡히면 LPPT Problem book in Relativity and Gravitation의 문제 11.7에서 풀어주고 있으니 그 책을 확인해보는 것도 좋을듯. 이 책은 어둠의 경로가 아니더라도 http://www.nrbook.com/relativity/에서 볼 수 있다.

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  1. sentinel_2  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    첫번째 그림에서 주어진 곡선은 그냥 아무 곡선이고, geodesic이 아닌 건가요?

    2014.12.26 21:44

일반물리학2 기말고사에서 양자역학과 (특수)상대론을 다루는 것을 보고 멘붕했는데(전 왜 배운 기억이 없을까요 =_=;;)[각주:1] 채점을 맡은 문제에서 틀린 사람이 너무 많아서 해설지를 써보았습니다. 스캔 상태가 엉망인 것과 악필인 것은 감안하시고...



sol.pdf





4.(a) 폭이 $L$인 1차원 무한 포텐셜 우물의 내부( $0<x<L$)에서 자유로이 움직일 수 있는 양자입자가 있다. 양자입자의 바닥상태 에너지가 0이 될 수 없음을 불확정성 원리를 이용해서 간단히 설명하라.


이 문제는 하이젠베르크의 불확정성 원리에 대한 이해를 물어보는 문제였습니다. 표준적인 방법은 위치-운동량 불확정성 원리를 이용하는 것인데, 사람에 따라서는 시간-에너지 불확정성을 이용하더군요. 문제는 시간-에너지 불확정성은 위치-운동량 불확정성과는 전혀 다르게 해설한다는 것이지만요(그래서 전부 오답처리).




8. (a) 철수가 광속에 가까운 속력 $v$로 일정하게 달리는 우주선을 타고 먼 별을 향해 여행을 떠난다. 지상에 남아 있는 영희는 철수에게 일정한 간격 $T$로 빛신호를 보내 안부를 전한다. 우주선에 타고 있는 철수는 빛 신호를 얼마의 간격으로 받고 있을까?


평범한 상대성이론 문제입니다. 상대론 문제를 풀 때 가장 중요한 건 "내가 누구 관점에서 문제를 풀고 있더라?"를 끝까지 기억하는거죠. 이게 엉켜버리면 난리가 나고요. 여러가지 방법으로 답을 구하는 방법을 적어보았습니다.


사실 마지막 '기하학적 풀이'에는 4-벡터를 이용한 해도 적어볼까 했지만 처음부터 설명하는건 무리라고 판단해서 생략. 사실 4-벡터를 내적해서 값을 구하는 짓을 하게 되면 불변량들을 가지고 숫자놀음을 하게 되기 때문에 식이 절대로 엉키지 않습니다. Landau 2권에서 retarded potential을 구할 때 이 방법을 쓰는 것으로 기억하고 있는데, 가장 논리를 따라가기 힘들었던 파트중 하나였죠.

  1. 물론 제가 들은건 1학년 상대로 4-벡터를 가르치던 고급물리였습니다만(다같이 멘붕) 양자는 한 기억이 없어요... [본문으로]

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  1. 지나가던 사람  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    에너지-시간 불확정성 원리로 왜 해결할수 없다는게 이해가 안가는데 혹시 더 자세하게 설명해주실수 있으신가요?

    2017.08.16 22:05
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2017.08.23 23:32 신고  댓글주소  수정/삭제

      에너지-시간 불확정성은 '시스템이 특정한 에너지를 갖는 처음 상태에서 Δt만큼의 시간 동안 외부의 영향을 받아 나중 상태로 변화했을 때 나중 상태들이 갖는 에너지의 분포가 ΔE만큼 퍼져있을 경우 ΔtΔE~h의 관계가 성립한다'로 해석해야 합니다. 시간에 따른 시스템의 변화에 방점이 찍혀있기 때문에 시간과는 무관한 바닥상태의 에너지와는 관련이 없습니다.

로그 항등식?

Mathematics 2014.10.26 02:50

페이스북 타임라인에 던져졌던 문제. 다음을 미분을 쓰지 않고 증명하시오.


\ln f(x) = - \int _0 ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt




그 전에 잠시 다음 적분을 보자.


\[ \forall a>0, \int_0^\infty \frac{1}{t}e^{-at}dt = \int_0^\infty \frac{1}{t}e^{-t}dt \]


위 식은 간단한 변수치환으로 보일 수 있다. 이제 다음 식을 생각해보자.


\[\forall a>0\forall \epsilon>0, \int_0^\infty\frac{1}{t}e^{-(a+\epsilon)t}dt -\int_0^\infty\frac{1}{t}e^{-at}dt = 0\]


왜냐고요? 위에서 임의의 변수 $a$를 넣어주어도 값이 같다는걸 보였으니까. 눈치가 빠른 사람들은 내가 왜 $\epsilon$을 넣었는지 감을 잡았겠지만, 이제 미분의 정의를 이용하려고 한다. 적분은 합쳐도 상관없으니 일단 같은 적분으로 퉁치기로 하자.


\[\lim_{\epsilon\to0}\frac{1}{\epsilon}\int_0^\infty\frac{1}{t}(e^{-(a+\epsilon)t}-e^{-at})dt=\lim_{\epsilon\to0}\frac{1}{\epsilon}0 = 0\]


한편, 극한을 적분 안에 우선 넣어버리는 방법도 있다.


\[\int_0^\infty\frac{1}{t}\lim_{\epsilon\to0}\frac{1}{\epsilon}(e^{-(a+\epsilon)t}-e^{-at})dt=-\int_0^\infty e^{-at}dt=-\frac{1}{a}\]


넵. 무언가 잘못되었습니다. 이런 문제가 생기는 이유중 하나로 처음 본 식의 적분은 무조건 발산한다는 성질이 있다.(극한과 적분의 순서를 바꾸어도 되는가는 꽤 섬세한 증명이 필요한 과정이긴 하지만 그건 수학과의 일이니 일단 무시하기로 하자)[각주:1][각주:2] 애초에 시작부터 개소리라는 뜻이다. 하지만 우리는 불굴의 물리학도 계산기 공대생, 정의가 제대로 안 되었든 말든 그건 무시하고 일단 계산에 써먹는다!




본론으로 돌아와서, 양변을 미분하면 처음의 식을 어떻게든 얻지만 다른 해법을 구하라고 한 이상 다른 방법을 찾아야 한다. 우선 위 등식은 이렇게 쓸 수 있다.


\ln f(x) = - \int _0 ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt=-\int _0 ^{\infty}\int _{f(x)} ^{\infty} e^{-tf}df dt


되든 말든은 걱정하지 않고 식만 그럴듯하면 바꾸고 보는 공대생의 본능을 따라 적분 순서를 바꿔보자. 그러면


\ln f(x) = -\int _0 ^{\infty}\int _{f(x)} ^{\infty} e^{-tf}df dt = -\int _{f(x)} ^{\infty}\int _0 ^{\infty} e^{-tf}dt df \\ = \int _{f(x)} ^{\infty} \frac{1}{f} df


적분이 발산한다. 어쨌든 식의 꼴은 대충 맞췄으니, 우리는 어떻게든 비슷한 맞는 증명과정을 가고 있다고 생각할 수 있다. 어디에서 문제가 생긴 걸까? 문제는 정의되지 않는 적분을 억지로 정의했기 때문에 생긴다: 0에서 1/t는 정의되지 않는다.[각주:3] 보다 올바른 표현으로 바꾸려면 위 등식을 다음과 같이 써야 한다.


\ln f(x) = - \lim_{\epsilon\to 0+} \int _\epsilon ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt


이 식을 끌고가 보자. 적분 순서를 바꾸면 ('과연 바꿀수 있는가?'란 질문은 수학과에게 넘기기로 하자)


- \int _\epsilon ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt=-\int _\epsilon ^{\infty}\int _{f(x)} ^{\infty} e^{-tf}df dt = -\int _{f(x)} ^{\infty}\int _\epsilon ^{\infty} e^{-tf}dt df \\ = \int _{f(x)} ^{\infty} \frac{e^{-\epsilon f}}{f} df = \left (\ln{f})e^{-\epsilon f} \right|_{f(x)}^\infty+\epsilon\int_{f(x)}^{\infty}(\ln f)e^{-\epsilon f} df


문제는 두번째 항의 적분이다. 두번째 항은 입실론이 0으로 갈 때 수렴할까 발산할까? 당연히 발산하지(...). 얼마나 빠르게 발산하는지 확인하기 위해 두번째 항은 라플라스법/안장점법(saddle point method)/최대기울기법(method of steepest descent) 등으로 불리는 다음 기법을 이용해 근사해보자. 우선 다음이 되는 식 g를 계산한다.


e^{g(f)}=(\ln f)e^{-\epsilon f}


이제 좌변을 극대값에서 테일러 전개를 이용해 근사한다.


\frac{d}{df}\left[(\ln f)e^{-\epsilon f}\right]_{f^\ast}=\left[\frac1{f^\ast}-\epsilon\ln f^\ast \right]e^{-\epsilon f^\ast}=0 \\\therefore f^\ast\ln f^\ast=\frac1\epsilon \\\\g(f) = \ln\left[(\ln f)e^{-\epsilon f}\right] \simeq g(f^\ast)+\frac12 g''(f^\ast)(f-f^\ast)^2 \\\therefore g(f) \simeq \ln\left[\frac1{\epsilon f^\ast}e^{-\frac1{\ln f^\ast}} \right]-\frac12 \frac{\epsilon(1+\frac{1}{\ln f^\ast})}{f^\ast}(f-f^\ast)^2


매우 익숙한 적분이 보이는 것은 착각이 아니다.


\int_{f(x)}^{\infty}(\ln f)e^{-\epsilon f} df \simeq \int_{f(x)}^{\infty}\frac1{\epsilon f^\ast}e^{-\frac1{\ln f^\ast}}e^{-\frac12 \frac{\epsilon(1+\frac{1}{\ln f^\ast})}{f^\ast}(f-f^\ast)^2}df \\\simeq \int_{-\infty}^{\infty}\frac1{\epsilon f^\ast}e^{-\frac1{\ln f^\ast}}e^{-\frac12 \frac{\epsilon(1+\frac{1}{\ln f^\ast})}{f^\ast}(f-f^\ast)^2}df \\=\frac1{\epsilon f^\ast}\sqrt{\frac{2\pi f^\ast}{\epsilon(1+\frac{1}{\ln f^\ast})}}e^{-\frac1{\ln f^\ast}}


극한을 취하면


\therefore- \lim_{\epsilon\to 0+} \int _\epsilon ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt \\=\lim_{\epsilon\to 0+}\left[\left (\ln{f})e^{-\epsilon f} \right|_{f(x)}^\infty+\epsilon\int_{f(x)}^{\infty}(\ln f)e^{-\epsilon f} df \right ] \\=\lim_{\epsilon\to 0+}\left[\left (\ln{f})e^{-\epsilon f} \right|_{f(x)}^\infty+\frac1{f^\ast}\sqrt{\frac{2\pi f^\ast}{\epsilon(1+\frac{1}{\ln f^\ast})}}e^{-\frac1{\ln f^\ast}} \right ] \\=\ln f+O((\ln f^\ast)^{1/2})


마지막의 O는 발산하는 항이다. 위에서의 정의 때문에 $\ln f^\ast$의 1/2승으로 발산하면 $-\ln \epsilon$의 1/2승보다도 느리게 발산한다는 것을 확인할 수 있다( $f^\ast\leq\epsilon^{-1}$). 참고로 $-\ln\epsilon$은 $\epsilon$의 어떤 차수보다도 천천히 발산한다(지금은 $\epsilon$을 0으로 보내고 있다) .


\[\therefore \epsilon\to0,-\int _\epsilon ^{\infty} \frac{1}{t}e^{-tf(x)}dt = \ln f+o((-\ln \epsilon)^{1/2}) \]


아, 그리고 뒤쪽의 발산하는 항은 '비물리적이다!'라고 판단해서 날려먹는 일은 자주 있는 일이다. 이로서 증명 끝!(?)

  1. 한 교수님 왈: (무한합과 적분의 순서를 바꾸면 간단해지는 식이 있을 때) "수학과는 적분과 무한합의 순서를 바꾸어도 되는지 고민하느라 시간을 날린다. 공대생은 일단 바꾸고 계산해서 틀린다" [본문으로]
  2. 함수열의 극한의 적분과 함수열의 적분의 극한이 다른 사례로 $f_n(x)=2^{n+1}, 2^{-n-1} leq x leq 2^{-n}$ 이 있다(타 구간에서는 0). 이 함수열의 극한은 항등적으로 0인 함수. [본문으로]
  3. 실제로도 적분이 문제가 생기는 영역은 0 근처이다. [본문으로]

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  1. Favicon of https://kipid.tistory.com BlogIcon kipid  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    음.. 스마트폰에서 보면 수식이 처리가 안되어서 보이는데 -ㅇ-;;;;

    2014.11.11 20:05 신고
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2014.11.15 21:35 신고  댓글주소  수정/삭제

      아, 수식이 java를 쓸꺼라 모바일에서는 안될꺼예요...

    • Favicon of https://kipid.tistory.com BlogIcon kipid 2014.11.15 21:42 신고  댓글주소  수정/삭제

      http://kipid.tistory.com/entry/equations-in-html
      모바일 페이지를 따로 안만들고 max-width:100% 같은걸로 처리하시면 폰에서도 보이긴 하는데... 음. 그냥 폰에서 pc 버전으로 보는게 편한 방법이긴 하겠네요.

다음 연작 트윗에 대한 보충설명.



일단 susceptibility라는 뭉뚱그려진 표현(?)은 '하나의 제한조건(에너지가 일정할 것 등)이 걸려있을 때 두 상태함수의 변화비'로부터 유도되는 값들을 말한다. 정압비열은 '압력이 일정할 때 온도의 변화에 대한 엔트로피의 변화비'에 온도를 곱한 값이 되고, 쓰로틀링(throttling)에 등장하는 줄-톰슨 계수(Joule-Thomson coefficient)는 '엔탈피가 일정할 때 압력의 변화에 대한 온도의 변화비'가 된다.


C_p\equiv T\left.\frac{\partial S}{\partial T}\right|_p=\left.\frac{\delta Q}{\delta T}\right|_{\delta p=0} \\\\C_{JT}\equiv\left.\frac{\partial T}{\partial p}\right|_H


열역학에서 다루는 기체(물론 액체나 고체, 플라즈마에도 적용되지만 고체를 다룰 경우에는 자화를 다루며 자기장까지 끌려나오는 경우가 있어서 좀 애매하다. 보통 '무언가를 태우는' 열역학에서 써먹을법한 상태를 가정한다)는 '단 두개의 변수로 상태를 완전히 정의할 수 있다'는 가정이 붙는다. 이건 canonical ensemble의 partition function을 구할 때 온도 T와 부피 V만 주어지면 된다는 사실로부터도 알 수 있고, 더 쉽게는 제1법칙에서 에너지가 단 두개의 열역학적 변수로 적분이 가능하다는 사실로부터 알 수도 있다. 이렇게 '상태를 정해주기 위해 선택한 두 열역학적 값'을 열역학적 변수로 부르기로 하자.


열역학에서는 굉장히 다양한 함수를 다룬다. 에너지에 엔트로피와 온도의 곱을 뺀 헬름홀츠 에너지라던가, 에너지에 부피와 압력의 곱을 더한 엔탈피라던가. 이렇게 하나의 상태가 주어졌을 때 그 상태가 갖는 여러 물리적 성질들을 열역학적 (상태)함수라고 부르자. 우리가 열역학에서 관심갖는 대부분의 함수들은 다섯가지 변수(에너지 E, 온도 T, 엔트로피 S, 압력 p, 부피 V)로부터 정의된다. 따라서 임의의 열역학적 함수 f에 대해 이 함수의 변화량은 다음과 같이 전개할 수 있다. f의 정의로부터 미분이 가능하기 때문이다.


f=f(E,T,S,p,V) \\\delta f=\frac{\partial f}{\partial E}\delta E+\frac{\partial f}{\partial T}\delta T+\frac{\partial f}{\partial S}\delta S+\frac{\partial f}{\partial p}\delta p+\frac{\partial f}{\partial V}\delta V


여기에 어떤 장난을 치느냐? 열역학 1법칙을 이용해 변화량을 열역학적 변수 두개로 줄여버린다.


\delta E=T\delta S-p\delta V \\\delta T=\left.\frac{\partial T}{\partial S}\right|_V\delta S+\left. \frac{\partial T}{\partial V}\right|_S\delta V \\\delta p=\left.\frac{\partial p}{\partial S}\right|_V\delta S+\left. \frac{\partial p}{\partial V}\right|_S\delta V \\\therefore\delta f=\frac{\partial f}{\partial E}\delta E+\frac{\partial f}{\partial T}\delta T+\frac{\partial f}{\partial S}\delta S+\frac{\partial f}{\partial p}\delta p+\frac{\partial f}{\partial V}\delta V \\\text{ }=\left.(T\frac{\partial f}{\partial E}+\frac{\partial f}{\partial T}\left.\frac{\partial T}{\partial S}\right|_V+\frac{\partial f}{\partial S}+\frac{\partial f}{\partial p}\left.\frac{\partial p}{\partial S}\right|_V\right)\delta S \\\text{ }\text{ }+\left.(-p\frac{\partial f}{\partial E}+\frac{\partial f}{\partial T}\left. \frac{\partial T}{\partial V}\right|_S+\frac{\partial f}{\partial V}+\frac{\partial f}{\partial p}\left. \frac{\partial p}{\partial V}\right|_S\right)\delta V


참고로 Maxwell relation에 의해 맨 마지막 줄에 등장하는 편미분 넷 중 둘이 같다. 여기서 '세 susceptibility(소괄호로 강조되어 있다)로 임의의 열역학적 상태함수에 대한 편미분을 구할 수 있다'는 중간정리를 얻는다.


\left. \frac{\partial p}{\partial S}\right|_V=-\left. \frac{\partial T}{\partial V}\right|_S \\\therefore\left. \frac{\partial f}{\partial S}\right|_V=\left[T\frac{\partial f}{\partial E}+\frac{\partial f}{\partial T}\left(\left. \frac{\partial T}{\partial S}\right|_V\right)+\frac{\partial f}{\partial S}-\frac{\partial f}{\partial p}\left(\left. \frac{\partial T}{\partial V}\right|_S\right)\right] \\\left. \frac{\partial f}{\partial V}\right|_S=\left[-p\frac{\partial f}{\partial E}+\frac{\partial f}{\partial T}\left(\left. \frac{\partial T}{\partial V}\right|_S\right)+\frac{\partial f}{\partial V}+\frac{\partial f}{\partial p}\left(\left. \frac{\partial p}{\partial V}\right|_S\right)\right]\delta V


이제는 편미분을 임의의 함수에 대해서 쓸 차례이다. 원 증명에서는 알파베타감마를 썼는데 귀찮은 관계로 A, B, C라고 하자. 이 값들의 변화는 다음과 같이 쓸 수 있다.


\\\delta A=\left. \frac{\partial A}{\partial S}\right|_V\delta S+\left. \frac{\partial A}{\partial V}\right|_S\delta V \\\delta B=\left. \frac{\partial B}{\partial S}\right|_V\delta S+\left. \frac{\partial B}{\partial V}\right|_S\delta V \\\delta C=\left. \frac{\partial C}{\partial S}\right|_V\delta S+\left. \frac{\partial C}{\partial V}\right|_S\delta V


이것을 이용해 편미분을 계산할 수 있다. 자세한 계산과정은 간단한 산수니 생략하겠다.


\left. \frac{\partial A}{\partial B}\right|_C=\left. \frac{\delta A}{\delta B}\right|_{\delta C=0} \\\\\\=\frac{\left. \frac{\partial A}{\partial S}\right|_V\left. \frac{\partial C}{\partial V}\right|_S-\left. \frac{\partial A}{\partial V}\right|_S\left. \frac{\partial C}{\partial S}\right|_V}{\left. \frac{\partial B}{\partial S}\right|_V\left. \frac{\partial C}{\partial V}\right|_S-\left. \frac{\partial B}{\partial V}\right|_S\left. \frac{\partial C}{\partial S}\right|_V}


자, 저 계산식 안에 있는 모든 항목들은 단 세 susceptibility로 모두 계산할 수 있다. 따라서, 세 susceptibility의 값만 있으면 모든 susceptibility를 알 수 있다는 말이 된다. 증명 완료.




트위터에서도 말했다시피 이건 통계역학 문제보다는 열역학 문제에 가깝다. 편미분을 얼마나 자유롭게 사용할 수 있는지를 살펴보겠다는 문제.

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  1. sentinel_2  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    LaTex 코드 입력하느라 고생하셨습니다 ㅋㅋ 통계역학 수업 들어보고 싶었는데 이리저리 치이느라 못듣게 되었네요. 종종 글 올려주세요ㅋ 잘 읽고 갑니다.

    2014.09.25 22:51


오늘도 하라는 공부는 안 하고 트위터에서 놀다가 함수해석학과 양자역학 이야기가 나와서 위 글을 다시 검토하던 중, '유한 차원에서라면-선형대수학의 영역이라면- 교환자(commutator)가 identity의 상수배가 나오지 않는다는 것을 증명할 수 있지 않을까?'란 생각이 들었다. 결론: 매우 쉽게 보일 수 있다.


아이디어는 매우 쉽다. 2×2 행렬은 Pauli matrice에 identity를 더해 기저로 잡은 복소수체 벡터공간의 원소로 생각할 수 있다. 3×3 행렬은 Gell-mann matrice에 identity를 더하면 된다. 일반적으로 n×n 행렬은 SU(n) 군의 생성자(generator)에 identity를 더해 기저로 잡은 복소수체 벡터공간의 원소로 생각할 수 있다.


\text{In general, a }n\times n\text{ matrix can be thought as} \\\text{an element of a vector space spanned by the set} \\\\\{I,g_1,g_2,\dots,g_{n^2-1} \} \\\\\text{where }I\text{ is the identity matrix and }g_i\text{'s are the} \\\text{generators of SU(}n\text{) group. Note that all bases} \\\text{except for }I\text{ are traceless.}


이제 n×n 행렬 두개를 가져다 교환자를 구성한 뒤 trace를 구하면 0이 됨을 쉽게 알 수 있다. 그런데 identity는 trace가 n이므로, identity의 상수배는 trace가 0일 수 없다. 따라서 유한차원에서 작용하는 연산자(operator)들의 교환자는 identity의 상수배가 될 수 없다.


\text{Let }A\text{ and }B\text{ be arbitrary }n\times n\text{ matrices and let} \\\\A=\alpha_0I+\alpha_ig_i, B=\beta_0I+\beta_ig_i \\\\\text{where summation over }i\text{ is implied. Then the trace} \\\text{of the commutator }[A,B]=AB-BA\text{ vanishes.} \\\\Tr([A,B])=Tr(\gamma_ig_i)=0 \\\gamma_i=\sum_{j,k}C_{ijk}\alpha_j\beta_k \\\\\text{The }C_{ijk}\text{'s are the structure constants. Since identity} \\\text{and its scalar multiple cannot be traceless, commutators} \\\text{in finite dimensional linear algebra cannot be a multiple} \\\text{of identity.}


이제 함수해석학을 배워야 하는 이유가 하나 더 추가되었다(...)




수정: 잠결에 생각해보니 너무 어렵게 풀었네요. 결론은 똑같지만 trace가 0이어야 한다는 것은 다음 trace의 기본 성질로부터 훨씬 쉽게 보일 수 있습니다.


\text{Trace has the following properties} \\\\Tr(cA+dB)=cTr(A)+dTr(B) \\Tr(AB)=Tr(BA) \\\\\text{where lowercase letters are scalars. Therefore} \\\\Tr([A,B])=Tr(AB)-Tr(BA)=0


그러면 위에서 일반적인 연산자를 identity와 SU(n) 군의 생성자를 이용한 기저로 나타내는 것이 무슨 의미를 갖는지 생각해볼 수 있겠죠. 알려진 것과 같이 양자역학에서는 모든 측정가능량이 연산자로 주어집니다. 그리고 임의의 측정량이 있을 때, 여기에 identity의 상수배를 더하는 것은 측정량의 기준점을 이동한다는 의미가 됩니다. 단순히 모든 고유값(eigenvalue)들을 일정한 값만큼 이동하는 것과 동일하니까요. 따라서 identity는 실제 물리적인 의미를 갖는 부분이 아니라고 생각할 수 있습니다. 결국 n개의 독립적인 상태를 가질 수 있는 계가 있다면 이 계에서 얻을 수 있는 모든 측정량들은 SU(n) 리 대수(Lie algebra)의 원소로 생각할 수 있다는 뜻이 되겠죠. 이젠 군론을 배웁시다 야호!


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P. A. M. 디락의 생일 기념으로 The Second Creation(Robert P. Crease, Charles C. Mann, Rutgers University Press, New Jersey, 1996)의 5장 The Man Who Listened의 발췌번역입니다. 디락의 일화를 소개하는데 무게를 두었습니다.


[..]


젊은 과학자들이 첫 논문으로 과학계를 흥분시키고 모든 박사논문이 새로운 분야를 열어젖히던 때, 가장 많은 영향을 미친 것은 디락이었습니다. 양자이론에 대한 반감을 가졌던 아인슈타인이 마지막 고전물리학자라면, P. A. M. 디락(그는 항상 이렇게 서명했지요)은 첫 완전한 현대물리학자였습니다. 1984년 디락의 죽음 직전에 물리학자 실판 슈베버(Silvan Schweber)는 이렇게 평가했습니다. "디락은 양자역학의 주요 저자 중 하나일 뿐 아니라 양자전기역학의 개척자이며 양자장론의 주된 설계가이기도 합니다. 삼사십년대의 양자장론의 중요한 발전은 모두 디락의 작업에서 출발하고 있습니다"


환경은 그가 지독히 내성적이고 과묵하게 자라나도록 짜인 것처럼 보입니다. 디락은 1902년 8월 2일 영국 브리스톨(Bristol)에서 스위스 출신의 아버지 밑에 태어났습니다. 그의 아버지는 반사회적이라고 할 수 있을 정도로 활동이 없었습니다; 디락의 가족은 손님이 없었고, 놀러 나가지도 않았습니다. 자리가 부족했기 때문에 다른 가족들은 부엌에서 식사할 동안 디락은 아버지와 함께 식사했습니다. 아버지는 그가 불어를 배우기 좋을 것이라 생각해 자신과 불어로만 대화하도록 규칙을 만들었는데, 불어로는 자신을 표현할 방법을 못 찾아 조용했다고 디락은 회상했습니다. 대부분의 시간을 야외에서 홀로 산책하며 보냈던 디락은 질서와 대칭을 좋아했습니다. "내 대부분의 작업은 그냥 공식을 가지고 논 뒤 어떤 결과가 나오는지 본 것입니다. 다른 물리학자들도 같다고 생각하지는 않습니다; 물리적으로 전혀 의미가 없을지도 모르는 공식을 가지고 놀며 어떤 아름다운 수학적 관계가 있는지를 살피는 것은 제 특성인듯 합니다. 가끔은 물리적 의미가 있기도 합니다"


디락의 아버지는 사회성의 중요성을 무시했지만 좋은 교육의 필요성은 인식했고, 디락의 수학적 재능을 장려했습니다. 역사의 우연으로 이 재능은 더욱 클 수 있었습니다: 나이에 비해 이르게 전쟁으로 징집되어 텅 빈 고등반에 진학했거든요.[각주:1] 디락은 브리스톨 공과대학과 일부를 공유했던 머천트 벤처러 학교(Merchant Venturer's School)을 좋아했습니다. 부분적으로는 그가 거의 평생 이해할 수 없었던 철학과 미학을 중요히 여기지 않았기 때문이지요. 디락은 대학에 진학하면서 수학으로는 직업을 가질 수 없으리라 생각해 공학을 전공하기로 했습니다. 그는 좋은 학생이었으나 분야의 이론적인 부분에만 관심을 가졌습니다. 실무 훈련은 최악이었죠.


1921년 가을 공학 학위를 끝낸 디락은 직업을 구할 수 없었습니다. 재능있는 수학자가 공학과정을 밟는다는 것에 낙담했던 브리스톨 대학의 수학과 교수들은 수업료를 면제해주겠다고 제안했습니다. 달리 할 일이 없었던 디락은 그러기로 했지요. 명예 수학과정을 밟던 다른 유일한 학생은 물리에 사용될 수 있는 응용수학을 공부하기로 단단히 결심한 여학생이었습니다. 딱히 확신이 없었던 디락은 그녀의 목표를 따라갔고, 세기의 대 물리학자중 하나는 이렇게 활동을 시작했습니다.[각주:2]


디락은 물리를 무계획적으로 시작했던 때부터 말년까지 수학이 물리 발전의 열쇠라고 보았습니다. 그의 마지막 연설들 중 하나에서 그 신조가 드러납니다. "사람은 수학이 이끄는 방향을 따라야 합니다. [...] 사람은 그 끝에서 시작한 것과 전혀 다른 곳에 도착하더라도 수학적인 착상을 좇아야 합니다. [...] 수학은 물리적인 생각만 따라갔을 때 택하지 않았을 길도 갈 수 있게 해 줍니다"


디락은 브리스톨에서 상대론을 배웠고 매료되었습니다. 이학사를 취득한 후 1925년 케임브리지의 성 요한 대학(Saint John's College)에 진학하였고, 1927년 25세가 되었을 때의 양자역학에 대한 기여로 그가 세계에서 가장 중요한 물리학자중 하나라는 것이 확실해졌습니다.[각주:3]


명성은 그를 크게 변화시키진 못했습니다; 계속 과묵했던 디락을 만난 사람들은 자주 무례하다고 생각했습니다. 디락은 케임브리지 물리학 그룹의 명예회원이었으나 적은 학생을 키웠고, 학풍을 세우지도 않았으며, 실험가들과 드물게 대화했습니다. 1930년대 말을 실험실에서 보낸 새뮤엘 데본스(Samuel Devons)는 우리에게 말했습니다. "캐번디시 물리학회 모임이란 준격식적인 모임이 격주로 있었어요. 한 강연자가 들어오면 디락은 첫 줄에 앉아 듣곤 했죠. 그는 매우 드물게 입을 열었어요. 가끔 러더포드가 '그래서 이론하는 사람들은 어떻게 생각하나?'라고 찔러보곤 했죠. 러더포드는 이론이 일종의 사색에 불과하고 진짜는 실험에 있다고 믿었죠.[각주:4] 그리고 디락은 앉아 아무 말도 안 했습니다."


디락은 매우 정확하고 조심스럽게 말했기 때문에 매우 난해했습니다.[각주:5] 양자역학을 강의할 때 그는 강연대 뒤에 서서 그가 쓴 책을 읽어주었는데, 책에 더 이상 명료할 수 없게 적었다고 믿었기 때문입니다.1928년 라이덴(Leiden)에서 몇 개의 강연을 했을 때 폴 에렌페스트는 디락의 태도에 질려버렸습니다. 그 자리에는 H. B. G. 캐시미어도 있었는데, 회상하길 "(각 강연은) 완벽했습니다. 디락은 버릇대로 누군가 이해하지 못한다면 별 다른 설명을 하는 대신 매우 침착하게 정확히 동일한 내용을 반복했습니다. 보통은 충분했지만, 에렌페스트가 선호하는 방법은 아니었죠." 에렌페스트는 항상 사람이 어떻게 작업하는지를 보고 싶어했습니다. 캐시미어는 이어서 말했습니다. "한번은 에렌페스트가 디락에게 질문했고, 디락은 곧바로 답이 떠오르지 않았습니다. 그래서 디락은 칠판에 풀어보기 시작했죠. 그는 온 칠판을 자그마한 글씨로 채웠고, 에렌페스트는 그의 바로 뒤에 서서 무엇을 하고 있는지 보며 외쳤습니다. '애들아, 애들아-이걸 봐라! 이제 그가 뭘 하는지 알겠네!'[각주:6]"


[...]




이 이후는 디락의 작업에 대한 이야기입니다. 하이젠베르크가 발견한 불확정성 원리를 고전역학의 푸아송 괄호와 연결지어 해석하는 것과(더 보편적인 결과입니다) 양자전기역학의 발견, 디락방정식의 발견을 다루고 있고 디락방정식의 중요한 예측인 반전자의 존재에 대해 다루고 있습니다. 디락은 처음엔 디락방정식의 음에너지 해를 보고 양성자(당시만 해도 양전하를 가진 입자는 양성자 뿐이었습니다. 심지어 중성자도 발견되지 않았을 시기죠.)라고 생각했다고 하죠. 그리고 당시만 해도 미국은 예일대의 조시아 깁스[각주:7]를 제외하면 유럽에 비해 급이 떨어졌다고 하네요.

  1. 역주) 시기상으로는 일차대전인데, 이 당시만 해도 전쟁에 참여하는 것에 대한 낭만(?)같은 것이 있던 시절이라 학생들이 적었을 수도 있겠다는 생각이 드네요. [본문으로]
  2. 역주) 하고 싶은걸 하는게 아니라 할 수 있는걸 하는게 중요하다는 교수님의 일갈이 생각나는군요. 하... [본문으로]
  3. 역주) 디락은 1926년 봄 박사학위를 취득했습니다. 1년만에 박사라니... [본문으로]
  4. 역주) 책의 다른 부분을 보면 러더포드는 '간단하면서 본질적인 속성을 드러내는 실험'을 중요시했다고 나옵니다. 러더포드 산란 실험은 대표적인 '간단하고 본질적인 속성을 드러내는 실험'이죠. [본문으로]
  5. Dirac spoke so precisely and carefully that he approached the Delphic; (번역이 힘드네요) [본문으로]
  6. Kinder, Kinder! Schaut jetzt zu! Jetzt kann man sehen, wie er es macht! [본문으로]
  7. 사원수 대신 벡터미적분학을 도입했고 통계역학을 완성했다고 보시면 됩니다. [본문으로]

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과제로 제출했던 논문 리뷰(?)입니다. TeX으로 치느라 살짝 고생하긴 했는데 이쁘게 찍히는 것 보면 고생한 보람은 있네요. (졸업논문 손봐야 하는데 놀고 있냐)


주된 내용은 Landauer의 1961년 논문인 "Irreversibility and Heat Generation in the Computing Process"로 촉발된 계산의 에너지 소모와 이후 Bennett의 논문으로 밝혀진 '계산 자체는 에너지를 소모하지 않는다 - 정보의 삭제가 에너지 소모의 원인이다'를 다룹니다. 원래 과제는 첫 논문만 보면 되는 거였는데 수랏길에 들어서 버렸...=_=;;


처음부터 영문으로 작성했던거라 개인정보만 조금 고쳐서 올립니다.


Computation and Heat - Public.pdf


p.s. '계산의 최소 에너지 소모'를 생각해봤으면 '계산능력의 한계'에 대해서도 생각해볼 수 있겠죠. 위키백과의 '계산 한계' 항목을 참고하세요. '브레머만 한계'는 양자역학적으로 얻은 '단위질량의 계산기가 행할 수 있는 최고 계산 속도'인데, 재미있게도 비슷한 크기의 제한조건을 '베켄슈타인 한계'와 '정보의 최대 전파 속도'인 광속 c로부터 구할 수 있습니다.(문제를 만들라는 과제도 있었는데 거기에 낸 문제입니다.) 정보를 최대한으로 꾹꾹 눌러 담으면 블랙홀이 됩니다. 그리고 그 정보를 한번에 처리하는데 들어가는 시간(즉 단일 clock 시간이죠)은 빛이 블랙홀의 지름을 통과하는데 걸리는 시간보다 짧을 수 없죠. 상수에 대한 dependence를 구해보면 대충 \frac{c^2}{\hbar} 이 되어야 한다는 것을 알 수 있습니다. 순수하게 고전적인(블랙홀 엔트로피가 고전적인지는 모르겠군요 쿨럭;;) 논의입니다.


p.s.2. 베켄슈타인 한계를 베켄슈타인 본인이 정리한 항목이 있어서 링크 걸어둡니다.

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  1. sentinel_2  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    학점은 잘 받으셨나요? ㅋ; -동료 수강생

    2014.07.11 23:22

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