Dexter's story

고전역학은 크게 두 흐름으로 나누어 볼 수 있습니다. 첫째는 가장 잘 알려진 힘을 이용한 뉴턴역학이고 나머지 하나는 에너지를 주로 이용하는 해밀토니안 역학입니다. 양자역학에서는 힘이란 개념을 쓰기 어렵기 때문에 해밀토니안 역학이 특별하게 발달한 것을 양자역학으로 보아도 좋겠지요.(물론 기본이 되는 가정은 하늘땅 차이입니다만...)

보통 라그랑지안 역학을 얻는 방법은 두가지가 있습니다. 하나는 변분법이라고 해서 어느 값의 적분이 최소가 되도록 하는 방법이고, 나머지 하나는 가상일(virtual work)을 이용하는 것입니다. 가상일은 어떤 계가 평형상태에 있을 때, 각 위치좌표가 조금씩 변하더라도 힘의 합력은 0이므로 에너지가 변하지 않는다는 것을 이용하는 것이지요.

해밀토니안 역학은 라그랑지안 역학에서 얻어집니다. 보통의 경우 해밀토니안은 총에너지에 해당하기 때문에 해밀토니안을 에너지와 동등하게 취급하기도 합니다. 양자역학의 경우도 해밀토니안을 에너지와 등가로 취급하고 있지요.

이번 글에서는 간단하게 라그랑지안 식을 유도해 보려고 합니다. 첫 방법은 변분법을 이용하는 방법입니다. 먼저 해밀톤의 원리를 보아야겠네요.


식으로 쓰면

\LARGE\!\delta\int_{t_1}^{t_2}(T-U)dt=0

가 됩니다. 여기서 저 차이를 라그랑지안 L로 정의합니다. 따라서 식은 다음처럼 변하지요.

\LARGE\!\delta\int_{t_1}^{t_2}L(q_i,\dot{q_i},t)dt=0

여기서 q_i는 일반화된 좌표들을 말합니다(i로 좌표를 구분합니다). 꼭 위치좌표일 필요는 없습니다. 부피여도 되고, 각도여도 되며, 넓이여도 상관이 없습니다. 점을 위에 붙여준 것은 그 일반화된 좌표의 시간에 대한 미분량이지요. 자, 그러면 변분법이 어떻게 이루어지는건지 먼저 알아야 하지 않을까요?

운동이 실제 경로 \normalsize\!q_i(t)를 따라 일어나고 있을 때, 위의 적분은 최소가 됩니다. 먼저 임의의 경로 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)+\alpha\xi_i(t)를 생각해보도록 하겠습니다. 여기서 \normalsize\!\xi_i(t)는 실제 경로에서 벗어나는 정도를 나타내어주는 함수입니다. 하지만 t_1에서 t_2까지 이동할 때 운동을 시작하는 지점과 운동이 끝나는 지점은 같기 때문에 \normalsize\!\xi_i(t_1)=\xi_i(t_2)=0라고 놓아야겠지요. 그리고 실제 경로가 되는 \normalsize\!\alpha=0인 경우에 위의 적분은 극값을 가져야 합니다. 이를 식으로 나타내어보면 다음과 같습니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\left[\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\right]_{\alpha=0}=0

이제 알파를 적분 안에 넣어 보겠습니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac\partial{\partial\alpha}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\\=\int_{t_1}^{t_2}\sum_i\left(\frac{\partial{\bar{q_i}}}{\partial\alpha}\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}+\frac{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}{\partial\alpha}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt\\=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\left(\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}+\dot\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt

두 번째 항에서는 \normalsize\!\xi_i(t)가 시간에 대해 미분이 되어 있습니다. 보기 거슬리니까 이를 다른 놈한테 넘겨줘 봅시다. 이때는 부분적분을 이용하면 됩니다.

/\LARGE\!\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt=\left[\xi_i(t)\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt\\=-\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}dt

이건 아까 구한 \normalsize\!\xi_i(t_1)=\xi_i(t_2)=0라는 조건에서 알 수 있지요. 그러면 식은 한결 간단해집니다.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\left(\frac{\partial{L}}{\partial{\bar{q_i}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{\bar{q_i}}}}\right)dt

알파가 0이면 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)+\alpha\xi_i(t)에서 \normalsize\!\bar{q_i(t)}=q_i(t)임을 알 수 있습니다. 그리고 이 때 위의 적분은 항등적으로 0이 되어야 하구요.

\LARGE\!\frac\partial{\partial\alpha}\left[\int_{t_1}^{t_2}L(\bar{q_i},\dot{\bar{q_i}},t)dt\right]_{\alpha=0}\\=\sum_i\int_{t_1}^{t_2}\xi_i(t)\left(\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}\right)dt=0

그런데 \normalsize\!\xi_i(t)는 말 그대로 임의의 함수이기 때문에 항등적으로 영이 되기 위해서는 괄호 안의 값들이 무조건 영이 되어야 합니다. 따라서

\LARGE\!\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}=0

를 얻습니다. 이는 모든 i에 대해 성립합니다.

나머지 방법인 가상일을 이용하는 방법(D'Alembert의 원리)은 다음 글에서...(다음 글을 언제 쓸지는 저도 장담을 못하겠네요...)