'전체'에 해당되는 글 815건

  1. 2014.05.23 절대마왕을 향한 투쟁 - Hero Detected
  2. 2014.05.22 Constraints on Commutators (5)
  3. 2014.04.20 무제
  4. 2014.04.01 만우절의 유래
  5. 2014.02.23 네 귀중한 교훈들 - 스티븐 와인버그 (8)
  6. 2014.02.17 2014 KIAS-SNU Physics Winter Camp
  7. 2014.01.15 슈퍼맨은 팬티 위에 쫄쫄이를 입지 않아
  8. 2014.01.11 Poincare Half Plane 푸앙카레 반평면 (1)
  9. 2013.12.17 [초고] 그들에게도 입을 열 자유를 주어라
  10. 2013.12.16 올바른 판단을 하고 싶다면
  11. 2013.12.15 Dirac Equation(1) (4)
  12. 2013.12.14 공부합시다... (3)
  13. 2013.12.06 Continuously Updated Fourier Series
  14. 2013.12.04 광양자 가설 없이 어디까지 갈 수 있을까?
  15. 2013.10.29 Reversible Computation
  16. 2013.10.29 개드립의 마지막 정리
  17. 2013.10.25 Words from Feynman
  18. 2013.10.20 당신의 드립을 보여주세요. (2)
  19. 2013.10.18 레이저로 가열할 수 있는 최대 온도에 대하여 (1)
  20. 2013.10.06 그 많던 종이비행기는 어떻게 다 날았을까 (8)

광고글입니다. 이벤트때문에 하라는 물리 이야기는 안하고 보드게임 이야기나 하는거 죄송합니다 ㅠㅠ (옛날 카드중 강한게 많아서 ㅠㅠ)

근시일 내에 란다우 레벨이라던가 쓰다 만 푸앙카레 반평면이라던가 정리해서 올릴께요 ㅠ


어릴적 모두의 마음에는 용사가 한 명씩 살고 있었습니다. '세계를 마왕으로부터 구해내겠다!' 하지만 어느 순간부터 그 용사의 목소리가 안 들리고 있지는 않나요?


하지만 아직 늦지는 않았습니다! 아직 용사를 향한 한 줄기 열망이 남아있는 지금! 용사에 도전하세요!


I WANT YOU FOR YONGSA


용사가 되기로 마음먹으셨나요? 가는 날이 장날이라고, 용사가 되기로 하신 여러분께 좋은 소식이 있습니다. 용사는 누구와 싸우죠? 마왕과 싸웁니다. 그리고 옛날 옛적 호랑이 담배피다 급성폐암으로 심폐소생기를 달고 살았던 시절 마을 골목대장으로 여러 꼬맹이들 울렸던 손자는 다음과 같은 말을 했죠. 나를 알고 적을 알면 백번 싸워도 위태롭지 않다!


그!래!서! 용사에 도전하시는 여러분께, 싼 값에 모십니다. 마왕의 마음속속들이 알 수 있는 비밀의 도구! 데란의 황제 임요한씨가 극찬했다는 극사실주의 마왕 시뮬레이터! 이것만 있으면 마왕의 모든 전술손바닥 위에 올려놓은 듯 훤히 꿰뚫어볼 수 있습니다!


보드게임 Hero Detected를 소개합니다!




게임의 배경은 마지막 마왕이 사라진지 오랜 시간이 지난 평화로운 세계, 마계에서는 새로운 마왕 선출을 두고 선출위원회가 꾸려집니다. 당신은 오랜 마왕 지망생! 이 기회를 놓칠 순 없지요.


그런데 이게 웬걸, 선출위원회는 당신의 마왕으로서의 자질을 전혀 알아보지 못하고 맙니다. 결국 마왕 선출 규칙은 '던전을 지어 가장 마왕다운 행보를 보이는 후보자를 마왕으로 선출한다'가 되었습니다. 하지만 당신에게 이 정도 일은 식은 죽 엎기죠. 나야말로 마왕의 격을 갖추었다고 세상에 선포할 때가 된 것입니다!!


지금 당장! 주문하세요!

 https://www.tumblbug.com/ko/hdtt 






아아, 찌라시란게 참 쓰기 힘드네요. 광고업계 종사자 여러분, 존경합니다.


게임은 전에 친구가 술먹으러 자취방에 놀러왔을때 알게 되었습니다. 어떻게 타이밍이 절묘하게 맞아서 확장판을 제작하는데 구입할 기회가 생겼네요. 게임의 모티브와 하는 방법은 위에 접어둔 짤로 충분히 설명이 될 것 같으니 너댓판 하면서 익힌 게임의 승리전략을 조금 정리해보겠습니다.


1. 시설을 되도록 앞쪽(왼쪽)에

시설은 용사와의 전투에서 파괴되지 않습니다. 따라서 되도록 앞쪽에 배치해야 피해가 줄어들겠죠?


2. 마법이 절대적으로 강하다.

용사를 잡는데 쓸 수 있는 자원은 몬스터, 시설, 마법 셋으로 나누어집니다. 이 자원은 다른 플레이어에게 겐세이를 거는데 쓸 수도 있지요(사실 그 목적으로 만들어진 카드들이 더 많습니다). 몬스터와 시설 카드의 특징은 던전에 내려놓아야 효과를 쓸 수 있다는 것입니다. 이 말인즉슨 몬스터와 시설 카드의 효과를 쓰려면 a) 자기 턴에만 효과를 발동할 수 있고 b) 던전에 내려놓기 때문에 다른 플레이어들이 내가 무슨 효과를 쓸 수 있는지 미리 알 수 있다는 의미가 됩니다. 때문에 마법보다는 허를 찌르기가 힘듧니다. 마법은 손에 들고 있다가 바로 쓸 수 있거든요. 효과만 따질 경우에도 마법에 강한 효과를 가진 카드들이 다수 포진되어 있습니다.


3. 데미지를 줄이기 힘들다.

한 번 용사에게 입은 데미지는 웬만해서는 줄이기 힘듧니다. 데미지를 줄이는 카드가 하나밖에 없어서(...)요. 데미지 세 칸이 차면 끝인데, 그래서 데미지를 한칸 아래로 유지하는게 중요합니다. 왜냐? 변태적인 카드들 중에는 자신이 입어야 하는 데미지를 다른 플레이어에게 옮기는 카드들이 존재합니다. 시나리오 회의장(에반게리온의 제레 패러디입니다)이라는 카드가 대표적인 예이죠. 이거 한방 먹고 골로 가면 친구 멱살이 내 주먹 안에 들어와있는 것을 구경하게 될지도 모릅니다(...).


4. 여태까지 사용된 무효 마법의 수를 세자.

전략을 자신에게 얼마나 많은 겐세이가 들어올 수 있는지 미리 파악하는 것이 중요합니다. 마이티나 블랙잭에서 카드 카운팅을 하는 것과 같은 전략입니다.


게임의 문제라면 성에서 나오는 용사들이 대체로 너무(?) 강하게 설정되어 있어서 섣불리 열어보지 못한다는 것입니다. 자기가 가진 카드로 충분히 용사를 잡을 수 있어도 다른 플레이어가 뜬금없이 마법으로 키카드를 막아버리면 그대로 데미지로 들어가버리니까요. 특히 보수적인 사람들끼리 게임을 하게 될 경우 누군가 승리 조건인 '용사 다섯을 잡는다'에 성공하는 것보다는 더 이상 몬스터나 시설 카드가 없어서 게임이 끝나게 될 가능성이 더 높습니다. 그래서 4번이 나오죠.




개인적으론 다음과 같은 카드를 기대해봅니다. "흔한 물리학자"



용사 카드로 효과는 "이 카드는 전투를 포함한 어떤 경우에도 레벨이 낮아지지 않는다" 정도? 이 조건이면 게임 밸런스를 위해선 레벨 4나 5로 잡는 것이 적당하겠죠.

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양자역학에서 가장 유명한 commutator를 뽑으라면 누구나 하이젠베르크의 불확정성 원리를 꼽을 것이다. 아무래도 제일 먼저 발견된 교환이 불가능한 물리량이니까.


[x,p]=xp-px=i\hbar


그런데 왜 i가 붙을까? 고민해본 사람? 문제는 의외로 쉽게 풀린다. 두 측정가능한 물리량 A와 B를 가정하자. 따라서 A와 B는 에르미트(Hermitian) 연산자이다. 적당한 양자책을 잘 공부했다면 이를 설명할 필요는 없을 터(간단하게 말하자면 고유값(eigenvalue)이 실수가 나와야 해서). 한번 유도해보자.


\text{For observables }A,B\\A^\dagger=A, B^\dagger=B \\\\\therefore [A,B]^\dagger=(AB-BA)^\dagger\\=B^\dagger A^\dagger-A^\dagger B^\dagger=BA-AB \\\\\therefore [A,B]^\dagger=-[A,B] \\\\\text{or, equivalently;} \\\exists C(C^\dagger=C),\,\,[A,B]=iC


측정 가능한 물리량의 commutator는 항상 반에르미트(anti-Hermitian) 연산자여야 한다는 결론을 얻는다. 반에르미트 연산자는 단위허수 i를 곱하거나 나눠서 에르미트 연산자로 만들어줄 수 있으니 이제 그 미스테리한 i가 어디에서 튀어나왔는지 알 수 있다.


이제 조금 더 재미있는 명제를 도출해보자.


\text{Assume observables }A,B\text{ and an eigenstate of }A\\\\A\left|a \right \rangle=a\left|a \right \rangle \\\\\text{Then, we get the expectation value of the commutator}\\\\ \left\langle a|[A,B]|a \right\rangle=\left\langle a|AB-BA|a \right\rangle = (a^\ast - a)\left\langle a|B|a \right\rangle=0 \\\\\text{or, equivalently;} \\\\ C \equiv \frac1i [A,B],\;A\left|a \right \rangle=a\left|a \right\rangle \Rightarrow\left\langle a|C|a \right\rangle=0 \\\\\text{for any observables }A, B


아직 이상한 점을 눈치 못챘는가? A에 x를, B에 p를 넣어보자.


[x,p]=i\hbar\\\\\therefore \left\langle x\middle|\frac1i[x,p]\middle|x \right\rangle=\hbar\left\langle x|x \right\rangle=0\\\left\langle p\middle|\frac1i[x,p]\middle|p \right\rangle=\hbar\left\langle p|p \right\rangle=0


?!?!


이 비정합성은 commutator가 identity의 배수이기 때문에 나타난다. 다르게 말한다면, 어떤 한 측정량이 다른 측정량과 만드는 commutator가 identity의 배수로 나온다면 그 측정량의 고유상태(eigenstate)는 그다지 예쁜 성질을 갖지 않으며(예컨데 위치 x의 고유상태나 운동량 p의 고유상태는 L2(Square-integrable)공간에 속하지 않는다), 따라서 주의를 기울여 다루어야 한다고 결론지을 수 있다.


참고로 가장 간단(?)한 양자화 방법은 고전역학에서의 Poisson bracket을 양자역학의 commutator로 해석하는 것이기 때문에(Dirac quantisation 혹은 canonical quantisation) 양자역학의 미래가 골치아프다는 것은 확실해졌다. 양자장론이 괜히 머리 뽀개지는게 아니라니까...

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  1. Favicon of https://kipid.tistory.com BlogIcon kipid  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    0 \times delta(0) = ? 문제랑 비슷하군요.

    2014.05.23 00:05 신고
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2014.05.23 00:52 신고  댓글주소  수정/삭제

      함수 x\delta(x)로 읽어서 순간 당황했네요. 이 함수는 0이었죠(...)

    • Favicon of https://kipid.tistory.com BlogIcon kipid 2014.05.23 15:58 신고  댓글주소  수정/삭제

      아하 그런문제도. 더 간단하게는 0 * 무한대(infinity) 문제랑 비슷하겠네요 =ㅇ=;;ㅋ
      (a-a)*<a|B|a> 에서 이게 0이라고 넘어갈때 이런문제가... <a|B|a>가 L2 (Square-integrable) basis 를 쓰는 경우가 아니라면 무한대도 될 수 있어서.
      아무튼 생각지 못했던 부분이네요. 그런데 이게 "commutator가 identity의 배수이기 때문"이 맞나요? 그냥 state가 L2로 표기 안되어서 그런것도 같은데... 저것 때문이라고 단순히 말하면 필요/충분조건 요런거에서 헷갈리는 말인거 같아요. 양쪽 state가 L2로만 표현되면 그냥 숫자로 바꿀수 있긴 할테니까요.

    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2014.05.23 19:24 신고  댓글주소  수정/삭제

      양쪽의 state가 L2공간에 속한다고 하면 더 문제가 되겠죠. 우변이 0이니까 좌변 또한 0이어야 한다는 결론이 나오는건데, square-integrable하면 우변이 0*(유한한 숫자)가 되어서 빼도박도 못하는 0이 되어버리니까요. 관측가능량의 commutator로 identity가 나오는 순간 관련 고유상태의 규격화(normalisation)에 문제가 생긴다고 보는 편이 맞는 것 같습니다.

    • Favicon of https://kipid.tistory.com BlogIcon kipid 2014.05.24 04:31 신고  댓글주소  수정/삭제

      처음부터 A, B에 x,p를 넣고 전개해보면...
      Then, we get the expectation value of the commutator
      <x|[x,p]|x> = (x^* - x) <x|p|x> = ? (0 곱하기 무한대 형태라 결론을 못내림.)
      여기서 ?가 '0' 이란 결론을 못내릴거란 이야기였는데...

      그렇기 때문에
      C \equiv [x,p]/i 라고 해도 => <x|C|x> = ? (위의 물음표와 같은 놈.)
      란 결론까지 밖에 안되지 않나요? 뭔가 다른 이야기인가;;;;

      x가 L2였다면야 <x|p|x>가 유한할테니 ?=0이라고 결론 내릴 수 있고. (있나??? p의 eigenvalue 중에 무한대가 있으면 이렇게 결론 내릴 수 없을수도 있는건가 =ㅇ=;;)
      [x,p]가 identity의 배수라고 할지라도 (\equiv c) => <x|c|x>=0 이란 결론이?
      아 이게 문제였구나;;; 제 이해가 뭔가 꼬였었네요.

      결론적으론 L2 Hermitian operator A,B의 commutator [A,B]는 indentity의 배수가 될 수 없다가 되겠네요. 신기하넹 -ㅇ-;;; (지금 제가 이해한것도 듬성듬성 논리가 뚫려있어서 천천히 다시 생각해보긴 해야겠네요.)

무제

Daily lives 2014.04.20 00:45

고전 자료다.


아버지와 아들이 목욕탕에 갔다. 아버지가 목욕탕에 들어가며, 

“아! 시원하다 너도 어서 들어온.” 

“아버지, 정말 시원하나요?”

“그래! 어서 들어와.”

아들이 욕탕에 뛰어 들어갔더니 물이 뜨거워서 도로 뛰어 나오며, 

“이 세상 믿을 놈 하나도 없다”고 했다.


---------------------


어제만 해도 매우 심란했다. 나라에 대해 실망이야 매번 실망했었지만 그게 절망이었던 적은 없어서.


선장은 배를 책임지지 않는다.

기자는 기사를 책임지지 않는다.

대책본부는 발표 내용을 책임지지 않는다.


자연스럽게 튀어나오는 '믿을 놈 하나 없다'는 말. 625 전쟁통과 같은 아비규환에나 어울리는 말이 21세기 G20을 개최했던 나라에서 나온다. 도대체 지난 60년간 정신적으로 나아진 것이 무엇일까? 이 나라에 '책임'이라는 것이 존재하기는 할까?


하지만 마음을 고쳐잡기로 했다. 대한민국의 국운이 아직 남아있다면 이런 분들 덕분일 것이다.


http://insight.co.kr/news.php?Idx=1653&Code1=001

http://www.segye.com/content/html/2014/04/18/20140418000559.html


끝까지 대피방송을 하다가 결국 탈출하지 못하신 박지영 님, 친구에게 자기 몫의 구명조끼까지 넘겨주셨던 정차웅 님, 그리고 알려지지 않은 살신성인을 행한 여러분 모두 감사합니다. 대한민국이 아직 남아있을 수 있는 자격이 있다면 여러분 덕분입니다.


---------------------


세상의 빛과 소금이 되어라. 요즘은 교회를 안 나가지만(주말만 되면 뻗는다. 오늘도 16시간은 이불 속에서 보낸 것 같다.) 아직도 기억에 남는 구절이다. 나는 세상의 빛과 소금이 될 수 있을까?


마음이 가벼우면서 한편으로는 무겁다.

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만우절의 유래

Writer 2014.04.01 01:47

책 『사서삼경』은 만우절의 유래로 다음의 일화를 들고 있다.


먼 옛날, 세계는 신통한 요(堯) 임금의 통치 아래 태평성대를 맞이하였다. 어느날, 요 임금은 자신의 거북이 등껍질로 점을 쳐 보고는 자신이 살 날이 얼마 남지 않았음을 알게 되었다. 그리하여 요 임금은 천리안으로 자신의 자리를 이어 세계를 슬기롭게 통치할 후계자를 찾았고, 그 후계자로 허유(許由)라는 은자를 택하여 세계를 맡아달라 부탁하였다. 그러나 허유는 세계를 받기를 거부하였고, 더러운 소리를 들었다고 하여 근처의 냇가에서 귀를 씼었다. 허유가 귀를 씼을 동안 냇가의 반대편에서는 소부(巢父)라는 사람이 자신의 소 만우(萬牛)에게 물을 먹이다가 허유에게 귀를 씼는 이유를 듣고는 이 더러운 물을 먹일 수 없다 하여 만우를 끌고 더욱 상류로 올라갔다.


오랜 기간 소부와 같이 살았던 소 만우는 신통력을 얻었기에 말을 할 줄 알았다. 만우는 상류의 깨끗한 물을 마셨어도 입 안의 불쾌한 기운이 가시지 않았고, 이를 소부에게 일러 입을 헹구어달라고 부탁하였다. 만우를 아꼈던 소부는 화타(華陀)에게 물어 만우의 입을 원래대로 돌릴 방법을 물었다. 화타는 더러운 소리를 씼은 물을 마셔 더러워진 입을 깨끗이 하기 위해서는 바른 소리를 씼은 물을 마셔 입 안을 정결히 하고 기이한 이야기를 씼은 물을 마셔 그 기운을 잡아두어야 한다고 답하였다.


소부는 『도덕경』을 낭독하여 씼은 물로 만우의 입을 정결히 하였으나, 『산해경』을 씼은 물은 만우의 입에 그 기운을 잡아두기 부족하였다. 소부는 그리하여 세계의 곳곳을 누비며 기이한 이야기를 수집하였고, 수집한 이야기를 책으로 엮어 『택리지』라 이름지었다. 만우는 『택리지』를 씼은 물을 마시고 나서 입안의 불쾌한 기운이 사라졌다.


소부가 온갖 기이한 이야기들을 모았다는 소문을 들은 사람들은 소부에게 찾아와 기이한 이야기를 들려달라 부탁하였다. 지친 소부는 자신이 지은 책을 사람들에게 나누어주었고, 사람들은 소부가 모은 온갖 기이한 이야기들에 매혹되었다. 이후 사람들은 소부가 만우를 위해 지은 책이기에 이 책이 지어진 날을 만우절이라 기념하며 온갖 기이한 이야기를 나누어 즐겼다.



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TAG 만우절

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방학이 끝나감에 따라 멘탈이 허약해지고 있어서 멘탈 강화를 위해 소소하지만 결과가 있는 일을 해보았습니다. 멘탈이 가루가 되어갈 때에는 이렇게 작은 일을 해 보면서 물을 뿌려 단단히 다지는 것도 필요한 일이라서요.


가끔 교수님들이 링크로 걸어놓곤 하시는 스티븐 와인버그의 글을 옮겨보았습니다. '과학자로서 첫 발을 내딛는 학생들을 위한 조언'이라는 말이 붙어있는데, 이건 번역을 안 했네요.


번역에 대한 신조(?)는 '최대한 자연스럽게'라서 의역을 기본으로 채택했습니다. 가령 첫 문단의 중간 쯤 나오는 '익사하거나 이겨내거나'는 'sink or swim'의 번역인데, 도저히 가라앉음과 수영으로는 두음 운율을 맞출 수가 없어서 '이겨내다'란 의역을 사용했습니다.


글로벌 스탠다드(?)에 맞추어 pdf로도 만들어 올립니다.


네 귀중한 교훈들.pdf





수정 - 27 Feb 2014


아래 댓글에서 어떤 분이 지적해주셨다시피, "역사가 당신의 연구에 도움이 될 수도 있기는 하지만 전혀 중요하지 않은 이유입니다"는 "The least important reason for this is that the history may actually be of some use to you in your own scientific work"의 번역문입니다. 직역하면 "역사가 당신의 연구에 도움이 될 수도 있는 것은 가장 덜 중요한 이유입니다"이고 의미상으로는 "역사가 당신의 연구에 도움이 될 수도 있겠지만, 중요한 이유들 중 가장 중요도가 낮은 이유입니다"가 됩니다. 그런데 한국어에서는 이런 표현을 쓰지 않죠(...) 그래서 어떻게든 자연스럽게 만드려다 보니 문장이 꼬여버렸네요. 해당 문장은 보다 자연스럽고 의미가 통하는 문장으로 수정하였습니다.




네 귀중한 교훈들(Four golden lessons)

스티븐 와인버그(Steven Weinberg)


제가 학부 졸업장을 받았을 때 - 백 년은 전이었던 것 같은데 - 물리학은 구석구석까지 살펴본 뒤에야 나만의 연구를 시작할 수 있는 드넓은 미지의 대양같았습니다. 어떻게 남들이 했던 일을 모르고서 무언가를 할 수 있을까? 운 좋게도 대학원 첫 해에 만난 선배 물리학자들께서는 일단 연구를 시작하고 그 과정에서 내가 알아야 할 것들을 익히라고 조언해 주셨습니다. 익사하거나 이겨내거나였지요. 그리고 놀랍게도 이 방법이 먹힌다는 것을 알게 되었습니다. 저는 빠른 박사학위를 받을 수 있었습니다 - 제가 물리에 대해 아는 것이 거의 없었는데도 말이지요. 하지만 저는 한 가지 중요한 것을 알게 되었습니다: 아무도 모든 것을 알지는 못하고, 그럴 필요도 없다는 것을요.


다른 교훈을 바다에 빗대어 말해보자면, 익사하지 않고 파도를 이겨내고 있는 한 더욱 거친 파도를 향해 나아가야 한다는 것입니다. 제가 1960년대 후반에 매사추세츠 공과대학(Massachusetts Institute of Technology; MIT)에서 교직을 맡고 있을 때 한 학생이 제 전공인 기본입자(elementary particle physics)보다는 일반상대론(general relativity)을 공부하고 싶다고 말했습니다. 일반상대론이 매우 잘 정립된 학문인 반면에 다른 하나는 엉망진창으로 보인다는 이유에서였지요. 제게는 반대로 행동해야 할 아주 좋은 이유였습니다. 입자물리는 아직 창조적인 작업을 할 수 있는 분야였습니다. 1960년대에는 정말 엉망진창이었지만 그 후 많은 이론물리학자와 실험물리학자들은 입자들을 분류하고 모든 것을 (뭐, 거의 모든 것을) 표준모형이라는 아름다운 이론으로 정리하는데 성공하였습니다. 제 조언은 난장판인 곳으로 가라는 것입니다 - 할 것이 있는 곳이니까요.


제 세번째 조언은 아마 가장 받아들이기 힘들 것입니다. 자신이 시간을 낭비하는 것을 용서하십시오. 교수들은 학생들에게 풀 수 있다고 아는 문제들(매우 심술궂은 경우가 아니라면)만 줍니다. 또한, 그 문제들이 과학적으로 중요한가는 상관없습니다 - 수업을 통과하기 위해서 푸는 것이니까요. 하지만 실세계에서 어떤 문제가 중요한지 알기는 매우 어렵고, 지금 이 순간 그 문제를 풀 수 있는지는 절대 알 수 없습니다. 20세기 초 로렌츠(Lorentz)와 아브라함(Abraham)을 포함한 많은 유명한 물리학자들은 전자에 대한 이론을 세우려 하였습니다. 왜 사람들이 지구가 에테르(Ether)를 통과하면서 일어나는 효과를 감지하는데 실패했는지 이해하기 위한 시도이기도 했죠. 모두 알듯이, 사람들은 잘못된 문제에 매달리고 있었습니다. 양자역학이 발견되지 않았던 시절이었기에 아무도 전자에 대한 성공적인 이론을 세울 수 없었지요. 1905년, 알베르트 아인슈타인(Albert Einstein)은 탁월하게도 운동이 시간과 공간의 측정에 주는 영향이 풀어야 할 올바른 문제임을 알아차렸고, 이 발견은 특수상대성이론으로 이어집니다. 무엇이 노력해야 할 올바른 문제인지 확신할 수 있는 사람은 아무도 없기 때문에 실험실이나 책상 위에서 보내는 대부분의 시간은 낭비됩니다. 창의적이고 싶다면, 대부분의 시간을 창의적이지 않은 채 보내는 데, 혹은 지식의 대양에서 정체하는 데 익숙해져야만 합니다.


마지막으로, 조금이라도 과학사에 대해, 최소한 몸담고 있는 과학 분과의 역사에 대해 배우십시오. 역사가 당신의 연구에 도움이 될 수도 있기는 하지만 전혀 중요하지 않은 이유입니다 사실 중요한 이유는 다른 곳에 있습니다.[각주:1] 예컨대, 프랜시스 베이컨(Francis Bacon)에서 시작해 토마스 쿤(Thomas Kuhn)과 칼 포퍼(Karl Popper)와 같은 철학자들이 제시한 과학에 대한 과하게 단순화된 모형들은 이따금 그 모형을 믿는 과학자들을 방해하곤 합니다. 과학철학에 대한 가장 좋은 해독제는 과학사에 대한 지식입니다.


더 중요한 이유는 과학사를 익혀 자신이 하는 일을 더 가치있게 느낄 수 있기 때문입니다. 과학자가 되어 부자가 되기는 어렵습니다. 친구들과 친척들은 보통 하고 있는 일을 이해하지 못할테고요. 더군다나 기본입자물리학과 같은 분야에서 일하게 된다면 당장 유용한 일을 한다는 보람조차 없습니다. 하지만 하고 있는 일이 역사의 일부가 된다는 사실을 아는 것으로 충분히 만족할 수 있습니다.


100년 전인 1903년을 되돌아봅시다. 1903년 대영제국의 국무총리가 누구였는지, 혹은 미합중국의 대통령이 누구였는지가 지금 얼마나 중요합니까? 정말 중요한 일은 맥길 대학교(McGill University)에서 에른스트 러더포드(Ernest Rutherford)와 프레더릭 소디(Frederick Soddy)가 방사능을 연구하고 있었다는 것입니다. 이 연구는 (당연하게도!) 실용적으로 응용할 수 있었지만 더욱 중요했던 것은 이 연구가 가진 문화적인 함의였습니다. 방사능에 대해 이해하게 되면서 물리학자들은 어떻게 태양과 지구의 핵이 수백만 년이 지난 후에도 뜨겁게 유지되는지 설명할 수 있게 되었습니다. 이렇게 많은 지질학자와 고생물학자들이 지구와 태양의 긴 나이에 대한 과학적인 반론이라고 여겼던 주장이 사라졌지요. 이후 기독교인과 유대인들은 성경을 문자 그대로의 진실로 믿는 것을 포기하거나 지적 무책임함으로 물러나야만 했습니다. 그리고 이 작업은 갈릴레오(Galileo)와 뉴턴(Newton), 다윈(Darwin)이 내딛고 지금까지 이어지는 종교 독단주의(religious dogmatism)의 약화라는 여정의 한 발걸음이 되었지요. 아무 신문이나 하나 집어서 읽어보면 이 작업은 아직 끝나지 않았음을 알 수 있습니다. 하지만 과학자들이 자부심을 느낄 만한 세련된(civilizing) 작업입니다.

  1. 오역이라는 의견이 있어 수정하였습니다 [본문으로]

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  1. sentinel_2  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    이수종교수님 홈페이지에서 자주 보았던 글이네요ㅋㅋ 개인적으로는 제목으로 '네 가지 황금률'이나 '네 가지 귀중한 교훈들' 이 좋은 것 같아요. 네 라고 하니 [your]의 번역 같은 느낌이라...

    2014.02.24 21:45
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2014.02.26 01:28 신고  댓글주소  수정/삭제

      저도 '네가지' 대신 '네'라고 번역하면서 그런 느낌이 있는 부분이 마음에 걸렸었는데, '세가지 교훈들'보다는 '세 교훈들'이 좀 더 간결한 느낌이 들어 네를 택했습니다 :)

      저도 이수종교수님 홈페이지에서 처음 봤던 것으로 기억하는데 최근에 찾아보려고 이수종교수님 홈페이지 들어갔더니 링크가 사라져서 한동안 기억을 의심했었네요 ㅠㅠ

  2. 헐퀴  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    오역이 있습니다.

    > 역사가 당신의 연구에 도움이 될 수도 있기는 하지만 전혀 중요하지 않은 이유입니다.

    원문은 The least important reason for this is that the history may actually be of some use to you in your own scientific work. 이거더군요.

    이건 역사가 가진 많은 중요한 이유중 [가장 하찮은 이유정도 되는 것] 이 [당신의 연구에 직접 도움이 된다] 정도로 이해하시면 될 겁니다. [최소한, 네가 연구하는 분과의 역사에 대해서 알고 있다면 그게 앞으로의 연구에도 도움이 되겠지.] 정도로 바꿔 쓸 수 있겠네요.

    2014.02.26 12:17
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2014.02.27 01:54 신고  댓글주소  수정/삭제

      그 내용을 최대한 자연스럽게 한국어로 만드려다 보니 의도치 않게 오역이 발생했네요. 지적 감사합니다. 더 자연스러운 문장은 뭐가 있을지 고민을 해봐야겠네요...

  3. BlogIcon 함마  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    아아 물리가 좋아 물리학과를 지망했지만
    좀민들어가도 어려운게 물리네요.
    덱스터님은 물리를 전공의 계기가 뭐었냐요?

    2014.10.18 12:04
  4. 어디엔가  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    덱스터님 좋은 글 번역해주셔서 감사합니다. 물론 마지막의 관점은 개인적으로 의아해 하는 부분이지만, 전체 적인 글의 맥락이 대학원을 이제 진학해야하는 입장에서 커다란 위로가 됩니다. 와인랜드 같은 사람조차도 자기가 무엇을 해야할지 알지 못한채 연구에 뛰어들었다는 사실에 대해서요 혹시 이 글을 개인적인 페이스북 페이지에 업로드 하고싶은데 허해주실 수 있는지요?

    2018.12.29 12:26

고등과학원 겨울학교에 다녀왔습니다. 일주일의 3일은 마이티/포커/블랙잭/고스톱/섯다를 치느라(...) 밤을 새고 나머지 3일밤은 논문 읽느라 밤을 샜더니 아직도 피로가 덜 풀려서 고생중입니다.


그룹연구주제로는 Monopoles in real and momentum spaces of condensed matter systems를 했습니다. 같은 조원분이 버스를 태워주셔서 유일하게 교수님들께 안 까인 발표(...)가 되었습니다. 프레젠테이션에 맥락과 일관성이 존재한다고 앞으로 이런 식으로 발표해야 한다는 과찬(..)을 받았습니다. 결국 상금 획득. 받은 문화상품권으로 겨울왕국 OST를 사야겠군요.


인상깊었던 부분들을 간략하게 정리해서 옮겨봅니다.




이준규 교수님: "물리에는 사기가 적절하게 들어가야 생명이 있는 거예요" "와인버그 그 사람 책은 생명이 없어. 사람이 너무 박식해서 그래"[각주:1]

(기억나는대로 적어봤습니다)




이필진 교수님이 간략하게 homotopy 이론에 대해 설명해주셨는데, 작년 1학기에 이거 혼자 공부한다고 삽질했던게 원래는 이렇게 쉬운거였나 하는 자괴감이 들더군요. 물론 다시 책을 집었을 때 이해하는가 하는 것은 다른 문제.


사실 (대수적)위상수학보다는 미분기하학 공부가 더 절실하다는 생각이 들어서 공부는 나중에 하기로 했습니다. 재미있어 보이긴 한데...


3차원 구인 S^3가 Hopf Fibration으로 2차원 구 S^2와 1차원 구S^1으로 나누어질 수 있다는데, 알고보니 globally하게는 안 되고 local하게만 된다고 합니다. S^3를 실수공간 R^3에서 무한원점을 하나의 점(대척점이 됩니다)으로 만들어 이미지화하는 버릇이 있는데 '이게 어떻게 되는거냐' 생각으로 하루종일 고민했더랬죠. 대척점과 원점이 같다니?!?! local한 경우에는 당연히 되는거지만요.


(S^3 공간에서는 한 방향으로 계속 나아가다 보면 원점으로 돌아옵니다. S^2에서 방향을 정해주고 S^1으로 쭉쭉쭉쭉 나아가는 것을 이미지화하면 국소적으로는 이게 가능하다는 것을 알 수 있습니다. 그리고 이것이 trivial하지 않은 fibre bundle의 한 예라고 하더군요.)


c.f. 이필진 교수님이 강의록을 개인 홈페이지에 올려 놓으셨더군요. Physics 탭을 누르면 열립니다.




주제가 geometric phase였던지라 이걸 이해해보려고 여러 삽질을 했는데(결국 발표 슬라이드에는 하나도 안 넣었지만요) 그 중 하나가 고전역학적으로 이해해보려는 시도였습니다. 여기에 대해서는 이미 책이 있던데(Geometric Phases in Classical and Quantum Mechanics) 하필이면 djvu를 못 읽는 iPad만 가져왔던지라 맨땅에 헤딩...


일단은 재미있는(?) 결과물이라는 생각이 들어 그 삽질을 공유해보려고 합니다.


geometric phase의 가장 간단한 예는 전하가 자기장이 있는 공간에서 폐곡선을 그리는 운동을 해 원점으로 돌아왔을 때 위상이 변화하는 것입니다. Berry's Phase라고도 하지요. 이때 얻는 위상의 변화는 그 폐곡선이 잡아둔 자기장의 세기, 혹은 그 폐곡선이 만드는 곡면에 대한 자기선속(magnetic flux)에 비례합니다. 고전적으로는 무슨 의미가 있는 양인가, 가 질문.


결론부터 말하자면 한 폐곡선에 대해 운동량을 선적분한 값입니다. 유체역학의 circulation이라는 값과도 연관이 있고, 사실 가장 쉽게 이해하는 방법은 슈뢰딩거와 하이젠베르크 이전의 구양자이론에서 본-조머펠트 양자화조건에 해당하는 양이라는 것이죠. 여기에서 B는 자기장입니다.


\oint_C \bold{p}\cdot d\bold{l}


유도하려면 다음의 조건을 이용합니니다.


\text{The Lorentz force equation can be written as} \\\frac{d\bold{p}}{dt}=e(\bold{E}+\frac{d\bold{x}}{dt}\times\bold{B}) \\\therefore d\bold{p}=e(\bold{E}dt+d\bold{x}\times\bold{B}) \\\\\text{By suppressing changes in time, one gets} \\d\bold{p}=ed\bold{x}\times\bold{B}


벌써부터 쓰기 귀찮아지는데(...) 작은 사각형 루프 ABCDA를 잡아서 값을 더해주면 다음 식을 얻습니다.


\text{Let a closed square loop }ABCDA\text{be specified} \\\text{by infinitesimal lateral displacement }d\bold{x}\text{ and} \\\text{infinitesimal vertical displacement }d\bold{y}\text{. Then} \\\oint_{ABCDA} \bold{p}\cdot d\bold{l} \\\approx \bold{p}(A)\cdot d\bold{x}+\bold{p}(B)\cdot d\bold{y}-\bold{p}(C)\cdot d\bold{x}-\bold{p}(D)\cdot d\bold{y} \\\text{Where} \\\bold{p}(B) \approx \bold{p}(A) + ed\bold{x}\times\bold{B} \\\bold{p}(C) \approx \bold{p}(B) + ed\bold{y}\times\bold{B} \\\approx \bold{p}(A)+ e(d\bold{x}\times\bold{B} + d\bold{y}\times\bold{B}) \\\text{etc. Rearranging terms, one gets} \\\oint_{ABCDA} \bold{p}\cdot d\bold{l} \\\approx e(d\bold{x}\times\bold{B}\cdot d\bold{y}-d\bold{y}\times\bold{B}\cdot d\bold{x}) \\= 2ed\bold{x}\times d\bold{y}\cdot\bold{B} \\=2e\bold{B}\cdot d\bold{a} \\\text{which is the infinitesimal magnetic flux enclosed} \\\text{by the loop.}


계수에 2가 붙는 것이 신경쓰이기는 하는데 그것보다 이걸 momentum space에서 바꾸어서 해석할 방법을 찾지 못해 포기.




또 다른 접근법은 게이지 장론의 minimal coupling을 반대로 이용하는 방법. 보통 minimal coupling은 시공간상의 모든 점에서 운동량에 correction term인 게이지 장을 시공간상의 좌표에 대한 함수로 걸어주는 것으로 생각할 수 있는데 이걸 반대로 momentum space에서 시공간 좌표에 대해 momentum에 대한 함수로 correction term을 걸어주는 방식으로 이해할 때, 이 녀석이 어떤 역할을 하느냐는 것이었습니다. 수식으로 쓰자면


\text{The solutions }\Psi\text{ to the Hamiltonian }\hat{H}(\hat{\bold{p}}+q\bold{A}(\hat{\bold{x}}),\hat{\bold{x}}) \\\text{can be expressed by the solutions }\phi\text{ to the} \\\text{Hamiltonian }\hat{H}(\hat{\bold{p}},\hat{\bold{x}})\text{ by the relation} \\\Psi=e^{-iqf(\bold{x})}\phi \\f= \int_\bold{x_0}^\bold{x} \bold{A}\cdot d\bold{l}


이므로(디락상수는 1로 둡시다), 이 반대 버젼인


\text{The solutions }\Psi\text{ to the Hamiltonian }\hat{H}(\hat{\bold{p}},\hat{\bold{x}}+g\bold{B}(\hat{\bold{p}})) \\\text{can be expressed by the solutions }\phi\text{ to the} \\\text{Hamiltonian }\hat{H}(\hat{\bold{p}},\hat{\bold{x}})\text{ by the relation} \\\Psi=e^{igh(\bold{p})}\phi \\h= \int_\bold{p_0}^\bold{p} \bold{B}\cdot d\bold{p}


를 생각해보자는 것. 재미있는 점은 위에서 언급한 B는 Bloch function에 대해 해석할 경우 unit cell의 원점을 잡는 자유도로 작용하게 됩니다. 또한 momentum space에서 그린 폐곡선에 대해 B를 선적분한 값은 원점의 net displacement가 되지요. 문제는 위의 h라는 함수가 global하게 정의되지 않는다는 것.


나중에 해보고 싶은 시도 중 하나는 위의 방식처럼 momentum space를 기준으로 잡았을 때 momentum space에서 periodic potential을 잡을 경우 x의 spectrum이 discrete해지는데, 어쩌면 이걸 spin wave를 나타내는데 써먹을 수 있는 방법이 없을까, 하는 질문.




아, 그리고 발표 도중에 증명에 사기를 친 것이 있는데(T^2공간에 대한 적분인데 S^2라고 사기를 쳤습니다.) 교수님들이 그냥 넘어갔다는 훈훈한 일화. 사실 ppt 다 만들고 발표 당일 아침에 발견한 문제인데다가 수정하기 귀찮아서 그대로 놔둔 것이었는데, 결국 안 걸렸네요. 물론 증명이 이상하다고 지적하셨면 "역시 교수님들 상대로 사기치기는 쉽지 않네요"라는 드립을 치면서 옆의 칠판을 끌어다가 제대로 된 증명을 쓰려고 했었지만 그냥 넘어갔습니다.

  1. 사기가 너무 없이 타이트한 논리전개를 가지고 있다는 맥락이었습니다. 와인버그 양자장론 교재. [본문으로]

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실험 세시간을 날려먹고서야 오실로스코프를 가로 단위를 2.5us로 잡고 single로 측정한 뒤에 가로폭을 확대하여 가로 단위를 500ns로 확대(A)한 후 오실로스코프를 새로운 값을 측정할 수 있도록 준비(B)했을 때와 2.5us에서 single로 측정한 후 오실로스코프를 새로운 값을 측정할 수 있도록 준비(B)한 뒤 가로 단위를 500ns로 확대(A)했을 때 오실로스코프가 측정한 값이 달라진다는 것을 알게 되었다. 붕괴된 멘탈을 재조립하면서 증가한 엔트로피를 배출해야 할 필요가 있으니 신나게 뻘글을 배출해 보자.




얼마 전 개미 다섯 마리의 다리 수를 세는 초등학교 문제가 화제가 된 적이 있었다. 5*6이라고 적은 답안을 오답 처리했기 때문이었는데, 6*5라고 써야 한다는 해설을 들은 사람들은 대체로 멘붕에 빠지거나 어떻게든 내신 등수를 내야겠기에 점수차이를 만드려고 오답처리를 한 것이라며 교사를 욕하는 내용이 대부분이었던 것으로 기억한다. 실제로는 곱셈을 가르칠 때 "무엇의 몇 묶음"의 방식으로 가르치기 때문에 순서가 중요하다고 하지만, 두 숫자의 곱은 순서를 바꾸어도 같다는 것이 상식이라고 말하기조차 민망할 정도로 당연하다고 생각하는 일반적인 사람들에게는 이 오답만큼 황당한 것도 없었으리라.


하지만 물리학(...)의 영역으로 가면 온갖 이상한 것들이 나타나기 시작하는데, 두 숫자의 곱 또한 얼마든지 괴상해질 수 있다. 대표적인 예로 하이젠베르크의 불확정성 원리가 있다. 비전공자가 사용한 100가지 경우 중 제대로 사용한 경우는 한가지가 될까 말까 한 불확정성 원리는 정확히는 '한 계(혹은 물체)에서 뽑아낼 수 있는 정보의 한계'를 말한다.


그렇다면 '정보'란 무엇일까? 섀넌은 정보의 양을 '가능한 모든 경우에서 얼마나 좁은 경우의 수로 좁힐 수 있는가'를 이용해 정의했다고 한다. 예를 들어 사람을 찾을 때 '그 사람은 태어났다'라는 명제는 전혀 정보로서의 가치가 없지만, '그 사람은 90년에 태어났다'라는 명제는 어느 정도 정보로서의 가치를 가지며, '그 사람은 90년 4월에 태어났다'라는 명제는 더 많은 정보로서의 가치를 갖는다는 식이다. 물리학에서도 비슷한 식으로 '한 계의 정보'를 정의할 수 있다. 아리스토텔레스의 자연철학에서는 (참고로 아리스토텔레스의 physics를 '물리학'으로 번역하는 경우가 가끔 있는데 올바른 번역은 '형이하학'이다) 한 물체의 위치만 주어지면 미래에 그 물체가 어떻게 운동할지 모든 것을 알 수 있다고 가정했다. 한 계의 정보로 '위치'면 충분하다는 것이다. 물론 실제로 한 물체의 미래를 알고 싶다면 그보다는 더 많은 정보가 있어야 했다. 갈릴레이는 '운동' 또한 위치만큼 중요하다(물리학에서 중요하게 여기는 값들은 변하지 않는 것-불변량-과 일정하게 유지되는 것-보존량-으로 나눌 수 있는데, 갈릴레이는 운동이 보존량이라는 것을 사고실험으로 증명했다)는 것을 논증했고, 뉴턴은 운동을 '한 계의 정보'에 포함시켰다. 따라서 뉴턴의 유산인 고전역학에 따른다면 '한 계의 정보'는 '위치에 대한 정보'와 '운동에 대한 정보' 두 가지 모두를 의미한다.


그렇다면 오늘 이 시각에도 지구 어딘가에서 오용되고 있을 하이젠베르크의 불확정성 원리로 돌아가 보자. 파울리는 한 편지에서 불확정성 원리를 "'운동을 보는 눈'만 뜨거나 '위치를 보는 눈'만 뜰 수는 있지만 둘 다 뜰 수는 없다니!"라고 표현했는데, 이건 위치에 대한 정보와 물체의 운동에 대한 정보 모두를 얻어낼 수는 없다는 것을 의미한다. 아이러니한 점은 이렇게 한 계에서 필요한 모든 정보를 얻어낼 수는 없더라도 양자역학에 따르면 충분히 완벽하게 그 계의 미래에 대한 모든 것을 알 수 있다는 것이다. 그러므로 불확정성 원리의 '확정'은 "미래는 확정지어져 있다"의 확정이 아니라 "상자에 들은 공의 갯수를 확정지을수 없다"의 확정이다. 하이젠베르크는 "xx의 값은 XX다!"라고 자신있게 말할 수 없다는 것이지, '미래는 모르는 것이다'와 같은 약 파는 소리(..)를 한적은 없다.


그렇다면 앞선 초등학교 수학 문제와 불확정성 원리의 관계는 무엇일까? 불확정성 원리의 수학적인 표현은 순서를 바꾸어 곱한 두 숫자의 차이로 나타난다. q를 위치를 나타내는 수로, p를 운동을 나타내는 수로 쓴다면 'qp-pq=i'가 불확정성 원리의 수학적 표현이다. 보다 쉽게 말한다면, 물리학에서는 q에 p를 곱하는 것과 p에 q를 곱하는 것이 같지 않다는 것이다. 가장 생각하기 쉬운 예시는 수1에서 많은 골치를 썩였을 행렬이 있다. 2X3 행렬에 3X2 행렬을 곱하면 3X2 행렬에 2X3 행렬을 곱한 값과 다를 수 밖에 없다. 이렇게 곱하는 순서가 중요한 숫자들은 불우하게 생을 마감한 수학자 아벨의 이름을 따 비아벨(nonabelian) 수라고 부른다.


한편 물리학자들은 하이젠베르크의 불확정성 원리를 다음과 같이 해석하기도 한다. "A를 먼저 측정한 후 B를 측정하는 것과 B를 먼저 측정한 후 A를 측정하는 것은 다른 결과를 가져온다" 이것은 물리학자들이 이 값들을 일종의 함수로 이해하고, 이 값들의 곱을 고등학교 수학에서부터 다루는 함수의 합성-f(g(x))는 x를 함수 g에 넣어 얻은 값을 다시 함수 f에 넣어 얻는 값을 말한다-으로 이해하기 때문이다. 위의 예시를 그대로 따온다면 pq를 'q를 잰 뒤 p를 잰다'로, qp를 'p를 잰 뒤 q를 잰다'로 이해한다는 것이다. 따라서 물리학자들은 'qp-pq=i'란 식을 'p를 잰 뒤 q를 잰 것과 q를 잰 뒤 p를 잰 것의 차이는 i이다'라고 이해한다.


이는 어떤 일을 수행하는데 순서가 중요하다는 것을 의미한다. 슈퍼맨이 되려면 쫄쫄이 위에 팬티를 입어야지 팬티 위에 쫄쫄이를 입어서는 안 되는 것이다(최근에 본 강철남-Man of Steel-에서는 붉은 삼각팬티가 사라지긴 했지만). 이렇게 어떤 과정을 거쳐서 지금의 상태로 오게 되었는가가 미래에 영향을 미치는 것을 경로의존성이라고 부른다. 물리학에서는 강자성체의 자기이력곡선(말만 어렵지 철이 자석되는 것을 말한다)이 대표적인 예이긴 한데, 너무 물리 이야기만 했으니 조금 다른 이야기를 해보려고 한다. 보다 극명하고 피부에 와 닿는 경로의존성이라면 단연 대통령제를 꼽을 수 있지 않을까. 서구에서는 꽤나 잘 정착된 이 제도는 몇몇 국가에서는 전제군주정의 현대적 변형으로 정착되어 있는데, 제도가 동일한데 결과가 다르다면 그 국가가 거쳐 온 역사가 다르기 때문이라는 설명 외의 적절한 설명은 없어 보인다. 과거가 현재를 만들었고 현재를 너머 미래에까지 영향을 미친다는 것이다. 그러니까 사랑하고 있는 여러분, 애인의 과거가 신경쓰인다면 그 과거가 있었기에 지금 사랑하고 있는 현재의 애인도 있는 것임을 이해하려 노력하시길 바랍니다. 결론이 무언가 이상한 것 같긴 하지만.

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일반상대론 교재를 보고 식은 이해했는데 실제 연습문제를 풀 때마다 막막하신 분들을 위해 적습니다.




많은 이들을 멘붕에 빠지게 하는 일반상대론이 어려운 이유는 다른게 아니라 일반상대론에서 사용하는 리만기하학 때문입니다. 유클리드 공간에서 작도만 하던 그리스 시대와는 달리 시간이 지날수록 사람들은 '두 점 사이의 거리'에도 관심을 갖게 됩니다. 두 점 사이의 거리는 피타고라스의 정리로 쓰게 되죠.


File:Pythagorean.svg

c^2=a^2+b^2


이런 '두 점 사이의 거리'를 재는 방법을 가장 간단하게 일반화한 것이 리만기하입니다. 매우 가까운 두 점 사이의 거리는 두 점과 좌표축에 평행한 선분이 만드는 삼각형(편의상 2차원이라고 합시다)의 각 변의 길이에 대한 이차식의 꼴로 나타난다는 것이죠. 원래는 가우스가 휘어진 곡면 위에서 두 점 사이의 거리는 어떻게 주어지는가를 연구하면서 등장하게 되었다고 하는군요.


ds^2=Edx^2+2Fdxdy+Gdy^2


사실 거리를 일반화하는 방법은 이것 말고도 더 많기에 -피타고라스 정리에 제곱 대신 네제곱을 쓸 수도 있는 것이니까요. 페르마 님이 좋아합니다- 제곱의 꼴로 거리가 주어지는 리만기하학의 공간을 L^2공간이라고도 부릅니다. 양자역학에서 사용하는 힐베르트 공간도 L^2 공간의 일종이죠. 여기에 대해서는 아는 것의 밑천이 바닥나지 않을 이 정도 까지만 썰을 풀기로 합시다(...).


리만기하가 얼마나 일반적인 상식(?)과 어긋나는지 보기 위해 구체적인 문제를 풀어보도록 합시다. 가장 간단한 문제는 아무래도 푸앙카레 반평면(Poincare Half Plane)이 되겠네요. 푸앙카레 반평면이란 매우 가까운 두 점 사이의 거리 ds를 다음과 같이 정의하는 공간입니다.


ds^2=\frac{1}{y^2}(dx^2+dy^2)


여기서 리만기하학을 처음부터 다룰 수는 없는 노릇이니, 근처에 미분기하학 책이 하나 정도는 있다고 가정하고 바로 geodesic equation을 푸는 것으로 들어가도록 하겠습니다. 아무 일반상대론 책 하나 펴고 geodesic equation을 구하는 증명과정을 쭉 풀어본 사람이라도 실제 geodesic이 무엇이냐를 푸는데는 어려움을 겪는 경우가 있어서요. 그러면 방정식을 풀어봅시다.




geodesic equation은 다음과 같이 씁니다.


\frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\frac{dx^\beta}{d\lambda}=0


단, 이 경우 이 식이 만족되어야 합니다. 상수는 보통 1로 많이 잡는데, 그러면 람다의 변화는 이동한 거리가 되죠.


\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx_\mu}{d\lambda}=\text{const}


위의 metric을 이용해서 connection coefficient(혹은 Christoffel symbol이라고도 부릅니다)를 구하면 다음과 같습니다. (summation은 그리스 문자만 해당하는 것으로 합시다)


\Gamma^x_{xy}=\Gamma^y_{yy}=-\Gamma^y_{xx}=-\frac1y


위로부터 다음 식을 계산해보면 이 식이 맞다는 것도 확인할 수 있죠.


\Gamma^\mu_{\mu\nu}=\partial_\nu\ln\sqrt{|g|}


람다에 대한 미분을 뉴턴식으로 간략하게 쓰기로 하면 geodesic equation은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.


y''+\frac1y(x'^2-y'^2)=x''-\frac{2x'y'}y=0


확인한다면 위 식의 하나는 다음과 같이 쓸 수 있다는 것을 보일 수 있지요.


y^2\left(\frac{x'}{y^2} \right )'=0 \;\;\cdots\;x'=\alpha y^2


여기서 첫번째 geodesic을 얻습니다. 알파를 0으로 두면 geodesic은 x=const가 되거든요. 그러면 이 경우를 무시한 채 계속 진행해봅시다. 위에서 얻은 관계식을 대입하면 되는데, 우선은 어려운 방법부터 해 보도록 합시다.[각주:1] 남은 geodesic equation에 위 관계식을 대입하면 다음 식을 얻습니다.


y''+\frac1y(\alpha^2y^4-y'^2)=y\left[(\ln y)''+\alpha^2y^2 \right ]=0


y의 로그를 z로 재정의하면 다음 식을 얻죠. 신나게 미분방정식을 풀어봅니다.


z\equiv\ln y \\z''+\alpha^2e^{2z}=0\;\;\cdots\;\;2z'z''+2\alpha^2e^{2z}z'=\left[z'^2+\alpha^2e^{2z}\right ]'=0 \\z'^2+\alpha^2e^{2z}=\frac{y'^2}{y^2}+\alpha^2y^2=\beta^2\;\;\cdots\;\;y'=\beta{y}\sqrt{1-\left(\frac{\alpha y}{\beta} \right )^2} \\\therefore\frac{dy}{y\sqrt{1-\alpha^2y^2}}=d\lambda\;\;\;\cdots\;\beta\text{ is considered }1


베타는 어차피 중요한 상수가 아니라서 그냥 1로 두었습니다. 나중에 끌고가 보시면 알겠지만 베타는 속도에 해당합니다. 그리고 마지막 적분은 매우 유명(?)한 적분입니다. 저런 꼴은 일단 삼각함수로 치환하고 생각합니다.


y\equiv\frac{\sin\chi}{\alpha} \\\frac{d\chi}{\sin\chi}=d\lambda\;\;\cdots\;\;\lambda=\ln\left(\frac{\sin\chi}{1+\cos\chi} \right ) \\\therefore e^\lambda=\frac{\alpha y}{1+\sqrt{1-\alpha^2y^2}}\;\;\cdots\;\;e^\lambda\sqrt{1-\alpha^2y^2}=\alpha y-e^\lambda \\\therefore y=\frac1\alpha\;\text{sech }\lambda


참 쉽죠?(...) 마지막 줄은 그냥 전 줄을 제곱한 뒤 슥슥 그어주면 얻습니다. y를 구했으니 이번엔 x를 구할 차례로군요.


x'=\alpha y^2=\frac1\alpha\;\text{sech}^2\;\lambda\;\;\cdots\;\;x=x_0+\frac1\alpha\;\text{tanh}\;\lambda \\\therefore (x-x_0)^2+y^2=\frac{1}{\alpha^2}


위를 종합하면 geodesic은 원으로 그려지게 됩니다. 물론 '우리 눈으로 보기에 원'이지, 실제 원은 아니지요. 원은 '한 점으로부터 등거리에 있는 점의 집합'이니까요.




이제 미분방정식을 푸는 쉬운 방법을 알려드리죠. 아까 구한 관계식을 이번에는 속도의 크기에 넣어줍니다.


\frac{1}{y^2}\left(x'^2+y'^2 \right )=\frac{1}{y^2}\left(\alpha^2y^4+y'^2 \right )=1 \\\therefore y'^2=y^2(1-\alpha^2y^2)\;\;\cdots\;\;y'=y\sqrt{1-\alpha^2y^2}


어라(...) 힘들게 z로 치환해가며 구했던 미분방정식을 얻었습니다. 실제로 이 식을 미분해서 정리하면 사용하지 않은 geodesic equation으로 정리되는 것을 알 수 있습니다.




geodesic을 구했으니 남은건 '임의의 두 점 사이의 거리'같은 것이 있겠지만 그런거나 하자고(...) 이 글을 쓰고 있는 것은 아니죠. 다음 글을 쓰게 된다면 그 때는 푸앙카레 반평면을 비틀어 보도록 하겠습니다. 일종의 반-푸앙카레 반평면(Anti-Poincare Half Plane) 혹은 민코프스키 푸앙카레 반평면(Minkowskian Poincare Half Plane)이라고 할 수 있죠.


ds^2=\frac{1}{z^2}(-dt^2+dz^2)


이런 metric을 생각한 이유는 de Sitter 공간과 Anti-de Sitter 공간을 단순화하면 이런 꼴의 metric으로 쓸 수 있기 때문이었죠. 혹시 시간이 되시는 분들은 괜찮은 일반상대론 책에서 conformal transformation을 찾아본 뒤 다음 metric의 scalar curvature를 계산해보세요. 모든 공간에서 상수가 나옵니다.


\\ds^2=\frac{1}{t^2}(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)\;\;\cdots\text{de Sitter} \\ \\ds^2=\frac{1}{z^2}(-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2)\;\;\cdots\text{Anti-de Sitter}


그러면 다음 시간에(그런게 있다면)...

  1. 제가 처음 푼 방법인데 지금 이 풀이를 보면 정신이 아득하네요. 내가 이렇게 머리가 쌩쌩 돌아갔던가... [본문으로]

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대략적인 초고. 더 다듬을 예정. 비평 환영합니다.

마지막 두 문단을 좀 더 매끄럽게 이을 필요가 있을 듯.




약간은 내 동생에게 미안한 이야기인데, 내 동생은 나보다 말을 늦게 배웠다고 한다. 아기들은 말을 할 때 바로 "colourless green ideas sleep furiouly"와 같은 문법적으로 전혀 하자가 없는 말을 하지는 않는다; 아기들은 옹알이를 하는 법을, 그 다음에는 간단한 단어를 외치는 법을, 이후에는 단어 두어 개를 조합해 생각을 전달하는 법을 배운 뒤에라야 완전한 문장을 말하고 추상적인 생각을 하는 법을 익힌다. 내 동생이 나보다 늦게 말을 익힌 이유는 간단하다. 철없는 어린 시절의 나는 두어 단어씩 겨우 겨우 말을 하던 동생에게 제대로 된 말을 하라고 윽박지르곤 했는데, 그래서 내 동생은 마지막 단계로 넘어가기도 전에 위축되곤 했던 것이다. 부모님께 나도 그렇게 문장 하나 제대로 구성하지 못하던 시절이 있었다는 지적을 들은 뒤에야 나는 내가 무엇을 잘못했는지 알게 되었다. 요즘에는 입만 살아 자주 대들어 골치를 썩이는 동생에게 고마울 뿐이다.


"안녕하십니까" 대자보 열풍이 중등교육을 받고 있는 학생들에게까지 퍼진 모양이다. 고등교육을 받는 학생들이야 성인으로 취급받으니 어떤 말을 하든지 학교 총장이 나서서 그 입을 막으려 하지는 않지만(물론 학교마다 조금씩 다르기는 하다) 중등교육을 받는 학생들의 경우에는 조금 다른 모양이다. 내 정보통이 유난히 한 쪽으로 치우쳐 있기 때문에 그럴 수도 있겠지만 유난히 많은 중등교육을 받는 학생들이 대자보를 붙였다는 이유 하나로 교장실에 불려간다는 소식이 조금씩 들려온다.


여기에서 우리는 한 가지 질문을 해 볼 수 있을 것이다: 그 많은 중고등학교의 교장들은 왜 학생들이 말을 하지 못하게 만드는 것일까? 가장 간편한 설명은 정권에서 교육부를 통해 그 학생들의 입을 막으라고 공문을 내렸을 것이라는 음모론이 될 것이다. 하지만 나는 이 정권이 그렇게 찌질할 것이라고 생각하지 않는다. 한 발짝 물러나면 각 학교의 교장들이 공문이 내려오기도 전에 미리 몸을 사린다는 설명을 할 수도 있을 것이다. 만약 이것이 사실이라면 현 정권은 비판을 피할 수 없다. 그 자리에 있지도 않은 사람에 대한 (공포로부터 학습된) 자발적인 복종은 절대군주의 통치방식이다. 사람들이 절대군주제 하의 신민과 같이 행동하기 시작했다면 이것은 현 정권의 소통 방식에 무언가 문제가 있다는 의미가 된다.


물론, 위의 내용은 어디까지나 음모론이다. 아마 학생들이 백지 전지에 자신의 생각을 전개하는 것을 싫어하는 이유는 자신의 장학사가 되기 위한 경력에 오점을 남기고 싶지 않아하는 교장의 이익관계가 개입되었기 때문일 것이다. 교사들은 자신이 가르친 학생들의 대입 성적에 따라 평가받는다. 이것은 교장도 마찬가지다. 지금과 같은 피말리는 수능성적 경쟁구도에서는 전지 하나에 자신의 생각을 정리하느라 풀지 않은 연습문제 하나가 수능 당일의 틀린 문제 하나로 연결될 가능성이 매우 높다. 교장 입장에서는 학생 한 명 한 명의 수능 문제 하나가 아쉬운 상황이기 때문에 학생이 딴짓을 하는 것을 막아야 할 충분한 이익관계가 존재한다. 여기에 대해서는 나중에 돌아와서 논의를 이어가도록 하자.


다른 한쪽에서는 다른 방면으로 이해가 되지 않는 현상이 일어나고 있다: 사람들은 왜 학생들이 선동당했다며 입을 막고 싶어하는 것일까? 물론 사람들이 드는 08년의 여름에 대한 지적이 옳다는 것을 부인할 수는 없다: 광우병이 공기중으로도 전파될 수 있다는 말도 안 되는 음모론이 정설인 냥 퍼졌던 것은 사실이다. 그렇다면 반대로 물어보자. 사람들이 옳지 않은 말을 한다고 그 입을 막아야 할 이유가 있을까? 


많은 사람들은 미국 대학의 토론식 수업과 자유롭게 질문이 오가는 분위기를 부러워한다. 하지만 이런 분위기가 무엇을 의미하는지 생각해보는 사람은 별로 없는 것 같다: 이런 분위기는 누군가가 헛소리를 하고 있어도 사람들이 그 헛소리를 차분하게 들어준다는 것을 의미한다. 관련해서 생각나는 일화가 하나 있다. 중학교 시절 장학사가 들어오는 수업에서는 교사들이 공부를 잘 하는 학생들에게 미리 질문할 거리에 대해 대화를 나누고 입을 맞췄던 기억이 난다. 공부를 못 하는 학생들에게는 침묵할 권리만 주어졌다.


대한민국에서는 교사들이 진도 나가야 한다는 이유로 학생의 질문이 헛소리라는 판단이 드는 순간부터 그 질문을 묵살한다. 반대로 말한다면 학생에게 주어진 질문할 권리는 어디까지나 "난 이것까지 안다"는 자랑을 할 권리이다. 나는 이런 질문에 대한 인식이 사회 전체에 엄청난 해악을 끼치고 있다고 생각한다. 그리고 가장 단적으로 드러나는 해악으로 이 글을 쓰게 된 계기, 그러니까 이치에 맞는 말을 하고 있지 않다고 입을 열지도 못하도록 윽박지르는 분위기를 꼽겠다.[각주:1] 중등교육 시절 억압적인 분위기를 겪었던 사람들이 관성적으로 그 억압적인 분위기를 다시 만들어내고 있고, 때문에 내가 동생에게 했던 실수를 그대로 반복하고 있다: 사람들이 틀렸다고 자신만의 생각을 전개해 볼 기회조차 갖지 못하게 윽박지르고 있는 것이다.


내가 유독 사람에 대한 신뢰가 강한 것인지는 모르겠으나, 나는 사람들이 충분한 용기가 있다면 얼마든지 올바른 진실을 직시할 수 있다고 믿는다. 때문에 누군가가 유언비어라고 생각되는 믿음을 갖고 있다고 한들 그 사람의 입을 막아서는 안된다고 생각한다. 그 유언비어가 왜 진실이 아닌지 다른 사람과의 대화를 통해 깨달아야 하고, 그 과정을 통해서 유언비어에 흔들리지 않는 강한 논리적 추론 능력을 갖게 된다: 유언비어에 시달려 본 사람일수록 유언비어에 면역을 갖추는 것이다. 뒤집어 말한다면 더 많은 사람들이 금방 유언비어라는 사실을 알 수 있는 주장에 더 자주 노출되어 이런 훈련을 겪을 필요가 있다. 인터넷은 앞으로도 더욱 커질 것이며, 이러한 훈련 없이는 정보의 바다에서 익사하는 사람들이 더욱 많아질 것이기 때문이다.


덧붙여 나는 진실 앞에 깨져보는 경험, 그러니까 내가 알고 있던 진실이 더 이상 진실이 아닐 수 있다는 깨달음이 중요하다고 생각한다. 내가 진실이라고 믿고 있는 내용에 대한 맹신을 경계해야 한다는 것을 경험적으로 익힐 수 있기 때문이다. 우리는 자신만의 진실에 파묻힌 맹목적인 믿음이 얼마나 추해질 수 있는지를 명동 거리의 십자가들을 통해 알고 있지 않은가. 내가 앞서 충분한 용기가 있는 사람들은 누구나 올바른 진실을 직시할 수 있다고 한 이유는 한 사람이 자신이 믿고 있었던 진실을 부수는 데 커다란 용기가 필요하기 때문이다. 믿음은 한 사람의 세계를 구축한다: 그 믿음을 부수는 것은 원래의 세계를 새로운 세계로 갈아 엎는 것을 의미하며, 용기 없이는 이를 이룰 수 없다.


우리 사회에는 누군가가 헛소리를 하거든 그 헛소리를 들어주고 잘못된 점만 바로잡아 줄 여유가 필요하다고 믿는다. 그리고 내가 가진 믿음이 참된 진실이고 다른 사람들이 거짓된 진실을 떠들고 있다면, 내가 유언비어를 두려워할 이유는 무어란 말인가?



p.s.

대자보는 일종의 웅변이다: 한 사람의 청중에 대한 웅변은 전지에 그대로 박제되어 그 사람이 그 자리에 없더라도 지속적으로 그 사람의 말을 전달하는 역할을 하는 것이 대자보이다. 대자보를 찢어내는 것은 웅변에 입막음으로 맞서는 행위이다. 웅변에는 웅변으로 맞서는 것이 옳다. 대자보를 붙일 자유가 있으면, 그에 반박하는 대자보를 붙일 자유가 존재하는 것이지 그 대자보를 찢어내는 자유란 존재할 수 없다.

  1. 창조경제가 결코 성공할 수 없는 이유를 대야만 한다면 같은 이유를 댈 것이다. 창의성이란 결국 다르게 말한다면 생각해보지 못한 질문을 던지는 능력을 말한다. 제기해야 할 올바른 질문이 아니면 질문을 해서는 안되는 이런 억압적인 분위기에서는 누구도 좋은 질문을 해보는 훈련을 받을 수 없을 것이며, 결국 그 누구도 창조경제의 가장 중요한 근간이 되는 창의성을 다듬을 기회를 갖지 못할 것이다. [본문으로]

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페이스북에 올린 글. 약간의 수정을 거쳐 재게재합니다.




요즘 들어 타임라인에 정치글이 많이 보이길레, 그냥 간단한(?) 상황 판단을 위한 가이드라인 올려봅니다. 아마도 내려갈수록 중요한 내용.


- 짤로 돌아다니는 내용으로 판단하지 말 것.

File Extensions

http://www.xkcd.com/1301/

짤은 언제까지나 인스턴트 정보이며, 인스턴트 정보로 얻을 수 있는 진실은 통조림 음식 수준밖에 안 됩니다.


- 그나마 인스턴트 치고는 괜찮을 수 있는 정보를 얻을 수 있는건 토론 프로그램.

한 쪽이 일방적으로 밀리는 토론은 알맹이가 없고, 양 쪽이 치열하게 치고박고 싸우는 토론일수록 정보량이 많습니다. 그런데 요즘은 괜찮은 토론 프로그램이 있나 모르겠네.


- 한 사안에 대해 판단을 할 때, '각 진영'에서 제공하는 최대한 양질의 '글'을 최소 5개씩은 읽고 다음 과정을 거칠 것.

1. 양질의 글이란 최소한 세 가지의 논거를 기반으로 주장을 논리적으로 전개한 것을 말합니다. 10-20줄짜리 글은 일단 도움이 안 된다고 생각하면 됩니다. 그리고 비슷한 논거를 기반으로 논리를 전개하는 글은 되도록 빼세요.

2. A4 한 장을 반으로 나누어 각 글에서 들고 있는 논거를 정리할 것. 통계 수치나 과거 사례 위주로.

3. 많은 경우 이렇게 하면 양 진영에서 같이 들고 있는 과거 사례가 있거나 서로 충돌하는 통계 수치가 있을겁니다. 이 경우엔 과거 사례를 해석하는데 취한 입장도 같이 정리하고 양쪽의 통계 수치의 신뢰성을 확인.

4. 여기까지 하는데 짧으면 2-3시간, 길어야 5시간 정도 걸릴 겁니다. 이 정도 시간도 투자 안 하고 진실을 얻겠다고 하신다면 통조림 수준의 진실밖에는 구할 수 없다는 말씀 드리기로 하죠.

5. 마지막으로, 혼자서 백분 토론을 거칠 것. 한 쪽에 최대한 빙의해서 다른 쪽을 공격하고 이 쪽을 방어하는 훈련을 해 봅니다. 이 일을 양 진영에 대해 다 해볼 것.

0. 가장 중요한 것은 자신을 속이지 않는 것. 20~30쪽은 되어보이는 글은 도저히 못 읽겠다고 질 나쁜 것으로 지레짐작하고 건너뛰는 것은 자기기만입니다. 단문이 대세인 인터넷 시대에 긴 글은 길어봤자 A4 5쪽 이내예요(논문이나 보고서를 읽는 것이 아니라면). 그리고 5번을 할 때 한쪽 진영에 대해 별로 호감이 안 간다고 불성실하게 빙의하지 마시고요.


- 신문 읽는 법. 전 신문을 안 읽습니다만, 도움이 될 사람이 많을 거라 생각해서.

1. 신문 기사에서 사용하는 단어를 확인. 단어마다 고유한 분위기(?)를 갖고 있기 때문에 신문 기사에서 그 대상에 대해 어떤 인상을 심으려 하는지 볼 것.

2. 신문 기사에서 말하지 않는 논리적 기반을 확인. 쉽게 말해 신문 기사가 무엇을 당연한 것으로 여기고 있는지 확인하라는 의미입니다.

3. 신문 기사간 관계를 확인. 온라인상으로 읽을 땐 잘 드러나지 않지만 지면으로 읽을 땐 신문 기사를 어떻게 배치하는가에서도 정보를 얻을 수 있습니다. 예를 들어 한 지면에 '경제 상황이 나빠 꿈을 잃는 대학생들'이라는 식의 기사와 '경제가 안 좋은데 파업이라니' 이런 식의 기사가 같이 있다면 그 신문은 대학생과 파업을 대립시키려는 의도가 있다고 볼 수 있겠죠. 가장 많은 훈련이 필요한 항목.

0. 정리한다면, '신문 기사를 많이 읽어라'가 아니라 '신문 기사를 깊게 읽어라'가 되겠네요. 많이 읽는건 양질의 선택을 하는데 별로 도움이 안 됩니다.


- 주장하는 사람의 순수함과 주장하는 내용의 합리성은 완벽한 독립변수.

순수한 의도로 악을 행할 수 있고, 그 반대도 얼마든지 가능합니다. 한나 아렌트가 '악의 평범성'이라는 개념을 만들어내게 된 아돌프 아이히만이 전자의 한 사례고[각주:1], 자신이 이득을 얻겠다고 거래를 제안해오는 사람이 모두 내게 불리한 제안만 하는 것은 아니죠.


- 그리고 마지막으로, 나 자신도 믿지 말 것.

가장 힘들다고 생각하지만 가장 중요하다고 생각하는 항목. '나도 틀릴 수 있다'란 생각을 항상 하시길.



사실 첫 번째 항목이랑 마지막 항목이 제일 중요해요. 그것만 되어도 판단의 질이 150% 개선됩니다.




중요하니까 다시 한번 말하도록 하죠. 근본없는 짤방 같은 인스턴트 진실은 그만 드시고, 자신에 대한 과신은 제발 좀 버리세요. 순수함에 대해서도 중요하다고 생각은 하는데 아무래도 앞의 둘보다는 중요도가 떨어져서. 참고로 순수는 편의점에서 500원에(코카콜라에 가는 로열티 포함) 200ml짜리를 구할 수 있습니다.


내용은 대체로 캡콜(capcold.net/blog/‎)님이나 민노씨(http://minoci.net/)님의 가이드라인을 기억 속에서 대충 짜깁기한 것. 저도 인간인지라(쿨럭) 가운데 둘의 매우 긴 녀석들은 못 하고 있지만 나머지 넷 정도는 대충 탑재하고 있습니다. 마지막 항목 때문에 교수님들한테 자신감이 없다고 까였던건가...


그러면 오늘도 진실을 찾는 여정을 떠나는 많은 분들께 바다의 가호가 있기를.(오글)


  1. 다만 아돌프 아이히만의 '순진함'은 연기에 불과하다는 말도 있습니다. [본문으로]

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디락방정식을 기억만으로 재구성해보는 작업을 하고 있는데, 그 와중에 조금 정리할 필요가 있다 생각되어 쓰는 글.


디락방정식의 도입 동기는 매우 간단하다. 그 이전까지 제시된 방정식들에 문제가 있었기 때문. 슈뢰딩거 방정식은 시간과 공간을 같게 다루지 않으며(공간에 대해서는 이계미분, 시간에 대해서는 일계미분), 클라인-고든 방정식은 시간에 대해 일계가 아니라는 문제가 있다. 시간에 대해 일계가 아니면 갖는 문제는 초기조건을 충분히 주지 못하기 때문에 문제가 된다. 시간에 대한 미분은 위상의 변화와 관련이 있는데, 위상의 차이는 측정할 수 있어도 위상이 변하는 속도는 측정할 방법이 없기 때문.


\text{Schroedinger equation: derivatives on time and} \\\text{space are not treated on a equal footing.} \\i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x) \right ]\Psi \\\\\text{Klein-Gordon equation: the equation treats time} \\\text{as a second order derivative.} \\\left[\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}+m^2 \right ]\Psi=0\text{ (natural units)}


디락이 생각한 해는 상당히 간단하다. 클라인-고든 방정식에 제곱근을 취하는 것.


\text{Dirac's solution: take the root!} \\\^H=i\frac{\partial}{\partial t}\;,\;\^p=-i\frac{\partial}{\partial x} \\\\\left[-\frac{\partial^2}{\partial x^2}+m^2 \right ]\Psi=-\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Psi\text{ (natural units)} \\(\^p^2+m^2)\Psi=\^H^2\Psi \\\\\Rightarrow(\alpha\cdot\^p+\beta m)\Psi=\^H\Psi


이러면 \alpha\beta에 대해 다음과 같은 10개의 관계식을 얻는다.


\begin{matrix} \alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i=2\delta_{ij} & \cdots\text{ 6 equations}\\ \alpha_i\beta+\beta\alpha_i=0 & \cdots\text{ 3 equations}\\ \beta^2=1 & \cdots\text{ 1 equation} \end{matrix}


일단 \alpha\beta는 우리가 일반적으로 보는 숫자가 아닌 것은 확실하다. 제곱해서 1이 되며 다른 숫자와 곱했을 때 0이 되는 복소수는 없기 때문. 따라서 이 녀석들은 행렬로 보는 것이 타당하다. 제곱을 할 수 있으므로 행렬 중 정사각행렬이 되어야 하는데, 그렇다면 정사각행렬 중 몇 짜리 정사각행렬을 써야 할까? n\times n 행렬은 모두 n^2개의 자유도를 갖는다. 그런데 위에서 최소한 10개의 조건이 필요하다는 결론을 얻었으므로, 최소한 4\times4행렬이 필요하다는 것을 알 수 있다. 이렇게 되면 6개의 자유도가 남는데, 이 자유도는 어디에 쓸 수 있을까? 다시 원래의 디락방정식으로 돌아와 보자.(틀린 설명입니다.) 미분은 좌표계를 바꾸면 변하게 되어 있으나 정지질량은 변하지 않는다. 따라서 식을 좀 더 깔끔하게 쓰려면 다음과 같이 정리하는 편이 낫다.


\text{Dirac equation} \\(-i\alpha\cdot\nabla+\beta m)\Psi=i\frac{\partial}{\partial t} \Psi \\\beta m \Psi=i\left[\frac{\partial}{\partial t}+\alpha\cdot\nabla \right ]\Psi \\=i\left[\frac{\partial}{\partial x_0}+\alpha_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\alpha_2\frac{\partial}{\partial x_2}+\alpha_3\frac{\partial}{\partial x_3} \right ]\Psi


약간의 불만사항: 질량은 변하지 않는데 쌩뚱맞은 \beta가 붙어 있다. 양 변에 \beta를 곱해서 좀 더 보기 쉽게 만들어주고, 남는 6개의 자유도를 이용해(틀린 표현입니다) 이 숫자들에게 추가적인 제한조건을 걸어주도록 하자. 이 제한조건은 '로렌츠 변환을 만족할 것'. 로렌츠 변환은 결국 4차원에서의 회전에 해당하기 때문에 4C2=6개의 제한조건을 의미한다. 남은 6개의 자유도를 완벽하게 구속할 수 있다는 의미이다.


\text{Multiply each side by }\beta \\m \Psi=i\left[\beta\frac{\partial}{\partial x_0}+\beta\alpha_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\beta\alpha_2\frac{\partial}{\partial x_2}+\beta\alpha_3\frac{\partial}{\partial x_3} \right ]\Psi \\\\\text{Redefine the numbers: Introduce the }\gamma^\mu\text{ matrices.} \\\gamma^0\equiv\beta,\;\gamma^i\equiv\beta\alpha_i \\\Rightarrow\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu} \\\\\text{Introduce more restrictions (six) to impose} \\\text{covariance under Lorentz transforms.} \\L^\mu_{\;\nu}\equiv\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu},\;L^{\;\;\mu}_{\nu}\equiv (L^\nu_{\;\mu})^{-1}=\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\nu} \\\\x^\mu\to x'^\mu=L^\mu_{\;\nu} x^\nu,\;\partial_\mu\to\partial'_\mu=L^{\;\;\nu}_{\mu}\partial_\nu \\\gamma^\mu\to\gamma'^\mu=L^\mu_{\;\nu}\gamma^\nu \\\\\Rightarrow \gamma^\mu\partial_\mu\to\gamma'^\mu\partial'_\mu=L^\mu_{\;\nu}L^{\;\;\nu}_{\mu}\gamma^\nu\partial_\nu=\gamma^\mu\partial_\mu


이렇게 로렌츠 불변 형식의 디락방정식이 완성된다.


\text{Thus, the Dirac equation in its final form} \\\text{nicely incorporates Lorentz covariance.} \\\\m\Psi=i\gamma^\mu\partial_\mu\Psi\Rightarrow(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\Psi=0 \\\\(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\Psi=(i\gamma'^\mu\partial'_\mu-m)\Psi





나중에는 디락방정식의 감마행렬에 대해 클리포드 대수란 말이 나오게 되는데(기본적으로는 anticommute하는 숫자들에 대한 대수를 의미한다. n-form이 한 사례) 아직은 그렇게 복잡하게 생각할 필요는 없다고 생각해서 정리해봤다. 조금만 더 만지작만지작 거리면 spin이 자기모멘트를 나타낸다는 것과 g-factor가 2가 된다는 것도 보일 수 있는데(처음의 \alpha\beta를 쓰는 형식에서 운동량을 canonical momentum으로 바꾼 뒤 제곱해서 정리하면 자기장과 내적한 꼴의 에너지 항을 얻는다) 그것까지 하기는 귀찮다. 언젠가 (2)를 쓰게 되면 그때나...


사실 목적은 기억만으로 수소원자를 푸는 것이었는데(디락방정식을 이용해서 수소원자 모형을 풀면 답에 자연스럽게 fine structure까지 포함된다) 어디선가 헤매고 있다. 일단은 디락 양자역학 책을 열어봐야 하나.


공부합시다!




수정(24 Dec 2013)

감마행렬이 4X4 행렬이라는 논리전개과정이 매우 불분명해서 제외. 대수학을 좀 더 공부해야 할 필요가 있습니다 엉엉 ㅠㅠ

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  1. Favicon of https://chronowalker.tistory.com BlogIcon chronowalker  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    Psi 의 해석을 가만히 둔 상태로 Schrodinger equation 을 relativistic 한 형태로 바꾸고 싶으신 건가요? 그렇게는 단순히 수학적인 논리만으로 감마행렬의 크기가 4 임을 밝힐 수는 없을 것 같습니다만...

    2013.12.29 21:11 신고
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2013.12.29 21:15 신고  댓글주소  수정/삭제

      안되더라구요(...) 정확히는 anticommute하고 제곱이 1인 행렬 넷은 4x4이상에서나 찾을 수 있다는 것을 보여야 하는데, 여태 참고한 책들 다들 대충 '2x2는 안되고 3x3도 안되니까 4x4로 한다'라는 식으로 설명해서 다른 설명은 없나 찾아보던 중이었습니다.

  2. Favicon of https://chronowalker.tistory.com BlogIcon chronowalker  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    저도 궁금해서 좀 찾아 봤는데, 제가 약간 착각을 한 듯합니다. 이론하는 사람이 아닌지라, 명백한 결론을 내릴 때까지 시간을 쏟을 수 없지만 어느정도 가능해 보이는군요. 일단 클리포드 대수의 기본조건을 만족하는 행렬들이 작용할 수 있는 공간의 차원은 2^[d/2] 라고 합니다. [ ] 는 최대정수함수를 의미하구요. 실제로 응집물리에서는 저차원에서의 디락 방정식을 이용하기도 하니까 (이를테면 그래핀의 전자는 1+2 dimension 에서의 디락 페르미온으로 기술 가능하다던가...) 1+3 dimension 의 표현공간에 작용하는 클리포드 대수의 행렬표현의 크기가 4가 되어야 한다는 증명을 해볼 수 있을 것 같습니다.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Higher-dimensional_gamma_matrices 그리고
    http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=364399 또
    http://arxiv.org/pdf/hep-th/9811101v1.pdf 의 1장을 참고하였습니다.

    2013.12.29 23:33 신고

공부합시다...

Daily lives 2013.12.14 02:47

1.

가지고 있는 양자역학 책이 무언가 아쉽다고 생각이 들어서 이런저런 책을 찾아보고 있다. 일단 눈에 들어오는건 란다우 이론물리학 시리즈 3권과 Schiff책. 둘 다 archive.org에서 구한 상태. (사실 란다우 양자역학은 구글링으로 3판을 찾았지만) 란다우 양자역학은 교보문고에서 슬쩍 봤는데 핵물리도 들어있어서 상당히 땡기는 상태. QCD전의 파이 중간자를 이용한 이론체계로 보인다.


인상깊었던 것은 왜 충돌이 공명(Breit-Wigner formula)으로 설명되는가에 대한 논증. 두 핵이 합쳐지면서 핵의 구성입자들 사이에 운동에너지가 고르게 분포되어 어느 한 구성입자도 서로의 인력을 벗어나기 충분한 에너지를 갖지 못하기 때문에 공명으로 취급할 수 있다는 내용. 제대로 공부해 봐야겠지만 공명식 자체는 허접해 보였던(...) partial wave를 이용해서 얻어내는 것으로 보인다. Sakurai책을 펴보니 딱 그 전까지만 다시 봤던 흔적이 남아있다(...)



2.

란다우를 검색하다가 란다우의 최소요구치라는 시험문제를 발견. 아무리 몇 달은 준비하고 시험치는 거라고 하지만(더군다나 수십년간 단 43명만 통과했다고) 일단 난 한참 멀었다는게 느껴진다. 깝치지 말고(...) 기본기부터 다시 쌓아야겠다.


관련해서 재미있게 읽었던 글: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0204295


실험논문은 읽고 저자의 입장에서(!) 논문을 방어하게 시켰다고 한다. '저자에 따르면'이란 표현을 쓰는게 금지되었다고. 엄청나게 하드코어한데, 이 지옥(?)을 살아남으면 어디에 가서도 살아남을 거란 생각이 든다. 그리고 인터넷에서 발굴한(?) 몇몇 문제:


1> The electron enters a straight pipe of circular cross section (radius r). The tube is bent at a radius R≫r by the angle α and then is aligned back again. Find the probability that the electron will jump out.


2> A hemisphere lies on an infinite two-dimensional plane. The electron falls on the hemisphere, determine the scattering cross section in the Born approximation.


3> The electron "sits" in the ground state in the cone-shaped "bag" under the influence of gravity. The lower end of the plastic bag is cut with scissors. Find the time for the electron to fall out (in the semi-classical approximation).


1번은 감도 안 잡히고(파동광학을 본 적이 없는게 문제다) 2번은 image charge를 써서 V를 구한 다음 푸는 것 같긴 한데 막상 born series에서 cross-section을 구하는 과정이 기억이 안 난다. 작년 겨울에 Sakurai책 산란 파트를 끝까지 안 봤더니... 마지막 껀 긴가민가(...) Airy함수 꼴로 나오는 해를 이어붙이는 문제인것 같긴 하다.


전자기학 공부가 가장 시급하다.



3.

생각난김에 archive.org에서 Herman Weyl의 『군이론과 양자역학』을 구해서 서론을 읽고 있는데(책장의 벽돌이 될 가능성이 높은 책이라도 서론까지는 읽으려고 노력한다) 참고하라고 찝어주는 책들에서 독일어 제목이 엄청 많이 튀어나온다. 한 80%는 읽히는데 독어를 취미로 시작한 것이 이런 곳에서 도움이 될 줄이야. 제목을 읽을 줄 안다고 내용을 아는 것은 아니긴 하지만 어떤 내용을 찾으면 되는지는 알 수 있는거니까.


언급된 독일어 책의 제목들에 분광선(Spektrallinien)이란 단어가 쏟아지는 걸로 봐서는 양자역학이 화학에 빚진게 많아 보인다. 하긴 (말도 안 되는) 보어 원자모형이 받아들여진 가장 큰 이유가 발머선을 기가 막히게 잘 설명해서였다고 하니.

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TAG 물리학

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  1. 말로 표현할수 없슴니다  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    질문이 있습니다!
    양자역학이 흥미로워 물리학을 해보려는 고 1입니다만
    어찌해야하는지 조언을 좀 해주실수 있을까요?

    2014.03.07 21:10
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2014.03.08 22:43 신고  댓글주소  수정/삭제

      고1 수준에서는 추천할 수 있는 것이 교양서적 정도인데 이런 걸 원하시는 것 같지는 않고, 또 양자이론 자체가 약팔기 좋은(...) 학문이라 전문가가 쓰더라도 곧이 곧대로 볼 수 없는 점도 많아서(단순히 100명의 물리학자가 있다면 100개의 해석이 존재한다고 해도 큰 문제는 없을겁니다) 제대로 이해해보겠다 한다면 직접 공부하는 수 밖에는 없어요. 그리고 양자이론을 공부하겠다고 한다면 그 바탕이 되는 이론에 대해서도 어느 정도는 이해하고 있어야 하고요. 결론적으로 말씀드리자면 진짜 제대로 해보고 싶으시다면 물리학과로 오세요(...)
      요즘은 교양서적쪽을 거의 안 읽어서 추천드리기 난감한데, 우선은 파인만 강의록을 번역한 책 중 QED에 대한 책이 있어요. <일반인을 위한 파인만의 QED 강의>로 번역되었는데 여기에서 출발하는 편이 가장 무난하다고 생각합니다.
      조금 더 관심이 생기신다면 (번역이 어렵게 되어있어서 추천하기에 망설여지지만) 하이젠베르크의 <부분과 전체>도 읽어볼만 합니다.
      개인적으로는 재미있게 읽었었지만 브라이언 그린의 책은 보통 초끈이론을 다루기 때문에 추천하고 싶지는 않네요. 양자이론에 관심을 가지신다면 약간 다른 내용이라서 제끼는 편이 낫습니다.

    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2014.03.08 22:53 신고  댓글주소  수정/삭제

      "앞으로 물리학을 공부하려면 어떻게 해야 하는가"라는 질문이시라면, 제가 답할 수 있는 질문이 아닙니다. 저도 어쨌든 그 길 위를 헤매고 있는 한 사람이라서요(...)
      다만 1) 수학에 대한 흥미를 잃지 말 것, 그리고 2) 독립적으로 재해석하기를 두려워하지 말 것 정도는 말할 수 있을 것 같네요. 수학에 대한 흥미를 유지하는 법이라면 역시 재미있는 문제와 계속 마주하기 이상의 좋은 방법은 없겠지요. 테렌즈 타오의 <경시대회 문제, 어떻게 풀까>를 시도해보시는 것이 좋겠다는 생각이 듭니다. 독립적으로 재해석하기는 딱히 가이드라인을 제시하기 힘드네요.
      그리고 마지막, 계속되는 노력과 꽤 단단한 멘탈이 필요할 겁니다. 이건 세상 만사에 해당하는 내용이기는 하지만요.

오늘 퓨리에 급수에 대해 생각하다가 특정 구간에 대해서만 급수전개를 하되 '그 구간이 계속 움직인다면 어떨까?'란 생각을 떠올렸다. 조금만 계산을 하면 유도할 수 있으니 누군가는 했겠지 하고 찾아봤는데 의외로 이 생각을 하는 사람이 별로 없는 모양이다. 하긴 이렇게 연속적으로 들어오는 신호를 변환할 때는 라플라스 변환을 쓰는 것이 일반적이긴 하다. 찾은 관련 내용은 특허 하나와 논문 두 개. 특허는 73년이고, 논문은 99년과 01년에 나온 상당히 최근의 내용.


http://www.google.com/patents/US3778606

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0165168498002096

http://proceedings.spiedigitallibrary.org/proceeding.aspx?articleid=913845




위의 내용은 이산퓨리에변환(Discrete Fourier Transform)에 해당하는 내용이라 연속적인 경우에 대해서는 다루지는 않고 있다. 연속적인 경우를 다루기 위해 다음과 같은 '샘플링 구간을 한정지은 함수'를 정의하자.


\text{For a function }f\text{ defined on the real line, define} \\\text{the restriction (or the sample) of }f\text{ as;} \\\\f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \\f_{\tau,T}:[0,\tau ]\to\mathbb{R} \\f_{\tau,T}(x)=f(x+T) \\\\\tau\text{ gives the length of the sample, and }T\text{ gives the} \\\text{starting point of the sample.}


그리고 다들 대학 2학년때 지옥을 맛보는 공학수학 시간에 하는 것처럼 신나게 퓨리에 급수를 구한다. 따로 유도과정은 안 적겠다. 그런건 위키백과에도 잘 나오니까.


\text{The Fourier series of }f_{\tau,T}\text{ is given as follows:} \\\\f_{\tau,T}(x)=a_0+\sum_n \left[a_n\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)+b_n\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)\right] \\\\a_0(\tau,T)=\frac1\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)dx \\a_n(\tau,T)=\frac2\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\b_n(\tau,T)=\frac2\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx


이제 할 일은 간단하다. 구간이 계속 움직이는 경우(T가 계속 변하는 경우) 각 급수 성분은 어떻게 변하게 될까? 편미분을 쓰자.


\text{To update the series for continuously changing }T\text{,} \\\text{just calculate the derivatives with respect to }T: \\\\\frac{\partial}{\partial T}a_0(\tau,T)=\frac1\tau \frac{\partial}{\partial T}\int_0^\tau f_{\tau,T}(x)dx \\=\frac1\tau \frac{\partial}{\partial T}\int_T^{T+\tau} f(x)dx=\frac1\tau\left[f(T+\tau)-f(T) \right ]



\\\frac{\partial}{\partial T}a_n(\tau,T)=\frac2\tau \frac{\partial}{\partial T}\int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=\frac2\tau \frac{\partial}{\partial T}\int_0^\tau f(x+T)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=\frac2\tau \int_0^\tau f'(x+T)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=\frac2\tau \left[ \left f(x+T)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)\right|_0^\tau -\int_0^\tau f(x+T)\left[\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)\right]' dx \right] \\=\frac2\tau \left[ f(T+\tau)-f(T)+\frac{2n\pi}{\tau}\int_0^\tau f(x+T)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \right] \\\\=\frac2\tau \left[ f(T+\tau)-f(T)\right]+\frac{2n\pi}{\tau}b_n



\\\frac{\partial}{\partial T}b_n(\tau,T)=\frac2\tau \frac{\partial}{\partial T}\int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=\frac2\tau \frac{\partial}{\partial T}\int_0^\tau f(x+T)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=\frac2\tau \int_0^\tau f'(x+T)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=\frac2\tau \left[ \left f(x+T)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)\right|_0^\tau -\int_0^\tau f(x+T)\left[\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)\right]' dx \right] \\=\frac2\tau \left[-\frac{2n\pi}{\tau}\int_0^\tau f(x+T)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \right] \\\\=-\frac{2n\pi}{\tau}a_n


만약 주기가 그대로 맞아 떨어진다면 예상하는 것과 같이 단순히 위상만 변하는 식을 얻게 된다.


\text{If }f(x+\tau)=f(x)\text{ for }\forall x\text{, the above equations} \\\text{are simplified and shows the phase dependence of Fourier series.} \\\\\frac{\partial}{\partial T}a_n(\tau,T)=\frac{2n\pi}{\tau}b_n \\\frac{\partial}{\partial T}b_n(\tau,T)=-\frac{2n\pi}{\tau}a_n \\\\\therefore a_n(\tau,T)=A\sin(\frac{2n\pi}{\tau}T +\delta) \\b_n(\tau,T)=A\cos(\frac{2n\pi}{\tau}T +\delta)


여기까지는 샘플링 구간을 움직일 때 해당하는 내용. 그렇다면 샘플링 구간을 확장시킬 때 새로운 정보를 어떻게 반영해야 할까? 이건 샘플링 구간의 길이에 대해 편미분하면 된다.


\text{To update the series for newly obtained information at} \\T+\tau\text{, just calculate the derivatives with respect to }\tau: \\\\\frac{\partial}{\partial\tau}a_0(\tau,T)=\frac{\partial}{\partial\tau}\left[\frac1\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)dx\right] \\=-\frac1{\tau^2} \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)dx+\frac1\tau \frac{\partial}{\partial\tau}\int_T^{T+\tau} f(x)dx \\=\frac1\tau\left[f(T+\tau)-a_0\right]



\\\frac{\partial}{\partial\tau}a_n(\tau,T)=\frac{\partial}{\partial\tau}\left[\frac2\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx\right] \\=-\frac2{\tau^2} \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx+\frac2\tau \frac{\partial}{\partial\tau}\left[\int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx\right] \\=-\frac{a_n}{\tau}+\frac2\tau \frac{\partial}{\partial\tau}\int_0^\tau f(x+T)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=-\frac{a_n}{\tau}+\frac2\tau \left f(x+T)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)\right|_{x=\tau}+\frac2\tau \int_0^\tau f(x+T)\frac{\partial}{\partial\tau}\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=-\frac{a_n}{\tau}+\frac{2f(T+\tau)}\tau+\frac{2n\pi}{\tau^2}\frac2\tau\int_0^\tau f(x+T)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=\frac1\tau\left[ 2f(T+\tau)-a_n+\frac{2n\pi}\tau b_n\right ]



\\\frac{\partial}{\partial\tau}b_n(\tau,T)=\frac{\partial}{\partial\tau}\left[\frac2\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx\right] \\=-\frac2{\tau^2} \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx+\frac2\tau \frac{\partial}{\partial\tau}\left[\int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx\right] \\=-\frac{b_n}{\tau}+\frac2\tau \frac{\partial}{\partial\tau}\int_0^\tau f(x+T)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=-\frac{b_n}{\tau}+\frac2\tau \left f(x+T)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)\right|_{x=\tau}+\frac2\tau \int_0^\tau f(x+T)\frac{\partial}{\partial\tau}\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=-\frac{a_n}{\tau}-\frac{2n\pi}{\tau^2}\frac2\tau\int_0^\tau f(x+T)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\=-\frac1\tau\left[b_n+\frac{2n\pi}\tau a_n\right ]


정리해보면 다음과 같은 관계식을 얻는다.


\text{For a function }f\text{ defined on the real line, its sample} \\f_{\tau,T}\text{ - which has }\tau\text{ as the length and }T\text{ as the starting point - } \\\text{has the following properties.} \\\\f_{\tau,T}(x)=f(x+T) \\f_{\tau,T}(x)=a_0+\sum_n \left[a_n\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)+b_n\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)\right]



\\a_0(\tau,T)=\frac1\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)dx \\a_n(\tau,T)=\frac2\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\cos(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx \\b_n(\tau,T)=\frac2\tau \int_0^\tau f_{\tau,T}(x)\sin(\frac{2n\pi}{\tau}x)dx



\\\frac{\partial}{\partial T}a_0(\tau,T)=\frac1\tau\left[f(T+\tau)-f(T) \right ] \\\frac{\partial}{\partial T}a_n(\tau,T)=\frac2\tau \left[ f(T+\tau)-f(T)\right]+\frac{2n\pi}{\tau}b_n \\\frac{\partial}{\partial T}b_n(\tau,T)=-\frac{2n\pi}{\tau}a_n



\\\frac{\partial}{\partial\tau}a_0(\tau,T)=\frac1\tau\left[f(T+\tau)-a_0\right] \\\frac{\partial}{\partial\tau}a_n(\tau,T)=\frac1\tau\left[ 2f(T+\tau)-a_n+\frac{2n\pi}\tau b_n\right ] \\\frac{\partial}{\partial\tau}b_n(\tau,T)=-\frac1\tau\left[b_n+\frac{2n\pi}\tau a_n\right ]





쓸만한 곳이 있는지는 모르겠는데 일단 실시간 퓨리에 변환에 유리하고(FFT를 한 샘플 버리고 한 샘플 채취할 때마다 행하는 것보다 위의 방법으로 업데이트 하는 방식이 더 빠르다. 전자는 N logN인데 이 경우엔 N 정도-위에서 언급한 논문에도 나와 있다.), 또 한 가지 쓸모를 생각해 본다면 FFT에서 생기는 샘플 갯수에 대한 제한 문제를 비껴나갈 방법이 될 지도 모르겠다는 것. FFT를 쓰려면 데이터의 개수가 2^N의 꼴로 나와야 한다고 알고 있는데 거기에서 더 많을 경우 추가 데이터를 날려버리거나 더 적을 경우 0으로 추가 데이터를 만들어 FFT를 실행한다고 알고 있다. 위 관계식은 연속함수에 대해 구한 것이긴 하지만 이산화하면 2^N개의 데이터로 FFT를 한 다음에 데이터를 추가해주거나 빼주는 방식으로 원래 값에 맞도록 보정하는 것이 가능해진다. DFT의 시간이 N^2이라고 알고 있는데 정확한 값을 N logN에서 N^2 사이의 값으로 구하는 것도 가능하다는 것.


샘플 구간의 중심을 0으로 두고 구간의 길이를 점차 늘이는 문제로도 확장해볼 생각이 있다. 이건 양자장론에서 cut-off 문제와도 관련이 있을 것 같아서 풀어보려고 생각중인 문제.


그런데 왜 이 간단한 걸 찾아도 안 보이지... 미분만 잘 하면 되잖아...


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통계역학 시험결과가 나왔는데 광자의 화학포텐셜(chemical potential)이 0이라고 가정했다고 점수가 까인 것 때문에 까칠모드로 전환해 써 보는 글. 완벽히 고전적으로 할 경우 어디까지 갈 수 있나 해 봅시다.




1. 먼저 진공이 차 있는 실린더를 가정합니다. 실린더 안은 전자기파로만 채워지고 양자역학적으로 말하면 photon gas에 해당하는 radiation continuum으로 채워진다고 가정하겠습니다. '광자'라는 개념 자체가 없으므로 광자의 수 dN은 등장하지 않습니다.


2. 실린더 안의 radiation continuum을 설명할 때 쓸 변수를 T와 V로 고정하고 이것으로 충분하다고 가정합니다.


3. 여기까지의 가정에서 다음 두 정리를 얻습니다.


3.1. 에너지 U는 extensive variable입니다. 따라서 같은 extensive variable인 V에 대해 선형적으로만 영향을 받을 수 있습니다. 그러므로 U/V=u(T)라는 결론을 얻습니다. 엔트로피 S 또한 extensive variable이기 때문에 부피에 선형적으로 비례하고 S/V=s(T)라는 결론을 얻습니다.


3.2. 압력(있다고 가정할 경우) p는 intensive variable입니다. 따라서 V와는 무관한 변수여야 하며, p=p(T)를 얻습니다.


4. 상태방정식 u=3p를 얻어야 하는데, 이 부분이 제일 까다로와 보이네요. 일단


4.1. 상대론적인 물질은 E/P=c라는 방정식을 만족합니다. 여기서 P는 운동량입니다.


4.2. 임의의 방향으로 분포된 P로부터 압력을 구하면 p = Pc/3V를 얻습니다.


dP_\text{avr}=\frac{(dA \times cdt\cos\theta)\times(P/V\times\cos\theta)\times(\sin\theta d\phi d\theta)}{2\pi} \\\\\text{average momentum passing through an area element}\\=\frac{(\text{swept volume})\times(\text{momentum component per volume})\times(\text{solid angle})}{\text{solid angle of half-sphere}}


통과한 평균 운동량 = (면적 * 통과한 수직길이 = 통과한 부피) * [(단위부피당 존재하는 운동량의 크기) * 면에 수직한 성분을 위한 코사인] * (고체각 성분) / (반구-한쪽 방향만 생각하므로-의 고체각)


넘어가면서 phi에 대한 부분은 적분으로 날려버립니다.


dp=\frac{dP_\text{avr}}{dA\times dt}=\frac{Pc}{V}\cos^2\theta\,d(\cos\theta) \\\\\text{contribution to pressure}\\=\frac{\text{momentum flux contribution}}{\text{area element}\times\text{time elapsed}}\\\\0\leq\theta\leq\pi/2


압력을 구하기 위해 적분하면 p = Pc/3V를 얻네요.


4.3. 에너지를 집어넣습니다. P=E/c=U/c에서 p=U/3V=u/3을 얻습니다.


5. 위의 과정을 통해 U/V=u(T)와 p=u(T)/3을 얻습니다. 독립적인 변수는 T와 V 뿐입니다. 따라서 열역학 제 1법칙을 다음과 같이 정리합니다.


dU=TdS-pdV=T\left[ {\left. \frac{\partial S}{\partial T}\right|}_V dT +{\left. \frac{\partial S}{\partial V}\right|}_T dV \right]-pdV \\\therefore dU=T{\left.\frac{\partial S}{\partial T}\right|}_VdT+\left[T{\left. \frac{\partial S}{\partial V}\right|}_T-p \right]dV


5.1. dT=0으로 두면 s = 4u/3T을 얻습니다.


{\left. \frac{\partial U}{\partial V}\right|}_T=u(T)=T{\left. \frac{\partial S}{\partial V}\right|}_T-p=Ts(T)-p(T) \\\therefore u+p=\frac43u=Ts \\\therefore s=\frac{4u}{3T}=\frac{4p}{T}


6. 비열을 구해 봅시다. 정적비열은 다음과 같이 구합니다.


c_V=\frac1V {\left. \frac{\partial U}{\partial T}\right|}_V=\frac TV{\left. \frac{\partial S}{\partial T}\right|}_V=\frac{4T}{3V}{\left. \frac{\partial (U/T)}{\partial T}\right|}_V=\frac{4T}{3V}\left[{\left. \frac1T\frac{\partial U}{\partial T}\right|}_V-\frac{U}{T^2}\right] \\\therefore c_V=\frac43 c_V - \frac{4U}{3VT} \\\\c_V=\frac{4u}{T}=3s=\frac{du}{dT}


6.1. 정압비열은 구할 수 없습니다. 압력이 온도에 대한 함수로 나오기 때문에 압력을 고정한 채로 온도를 변화시킬 수 없기 때문이죠.


7. 마지막 결과를 조금 꼬아 봅시다. 그러면 고전적으로 스테판-볼츠만 법칙(Stefan-Boltzmann law)을 얻을 수 있습니다.


c_V=\frac{du}{dT}=3s=\frac{4u}{T} \\\\\therefore \frac{du}{u}=\frac{4dT}{T} \\\\\ln u=4\ln T +C \Leftrightarrow u=AT^4




스테판-볼츠만 상수는 구할 수 없는데, 그 이유는 스테판-볼츠만 상수에는 플랑크 상수가 들어가기 때문이며 플랑크 상수는 양자역학을 도입해야만 등장할 수 있기 때문입니다. 4번까지가 문제가 되고 5번부터는 위키백과에도 나오는 별로 특별할 것은 없는 문제.(신나게 유도해놓고 혹시 있나 해서 찾아봤더니 있었죠...=_=;;)


상대론적인 에너지와 운동량 관계식을 제외하고는 전부 고전열역학적 취급입니다. 양자 가설은 코빼기도 안 비치고, 굳이 태클을 건다면 4.2에서 kinetic theory가 필요하다고 볼 수 있겠네요.

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Feynman Lectures on Computation을 읽는 중. 가역계산(Reversible computation)에 대한 내용이 나오길레 연습문제 삼아 조금 풀어보았다. N(Not), CN(Control-Not), CCN(Control-Control-Not) 게이트에 대한 내용.


편의상 진리표의 숫자를 이진수로 읽으면 가역계산의 경우 permutation이 된다는 것을 알 수 있다.


CN gate

CN

0->0 (00->00)

1->1 (01->01)

2->3 (10->11)

3->2 (11->10)


NC

0->0

1->3

2->2

3->1


이렇게 쓸 경우의 장점(?)은 행렬(matrix)로 쓸 수 있다는 것. 따라서 교환회로(exchange circuit)의 경우


exchange = CNxNCxCN

0->0

1->2

2->1

3->3


로 읽을 수 있다. 다음은 CCN 게이트의 permutation에 해당하는 값.


CCN gate

CCN

0->0

1->1

2->2

3->3

4->4

5->5

6->7

7->6


CNC

0->0

1->1

2->2

3->3

4->4

5->7

6->6

7->5


NCC

0->0

1->1

2->2

3->7

4->4

5->5

6->6

7->3


전부 계산하느라 헤맸는데 생각해보니 행렬로 쓸 거면 좌표변환에 해당하는 orthogonal matrix를 양쪽에 곱하면 되는거였다... OTL 다음 문제는 1-bit full adder를 reversible하게 구성하라는 문제. 진리표는 계속 permutation으로 쓰도록 하자.


1-bit full adder (A+B=S, C carry)

Z redundant(0,4)

CAB->ZCS

0->Z0

1->Z1

2->Z1

3->Z2

4->Z1

5->Z2

6->Z2

7->Z3


THIS CANNOT WORK!


보면 Z가 취할 수 있는 값이 두 가지밖에 없는데 Z1과 Z2가 각각 세 번 나오므로 3in-3out 게이트로는 가역연산을 구할 수 없다는 것을 알 수 있다. 그러므로 4in-4out 게이트를 구성해야 한다. 이건 Feynman Lectures on Computation에 언급된 내용. 다양하게 구성할 수 있겠지만 한가지 예시는 다음과 같다.


1-bit full adder (A+B=S, C carry) - hex

X redundant(0,8)

Y, Z redundant(0,4,8,C)

XCAB->YZCS

0->YZ0=0

1->YZ1=1

2->YZ1=4+1=5

3->YZ2=2

4->YZ1=8+1=9

5->YZ2=4+2=6

6->YZ2=8+2=A

7->YZ3=3

8->8

9->4

A->7

B->B

C->C

D->D

E->E

F->F


16진법을 이용해서 permutation을 구성해봤다. 보면 알겠지만 중복될 경우 0, 4, 8 순서대로 더해줘 다른 값이 나오도록 조정해주었다. 같은 색은 순환하는 성분들을 표시해준 것.


permutation이기 때문에 얻는 특이한(?) 성질은 이 연산을 반복하면 언젠가는 원래 값으로 돌아온다는 사실이다. 어쨌든 permutation group은 부분군으로 cyclic group을 형성하기 때문.


XCAB=F(YZCS) -> F^6=I , i.e. x=F(F(F(F(F(F(x))))))


아직까지는 초반부라 재미있는데, 뒤쪽에 가서도 흥미를 잃지 않았으면 한다.




rev. 01 Nov 2013

바로 다음에 나오는 Fredkin 게이트를 이용해 모든 논리연산 구현하기.


Fredkin Gate(Controlled exchange gate)

CAB

0->0

1->1

2->2

3->3

4->4

5->6

6->5

7->7


As AND gate: input X0Y->X(X∧Y)(¬X∧Y)

As NOT/Fanout gate: input X10->X(¬X)X

=>Construct NAND => Everything can be built out of NAND gates


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역시 하라는 일은 안 하고 스트레스나 풀 겸 <중간고사: 리로디드><무엇을 상상하든 그 이상을 낼 것이다!!>와 같은 이상한 카피문구를 박은 영화 패러디 포스터나 그려볼까 하고 생각하던 중에 다음과 같은 문제를 생각해내었습니다.(영화 포스터에는 시험지에 페르마의 마지막 정리를 낼 생각이었거든요. '주)여백은 충분하다'를 포함하고(...))


"역행렬이 있는 모든 성분이 자연수(0을 포함)인 nxn행렬 A, B, C에 대해


A^n+B^n=C^n


을 만족하는 경우는 없다.(n>2)"


결론부터 말하자면 틀렸습니다. 왜냐하면 다음 반례가 있거든요.


A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 3 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 0 &1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 4 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 0 &1 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 5 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0& 0 &1 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \end{pmatrix}


맞지 않을까 기대하고(더군다나 처음엔 commutator [A,B]=[B,C]=[C,A]=0인 경우에는 맞다는 헛소리를 했습니다) 페이스북 타임라인에 올렸다가 교수님의 지적을 받고 깨갱(...) 다만 교수님이 찾아내신 반례는 다른 반례인 듯 합니다. 교환자가 0일 조건에서도 반례가 있다는 말을 하셨는데, 2차단위행렬을 I로, 파울리 행렬을 그냥 x, y, z로 쓸 때 I+(x-iy)/2를 고려해보라고 하셨으니까요. 구체적으로는 다음 행렬입니다.


\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

이건 아직 미스테리. 4x4 행렬에 embed해서 쓰는건가 싶기도 하고...


일단 제가 생각했던 교환자가 모두 0인 경우 성립하는 이유는 한번에 대각화가 된다고 가정했기 때문인데, 대각화가 되면 대각선의 각 성분인 고유값에 대해 페르마의 마지막 정리를 증명하는 것이 되며, 자연수로만 이루어진 행렬은 고유값이 양의 유리수가 나와야 하고, 페르마의 마지막 정리는 자연수를 대상으로 한 것이지만 양의 유리수를 대상으로 확장하는 것은 일도 아니니까 "될 것이다!!"라고 결론을 내렸습니다. 그런데 정수만 있는 대각화가 가능한 행렬에서 고유값이 음수가 나올 수 있네요? 밑줄 친 부분이 틀렸습니다...=_=;;


\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

좋은 반례. 고유값은 3과 -1입니다. 역시 잠을 덜 잔 상태에서는 증명을 하면 안 됩니다.


하지만 여기서 멈출 수는 없는 법. 그러면 문제를 또 꼬아봅시다.


"역행렬이 있는 모든 성분이 자연수(0을 포함)인 대칭(symmetric) nxn행렬 A, B, C에 대해


A^n+B^n=C^n


을 만족하는 경우는 없을 조건은 무엇인가?"


대칭이라는 조건을 포함한 이유는 Schur's Theorem(혹은 Schur decomposition이라고 하는 모양입니다)을 써서 쉽게 증명할 수 있지 않을까 싶었기 때문입니다. 하지만 진짜로 알고 싶은(?) 문제는 다음 문제.


"역행렬이 있는 모든 성분이 격자 복소수(0을 포함)인 에르미트(Hermitian) mxm행렬 A, B, C에 대해


A^n+B^n=C^n


을 만족하는 경우는 없을 조건은 무엇인가?"

격자 복소수: z=a+bi라고 할 때, a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}인 복소수 z를 말한다. 


물리량은 보통 에르미트 행렬로 표현되므로 양자화가 어디까지 가능한가에 대한 힌트가 될 수도 있지 않을까, 뭐 그렇게 생각하는 중입니다. 어쩌면 이차식(quadratic form)만 쓰는 이유에 대한 힌트를 제공해줄 수 있을지도 모르고요.(거리를 보통 피타고라스 정리를 이용하거나 피타고라스 정리를 확장한 리만기하학을 이용해 정의하곤 하지만 이차식이 아닌 삼차나 그 이상의 다항식으로 거리를 정의하는 방법도 있다고 합니다.)

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Words from Feynman

Daily lives 2013.10.25 12:34

할 일이 많지만(아직 SOP 한 자도 못 썼다. 너 유학 생각 있는거 맞아?) 할 일이 많다고 농땡이를 안 칠 수는 없는 법. First Light(역서: 『오레오 쿠키를 먹는 사람들』)를 읽으려고 사 두었는데 서론까지만 읽고 다른 책을 뒤적거리는 중이다. 카네만의 Thinking, Fast and Slow(역서: 『생각에 관한 생각』)는 읽기 시작한 지 한 일 년 정도 된 것 같은데 이것도 일시정지 상태. 두 책 말고도 사놓고 표지조차 열어보지 않은 책이 넘쳐나는데 매우 큰 문제(그래놓고서 책 욕심은 아직도 남아서 새 책에 눈이 돌아가곤 한다)이다.


현재는 파인만 계산이론 강의록을 읽는 중. 원래 이산수학을 배워보고 싶다는 생각이 있었기도 하고, 믿고 보는(?) 파인만 강의록인데 안 읽을 수는 없지 않은가 하는 마음에 인터넷을 찾아봤다. 비싸더라(...) 그래서 중앙도서관의 힘을 빌렸다. 책을 빌리기보다는 사서 보는 쪽인데... 쩝. 아직은 초반부인데 인상적인 글이 있어서 발췌해 봤다.


Now there are two ways in which you can increase your understanding of these issues. One way is to remember the general ideas and then go home and try to figure out what commands you need and make sure you don't leave one out. Make the set shorter or longer for convenience and try to understand the tradeoffs by trying to do problems with your choice. This is the way I would do it because I have that kind of personality! It's the way I study - to understand something by trying to work it out or, in other words, to understand something by creating it. Not creating it one hundred percent, of course; but taking a hint as to which direction to go but not remembering the details. These you work out for yourself.


The other way, which is also valuable, is to read carefully how someone else did it. I find the first method best for me, once I have understood the basic idea. If I get stuck I look at a book that tells me how someone else did it. I turn the pages and then I say "Oh, I forgot that bit", then close the book and carry on. Finally, after you've figured out how to do it you read how they did it and find out how dumb your solution is and how much more clever and efficient a framework in which to think about the problem. When I start straight off to read someone else's solution I find it boring and uninteresting, with no way of putting the whole picture together. At least, that's the way it works for me!


-Feynman Lectures on Computation, p. 15


번역을 하려면 할 수는 있겠지만 시간이 없는 관계로(쿨럭;;) 생략하기로 한다. 요약하자면 '좀 더 깊게 이해하려면 1. 기본 아이디어만 갖고 스스로 이론 전반을 재구축하는 것과 2. 다른 사람이 어떻게 이론 전반을 구축했는지 잘 살펴보는 것 두 가지가 있는데, 나는 첫 번째 선택지가 더 잘 맞더라'. 파인만이 한 논문을 보면 그 논문의 기본 아이디어만 보고 논문의 나머지 내용을 전부 스스로 유도해내곤 했다는 말이 있던데, 그 일면인듯 싶다.

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글쓰기 과제는 하기 싫고 그래도 무언가는 써야겠고 해서 개드립만 날립니다.






비기너즈 럭(beginner's luck-초심자의 행운): 그 날 첫 시험문제/실험/코딩 등이 성공적으로 끝나서 나머지 시험문제/실험/코딩 등도 손쉽게 끝낼 수 있다고 믿는 것. [대분류: 성급한 일반화]


롱테일 법칙(long-tail): 과목의 난이도가 높아질수록 그 과목을 이해하는 사람이 급격히 줄어들지만 계속 이해하는 수강생이 남아있는 현상. [대분류: 2종 오류]


가언 명령(hypothetical imperative): 수업시간에 다루었지만 시험범위가 아니면 시험공부에 포함하지 않는 현상. [대분류: 2종 오류]


블랙 스완(black swan): 전공 수업에서 구석에 찌그러져 있던 타과생/복학생이 탑을 가져가는 현상. [대분류: 2종 오류]


미란다 원칙(Miranda rights): 1. 피험자는 모르는 문제에 대해 묵비권을 행사할 수 있다. 2. 피험자의 모든 답안은 채점에 불리하게 작용할 수 있다. 3. 피험자는 정답지를 요구할 권리가 있다. [대분류: 1종 오류]


무죄 추정의 원칙(Presumption of innocence): 제출된 답안지는 채점이 시작되기 전 까지는 영점으로 추정한다. [대분류: 1종 오류]


팍타 순트 세르반다(pacta sunt servanda): 시험범위라고 알려주었던 슬라이드의 가장 안 중요한 부분에서 시험문제가 나오는 현상. [대분류: 1종 오류]


중심극한정리(central limit theorem): 과제 제출 기한이 길어질수록 제출된 과제의 질은 비슷비슷해지는 현상. [대분류: 멀티캐리어]


보이지 않는 손(invisible hand): 분명히 과제를 같이 한 사람은 하나인데 제출된 과제가 전부 비슷한 현상. [대분류: 멀티캐리어]


데우스 엑스 마키나(deus ex machina): 교수님과 외계어로 대화하다 재수강생으로 오인받은 초수강생을 친구들이 부르는 별명. [대분류: 멀티캐리어]


내쉬 균형(Nash equilibrium): 팀 과제에서 일을 도맡는 사람이 다른 팀 과제에서도 결국 도맡는 현상. [대분류: 멀티캐리어]


위버맨쉬(Übermensch-초인): 21학점을 전공으로 듣는 사람. [대분류: 마이티]


알파와 오메가(alpha and omega): 수강생 전원의 이름과 성적을 기억하시는 교수님. [대분류: 마이티]


에너지 보존의 법칙(conservation of energy): 밥을 굶은 만큼의 칼로리를 야식으로 섭취하는 현상. [대분류: 요요]


질량 보존의 법칙(conservation of mass): 어제 미룬 야식을 오늘 먹는 행위. [대분류: 요요]


영겁회귀(Ewige Wiederkunft): 냉장고 앞을 계속 서성이는 행위. [대분류: 요요]

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  1. lunefey  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    와 빵터졌다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

    2013.10.28 15:31

페이스북의 타임라인에 계신 많은 물리 전공자 분들께 질문을 날려보았습니다. 답변을 기다리는 중...


===========================================


음... 제가 뭔가 놓친 것 같은데 제 타임라인의 물리에 목숨 건 여러분들의 도움을 요청합니다....


주제는 '특정 파장의 레이저로 물질의 온도를 몇 도 까지 올릴 수 있는가'. 구글 스칼라로 "laser heating limit"을 검색해봤는데 관련있어 보이는 검색결과는 안 잡히네요(문헌조사가 두뇌 가동 알고리즘에 누락되어 있다는 뼈아픈 지적을 계속 받고 있어서 트레이닝중...).


왜 이런 문제를 생각하게 되었는가는 생략하고(전혀..까지는 아니지만 다른 문제에서 파생된(?) 문제라서요) 단순하게 '레이저의 세기가 물질의 복사에너지와 일치하는 시점에서 온도의 상승이 멈춘다'고 할 경우 다음과 같은 사고실험을 해 볼 수 있지 않느냐는 거죠.


===========================================


아이디어는 다음과 같습니다. 아무리 낮은 온도의 복사체라도 얼마든지 높은 에너지의 광자를 방출할 수 있습니다. 그러면 온도 T를 가진 한 복사체를 포물면거울의 초점에 두고, 반사되어 평면파로 바뀐 복사광을 회절 격자에 쬐어 스펙트럼으로 나눕니다. 그 중 특정 파장에 해당되는 빛만 취하고 나머지는 거울을 이용해 되돌려보냅니다. 유사 레이저를 만드는 거죠. 좀 더 그럴듯하게 하고 싶으면 편광판을 이용하는 방법도 있고요. 어쨌든 이것을 '온도 T의 유사 레이저 발진기'라고 부릅시다.


'온도 T의 유사 레이저 발진기'를 병렬로 연결합니다. 그러면 나오는 유사 레이저의 세기를 얼마든지 올릴 수 있겠죠(쓰다 보니 자신없어진 부분). 그러면 '온도 T의 유사 레이저 발진기'를 수십만개 연결해서 물체A를 가열하기 시작합니다. 물체A의 에너지는 계속 오르다가 어느 시점에서 평형을 이룰 텐데, 만약 이 평형을 이루는 온도가 레이저의 세기에만 의존한다면 충분히 많은 '온도 T의 유사 레이저 발진기'를 병렬로 연결하는 것으로 물체A의 온도를 T 이상으로 끌어올릴 수 있다는 말이 됩니다. 수많은 '온도 T의 유사 레이저 발진기'로 물체A를 T1(T1>T)으로 가열하는 거죠.


여기서 잠깐. 열역학 2 법칙에 따르면 더 낮은 온도에서 더 높은 온도로 열을 전달할 수는 없습니다(GRE Physics 9277인가에 나왔던 문제라 기억하고 있습니다. 틀렸거든요(...)).


...어라?


============================================


일단 보이는 '현실적'인 불가능한 부분은 과연 '완벽한 반사체'가 존재하냐는 것인데요, 빛을 반사하는 과정에서 반사체의 온도가 상승할 가능성을 무시할 수 있느냐는 질문이 되겠네요.


두 번째로 이렇게 유사 레이저를 제작한다고 해도 그 유사 레이저를 병렬로 연결하면 과연 위상이 잘 맞아들어가서 유사 레이저의 광도가 증가할 것인가의 문제가 있습니다. 이 경우엔 레이저의 광도에 해당하는 흑체복사온도가 있다는 결론이 나올테니(유사 레이저의 세기는 흑체복사로 방출되는 복사광의 해당 파장에서의 세기 이상은 못 가질테니까요) 레이저의 광도와 온도를 직접적으로 대응시키는 방법이 생기네요. 문제 해결? 그런데 평균이 0인 정규분포를 따르는 변수를 모으면 모을수록 그 합의 분산은 증가하는데 꼭 광도가 어느 정도 이상의 값은 가지지 못할 것이라고 결론내리는 것이 너무 성급한 것은 아닌가 싶기도 합니다.


나머지 하나는 이 이상한(?) 현상을 받아들이고 다른 해석(?)을 하는 것. 물체A의 에너지를 물체A의 온도의 함수로 보고 canonical ensemble처럼 처리해서(온도 T의 reservior와 반응하는 것으로 생각하는 거죠) 평형상태 온도가 확률이 극대화가 된다는 것을 보이는 것인데(density of state를 고려해야 할 테니 잘 하면 한 계의 엔트로피 계산에도 쓸 수 있겠네요.) 신나는 계산이 기다리고 있죠...=_=;; 어떻게 계산하는가와 원하는 결과가 나올 것인가는 일단 옆으로 치워 두고...




Rev. 07Nov13


흑체복사에서 벗어나는 radiation의 분포 때문에 물질 내부의 상태는 equilibrium distribution이 아닙니다. 해당 파장의 radiation의 흡수율이 급격히 떨어지게 된다는 뜻. 이걸 고려해야 하는데, 이게 말이야 쉽지...=_=;;


더 이상 canonical distribution을 갖지 않는 상태에 대한 연구가 될 듯 합니다.

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  1. 초짜 물리학자  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    제가 학부 때부터 궁금하게 생각한 문제입니다. 광학을 깊이 공부하고 나서야
    어떻게 된 건지 감이 오더라고요. 최종 계산은 아직 안 했지만...
    열 광원에서 나오는 빛은 레이저와 다른 성질을 가지는데요. 공간적 결맞음 이라고 하는
    것이 많이 떨어지지요.spatial coherence의 번역어인데요. 이렇게 공간적 결맞음이
    떨어지는 빛은 레이저처럼 거울의 초점에서 가능한 작은 영역에 모이지 않습니다.
    훨씬 넓은 영역을 지나는데요. 특히 공간적 결맞음이 0이면 무한히 퍼지고 말지요
    Hecht 광학의 coherence 또는 결맞음 부분 하고, van cittert-zernike 정리나 Wiener-Kintchin 정리를 찾아보면 무슨 얘기인지 이해가 가실 겁니다.

    2014.08.25 19:10

'과학과 기술 글쓰기' 수업 과제. 초고 제출한지 한 서너주 되었으니 블로그에 올려 본다. 다음주까지 수정본 제출인데 수정본은 천천히 올리게 될 듯. 쓰고 나서 비평을 맡은 조원들에게 왜 이렇게 길게 쓰냐고 욕먹었다(...). 그런데 내용에 빈 틈이 없게 하려다 보니 이렇게 길어져 버렸(...) 오히려 비평 받은 다음에 내용을 추가해야겠다는 생각이 들어버려서 문제인데, 면담 가면 어떻게 고쳐야 할 지 방향이 잡히지 않을까.


설마 블로그에 올렸다고 카피처리하지는 않겠지?(김광식 교수님 이거 제 블로그입니다 =_=;;)




나무 하나 없는 황량한 벌판을 한겨울의 매서운 칼바람이 가득 채우고 있었습니다. 그리고 벌판 한 가운데 사나운 겨울바람에 맞서며 거대한 구조물을 계속 손보는 형제가 있었습니다. 가문비나무 막대를 복잡하게 얽고 그 위에 얇고 질긴 면직물을 덮어씌운 구조물에 형제는 직접 깎은 프로펠러와 체인으로 연결된 가볍지만 강력한 엔진을 얹었지요. 형제는 세세한 주의사항 모두를 꼼꼼하게 점검하였습니다. 마침내 점검이 끝났습니다. 동생은 그 구조물 안에 탔고, 엔진 시동음이 바람 사이로 퍼져나갔습니다. 구조물은 맞바람을 받으며 달려나갔습니다.


1903년, 12월 17일, 10시 35분. 노스캐롤라이나의 키티 호크. 라이트 형제는 플라이어 1호를 타고 첫 공기보다 무거운 비행(heavier-than-air)에 성공하였습니다.


비행기는 우리 일상에 많은 영향을 미치고 있습니다. 여객기와 화물기는 빠른 운송 수단으로 이 곳과 해외 사이에 가로놓인 높은 장벽을 낮추어 주는 역할을 하며, 전투기는 끔찍했던 전쟁 이후 강력한 전쟁억지의 수단으로 자리잡았습니다. 이렇게 비행기 한 번 탄 적 없는 사람이라도 비행기가 가져온 세계의 변화에 휩쓸리지 않은 사람은 없습니다. 그리고 닿을 수 없는 자유의 상징으로만 여겨졌던 하늘은 더 이상 잡을 수 없는 밤하늘의 별이 아니게 되었지요. 비록 기계의 도움을 받기는 했지만요.


비행기는 어떻게 날까요? 실제 비행기를 가지고 여러 가지 실험을 해 볼 수는 없으니 더 싸고 더 쉽게 볼 수 있는 대용품을 찾아보기로 하겠습니다. 가장 간단한 대용품은 아무래도 종이비행기겠지요. 만들어지는 재질과 크기에서 차이가 나기는 하지만, 종이비행기가 잘 날기 위해서 가져야 할 조건은 비행기가 날기 위해서 가져야 할 조건과 같습니다. 그렇다면 종이비행기가 잘 날려면 무엇이 필요할까요? 이 질문에는 모두가 공통적으로 떠올리는 한 단어가 있지요.


“추락하는 것은 날개가 있다”는 말이 있습니다. 소설 제목과 영화 제목으로도 사용된 말인데, 이 말에는 얼핏 보아서는 못 보기 쉬운 삼단논법이 숨어있지요.


가. 추락하기 위해서는 날아올라야 합니다.

나. 그리고 날아오르기 위해서는 날개가 있어야 합니다.

다. 그렇기 때문에 추락하는 것은 날개가 있습니다.


그런데 날기 위해서는 날개가 있어야만 할까요? 확실히 흔히 볼 수 있는 날짐승들을 살펴보면 모두 날개가 있습니다. 참새, 잠자리, 메뚜기, 쏙독새, 비둘기에 이르기까지(비둘기는 다시 생각해야 할지도 모르겠네요.) 모두 날개를 갖고 있지요. 날려면 날개가 있어야만 할 것 같습니다. 실제로 많은 비행 연구는 ‘어떻게 해야 효과적으로 날 수 있는 날개를 만들 수 있는가’에 초점을 맞추고 있습니다.


날개가 어떻게 날 수 있는 힘을 만들어 주는지에 대한 설명은 이미 많은 좋은 글이 나와 있으니, 여기서는 날개 자체에 대해서만 생각해보겠습니다. 날려면 날개가 있어야 하는데, 반대로 날개가 있기만 하면 날 수 있을까요? 날개가 있지만 뛰어다닐 뿐 날지는 못하는 타조와 같은 새가 있는 것을 떠올려보면 날개가 있다고 무조건 날 수 있는 것은 아닌 것 같지만, 실제로 실험해보기 전까지는 알 수 없겠지요. 그러면 다음 그림처럼 비행기를 접어봅시다.




종이비행기를 많이 접어 보신 분들은 아시겠지만, 이런 형태로 접은 비행기는 날지 못합니다. 종이비행기를 접어 본 적이 없는 분들은 이 종이를 접어 바로 실험해보시면 되겠지요(대신 다시 읽을 수 있도록 땅바닥이 더러운 곳에서 실험하는 것은 피해주세요). 분명히 날개가 있는데 왜 날지를 못할까요? 그러면 다음과 같이 종이비행기를 접어봅시다.



이렇게 접은 비행기는 자주 보셨겠지요. 실제로 날려보면 이렇게 접은 비행기는 아주 잘 날지는 않더라도 최소한 날개만 만들어주었던 그 전의 종이비행기보다는 비행기같이 행동합니다(이 종이로 실험하시는 분들은 너무 멀리 날아가지 않게 조심해주세요). 날기 위해서 날개가 그렇게 중요하다면 분명히 날개가 클수록 더 잘 날아야 합니다. 그런데 실제로는 날개의 크기가 줄어든 두 번째 종이비행기가 훨씬 잘 날지요. 이 실험에서 알 수 있는 것은, 날기 위해서 중요한 것은 날개만이 아니라는 것입니다. 여태 날기 위해서 가장 중요한 것이 날개라고 생각하고 있었는데, 이 현상은 다소 이해하기가 힘들지요.


물리학자들은 한 어려운 현상을 이해하기 위해 좀 더 잘 아는 다른 현상에 견주어보고 그 사이의 공통점을 이끌어내는 버릇이 있습니다. 이 버릇으로 전기와 자기가 하나의 힘이라는 것과, 더 나아가서는 수많은 자연현상들이 단 네 가지 힘으로 설명할 수 있다는 것을 알아내게 되었지요. 그러면 이 글에서도 물리학자들의 버릇을 따라 잠깐 동안 종이비행기와는 조금 달라 보이는, 하지만 이해하기는 더 쉬운 예시를 끌어들여 보도록 하겠습니다.


넓은 공원이나 뜰에 나가면 부메랑이나 원반던지기를 하는 사람들을 쉽게 볼 수 있습니다. 그 사람들이 원반을 던질 때, 던지는 방향과 어떤 모양을 이루도록 던지나요? 보통은 원반을 날아가는 방향과 평행하도록 맞추어 던지지 날아가는 방향과 원반의 면이 수직이 되도록 던지지는 않습니다. 왜 수직으로 던지지는 않는 것일까요? 실험해보면 평행하게 던진 원반은 잘 날지만 수직으로 던진 원반은 꽤 큰 저항이 느껴지며 평행하게 던진 원반보다 잘 날지 못한다는 사실을 알게 됩니다. 이 큰 저항이 원반이 날아가는 것을 방해합니다. 모래주머니를 차고 달리면 더 금방 지치는 것처럼, 원반도 더 큰 저항에 더 빨리 날아갈 에너지를 잃는 것이지요.


종이비행기에서도 이와 같은 일이 일어납니다. 첫 번째의 날개만 있는 종이비행기는 날릴 경우 조금 나아가다가 머리가 수직으로 들려버리는 것을 보실 수 있습니다. 원반에 비유하자면, 평행하게 던진 원반이 갑자기 수직으로 바뀌어 버리는 것이지요. 이 상태를 실속(stall)이라고 부릅니다. 실속 상태에서는 날개가 비행기가 날기 위해 필요한 힘을 충분히 만들어내지 못하고 커다란 저항만 일으키게 되며, 때문에 비행기에서는 실속이 일어나면 추락할 위험이 매우 높아집니다. 비행기 사고가 가장 일어날 확률이 높은 때가 이륙할 때와 착륙할 때라고 하는데, 그 이유는 비행기가 이착륙할 때 실속이 간신히 일어나지 않을 정도의 한계에서 비행하기 때문이지요. 한편 두 번째 비행기는 머리를 들기는 하지만 그렇게 높이 들지는 않습니다. 날아가는 도중에 자세가 흐트러질 법도 한데, 절대 실속이 일어나지는 않도록 잘만 자세를 유지합니다. 두 번째 비행기는 어떻게 자세를 유지할 수 있는 것일까요?


이번에도 물리학자들의 버릇을 따라 좀 더 이해하기 쉬운 다른 예를 보겠습니다. 약수터의 가장 인기 있는 스포츠종목 중 하나로 배드민턴이 있습니다. 배드민턴은 셔틀콕이라는 특이한 공을 사용하는데, 코르크에 거위 깃털을 고르게 꽃아 놓은 것이지요. 그런데 셔틀콕이 날아가는 것을 잘 보면 특이한 점을 하나 알 수 있습니다. 편의상 셔틀콕의 코르크 부위를 앞, 깃털이 꼽힌 부위를 뒤라고 부른다면, 셔틀콕은 항상 앞으로 날아간다는 것이지요. 두 번째 종이비행기도 한 방향으로만 나는데(실제로 충분히 강한 힘으로 종이비행기를 뒤쪽으로 날려 보면 어느새 방향을 바꾸어 바른 방향으로 날아가는 것을 볼 수 있습니다), 우연의 일치일까요?


셔틀콕과 두 번째 종이비행기는 둘 다 앞쪽은 날렵하고 뒤쪽은 부피가 크며 둔하게 생겼다는 공통점이 있습니다. 이것은 무엇을 의미할까요? 바람 부는 날에 바람에 떠밀려 본 분은 아시겠지만, 공기는 물체에게 힘을 줄 수 있습니다. 이런 힘을 압력이라고 부르는데요, 압력은 물체의 모든 표면에 동시에 작용하기 때문에 그 총합을 직접 계산하기는 매우 까다롭습니다. 그래서 물리를 하는 사람들은 이 힘이 한 점에 집중되어 있다고 가정하여 계산을 단순화한 뒤 현상을 설명하고는 하는데, 이 점을 압력중심이라고 부릅니다. 압력중심은 바람이 불어오는 방향과 그 세기, 그리고 물체의 모양에 영향을 받아 그 정확한 위치를 결정하는 것은 매우 힘들지만, 대체적으로 부피가 큰 쪽에 있다는 사실이 알려져 있습니다. 앞쪽 보다는 뒤쪽이 부피가 크고 둔하게 생긴 물체는 앞쪽보다는 뒤쪽에 압력중심이 위치한다는 것이지요.


그렇다면 압력중심은 어떻게 자세를 유지하는 역할을 할까요? 이제는 이 표현이 식상해지려고 하지만, ‘물리학자들의 버릇을 따라’, 조금 더 생각하기 쉬운 예를 떠올려 보겠습니다. 우리 주변에서 원래 자세로 돌아가려고 하는 물체 중 가장 자주 볼 수 있는 것은 진자입니다. 진자는 살짝 건드리면 한 점을 중심으로 왔다 갔다 하다가 결국에는 건드리기 전의 원래 위치로 돌아옵니다. 진자와 종이비행기의 압력중심은 어떤 관계가 있을까요? 진자는 고정된 축과 추 두 가지로 이루어져 있습니다. 축을 중심으로 회전하도록 만들어진 진자의 추에 작용하는 중력은 진자를 원래 자세로 돌아가게 합니다. 진자의 비유에서 추와 중력은 압력중심과 압력에 대응합니다. 그러면 진자의 비유에서 고정된 축에 대응하는 것은 무엇일까요?


답부터 말하자면 비행기의 질량중심이 고정된 축의 역할을 합니다. 질량중심이란 압력중심과 마찬가지로 한 점에 한 물체의 모든 질량이 있다고 가정했을 때 그 점입니다. 좀 더 많은 질량을 가진 쪽에 위치하며, 압력중심과 같이 물리학자들이 계산을 좀 더 편리하게 해 보자는 의도에서 생각해내었지요. 두 번째 종이비행기의 경우 앞 쪽을 접어주었기 때문에 더 많은 질량이 앞쪽에 몰려 질량중심이 보다 앞 쪽으로 움직이게 됩니다. 그런데 질량중심은 어떻게 축의 역할을 하는 것일까요?


물리학이라는 학문(혹자는 과학이라는 학문 체계라고도 하더군요)의 개척자인 아이작 뉴턴은 처음으로 물리학이 제 모습을 갖추기 시작한 책 『프린키피아Principia』에서 세 가지 법칙을 제시하였습니다. 그 중 첫 번째가 바로 ‘관성의 법칙’입니다. 관성의 법칙이란 쉽게 말한다면 (외부에서 힘을 주지 않는 한) 움직이던 물체는 움직이던 그대로 움직이려 하고, 멈춰있던 물체는 멈춰있는 그대로 있으려 한다는 것이지요. 우리가 한 물체를 던지고 그 물체를 따라가면서 본다면, 그 물체는 상대적으로 멈춰 있는 것처럼 보인다는 것을 의미합니다.


하지만 연필만 던져보아도 던져진 물체는 회전까지 한다는 것을 알 수 있습니다. 그러면 회전하는 던진 물체를 따라가면서 볼 때, 그 물체는 어떻게 움직이는 것처럼 보일까요? 아무래도 물체는 가만히 있고 한 축을 중심으로 계속 회전하는 것처럼 보이겠지요. 이 축이 지나는 점이 질량중심입니다. 질량중심은 한 물체의 질량 전부를 대표하는 점이어야 하기 때문에 관성의 법칙을 더욱 철저하게 지켜야 합니다. 따라서 던진 물체를 따라가면서 보는 동안 질량중심은 가만히 정지해 있는 것처럼 보여야만 합니다. 고정된 축의 역할을 하게 되는 것이지요.


다시 잘 나는 두 번째 종이비행기로 돌아와서, 날린 종이비행기를 날아가는 속도 그대로 따라가면서 본다면 종이비행기의 한 점은 정지해 있는 것처럼 보입니다. 그 점은 위에서 설명한 질량중심이 되지요. 그리고 앞서 설명했던 것처럼 압력중심은 종이비행기의 뒤쪽에 위치하게 되며, 궁극적으로는 질량중심보다도 뒤에 위치하게 됩니다. 마지막으로 종이비행기는 날아가는 동안 공기가 날아가는 방향의 반대 방향으로 힘을 줍니다. 가슴이 터질 것처럼 뛰어보신 분들이라면 앞으로 내달릴 때 바람이 얼마나 세게 더 이상 못 달리게 하려는지 경험으로 알고 계시겠지요. 전체적인 그림을 다시 한 번 살펴본다면, 흔히 보는 진자를 옆으로 뉘어놓은 구도가 된다는 것을 알 수 있습니다. 중력이 진자를 원래 자세로 되돌리려는 것처럼, 공기의 압력이 종이비행기를 원래 자세로 되돌리려고 하는 것이지요.


이 비유는 첫 번째의 못 나는 종이비행기에게도 적용할 수 있습니다. 첫 번째의 종이비행기는 날개만 접어주었기 때문에 질량중심이 종이비행기의 한 가운데에 위치합니다. 압력중심 또한 특별히 부푼 부분이 없기 때문에 종이비행기의 한 가운데에 위치하지요. 회전의 중심이 되는 점과 되돌리려는 힘을 받는 점이 일치하게 된 것인데, 이는 진자의 축을 고정하는 축에 다는 것과 같습니다. 추의 정중앙에 못을 꿰어 벽에 박아놓으면 아무리 돌려보아도 원래 자세로 돌아오려 하지 않습니다. 마찬가지의 이유로 첫 번째 종이비행기는 처음 날린 자세 그대로 돌아오려 하지 않습니다. 조금 날다가 머리를 들어 그대로 실속을 맞이하는 것이지요.


우리는 이 글에서 종이비행기처럼 주변에서 흔히 보이는 아주 사소한 물건에도 복잡한 물리법칙이 작용해서 균형을 이루도록 한다는 것을 살펴보았습니다. 그리고 갖가지 비유를 통해 이 물리법칙들은 매우 달라 보이는 원반, 셔틀콕, 진자에게도 작용한다는 것을 알게 되었지요. 이 글을 읽고 잘 나는 종이비행기를 접는 법을 익힌다고 해도 라이트 형제처럼 내가 타고 날 수 있는 비행기를 만들 수는 없겠지만, 이 글이 물리학이 어떤 학문이고 얼마나 보편적으로 작용하는지 엿보는 기회가 되었으면 합니다. 그리고 이 글을 통해 여러분이 물리학이 어렵기만 한 학문이 아니라 실제로는 매우 재미있고 아름다운 학문이라는 것을 느끼신다면 그것만큼 큰 보람은 없겠지요. 지금까지 이 글을 읽어주셔서 감사합니다.





p.s. 실제로는 공기에 의해 힘을 받기 때문에 뉴턴의 제1 법칙은 완벽하게 적용되지 아니하나, 그 힘이 상대적으로 작아 무시할 수 있기 때문에 논의를 그대로 진행하였습니다. 또한, 실제 항공기 설계에서는 압력중심보다는 공력중심(aerodynamic centre)라 부르는 점을 이용합니다. 하지만 공력중심은 과도하게 논의가 어려워진다는 문제가 있어 압력중심으로 글을 이끌어간 점 양해 부탁드립니다.

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  1. hmmm  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    ㅋㅋweistern's에서 타고타고 넘어와 여기 처음 본것도 중학생때였던거 같은데 저도 대학교 2학년생이군요
    제대하셨나보네요 잘 지내시나요?

    2013.10.13 01:17
  2. hmmm  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    ㅋㅋㅋ전 중고딩 때 꿈을 잃은거 같았는데 오랜만에 예전에 보던 블로그들 돌아보니 감회가 새롭네요
    대학와서 실망한 부분도 많았는데 제 공부는 제가 하는 거란 걸 새삼 배워갑니다

    2013.10.13 01:41
  3. 이대곤  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    네모로 종이비행기접어도 앞쪽에 무개만 있으면 잘 나는데요...

    2013.12.19 15:39
  4. BlogIcon 성현석  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    종이 비행기의 꼬리날개로 방향을 조절하수있다는데 그렇게되는 과학적 원리를 자세히 말해주실수 있나요?

    2015.11.28 16:03
    • Favicon of https://dexterstory.tistory.com BlogIcon 덱스터 2015.12.10 22:12 신고  댓글주소  수정/삭제

      이건 비행동역학을 알아야 자세히 설명할 수 있는데, 배운지 오래라 간략하게만 설명하겠습니다.

      비행기의 머리를 멀어지는 방향으로, 그러니까 시선 방향과 비행기의 방향을 일치시킨 상태에서 설명하도록 하겠습니다. 꼬리날개의 뒤쪽(방향키-rudder라 부릅니다)을 왼쪽으로 꺾으면 꼬리날개는 오른쪽으로 양력을 받습니다. 비행기가 시선 방향으로부터 왼쪽으로 꺾이는 방향으로 돌림힘을 받는다는 의미입니다. 이렇게 비행기가 왼쪽으로 돌아가게 될 경우 비행기의 주날개(일반적으로 뒤쪽으로 쳐져 있지요) 양쪽을 비교해보면 왼쪽보다는 오른쪽이 상대적으로 더 넓게 바람을 쐬는 것을 알 수 있습니다. 오른쪽 날개에 더 많은 양력이 걸리는 셈이지요. 따라서 비행기는 오른쪽이 뜨고 왼쪽이 가라앉는 모양새를 하게 됩니다. 이 상태에서는 양력이 위쪽 방향뿐만 아니라 왼쪽 방향으로도 작용하기 때문에, 비행기는 전체적으로 왼쪽으로 움직이는 힘을 받습니다.

      보통 종이비행기가 날아가는 방향을 조정할 때 보조날개(aileron)도 같이 조정하는 이유는 방향키 말고 보조날개도 비행기의 움직임에 영향을 미치기 때문입니다. 비행기가 선회하는 힘은 결국 선회하는 방향으로 양력이 만들어져서 나오는 힘이므로, 방향키만 조정하는 것보다는 보조날개까지 조정해야 더 효과적으로 선회할 수 있겠죠.

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